（计算数学专业论文）截断的声波散射pml问题的二重网格数值解.pdf

摘要 摘要 h e l m o h e l t z 方程在声波，电磁波以及弹性波领域都有着非常重要的应用，因而 吸引了许多学者对此进行了很多方面的研究在数值计算方面，如何解决问题求解 区域是无界的这个难题一直是学者们非常关心的课题b r a m b l e 4 5 】在最近的工作 中，用完全匹配层方法( p m l ) 将无界求解区域上的声波散射问题转化为截断的可 计算区域上，这对数值计算带来了很大的方便，但同时却将原本为实系数对称问题 变为复系数非对称问题，给数值求解带来新的困难 本文以此截断的声波散射p m l 问题为模型，将二重网格有限元法应用到该问 题中，提出了个有效的计算格式该方法是在粗网格有限元空间瞻上使用标准的 有限元离散技巧去求解个小规模的复杂的原问题，得到个粗略的估计t h v ， 然后再在此基础上在细网格有限元空间 何) 上解一个简单的只含高阶项问 题，得到修正值u h v h 给出了解的存在性证明，得到了与标准有限元方法一致的 误差估计，也对算法做了数值试验，数值结果通过比较验证了本算法的高效性和合 理性 关键词，h e l m o h e l t z 方程，完全匹配层法。二重网格有限元方法 i a b s t r a c t t h eh e l m o h e l t ze q u a t i o nh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni na c o u s t i c ，e l e c t r o m a g n e t i ca n d e l a s t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s ，a n dh a sb e e ni n v e s t i g a t e di nm a n yw a y s i nt h ea r e ao f n u m e r i c a lm e t h o d ，h o wt os o l v et h ep r o b l e mt h a tt h o s ep r o b l e m sa r ep o s e do ni n f i n i t e d o m a i n si sa l w a y sap o p u l a rs u b j e c t i nl a t ew o r kf 4 11 5 1 ，b r a m b l et r a n s f o r m st h ea c o u s t i c s c a t t e r i n gp r o b l e mo ni n f i n i t ed o m a i nt ot h et r u n c a t e dd o m a i nu s i n gp e r f e c t l ym a t c h e d l a y e rm e t h o d ( p m l ) t h i sw o r kw i l lb ec o n t i n e n tt os i m u l a t i o n ，h o w e v e r ，i ta l s ob r i n g s s o m en e wp r o b l e m s t h eo r i g i n a lp r o b l e mi ss y m m e t r i cw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s ，b u tn o wi s n o n s y m m e t r i cw i t hc o m p l e xc o e f f i c i e n t s w ec o n s i d e rt h et r u n c a t e da c o u s t i cs c a t t e r i n gp m lp r o b l e ma n dd e v e l o pa ne f f i c i e n t a p p r o x i m a t em e t h o db a s e do nt w o - g r i dm e t h o d t h em e t h o di st os o l v eas m a l la n d c o m p l e xo r i g i n a lp r o b l e mb ys t a n d a r df i n i t ee l e m e n td i s c r e t l z a t i o no na c o a r s es p a c e 。 