（光学专业论文）非均匀球粒子对高斯波束散射的debye级数展开.pdf

摘要 摘要 非均匀球形粒子对高斯波束散射的研究由于其在工业过程中的应用范围越来 越广泛而受到众多学者的普遍关注。本文基于广义洛伦兹一米理论，首次将d e b y e 级数引入到非均匀球形粒子对高斯波束散射的研究中。在此理论基础上，应用波 束因子的区域近似计算方法和非均匀球粒子散射系数的d e b y e 级数展开公式， 获得了非均匀球形粒子对高斯波束散射的d c b y e 级数算法，其数值模拟结果与已 发表文献中的结果比较，以及与相同条件下广义洛伦兹一米理论计算结果比较， 都吻合的很好。 利用该方法研究了在轴和离轴非均匀球形粒子对高斯波束散射的远区散射场 分布和备单阶d e b y e 强度分布。系统分析了不同的束腰半径、不同入射位置的高 斯波束对各单阶彩虹的影响。研究结果表明，在适当的波束照射情况下，可使部 分高阶彩虹强度分布相对增强，有利于充分利用高阶彩虹信息测量非均匀球粒子 的折射率和尺寸参量分布。此外，还模拟出多阶次彩虹的干涉强度分布。最后研 究了分层球形粒子对高斯波柬散射产生的多一阶彩虹强度角分布及各层的一阶彩 虹a i r y 结构。因此，该方法无论在理论上还是工程应用上对非均匀球形粒子波束 散射特性的研究都具有重要的意义。 关键词：广义l o r e n z v i e 理论 d e b y e 级数高斯波束光散射彩虹 a b s 订a c t a b s t r a 试 m 翘y s c h d l 哪a r e p a y i l l g a t t c n t i o nt 0g a u s s i 姐b e 锄 s c a t t e r i n gb y i m h o m o g e n e o u ss p h e r eb 嘲u s eo fi t sw i d c r 姐dw i d e ra p p l i c a t i o ni ni n d u s t r yp r o c e s s o nt h eb a s i so fg c n c r a l i z e dl o r e z m i et h e o r y ，d e b y es c r i e si si n 仃o d u c e di nt h e r e s e a r 6 ho fg 扎s s i a nb e 枷s c a n c r i n gb yi l i l l l o m o g c n e o u ss p h e r ei nt h i sp 叩盱f b r l e f i r s tt i m e t h ed e b y cs c r i e s 加m e i i c a la l g o r i t l l mi so b t a 疵db yu s i i 喀t h el o c a l i z c d a p p r o x i i n a t i o nf o rn 增c x p 卸d i n gc o e f 丘d e n t s 簖o fg a u s s i 如b e a m 锄dt h ed i b y c s e r i e sd e c o m p o s i t i o nt 0s 训e r i n gc o c 施c i e n t s o u rc o d eh a sb e 皿v a l i d a t e db y c o m p a r i s o no ft h er e s u l t st o t 1 1 e p u b l i s h e d 纽t h el i t e r a t l l r ca n dt o g e n e m “z e d l 0 r e n z m j en 地o r yi nt l l es a m e d i t i s n es c a t t e r e df j l e dd i s t 栅t i 伽i n 血c 雠z o n ca i l de a c hs i n 舀ed 曲y ei m e 璐i 哆o f o n a x i s 如do 搏趿i si n l h 咖0 9 如c o u ss p h e r ew h i c hi sj l l u m i n a t e db yg a u s s i 卸b e 嘲i s s t u d i e d t h ei m p a do e a c hs i r i 酉e 曲b ( y ww i t hd i 矗b r e n tb e a mr a d i u sa n dd i a c r c n t i n c i d e n c e1 0 c a t i o ni s 蹰a l y z c d 1 1 l er e s u l t ss h o wt h a tm e i t e n s i t yo fs o m eh i 咖o p d c r r a i n b o wi sb u i l d u pi 丑t l l e n d i 右o no fn 圮r e l e v a n ti n c j d e n c e ，蛆dt h e nt l l em e a s u 册e n t o fr c 舶c