（应用数学专业论文）mhdα方程与boussinesq类方程的研究.pdf

摘要 本文主要研究如下几类非线性发展方程：m h d - a 方程，b o u s s i n e s q 方程，广 义b o u s s i n e s q 方程，以及n e w t o n - b o u s s i n e s q 方程，共分四章 在第一章，我们考虑磁流体动力学中m h d - a 方程在不可压条件下的c a u c h y 问题，其中2 d 的m h d a 方程为 侥u + t i v + 口v u p w = b v b v p 一；v w l 2 ， a b 一7 7 b = b v u u v 男， = ( 1 一口2 ) u ，a 0 ， v 缸= v b = v u = 0 ，( z ，t ) r 2 ( 0 ，o o ) ， u ( x ，0 ) = 咖，b ( z ，0 ) = b o 对于这类问题，最关键的是要得到速度函数的先验估计式以及如何构造适当的解 的函数空间我们首先运用l i t t l e w o o d - p a l e y 理论与b o n y 的仿积分解技术，通 过建立能量衰减估计，得到了该方程在分数阶s o b o l e v 空间中整体解的存在性与 唯一性；进一步地，我们得到，当参数理_ 0 时，二维不可压m h d - a 方程退化为 相应的m h d 方程，且m h d q 方程的解收敛为相应m h d 方程的弱解需要指 出的是，在本章主要定理的证明过程中构造的迭代格式，为m h d q 方程在进行 算法设计方面的进一步研究奠定了基础 在第二章，研究b o u s s i n e s q 方程的正则性问题，其中3 d 的b o u s s i n e s q 方程 形式如下： 0 , u + ( u v ) u p 乱+ v p = 口e 3 ，( z ，亡) r s ( 0 jo o ) ， 侥p + ( 钍v ) 0 一k p = 0 ， v 牡= 0 u ( x ，0 ) = 咖，o ( x ，0 ) = 如 同样地，这里的关键也是如何得到速度函数的先验估计式我们通过建立不同函 数空间中的先验估计武，得到了一系列该方程的正则性准则，具体为：首先给出了 该方程在不可压条件下的对数型正则性准则与s e r r i n 类正则性准则；其次，建立 了该方程在m u l t i p l i e r 空问中的正则性准则；最后，利用l i t t l e w o o d - p a l e y 理论与 b o n y 的仿积分解技术，得到该方程在非齐次b e s o v 空间意义下的一个正则性准 则 第三章考虑广义b o u s s i n e s q 方程的正则性问题，其中3 d 的广义b o u s s i n e s q 方程如下： a 牡+ ( 缸v ) u + u ( - a ) a t + v p = 0 e 3 ，( z ，t ) r 3 ( 0 ，o o ) ， 侥p + ( u v ) e + k ( 一) 卢p = 0 ， v 牡= 0 牡( 。，0 ) = u o ，p ( z ，o ) = e o 对于该问题，难点是如何处理分数次指标为此，我们通过建立先验估计式以及运 用s o b o l e v 嵌入定理，得到该方程的一个正则性准则 在第四章，考虑n e w t o n - b o u s s i n e s q 方程的正则性问题，其中2 d 的n e w t o n - b o u s s i n e s q 方程为： o t c u r l u + ( 牡v ) c u r t u a c u r l u = 鲁优订( 伊e 2 ) ，( z ，t ) r 2 ( o ，。o ) ， o t o + ( 牡。v ) e 一去p = o ， v 仳= 0 仳( z ，0 ) = 乱o ( z ) ，p ( z ，0 ) = 如( z ) 对于二维情形，难点是如何处理旋度和梯度的关系利用交换子估计，我们得到在 不可压条件下该方程的一个正则性准则 关键词：m h d a 方程，b o u s s i n e s q 方程，广义b o u s s i n e s q 方程，n e w t o n - b o u s s i n e s q 方程，正则性准则，c a u c h y 问题 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ew i l ls t u d yt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re v o l u t i o n a r ye q u a - t i o n s ：2 dm a g n e t o h y d r o d