（应用数学专业论文）高阶非线性发展方程的整体解与自相似解.pdf

g l s o l u m a s t e ro fs c i e n c e b y z h a n g q i n g - s h a n s u p e r v i s eb y p r o f s h ip e i - h u d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 9 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名： 易 日期： 沙1 9 ，、匍 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：_ 雄导师签名： 高阶非线性发展方程的整体解与自相似解 研究生：张清山 导师：石佩虎副教授 东南大学数学系，南京，中国，2 1 0 0 1 8 摘要：本毕业论文主要研究几类非线性高阶发展方程的整体解包括自相似解和解的渐近 性态高阶非线性发展方程是一般的抛物方程与波动方程的高阶推广，在现代科学技术理论 和应用研究中有重要的作用作者利用算子半群的方法，时空估计结合不动点定理，证明了 高阶抛物型方程与高阶波动方程c a u c h y i b 题的整体解存在性，唯一性以及关于初值的连续 依赖性 对于高阶发展方程的自相似解的研究，本文借助于调和分析的方法，特别是利用l i t t l e w o o d - p a l e y 理论与f o u r i e r 变换，得出了自相似解的存在唯一性此外，当t _ o o 时，利用l o r e n t z - m a r c i n k i e w i c z 型技巧得到了带有一类特殊初始条件的c a u c h y i h 题的整体解渐近趋向于自相 似解 关键词：高阶发展方程；c a u c h y 问题；整体解；自相似解；渐近自相似解 g s o l u t i o n sa n dt h el a r g et i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n st oh i g h e ro r d e rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s t h eh i g h e ro r d e rn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n so ft h es e c o n do r d e r p a r a b o l i ce q u a t i o n sa n dt h es e c o n do r d e rw a v ee q u a t i o n s t h e yp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h e o r y a n da p p l i c a t i o n so ft h em o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y a p p l y i n gt h em e t h o d so fs e m i g r o u p ，t i m e - s p a c ee s t i m a t e sa n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ea u t h o rp r o v e sg l o b a le x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eu p o ni n i t i a ld a t ao f t h es o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e mo f t h eh i g h e ro r d e r p a r a b o l i ce q u a t i o n sa n dt h eh i g h e ro r d e rw a v ee q u a t i o n s f o rt h es e l f - s i m i l a rs o l u t i o n so fh i g h e ro r d e re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h ea u t h o rp r