t i v ei n d e xa n ds i z cp a 栅e t e ro fi l n h o m o g c n e 叫s s p h e r ci sa v a i l a b l e f u n h e r m o m ，t h ei n t c r f e r c n c e m t e n s i t yd i s l l 协u t i d no fs e v e r a ls i n 酉eo r d e rr a i n t 肼si s s i m u l a t e d a t l a s tw em s e a r c ho nt h ei n t s i t yd i s 仃i b u t i o no fm u l t i 1 a y e r c df i r s t o i d e r r a i l l b o w 卸dt h e 加r ys t n l c t u r co fe a c hl a y c f 砸l e r c = f o r ct l l em e t h o di su 鲥f i l lt ot l l cs t u d v o nc h 甜a c t 盯i s t i 璐0 fg 锄鼯i a nb e 锄刚t e 咖g b yai m h o m o g c n e o u ss p h e r c to n l yi n t h e o r yb u la l s oi a p p l i c a t i o o fe 嚼n e e r i n g k e y w o r d ：g 蛆蛐e dl 啪z - m i e 恤e o r y d e b y e s e r i e s g a u 站量a b 伯m u g h ts t t e 一呜 i t a h b o w 创新性声明 y8 5 8 8 9 8 本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名；一叠丝盘d 国 日期：2 塑名二够 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西安电子科技大学。本人保证 毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名仍然是西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在二年解密后适用本授权书。 日期：盘出名：2 。：型 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 随着科学技术的发展，在各种工业过程中研究和测量小粒子的光学特性及尺 寸分布的要求越来越广泛和迫切，如喷雾燃油燃烧室中的可燃液滴【1 域蒸气过程中 的蒸气液滴；大气科学中的悬浮粒子、雨滴、冰晶等；化学反应、流体力学弼、环 境检测和医疗诊断中的微小粒子等。 由于激光技术的发展和微弱信号检测技术的提高，基于粒子光散射理论的各 种检测方法得到了广泛的应用。光通过微小粒子时会发生散射现象，散射光的性 质、强度分布、偏振特性、光谱特性等，都与散射体本身的特性有关，通过观测 散射光的有关参量，可得到散射体本身结构的很多信息，这对于粒子尺寸、折射 率分布或温度等参量的测量都具有重要的意义。因此，研究粒子的电磁散射和光 散射特性一直是近年来国际上所关注的研究课题之一。 粒度分析的光散射法以其快速、非接触测量等优点日益受到人们的重视。目 前已提出并发展了许多测量粒子尺寸及数密度的方法，如消光法【3 l ，相多普勒法 i 帮】，成像技术【6 】及彩虹技术1 7 矗9 】等。 消光法( 或称全散射法) 依据单次散射理论，根据入射光通过被测粒子群的 透射率谱分布测量微小粒子的尺寸分布( 通常小于入射光波波长，粒子的数密度 比较小) 。在粒度测量的许多领域被广泛采用。该方法优点是测量速度快，可同时 对大量的粒子进行测量并获得尺寸分布。但是，该方法无法进行大粒子尺寸的测 量与反演。 相多普勒仪( p d a ) 作为激光多普勒仪的新一代测量仪器，从二十世纪八十 年代中开始得到了飞速发展和广泛应用。它可以同时测量粒子的速度和大小，为 多相流、燃烧、喷雾过程的研究提供了有力的测试工具。利用相多酱勒仪进行粒 子折射率、粒子的表面曲率等特性的测量也有研究。一般的相多普勒测量仪能够 很籽地测量1 0 姗以上均匀粒子的尺寸分布，但是，对于折射率( 或温度) 的测量 精度并不是很理想。 小粒子成像理论与技术是粒度测量的另一方法。它是2 0 世纪8 0 年代发展起 来的一种流动测量与显示技术。它突破了传统流动单点测试技术的限制，能够在 对流场不产生干扰的基础上，实现流动瞬态、全场的测试，具有较高的测量精度 2 非均匀球粒子对高斯波束散的d e b y e 级数研究 和分辨率。 彩虹技术的测量原理主要利用彩虹的强度分布、r i p p l e 结构与粒子尺寸参量和 折射率分布的关系，具有较高的精度。已飞速发展的光散射理论和计算程序可以 精确计算均匀和非均匀球形粒子散射强度角分布，为改进和扩展这一测量技术的 测量范围提供了有力工具。