b a s e do nt h ec o a r s es o l u t i o nt 霸瞻，w es o l v eas i m p l ep r o b l e mi nt h ef i n es p a c ey h ， w h i c hi so n l yh a v et h eh i g ho r d e rt e r m so fo r i g i n a lp r o b l e m ，a n dg e tac o r r e c t i o n w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa n dt h ee r r o rb o u n do fo p t i m a lo r d e ro fa c c u r a c y w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t ht h es t a n d a r df i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o n f i n a l l y , s o m en u m e r i c a l e x p e r i m e n t sa r ep e r f o r m e dt os u p p o r to u rt h e o r e t i c a lc l a i m s k e yw o r d s ：h e l m o h e l t ze q u a t i o n ，p m lm e t h o d ，t w o - g r i df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i i 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文。是本人在导师指导下独立完成的研究成果本人在论文 写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享 有和承担由此论文而产生的权利和责任 责任人( 签名) ： 跏孝年乡月二日 叛美 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定厦门大学有权保留 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 不保密( 山 ( 请在以上相应括号内护，) 作者签名：锁关日期酬年舌月占日 导师签名，杰交妒期歹沙学年6 月石日 第一章绪论 1 ，1背景知识 1 1 1 声波散射问题和h e l m h o l t z 方程 声波散射问题主要分为正散射问题和反散射问题在这里我们主要研究正散射 问题声波正散射问题又主要包括两个方面：一是时间调和声波在均匀介质中的散 射问题，二是时间调和声波在非均匀介质中的传播问题时间调和声波在均匀介质 中的传播根据不同的边界条件又分为三种d i r i c h l e t 边值问题，n e u m m a n n 边值问 题以及阻尼边值问题本文主要研究三维情形下的时间调和声波在均匀介质中的散 射问题 声波正散射问题一般可转化为求解总体场，它满足h e l m h o l t z 方程，以及s o m - m e f f e l d 辐射边界条件和散射体边界条件，这里散射体边界条件可以是d i r i c h l e t ，n e u - m a n n ，r o b i n 等类型边界条件 下面给出h e l m h o l t z 方程具体形式和其级数表达形式解 令q 表示三维空间中的一个有界区域，q c 是q 相对应全空间的补集，我们考 虑内边界为d i r i c h l e t 边界的声波散射问题，也即定义在q c 上的数量函数缸满足， t + k 2 u = 0 ，i nq 。， ( 1 。1 ) t = g ， o n0 1 2 ， l i mp ( v u 建一i k u ) = 0 ， p 这里，p = lxl ，囊= x p ，提一个正的常实数。 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解可表示成无穷级数形式解z 0 0m = n t i = ，m h 三( k p ) r c ( 0 ，妒)，一” n = 0 m = 一n 这里，碍是n 阶一类h a n k e l 函数，增( 口，妒) 是球面调和函数 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 1 1 2p m l 方法以及截断的声波散射p m l 问题 在数学物理问题中，外问题是一类非常重要的组成部分，其往往具有很现实的 物理意义，例如声波，电磁，大气等相关问题，所以一直以来都有很多科学家在关 1 截断的声波散射p m l 问题的二重网格数值解 