（应用数学专业论文）我国股票收益率的长记忆性分析研究.pdf

摘要 尽管传统线性时间序列理论比较成熟，但理论体系都是建立在短记忆特性 基础上，而实际生活中大量的时间序列表现出了长记忆性。自h u r s t 从潮汐数 据中发现水文时间序列的长期记忆性【1 1 ( 1 0 n gm e m o r y ) ，m a n d e l b r o t 建立了长期 记忆分析的严格数学基础后【2 】1 3 j 【4 1 ，近些年来，经济、金融时间序列的长期记忆 性成为经济学、金融学领域的研究热点。本文从这个角度出发，对长记忆性时 间序列进行比较详细的分析研究。 本文首先对长记忆时间序列的研究现状和应用背景做了简单的阐述，简要 的介绍传统线性时间序列，由传统线性时间序列理论在实际生活中应用局限性 引出对长记忆性时间序列的研究。其次引入了时间序列的长记忆性从不同角度 的定义，并详细叙述了r s 分析方法。接着介绍了能描述长记忆性的分数差分 噪声模型和分整自回归移动平均模型，并将传统时间序列模型和a r f i m a 模型 进行比较。 在论文最后选取一段上证综指收益率和深证成指收益率进行实证分析。采 用了r s 分析法对收益率进行检验，实验结果表明上证综指收益率和深证成指 收益率都有长记忆特征，但随着样本初始时间和样本区间大小的不断改变，股 市收益率在表现出长记忆性特征的同时，也表现出了短记忆性的特征；上证综 指的平均循环周期为2 5 0 天，深证成指的平均循环周期为4 0 0 天。 关键词：收益率，长记忆，a r f i m a 模型，r s 分析法 a b s t r a c t e v e nt h et r a d i t i o n a lt i m es e r i e st h e o r yh a sb e c o m em a t u r e , i tb a s eo nt h es h o r t m e m o r yc h a r a c t e r i s t i c b u tl o t so ft i m es e r i e sh a v ep e r f o r m e dl o n gm e m o r y c h a r a c t e r i s t i ci no u rl i f e i nt h er e c e n t2 0y e a r s ，l o n gm e m o r yo fe c o n o m i c ，f i n a n c i a l t i m es e r i e sa r r a yb e c o m ee c o n o m i c s ，f i n a n c es t u d yr e s e a r c hf o c u so ff i e l d h a v e t a k e nt h el e a di nf i n d i n gt h em e m o r yf o ra l o n gt i m e ( 1 0 n gm e m o r y ) i nt h es e r i e so f h y d r o l o g yt i m ef r o mh u t s tf r o mt h et i d ed a t a f r o mt h i sp o i n to f v i e w , t h i sp a p e rh a s r e s e a r c h e da n da n a l y z e dt h el o n gm e m o r yt i m es e r i e si nd e t a i l a tf i r s t ，t h i sp a p e rh a si n t r o d u c e dt h er e s e a r c hs t a t u si nq u oa n di t s a p p l i c a t i o n b a c k g r o u n d , i ta l s oi n t r o d u c e dt h ec o n v e n t i o n a ll i n e a rt i m es e r i e sm o d e l , a n df r o m t h ed i s a d v a n t a g ep o i n tt h a tt r a d i t i o n a lt i m es e r i e sm o d e l sc a nn o ts i m u l a t et h el o n g m e m o r yt i m es e r i e sw e l l ，s ol o n gm e m o r yt i m es e r i e st h e o r yi sp r o p o s e d s e c o n d l y , t h i sp a p e rh a sd e f i n e dl o n gm e m o r yc o