7角平分线的性质.doc

角平分线的性质（1）【目标导航】1会用尺规作一个已知角的平分线，并能解释其原理2角平分线的性质定理和判定定理【预习引领】探究：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明其中的道理吗？【要点梳理】知识点1. 作已知角的平分线的方法：已知：AOB求作：AOB的平分线练习：已知：AOB求作：AOB的四等分线21探究：如图，将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？知识点2. 角的平分线的性质及判定定理：1如图OP平分AOB，点P在射线OP上，PCOA于C，PDOB于D(角平分线的性质定理)2PCOA于C，PDOB于D，(角平分线的判定定理)3如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为300m，你能在图上标出学校的位置吗？3如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F.下列推理中正确的个数是 （ ）AD上任意一点到点C，B的距离相等；AD上任意一点到AC，AB的距离相等；BD=CD，ADBC；BDE=CDF【例题讲解】例1 如图，在ABC中，C=90，AC=4cmAB=7cm，AD平分BAC，DEAB于F（1） 求证：ACDAED（2）求EB的长例2如图，B=C，D为BC的中点，EDAB， DFAC，求证：AD平分BAC22【课堂操练】1.如图，CDAB于D，BEAC 于E，CD，BE交于点O ，且1=2 ，求证：OB=OC2.如图，A=B=90，M是AB的中点，DM平分ADC，求证：CM平分BCD3如图，BA平分CAD，BCAC于D，BDAD于D，E是AB上一点，EB平分CED吗？为什么？当E点在AB的延长线上或AB的反向延长线时，上述结论成立吗？请分别证明.【课后巩固】1下列说法：角的内部任意一点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；ABC中BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A1个 B2个C3个D4个2. 已知AD是ABC的角平分线，DEAB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm3如图1，已知CE、CF分别是ABC的内角和外角平分线，则图中与BCE互余的角有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个4如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：点P在BAC的平分线上；点P在CBE的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P是BAC、CBE、BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）A B C D（2）（1）5如图3，AB=AD，ABC=ADC=90，则下列结论：3=4；1=2；5=6；AC垂直且平分BD，其中正确的有（ ）A B C D6如图4，ABCD，AP、CP分别平分BAC和ACD，PEAC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是_(3)（4）7角的平分线上的点到_相等；到_相等的点在这个角的平分线上8如图5，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有处(5)9请你用直尺和圆规画一个135度的角10如图，四边形ABCD中AB=AD，ABBC，ADCD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC2311如图，已知CDAB于D，BEAC于E，CD交BE于点O若OC=OB，求证：点O在BAC的平分线上若点O在BAC的平分线上，求证：OC=OB12如图，BE和CD是ABC的两条高，在BE上截取BF=CA，延长CD至点H，使HC=AB求证：AF=AH；AFAH。【课外拓展】如图，PB和PC是ABC的两条外角平分线。求证：BPC=90-BAC.根据第问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？参考答案：角平分线的性质（1）【预习引领】探究：答案：AB=AD，BC=DC，AC=AC,ADCABC(SSS).DACBAC.AE就是角平分线.【要点梳理】知识点1. 答案：1.以O为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB于点D、E;2.分别以D、E为圆心,以大于DE长为半径画弧,两弧交于点C;3.过O、C作射线OC;OC就是AOB的平分线.练习：答案：1.作AOB的平分线OC;2.分别作AOC和BOC的平分线OD、OE.OC、OD、OE就是AOB的四等分线.探究：答案：PD=PE.知识点2. 1 PC=PD2PC=PDOP平分AOB3答案：能,在AOB的平分线上,且距点O的距离为300m.4答案：【例题讲解】例1答案：(1)DEAB, C=90，AD平分BAC，DC=DE.又AD=AD, C=AED=90，RtACDRtAED(HL)(2) ACDAED,AC=AE.又AC=4cm,AB=7cm，EB=AB-AE=AB-AC=7-4=3(cm).例2答案：D为BC的中点，BD=CD.又EDAB， DFAC，BED=CFD=90，又B=C，BDECDF.DE=DF.又EDAB， DFAC，AD平分BAC.【课堂操练】1.答案：CDAB，BEAC, 1=2 ，OD=OE.又CDAB，BEAC,BDO=CEO=90，又BOD=COE,BODCOE(ASA).OB=OC.2.答案：过M作MFCD交CD于点F.又A =90，DM平分ADC，AM=FM.又M是AB的中点，AM=BM.FM=BM.又B=90，MFCD,CM平分BCD.3答案：EB平分CED.BA平分CAD，BCAC，BDAD,BC=BD.又BCAC，BDAD,ACB=ADB=90，又BC=BD,AB=AB,RtABCRtABD(HL).ABC=ABD.又BC=BD,EB=EB,BCEBDE(SAS)CEB=DEB.即EB平分CED.答案：当E点在AB的反向延长线时，EB平分CED.BA平分CAD，BCAC，BDAD,BC=BD.又BCAC，BDAD,ACB=ADB=90.又BC=BD,AB=AB,RtABCRtABD(HL).ABC=ABD.又BC=BD,EB=EB,BCEBDE(SAS)CEB=DEB.即EB平分CED.答案：当E点在AB的延长线上时，EB平分CED.BA平分CAD，BCAC，BDAD,BC=BD.又BCAC，BDAD,ACB=ADB=90，又BC=BD,AB=AB,RtABCRtABD(HL).ABC=ABD.又ABC+CBE=180，ABD+DBE=180，EBC=EBD.又BC=BD,EB=EB,BCEBDE(SAS)CEB=DEB.即EB平分CED.【课后巩固】1答案：B2.答案：B3答案：C4答案：A5答案：D64cm7角两边的距离角两边的距离8 49答案：如图,先作平角AOB的平分线OC,再作COB的平分线OD.则AOD=135.10答案：ABBC，ADCD，ABC=ADC=90.又AB=AD,AC=AC,RtABCRtADC(HL).BAC=DAC.又AB=AD,AP=AP,ABPADP(SAS).PB=PD.11答案：CDAB，BEAC,ODB=OEC=90.又EOC=DOB,OC=OB,COEBOD(AAS).OE=OD.又CDAB，BEAC点O在BAC的平分线上CDAB，BEAC, 点O在BAC的平分线上，OE=OD.CDAB，BEAC,ODB=OEC=90.又EOC=DOB,OE=OD,COEBOD(ASA).OC=OB.12答案：BE和CD是ABC的两条高，ADC=BDC=90,AEB=BEC=90.ABE+BAE=90,ACH+BAE=90.ABE=ACH.又AB=HC,BF=CA,ABFHCA(SAS).AF=HA.ABFHCABAF=CHA.ADC=90,ADH=90CHA+HAD=90.BAF +HAD=90.即HAF=90.AFAH.【课外拓展】答案：PB和PC是ABC