y n a m i c o l ( m h d - q ) e q u a t i o n s ，3 db o u s s i n e s qe q u a t i o n s ， g e n e r a l i z e d3 db o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，2 dn e w t o n - b o u s s i n e s qe q u a t i o n s t h i s t h e - s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h e2 di n c o m p r e s s i b l e m h d qe q u a t i o n s t h e2 dm h d - qe q u a t i o n sa r ea sf o l l o w s ： a + t v v + 口v u p 秽= b v b v 尸一v i b l 2 ， o r b 一7 7 b = b v u u v b ， u = ( 1 一o t 2 ) 钍，q 0 ， v t = v b = v = 0 ， ( z ，t ) 取2 ( 0 ，o o ) ， u ( z ，0 ) = u o ，b ( x ，0 ) = b o ( 1 ) t h ee s s e n t i a lp o i n ti st oo b t a i ns o m ep r i o re s t i m a t e so ft h ev e l o c i t ya n dc o n s t r u c t t h ep r o p e rf u n c t i o ns p a c eo fs o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m i nt h i sc h a p t e r ，b yv i r t u e o fl i t t l e w o o d - p a l e yt h e o r ya n db o n y sp a r a d i f f e r e n t i a lt e c h n i q u ea n du s i n gt h e l o s i n ge n e r g ye s t i m a t e s ，w eo b t a i nt h eg l o b a ls o l u t i o nf o rt h e2 di n c o m p r e s s i b l e m h d 仅s i m u l a t i o nm o d e li nt h ef r a c t i o n a li n d e xs o b o l e vs p a c e ，a n dp r o v et h a t t h ei n c o m p r e s s i b l em h d qe q u a t i o n sr e d u c et ot h ei n c o m p r e s s i b l eh o m o g e n e o u s m h de q u a t i o n sa so l 一0 a n dt h es o l u t i o no fm h d ae q u a t i o n sw i l lc o n v e r g et o t h ew e a ks o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gm h de q u a t i o n s m o r e o v e r 。i ti sc o n v e n i e n t t oc o n s t r u c tan u m e r i c a la l g o r i t h mb a s e do na ni t e r a t i o ns c h e m ei no u rp r o o f i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h e3 db o u s s i n e s qe q u a t i o n s t h e3 d b o u s s i n e s qe q u a t i o n sa r ea sf o l l o w s ： 侥让+ ( 让v ) u p t + v p = o e 3 ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，o o ) ， 鼠护+ ( v ) 0 一k 口= 0 ， v t = 0 u ( x ，0 ) = 伽，o ( z ，0 ) = o o