（应用数学专业论文）一类半线性方程解的渐近性态和稳定性.pdf

摘要 本文主要研究全空间彤上的椭圆型方程： a ，u 、+ f ( x 川? 联舻， ( 1 ) 【u ( z ) 一0 ，_ o g ， 一 正解的稳定性，无穷远处的性态，以及无穷多个解的存在性方程( 1 ) 是 下列c a u c h y 问题 u u t ( z = ，。a ) u ：+ 妒f ( z ( ) x ，牡二：? 兄“。，t l ( 2 ) 【u ( z ，o ) = 妒( z ) z 月”， 、。 的一种平衡态的形式其中= ：，2 如2 _ ；是n 维的拉普拉斯算子，丁 0 是一个正常数 方程( 1 ) 起源于黎曼几何，被称为共形内积曲率方程最初问题的简 化形式为方程 u + k ( z ) u 詈氅：0 ，z r n 这类方程在物理中也有广泛的应用，由于正解的对称性，众多数学家研 究径向对称正解的存在性和它们的一些性质，例如单调分层性，无穷远 的衰减，以及稳定性等 众所周知，我们考虑的是全空间问题，这样的无界空间没有紧性，而 且方程的第二项f ( x ，u ) 在零点有奇性，这些都是我们需要克服的困难， 除以上困难外，f ( x ，u ) 可能还包含非齐次项，这也对研究造成困难在 本文中，我们考虑方程的径向对称形式，令r = h ，于是方程( 1 ) 简化为 u + 竺 ! u 7 + f ( nu ) ：o ，r2 o ， ( 3 ) 对以上方程给定初值 u ( o 、= o t 记方程初值为q 的解u ( q ，r ) 为u 口、当f ( r ，钍) 满足一定条件时，对每个正 的初值也( o ) = q 0 ，方程都有正解当f ( z u ) = k ( z ) 俨+ 五7 ( 咄时，我们 将研究方程( 1 ) 极小解的渐进性态，稳定性和慢速衰减正解的稳定性以及 无穷多个解的存在性；当f ( z ，u ) = z 乱p + 。u q 时，我们将重点研究方 程( 3 ) 的正解在无穷远处的渐进性态 关键词：半线性椭圆型方程，极小平衡解，半稳定性，渐近性态， 渐进稳定性 i i a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ew i l lc o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n dt h es t a b i l i t y o ft h ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o n fa u + f ( x ，牡) = 0 ，z r n ， 、乱( z ) _ 0 ， h _ 。， w h i c ha r ep o s i t i v es t e a d ys t a t e so ft h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e m ： lu t _ a u + f ( z ，“) ，i n 肝( 0 ，t ) ， i 缸( z ，o ) = 妒( z ) ，i n 即， w h e r e p 1 ，z 舻，n 3 ，= ：l 基 i ss o m ep o s i t i v ec o n s t a n t ( 1 ) ( 2 ) i st h en - d i m e n s i o n a ll a p l a c i a n ，t 0 t h ee q u a t i o na r i s e ni nr i e m a n n i a ng e o m e t r y , i ss a i dt ob et h ec o n f o r m a ls c a l a r c u r v a t u r ee q u a t i o n s as i m p l ev e r s i o ni s t 工+ k ( z ) t l 籀= 0 ，z r “ f o rt h ep h y s i c a lr e a s o n sa n db e c a u s eo ft h er e s u l t so nt h es y m m e t r yo fp o s i t i v e s o l u t i o n s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n ss t u d yt h