（应用数学专业论文）尾部指标估计中的阈值选择.pdf

中文摘要 尾部指标是决定分布尾部轻重的一个重要参数在分析金融数据时，分布的 尾部反映的是潜在的灾难性事件对金融机构造成的重大损失大部分金融资产的 损益分布都具有重尾特征，因此如何能更好地估计尾部指标对风险管理者和金融 机构监管者都具有重大意义h i l l 估计是对重尾分布尾部指标的一种重要估计方 法，它有非常好的统计性质但是，考察h i l l 估计的表达式不难发现，正确估计尾 部指标依赖于适当地选取其阚值如何选择最优阈值，是一个非常棘手的问题 本文首先从理论角度出发，以渐近均方误为标准，介绍了四种选择最优阈值的方 法；自助法，直接估计渐近均方误的方法，对h a l l 族的特殊方法和序贯方法然 后以美元对日元的汇率为例，说明如何使用这些方法，并加以比较 关键词：渐近均方误，自助法，h i l l 估计，序贯方法，尾部指标，最优阈值 a bs t r a c t t h et a i li n d e xi sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e rt od e c i d et h ed e g r e eo fh e a v i n e s so ft h e t a i lo fad i s t r i b u t i o n i nt h ea n a l y s i so ff i n a n c i a ld a t at h et a i lo ft h ed i s t r i b u t i o ni m p l y t h es e r i o u sl o s s o faf i n a n c i a li n s t i t u t i o nl e db yp o t e n t i a ld i s a s t r o u se v e n t s m o s to ft h e l o s s l p r o f i td i s t r i b u t i o n so ff i n a n c i a la s s e sh a v eh e a v yt a i l s s oh o wt oe s t i m a t et h e t a i li n d e xb e t t e ri sv e r yi m p o r t a n tf o rt h er i s km a n a g e r sa n ds u p e r v i s o r so ff i n a n c i a l i n s t i t u t i o n s h i l le s t i m a t o ri ss i g n i f i c a n tt oe s t i m a t et h et a i lo fah e a v yd i s t r i b u t i o n i t a p p e a l sb yv i r t u eo fi t ss i m p l i c i t ya n di n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cp r o p e r t i e s h o w e v e r ，t h e p e r f o r m a n c eo ft h eh i l le s t i m a t o rd e p e n d so i lt h ea d a p t i v ec h o i c eo fi t 8t h r e s h o l d h o w t o8 e l e c 乞t h eo p t i m a lt h r e s h o l di sad e l i c a t em a t t e r t h i 8p a p e rp r o v i d ef o u rm e t h o d s f o re s t i m a t i o no ft h eo p t i m a lt h r e s h o l dw h i c hm i n i m i z et h ea m s ef a s y m p t o t i cm m s q u a r e de r r o r ) o ft h ec o r r e s p o n d i n gh i