注和致力于这方面的研究和发展但是由于外问题其特殊的物理空间的无界性，使 得其数值计算一直成为一个难点目前，关于外问题的数值方法研究，主要有两类 ( f 2 2 1 对外问题的理论和数值方法做了很详细的研究和说明) ， 一类主要是截断定义域，化无界区域为有界区域，代表的方法主要有人工边界 条件( a b c ) 和完全匹配层( p m l ) ，另一类则是直接在无界区域上求解，代表的方 法主要有无限元法和谱元法 而本文主要针对的问题恰为利用p m l 方法来求解三维无界声波散射问题后所 简化的问题 完全匹配层法( p m l ) 最初是由b 舌r e n g e r 2 3 】提出来用于解决电磁场时域有限 差分的边界问题，其后又有许多人将其推广到其他领域中c h e w 和w e e d o n 在文【7 1 中提出p m l 方法可以被看成是一种变量的复数形式变换利用这个技巧，c o l l i n o 和m o n k 在文【8 】中又分别得出了矩形区域和极坐标下的p m l 方程p m l 是理论上 假设的、实际上并不一定存在的一种备向异性有耗媒质，适当选择其参数可使任意 频率、任意极化的波以任意人射角通过它与自由空间的交界面时相速度和特征阻抗 均不变，从而达到与自由空间的完全匹配，理论上不产生任何反射；同时由于p m l 层中为有耗介质，透射波将在p m l 层中迅速衰减，而且即使p m l 层厚度有限。它 的吸收效果仍然非常理想尽管p m l 最初是用来解决电磁场问题的，但是通过适 当的改造，它同样也能够运用到声波方程中 j h b r a m b l e 最近利用p m l 方法对声波散射问题进行了分析，在文【4 】中不仅 给出了该p m l 逼近问题的适定性还给出了整个截断区域的i n f - s u p 条件，这个结论 为进行有限元分析做了很好的准备 下面介绍本文主要参考的模型。截断的声波散射p m l 问题( 以下内容参考自 【4 】) 假设q ( 散射体) 是一个三维有界区域。边界r = a q 是l i p s c h i t z - 连续的( 见 a d a m s 1 定义) ，o 是q 内任意固定的一点令0 r o r l 忽) 于 是，二重网格有限元法的主要思路为在粗剖分有限元空间v 上使用标准的有限元 离散技巧去求解原问题得到个粗略盼估计“日v h 然后再在缸嚣的基础上，在 空间里解个有着对称正定化性质的原问题的近似问题，得到一个在细有限元空间 魄里的修正值蝴此方法的最大的优点在于有限元空间可以很粗糙，也就是自 由度可以非常少，于是求解复杂问题时不用求解较大的矩阵方程，从而提高效率， 而之后得到的修正值却依然能继续保持原问题的最优精度 这里我们举一个简单的例子来说明二重网格有限元方法的思路( 该部分内容引 自f l7 】) 3 截断的声波散射p m l 问题的二重网格数值解 令口，芦，7 是q 里的光滑函数满足t e 。a ( z ) f o t ol 1 2 ，、矿z q ，r 2( 1 8 ) 考虑下面边值问题 l v = 一d i v ( a ( x ) v v ) + p ( z ) v v + 7 ( z ) u = ，( z ) ，。q ，u i a n = 0 ，7 ( z ) 0 ( 1 9 ) 对于任意的函数t ，钞础，我们定义两个双线性型式t a ( u ， ) = a ( ：r ) v u v v d v ，a ( u ， ) = a ( u ，t ，) + 7 ( ( p ( z ) v u ) v + 3 ( x ) u v ) d z j nj n 对于问题( 1 8 ) 的标准有限元逼近为z 求得u h 满足 a ( u h ，x ) = ( ，x ) ，y x 。( 1 1 0 ) 在一定条件下，可以证得当h 足够小时。该问题是适定的，并且有误差估计 l l 钍一 1 , hh + 九i 缸一t i h1 1 1 h 28 缸 1 2 ( 1 1 1 ) 又记n ( v ，x ) = ( a 一以) ( ，x ) = ( 炒( 茁) v v ，x ) + ( ，y 秒，x ) 接下来给出二重网格算法 算法l l 1 t i l l 翰， a ( u h ，妒) = ( 妒) ，即。 2 t t h ， a ( u l ，) ( ) + n ( u n ，x ) 一( ，x ) ，v 父硫 很明显，算法1 中第二步中所形成的代数方程是对称正定的而且以上算法算 得的解与原问题的有限元的解的误差有估计。 