彩虹强度分布的精细结构不仅可以用来高精度测量均 匀粒子的折射率和直径，而且为测量、反演非均匀粒子折射率( 或温度) 分布提 供了丰富的信息。 在上述实际问题的理论研究和测量技术的开发和应用中，为研究问题方便起 见，许多微小粒子通常可以简化为球形、柱形和椭球等规则形状，本论文仅讨论 球粒子情形。自从洛伦兹( l d r e 蛇，1 8 9 0 年) 和米( m i e ，1 9 0 8 年) 分别利用麦克 斯韦方程，通过求解各向同性的均匀球形粒子对平面电磁波的散射而获得了洛伦 兹一米理论i l o ，“l ( l o r e l l z m i et 1 l e o r y ，简称n 仃) 以来，有关球形粒子对平面波 的散射问题已为众多学者所研究。v a d ch u l s d l 2 l 给出了由吸收和非吸收物质构成 的球状粒子的详细计算。a d c n 和触r 1 1 3 】在1 9 5 1 年研究了涂层球粒子的散射并 进行了详细的讨论，k e r k e r 【1 4 】( 1 9 6 9 年) 进一步研究了多层球电磁散射，获得了 计算电磁散射系数的矩阵公式。1 o 恤1 1 5 】( 1 9 8 1 ) 和b o h f e n 【1 6 l ( 1 9 8 3 ) 等人给出 了计算大尺寸球形粒子散射的一种数值方法。吴振森【1 _ 7 1 ( 1 9 9 1 ) 等提出了一种计 算多层球散射的数值方法。 随着激光技术的发展，对球形粒子散射特性的实验研究中大都采用激光作为 光源，因此，球形粒子对波束的散射是近二十年来的研究热点。lw ：d a v i s f l 8 】于 1 9 7 9 年提出了高斯波束的平面波角谱展开形式，为研究粒子波束散射提供了一条 途径。gg o u e s b e t 、gg r c h 蛆【1 9 删( 1 9 8 8 ) 等人根据d a v i s 提出的高斯波束的一阶 近似，利用b 删n w i c h 公式深入研究了均匀球粒子对高斯波束的远区散射，提出了 广义洛伦兹一米理论( g c n c r a l i z c d l 舯m z m i c 硒e o r y ，简称g n 仃) ，给出了一 种计算在轴球形粒子对高斯波束散射的级数方法以及计算波束园子的三种计算方 法。吴振森【2 l ，捌( 1 9 9 7 ) 等人将广义i d r c 毗一m i e 理论推广到位于在轴和离轴多层 球对高斯波束的散射，给出了散射系数的迭代计算公式和数值结果。j 只b a i t o n l 2 3 当j 导出了他m 型高斯波束电磁场分量的高阶近似表达式，采用分量变量法研究了 球形粒子对高斯波束散射的强度分布。e l 髓y e de m 1 【h a l c d l 厕等人研究了离轴涂层 球对高斯波束的散射。 然而，基于严格电磁场理论的米氏理论包含所有电磁波与粒子表面的相互作 用结果，研究的是粒子对平面波散射的总效果，因而无法直接区别散射过程中电 磁波与粒子表面不同作用结果对散射场的实际贡献大小。d e b y e 于1 9 0 8 年在研究 散射问题时提出了d e b y e 级数【2 7 1 ，它是入射平面波与球形粒子边界相互作用的散 射系数展开后的一个无穷级数，该级数中的每一项都有明确的物理解释和实际作 第一章绪论 3 用大小。将m i e 散射系数中的每一项用d e b y e 级数的形式表示，可以给出每一项 的物理解释和对散射场的贡献，对于研究粒子的光散射特性具有独特的意义。关于 粒子光散射的d e b y e 级数研究，l o c k 等人利用d e b y e 级数公式研究了均匀球【2 卅、 涂层球【2 9 1 对平面波的散射以及均匀球对高斯波束的远区散射冈。李仁先推导出了 非均匀球粒子平面波散射的d e b y e 级数展开公式1 3 ”。目前还未见有关于非均匀球 形粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究。该内容的研究无论是理论上还是工程 应用上都是非常有意义的。 近十年来，彩虹测量技术【7 - 9 】作为探测粒子非均匀特性的最有潜力的方法之一， 已广泛应用于粒度分析领域。在非均匀球形粒子的实际测量中，许多情况下照射 光为有限波束。对于非均匀球形粒子有限波束照射情况下彩虹现象全面、严格的 解释，需要利用完全基于电磁场理论的广义l o r e n z m i e 理论【1 9 j o ，32 1 。目前，非均 匀球形粒子的广义l 0 r e n z 一砒e 理论以及有关的计算方法已经相当完善，已可以 严格计算层数多、尺寸参量大的粒子对波束散射的散射强度角分布。然而，与眦 一样，基于g l 婀获得的强度分布无法直接将不同阶次的彩虹强度区分开来。如果 能获得基于广义l o r e n z m ie 理论( g u 盯) 的非均匀球形粒子的d e b y e 级数算法， 不仅可以理论模拟各单阶彩虹强度分布，并且可以分别模拟单阶彩虹的a i r y 结构、 r i p p l e 结构以及a i r y 结构与r i p p l e 结构的叠加结构，同时还可以模拟任意两阶 或更多阶彩虹的叠加强度分布，在一定程度上更精确、全面的反映了非均匀球粒 子的散射特性，从而为彩虹技术在工业过程中的广泛应用提供了良好的理论和数 值计算基础。