er a d i a ls o l u t i o n s ，s u c ha st h e e x i s t e n c eo f p o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ra ti n f i n i t ye t c t h eu n d e r l y i n go b s t a c l e sr e s u l tf r o mt h ep r e s e n c eo ft h es i n g u l a r i t yi nt h eo r i g i n o ft h es e c o n dt e r m sf ( x ，) ，i n h o m o g e n e i t ya n dt h el a c ko fc o m p a c t n e s sd u et ot h e u n b o u n d e dd o m a i n ( e n t i r es p a c e s ) t h i sd i s s e r t a t i o nd e s e r v et ot h er a d i a ls o l u t i o n s ， w i t hr = 吲，t h ee q u a t i o n ( 1 ) r e d u c et ot h ef o l l o w i n g 牡”+ 兰；! u ，+ f ( r ，乜) ：o ，r o r ( 3 ) d e n o t et h ep o s i t i v es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( 3 ) b y 钍qr ) w i t hi n i t i a lv a l u e u ( 0 ) = o f o re v e r ya 0 ，t h e r ei sap o s i t i v es o l u t i o nu 。( r ) f o re q u a t i o n ( 0 0 3 ) i i i w i t hs o m ea s s u m p t i o n s0 i if ( x ，“) w ew i l ls t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n d t h es e m i s t a b i l i t yo ft h em i n i m a lp o s i t i v es t e a d ys t a t eo fe q u a t i o n( 1 ) f o rf ( z ，u ) = k ( z ) 矿+ p ，( z ) i na d d i t i o n ，w ew i l lp r o v et h a ta l ls l o wd e c a yp o s i t i v es t e a d y s t a t e s o fe q u a t i o n ( 1 ) a r es t a b l ea n dw e a k l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei ns o m ew e i g h t e dl n o r m s w h e nf ( x ，u ) = h 扩+ h b u q ，w ew i l lc o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o fp o s i t i v es o l u t i o no f ( 3 ) n e a ri n f i n i t y k e yw o r d s ：s e m i l e a re l l i p t i ce q u a t i o n ，m i n i m a lp o s i t i v es t e a d ys t a t e ，s e m i - s t a b i l i t y , a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，a s y m p t o t i cs t a b i f i t y i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果1 余, 3 c 