l le s t i m a t o r s ：b o o t s t r a pm e t h o d s ，d i r e c te s t i m a t i o n o ft h ea m s eo ft h eh i l le s t i m a t o r s t h es p e c i a lm e t h o df o rt h eh a l lc l a s sa n da s e q u e i l t i 8 l p r o c e d u r e t h i sp a p e re s t i m a t e st h eo p t i m a lt h r e s h o l df o rt h ee s t i m a t i o no ft h et a f t i n d e xo fd a i l ye x c h a n g er a t er e t u r n so ft h eu s d o l l a rr e l a t i v et oy e nw i t ht h ed i f f e r e n t t h r e s h o l ds e l e c t i o nm e t h o d sw h i 出a r et h e nc o m p a r e d k e yw o r d s ：a m s e ( a s y m p t o t i cm e a ns q u a r e de r r o r ) ，b o o t s t r a pm e t h e d ，h i l le s t i - m a t o r ，s e q u e n t i a lp r o c e d u r e ，t a i li n d e x ，t h eo p t i m a lt h r e s h o l d 独仓0 性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘空或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：勿0 香关 签字日期：咿年月拍日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨凄盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫鲞盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：办0 馨袭导师签名： 渺弓 签字e l 期：山衫年，月。i e i 签字日期：一6 年1 月r o 日 第一章序言 第一章序言 分布尾部反映的是潜在灾难性事件导致金融机构的重大损失，这正是 风险管理者和金融机构监管者注重的地方比如1 9 8 7 年1 0 月发生的美国股 票市场崩盘，1 9 9 2 年9 月欧洲货币体系的瓦解和1 9 9 7 年开始的亚洲金融危 机都是金融业和风险管理中的中心议题因此，如何处理像这样的极端事 件在风险管理中极其重要 对数正态分布是金融资产回报中最常用的一种假设，很多金融理论都 建立在这个假设基础上即假定r t = l o g p t l o g p t 一1 服从正态分布，其中矶 是第t 天的收盘价，p t 一1 是第t 一1 天的收盘价文献【1 】1 和【2 】在其论文中首 次指出资产回报的无条件分布具有高峰重尾性，即实际回报的尾部比假设 回报的分布服从对数正态形式下要重，也就是发生重大损失的概率要比假 设的大由此引发对金融市场的大量实证研究，结果表明：对数正态模型并 不完全与历史回报数据性质相一致，历史回报的分布往往是高峰，略为偏 斜的，且其尾部要比正态分布更重近年来，随着经济的全球化和投资的自 由化趋势，金融市场的波动性日趋加剧，金融风险管理成为人们越来越关 心的问题因此重尾现象成为研究的一个热点 另外，重尾对近二十年来风险度量中普遍采用的标准尺度v a r 模型有 着重要作用v a r 是市场正常波动情况下对资产组合可能损失的一种统计 测量从金融机构的角度来看，v a r 可以定义为“在一定的期间内，在一定 的置信水平( 如9 5 ) 下，一个金融头寸所面临的最大潜在损失”实际上， v a r 描述的是一定时期内资产( 或资产组合) 