ht i h t i 扛l | 1 焉h 2 lt l i s ( 1 1 2 ) 进一步算法1 可改写成迭代的过程 算法2 令u 2 = 0 ，假设t 嚣已经得到，那么t 矿1 v h 由以下算法得到， 1 e v n ， 五( e 日+ 哝，垆) 茹( ，妒) ，却 2 嵋+ 1 ， a ( u 2 + 1 ，x ) + n ( e n + t 正嚣，x ) = ( ，x ) ， v x 同样我们可以得到算法2 的误差估计 0 一t i , g | | 1 焉日n + 1l l 牡1 1 2 ，船1 ( 1 1 3 ) 4 第一章绪论 一般情况下，原问题的数值逼近解的最优误差估计为t ht l u h1 1 1 o 实际中，可选择d ( 7 0 即满足要求 于是我们得到 ( 2 1 0 ) ( 1 + q 2 ) 1 2ia ( v ，t ，) i ir e 【( 1 + i a ) a ( v ，v ) li 。 1 1ui i 备。 ( 2 i i ) 以上相关结论引自1 4 】， 引理2 2 1a ( v ，x ) 可改写成如下直角坐标形式； a ( 弘x ) = ( ( 嘉一1 ) - 等v v , v x ) + ( v v , v x ) ( 2 1 2 ) 证明t 直接计算可得 a ( t 戈) ( ( 嘉一1 ) 嚣，雾) + ( 雾，雾) “r 矽l 砸o v ，象) + ( 歹南岛，劈) = ( ( 害一1 ) ( 赛嚣+ 器雾+ 瓦o v 昂o z ， t ，整靠+ 裔雾+ 爱器) + ( 雾，器) + 矿1 丽0 v ，备) + 丽1 丽o v ，露) 因为嚣= 詈靠= 普，骞= 吾，所以 钟 x ) = ( 啄d 2 一1 ) 等v t j ，v x ) + ( v u ，v 地 ( 2 ) 这里m = ：x 2 x 笔y z z 一 垂 z 9 截断的声波散射p m l 问题的二重网格数值解 显然，矩阵r e ( 雾一1 ) 笋+ j 是对称的， r e ( 豢一1 ) = 塑二- 堑堕= 二苦毛云嘉葛型。， 酬争盟铲品， 并且矩阵等的三个特征值入分别为1 ，0 ，0 ，满足0 入1 那么对于比舻，如果0 ( 7 0 0 ，k r 删， ( 2 1 6 ) a 垆( z ) l ( q ) ， ( q ，p = l ，n ；i ，j = 1 ，) ， ( 2 1 7 ) 这里入和m 均为常数。那么方程租称为椭圆型方程租更进一步，如果a 字o ) 1 ，o o ( q ) ， l 2 ( q ) ，t 硪( q ，r ) 是问题仁j 矽的弱解。那么我们有t 砚( q ，r ) ，并且 砘( n ，r ) 剐u 怯( n ，r ) + | l ，i l l 2 ( n ，r ) ( 2 1 8 ) 1 n m 一 妨 杈 a n 阻 n 1 l 博 ：l 第二章二重网格法在截断的声波散射p m l 问题上的应用 下面我们先给出本节所证得的比较重要的几个正则性性质，详细证明请参见附 录部份 首先，像实系数椭圆算子一样，我们也可以类似的得到轭双线性形式a ( v ，x ) 的 内部正则性估计 引理2 2 3 如果共轭双线性形式a ( v ，x ) 定义了一个椭圆算子，那么对于任意函数 f l 2 ( q ) ，也即如果0 o o 1 ，并且u h a ( q o o ) 是问题a ( u ，x ) = ( f ，x ) 的弱 解，那么“i i ( q ) 满足 i iu1 1 o 。( n 。) 列，i l l 。( n 。) ( 2 1 9 ) 引理2 2 4 对于任意函数，l 2 ( q ) ，如果t i - i o ( n ) 是问题a ( u ，x ) = ( f ，x ) 的 弱解那么对于任意区域q 7cq o o b ( d ，7 2 ) ，有u h 2 ( q 7 ) 满足 i it i i 。( n ，) 焉i iff j 二2 ( n 。) ( 2 2 0 ) 更进一步，我们可以综合上两个引理为一个引理如下- 引理2 2 5 对于任意函数f l 2 ( q o o ) ，如果t h 2 i ( q o 。) 是问题a ( u ，x ) = ( x ) 的弱解，那么对于任意不包含内边界的区域q 幺cq o o ，a q 幺1 3a q b 一口，我们有 牡h 2 ( q ：霉) 满足 i l ：( q 幺) 剁fi l l 2 ( o 。) ( 2 2 1 ) 附注2 2 6 实际上，因为区域q ：n t = q 幺c 非常靠近内边界q b ，所以我们有u h 1 扣( q 如) 满足 l lu l l h ，+ l ( 噶。) 毛i l ，i l l 。( q 。) ( 2 2 2 ) 这里s ( 0 ，1 ) ，并且其值依赖于k 的光滑性质 11 截断的声波散射p m l 问题的二重网格数值解 2 3 有限元离散和g a l e r k i n 投影 2 3 1d i r i c h l e t 问题的有限元离散 假设区域q 剖分成两部分一部分为在区域q o 。内部的拟一致剖分磊= 兀) 其包含外边界区域r 。，另一部分霸= 一) 要求要包含内边界a q b 的一致剖分，这 部分的剖分要求网格更细些，但是剖分区域不用很大，满足条件；对于附注( 2 2 6 ) 中要求的某个s ( 0 ，1 ) ，成立( ) 。