同时，由于粒子结构的复杂性( 直径、折射率分布) ，仅仅利用一阶、 二阶彩虹的信息来进行粒度测量是远远不够的，利用该算法可以对高阶彩虹强度 进行数值模拟，并且可以把它们用于粒度测量，这为非均匀粒子多参量( 直径、 折射率分布以及非球形度) 的同时在线测量提供了可能性。本文就是基于上述问 题来研究的。 第一章 第二章 第三章 1 2 论文结构 综述了粒子光散射的研究目的和意义，介绍了球形粒子光散射的发展 和国内外研究现状，最后介绍了本文的主要工作及论文的结构。 从b r o 删i c h 公式出发，利用d a v i s 发展的高斯波束的一阶近似，给出 了球形粒子对高斯波束的散射的基本理论，并利用b r o 哪i c h 标量势， 获得了适用于广义m i e 理论的均匀球粒子至非均匀球粒子散射系数的 d e b y e 级数展开公式。 给出了非均匀球粒子对高斯波束散射d e b y e 级数算法并验证了其正确 4 非均匀球粒子对高斯波束散的d e b y e 级数研究 性。数值模拟了折射率分布满足指数分布规律的在轴和离轴非均匀球 粒子对高斯波束的远区散射强度及各单阶d e b y e 强度分布。 第四章研究了非均匀球粒子单阶彩虹角分布；讨论了波束位置和束腰半径对 彩虹角分布的影响：有效分离出非均匀球粒子二阶和五阶彩虹的干涉 强度分布；数值模拟了分层球多一阶彩虹强度角分布。 最后为结束语。 第二章广义砒e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论 第二章广义m j e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论 2 1 引言 有形波束与非均匀球粒子的相互作用是近十年的研究热点，需要有较严格的 理论方法来解释和处理这种散射问题。g o u e s b e t 等人提出的广义洛伦兹一米理论 ( g l m t ) 【1 9 l ，并给出几种快速有效的计算波束因子g ：的方法，从理论上比较系 统地解决了球形粒子对有形波束的散射问题。基于电磁场理论的广义洛伦兹一米 理论包含对散射场有贡献的所有电磁波与粒子界面的相互作用，但无法给出单一 物理过程的实际贡献大小。d e b y e 于1 9 0 8 年提出了d e b y e 级数吲，它将散射系数口、 统表示为入射平面波与球形粒子相互作用的一个无穷级数，并对该级数中的每一 项都给出了明确的物理解释和实际作用大小，有助于理解粒子的散射特性。因此， 基于广义洛伦兹一米理论，将散射系数按d e b y e 级数展开，两者相互补充，可以 更好的分析粒子的波束散射问题。 本章基于b r o 姗i c h 公式1 1 川，将均匀球推广到多层球，对非均匀球形粒子高斯 波束散射的d e b y e 级数展开作了进一步的研究，获得了基于广义洛伦兹一米理论 的非均匀球粒子散射系数的d e b y e 级数展开公式，为非均匀球形粒子波束散射特 性的研究提供了良好的理论工具。 2 2 高斯波束的电磁场分量描述 2 | 2 1b r o 肿i c h 公式 根据电磁场理论，空间任意电磁场总可以用横磁波( t m 波) 和横电波( t e 波) 的叠加场来表示。设入射波束的时谐因子为c x p ( f 肼) ，为角频率在球坐标系 ( ，以妒) 中，b r o i c h 方程为： 睾+ 七w + 志言鳓等+ 志罟= o ， a r 。 ，s i n 疗a 口a 口 r 2 s i n 2 疗a i 2 、7 其中u 为横电场或横磁场的b r o 唧i c h 标量势( b r o 唧i c hs c a l a rp o t e n t i 8 l ，简称 且铲) 。七为介质中的波数 七一万孕。车埘。( 2 2 ) 6非均匀球粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究 肛莆jf 分别为介质的磁导率和介电常数，c 是真空中的光速，埘。为介质的折射率， a 为入射波束的波长。( 注：本论文中所出现的带下标的( f = 1 ，2 ，3 ) 均表示 球粒子的折射率；不带下标的m 为仅为整数，无任何物理意义) 方程( 2 1 ) 的解是几个基本函数的线性组合，写为 u ；，m ： 辉 s ： ( 2 3 ) 对t e 波用u 。表示，对t m 波用【。表示。上式中v ：l 一1 ，2 ，3 ，4 ) 为三类球 b e s s e j 幽裂，“婶o s 即刀琏常明让器多坝a ，具衣坯战刀 掣) j ( 1 ) ”触矿惫等 其中只( c o s 日) 为埠阶勒让德多项式。 从州波和t e 波的定义，可以得到 日，删一e ，_ 珏一o 然后根据嬲p ，可由下列公式求得电磁场其它各分量 e a 等+ | j b = 詈等一蒜誓 巳= 南鲁+ 半警 即争 峨= 急誓+ 吾貉 虬一半等+ 志貉 ，d f，s l n f 剪d 留 2 2 2 直角坐标系中高斯波束的电磁场分量 ( 2 4 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 为了对入射高斯波束进行描述，如图1 1 所示，我们首先引入两个直角坐标 系。