的损益分布的分位点故尾部 概率是v a r 模型研究的一个重要方面 极值理论是顺序统计量理论的一个分支，1 9 4 3 年g n e d e n k o 建立了著名 的极值定理“，1 9 5 8 年g u m b d 将这一学科的研究作了系统的总结极值 理论主要是测量极端市场情况下风险损失的一种方法，它更多的利用了统 计理论，给出了一些关于极值回报的统计分布的重要结果，特别是极值回 报的极限分布与回报本身的分布相互独立，这是一个及其有用的结论利 用极值理论可以准确地描述分布尾部的分位数，而且具有解析函数形式， 计算比较简便由于极值理论能够更好地描述极端事件，因此具有重要意 义极值分布只研究极端值的情况，它可以在总体分布未知的情况下，仅依 1 第一章序言 靠样本数据，得到总体中极值的变化性质 由极值定理知：所有不同的回报分布都有相同类型的极限分布，区别 仅在于分布参数不同分布的尾部指标实际上就是它的极限分布的形状参 数f ，它决定极值分布的种类：当f 0 时，对应f r d c h e t 分布，当f 1 2 时，分 布的方差不存在；当 1 时，分布的均值也不存在当尾部指标 0 时， 称此底分布是重尾分布在风险管理领域，我们主要感兴趣的是f r d c h e t 分 布，因为这一类分布是由重尾的底分布得到的，拟合金融数据相当好 有多种方法估计参数f ：一种是参数方法，假设极值就是来自这个渐近 分布通常有两种参数方法一极大似然方法和回归方法另一种是非参数方 法，直接对变量进行尾部估计，并不假设极值来自于这个渐近分布对尾部 参数的常用估计方法有p i c k a n d s 估计，h i l l 估计和矩估计等一般情况下无 法明确指出应该使用哪一种估计量，因为这取决于底分布的性质但是大 部分金融资产的损益分布具有重尾特征，而h i l l 估计不依赖于数据四阶矩 的存在性，对金融数据可达到的样本容量，其估计性质较好“，因此在分析 这样的重尾数据及估计极端分位数和尾部概率时，尾部指标的h i l l 估计” 一般是首选估计，它在保险和金融等包含许多重尾现象的领域中有着广泛 应用另外，还有一些减小估计偏的方法，如【7 】的极大似然( m l ) 方法，【8 】 的加权最小二乘( l s ) 回归方法等 考察h i l l 估计的表达式不难发现，正确估计尾部指标依赖于适当地选 取其阈值，或等价地，用于估计尾都指标的上侧顺序统计量的个数k 若七 太大，则h i l l 估计的偏较大；k 太小，则估计的方差较大因此，一般以渐 近均方误为标准选择最优的值然而如何选取k 值，h i l l 却没有给出，实 际应用中一般凭直觉和经验进行选择，这造成了很大的不便 为了解决尾部估计从哪里开始的问题，许多学者提出了各种方法和工 具，如平均超出量图，p a r e t o 分位数图及各种h i l l 图，通过这些方法可以直 观地选取k 值但是，这些方法也存在很多问题，比如有时候仅通过图形很 难找到适当的k 值，即便找到了这样的，也无法保证它是最优的因此， 有些学者从理论上寻求最优的阈值，提出了不少方法1 9 8 5 年，文献【9 给 2 第一章序言 出了对尾部指标的一种估计，但是，该估计的应用范围比较小1 9 9 6 年， 文献【1 0 】和f 1 1 】把选择值看作是回归诊断问题，介绍了一种迭代最小二乘 方法该方法对中等样本的效果较好，但是没有证明估计的一致性另一 种选择最优阈值的方法是再抽样方法但是，通常的自助法会严重低估h i l l 估计的偏因此，文献【1 2 】提出用比原样本量阶数小的再抽样，得到了最优 k 值的一致估计可是，这种方法要求二阶参数p 已知，而且估计结果依赖 于k 的初始估计本文介绍的自助法使用了一个收敛于零的辅助统计量， 避免了这个问题另外，本文还介绍了几种有代表性的方法；直接估计渐近 均方误的方法，对h a l l 族的特殊方法和序贯方法，并给出其简要原理及步 骤最后，以美元对日元的汇率为例，说明方法的使用，并对其进行比较 第二章介绍极值理论，第三章是对尾部指标的几种估计方法，第四章 是对h i l l 估计中的阈值选择方法，第五章是实证研究，最后一章是结论 3 第二章一元极值理论 第二章一元极值理论 就像中心极限定理对随机变量的和建模时所起的作用一样，对区组最 大值建模，极值理论也扮演了同样重要的角色，它告诉我们区组最大值的 极限分布是什么样的“” 极值理论曾经是一个引起不少统计学家注意的问题，他们主要研究了 以下两个问题t 究竟有哪些分布可以作为极值分布；收敛到某个特定的极 值分布的条件是什么? 