i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i ns o m er e g u l a r i t yc r i t e r i ai nd i f f e r e n tf u n c t i o ns p a c e s t h e e s s e n t i a lp o i n ti st oo b t a i ns o m ep r i o re s t i m a t e so ft h ev e l o c i t yf o rt h ep r o b l e m ( 2 ) u 1 s o ，w eo b t a i nt h ed i f f e r e n tr e g u l a r i t yc r i t e r i ab yc o n s t r u c t i n gt h ec o r r e s p o n d i n g p r i o re s t i m a t e si nd i f f e r e n tf u n c t i o ns p a c e s f i r s t l y , w eo b t a i nal o g a r i t h m i cc r i t e - r i o na n ds o m es e r r i n t y p er e g u l a r i t yc o n d i t i o n so ft h ep r o b l e m ( 2 ) ；s e c o n d l y , w e g e ts o m er e g u l a r i t yc o n d i t i o n so ft h ep r o b l e m ( 2 ) i nt h em u l t i p l i e rs p a c e ；f i n a l l y , w eo b t a i nar e g u l a r i t yc o n d i t i o no ft h ep r o b l e m ( 2 ) b ym e a n so ft h el i t t l e w o o d - p a l e yt h e o r ya n db o n y sp a r a d i f f e r e n t i a lc a l c u l u s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h e3 dg e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o n s u n d e rt h ei n c o m p r e s s i b i l i t yc o n d i t i o n ，t h e3 dg e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o n s a r e 鹪f o l l o w s ： a u + ( t v ) u + p ( 一) a u + v p = o e s ， a 伊+ ( “v ) o + k ( 一) 卢口= 0 ， v 牡= 0 u ( x ，0 ) = l t o ，口( 。，0 ) = o o ( z ，t ) r 3 ( 0 ，o 。) ， 【3 ) t h ed i f f i c u l t yi st od e a lw i t ht h ef r a c t i o n a li n d e xf o rt h ep r o b l e m t oo v e r c o m e t h i s b yc o n s t r u c t i n gs o m ep r i o re s t i m a t e sa n du s i n gt h es o b o l e v st h e o r e m ，w e o b t a i nar e g u l a r i t yc r i t e r i o no ft h ep r o b l e m ( 3 ) i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h e2 dn e w t o n - b o u s s i n e s qe q u a t i o n sw i t h t h ei n c o m p r e s s i b i l i t yc o n d i t i o n t h e2 dn e w t o n = b o u s s i n e s qe q u a t i o n sa r ea sf o l - l o w s ： i nt h e2 dc a s e ，t h ed i f f i c u l t yi st