一个是以波束束腰中心( k 为原点的坐标系0 ：一h ，另一个是以球粒子圆心 为原点的坐标系0 - 一妒，两坐标系的坐标轴分别对应平行，d g ， q v 佛y ，d 0 w 印。0 0 在坐标轴o ，一舻中的坐标为( ，y 。，) 。p 点为球坐 标系中的观察点。 第二章广义m i e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论7 厂o 荟 夕弋 图2 1 球形粒予对高斯波束的散射几何示意图 p 设文中所用到的入射波束均为弛m 。型基模高斯波束，它沿w 方向传播，电场 极化方向沿轴正向，时谐因子为e x p ( f 耐) 。引入高斯波束中的一个小参量 s 一z ；1 他)( 2 1 2 ) 其中为波束的束腰半径，f 为波前曲率半径，d a v i s 【1 明将波束电场展开成关于s 的 幂级数形式，取s 的最低阶解，可得到入射波束在坐标系d g h w 中的基模电磁场 分量 e = 吼一o ( 2 1 3 ) 既一磊1 薹r o e x “一灏 但1 瓦t 一孥e( 2 1 5 ) 日，一风v o e x “一游叻( 2 1 6 ) 风。一孕风 ( 2 1 7 ) 这里，磊和峨满足关系式 e 0 ，风= p 5 但1 8 1 最低阶函数v 。为基模解 8非均匀球粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究 。一j q e x p ( 一l 劬：) 其中 醒一h ：+ v ： q 一未万 + _ “血) o ，v + i y ，+ = w z 复振幅掣。满足抛物型方程 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 毒+ 嚣) 即五罢一。 将式( 2 1 3 ) 一( 2 1 7 ) 通过两直角坐标系间的坐标变换，可以得到入射波束在坐标系 啡一班中的电磁场分量 墨一皿= o( 2 2 4 ) 巨。磊掣。e x p 越( z 一) ( 2 2 5 ) e 一罕。一邋 ( 2 2 6 ) 以t 砜v 。哪 越( z z 0 ) ( 2 2 7 ) 皿；一华( y 喁) q ( 2 2 8 ) 这里v 。的表达式( 2 1 9 ) 中各参量变为 蚰嘉陋彬+ ( y 强) 2 】 ( 2 2 9 ) 加南 ( 2 3 0 ) ；手和争 ( 2 3 1 ) 2 2 _ 3 球坐标系中高斯波束的电磁场分量 将公式( 2 2 4 ) 一( 2 2 8 ) 应用直角坐标系与球坐标系的转换关系 fe 只s i n 口c o s 妒+ e ，s i n s i l l 妒+ e ：c o s 口 1 q 。以s i n 8 c o s 妒+ ys i n 日s i n 妒+ ；c o s 8 ( 2 3 2 ) 第二章广义m i e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论9 r 二盖：麓：参三翟羔嚣 亿s s ， i 毛= 乓c o s 日c o s 妒+ e ，c o s 日s i n 妒一es i n 口 卜7 f 。e 咖妒+ q c o s 妒 1 月0 = 一月is i n 妒+ 日yc o s 驴 z = r s i n 日c o s 妒，y - ，s i n 日s i n 妒， z 暑，c o s 日 可得到球坐( r ，口，伊) 中的入射高斯波束的电磁场分量 e 唧。卜s i n 目( t 一孚口) + 孚”s 日】e x p ( 目 毛唧。h c o s 日+ 争舶) 一孚删 e x p 乞凰掣os i n 驴c x p 僻) 耳= 即。卜咖口( ，一孚一日) + 孚胂s 日卜目 峨。鹕m c o m 孚) 一和劬】e x p 僻， 以；一日j v o c o s 妒e x p ( k ) 其中 k 一一腑( ，c o s 口一z 0 ) 掣。可以重新用以下式子来表示 平。一1 l ：1 王r ： 卟细卜等h 啦警) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 删 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 帅 v 细p 降劬c s i n 妒) 亿卿 掣：是与自变差! 无关的函数。将( 2 4 5 ) 式中的指数部分展开，我们可以得到v ：的 傅里叶展开式f 弼】 w - 篁_ 删c x p p ( 砌一幻+ t 一叫 ( 2 蛔 笠= 熹羹耄蓑 ( 2 4 7 ) 1 0 非均匀球粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究 其中 v 刚= 褊r y j 肺血p ( 睾而+ 等y o ) “r s i 们( 嚣一景y 。)嘞 j ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 利用上面的展开公式，公式( 2 3 6 ) 和( 2 3 9 ) 转变为 巨；畦 曼v 一，+ 乳唧叫+ g 乳唧， ( 2 5 1 ) 珥讽邪概疹篁v 删撒卟g 篁v 铲 ( 2 5 2 ) 其中 n v 汹p ( ，一孚日) e 驰， g 。