（计算数学专业论文）扩展的f展式法及其应用.pdf

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椭圆函数 a b s t r a c t i ti sbc l a s so f i m p o r t a n tp r o b l e m i nm a t h e m a t i c sa n d p h y s i e s f o rs o l v i n gn o n l i n e a rp d e s e s p e c i a l l yt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e m i ti 8an e wm e t h o dt od e r i v et h ee x a c ts o l u t i o n so f t h en o n l i n e a re q u a t i o n sb yu s i n gt h eh o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l ea n dt h e f e x p a n s i o n m e t h o df o rr e c e n ty e a r s b yv i r t u eo ft h i sm e t h o d ，t h ep e r i o d i cw a v es o l u t i o n sa n ds o l i t a r y w a v es o l u t i o n sc a nb ee a s i l yo b t a i n e d i ti san e w a p p l i c a t i o no ft h eh o m o g e n e o u sb a l a n c e p r i n c i p l e ，w h i c hh a si n c l u d e dt h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n ，t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n h y p e r b o l i c f u n c t i o ne x p a n d e dm e t h o de t c a n di ti se a s yt oc o m p u t eb yp r o g r a m m i n g i nt h i sp a p e r ，b yt h er e l a t i o n sb e t w e e nj a c o b if u n c t i o n s ，w ee x t e n dt h ef e x p a n s i o n m e t h o d ，n a m e l y , a d da n o t h e rj a a ) b if u n c t i o ng t ot h ef o r mo fs o l u t i o n a p p l i n gt h i s m e t h o dt on o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，s u c ha sh a m i l t o n i a na m p l i t u d ee q u a t i o na n d ( 2 + 1 ) d i m e n s i o nm k d v e q u a t i o n ，s o m en e ws o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e d ，i n c l u d i n gt h eo n e sb yf e x p a n s i o n s e c o n d ，w em o d i f ya n de x t e n dt h i sk i n do fm e t h o d ，t h ev a r i u sc o n l h i n e dj a e o b i f u n c t i o ns o l u t i o n sa l eo b t a i n e d ，w h i c hi n c l u d et h ee x i s t e do n e sa n ds o m en e wo n e s k e yw o r d s ：f e x p a n s i o nm e t h o d ；t h ee x a c ts o l u t i o n s ；p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ；s o l i t a r y w a v es o l u t i o n s ；t h eh o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l e ；n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；j a c o b i e l l i p t i cf u n c t i o n 2 第一章 绪论 1 1 引言 随着近代物理学和数学的发展，早在1 8 3 4 年由英i 虱科学家r u s s e l l 发现的孤立波现象近 几十年来引起人们极大的关注，对这一现象的兴趣与日俱增这是因为，一方面孤立子具有 非常独特的性质，它们在相互作用中保持稳定的波形，这种具有粒子和波的许多性能的孤立 子，在自然界中有一定的普遍性，至今从数值计算、理论分析和物理实验等方面都已证实，许 多学科领域，如流体力学，等离子体物理，非线性光学，凝聚态物理，超导物理，经典场论和 量子场论等存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要问题利用孤立子理论已经成功 地解释了许多物理上长期用经典理论未能得到解答的现象，在应用上，如利用孤立波来改进 信号传输系统，提高其传输率等也已取得了可喜的进展另一方面随着孤立子物理问题的 