中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：椒枉，- l i 趸砷年 6 月移日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名；鞭枉n 受 日期： 导师签名：够调弼幼期： 6 月g日 6 旯8 日 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 1 绪论 本章主要介绍我们研究问题的背景和所得的主要结果此章由以下 四节构成 1 1 研究问题的背景及结果 本文主要研究全空间舻上的半线性椭圆型方程： 篡- 兀弘叫翟联r n , ( 1 1 t 1 ) 【 ) _ 0 ，h _ o 。 、7 正解的稳定性，无穷远处的性态，以及无穷多个解的存在性方程( 1 1 1 ) 是下列c a u c h y 问题 u u t ( z = ，。a ) u ：+ 妒f ( z ( ) z , u ) 二z r z i ) 冗”。，丁l ( 1 1 2 ) 【u ( z ，o ) = 妒( z ) z “， 、 的一种平衡态的形式其中a = ：，碚0 2 是n 维的拉普拉斯算子，t 0 是一个正常数，方程( 1 1 1 ) 的最初形态为 乱+ k ( x ) u p = 0z r “ ( 1 1 3 ) 方程( 1 1 3 ) 起源于物理和数学问题g ( x ) 三- 的情形时，方程( 1 1 3 ) 是著名的“l a n e - e m d e n 方程，在天体物理上有时也称“e m d e n f o w l e r ”方 程，此时，u 表示单个星体的密度。当p = 再n + 2n 3 ) 时，方程( 1 1 3 ) 被称 为全空间上的共形内积曲率问题在n ( n 3 ) 维黎曼流形( 们，g ) 中，找 给定曲率k 的共形度量g ，( 例如g ，= 让南9 ) ，这一问题等价于找m 上的 椭圆方程 掣知峨+ k 缸籀= o ( 1 1 4 ) 的正解，其中口是在9 一度量里的“l a p l a c e - b e l t r a m i ”算子，七是( mg ) 上的内积曲率当m 为紧时，读者可以参考k a z d a n 的文献【5 2 等当m 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 完全非紧时，倪维明等最先开始研究这类方程最自然的情形是m = 舻， g 是常规度量，k = 0 ，并且方程( 1 1 4 ) 经伸缩变换变为全空间上的方程 ( 1 1 3 ) 读者可以参考【7 4 n i 【7 3 】在1 9 8 2 年首次对方程( 1 1 3 ) 进行了系统的研究，他用上下解 的方法证明当k ( z ) 在无穷远处为快速衰减时( 即当吲充分大时，k ( x ) ，z ， o ； ( i i i ) 如果k 三l + 叩，方程( 1 1 3 ) 有无穷多个径向对称的解，并且这些 解满足 c 1 r 丁n - - 2 u ( r ) g 其中c 。，c 2 是正常数可能依赖于解札，这里7 7 ( r ) q ( o 。) ) 叩0 ，并且 叼0 而且关于r 单调减的且叩( o ) 1 ，l i m 一。叩( r ) = 0 后来l i ，n i 6 5 在1 9 8 8 年对方程( 1 1 3 ) 正解的渐进性态进行了系统的 研究，他们证明当 - ( z ) 为快速衰减时，方程( 1 1 3 ) 的正解在无穷远处的 极限u 。= l i m z 一仳( z ) 总是存在的，而且如果让。= 0 ，那么对任意的 0 2o 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 有 f c 阡，如果p 糟， t 正( z ) 【q 刚卜讹+ 2 ) 】l - p ，如果p 案粤， 其中q 是一个依赖于e 的常数；如果u 。 0 ，那么在无穷远处有 lc 阡一， 如果z 1 扎： i u ( z ) _ u 。