平：孚刚州聊 p + 叠2 p 一2 9 + f 一歹+ 1 p - 2 p 一2 鼋+ f 一歹一l 2 3 均匀球粒子对高斯波束的散射 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 。5 6 ) 如图2 1 所示，设高斯波束照射到折射率为，半径为口的非磁性的球形粒子 上，周围环境介质的折射率为搬：。 根据b f o m w 女匝公式，b r o m w 油标量势满足( 2 3 ) 式，则入射高斯波束的磁标 势己和电标势分别表示为相应场分量的和p 3 矧： ( r a 劝一耋盍( q “j 高g 知x 厶掣s 印x p 铆妒) ( 2 册 第二章广义砒e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论1 1 咳( r 属妒) 一磊薹耋( 一矿j 葛告醒腰矗俾) 才i ( c 。s 疗) e x p 咖卿 ( 2 5 8 ) 其中，r2 | r ，l 僻) 为第一类球b e s s e l 函数。m 和g ：。为描述入射波特性的 两组系数，称为波束因子。在处理某一种波束的散射问题时，关键在于能否快速准 确地计算其波束因子。为了得到波束因子的表达式，分别将( 2 5 7 ) 和( 2 5 8 ) 代入 ( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) ，并利用既p ( 拥妒) 及连带勒让德函数的正交性 f _ e x p p ( m m ) 妒p 妒- 乃晒。， f 卵阿蚶) s i n 似p 一矗篇 ( 2 5 9 ) 可得到 如一若志詈# 缸蝴d 酊d 础刚冲c 卸，毪竽 ( 2 6 0 ) = 若志等# 缸s m 口d 旷d 洲即砸卸，毪华 ( 2 6 1 ) 由此可见径向场分量e 和日，在广义米理论中起着重要的作用，可以决定波束因 子的大小。将( 2 5 1 ) 和( 2 5 2 ) 分别代入( 2 6 0 ) 和( 2 6 1 ) ，再利用局域近似法 ( l 0 c a l i z e da p p m x i n i a l i ) 可得到波束因子的级数表达式m ，详见第三章的数值算 法。 与入射场类似，散射场的磁标势和电标势【3 3 洲可分别表示为b f o m w i c h 标量势 的线性叠加 劢一磊耋皇( - f ) 4 砉姑肼衅僻砖i 啪x 鼬妒) ( 2 6 2 ) ( r 一妒) 风耋耋( 一矿j 等露掰舻僻) 才i 俩s 口) e 印铆纠( 2 6 3 ) 根据电磁场分量的边界条件，可得远场散射强度为 ! 规。( r ，口，妒) 5 磊嚣毒【b ( 扫，妒) f 2 + 惋( 幺妒) 1 2 ( 2 卿 其中，s 1 和s 2 为散射振幅函数 s p 劢一耄羔器阵删帆圳( 叭暇掰圳p ) 】e x p 铆妒) ( 2 蛳 1 2 一一 斐塑竺壁墼! 翌苎塑垫墨墼翌翌竺! 翌堂墨竺塾 一 _ _ _ _ _ 一。一 s ：( 日，劝；薹薹! 三羞告【t w 舢毋i ( 疗) + 一廿i p ) 】e x p ( m 妒) ( 2 6 6 ) 式中 圳( p ) ；志叫( c 。s 8 ) ( 2 6 7 ) 剖( 日) ；老掣日) ( 2 6 8 ) 散射系数为 群- 口。g 知，霹一丸g 麓 ( 2 6 9 ) 其中疗。和瓯为球形粒子对平面波的散射系数p 5 1 ，即经典米理论散射系数。 口。竺螋。塑也竺丝s 业2 竺出监战塑血生( 2 7 0 ) “ 一槐。佃 4 。o 编口) + m ：g o 沏 咖。( 优l 和) 扫。= 竺丝。塑翌渔趣啦坐堡数塑盎出峻鱼生吐( 2 7 1 ) “ 一胁2 酬1 7 西：口即沏1 七0 口) + 鸭掣伽：七一。( ，七) 其中= 抽a 是自由空间中的波数，妒。( 七0 ，) 和酲9 ( o ) ( f ，1 ，2 ) 为分别引 入的r i c c a t i b e s s e l 函数和和r i c c a t i h a n k e l 函数。 妒。；b ) 一用删。沏；打) ，藓”劬；扫) = 慨i b 憾”劬。打) ( 2 7 2 ) 妒。( ，嚏七0 r ) 表示对参数七，求导。 由远场散射公式( 2 6 4 ) 一( 2 6 9 ) 式可以看出，球粒子对高斯波束散射公式与平面 波远场散射强度公式形式完全相同，区别在于球粒子的波束散射系数 和8 不仅 与平面波散射系数口。和吃有关，还与描述高斯波束的关键系数波束因子簖有关。 此外，由于球形粒子系数口和陡仅与粒子本身的折射率、尺寸参量及周围介质的 折射率有关，而与波束因子无直接关系，两者是相互独立的，可以分别进行计算。 当入射波为平面波时，广义i d r e 肥一m i c 理论退化为经典m i e 理论 2 4 广义m i e 理论中散射系数的d e b y e 级数展开 如前所述，d e b y e 级数是将散射系数口。