极值类型定理回答了前一个问题，后一个问题称之 为极值分布的最大值吸引场条件 2 1 极值分布的类型及其性质 设置，恐，是独立同分布的随机变量，分布函数为f ( z ) ( 称为底分布) ， 对自然数令 = m a x x l ，矗) ，m n = r a i n x 1 ，)( 2 1 ) 分别表示n 个随机变量的最大值与最小值，则 p r ( m n 霉) = p r ( x 1s ，z ) = f “( 茁) ，z r ， p r ( m n sz ) = 1 一p r ( m 。z ) = 1 一f l f ( z ) 】n ，r ， 这里r 表示所有实数集合如果已知分布函数f ( z ) ，就可以根据上式，精确 地求出最大值和最小值的分布函数但在应用中，f 往往是未知的，因此 很难直接用于统计分析所以，我们需要研究最小值m 。和最大值的极 限分布，它有很重要的理论和实际意义若记 a = 。：o f ( 茹) 1 ， 。+ 。骝a ， 。，2 翳a ， 称集合a 为分布f 的支撵，善。和z 。分别为分布f 支撑的上端点和下端点 显然对所有乳s 。 矿，都有 p r ( m n z ) = j 叽( z ) 一0 ， 佗一o o 如果f 的上端点矿有限，即矿 o ) 和 k ) ，使得 熙p r ( 必a n 茹) - 日( 巩z r ( 2 2 ) n 耐。 成立，其中- ( z ) 是非退化的分布函数，那么口必属于下列三种类型之一， i 型分布：h 1 ( 茹) = 唧 一e “ ， 一 o ； i i i 型分布：h 3 ( z ；口) 其中i 型分布称为g u m b e l 分布，i i 型分布称为f r 6 c h e t 分布，i i i 型分布称为 w e i b u l l 分布，这三种分布统称为极值分布( e x t r e m e v a l u ed i s t r i b u t i o n ) 当。= 1 时，h 2 ( z ；1 ) ，h 3 ( z ；1 ) 分别称为标准p r 6 c h e t 分布与标准w e i b u l l 分布，称口。，6 n 为规范化常数 极值类型定理说明，如果经线性变换后，对应的规范化变量蟛= ( m n k ) 依分布收敛于某一非退化分布，那么，不论底分布f ( 霉) 是何种 形式，这个极限分布必定属于极值分布的三种类型之一证明参见 14 】 从模型的角度来看，三种极值分布类型h i ( z ) ，h 2 ( z ；n ) 和h 3 ( x ；o t ) 完全不 同，但从数学的角度来看，它们之间却存在着非常密切的关系事实上，可 以直接验证下面的结论；设x 0 ，则 x 一- 2 甘l o g x o h 1 甘一x 一1 一凰 因此在某些场合，为方便起见，我们可以假定其中的任意类型的极值分布 极值分布的最大值稳定性 定义2 1对于给定的分布函数f ( z ) ，如果存在序列 o 。 o ) ， k ，使得 j 仉( z + b n ) = f ( z ) ， 5 0a 0 0 z z 、， 口 、， 一 ，l 一 ，【 p 既 l ，il，、ll 第二章一元极值理论 则称分布函数f ( 。) 是最大值稳定的( m a x - s t a b l e ) 由定义2 1 知，若f ( z ) 是最大值稳定的，则相应的m n ( 经过适当规范化) 的分布仍然是f ( 霉) 对于极值i 型分布，取a n = 1 ，k = l o g ，不难验证 丑 p + l o g 砷= 风( 功 所以，极值i 型分布是最大值稳定分布 同理，对于极值i i 型和i i i 型分布，分别取a n = n 1 a ，k = 0 和a n = n a ，k = 0 ，有 丑罾( n 1 。x ；o t ) ：；h 2 ( z ；口) ，日孑( n 一1 “。；c ) = h 3 ( x ；) 所以，极值i i 型分布和极值i i i 型分布也都是最大值稳定分布 事实上，有进一步的结论：一个分布函数f ( z ) 是最大值稳定分布当且 仅当f ( z ) 是三种极值分布之一( 证嘎参见i l5 】定理3 2 2 ) 极值分布的密度函数 容易求得三种类型极值分布的密度函数分别为； h i ( x ) = e - x h t ( z ) ， 一o 。 