深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完整的理论体系，并且和经典 分析，泛函分析李群，李代数，微分几何( 有限维和无穷维) ，代数几何，拓扑学，动力系统 和计算数学等数学分支的研究紧密相关，相互促进f l 犯1 随着科学技术的发展，线性模型已不足以反映客观世界的变化规律，在自然科学和社会 科学中非线性作用的影响越来越重要，对于非线性问题的关注也越来越多混沌、分形和孤 立子已经成为非线性科学中三个最基本的分支 1 2 方法总结 非线性方程的求解问题一直被人们当作一个的很困难的问题，每一具体问题似乎都要求 运用新颖的技巧，发明特殊的算法数值求解非线性偏微分方程是个有效的办法，因为在 4 第1 章绪论 蒲州太荸研究生晕位揄文 许多情况下寻找方程的解析解是不可能的，即使方程的解析解存在也并不意味着可以将它表 示为高等函数所以求方程的数值解是必要的但是由于数值方法的稳定性问题，以及非线 性方程本身的复杂性，求得的数值解并不能完全说明问题而解析解是方程的精确解，可以 完全表示方程解的形态和性质，所以求得非线性方程精确解是一件有意义的工作最近几t 年来，发展了一系列构造精确解的有效方法，如反散射法【= ：j l ，b c k l u n d 法f 4 l ，d a r b o u x 变换 法例，h i r o t a 双线性法吲，延拓法，p a i n l e v 分析法及l i e 群法 7 等随着各种求解方 法的不断出现，不但过去一些难以求解的方程得到解决，而且不断发现许多非线性方程有重 要意义的新解 但是，这些方法在求解的过程中，计算非常复杂，得到精确解比较困难近些年随着计 算机的发展和符号运算软件如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 的出现，直接构造非线性方程的解越 来越受到重视，使复杂、冗长的代数运算可在计算机上完成，并可发现赫的解吴消元法和 g r s b n e r 基方法为我们提供了求解非线性代数方程组的系统而有效的工具，构造非线性方程 精确解摄有效的直接方法之一为函数展式法【 ：j 】f 展式法阳1 】【1 6 是其中构造非线性方程双 周期解的有效方法，其算法的基本原理是基于绝大部分有物理意义的非线性方程的双周期解 都可以表示为j a c o b i 函数1 1 7 卜1 2 s ) 的多项式形式，并且在极限的情况下得到方程的孤立渡解 和三角函数解，这是许多传统方法所不能得到的 1 2 1j a c o b i 函数展式法 函数展式法中j a c o b i 函数展式法是构造非线性演化方程双周期解的有效方法 j a c o b i 函数展开法的主要步骤为： 步骤1 ：寻找方程的行波解u ( $ ，t ) = u ( ) ，= 。一u t + o ，将其代人非线性偏微分方 程，得到关于( ) 的常微分方程 步骤2 ：假设常微分方程解的形式为： m u ( f ) = n ， t = 0 其中s 为j a c o b i 函数中的s n 或c n 步骤3 ：利用齐次平衡原则j 一【3 3 】，平衡常微分方程的最高阶线性项及最高阶非线性项， 得到m 的值确定步骤2 中的解的形式 步骤4 ：将步骤3 确定的解的形式代人常微分方程整理成为s 的多项式形式，令多 项式的系数为0 ，即得到关于束知量的非线性代数方程组，利用符号计算软件m a p l e 或 m a t h e m a t i c a ，解此非线性代数方程组，确定未知量，即可确定解的形式 5 第1 章绪论 蔺州土晕研究生警位瞥文 1 2 2 f 展式法 文献 2 1 】【2 2 】将j a c o b i 函数法进行了扩展，得到了扩展的j 8 c o b i 函数法，扩展的j a c o b i 函数法是将解的形式设为 n “= a o + 啦尸一1 a j y l | ( 0 + b 鲰( ) 】，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 6 y = z 但 ( ) ，乳( ) 均为设定的j a b i 函数，在求解中极为不方便所有的j a c o b i 函数满足常微 分方程 f 4 ( f ) = q o + q 2 f 2 + q 4 f 4 利用此非线性常微分方程发展了f 展式法 f 展式法的主要步骤为： 步骤1 ：给定一个关于变量z ，t 的非线性偏微分方程 日( ， l l t ，z ，幽“z z ，) = 0 ， 设求其行波解的形式为： u ( z ，t ) = f f f ) ，f = o w t + f o ， 其中和u 是待定常数，岛是任意常数 将( 1 22 ) 代人( 1 2 1 ) 得到关于，的常微分方程： h ( i ，f ，f ”，) = 0 ， 其 = 薹，7 = 虿d 2 f ，一1 ， 此器 步骤2 ：设( 1 23 ) 解的形式为： n f ( o = 啦一( ) ， i = o f 。( ) = q o + q 2 f 2 ( ) + q 4 f 4 健) ( 1 2 1 ) ( 1 22 ) ( 1 23 ) ( 1 , 24 ) ( 1 2 5 ) 其中毗，是待定常数，利用齐次平衡原则，通过平衡( 1 21 ) 中的最高阶线性项及最高阶非线 性项，确定n 的值，即确定了( 1 2 4 ) 的形式 步骤3 ：将( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 代人常微分方程( 1 23 ) ，整理为关于f 。