h 这也就是意味着曩，分别是步长h ，h i 的剖分单元，这里要求h ，h i ( 0 ，1 ) 而且 i 函= ( u t 百) u ( u 弓) 以及存在不依赖h ( 或) 的常数岛，a 使得每一单元体瓦( 或 ) 包含于对应半径为c l h ( 或q ) 的球体中在本文中我们用q e z 表示u t 瓦，用 q i n t 表示u t 胃 给定个剖分n ，相对应的有限元空间魄y 毫h a ( q ) 定义为。 h = u c ( q ) ：ul r w ，v t r h ，ui a n 。= o ) 这里墀是阶数不大于正数r 的多项式空间 于是问题( 2 5 ) 的有限元逼近即为：找到函数u h h 使得满足 n ( u h ，x ) 一a ( 牡 ，x ) = 6 ( 鸯，x ) ，v x 协 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 下一节我们将利用文【4 l 中给出的i n f - s u p 条件，来给出问题( 2 2 4 ) 的适定性， 以及问题( 2 2 4 ) 的解与问题( 2 5 ) 的解之间的误差估计 2 3 2g a l e r k i n 投影 按如下要求定义一个g a l e r k i n 投影算子t p h ：h 5 ( q o o ) 一啼v h ( f 2 0 0 ) 满足 a ( x ，p h v ) = a ( x ，u ) ，v x h ( 2 2 5 ) 引理2 3 1 如果h 1 ，那么算子p 按照之前俾驯的定义是有意义的，并且成立 l iu p h vl l l ：shl | u1 1 1 ，l lp h v1 1 1 焉i lul h ( 2 2 6 ) 证明；首先，对任一给定的u h 0 1 ( f t o 。) ，由( 2 2 5 ) 定义的解p h v 的存在唯性很容 易得到，并且易证| | p h vi l 别uf 1 1 和0u p h vl h h ) 的两个拟一致剖分区域和磊 再假设垤和( ch ) 分别是对应剖分霸和磊，空间h 6 ( q ) 的子空间我们 称空间翰为粗剖分空间，而空间h 为细剖分空间 接下来引入本问所讨论的两个二重网格算法； 算法2 4 1 j 求得t 抒翰满足? n ( u h ，x ) 一a ( u h ，x ) = b ( o ，x ) ，y x y 日 1 4 第二章二重网格法在截断的声波散射p m l 问题上的应用 2 求得牡 v h 满足： a ( u ，x ) = n ( u h ，x ) 一b ( o ，x ) ，呶h 算法2 4 1 可以改写成一个迭代的过程，也即t 算法2 4 2 令乱2 = 0 ，假设落h 已经是已知的，那么缸p 1 h 可以按以下算法 得到； 1 求得叼垤满足： n ( e h + 峨，x ) 一a ( e h 十珏，x ) = b ( 蚕，x ) ，v x y 日 廖求得t l 铲1 h 满足： a ( u 盏+ 1 ，x ) = n ( e h + t 2 ，x ) 一6 ( 鸯，x ) ，y x 垓 因为a ( v ，x ) 是连续的也是凸的，利用l a x - m i l g r a m 定理，我们可以很容易的 得到程序2 4 1 以及2 4 2 第二步中所要求解问题的解的适定性 实际上，我们可以将方程( 2 5 ) 改写成如下形式 ( t ，x ) 一( ( b 1 + t 玩) v u ，v x ) = b ( o ，) ( )( 2 4 3 ) 这里b l ，岛( c 1 ( q ) ) 3 躺， b ，= ( 兄e ( 嘉) 一1 ) 等+ j ，b 2 = i m ( 嘉) 等， 以及 ( b 1 v 珏，v x ) 一( r e ( 豢) ，骞) + ( 2 0 叩v ，舅) + 丽1 面o v ，凳) ，( 2 4 4 ) ( 玩v t l ，v ) ( ) = ( ，m ( 万a a 历o v ，嚣) ( 2 4 5 ) 进一步，令 w ( u ，x ) 一6 ( 参，x ) 刍( f l ( x ，u ( z ) ) ，x ) + i ( y 2 ( x ，t ( z ) ) ，x ) ( 2 4 6 ) 于是接下来求解程序2 4 1 第二步中的问题等价于求解下面的方程组，对于给 定的妇，找到t = t + 啦未( u 2 ，让) v h 使得对于任意的x l ，x 2 h 满足 ( b l w h ，v x l ) 一( b 2 v 落，v x l ) + ( b l v 访，v x 2 ) + ( b 2 v u h l ，v x 2 ) = ( y l ( x ，u 日) ，x 1 ) + ( 尼( z ，t 1 日) ，x 2 ) ， ( 2 4 7 ) 