n c e p t sf r o mt i m ef i l e da n g l ea n df r e q u e n c y f i l e d i td e p i c t sr sa n a l y t i cm e t h o d t h e nt h ep a p e rp r e s e n t st h ef r a c t i o n a l d i f f e r e n c e dn o i s em o d e la n dt h ea u t o r e g r e s s i v ef r a c t i o n a li m e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e m o d e l i tc o m p a r e dt r a d i t i o n a lt i m es e r i e sm o d e l sw i t ha r f i m am o d e l l a s t l y , t h ep a p e rh a su s e de a r n i n g sy i e l dw h i c hc o m e sf r o mi n t e g r a t e ds h a r ei n d e x o fs h a n g h a ia n ds h e n z h e nt om a k ea n a l y s i sd e m o n s t r a t i o n s t h e yu s er sa n a l y t i c m e t h o dt oc h e c ku pe a r n i n g sy i e l d s ，a n df i n dt h a tb o t ho f e a r n i n g sy i e l d sh a v el o n g m e m o r yc h a r a c t e r i s t i c i ta l s op e r f o r m ss h o r tm e m o r yc h a r a c t e r i s t i ca l o n gw i t h c h a n g e so fs a m p l e si n i t i a lt i m ea n di n t e r z o n eo ft i m es e r i e s t h ea v e r a g ec i r c u l a r p e r i o do f s h a n g h a i ss t o c km a r k e ti s2 5 0d a y s ，a n ds h e n z h e n si s4 0 0d a y s k e yw o r d s ：s t o c ke a r n i n g sy i e l d , l o n gm o m o r y , r f i m o d c lr sa m j 如c a l m e t h o d 玎 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 括为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 签名：遗鱼囊日期：丛2 ：垒：峰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趣爻建导师签名：笼廖通日期：迎2 ：也争 武汉理i ：大学硕士学位论文 1 1 研究的背景 第1 章引言 金融时间序列是否具有长记忆性是现代金融理论研究的一个热点问题。金 融时间序列数据表现出的长记忆特性。是近年来金融计量经济学研究的一个重 点。而且越来越多的实证研究发现，股票收益率序列的各个观测值之间并不是 不相关，相反的，相隔较远的两个观测值之间仍会表现出某种相关性，并且在 对收益率波动的研究中，也发现了类似的特征。这种相关性的一个体现就是收 益率序列的自相关函数呈现出一种缓慢的衰减模式，例如以双曲线形式衰减到 零，这种现象被称为长记忆性。如果一个收益序列具有长记忆性，则说明该序 列的观测值之间是不独立的，用过去的收益率值可以预测将来的收益率值，即 历史事件的影响会持续影响着未来。 传统的时间序列模型，如a r 模型，刎趴纠模型以及a r i m a 模型等，它们 都是建立在相距较远的两个观测值之间完全独立或几乎独立的基础上，这些模 型所反映的时间序列的自相关函数呈指数率迅速衰减，一般称为短记忆过程 ( s h o r t m e m o r y p r o c e s s ) 。而在很多物理、水文过程、经济时间序列中存在着一种 现象，其自相关函数呈双曲率缓慢下降，这种现象就被称为长记忆过程【lj ( 1 0 n g m e m o r yp r o c 燃s ) 。