( ) 的多项式，令多 项式的系数为0 ，得到关于未知鼍的代数方程组 6 第1 章绪论 樯州土謦研究生晕性格文 步骤4 ：通过符号计算软件m a p l e 或m a t h e m a t i c a ，解此非线性代数方程组，确定 a ，u 的值，将结果代人( 12 4 ) ，即可得到方程( 1 2 1 ) 的一般的行波解形式，解的形式为 j a c o b i 函数双周期解的形式，并且在极限情形下，得到方程的孤立波解形式 f 是满足常微分方程f , 2 ( f ) = q 0 + q 2 f 2 + q 4 f 4 的解，当q o ，q 2 ，q 4 取不同的值时即得 到不同的j a c o b i 函数解，在形式上加以统一，求解更加方便 1 3 本文安排 由于最初的f 一展式法只能得到单个j a c o b i 函数解的形式，解的形式比较单调本文 第二部分在原来的f 展式法的基础上进行了扩展，思想上利用j a c o b i 函数之间的关系， 在解的形式中加人另一个j a c o b i 函数g ，来求解非线性偏微分方程h a m i l t o n i a n 振幅方 程【1 3 】、( 2 + 1 ) 维的m k d v 方程，不仅可以得到原来f - 展式法求得的饵，而且还可以求得 许多不同的新解第三部分在原来f 展式法的基础上进行了修正，在解的形式中加入导数函 数f ，求解一种高次k d v 型方程和耦台的非线性i t o 方程组，同样也得到了原来f - 展式 法求得的解，并且也求得了许多不同的新解扩展的以及修正的且展式法可以求得方程更一 般形式的解，这是以前b 展式法所不能得到的 本文的所有计算均是在符号计算软件m a p l e 9 5 的环境中执行的 7 第二章 扩展的f 展式法 2 1 方法叙述 在本章，我们在原来f 一展式法的基础上进行了扩展，思想上利用j a c o b i 函数之间的关 系，通过在解的形式中加人另一个j a c o b i 函数g 来求解非线性偏微分方程，不仅可以得到 原来f _ 展式法求得的解，而且还可以求得许多不同的新懈 下面叙述扩展的f 展式法的基本步骤 步骤1 ：给定个关于变量z ，的非线性偏微分方程： h ( u ，砘，“3 ，t 武，u 船，一- ) = 0 设求其行波解的形式为： u ( 2 ，t ) = ，( f ) ，f = k z u t + f o 其中k 和u 是待定常数，如是任意常数 将( 2 1 2 ) 代人( 2 11 ) 得到关于f 的常微分方程： h ( f ，f ，f ”，) = 0 ， 其 。蘸d f ，= 器，i ，( 呐= 而d f 步骤2 ：设( 2 1 3 ) 解的形式为： ，( f ) = 啦f 德) 十b i f 一1 嬉) g g ) + b i f l “嬉) g 一1 ( f ) 8 f 2 ，1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第2 章扩展的f 一展式法 旃州土晕研竟生孽经督文 f 4 ( ) = q o 十q 2 f 2 ( e ) + q 4 f 4 ( ) g 22 肛f 2 + 2 ， ( 2 15 ) ( 2 1 6 ) 其中a t ，6 。( i = 一n ，n ) 是待定常数，利用齐次平衡原则，通过平衡( 2l1 ) 中的最高阶线 性项及最高阶非线性项，确定n 的值，即确定了( 2 1 4 ) 的形式 注：当0 4 = 0 0 o 】，k = 0 0 ( 0 ) ，扩展的f 一展式法即退化为j a c o b i 函数法 步骤3 ：将( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 代人常微分方程( 21 3 ) ，整理为关于f t ( ) 和 f 健) g ( f ) 的多项式，令多项式的系数为o 得到关于未知量的代数方程组 步骤4 ：通过符号计算软件m a p l e 或m a t h e m a t i c o , 解此非线性代数方程组，确定 m ，b i ，“j 的值，将结果代人( 2 , 1 4 ) ，即可得到方程( 2 1 1 ) 的一般的行波解形式，解的形式 为3 a c o b i 函数双周期解的形式，并且在极限情形下，得到方程的孤立波解形式 下面我们把扩展的凡展式法应用到h a m i l t o n i a n 振幅方程和( 2 + 1 ) 维的m k d v 方程 2 2h a m i l t o n a n 振幅方程 h a m i l t o n i a z 振幅方程的形式为： t q - u “+ 知l t 上1 2 u e u 耐= 0 ， 其中u ( x ，t ) 是复函数，是实数，e n q 口4 。，和，船，乳，“，满足( 2 2 4 2 e ) ，n = 一- - 2 p 2 v a - _ 二3 k j 2 q 了o # - k 2 q 2 一v 口，七 可以是任意常数 由于非线性s c h r s d i n g e r 方程的解的所有情形均类似于h a m i l t o n i a n 振幅方程的解的情 形包括孤立波解和三角函数解，所以在此我们不再讨论 2 3( 2 + 1 ) 维m k d v 方程组 ( 2 + 1 ) 维m k d v 方程组为 卜= i l u n + i 3 u 。一；甜u z + i ( w ) 。一i u 一 岫。一v = 一2 a ( u 2 ) m ( 2 3 1 ) l 一v y y = 2 0 r ( u 2 ) ( 1 ) 为求方程组的行波解，今u = ，( f ) ，u = 9 ( ) ，u h ( ) ，= k l x + k 2 y w t + 岛其 中l ，也，u 为待定系数， o 为任意常数 所以方程组( 2 3 1 ) 化为： f u ，7 = ； ，“+ ；- j ，”，一；n k - ，2 ，+ i 3 t ( ，9 ) 7 4 3 _ k 。，h ， ( k 一咤) ，= 一2 a ；( ，2 ) ”， ( 23 2 ) l ( 砰一碹) = 2 a k l k 2 ( f 2 ) ” 对方程组( 2 3 2 ) 的后两式积分并取积分常数为0 ，得： i 将( 2 33 ) 代人方程组( 2 32 j 的弟一式雨 一u ，= ( i 1 十；k 聩) ，+ 卜；a t i 确9 a k 3 一五鹣】，2 ， 令 a = 扣+ i t t 磅， b = 一；a h i 蔫一i 鹣 则( 2 34 ) 化为： 一i l = a f m 七b p s ? 。 ( 2 3 3 ) ( 234 ) ( 235 ) p 水 曩州 笙! 垩芏垦塑! ：壁叁墨 堕型圭堡堡垒! 璺焦竺兰 积分一次，并取积