和吃表示成入射光与球粒子所有相互 作用的一个无穷级数，可以利用物理光学和几何光学射线理论对其进行解释，当 入射光照射到均匀介质球上时，一部分光线在球表谣发生衍射，一部分光线被球 表面直接反射，还有一部分光线经过球粒子各层内表面多次反射后透射出来，每 第二章广义m i e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论 1 3 一部分光线对散射场的贡献是不同的。m i e 散射公式实际上包含了入射光与球形粒 子相互作用的上述所有光线对散射场的总体贡献。将m i e 散射系数无穷序列的每 一项以d e b y e 级数公式的形式展开，可有效区分上述三部分光线对散射场的实际 贡献大小，并给出每一项的物理解释。 由2 2 我们知道，当散射粒子为球形粒子时，广义m i e 理论本身具有严格 的意义，其具体公式都是通过满足b r o 唧i c h 方程的b r o 唧i c h 标量势得出来的。 为了在广义m i e 理论中方便的使用d e b y e 级数，本节同样从b r o 唧i c h 公式出发。 对均匀球和非均匀球散射系数的d e b y e 级数展开公式进行具体的推导1 3 1 州。 2 4 1 基于b r o 船i c h 公式的菲涅尔系数 我们首先写出b s p 公式( 2 3 ) 中的三类球b e s s e l 函数1 1 1 l ( 打) = 1 l ，( 打) 为球b e s s e l 函数 儿( b ) - 掣p ( b ) 为球n e u m a n n 函数 ( 2 7 3 ) ( 2 7 4 ) f 碍) - 1 l r p 孵) 为第一、二类球h a n k e l 函数 ( 2 7 5 ) i 噬2 渺) ；畔) 当b e s s e l 函数v ? ( b ) 取( 2 7 3 ) 和( 2 7 4 ) 式时，公式( 2 3 ) 代表驻波；取式( 2 7 5 ) 中的第一式时，代表沿径向传播的外向波；取式( 2 7 5 ) 中的第二式时，代表沿径 向传播的内向波。驻波和径向传播波之间的关系可以从下面的方程式得到 1 1 似) = l p ) + 饥他) ( 2 7 6 ) 磁2 ) 一 街) 一饥毋)( 2 7 7 ) 引入r i c c a t i _ h a n k e l 函数 掣咐) - 钟渺) 擎渺) 。卅2 沁) b r o 唧i c h 方程的基本解可写为 ( 2 7 8 ) ( 2 7 9 ) 1 4非均匀球粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究 u 澄鼢掣譬嚣 如图2 2 所示，将折射率为j ，l l ，半径为口，球心位于坐标原点的一个介质球 ( 区域1 ) ，置于折射率为m ，的外部介质( 区域2 ) 中，图中砰”表示2 中的波经 1 和2 的分界面反射回2 的那一部分波，r ：2 1 表示1 中的波经1 和2 分界面反射回 l 的那一部分波，砰1 和2 分别表示从2 中透射进入l 中的那部分波和从1 中透射 进入2 中的那部分波，其中下角标玎与球粒子散射系数以。和6 i 的下角标对应。对 于由球粒子外表面直接反射的波用p 一0 表示：p ；1 表示入射波进入球粒子后直 接透射出来的波；p 一2 表示入射波进入球粒子经过一次内表面反射后透射出来的 波；依此类推，p = 以表示入射波经过以一1 次内表面反射后透射出来的波。 图2 2 均匀球粒子d c b y e 散射示意图 当早色球皿坡沿径同从区域2 雾过球表面进入区域1 时，根据( 2 7 4 ) 式，区域2 中珏或掰内向波可表示为 拈去铲( m 加滕删) ： ( 2 8 1 ) 当内向波到达区域1 和2 的分界面处时，一部分波巧1 透射入区域1 中，另一部分 波砰”反射回区域2 中，这样，两个区域内的波分别为 阢。去彳紫慨如辟( c o s 芸： ( 2 8 2 ) 第二章广义m i e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论 = 去 掣沏加) + 霹“掣伽加) 】掣和s ：嚣 ( 2 8 3 ) 由于电场和磁场的切向分量在1 和2 的分界面处连续，则 对您波有 f 坠塑盘尘。坠尘坐丝2 川： ( 2 8 4 ) i 哦沏：如) = 叫似 口) 对删波有 f 屹一) = u i 似鼬) 蔓f 竺基翌! 。垡亟生! ( 2 8 5 ) l 胁： 将( 2 7 6 ) 式和( 2 7 7 ) 式代入边界条件( 2 7 8 ) 式和( 2 7 9 ) 式，再利用w r o n s l 【i 趾关系 式【3 7 】 五( z ) 奶( z ) 一工( z ) 只7 ( z ) 一一1 “z ) 2( 2 8 6 ) 可得到菲涅尔系数矸1 和碍”的表达式 私一考一系数 舻一望亟蠼地盥啦烛反射系数 其中 强波 掰波 恧波 蹦波 d = 一1 ”( m 加) 哥2 魄”) 十剧1 沏：时) 沏如) ( 2 8 7 ) ( 2 8 8 ) ( 2 8 9 ) ( 2 9 0 ) ( 2 9 1 ) 同理，对于区域1 中的翘或掰外向波，在区域1 和2 的分界面处，一部分波露z 透射入区域2 中，另一部分波碍2 1 反射回区域1 中，这时两区域内的波分别为 u 。