茹 0 ； 3 ( z ；o t ) = q ( 一z ) a - - 1 h 3 ( x ；。) ， z 0 这三个密度函数都是单峰函数，即存在一个点当z “时，密度函数是非增的它们的图像如图2 1 所示 可见，当z 一+ o 。时，极值i 型分布的密度函数呈指数趋势下降，而极 值i i 型分布的密度函数呈多项式趋势下降，极值i i i 型分布具有有限的上端 点值得注意的是，极值i 型分布的密度函数和极值i i 型分布的密度函数向 右偏极值i i i 型分布的密度函数具有性质t( 1 ) 当o t 3 6 时，密度函数向 右偏 如果引进位置参数( 1 0 c a t i o np a r a m e t e r ) p 和尺度参数( s c a l ep a r a m e t e r ) 口， 则三种类型的极值分布函数为： 6 第二章一元极值理论 图2 1 ：极值分布的密度函数 7 第二章一元极值理论 日1 ( o ；p ， = 哪 - e 一孚) ， 兰球 凰慨p ，乃q ) = 一o o “ 一 一( 一等) 。) ，z “ 。 o z p ； = h i ( 警) 归， 一o o 。眨s ， 来表示，其中“f r ，口 0 称日为广义极值分布( g e n e r a l i s e de x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n s ) ，简记为g e v 分布，f 为形状参数( s h a p ep a r a m e t e r ) 当f 0 时， 取n = 1 膳，则日( g p ，吼) 表示极值i i 型分布，其位置参数和尺度参数分别为 p a o 和a a 当= 0 时，它表示极值i 型分布，这是因为l 妇卜0 日( 叫p ，口，f ) = 凰 ；“口) 当f 0 ，当z 一+ 时，分布以z _ n 形式趋于0 ，因此分布的尾都较长；当= 0 时，分布的尾部呈指数状e ”；当f 2 4 ) 特别当p = 0 ，= 1 时，称为标准广义极值分布，其分布函数与密度函数分 别为 盯 ；f ) = e x p 一( 1 + 如) - 1 ，1 + f 茹 0 ， ( 2 5 ) 扛；) = ( 1 + f z ) 一( 1 + i 0e x p f 一( 1 + 扣) 一1 戌1 ， 1 + z 0 ( 2 6 ) 当f = 0 时， 日 ) = e x p - e “，( 2 7 ) 第二章一元极值理论 ，l ( z ) = e x p ( 一。一e - - x ( 2 8 ) 显然，如果x 一日( 。；p ，以f ) ，则标准化变量( x p ) 归一日( 。，f ) 将三种极值分布类型统一成一种分布，有利于统计分析通过对形状 参数f 的推断，就能确定恰当的极值分布类型为方便起见，重述修正后的 定理2 1 定理2 2设，是独立同分布的随机变量序列，如果存在数列 0 ) 和 k ，使得( 2 2 ) 成立，那么非退化分布日是定义在扣：1 + 缸 0 ) 上的g e v 分布( 2 5 ) 2 2 极值分布的最大值吸引场 定理2 1 告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，如果规范化最大 值分布的极限存在，那么，该极限分布一定是三种极值分布之一下面要讨 论的是，对给定的极值分布日( 2 ) ，底分布函数f ( z ) 应满足什么条件，才能保 证规范化最大值变量依分布收敛于日( z ) ? 定义2 2设置，是独立同分布的随机变量序列，分布函数为f ( 。) ， 对由( 2 1 ) 定义的，如果存在常数列 0 ) ， h ) ，使得 ，甄p r ( 丝毫导s 0 = ，熙p ( z + k ) = 日( z ) 成立，则称随机变量x ( 或x 的分布函数f ) 属于极值分布日( z ) 的最大值 吸引场( m a x i m u md o m a i no fa t t r a c t i o n ) 记作x m d a ( h ) ，或f m d a ( h ) 定理2 3如果存在实数列 o ) ， k ) ，当n o o 时，对所有的。