o v e st h ee x i s - t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es e l f - s i m u a rs o l u t i o n sb yh a r m o n i ca n a l y s i s ，s u c ha sl i t t l e w o o d - p a l e y t h e o r ya n df o u r i e r st r a n s f o r m m o r e o v e r ，u s i n gl o r e n t z - m a r c i n k i e w i c z - t y p et e c h n i q u e s ，t h ea n - t h o r sa l s oo b t a i n ss o m eo ft h o s eg l o b a ls o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b l e mw i t hac l a s so fi n i t i a ld a t a a r ea s y m p t o t i cf o rl a r g et i m et os e l f - s i m i l a rs o l u t i o n sa st - - y k e y w o r d s ：h i g h e ro r d e re v o l u t i o ne q u a t i o n ；c a u c h yp r o b l e m ；g l o b a ls o l u t i o n ；s e l f - s i m i l a rs o l u t i o n ； a s y m p t o t i c a l l ys e l f - s i m i l a rs o l u t i o n u 第一章前言 1 1 研究背景和发展概 第二章 高阶抛物方程的整体解与自相似解 2 1 引言- 2 2 整体存在性与连续依赖性 2 3 自相似解i 2 4 渐近白相似解 第三章高阶波动方程的整体解与自相似解 3 1 引言 3 2 预备知识 3 3 主要结论 3 4 定理的证明 参考文献 硕士期间完成的论文 致谢 4 4 6 n 坫 玎 埽勉毖 筋 卯 髂 第一章前言 发展方程是包含时间变数的许多重要的数学物理方程的统称，又称演化方程或进化方 程在物理、力学或其它自然科学中，这类方程用来描述随时间而变化的状态或过程随着 现代科学技术的高速发展以及为了适应各学科自身越来越高的精确化要求，人们不断提出 了大量形式各异的非线性问题，而发展型的非线性问题，即非线性发展方程，就是其中一种 重要的表现形式非线性发展方程是当代科学跨学科研究的前沿领域之一对具有鲜明应用 背景和重要理论意义的非线性发展方程的研究，不仅成为当今数学发展的主流之一，而且也 是其他自然科学和工程技术部门研究的焦点和热点因此对非线性发展方程的研究，有助于 加深理解和认识自然界中的非线性现象，揭示各种非线性之间的相互作用关系以及它们对 解的性质的影响，从而推动科学技术的发展以及各学科的精确化 为了适应科学技术越来越高的精度的要求，人们在从实际问题建立数学模型的过程中 所考虑的因素也越来越多，已不再满足于对非线性问题进行简单地局部线性模拟，所以模型 化出来的非线性发展方程向高阶高维发展最典型的是一类高阶抛物型方程的f u j i t 旗型，它 广泛应用于薄膜理论、双稳定系统、高阶扩散以及相位转换等领域从自然规律来看，任何 现象都不可能独立存在，必与其它现象有着或多或少的联系，因此高阶抛物型方程组更切合 实际，因而理论上也更为复杂、重要 非线性发展方程除了极个别外一般不容易求出古典显式解，这就使数学工作者转而寻 求解的存在性，唯一性以及关于初值的连续依赖性等解的一些特性从而在没有求得显式解 的情形下仍可以得到解的一些特性以满足某种需要因此，对非线性发展方程的定性研究已 成为研究微分方程的主要方法，而极大地激励了分析学及其它学科领域新研究方法的产生， 也就成为现代数学和应用研究最活跃的领域 1 1 研究背景和发展概况 自上世纪8 0 年代，二阶半线形抛物方程 毗一a u = p 川o r - - 1 u，( 1 1 ) 的渐近自相似解就引起了广泛的关注和深入的研究这里我们称方程( 1 1 ) 的解u ( 茹，t ) 为自相 似解是指对va 0 ，都有 乱( z ，t ) ：a 石缸( a z ，a 2 t ) ，v ( z ，t ) r n r + ( 1 