在2 0 世纪5 0 年代，统计学家h u r s t 在物理学、水文学等领 域的数据分析中发现了时间序列所具有的长记忆特点，第一次提出了时间序列 长记忆性的问题【1 1 。在2 0 世纪8 0 年代后，人们在经济时间序列中普遍注意到 长记忆问题，引发了经济计量学界对时间序列记忆性的研究。由于b o x 和 j e n k i n s ( 1 9 7 6 ) 提出的白回归移动平均p l ( a u t o r e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g e , a r m a ) 模型只能解释序列的短期记忆性，而很多时间序列中远距离观测值问的相关性 尽管较小，但不能被忽视，所以对长记忆过程的时间序列仍用传统的时间序列 模型来描述就远远不够了。很多研究表明股市一般具有非线性结构，也就是具 有长记忆性，因此，传统的线性模型将无法描述股市的本质，这样就引入了对 时间序列的长记忆和分整自回归移动平均( a r f i m a ) 模型的讨论研究。 从1 9 9 0 年1 2 月上海和深圳证券交易所分别成立到现在，我国股票市场的 发展经历了一个从无到有、不断发展、逐步走向成熟的过程。我国早期的股票 武汉理i ：大学硕士学位论文 市场极不成熟，股票价格受政策和庄家的影响非常大，具体体现为大起大落。 1 9 9 9 年7 月1 日，中华人民共和国证券法正式实施，标志着我国的证券市 场走向成熟【2 ”。但由于其发展历史比较短，同时又是在经济改革和从计划经济 向市场经济转型的过程中运行和发展起来的，因而和其他国家成熟的股票市场 相比可能有一些特殊性。那么我国股票市场价格波动具有哪些特征，与外国成 熟市场经济国家的股票市场相比是否有差距，我国股票市场价格可以比较合适 的用什么样的模型来描述。本文对这一系列的问题进行了研究。 1 2 研究的意义 自h u r s t 从潮汐数据中发现了水文时间序列中的长期记忆性( 1 0 n g m e m o r y ) ， m a n d e l b r o t t 2 1 t 3 1 1 4 i j i 入分数布朗运动及分形概念奠定了长期记忆分析的严格数学 基础后，长期记忆研究就在流体学、气象学及地球物理学等自然科学领域引起 了广泛的关注。近年来，经济、金融时间序列的长期记忆性成为经济学、金融 学领域的研究热点。而且研究资本市场的长记忆性，对于分析与了解市场结构、 判断市场的走势以及长记忆性对市场风险与未来变化的影响等方面都具有重要 的作用。 从b o x j e n k i n s 【5 】开始，人们就开始对时间序列的分析进行大量的研究。到 今天，时间序列分析有了比较系统而完善的理论体系。时间序列分析是分析社 会经济资料的一种重要的方法。它对于信号处理、无线电工程、数据通信、工 程控制技术等许多领域都有深刻的影响。然而，传统时间序列理论体系大多是 建立在短期记忆性的基础上，而实际中出现大量的时间序列都表现出不同程度 的长期记忆性特征。 经典的统计分析都假定数据序列具有独立性，而时间序列分析则着重研究 数据序列的相互依赖关系。从统计意义上来讲，所谓时间序列就是将某一指标 在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。这种数列由 于受到各种偶然因素的影响，往往表现出某种随机性，彼此之间存在着在统计 上的依赖关系。社会、科学、技术等领域中存在着大量的时间序列数据有待进 一步的分析和处理。人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示某 一现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在 数据关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取所需要的准确信息。 2 武汉理1 = 大学硕士学位论文 1 3 国内外研究概况 国外对股票收益率的长记忆性研究已经有很长一段历史。g r a n g e r 和j o y e u x ( 1 9 8 0 ) 1 6 1 1 7 】提出了a r f i m a 模型，该模型能解释长久记忆过程。鉴于股票市 场长记忆效应的理论价值，国外学者在2 0 世纪9 0 年代以来进行了大量实证研 究。目前对国外发达资本市场进行的研究表明，像美国等国际化股票市场指数 收益率并不存在长记忆性，只有个别的股票具有长记忆性的特征，但美国股票 市场收益率的波动却表现出明显的长期记忆性；对希腊、巴西等相对较小、发 展较迟的股票市场进行研究，同样发现了长记忆性的证据【s 1 ：l o 运用尺，s 分析 方法研究美国股价指数收益及波动分布，得出了相同的结论【9 l ；b a r k o u l a s i l o 】利 用a s e 3 0 ( a t h e n ss t o c ke x c h a n g e ) 指数的周收益率数据验证了希腊股市的收益率 及波动都存在显著的长记忆性；w r i g h t “】检验了1 7 个新兴市场的长记忆特征， 发现有7 个市场长记忆性显著存在，特别是东亚市场尤为显著；b a i l l i e 8 2 j ( 1 9 9 6 ) 介绍了估计a r f i m a 模型的几种方法；1 9 9 7 年，a n d e r s e n 和b o l l e r s l e v 在研究 德国马克美元的5 分钟收益时，也发现波动中存在较强的长期记忆性【l ”。 