i cj zj 2 一”l o gi z l ， 如果1 1 = 一祝， ic l z l 2 + 2 l ， 如果一礼 一2 使得当r 充分大时，凡( r ) c ，近年来许多工作者做出了大量的研究，得到很 多漂亮的结果由于物理应用和正解的对称性， ( 参看f 1 6 ，1 8 ，1 9 ，4 0 ，4 3 ， 4 4 ，6 4 ，6 6 ，6 6 ，6 9 ，9 3 ，9 4 以及这些文献的参考文献】) ，他们考虑方程( 1 1 3 ) 的 径向对称解此时方程( 1 1 3 ) 变成一个常微分方程，即： 珏，+ 竺；! u 7 + k ( r ) u p = o ，r ( o ，+ 。) ( 1 1 5 ) 由于同样的原因，许多工作者对方程( 1 1 5 ) 给定初值，即 p 孚“( 咖牲0 代( 0 悃) ， ( 1 1 6 ) 【t 正( o ) = q 我们记方程( 1 1 6 ) 的解为u 口= u ( r q ) 我们首先介绍一些记号和给出一些定义，这些记号将运用到全文： m 三至蟹6 。三礼一2 2 m ， p 一1 ” 3u 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 l 兰【m ( 竹一2 一m ) 】寿 c o 三p 一1 ) l r l ， p。(n，z，)=1礼0+14。11+,4：卜。 ( 1 1 7 ) 注意到当2 。= 0 时，我们有 。 ，、f 一( n - 2 ) 2 - 撕4 n + 。4 v 熏n 2 - ( 巫n - 2 ) 2 n 1 0 ， p c ( 札o ) 21 。o ”一2 豇”一1 。 “三：1 0 ，i 。oj t l u 它最早出现在 5 1 这篇文献里面，如果p 幽n - 2 和2 ， 一2 ，我们有 m 0 和b o 0 考虑下面的代数方程 入2 + b o a - 4 - c o = 0 ， ( 1 1 8 ) 其中6 0 ，与( 1 1 7 ) 所定义的相同当p p 。时，( 1 1 8 ) 有2 个根一入2 旦墨2 时，如果r q z k 在零点有正的右极限，则存在q ， 0 使得对每个q q 。， 方程( 1 1 5 ) 无解在这种意义下，m = 孚是问题( 1 1 5 ) 解存在的临界 指标，而且文献【2 9 和1 6 6 分别建立了方程( 1 1 5 ) 解的存在性，文献【5 6 和【9 3 】也分别获得正解的唯一性文献 4 1 ，4 2 和【8 9 】中分别指出：如果 凡( r ) = r f z ，当p 幽n - - p 时，所有正解是一个关于r 单调递减的单参数集 u n a ，r = 阱u o ( o ) = q ，而且对每个乜 0 有 t 上。= o u l ( a 去7 一) l i m7 m 札( r ) = l r _ 而且乩= l r 一是它唯一奇解特别地，当p = n + 。2 一+ ：2 1 2 时，所有非平凡的 正解( 相差一个变换) 为： 州牡( 雩) 两2 ，n 一 其中a 0 l i 在文献1 6 3 中用能量函数法进一步得到这些正解在无穷远 处的衰减行为，其结果如下： 定理a 设i t 是方程( 1 1 3 ) 的正解，如果 ( i ) l i 瓯一+ o cr l k ( r ) = k o 。 0 ， 番( r 2 】人，( r ) ) + l 1 且0 l 0 ， 石d ( 、r q k ( r ) ) 】一l 1 且旦笋 0 ，那么方程 ( 1 1 5 ) 的解在无穷远满足： 熙 = 等( n - 2 一等) 南七孛 二： 而对于f ( x u ) = k ( z ) 乱p 十弘，( z ) ，此时方程( 1 1 1 ) 变为非其次的形式： u + k ( z ) 乱p + p f ( x ) = 0z r “( 1 1 1 0 ) 其中p 为正的小参数d e n g ，l i 和y a n g 在 2 8 中的主要结果陈述如下： 定理c 假定k ( x ) 满足 ( k 1 ) 当川一o 。时，k ( x ) = 七。h 。+ o ( i x l d ) 其中七。 0 ，d 礼一a 2 一m ( p + 1 ) a 2 的定义见( 1 1 9 ) ； ( k 2 ) 当h _ 0 时，k ( x ) = o ( i x l 7 ) ，其中丁 - 2 ； ( k 3 ) ，( r ) 在r ( o ，+ o 。) 上是局部l i p s c h i t z 连续的并且岳( r 一。 ，( r ) ) 在7 ( 0 ，+ 。) 上小于0 1 厂满足 ( 厂1 ) 当h _ 0 时，f ( x ) = o ( i x l 7 ，) ，其中t 1 一2 ； 6 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 ( f 2 ) 当i x l o o 时，f ( z ) = o ( i x l a ) ，其中q 扎一m a 2 并设a = a 0 ，u ( t ，a ) 是( 1 1 1 0 ) 的正解，r ( 0 ，+ 。) ) ，s = 缸 0 ，u ( r ，0 = ) 是( 1 1 1 0 ) 的正解，r ( 0 ，+ 。) 