r ， 有 礼f ( z + b n ) 一“( z ) ，( 2 9 ) 当且仅当 p r ( m n sa n x + k ) 一e 1 ( “， ( 2 1 0 ) 其中f ( z ) = 1 一f ( z ) 为x 的生存函数，它表示分布f ( z ) 的尾部 证明见【1 5 第三章根据定义2 2 和定理2 3 易推得下面的定理 定理2 4如果存在常数列 n 。 o ) ， k ) ，使得 0 粤坠”f ( z + b n ) = 一l o g h ( z ) ，( 2 1 1 ) 9 第二章一元极值理论 当且仅当分布函数fe m d a ( h ) 当h ( x ) = 0 时，( 2 1 1 ) 的右边解释为o 。 由定理2 4 可得；指数随机变量属于极值i 型分布的最大值吸引场； c a u c h y 分布属于极值i i 型分布的最大值吸引场；均匀分布属于极值i i i 型分 布的最大值吸引场 要特别注意的是，上述推导过程中数列 o ) ， k ) 的选择并不是唯 一的如果选择不同的数列，就可能得到不同的极限分布，但这些分布之间 具有一定的关系，下面的定理陈述了这种关系 定理2 5 如果存在数列 o ) ， k ) 和 o ) ， 矗) ，使得 1 i mp r ( 肘i a n x + k ) = 日 ) ， 一r h mp r ( m n c n x + d ，i ) = h ( z ) 一1 - w 则存在常数a 0 ，b 使得 日+ 0 ) = h ( a x + b ) 这时称分布函数h ( x ) 和日4 ( z ) 是同类型的 定理2 5 的证明参见【1 4 】该定理说明，尽管数列 0 ) ， k ) 有各种不 同的选择，但极限分布必定属于同一类型如果两个分布函数是同类型的， 就认为这两个分布函数的吸引场是等价的因此，只要找到一组数列，求得 螈的极限分布，即可确定底分布所在的吸引场下面分别讨论三种极值分 布类型最大值吸引场的充要条件 g u m b e l 分布h l ( x ) = e x p 一e “) 的最大值吸引场 g u m b e l 分布日1 的最大值吸引场包括相当广泛的一类分布函数f ，根据 泰勒展开式，当z o o 时， 因此_ 1 ( z ) 依指数速度趋于零，我们将会看到，m d a ( h 1 ) 包括的分布函数 有非常不同的尾部首先考虑吸引场m d a ( h 1 ) 中的绝对连续函数，它有一 个由v o nm i s e s 提出的比较简单的表示形式，这些分布是构成日，的最大值 吸引场的重要部分 1 0 第二章一元极值理论 定义2 3设f 是分布函数，上端点矿o o ，若存在某个： 矿，使得f 有表达式 节- - - - - c 唧 一z 5 击d t ) ， 矿( 2 1 2 ) 其中c 是正常数，b ( ) 是正的绝对连续函数，密度为，且l i 弛。z a l ( x ) = 0 则称f 为v o nm i s e s 函数，函数口( ) 为f 的辅助函数( a u x i l i a r yf u n c t i o n ) 定理2 6如果分布函数f ( 。) 是v o nm i s e 8 函数，则f m d a ( h 1 ) ，且规 范化常数可取为 b 。= f _ 1 ( 1 一r t - 1 ) ，a n = 口( b n ) ，( 2 1 3 ) 其中n ( z ) 为f ( z ) 的辅助函数 证明见【1 翻第三章 定理2 7设分布函数f ( z ) 的上端点矿o o ，则f m d a ( h a ) 当且仅当 存在z o 此时规范化常数可取为b n = f _ 1 ( 1 一, r t - a ) ，a n = a ( b 。) 证明见 16 】 定理2 8设分布函数f ( 司的上端点矿，当t 矿时，定义 n ( t ) = ( 1 一f c t ) ) 一1 ( 1 一f ( z ) ) d 。 ( 2 1 4 ) 则f ( ) m d a ( h t ) 当且仅当存在有限的o 矿，使得 ( 1 一f ( ) ) d z o ， 6 n ) 可取为 6 h = i n f z ：1 一f 扛) s 1 几) = f 一1 ( 1 一n - 1 ) ，a n = n ( k ) ( 2 1 7 ) 】1 第二章一元极值理论 证明见【1 7 】第二章 定义2 4设f 和g 是两个分布函数，如果它们有相同的上端点矿，且 粤器一c ，罢赢刮， 其中0 0 ) 的正则变化( r e g u l a r l yv a r y i n gw i t hi n d e x o ) ，并记 作f 冗一。