近年来，人们对时间序列的长记忆性研究越来越深入。越来越多的国内学 者也开始研究国内股票市场的长记忆性。但由于起步较晚，目前还处于吸收阶 段，还有很多需要改进的地方。已有的文献大部分都是针对收益率的长记忆性 来进行的。冯春山等通过建立适合的a r m a 模型对石油价格进行预测，得出了 石油价格波动存在长记忆性，且预测的效果要优于传统时间序列模型的预测i l ”。 徐龙炳l 】5 】通过分析上海、深圳股票市场的非线性，结果表明股票市场存在长记 忆性。张维、黄兴( 1 9 9 9 年) 1 1 6 1 及王春峰等旧( 2 0 0 3 年) 分别采用传统的r s 分析方法检验我国沪深两股市证券收益的“长记忆”，并指出两股市均有较强的 长记忆性。 与之相应，对股票市场收益序列是否存在长期记忆性这个问题存在不同的 结论。相当一部分文献没有发现存在长期记忆性的证据，比如，c r a t o ( 1 9 9 4 ) 运 用极大似然估计对股票市场收益序列的研究没有发现存在长记忆性【1 8 1 ；陈梦根 2 0 0 3 年在( 经济研究上的一篇文章中，采用l o 的修正r s 检验对中国股市 的长期记忆性进行研究，结果表明代表股市总体的股价指数不存在长期记忆效 应，而在个股中仅有几个存在长期记忆性【2 n 。这一点实际上说明，如果我们采 用长期记忆模型，即d r f i m d 类模型，来对股市收益进行预测的话，可能很难 武汉理r 大学硕士学位论文 得到预期的效果。刘文财，刘豹等( 2 0 0 1 年) 采用a r f i m a 模型来预测中国主 要股指收益，发现预测结果并不比随机猜测的好【2 2 j ，这恰恰从另一方面证实中 国股市主要股指可能并不存在长期记忆性，或者这种性质并不显著。 1 4 本论文主要研究内容和工作安排 由于传统时间序列理论不能较好的刻画实践中长记忆性类时问序列，本文 通过实例说明经济分析中有必要引入“长记忆性”概念，所以着重对时间序列 的长记忆性进行比较系统的研究，分别对上证综指周收益率和上证综指日收益 率进行实证分析，得出相应的结论。 论文内容结构如下： 第一章里简单的介绍了研究的背景、意义和国内外研究现状。 在第二章对传统时间序列模型：舰( p ) 、m a ( q ) 删( 弘g ) 、 a p d m a ( p ，d ，g ) 进行了简要的介绍。并说明这些模型都是短记忆模型，引出了长 记忆定义。 第三章中首先对时间序列长记忆性从不同的角度进行定义，其次详细的介 绍了经典r s 分析法以及其显著性检验，最后给出了能描述长记忆性的分数布 朗运动、分数差分噪声模型和分整自回归移动平均模型。 第四章是对我国股票市场上海综合股价指数和深证成指的长记忆性特征进 行实证研究。主要采用r s 分析法对收益率残差分别进行分段、整体的分析检 验，并根据实证分析的结果得出相应的结论。 在文章的第五章进行了全文总结和未来研究的展望。 本文中充分利用了m a t l a b 、e v i e w s 等软件的数据分析功能。 4 武汉理r 大学硕士学位论文 第2 章传统线性时间序列模型 从b o x 。j e n k i n s 开始，人们对传统线性时间序列的分析进行了大量的研究。 到今天，短记忆时间序列分析有了比较系统而完善的理论体系。本章简要的介 绍几种常用的短记忆时间序列模型。 2 1 自回归过程 自回归过程描述序列 五 在某一时刻，和前p 个时刻序列值之间的线性关 系。设 五，= o ，1 ，垃， 是零均值平稳序列，模型可写为： = 纯t + 仍一2 + + 纬，+ ( 2 1 ) 其中为白噪声，即满足：e “) = o ，胁“) = e 仁2 = o - 2 ，则称该过程是p 阶自回归过程，或简称a r ( p ) 过程。式中矿，j = 1 ，2 ，p 称为自回归系数。 为了使符号标记更加简便，引进滞后算子口。定义如下： b x t = x h ，b 1 x l = x h k 上式可写成下面的等价形式： 0 一仍口一仍曰2 - 擘口9 ) = ( 2 2 ) 记算子多项式 m ( b ) = i - q ，1 b 一仍b 2 一譬k 口 则式( 2 2 ) 可以改写为 m ( 占) = ( 2 3 ) 自回归过程可以看作式线性滤波器的输出，相应传递函数为中- 1 ( 曰) ，且 输入是白噪声b 嘲。 2 2 移动平均过程 另一类时间序列模型是移动平均模型，移动平均过程描述序列 置 为若干 武汉理i ：大学硕士学位论文 个白噪声的线性加权和。