并且祝( ta ) 是慢速衰减的) 定义o 。= q ( k ，p ) 兰i n f a a ) ，那么有0 0 满足对每一个肛f o ，肌) 有 q + 。 。，并且a = q + o o ) ，s = ( o z ) ，对于任意的o l 。o l 卢，u 。( 7 ) 和 u z ( r ) 是不相交的，即0 u q u 3 ； ( i i ) 如果旦丝n - - 皿2 p 0 满足对每一个le 0 ，p 。) ，方程( 1 1 1 0 ) 存在无穷 多个正的整体解，并且在无穷远处： 孔( r ) 一士f z r m 7 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 在第二章我们将证明方程( 1 1 1 0 ) 的极小解的渐进性态以及它的稳定 性对于方程( 1 1 2 ) 平衡解稳定性，近几十年来有大量研究，做出了非常 漂亮的结果当f ( x ，t ) 三u p 时，方程( 1 1 2 ) 变为： lu t - a u + u p ( z ，t ) r ”( 0 ，t ) ， ( 1 1 1 1 ) i 趾( z 0 ) = 妒( z ) z r ”， 方程( 1 1 1 1 ) 虽然形式简单，但其结构非常丰富我们首先来给出一 些事实，对于任何c b ( r “) 且砂0 ，那么方程( 1 1 1 1 ) 在r ” 0 ，乃) 有 唯一的经典解，其中 0 ，并且u 在r 札【o ，乃 上是有界的( 马 ) 如 果巧 + 。那么当t 一巧时，有 ( t ) l l o 。( 舻) _ + 。 上面事实通过经典的不动点方法就能证明如果巧 + 。，那么u 在有限 时间内爆破，称锃是关于时间的局部解，如果= + 。，我们就说u 是关 于时间的整体解 自从f u j i t a 在1 9 6 6 年对方程( 1 1 1 1 ) 做了一个开创性结果以来( 他在 【3 5 中证明：当p 警时，方程( 1 1 1 1 ) 的任何一个解在有限时间内爆 破，即对任意的妒0 ，方程( 1 1 1 1 ) 的任何一个平衡解在任何意义下都是 不稳定的) 许多工作者对方程( 1 1 1 1 ) 沿着三个方面进行了大量的研究： 第一：指数p 对解在有限时间爆破所起的作用( 读者可以参看 5 跏等文 献) ；第二：爆破图象( 读者可以参看 5 0 等文献) ；第三：非负平衡解的稳 定性，以及解在有限时间爆破关于妒的充分性条件，以及解乱( z ，t ) 关于 时间的衰减速度( 读者可以参看 8 9 等文献) 由于篇幅限制，我们着重 介绍一下关于方程( 1 1 1 1 ) 的第三个方面的研究成果 ( r1 ) 如果1 警且妒“充分小”，那么平衡解u o 在某些意义下是稳定 r 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 的( 见【4 9 ，5 5 ，9 2 】) 在第一种情况下，( 1 1 1 1 ) 的解u ( x ，t 0 ) 在有限时间内爆 破，在第二种情况下，当_ + 。时，u ( x 、t ，0 ) _ 0 ( r2 ) 如果p 警时才 存在) 在任何意义下都是不稳定的；如果p p 。，则在带权的三m 空间下是弱 渐进稳定的 4 5 ( 上面提到的指数有下列大小关系：警 盘 p 。，且m + a 1 入 7 7 + a l ，( 1 1 1 1 ) 的任何一个正的平衡 解都是关于范数l a 是弱渐近稳定的；当0 a 仇+ a ，或者a n 时是 不稳定的 ( ) 如果p = p 。，0 a j ( b ，) 南，其中a j ( b ，) 是算子一在单位球面上的关于d i r i c k l e t 边界条件的第一个特征值 6 0 】； ( b ) 妒a ，a = 1 如果p l 如果p p 。，其中砂是( 1 1 1 1 ) 的连续的 弱下平衡解且是非负和对称的但不是( 1 1 1 1 ) 的一个平衡解 8 9 j ；( c ) p p 。 并且l i m i r k 卫。川寿妒( z ) l s 9 1 ( r6 ) 如果妒a 矽，其中0 0 特别的如果妒是正则的径向对称平衡解u 。