od e a lw i t ht h er e l a t i o nb e t w e e nt h ev o r t i c i t y a n dt h eg r a d i e n t i nt h i sc h a p t e r ，b yu s i n gt h ec o m m u t a t o re s t i m a t e ，w eo b t a i na r e g u l a r i t yc r i t e r i o no ft h ep r o b l e m ( 4 ) k e y w o r d s ：m a g n e t o h y d r o d y n a m i c s - ae q u a t i o n s ，b o u s s i n e s q e q u a o t i o n s ，g e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，n e w t o n - b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ， r e g u l a r i t yc r i t e r i o n ，c a u c h yp r o b l e m 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：石 军 日 期：艺小犀6 目箩b 中山大学博士学位论文使用授权书 本人完全了解中山大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆，院系资料室被查阅，有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印，缩印或其他方法保 存学位论文 本学位论文属于( 请在以下相应方框内打”) ： 保密口，在年解密后适用本授权书 不保密影 作者签名： 导师签 石p日期：加。年6 月f 日 a 鞭：矽t 萨岳旯5 日 前言 本文研究如下几类非线性发展方程：= 维m a g n e t o h y d r o d y n a m i c - a ( m h d - a ) 方程，三维b o u s s n i e s q 方程，三维广义b o u s s i n e s q 方程，二维n e w t o n b o u s s n i e s q 方程这几类非线性发展方程其物理背景都具有流体动力学的特征流体动力学 是流体力学的一个重要分支，其研究的对象是运动中的流体( 包括液体和气体) 的 状态与规律，按研究对象可分为空气动力学和液体动力学流体动力学有着诸多 应用，例如，天气的预测，星际气体的演化，图像的修复等方面都可以用流体动力 学的相关知识来解释因而本文研究的这几类非线性发展方程在数学理论和实际 应用等方面都有着重要意义 下面简单介绍与本文研究相关的最新进展并简要给出本文的研究结果 o 1 二维m h d q 方程 考虑二维不可压m h d 位方程的c a u c h y 问题： 侥 + 牡- v + v u p a y = b v b v p 一v l b l 2 ， 0 , b q a b = b v u t l v b = ( 1 一口2 ) 饥，口 0 ， ( 0 1 1 ) v t = v b = v u = 0 u ( 。，0 ) = u o ，b ( x ，0 ) = b o ， 其中p 表示压强；钍和b 分别表示流体的速度以及磁通量；肛为粘性系数，叼 0 为磁扩散率；u o ，b o 分别为乱，召在t = 0 时初值且满足v u o = v 玩= 0 ；常数 q 0 为表示过滤宽度的尺度参数若肛= 叩= a = 0 ，问题( o 1 1 ) 从形式上则 为理想的m h d 方程 关于m h d 方程的研究近年来已有很多研究进展，可参阅文献 1 9 ，2 7 ，2 8 ，5 2 ， 6 4 ，6 5 1 维齐次不可压m h d 方程具有如下形式： v b ( o 1 2 ) b = 卵 仉剐肚 外 币 勺 铲 l 斗 v u 砸 柚 扎 册 ” 让 乱 = 札 一一 u 口 一 a 侥 v 2前言 其中p 表示压强；钍和b 分别表示流体的速度以及磁通量；p 为粘性系数，t 7 0 为磁扩散率然而，在r e y n o l d s 数比较大时，通过分析的方法或直接进行数值模 拟计算来研究m h d 方程( 0 1 2 ) 的湍流行为比较困难c h e n ，f o i a s ，h o l m ，o l s o n ， t i t i 与w y n n e 等f 3 3 - 3 5 1 构造了n a v i e r - s t o k e s - 口方程( 以及粘性c a m a s s 孙h o l m ( v c h ) 方程与l a g r a n g i a n - a v e r a g e dn a v i e r - s t o k e s - a ( l n s - a ) 方程) 作为管道湍 流( t u r b u l e n c e ) 的闭合模型( c l o s u r em o d e l ) 受此启发，h o l m 【7 1 】将该方法用于 研究非耗散的m h d 方程，并将得到的模型称之为m h d o t 方程；并且类似的方 法还用于研究b u r g e r s 方程，可参阅文献i 0 6 利用h a m i t o n i a n 原理，可得如下 m h d a 方程( 可参阅文献f 7 0 ，8 3 1 ) ： 侥 + t v u + t ，- v u p 移+ v p + v i 鼠1 2 = 鼠v 写， b 玩+ t v b b s v u 一, j a b = 0 ， t ，= ( 1 一a 2 a ) u ，b = ( 1 一咤) 玩，a 0 ， 0 ， ( 0 1 3 ) v 让= v b = v 玩= v 秒= 0 ， u ( x ，0 ) = 咖，b ( x ，0 ) = b o ， 其中乱和玩分别表示未知的过滤流体速度和磁通量；q 0 和o t 仇为表示过滤宽 度的尺度参数模型( o 1 3 ) 比( o 1 2 ) 具有更高的正则性当参数o t o ，o ，m = 0 时，由( o i 3 ) 可从形式上得到齐次不可压方程( o 1 2 ) ，这表明( 0 1 3 ) 的解可用来 模拟( 0 1 。2 ) 的解。由于对磁场过滤( f i l t e r i n gt h em a g n e t i cf i e l d ) 相当于引入双曲 扩散项一7 7 q 象2 b 。，而实际上，只需过滤速度场即可，即令口m = 0 因此，考虑正 则化模型( 0 1 1 ) 即可在周期边值条件下，l i n s h i z 与t i t i 得到了三维m h d a 方 程( o 1 1 ) 整体光滑解的存在唯一性，以及当q _ o 时，m h d 口方程的解( ，鼠) 收敛于m h d 方程的解( u ，b ) 本文考虑二维m h d a 方程( o 1 1 ) 的c a u c h y 问 题对于全空间情形，我们得到m h d q 方程( 0 1 1 ) 整体光滑解的存在唯一性，以 及当q _ o 时，m h d a 方程的解( ，风) 收敛于m h d 方程的解( u ，b ) 我们 的主要结果为： 定理o 1 1假设s 1 ，u o h 8 + 2 ( r 2 ) ，b o 日8 + 1 ( r 2 ) 则c a u c h y 问题 ( o 1 1 ) 存在唯一光滑解( 钍，b ) ，满足 让l o o ( 【o ，o 。) ；h 5 + 1 ( r 2 ) ) nl 2 ( 【o ，o o ) ；h 5 + 2 ( r 2 ) ) ， b l ( 【o ，o o ) ；h 8 + 1 ( r 2 ) ) nl 2 ( 【o ，o o ) ；h 8 + 2 ( r 2 ) ) 进一步地，解( t | ，b ) 连续依赖于初值( u o ，b o ) 0 2 b o u s s i n e s q 方程 3 另外，对于参数a 一0 时的情形，有如下结果成立： 定理o 1 2假设8 1 ，u o h 8 + 1 ( r 2 ) ，岛日卧1 ( r 2 ) ；，三乙，= ( 1 一a 2 ) 为问题( o 1 1 ) 的解则当参数口_ 0 时，存在子列 ) 使得 ( 钆a j ，b j ) g c 敛f f - ( 让，b ) l o o ( 【o ，刀；日件1 ( r 2 ) ) nl 2 ( 【o ，刁；h 8 ( 乎) ) ，其中( u ，b ) 为方程( o 1 2 ) 的解 o 2b o u s s i n e s q 方程 研究如下三维b o u s s i n e s q 方程： 0 t u + ( t v ) t 正一# a u + v p = o e s ， 侥护+ ( 牡v ) o k p = 0 ， ( 0 2 1 ) v 乱= 0 u ( x ，0 ) = u o ，p ( z ，0 ) = 0 0 ， 其中仳表示流体的速度，p 表示压强，0 为温度，p 为粘性系数，k 为热扩散系数， e 3 = ( 0 ，0 ，1 ) t ，u o 与6 l d 分别为在t = 0 时给定的流体初始速度与初始温度，且满 足v u o = 0 b o u s s i n e s q 方程不仅在大气科学中有着重要应用( 可参阅文献 8 5 1 ) ，而且在 地球物理科学中亦有着广泛应用( 可参阅文献f 9 6 】) 对于三维b o u s s i n e s q 方程， f a