设“，t = 0 ，l ，控， 是零均值平稳序列，满足下列模 型： = 一6 ；- 一岛q 一：一名1 ( 2 4 ) 或 0 - e , b 一岛占2 一一见酽) = 五 ( 2 5 ) 其中为白噪声，即满足：e “) = o ，陆“) = e ( 2 ) = 盯2 ，则称定义的过程 是g 阶的移动平均，或简称为膨4 ( 叮) 过程，而p = ，岛，巳) 7 称为移动平均参 数向量，其分量e ，j = l ，2 , - - - , 口称为移动平均系数a e ( b ) = i - e , b 一岛一乞伊 则式( 2 - 5 ) 可以改写为 = 口( 丑) 岛 ( 2 一f i ) 因此，移动平均过程可以看作是线性滤波器的输出，相应的传递函数为 矿1 ( 口) ，输入是白噪声【5 】。 2 3 自回归移动平均混合模型 前面讨论了自回归模型和移动平均模型，这两种模型的结合就构成自回归 移动平均模型。该模型兼顾前面两种模型的特点，以尽可能少的参数描述平稳 时间序列数据的变化过程。设 薯，t = o ，l ，蛇， 是零均值平稳序列，满足下列 模型： 玉一仍x _ 一仍j 0 2 一一作一，= q 一最一l 一皖s 0 2 一一吃1 ( 2 7 ) 其中e 是均值为0 ，方差是砰的平稳白噪声，称该模型为( p ，q ) 阶的自回归移 动平均混合模型，简记彳m 纠( p q ) 。当g = o 时，它为彳r ( p ) ：当p = o 时，它 为m a ( q ) 应用算子多项式叫b ) ，e ( e ) ，式( 2 7 ) 可以写为： o ( 曰) = 占( 占) 毛 ( 2 8 ) 6 武汉理j ：大学硕士学位论文 2 4 求和自回归滑动平均模型 前面三种模型都是平稳时间序列模型，可是在实际问题中，时间序列并不 平稳，往往具有三个特征：趋势性、季节性与非平稳性。最常用的是采用b o x - j e n k i n s 方法，即差分方法，有时还要用时间序列的变换方法，消除其趋势性、 季节性等，使得变换后的序列是平稳序列，然后用上面的平稳时间序列模型 a r m a 进行建模。 设 薯，t = o ，1 ，垃，l 是非平稳序列，若存在正整数d ，满足下列模型 v 。五= 形 ( 2 9 ) 其中对于d 1 ，v = 1 - b 为差分算子。而 形，t = o ，1 ，垃， 是a m 4 a ( p ，g ) 序列， 则置是求和自回归滑动平均模型，简记a p d m a ( p ，d ，g ) 。这时，五满足： 似b ) v 4 五= 口( 雪) ( 2 1 0 ) 若v 。置为平稳序列，但均值0 ，则v 。置一声为平稳零均值序列，满足 中( b x v 4 置- u ) = p ( 占) ，t d ( 2 1 1 ) 此时，称五为一般a i u m a ( p ，d ，g ) 序列。若未知，可以用v 4 置的平均值j 来 估计。 若置的观测样本是置，五，以经过一阶差分后，数据减少为n - 1 个；二 阶差分后，数据为一一2 个；一般地，d 阶差分后，数据为打一d 个，由d 阶差分 v 4 置复原数据，需要给定初定值五，五，局 以上几个模型都是针对短记忆时间序列模型而言，在确定模型时，往往采 用下面方法。先对玉的样本五，置，五，计算样本自相关函数与样本偏相关 函数，如果是截尾的或者是拖尾的( 即被负指数函数控制的) ，说明已服从a r m a 模型，若自相关函数与偏相关函数至少有一个不是截尾的或拖尾的，说明z 不 是平稳的，可以作一阶差分v x ，t = 2 , - - - , n ，并求其样本自相关函数与样本偏 相关函数，再用上述方法讨论。这样，直至判断v 。置是平稳序列为止。在实际 计算中，若遇到样本自相关函数或样本偏相关函数的图形虽然下降，但下降得 很慢，应认为是非平稳序列，需作差分运算。 传统时间序列模型都是建立在相距较远的两个观测值之间完全独立或几乎 独立的基础上的，这些模型所反映的时间序列的自相关函数呈指数率迅速衰减。 7 武汉理e 大学硕士学位论文 第3 章时间序列长记忆性分析 2 0 世纪5 0 年代，统计学家h u r s t 在物理学、水文学等领域发现了时间序列 的长记忆性，第一次提出了时间序列长记忆性的问题。前一章介绍的几种传统 的时间序列模型都是短记忆时间序列模型，在实际工程背景中，很多序列具有 长记忆性的特征，比如在经济、通信网络、天文地理等领域里的相关数据序列 中，都具有不可忽视的长记忆性。本章将重点介绍时间序列的长记忆性r s 分 析的相关理论，然后说明描述长记忆性的a r f i m a 模型，并介绍几种常用的参 数估计方法和建立长记忆模型的方法步骤。 3 1 时间序列的记忆性 关于时间序列的记忆性，r o s e n b l a t t 早在1 9 5 6 年就进行了探讨，提出了短 范围相依过程的概念f 3 。 