2 ) 特别地，如果缸是( 1 1 ) 的自相似解，令a = 击，则我们就得到 乱( 叫) = t 一击让( 磊，1 ) = t 一两1 ( 秒) ，2 磊， ( 1 3 ) 1 这里称为解 研究自相 巧是利用打靶 用变分方法( 文献【6 ，3 4 】) ，比较原理( 文献【1 6 】) 等 当p = - 1 ，q 1 + 鲁时，对矗，y 仉设，( z ) o 满足 0 1 i mi x l 7 f ( w ) = a i x l 啼0 0 如果，y = ；，则如下c a u d l y 问题 ( 1 5 ) - 的解渐近趋向于( 1 1 ) 非负的径向对称的自相似解 - o o ) ，见享献【1 6 】定理2 如果； ，y 1 + 吾，且 当，y ；时，对足够小的初值，满足l 妇- + o 。i x r r f ( x ) 有界，则( 1 5 ) 的解整体存在，见文【1 9 1 定 理3 8 特别当1 - - i - 元2 口 1 + 兰时，设 卢= 击一茅，n ! 一i z r 这里r 满足 1 三 近挚时，问题( 1 6 ) 存在 唯一的整体解，且对初值 ，( z ) ：p ( z ) i z l 一百与一， 9 ( z ) ：q ( 。) i z l 一詈等一， 这里p ，q 分别是齐性度为2 o 的多项式，证明了自相似解的存在唯一性最后，对一类初值 证明了其解的渐近性态r i b a u d 与y o u s s i f 【2 s 将其结果推广到一般维数中，在齐次s o b o l e v 空 间职( r n ) 中对初值 ，( z ) = q 1 ( 斋) 盯一a - - 1 ，9 ( z ) = q 2 ( 击) 盯粉， 1 w ll w i 其中他0 = 1 ，2 ) 是定义在”中单位球面铲一1 上的函数，证明了自相似解的存在唯一性，并给 出了有限能量的渐近自相似解p l a n c h o n 【2 3 】利用仿积分解的技术证明了问题( 1 6 ) 的自相似 解在b e s o v 空间中的存在唯一性 上面的方法同样也被应用到讨论半线性s c h r s d i n g e r 方程的自相似解与渐近自相似解的 存在性，可参见文【3 ，2 8 1 有关结果 本文在已有结果的基础上，将问题( 1 5 ) ，问题( 1 6 ) 结果推广到高阶的情形，证明小初值 解的整体存在性，并借助于调和分析的方法证明了自相似解( 不一定是径向对称的) 存在唯一 性及渐近自相似解的存在性 本文我们用1 1 i i r 表示通常l r ( 黔) 空间的范数c 是一般的常数，且在不同的地方其值 可以不同用r ，表示柏勺对偶数，即满足；+ 7 1 = 1 的正实数夕( 舭) 表示速降函数空间，其 对偶空间用夕( 瓜，) 表示用霹与兹口分别表示s o b o l e v 空间群与b e s o v 空间磁g 的齐次空间 用了了( 或，) 表示，的f o u r i e r 变换其逆变换用厂一1 ，表示，仳( z ，t ) 有时简写为u ( t ) 或u 本文的安排如下：在第二章中，将问题( 1 5 ) 结果推广到高阶的情形，利用文【3 】的方法，在 适当的b a n a c h 空间中证明不动点的存在性来建立整体解与自相似解的存在性，并考虑了渐 近自相似解的存在性在第三章中考虑了问题( 1 6 ) 的高阶推广形式，并给出了相应的结果 其中 滑理 自相 当m = 1 时，( 2 1 ) 是二阶半线性抛物方程的c a u c h y l h 题首先我们回顾一下问题( 2 1 ) 关 于初值，( r n ) 的已知结果当口 1 + 鲁时存在0 ，l r ( r n ) 使得对任意小的t o 问 题( 2 1 ) 在c ( ( o ，t ) ；( r n ) ) nc 1 ( ( o ，t ) ；( 舻) ) 中不存在解h a r a u x - - 与w e i s s l e r 【1 4 】通过构造自 相似解证明了当1 + 等 1 时，如果口 1 + 等，w e i s s l e r 【3 2 1 证明了问题( 2 1 ) 存在唯一的局部解当l + 警 14 - 等时问题( 2 1 ) 的整体解及自相似解的存在唯一性，且对一类特 殊的初值证明其解是渐近趋向于自相似解的，并且我们得到的自相似解不需要作径向对称 的假设这里用到的主要方法是在适当的b a n a c h 空间中利用压缩映射原理，从而得出解的存 在唯一性此方法只要假设初值在特定范数意义下可以充分小，而不依赖于肛的符号的选择 我们研究的问题之一是问题( 2 1 ) 的自相似解如果u ( z ，t ) 是高阶抛物方程的c a u c h y i h - j 题 的一个解，且对任意的a o 满足 t ( z ，t ) = a 害兰j t ( 入z ，入2 n t ) ，( z ，t ) ( r - r + ) ，( 2 2 ) 则称让( z ，t ) 就是自相似解容易验证如果u ( z ，t ) f a 题( 2 1 ) 的自相似解，则初值必须满足 ，( 入z ) = a 一詈兰警，( z ) 。