n 与z h o u 【5 4 】以及i s h i m u r a 与m o r i m o t of 7 4 分别考虑了光滑解的正则性 另外，关于n a v i e r - s t o k e s 方程的正则性问题已取得很多研究进展其中，s e r r i n 类 正则性准则引起了广泛关注，可参阅文献f 7 5 ，9 8 ，1 0 4 ，1 0 5 值得注意的是，c h a n 与v a s s e u rf 2 3 】以及z h o u 与l e i 【1 2 5 1 分别用不同方法得到了n a v i e r - s t o k e s 方 程的对数型正则性准则；随后，d u ，l i u 与y a o 4 6 1 得到了m h d 方程的类似结 果本文考虑三维b o u s s i n e s q 方程( 0 2 1 ) ，得到了该方程的对数型正则性准则以 及s e r r i n 类正则性准则，结果如下： 定理0 2 1 假设( u o ，0 0 ) 日3 ( r 3 ) ，( t l ，0 ) 为问题( 0 2 1 ) 在0 1 t 时的 光滑解若条件： j 厂。矗褊i vx 如 + o 。 h l ( e + lu i i b m d ) 成立，则解( u ，0 ) 在时刻t = t 处仍然是光滑的 4 前言 疋瑾u 么z 假设l 伽，j 1 - 1 i 腿。j ，l t ，伊j 刀h 趣z 上，隹usz f 町叼 光滑解若下列条件之一成立： a 出 + o 。，耋+ 石2 1 3 p + 。o ， z r 了南班 + 。o ，；+ 石2 1 ，3 p + o o ， z t 高班 慨厶锕乖习研两一一 m u l t i p l i e r 空间( 具体定义可参见0 5 节) 由l e m a r i 各- r i e u s s e t 【7 9 】在研究n a v i e r - s t o k e s 方程时引入f a n ，g a o 与g u o 【5 1 】得到了n a v i e r - s t o k e s - l a n d a u - l i f s h i t z 方程的光滑解在m u l t i p l i e r 空间中的正则性准则z h o u 与g a l af 1 2 8 】考虑了三 维m h d 方程在m u l t i p l i e r 空间的正则性问题本文考虑三维b o u s s i n e s q 方程 ( 0 2 1 ) 在m u l t i p l i e r 空间的正则性问题，所得结果如下： 定理o 2 3 假设流体的初始速度与温度( u o ，0 0 ) h 1 ( r 3 ) ，且( t ，口) 为问题 ( 0 2 1 ) 在0 t t 时的光滑解若下列条件之一成立： 钍三击( o ，t ；定( r 3 ) ) ，0 r 1 ， v u l 2 - 与( 0 ，t ；丘( r 3 ) ) ，0 盯1 ， 则解( t l ，口) 在时刻t = t 处仍然是光滑的 调和分析中的b o n y 的仿微分算子与l i t t l e w o o d p a l e y 理论以及b e s o v 空 间等微局部分析技术和函数空间理论已被广泛用于研究流体动力学方程，并得到 了一系列深刻的结果，可参阅文献【4 1 _ 4 5 】本文利用这些技术和方法研究三维 b o u s s i n e s q 方程( o 2 1 ) ，得到了如下关于正则性问题的结果： 定理o 2 4 假设流体的初始速度与温度( u o ，6 l o ) h 1 ( r 3 ) ，且( 让，秒) 为问题 ( 0 2 1 ) 在0 t t 时的光滑解若条件： t t l q ( o ，t ；磷，( r 3 ) ) 成立，则解( u ，6 1 ) 在时刻t = t 处仍然是光滑的，其中：+ ；= 1 + s ，南 p 0 0 ，- 1 5 1 ，且，s ) ( o 。，1 ) 0 3 广义b o u s s i n e s q 方程 5 o 3 广义b o u s s i n e s q 方程 研究如下三维广义b o u a s i n e s q 方程： a “+ ( t v ) t + u ( - a ) a 牡+ v p = 8 e 3 ， 况护+ ( t v ) e + k ( 一) 卢护= 0 ， v 钍= 0 u ( x ，0 ) = u o ，p ( z ，0 ) = 0 0 ， ( 0 3 1 ) 其中牡表示流体的速度，尸表示压强，护为温度函数，为粘性系数，尼为热扩散 系数，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ) t ，u o 与分别为在t = 0 时给定的流体初始速度与初始温度， 且满足v t | o = 0 广义b