定义3 - 1 假设离散时间序列 墨 ，t = l ，2 ，t ，其部分和为 s = 置 如果擎啦研r 。1 霹】存在且非零，并且有 孑1 万1 墨川j ( ，) ，【。，l 】 这里的 ，刀表示玎的整数部分，矿( r ) 为标准维纳过程，称 z 为短范围相依 ( s h o r tr a n g ed e p e n d e n c e ) 过程。 短范围相依过程反映了时间序列的强混合性( s t r o n gm i x i n g ) 和短记忆性的特 点。强混合是短记忆中的一个概念，如果时间序列任意两点之间的相依性随着 时间间隔的增加而变得很小，就称时间序列是强混合的。一般将短记忆( s h o r t m e m o r y ) 称为强混合过程( s t r o n gm i x i n gp r o c e s s ) ，而将长记忆( 1 0 n gm e m o r y ) 称为 非强混合过程( n o - s t r o n gm i x m gp r o c e s s ) 。传统的线性时间序列模型，如a p 吼i a 等 都是以短记忆时间序列为研究对象的。 8 武汉理i ：大学硕士学位论文 时间序列的长记忆性和短记忆性是相对应的，下面我们介绍不同的角度的 长记忆的定义。 通过过程的自相关系数总和的特征定义( m c l e a o d 和h i p e ，1 9 7 8 ) 1 3 3 1 t 定义3 - 2 对于一个离散时问序列 五 ，如果它的f 阶自相关系数岛满足条 件： l i m 川一m 则称 五 为长记忆时间序列。 从过程的自协方差函数角度的定义： 定义3 - 3 如果平稳时间序列 五 的自相关函数吒依负幂指数率( 双曲率) 随滞后阶数f 的增大而缓慢下降，即 以c f 2 4 一，f 一 其中c 为常数，一表示收敛速度相同，则称序列 置 为长记忆性时间序列 ( b r o c k w e l l ) i 卅。 比较上述两个定义，当式中d 的取值范围不同时，两者对长记忆的定义不 同。定义3 3 的形式具体，有利于分析工作，因而得到较广泛应用。一般当 0 d 0 5 时，熙y , l p , l - 。，称时间序列 置 为长记忆过程，而当d o 时， 。l i m b l 有界，称时间序列 置) 为中等记忆过程 以上定义是从时域角度给出的，下面从频域角度给出长记忆的定义。 定义3 - 4 称时间序列 置 为长记忆过程( g 瑚g 哪”1 ，如果它的谱密度厂细) 具有以下性质： ( 1 ) ，( ) 随频率国专0 而趋于无穷： ( 2 ) f ( r o ) 在除去至多有限个值外的所有其他的m 值有上界 特别地，对于平稳过程“ ，它的谱密度具体表示为： 厂( 叻= ，( o ) + 2 r ( h ) e o s ( w h ) k s l 这个定义是根据长记忆序列的谱密度，( 国) 在低频处的特性而给出的，可以 9 武汉理工大学硕士学位论文 反映时间序列的周期变化规律，具有较广泛的意义。 3 2r s 分析方法 r s ( r e s c a l e dr a n g ea n a l y s i s ) 重标度极差分析法最早由英国水利学家 h u r s t ( 1 9 5 1 ) 提出。他研究的问题是基于已观测到的水库流量时间序列，计算尼 罗河水库的最佳蓄水量。在研究的过程中，他发现流入量倾向于“聚类”，即接 连数年流入量都低于平均水平，而接下来几年流入量却可能持续地高于平均水 平。这一聚类现象明显地证明系统内存在着长程相关，后来在自然科学，如气 象学和地理学研究的大自由度系统中被广泛地发现。m a n d e i b r o t 和w m l i s 借用 圣经中七年连旱七年洪水的故事，形象地把它称为“赫斯特效应” 2 1 。 r ，s 分析方法是一种非参数分析方法，对时间序列的分布具有较强的酎抗 性，h u r s t 提出7 一个新的统计量日来识别这一系统性的非随机特征，即赫斯 特指数【。m a n d e l b r o t 等证明了这一统计量优于传统的判别相关性的方法，如 自相关函数、方差比等。对研究金融市场尤为重要的一点是，在真实分布为非 高斯分布的情况下，赫斯特指数对随机和非随机序列具有强健的判别能力( b m a n d e l b r o t j r w a l l i s ，1 9 6 9 ) 【3 1 。 r s 分析的主要思想是分析重标度的累积均值离差的标度行为( s c a l i n g b e h a v i o r ) 。假定一个质点在一维时间轴上游走，那么累积均值离差就是质点随 时间偏离起始点的距离。这是一个“经典”方法，是使用“距离除以标准差” 或“按比例调整的全距”统计量。r s 统计量是将时间序列与其均值之离差的 部分和按标准差比例缩小后的距离。 3 2 1h u r s t 指数的计算 h e h u r s t ( 1 9 0 0 - 1 9 7 8 ) 是一位著名的水文专家。