( 2 3 ) 另一方面，在( 2 2 ) 式中取a = t - 1 2 m 得 牡( z ，t ) = t 一百暑y ( z t 赤) 直接计算得 l i r a t 一两1y ( z t 赤) = 鲰7 格- lv ( 7 _ 啬) 盯器 ， 如果上式的极限存在，那么初值 m ) = q ( 鬲) 盯器 ( 2 4 ) 这里q 定义在r n 上的单位球面铲一l 上的函数 问题( 2 1 ) 的适定性可以通过讨论相应的积分方程 让( t ) = q ( t ) m ) + p 上q ( 亡一7 ) ( - 1 t ) ( 下) d r ( 2 5 ) 得到，这里q ( t ) = e x p 一( 一) 仇司是以一( 一) m 为无穷小生成元的抛物型半群为此，我们在适 当的b a n a c h 空间中证明 c 乱= q c t ) f ( z ) + p z 。q ( t 一7 - ) ( 。1 让) ( r ) d r ( 2 6 ) 是一个压缩映射，从而c 在该空间上存在唯一的不动点通常把通过积分方程( 2 5 ) 而建立的 解称为适度解，当初始函数满足一定的光滑性质时，此解就是古典解 本章我们要用到下面抛物型线性算子半群的时空估计( 如见文【2 1 】) 即对任意的t 0 ， 有如下的口一l q 估计 i i q ( t ) f l l p c t 一丽n i 1 一 ) l l f l l q ， ( 2 7 ) 这里1 g p 。o 本节我们主要证明问 定理2 2 1 假使m ，佗 其中r 满足 1 三 1 n ( o l f - 1 ) o 时，问题俾i ) 4 在唯一的整体解u ( 刃，亡) 满足 s u p t a l u ( t ) l l ， o 且以下结论成立： 俐( z ，t ) = 让( t ) 一q ( t ) l c ( 【o ，o o ) ，l 口( r n ) ) ，三q o t 石1 万一翥i i , ( 0 1 1 f o 且满 足触- i - 6 o 足够小，则有估计 s u p t f l ( 1 + t ) 6 陋( 舌) 一v ( t ) l l r 0 0 、( 2 1 3 ) 即，问题偿砂的解关于初值在上面范数意义下具有连续依赖性 一 注2 2 2 如果偿j 砂仅在有限区间( o ，卅上成立，则得到类似的解的局部存在性结果即， 设，满足 s u pt l l q ( t ) f ( x ) l l r o 足够小，则问题俾j 府在唯一的局部解让( z ，t ) 满足 s u p 护l l u c t ) l l ， 2 e t e ( o ，1 1 东南大学硕士学位论文 7 注2 2 3 由定理2 2 j 的证明可得，当口= 1 + 攀时同样的结果仍然成立在估计式俾砂中 嘞= q = r 得 s u pl i q ( o i ( z ) i i r c l l f l l r 这在初值，( ) 充分小的意义下回答了 - = l l a = 1 + 等时问题俾砂的解是存在唯一的 定理2 2 1 的证明首先证明整体解的存在唯一性，利用压缩映射原理我们仅需证明由( 2 6 ) 定 义的映射是严格的压缩映射为此定义x 为b o c h n e r p - f f j 澳l j 数让( t ) ：( o ，+ o o ) 一口( 舻) 的集合， 且满足 x ：= t l i i 乱l l x = s u pt 卢l l u ( o i i r o o ) 取x 的子集 x m = 扣xi l i t l l x m ， ， 这里m 是一个待定的常数，在彳上定义距离d ( u ，口) = i l u v l l x ，则( 凰_ f ，回是一个完备的度量 空间下面我们证明映射( 2 6 ) 是砌到自身的严格压缩映射 取，夕满足( 2 1 0 ) 且“， x m 考虑映射 c u = q ( t ) ，( z ) + p 上q 一下) ( i u i n 1 t ) ( 丁) 打， c 钞= q c o g ( z ) + p 上q ( t 一7 - ) ( m a - - l v ) ( r ) 打 由估计( 2 7 ) 得 护l l c t 一c 训i r 护i i q ( t ) ( ，一祧+ l p i 护z i i q ( t 一下) ( 1 u l a - i u _ i 叫。