去 掣坩掣惭) 】釉卿 = ) m m 11 琳 m ，【fj1【 = i 口 厣 非均匀球粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究 吣去耕沏加蹦删僻：m 2 is l n m 妒i 再利用边界条件，得到 露2 一一2 f d 透射系数 r 卜篮垫盥型垫熊b 噬垫短鹾：虹 ” d a ，卢的表达式同( 2 8 3 ) 式和( 2 8 4 ) 式。 2 4 2 均匀球散射系数的d e b y e 级数展开公式 ( 2 9 3 ) 反射系数 ( 2 9 5 ) 把菲涅尔系数露2 、砰1 、砰”和趟2 1 的表达式代入多项式 【( 1 一磁“x 1 一霹“) 一砰1 酽】，经过数学运算，可以得到 ( 1 一霹2 1 ) ( 1 一群”) 一砰w 2 其中 4 i _ d 妒。沏：七0 口。) + 卢妒。沏也口。( m 乒一) l j t 。- 。_ _ _ 1 _ 。1 - 。_ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ 。_ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ - - - - _ _ _ _ _ _ _ l d 饥( z ) = 矾( z ) 为r i c c a t i b e s s e l 函数。 将等式( 2 9 0 ) 两边同除以2 ( 1 一足2 1 ) ，得到 ( 2 9 7 ) 弘舻一要】_ 簧篆糍等麟勰 ( 2 。9 8 ) 可以明显看出等式右边正好是经典m i e 系数口。和6 的表达式( 2 7 0 ) 式和( 2 7 1 ) 式，这样，我们就得到了均匀球散射系数的d e b y e 级数展开公式l 冽 牡( 1 牛焉) 斗舻一驴竹砰 当对厄求和时，( 2 9 9 ) 式中第一项1 2 表示球粒子对入射波的衍射，第二项 三 一砰”】表示入射波束被球粒子直接反射的那一部分波，第三项 第二章广义m i e 理论中散射系数d e b y e 级数展开的基本理论 1 7 圭l 一薹砰1 ( 砖2 1 ) ”1 乏2l 为求和式，表示入射波透射入球粒子后，经过p - 1 ( ；，l 2 ) 次内表面焘射后透射出粒子的波的总和。p 的解释如前所述，当p ；1 时，该项中括号内的表达式对散射系数吒和以的贡献为砰1 刁2 ；p = 2 时，其值为 巧1 群2 1 露2 ；依此类推，p ；n 时，其值为斧( 碍2 1 ) “。露2 。 为了推导非均匀球散射系数的d e b y e 级数展开公式，我们把( 2 9 9 ) 式的后两项 用一个因子忿表示 r 2 1 个1 2 或、= 砰1 2 + 妻每。砰1 2 + 荟砰1 ( 砖2 1 ) ”1 掣2 ( 2 1 嘞 很显然，谚表示均匀球粒子对入射波的反射作用和所有的折射作用之和。 这时均匀球的散射系数又可写为 昝扣鲮) ( 2 埘) 口：，噬和娥中的上标“1 ”都表示球粒子的层数。 2 4 3 双层球散射系数的d e b y e 级数展开 图2 3 双层球d e b y e 散射示意图 对于如图2 3 所示的双层球，设球内核( 区域1 ) 的折射率为，半径为， 球壳( 区域2 ) 的折射率为脚：，半径为吒，环境( 区域3 ) 的折射率为，利用( 2 1 0 1 ) 式所定义科来表示球内核对入射波的影响，并用2 4 1 中使用的方法定义碍”、 铲、斧和砰2 1 8 非均匀球粒子对高斯波束散射的d e b y e 级数研究 r 只：! 篓! 塑2 生! 显竺塑2 堕! = 壁篮：亟照! 曼! 垫曼曼!( 2 1 0 2 ) 4 一a 彰1 ( 珊，也) 藓2 ：也) + 卢酲1 o ，慨) 9 2 咖：饥) 、 砰：。重擘业崖垫趔兰盟燮必墼( 2 1 0 3 )“ 一口藓”( 吼) 醪2 ：也) + 卢酎”( 鸭札) 9 2 7 帆也) 、 私一薏忑际历瓦i 麓而两甄面 1 0 4 ) “ 历，一a 醪7 ( m 觑) g 砷扣j ) + 蒯。沏。钆) 彭2 ，峨) 、 7 矿一i 而两酾磊彘丽磊河磊i 犯1 0 5 )” 一a 掣( 鸭) 醪砷( m ：蜿) + 芦彰1 伽觑) 9 2 7 ：也) ”1 经过数学运算，可得双层球波束散射散射系数的d e b y e 级数展开公式【2 9 3 1 l ： 豺扣研) 埘， 其中 研= 铲+ 麓衅+ 薹乎孵( 砰2 晓) p 。1 ( 2 - 0 7 ) 与均匀球类似，q ：表示双层球对入射波反射作用和所有折射作用之和。 2 4 4 多层球散射系数的d e b v e 级粒雇开 对于多层球散射系数d e b y e 级数展开式的推导1 3 l l ，我们首先考虑三层球的情 况，可以将它看作是一个新的双层球，其球核由三层球的第一层和第二层组成，球 壳为三层球的最外层( 如图2 4 ) 。根据2 2 3 中对双层球的讨论，球核对入射波 的影响可以用讲表示这样，三层球又可以当作一个新的双层球来处理，散射系 数n ：和配的d e b y e 级数公式为： 势扣g 】 其中 蛾一砰4 + 芒荨番- 掣+ 薹矿研矿( 舻研) ”1 它表示了这个三层球对