或者是奇异的平衡解u 。= l l x t 一南，上面的结果也是对的 8 9 注1 1 4 2 0 0 1 年g u in iw a n g 在 4 6 得出了比上面更慢的衰减速度 ( 关于时间t ) 他们的结果如下： 如果妒( z ) l i x l ”一o h “+ a ( i x i 充分大，n 和a 是正的常数) ，那么要 么l i - ( ，；妒) i l l 。( _ r 。) 在有限时间爆破，要么关于时间的衰减比一南慢( 即 当t 一+ ，一寿肛( ，；妒) “l 一( r n ) _ + 。) 在第三章与第四章我们将证明下列方程对称解的渐进性态： 乱+ i xj h u p + i x i 幻u 9 = o z r ”； ( 1 1 1 2 1 【孔( z ) _ 0 当h _ + 。 r 一 其中1 1 1 2 一2 ，p q 在无穷远处，方程( 1 1 1 2 ) 可以看作是下面方程的 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 扰动 u 舭 ，+ 。i x 。l l p 当= 0 h x 一6 + r 。“； 对于方程( 1 1 1 3 ) 正解的渐进性态，在 6 3 ，4 5 】等文章有系统的研究， 得到了很精细的结果： 定理d 设u 。( o l = u ( o ) ) 是下列方程的径向对称的解： a u + l z l 。1 ，“p = 0 z r “ 如果p p 。，对任意给定的e 0 ，在无穷远处我们有 乱。( r ) = 面l + 惫+ + o ( 万1 瓦) 如果p p c ； ( 1 1 - 1 4 ) ( 1 1 1 5 ) 仳。( 7 ) = 鬲l + 而a 。l o g r + + d ( 两1 ) 如果p = - - - p c ( 1 1 1 6 ) 其中l = f m ( n 一2 一m ) 六，入1 的定义见( 1 1 9 ) 下面定理是定理a 的一个直接结果： 定理e 设u ，u ：是下列方程的径向对称的解 u + l z i 。1 让p = 0z r ” 假定l i m 一。r u 1 ( r ) = l i m 一。r m 乱2 ( 7 ) = l 并且 l i mr a ( r u 1 一l ) = l i mt a l ( r ”u 2 一l ) 如果p p c ； l i m 高( r m u l - - l ) = 熙嘉( r m u 2 - - l ) 如果p - - - p c 那么在无穷远处我们有u ，一u 2 = o p m 。z ) ，其中a ：的定义见( 1 1 9 ) 注1 1 5 从定理d 知正解展开的第二项系数与解的初值有关，然而 如果对方程( 1 1 1 3 ) 进行一个强的扰动我们将得到正解在无穷远的展开的 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 第二项系数与解的初值无关，当然如果对方程( 1 1 1 3 ) 进行一个较弱的扰 动，则正解在无穷远的展开的第二项系数与解的初值是有关的 第五章我们将证明下列方程无穷多个解的存在性： 会兰+“pz+f0z r _ 1 0 i m i 。f 一。u 。z ，：0 c ，1 ，7 ， 【u z “， 巾。u ( z ) = r 其中，( z ) q o 。, o c ( 舻) 并且，( z ) 0 ：。4 一 当方程( 1 1 1 7 ) 中f ( x ) 用p ，( z ) ( p 为很小的参数) 替代时，n i 和b a e 1 0 得到如下结果： 定理f ( i ) 假定p p cn ，o ) ，并且在无穷远处满足： m a x ( i f ( x ) ，0 ) h 一啦， 其中q + n 一入2 ，q 一 n a 2 一们那么存在，以 0 满足对任一个肛( 0 ，i t * ) ， ( 1 1 1 7 ) 具有无穷多个整体正解并在无穷远处满足u ( r ) 一l l x l m ； ( i i ) 如果p = p 。n ，o ) ，并且厂( z ) 在舻中有紧的支集或者在舻中不变 号，那么( i ) 中的结论也成立 从定理c 和定理f 我们知道，无穷多个解的存在性都需要一个条 件：p p 。