他在设计水坝的研究过程 中发现，决定水库存贮能力的水流入量和水流出量不是一个随机过程，而是大 的流量之后经常紧跟大的流量，这与大部分水文专家的研究假定是不一致的。 h u r s t 通过大量的实证研究发现一般形式【i 】： ( r s ) 。= c n “ ( 3 1 ) 其中r s 为重标极差；砧为时间增量区问长度，c 为某一常数：日是一种新的 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 统计量，我们称之为h u r s t 指数，简称指数。 公式( 3 1 ) 就是经典r s 分析方法用于估算h 指数的基本关系式。h u r s t 指数的计算与r s 统计量有着密切的关系。只要计算出重标极差序列及其对应 的时间增量序列，然后运用回归分析方法就可以估计出日指数，具体计算步骤 为( p e t e r s ，1 9 9 4 ) 1 4 0 ： ( 1 ) 将时间长度划分为彳段，时间长度为甩的子区间，即彳月= n 。设 每个子区间为l ，口= l ，2 ，3 ，彳。在每个子区间l 中的每个元素记为五， k = l ，2 ，3 ，n 。l 中的元素的均值定义为： 雎= = i 一 x ， ( 3 - 2 ) ( 2 ) 累积离差时间序列： k 五，= ( 五，一心) k = l ，2 ，3 ，弗 ( 3 - 3 ) - 1 1 ( 3 ) 极差序列： 心= m a x ( x t ，。) 一n l i n ( 以，) ( 3 - 4 ) 足是一个时间序列中月个数据偏离其均值的累加值的极差，称为打个数据的极 差，表示时间序列最大的变化范围。 ( 4 ) 每个子区间l 的标准差： 墨= b 喜c 互，。一儿，2 i 墨是时间序列的标准差，表示偏离均值的程度，是分散程度的铡度。 ( 5 ) 取r s 统计量，记 q ，2 寻 ( 6 ) 重标极差： ( 舢卜去委( 钱) 这样就得到一个r s 估计值。 ( 7 ) 增加n 继续这一过程以得到多个r s 估计值， ( 3 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) 最后在玎的整个值域上 武汉理+ e 大学硕士学位论文 根据方程 l o g ( r s ) = l o g ( c ) + h l o g ( n ) ( 3 8 ) 以l o g ( n ) 为解释变量，l o g ( r s ) 为被解释变量，采用普通最小二乘估计方法进 行估计，所得解释变量的系数日即为所求的h u r s t 指数。 h u r s t 指数日和分数差分程度d 之间存在如下的确定关系( t a q q u ，m s v t e v e r o v s k y , w w i l l i n g e r , 1 9 9 5 ) 1 2 5 1 ： h = d + 0 5 ( 3 9 ) 因此可以通过对h u r s t 指数日的估计来确定d 值。 在极差蜀的表达式中，第一项是五。的前k 个样本均值之离差的部分和 ( 在时间n 内) 的最大值。由于以。与均值的1 , 1 个离差之和为零，因此这个最大值 永远是非负的。第二项是同一部分和系列的最小值，因此这个永远是非正数。 因此两个数量之问的差异永远是非负的，从而q ，0 。 与传统分析方法相比较，经典r s 分析方法所需要假设最少( 或者说几乎 没有) ，但是其结果最稳定，也最贴近时间序列的实际特性，特别是它能够从长 记忆时间序列中区分出随机时间序列，并能计算长记忆时问序列内在的非周期 性循环长度，在揭示出时间序列非线性特征的基础上更能深刻地揭示出其内在 统计规律，因此，它比传统时间序列分析方法有着非常明显地优势。 对于潜在的系统动力学机制而言，长程相关的重要性在于它是真实的数据 产生过程( d a t ag e n e r a t i n gp r o c e s s ) 的性质，而不仅是样本路径或某个样本区 间的性质。因此，若长程相关在整个时间序列内是稳定的，我们就可以推断它 透露了系统内在结构的某种信息。这一推断的直接意义还在于，在进行预测时， 我们可以使用比短程相关模型更多的信息。因此，金融市场上的长程相关可能 意味着额外的预测能力，这对于金融计量及其在实践中的应用都是一个极为重 要的问题。 3 2 2h u r s t 指数的特性 通过经典r s 分析方法计算出的日指数是一个十分有效的统计量，尽管仅 是一个简单的数值，但可反映出时间序列的许多重要信息。时间序列的h u r s t 指数居于o - 1 间。以0 5 为间隔，时间序列在不同的区间会表现不同的特性【2 4 i ： ( 1 ) 当h = 0 5 时。是标准布朗运动。过去和未来增量间的相关系数为0 ，表 1 2 武汉理1 ：大学硕士学位论文 明现在不影响未来，这说明增量过程是一个独立的随机过程。 ( 2 ) 当日0 5 时，为分数布朗运动。此时，增量之间不再相互独立。