- l v ) l i ，d r t 卢l l q ( t ) ( f 一9 ) 1 1 ， 十c l u i 护z 卜r 降( 砷帆i a - - l 缸_ m 口- - 1 v ) l l 吾d r ，( 2 “) 令 眠( t ) ：= s u p 丁卢i l u ( r ) l l ，m 0 ( ) = l l u l l x o 下s t 将不等式 i | | 缸l x - l 牡一l t ，i a 一1 t ，f | 口( i j 饥j i 笋一1 + 0 口i i 一1 ) l l u t ，0 r 代入( 2 1 4 ) ，得 t e l l z ：u c 口i i r u 在( 2 1 8 ) 式中令g = 0 ，可= o 可得到 i i l u l l x s u pt a l l q ( t ) y l l ，+ c o m a t o 另一方面，在( 2 1 8 ) 式中取，= 9 有 d ( 屯，| l ，) c o m a - l d ( u ，t ) 取充分小的m = 2 6 使得2 a o o e 口一1 1 ，得 i i c u l l x e + o o m n 2 = m 与 d ( u ，c 钐) 三d ( 牡，t ，) 因此，c 是砌到其自身的一个压缩映射故由b a n a c h 不动点定理可得映射c 存在唯一的“ x m ，使得c t l = 牡，即问题( 2 1 ) 存在唯一的整体解且满足( 2 1 1 ) 、 下面证明结论( 8 ) ，即证明u ( 茁，t ) c ( 【o ，) ，l q ( r n ) ) 对所有的 三sg i n ( c , - 1 ) ( 2 1 9 ) 都成立类似上面的计算，得 l i u ( t ) 一q ( t ) f l l 口= i p i o 。q 一r ) i 缸i a 一1 u d , l l g c l p i 0 2i 亡一r i 一赤譬一 i i u 孵打 0 1 t t 一舞l _ ( 譬一 ) 一声a 朵( 詈一百1 ) 朵( 詈一南) 1 丽( 7 一石) 孬元( 7 一元南) o 时u ( t ) 的连续性 可由常规方法证明( 如见文【3 0 】引理3 。5 2 ) ，这里略去这就完成了( a ) 与( d ) 的证明另一方面， 在( 2 2 0 ) 中取g = 业2 r r t得性质( b ) 成立 下面证明性质( c ) 利用上面的证明知问题( 2 1 ) 的解满足( 2 1 1 ) 式而( 2 5 ) 式可以改写为 u ( t ) = 引( 1 一口) 司u ( p 亡) + p 厶q ( t 一7 i ) ( i u p u ) ( 7 - ) 打， 这里p ( o ，1 ) 是一个固定的实数选取实数r 1 使得 1 a r n ， ( 2 2 1 ) 旦2 m ( 詈一砉) 1 ( 2 2 2 ) 、，】， 、。， 类似于前面的证明，利用( 2 2 1 ) ，( 2 7 ) 与( 2 1 7 ) 式得 亏由一m ”- i , i i 训r 。舌由一崭( o q ( 1 一口) 胡“( 晚) i | r 。+ l p iz ：| | q 一丁) ( 川q _ l u ) ( 丁) 。打) o ( z p ) 一i n 鬲f 1 一百1 ，t 罚1 一荟蒜u ( o t ) l l r + c 悱丽1 一丽n 胪 t 一丁i 一蠡譬一寿i i 训笋打 2 0 ( 1 一p ) 一荔n 斋f 1 一寿口卢m + o i p i m 口z 11 1 一r l 喇詈一寺7 i 刊打 + 由( 2 2 2 ) 与( 2 1 6 ) 式知 s u pt 雨一而i ，1 o 再次选取n 使得 1 口 r l r 2 ， 旦2 m ( 署一土r 2 ) 1 r 1 ，、“ 同理可得 直接计算知 再1 一旦2 m r 2 一旦( 旦一三) 一( 击一。2 m 住r 1 ) 2 mr lr 2 1 a + 1 - o 口一1 、 7 、a 一 一 因此，利用( 2 2 3 ) 与( 2 2 4 ) 式可推出 s u p t 两一丽i i u ( 0 1 1 ，2 重复上面的讨论我们得到数列n ) 满足 1 口 o 、 其中 q = 2 口c a 0 1i l r | - r 一触打， 岛= 2 q c q z l 1 1 一丁| - r 一触一占d r 由( 2 9 ) 式得笃宇 l ，根据( 2 1 6 ) 得p 口 o 。 + ( c f 2 + c 3 ) ，一1s u p t 卢o + 力6 8 铭一秽j i ， t o 选取充分小的 o 使得( q + 伤) 铲一1 1 由( 2 1 2 ) 直接计算知2 1 3 ) 成立这就完成了定理的 证明 2 3 自相似解 本节我们证明问题( 2 1 ) l 鬟j 自相似解的存在唯一性为此我们先引入一些预备知识首先 介绍调和分析中的l i t t l e w o o d - p 豇e y 理论( 见文【l ，2 5 1 ) 假设妒夕( 瞅) 满足s u p p 移= 毒i 刍 2 1 ，对吾 蚓 0 ，且 移( 2 一j 毒) = 1 ，毒r n o l ( 2 2 7 ) j e z 利用痧定义函数吻，叻满足 如( 亭) = 移( 2 一) ，9 ( 专) + 6 ( 2 一j f ) = l ，伤( f ) = 9 ( 2 。) j = l 显然，奶，竹s ( 舯) ，9 满足s u p p9 = 【毒l 蚓2 ) 且当l 时9 三1 为了方便，记 j ( ) = 奶( z ) 幸 ( z ) = t - 1 锄( f ) 走( f ) ， = 堂塾奎兰生垒兰垒蔓坠一1 2 5 j ( h ) = 仍( z ) 牛 ( z ) = 歹1 奶( f ) 矗( 亭) 则齐次s o b o l e v 空间卑与齐次b e 8 0 v 空间彩t q 可以定义为 霹= 九夕7 ( 舻) il l h l l 岛= 0 【4 巧i 今( ，1 ) 降i i p ， 3 e 7 - 鼋，g 。 危( 舭) i 卑，。2 嘎2 珈i i j ( h ) i i ；1 吉 l 特别，当口= o 。时， 彩，= ( 叭ii l h l l 审，。= s j u z p 2 s j i i a j ( ) i i p l 在给出本节的结论之前给出下面两个引理： 引理2 3 1 ( 文 2 6 1 ) 设q c k ( s n 一1 ) ，对任意的詹0 ，定义函数，( 茹) = q ( 面) 川，其中， 0 o 证明对任意的入 0 ，利厍j f o u r i e r 变换与( 2 4 ) 式得 钟) m ) = 赤f r l l e 妇- i 引2 心厶e - i y f 触) d y d 善 = 赤a 器厶e 缸 e - i 刳加2 厶e - i y 专f ( a y ) d y d 专 o = 赤入器咄厶e 珏铲k 1 2 毗厶e - - i y m ) 匆必 = 赤a 器厶e 龇e - l 引2 2 吨厶e 嘞m ) d u d 萼 ：入害写q ( a 2 m t ) ，( a z ) ( 2 3 0 ) 在( 2 3 0 ) 式中取入= t 一去得 利用( 2 8 ) 式知 q ( t ) ，( z ) ：t 一稿1q ( 1 ) ，( t 一云i z ) s u p ：l l q ( t ) l l r = i i q ( z ) i i r t o ( 2 3 1 ) 因此，为了证明( 2 2 8 定理肆lq 口( 见文 现将f 作如下分解 这里f l = ( 1 一妒) 木， 利用f 1 与的定 s u p p 扁= 专i i i 1 ) ，a j ( f ) = 0 ，j - 1 利用估计( 2 7 ) 知 i i a j ( f 1 ) i i r = i i q 0 ) a ，( i i ) i i ，v i i a j ( f 1 ) l l l c l l 籼( ) 1 1 1 i 扫l i t t l e w o o d - p a l e y 算子的定义及f o u r i e r 变换得 a a f ) 5 赤厶e 协f 谚( 2 叫毒) 讯) 武 = 器厶e 龇嘲船溅 = 一， 已一一口，产ir i 产i 肿 ( 2 7 r ) n - r n v 一v w 、 = 赤2 1 r ) n 厶移( 妒【，( 芳) 】( 毒) 必 = 一， 已一一，j 产- ，1r 一l l l 产肿 (k 。 v 。