，因为在这个条件下，对应的齐次方程的正解具有分层性，根 据这个特性他们可以构造相应的上下解但是当爱 0 ，那么我们就称u ( r ) 是在无穷远处具有奇性的解；如果l i m r - - + o gr n 一2 7 2 存 在，那我们就称u ( r ) 在无穷远处是正则的解类似地，如果缸( r ) 满足 l i ms u p r - - * 0 r 铂u ( r ) 0 ，则我们称( 1 2 1 ) 的正解u ( r ) 在原点是具有奇性的 解；如果l i m r 。ou ( r ) 存在，我们就称u ( r ) 在原点是正则的解 首先我们给出下面记号 o t l = 措 上i = a a ( n 一2 一q 1 ) ， 秽1 ( 7 ) ：r m u ( 7 _ ) ，口2 ( 7 ) ：r 口。饥( 7 ) ( 1 2 2 ) 对于方程( 1 1 1 0 ) ，我们依次给出下面的假设： ( k 1 )当h 一。时， k ( x ) = 后。l x l 。+ o ( i x l d ) 其中奄。 0 ，d 死一a 2 一m ( p + 1 ) a 2 的定义见( 1 1 9 ) ； ( k 2 ) 当h 一0 时，凡 ) = o ( t x l 7 ) ，其中丁 一2 ； ( k 3 ) k ( ，) 在r ( o ，+ 。) 上是局部l i p s c h i t z 连续的并且旦d r ( r2 人，( ，) ) 在r ( 0 ，+ 。) 上小于0 ( f 1 ) 当i xj _ 0 时，f ( x ) = o ( n 7 - ) ，其中7 1 一2 ； ( f 2 ) 当h _ 。o 时，( x ) = o ( i x l a ) ? 其中q 几一m 一入2 ( f 3 ) ( 1 + h m p ) 厂( z ) m i n i ：孙ik ( 砂 1 3 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 1 3 主要结果及证明方法 定理1 3 1 设u = u ( r ) 是方程( 1 1 i 0 ) 的解k 满足( k ，1 ) ，( k 2 ) ，满 足( f 1 ) ，( f 2 ) 在无穷远处，u ( r ) = o ( r 一) 那么当r _ + 。时，我们有 fo ( r 2 叫) 如果q 佗， 礼( r ) = d ( r 2 l o g r ) 如果q = n ， io ( r 2 9 ) 如果m + 2 p i n + 2 丁+ 2 1 ，a + = q 批并且k 满足( k 1 k 3 ) ，f 满 足( f 1 ) 和( f 2 ) 另外，我们还假定a = k ，。) ，s = ( a + ，。) ，那么下列结果 成立： ( i ) 如果0 q + 那么方程( 1 1 1 0 ) 的 解满足l i r a t 一u ( z ，z ，妒) _ u 。 ( i i ) 如果( z ) 。并且妒( z ) 仳。其中n o 。，那么( 1 1 1 0 ) 的解 u ( z ，t ，妒) 必在有限时刻爆破 定理1 3 4 k 满足( k 1 一k 3 ) ，厂满足( f 1 ) 和( f 2 ) 另外，我们还假定 q 。= q 撕存在7 a z 在无穷远处满足士( r 叫k ( r ) 一k ) + ，( r ) r 2 + m = d ( 专) ： 姥：l 那么对于方程( 1 1 1 0 ) 我们有： ( 1 ) 如果p = p 。，0 p 。m + 入1 a m + 入2 ，任何慢速衰减的平衡解是弱渐近 1 4 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 稳定的，当0 a 仇+ 入1 时，是不稳定的 定理1 3 5 如果- 2 1 2 l l 0 ，糟 p q ，并且p ，q 满足 警，百n+2丁4-212p q 再忑一，石j 那么( 1 1 1 2 ) 的任何一个解具有下面的性态 l i r ar a l u = l ，或者l i mr n - 2 u = c 1 ； ( 1 3 1 ) r o or 。c ；t i m 。严2 珏= l 17 或者1 i 碑孔= c 2 ( 1 3 2 ) r _ 0一r _ 0 。 、7 其中c ，c 2 是一个正常数 定理1 3 6 如果一2 1 2 1 1 0 糟 p g ，假定u ( r ) 是( 1 1 1 2 ) 的 一个正解，那么 ( i ) 如果g = 出n - - 2 ，那么要么( 1 3 2 ) 成立，要么秽2 ( r ) 在原点附近无限 次的来回振动，并且振动位于数列p ，i 和p 2 ，i 之间，0 p ，i p 2 。