但是 这个过程与马尔科夫过程所具有的短期记忆行为不同，分数布朗运动的记忆作 用是长期的。( 而且长期记忆只与h u r s t 指数的大小有关，没有标度性) - 值指 出了这种长期记忆作用的特性。 0 5 l ，这种时间序列是长记忆性的，有持久性效应。表明过去一直 增长意味着未来这种趋势将继续下去，而且对任意大的时间t 都是如此。反之， 过去的减少趋势就平均而言意味着未来的连续减少。日越接近l ，趋势越明显； 日越接近0 5 ，逐渐趋于随机性，趋势越不稳定。这种长期记忆作用使得随机 过程呈现一定的趋势，增量间有一定的正相关性。长记忆序列是分数布朗运动 或有偏随机游走，偏倚的强度看日比o 5 大多少。 0 日 0 5 ，增量间是负相关的，称为反持久性效应( a n t i p c r s i s t e n t ) 。如 果过去是增长的，则下一时刻下降的可能性更大；反之，过去是下降的，则下 一时刻上升的可能性更大。反持久性效应的强度取决于何接近0 的程度。这种 时间序列具有比随机序列更强的突变性或易变性，因为它是由频繁出现的逆转 构成的。 长记忆性时问序列，即o 5 日 l 的序列，它们可以用分数布朗运动来描 述。在分数布朗运动中，跨时间尺度的事件之间有着相关性，h u r s t 指数描述了 两个相邻事件发生的可能性。如果h = o 8 ，那么基本上可以说，要是上一个移 动是正的，下一个移动也是正的概率更高。这不是一种真正的概率，它仅仅是 “偏倚”的一个度量。 ， i - i u r s t 指数可用于衡量时间序列的相关程度。对于参数为日的长记忆性的 过程，可以证明【3 6 1 ( j a ab c r a n ，1 9 9 4 ) ： f 删：邯“1 ) ”- 2 “七- 1 ) 2 勺，娩o ( 3 1 0 ) l外j ) ， ； 0 因此，对去 胃 l ，有p ( k ) h ( 2 h - 1 ) k 2 “2 卜 l ，该过程具有长记忆性。 z 根据上式( 3 1 0 ) 当前一期对未来一期的影响可以表示为一阶相关函数： 所1 ) = 2 ( 2 h - i 一l ( 3 1 1 ) 上式( 3 ，1 1 ) 为关联尺度的表达式。h - - - - - 0 5 意味着序列在各个尺度上都是相互 武汉理1 ：大学硕士学位论文 独立的。若h = l ，p = l ，表明序列完全正相关，这是确定性系统的特征。若 0 5 h 0 ，意味序列在自相似的各个时间尺度上都具有相关的特征， 也就是说，日、周、月的价格变动与未来的日、周、月价格变动都是相关的。 相关的持续性暗含了如果价格在上期上涨，那么下期有可能继续上涨。最后， 当0 h 0 5 时，序列在各尺度上均呈现反相关。 h u r s t 指数越大表明股票价格序列走势越平稳，意味着风险就越小。一般来 说，业绩好发展稳定的股票的h u r s t 指数比较大，对应的风险也相对较小。因 此可以用股票的h u r s t 指数来比较股票的风险大小，也可以比较不同股票投资 组合下h u r s t 指数的变动趋势，从而选择较好的投资组合。 3 2 3r s 分析的显著性检验 r s 分析是对序列的抽样分析，那么用这个抽样分析结果来推断序列的总 体特征是否可靠呢? 为评价经典r s 分析方法的可靠性，显然有必要对日指数 估计值进行显著性检验，以判断该结果是否由偶然因素导致。用显著的分析结 果来推断序列的特征才是可靠的。 在分析一个未知类型的序列时，我们以高斯型序列作为零假设，即h = 0 5 检验的目的就是要判断时间序列的胃指数计算值与o 5 之间是否具有显著性差 异，或者说时间序列与随机游走是否具有显著性差异。如果日指数的期望和方 差分别为e ( 日) 和v a r ( h ) ，则可构造检验统计量为【2 0 l ： ”：一h - e ( h ) ( 3 一1 2 ) ”= # = # = 一 j j ， 4 v a r ( h ) 那么，“服从标准正态分布n ( o , o 。为计算e ( h ) ，可以先计算出对应于每个一 的重标极差的期望值e ( r s ) 。，然后按照计算实际日值相同的方法计算e ( 日) 。 p e t e r s ( 1 9 9 4 ) 1 4 0 给出了r s 期望值e ( r s ) 。的经验计算公式： ，一 e ( r s ) ，= ( 一0 s ) n ( 衫2 ) “i 一，) ， ( 3 1 3 ) r f f i l 将e ( r s ) 。和l o g n 代入下面的公式( 3 1 5 ) ，用最小二乘法回归拟合以得 到日指数的期望值e ( 日) 。 l o 甙e ( r s ) ) = l o g c + e ( h ) l o g n ( 3 1 4 ) 1 4 武汉理一 大学硕士学位论文 由于r s 的取值是一个随机变量，服从正态分布，因此也希望日的取值服 从正态分布，这样h u r s t 指数日的方差即为： v a r ( h ) 。= 1