o u s s i n e s q 方程是将通常的b o u s s i n e s q 方程中的拉普拉斯算子一用 分数次拉普拉斯算子( 一) a 替换得到，这种研究分数次方程的方法可参见w h 【1 1 6 ，1 1 8 1 等人对广义m h d 方程的研究若a = = 1 ，广义b o u s s i n e s q 方 程( o 3 1 ) 即为通常的b o u s s i n e s q 方程( o 2 1 ) 对于方程( o 3 1 ) 在二维情形， x u 【1 2 0 】得到了整体光滑解的存在唯一性 本文考虑在0 q = p g 条件下三维广义b o u s s i n e s q 方程( o 3 1 ) 的正则 性问题，结果如下： 定理0 3 1 假设0 o = 卢 互3 ，流体的初始速度与温度( u o ，如) 日1 ( r 3 ) ， 且( 仳，0 ) 为问题( 0 3 1 ) 在0 t t 时的光滑解若v 札汐( o ，t ；弘( r 3 ) ) ，其 中 等+ 石3 2 q ，菘3 g + 。o ，p口 z 口 则解( 牡，0 ) 在时刻t = t 处仍然是光滑的 o 4n e w t o n b o u s s i n e s q 方程 研究二维n e w t o n b o u s s i n e s q 方程： o t c u r l u + ( 牡v ) c u r u a c u r l u = p m rc u 7 t ( o e 2 ) ， 侥p + ( 牡v ) p 一击p = m ( o 4 1 ) v - 钆= 0 t l ( z ，0 ) = ( z ) ，o ( z ，0 ) = 如( z ) ， 6前言 其中缸表示流体的速度，p 表示压强，0 为温度函数，心为r a y l e i g h 数，肼为 p r a n d t l 数，e 2 = ( 0 ，1 ) r ，u o 与6 l d 分别为在t = 0 时给定的流体初始速度与初始 温度，且满足v u o = 0 ，c u r l = ( 一0 2 ，a 1 ) g u o 【6 2 ，6 3 】运用谱方法与g a l e r k i n 方法讨论了二维n e w t o n b o u s s i n e s q 方程的周期初边值问题，得到了整体广义解 的存在唯一性，逼近解的收敛性与误差估计；p u c c i 与w a n g 以及s i n g h 【5 9 】得 到在二维管道流情形下整体吸引子的存在性与正则性结果而对于方程( o 4 1 ) 的c a u c h y 问题以及该方程的解是否存在爆破行为迄今未见讨论，本文讨论二维 n e w t o n - b o u s s i n e s q 方程在全空间上的正则性问题，得到了该方程的一个正则性 判别准则，结果如下： 定理0 4 1 假设0 a = l ，流体的初始速度与温度( u o ，6 1 0 ) 日1 ( 衅) ， ( 仳，0 ) 为问题( o 4 1 ) 在0 t 1 ，口 1 ，且；+ ：= 1 卸i 右 哪垡p + 为 q d 特别地，当p = q = 2 时，则有 哪譬+ 萎 口模的插值不等式 i l f l l 以易9 t l f t l 。，其中晏= 了1 - 0 + 芸 g a l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式假设t i i _ 2 ，d m t l q ，1 p ，口o o ，那么 对任意满足等式 吾= ( 1 - 篙+ 而i l 的r 及i ( 0 i m ) ，都有d 1 , ，且存在不依赖于u 的常数c 使得 d “f i c o 训i ，i - 杀。h d m 缸l i 秦 g r o n w a l l 不等式设( t ) 和夕( t ) 为【0 ，刀上的非负连续函数，且咖( t ) 在 【0 ，刁上可微若存在常数q 0 ，使得对任意的t 【0 ，刀，有 或等价地 则有 ( t ) a 0 ( t ) 4 - 9 ( t ) ， 酢) 椰) + z 。( 酬卅如) ) 机 矽( t ) e 。矽( 。) + 0 2 夕( 下) e a ( t r ) 打，z 。，7 1 0 5 2l i t t l e w o o d p a l e y 理论及相关知识 本小节介绍l i t t l e w o o d - p a l e y 理论及b e s o v 空间等相关知识在开始本小节 内容之前，我们需要说明的是，c 表示通有常数，asj 5 7 表示a c b ，a 召表 示a 焉召且b 毛a 8 前言 令s ( x n ) 为速降函数集合，其中n = 2 ，3 给定，s ( 时) ，f 的傅立叶变换 定义为 氘) 邛矿鼍上。