特别当a = 0 时，称f 为缓慢变化函数( s l o w l yv m y i n gf u n c t i o n ) ， 并记作f 冗0 一般地，如果f 是指标为一。陋 0 ) 的正则变化函数，则存 在缓慢变化函数l ( z ) ，使得f ( z ) = z ”l ( 。) 第二章一元极值理论 定理2 1 0设分布函数f ( z ) 的矿= + ，则f ( x ) e m d a ( h 2 ( x ；q ) ) 当且仅 当存在常数q 0 ，使得对任何。 0 ，都有( 2 1 8 ) 成立，即f 冗一。 如果f ( z ) m d a ( 日2 ( z ；a ) ) ，则规范化数列 d f i o ) ， h 可取为 a n = i n f x ：1 一f 0 ) s 1 n = f 一1 ( 1 一i , l - 1 ) ， k = 0 ( 2 1 9 ) 证明见f 1 7 】 定理2 1 1分布函数f ( z ) e m d a ( h 2 p ；) 当且仅当户p ) = x - a l p ) ，其 中l ( 。) 为缓慢变化函数 定理2 1 0 给出的充分必要条件( 2 1 8 ) 不易验证，v o n m i s e s 找到了比较 容易验证的充分条件 定理2 1 2设f ( $ ) 是绝对连续分布函数，对应的密度函数为，( z ) ，如果 熙搿= a o ，( 2 2 0 ) 那么f m d a ( h 2 ( 弼a ) ) 定理证明参见【1 5 】 定理2 1 3 设f , g 是分布函数，z ；= z 各= + o 。，并且对规范化常数 a n o ，f m d a ( h 2 ( z ；a ) ) ，即 ，觇p ( z ) 2 日2 ( 为a ) ，霉 0 那么对某个c 0 ， l i mg 叽( z ) = 2 ( 凹；a ) ， 刃 0 ， 当且仅当分布f 和g 的尾部等价，且 舰器以 定理证明参见【15 】 w e i b u l l 分布h 3 ( x ；n ) = 既“一( 一) 。) 的最大值吸引场 由于凰与玩之间存在非常密切的关系：h 3 c x - 1 ；。) = t t 2 ( z ；q ) ，因此可 以预料在各自的最大值吸引场m d a ( h 2 ) 与m d a ( h 3 ) 之间也有紧密的关系 类似于定理2 1 0 ，下面的定理给出了fe m d a ( h 3 ) 的充要条件 1 3 第二章一元极值理论 定理2 1 4设分布函数f ( 霉) 的上端点矿 o ) ， k ) 可取为 a n = z + 一f 一1 ( 1 一n 一1 ) ，6 n = z ( 2 2 1 ) 证明参见【1 7 】 定理2 1 5设f ( z ) 是绝对连续分布函数，对应的密度函数，( z ) 在有限 区间( z ，矿) 上取正值，如果 粤错= 刚，( 2 2 2 ) 那么f m d a ( 凰( g o ) ) ，且可取a 。= z + 一f 一1 ( 1 一n - 1 ) ，k = 矿 。 定理2 1 6设f , o 是分布函数，上端点矿相等且有限，若f m d a ( h 3 ( x ；o e ) ) 即存在规范化常数a n 0 ，使得 l i m 。p ”( c h z + 茹+ ) = h 3 ( z ；口) ， 霉 0 ， l i r ai ：( 6 茹+ z + ) = 凰( c z ；o ) ， z 0 ( 2 2 3 ) 定理2 1 7 对r ，以下条件是等价的： ( a ) f m d a ( h ( x ；) ) ； ( b ) 存在一个正的( 可测) 函数o ( ) ( 参见【1 8 ) ，使得对14 - 和 0 。1 i m 。掣= 竺：5 。一1 店霎；兰：c z z t ， 第二章一元极值理论 熙端2 朦篡 z s ， 这里e = 0 解释为f 一0 证明见【1 5 】第三章 如果随机变量x 的分布函数f m d a ( 日( 奶f ) ) ，那么由( 2 2 4 ) 恕p r ( 寄刈) = 钽广v 黧主 仁z 。