并且 j i m 弘1 ，t = h 1 , 1 i r ap 2 ，i2 弘2 2 - z _ o c p 1 = 觋i n f r 孚牡( r ) l i 珥s u p r - - o u r 孚u ( 小：肛2 r + u 其中肛，和，z ：是固定的常数并且满足 0 p 1 l 1 p 2 ，b ( 1 t 1 ) = b ( h 2 ) 0( 1 3 3 ) 其中6 ( u ) = 赤伊1 一年口2 ( i i ) 如果p = 幽， 1 - - 2 ，那么要么( 1 3 1 ) 式成立，要么u 1 ( r ) 在无穷远处 振动无穷多次，并且振动位于数列z j ，；和f t ：，i 之间，0 z ；，； 肛；，i 并且 ：l i m ，肛：，i = p j ， j i mp 7 2 ，i = | “：， + 0 _ 肛j = 1 i r a i n f r 下- 2 ”( r ) l i ms u p r 丁n - 2 u ( r ) = p 三 ， r o cr 15 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 其中p i 和卢：是固定常数并满足 0 p j l p ：，6 1 ( p i ) = 易1 ( 肛：) ( 1 3 4 ) 这里b l ( ) = 甭1 ”州一孕u 2 、定理1 3 7 ( i ) 如果一2 1 2 l l 0 ，出n - 2 p q 出n - - 2 ，那么( 1 1 1 2 ) 具有唯一一个在无穷远具有奇性的解这个解具有下面的性态： l i mr m u = l ；l i m 严1 乱= l 1 ， r _ o cr _ 0 一 ( i i ) 如果一2 f 2 乏 l 0 ，蝴n - 2 p p 。，如果0 一6 入1 ，那么 ，l ，i m 。r 一6 ( r m u 。( r ) 一l ) = 琴_ f 币了二1 _ = 互磊万享；专互了1 j 丽( 1 3 5 ) ( i i ) 如果一6 = 入l ，那么 l i m 嘉( p 吣廿卟一点 ( 1 3 6 ) 品( p u q ( r ) 乩) 一五。 ( 1 3 6 ) ( i i i ) 对p = p 。，如果0 一巧 a 1 ，那么 l m 丢( r m u a ( r ) “) 一丙丽而q ( 1 删 r o， ( i v ) 如果一6 = 入1 ，那么 熙嘉( 肌以) - - 等 ( 1 3 8 ) 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 定理1 3 9 设p p 。并且a 1 0 一个固定的充分大的常数) ，1 1 ( z ) c 0 q ( 舻) i i ( z ) 2 + 寿那么方程( 1 1 1 7 ) 具有无穷多个解让a ( z ) ( 用参数入a o 标记) ，并且 这些解在 上满足 1 4 结构安排 本论文的余下部分是这样组织的，在第二章，我们首先研究方程( 1 。1 1 0 ) 极小解在无穷远的渐近性态，然后根据精确的渐进展式，得到极小解的 稳定性随后，我们讨论一般平衡解的稳定性在第三，四章，我们将研 究方程( 1 1 1 2 ) 正解在零点和无穷远处的性态在第五章，我们利用解的 渐进分析和l i a p u n o v - s c h m i d t 约化方法，我们将得到方程( 1 1 1 7 ) 无穷多 个解的存在性 1 7 一类半线性方程解的渐近性态和稳定性 2 a u + k ( ) 矿+ 肛f ( f x i ) = 0 正解的渐进性态与稳定性 2 1 主要结果 在本章，我们将研究下列方程正解的渐近性态和稳定性： “+ k ( f z i ) u p + 肛( i z l ) = 0 ， z r ”， ( 2 1 1 ) 它对应着下列c a u c h y 问题的平衡解： t t 。全豇+ 箩! f z f ) 缸p + p ! ( f z f ) ， ( z 。) r ”( o ? ) ， ( 2 1 2 ) 【u ( x ，0 ) = 妒( z ) z r ”， 、 7 这里p 1 ，z r ”，几3 ，a = 垒1 器是n 维的拉普拉斯算子， r o ，肛 是一个正常数，0 厂c 1 ( 舻 o ) ，由于物理方面的原因，如果k ( x ) = k ( r ) ，f ( x ) = f ( r ) 其中r = 我们考虑( 2 1 1 ) 的正的对称解，那么