e 嘞嘶) 缸 设召= f r n ，；) ，c = 毒r n ，i ；) 则存在两个分别定义在g ，c 上的径向函数z s ( x n ) ，矽5 ( 舻) 满足0 石 ) ，妒( f ) 1 ，以及 疋( 毒) + 矽( 2 一f ) = 1 ，f 舻； j 0 妒( 2 一) = l ，r n 一 0 - 歹z 若令h = 芦一1 妒，五= 芦一1 疋，则频率局部化算子定义为 今f = 砂( 2 一i d ) f = 2 n j h ( 2 j v ) f ( x y ) d y ， ，r 忭 岛，= z ( 2 一j d ) f = 2 町h ( 2 j y ) f ( x 一) 妇 ，r 7 1 非正式地讲，今将频率投影到环f 蚓) 上，岛将频率投影到球 蚓s2 j 上， 且有j = 岛一岛一1 而且，若，是己2 的，则在三2 的意义下，当j _ 一o o 时 岛，_ o ，当歹_ + 时岛，_ ，。于是，对任意，l 2 ，在三2 的意义下有如下 非齐次l i t t l e w o o d - p a l e y 分解成立： f = 籼f j = 一 如上所定义的二进分解具有很好的拟正交性，即，对于，g s ( a n ) ，有 厶今，兰0 ，若，i i 一引2 ； i ( s ；一l f a j g ) 三0 ， 若， l i 一引5 令s r ，佗维齐次s o b o l e v 空间可定义为 何8 ( r n ) = ，s 7 ( r n ) ；l i f l i h ( r n ) 0 假设s 8 1 或 s = 8 1 且g q t j , l 辛r 群，q ( r n ) q 群b ，( r n ) ( i i ) 若1 p p l 。o 且s = s 1 + n ( ；一击) ，则有睇，g ( r n ) q 睇冰r n ) 另外，我们给出如下b e r n s t e i n 不等式( 可参阅文献【2 4 1 ) ： 引理0 5 2令l p g 假设，汐( 科) ，则存在不依赖于，j i 的常数 e ，使得如下关系成立： s u p p c ：蚓2 j ) 茸i i ：l l n ，c 2 一j l n ls u pl i 扩，l i m i 卢l = f a l s u p p c 代：i f i 焉) = 净l l 萨f l l l 。g 2 j i o i + 可( ；一 ) l l f l l 工p o 5 3m u l t i p l i e r 空间 m u l t i p l i e r 空间由l e m a r i g - r i e u s s e t 引入( 可参阅文献 8 0 】) ，其定义如下： 定义令0 r 0 ，有 0 ，( 十x o ) l l x r = i i l l x , ， 1 o ，( 入) i l 瓢嘉i i 州矗 另外，需要说明的是，若( t | ，6 1 ) 为b o u s s i n e s q 方程的解，则( 坝，0 x ) 亦为该方 程的解，这里a 0 ，且( 可参阅文献 4 5 1 ) u ( z ，t ) 卜, x u ( x x ，a 2 t ) = 坝， o ( x ，亡) h 舻9 【蛔，舻t ) = 民 第一章二维m h d q 方程的柯西问题 本章我们考虑二维m h d - a 方程的柯西问题，得到了二维m h d 口方程在分 数次s o b o l e v 空间中整体解的存在性，并证明了当参数a 一0 时，不仅二维m h d - a 方程即为二维m h d 方程，而r - 维m h d q 方程的解收敛为相应的二维m h d 方程的弱解 1 1引言 本章我们考虑二维不可压m h d - a 方程： a u + t v v - 4 - 口v u 一弘t ，= b v b v p 一；v l b l 2 ， o , b 一卵j e 7 = b v u t v b ， = ( 1 一o f 2 l 、) u ，口 0 ，( 1 1 ) v t = v b = v u = 0 u ( x ，0 ) = u o ，b ( x ，0 ) = b o ， 其中p 表示压强；u 和b 分别表示流体的速度以及磁通量；弘为粘性系数，t 7 0 为磁扩散率；u o ，b o 分别为牡，b 在t = 0 时初值且满足v u o = v b o = 0 ；常数 q 0 为表示过滤宽度的尺度参数若p = 叩= a = 0 ，问题( 1 1 1 ) 则为理想的 m h d 方程 m h d 方程已经被许多作者进行了广泛的研究，可参阅文献 1 9 ，2 7 ，2 8 ，5 2 ，6 4 ， 6 5 1 维齐次不可压m h d 方程具有如下形式： l 侥钍+ t v u 一# a u + v p + v i b l 2 = b v b ， l o , b + u v b b v t 一r l a b = 0