， 这就是说，在条件x i , 下，规范化随机变量一t ) n ( u ) 的分布极限为 ( 1 + f z ) - 1 膳或e 一，这个解释在许多应用中有重要的意义 定理2 7 、2 1 0 和2 1 4 分别为三种极值分布的规范化数列 n 。) 和 h ) 的选择提供了一种方法，但结果不是唯一的，甚至不能说是最简单的无论 如何，我们为所有情况提供了统一计算规范化数列的公式表2 1 ，2 2 和2 3 给出了常见分布所属的最大值吸引场以及规范化常数 2 3 和稳定分布 前两节讨论了最大值的非退化极限分布，下面将介绍随机变量和的非 退化极限分布，这是概率论的一个经典问题，即中心极限定理上世纪的许 多著名概率论专家lk h i n c h i n ，m k o l m o g o r o v ，g n e d e n k o ，f e l l e r 等人为完成 这个结论做出了贡献，找到了一种很重要的分布一和稳定分布首先介绍 和稳定分布的基本概念以及判断一个分布属于和稳定分布族的方法然后 讨论和稳定分布的吸引场 和稳定分布 定义2 6设x ，x 1 ，恐为独立同分布的随机变量，如果对于所有非负实 数c 1 ，c 2 和适当实函数a ( c l ，c 2 ) o , b ( c l ，c 2 ) ，满足 c 1 蜀+ c 2 x 2 皇a ( c 1 ，c 2 ) x + 6 ( c 1 ，c 2 ) ，( 2 2 7 ) 则称随机变量( 或分布) 为和稳定的( s a ms t a b l e ) 符号兰表示等号两边的随 机变量具有相同的分布函数 1 5 第二章一元极值理论 g u m b e l 分布 皿( 。) = e * p - - e 叫) ，。r f m d a ( 凰) 矿s ，f ( z ) f f i e ( ：o p - e 辩d r ) ，： 0 指数型尾部 a n = a ，6 ，l = a “1 0 9 ( m ) w e i b u l l 型尾部 f ( z ) 脚4 e 印 一c z 7 ) ，片，e ，r 0 ，n r a n = ( c r ) 一1 ( e - 1l o g n ) 1 ”1 ， 6 ，i = ( c 一1l o g n ) 1 7 + l r ( e - 1 l o g n ) 1 7 。1 导l o g ( e 4 l o g n ) + 平) g l n l m a 分布 ，( z ) = 晶矿_ 1 e - 缸，z o ，卢 0 o t 。= 卢一1 ，k = 卢一1 ( 1 0 9 n + ( a 一1 ) l o g l o g n l o g r ( o ) ) 正态分布 p ( ) = 去e - = 。2 , z r “= ( 2 l o g n ) 一1 胆，h = 惭一_ j l o g ( 蕊4 ”) + 矿l o g l o g 对数正态分布 ，( z ) = 蔼i 瓦。一1 ”4 一”。7 2 ”，z o ，p 皿，口 0 = a ( 2 l o g n ) 一1 2 k ， b 。= 唧 p + a ( 厕一1 l o g ( 两4 。) + 矿i o e l o g n ) ) f m c h e t 分布 h 2 ( z ；o ) = e x p - - 。) ，z 0 ，a 0 f m d a ( 9 2 ( z ；口) ) 矿= o o ，f ( z ) = r 。l ( 。) ，l 扁 的充耍条件 规范化常数d 。亍f 一1 ( 1 一n 一1 ) ，k = 0 极限分布l i m p r ( “口n $ ) = 日2 扛；n ) 例子 ，( ) = ( f ( 1 + z 2 ) ) ，z r c a u c h y 分布 i 口n = n 丌 p a r e t o 分布 ( z ) 一w 一，k ，o t 0 b u r r 分布 “= ( m ) 1 。 稳定分布( q 1 ，o ，卢 0 对数g a m m a 分布 “= ( 南( 1 0 9 n ) 一n ) v 。 1 6 第二章一元极值理论 w e i b u l l 分布 风扛；口) = 戗p 一( 一。) 4 ， 0 f m d a ( 王3 ( n ) ) 矿 0 律的分布= ( m ) 一“，6 l = 矿 f c x ) = 击格z ”1 ( 1 一z ) “1 ，0 0 和k 以及x