u 、川h 7 ， = 掣两2 m o ( ，) ( 2 j z ) 因此 1 1 4 ，( ) 1 1 1 = 而2 m ) 1 1 4 0 ( f ) 1 1 1 又因为n 两2 m ，利用( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) - - 与( 2 3 5 ) 式得 i l a j ( f 1 ) l l ，= i l a d f l ) l l r 夕( 器一n i l o ( ，) 1 1 1 c l l a o ( f ) 1 1 1 j zj 2 0 j 一 下面对毋进行估计因为扇= e - l 1 2 ”9 ，完全类似上面的讨论得 s u p p 扇= 【毒l i l 2 ) ，a j ( 玛) = 0 ， 歹2 由( 2 2 7 ) 式与9 ，如定义直接计算得 a j ( 尼)厂一1 易e 一烀”9 ， 厂1 奶，以( 亭) e 一坪”参 七z 2 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) = 厂一1 奶，如+ l ( ) e 一衅”9 1 = - 2 = a j ( ，) 木a j ( q ( 1 ) 妒) ，- ( 2 3 7 ) 东南大学硕士学位论文 其中萄= 冬一2a j + j 在( 2 3 7 ) 式中利用y r o u n g 不等式得 i i 锄( 兄) 0 锄( ，) i | r i j 今( q ( 1 ) 妒) 1 1 1 注意到 i i a j ( q ( 1 ) 妒) 0 l o l l q ( 1 ) 妒l l x q 利用( 2 3 4 ) 式知 i l z x 歹c f 2 ) l l r = i i z j c f 2 ) l l r c 2 j ( 器一- 挈) l l a o ( f ) l l r j zj 1j s l 根据( 2 9 ) 的最后- - 个不等式，由它等价于等 7 7 1 ，因此 i i a j c - p 2 ) i i r c l i a o ( f ) i i ，- j z 最后，注意到r 1 ，根据b e r n s t e i n 不等式得 i i o ( 删i r o l l a o ( ) 1 1 1 因此 i i , ( f 2 ) u r o i i a o ( f ) i i x ( 2 3 8 ) j z 联立( 2 3 6 ) 与( 2 3 s ) 式，这就完成了( 2 2 s ) 式的证明 注意到q 伊( 酽一1 ) 与o 两2 m n ，故 o 。( 删1 1 _ c l l a l l c - f r ( 1 + l z | ) - ( 时普_ o 使得l l n l l c n o 根据引理2 3 2 易见( 2 4 0 ) 成立利用定理2 2 1 的结论得，问题( 2 1 ) 存在唯一的整体解u ( z ，t ) 另一方面，u a ( z ，t ) ：= a 等t ( 旭，入2 m t ) 是以，初值问题( 2 1 ) 的整体解由唯一性得让( z ，t ) = u x ( z ，t ) 县p u c z ，t ) 是问题( 2 1 ) 的自相似解 j 1 4 本节主要讨论问题( 2 1 ) 的大时间渐近性态为了研究渐近自相似解需要下面引理： 引理2 4 1 ( 见文f 2 5 ) 剥r - ? o d i + 等，p ，r 分别由似砂，俾砂式定义假设，是由俾秒式定义的齐次函 数，其中q c n ( s - 一1 ) ，u 是问题俾砂以5 ，为初值的自相似解令 f = 订+ ( 1 一叼) ，= + ，2 ， 、 ( 2 4 1 ) 其中，函数叩由引理2 彳j 给出则当s o 充分小时，以丘为初值的问题偿j 席在唯一的整体 解口( z ，t ) 而且 进一步还有下面估计? s u p t 声l l k t ) l l ，2 e t o s t o u p t 卢( 1 + t ) 嗽t ) 一俐i r o ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 对于o t 1 ，选择实数伯使得1 0 ，由引理2 4 1 ( 2 s u pt a l l q c t ) f 2 1 1 r o t l 对于t 1 ，由( 2 4 z ) 式得 l i q ( t ) f 2 i | r l i q ( o i i i ，+ i i q ( t ) ，7 l l ， 根据引理2 2 8 得 s u p t a l l q ( t ) l l l ，sc l l n l l c ”( 2 4 6 ) 利用估计( 2 7 ) 与p 一嚏字 o 得 t a l l q ( t ) n f l l rsc 护一掣m 培c l l u y l l ( 2 4 7 卜 注意到两2 m 等由引理2 4 1 ( 1 ) 得 i l o f l l 吾c l l n l l c ( 2 4 8 ) 因此，有如下估计式 s u pt a l l q ( t ) f 2 1 1 ，o l l n l l c n ( 2 4 9 ) t 2 卫 联立( 2 4 5 ) 与( 2 4 9 ) 式便得( 2 4 4 ) 式根据定