截断的声波散射p m l 问题的二重网格数值解 ( b 1 v 谚，v ) ( 1 ) + ( b 2 v u h ，v x l ) 一( b x v u ，v x 2 ) + ( b 2 v i 孝，v x 2 ) = ( 厶( z ，u h ) ，x 1 ) 一( 1 l ( z ，t 何) ，x 2 ) ( 2 4 8 ) 令 砖l ，i = 1 ，为有限元空间h 的一组基函数，并且引入下列记号t 让2 = ，a 砖，t 耋= ，雕钟，a 0 = ( b 1 v i ，v 谚) ，b o = ( b 2 v 钟，v 谚) ，五= ( ) ，= ( ) ，u ；( 砖) ，u = ( 辟) ，f i ；( 艿) ，这里南= ( 茹，) ，咖) ，i = l ，2 ，j = 1 ，n 于是我们可以得到求解问题( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 的对应代数矩阵方程 以上形式也等价于 简化得到 五u 2 一u 垒+ 五u + 鑫u 2 = f 1 + f 2 ， 五u + u 一五u + 昼u 耋= f 2 一f 1 ( 五+ ) u 2 + ( 五f i ) u = f 1 + f 2 ， 一( 五一) u 2 + ( 五+ f i ) u = f 2 一f 1 ， 一 一 a u 2 一b u 2 = f 1 ， 五u 耋+ 京u 皇；f 2 那么问题的解可以写成如下形式 五u 2 + f i ( 一u ) = f l ，( 2 5 5 ) 蚕u + ( - x ) c - u ) = f 2 ( 2 5 6 ) 在这里，很显然矩阵五是对称正定矩阵，并且矩阵是对称半正定矩阵因此矩阵 ( 五十五一l f i ) 也是正定对称的 同时用类似分析可以看出，算法2 4 1 第一步中最后求解的代数方程是非对称 非正定的，因此我们无法像第二步那样最后把一个解用另一个解表示如果采用一 样的网格剖分第一步问题的求解规模将是第二步的两倍，而且我们真正关心的解是 实数部分的解，也即u 或u ，所以实际中第二步问题并不需要真正把u 解出 来当采用两者结合的二重网格法后，虽然第一步问题是非对称非正定的，但是由 于是在粗剖分有限元空间中求解，这样自由度大大减少。从而方程的阶数减少降低 了问题的难度，而另一方面，由于第二步中最后形成的代数方程有着很良好的对称 正定性质，所以我们可以取得空间比较细，以达到理想的精度要求 1 6 、j、，、j、j、j、， 9 o l 2 3 4 4 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 ，l，i、，i，-、，f，i、 第二章二重网格法在截断的声波散射p m l 问题上的应用 2 5 误差估计 2 5 1 预备知识 令锄该是下面问题的唯一解 6 ( u f l ，x ) = n ( u h ，x ) 一a ( u h ，x ) = b ( o ，x ) ，v x v h ( 2 5 7 ) 为了使用对偶技巧，我们需要考虑原问题在有限区域上的对偶问题，也即tw l 2 ( q o 。) ，找到乏h a ( q o o ) 满足 b ( x ，三) = ，v x h 6 ( q ) ( 2 5 8 ) 那么我们立即可以得到2 = 玉p 表示z 的共轭复数) ，这里z 满足 b ( z ，x ) 窖 ，v ) ( h 6 ( q o o ) ( 2 5 9 ) 引理2 5 。1 令多是空闽l 2 ( ) 里的函数问题p ，5 s ) 和皿5 9 ) 有唯一解孑，2 满足 1 名i i m , ：o 。 1 1 咖i l l ：以及i i 三i i x ? o 。 0 成立 再引用引理2 2 2 ，于是该命题结论可得到 同样的，像引理2 2 5 和附注2 2 6 一样，我们可以得到在区域q 触和q 凹的正则性 引理2 5 2 令属于l 2 ( q ) 问题但5 6 ) 和俾5 9 ) 存在唯一解z ，乏满足 i f 碍 l l 训驴 和 怕l l 碥。 l l 刚驴 ( 2 6 7 ) 忆l i 磁。剐刚厶。和| i 三| | 靠十。剐刚l 。 ( 2 6 8 ) 一t n g r i t 定义一个g a l e r k i n 投影算子：争j i l ：h a - 呻魄满足 b ( i h v ，x ) = 6 ( u ，x ) ，呶h 引理2 5 3 如果h 1 ，那么算子p 可以定义并且满足 一a u 怯+ 圳u a u 嶙危激忡一x i i l 和 p h l ) 1 1 1 iul i 1 r ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) ( 2 7 1 ) 第二章二重网格法在截断的声波散射p m l 问题上的应用 证明t 证明过程类似于引理2 3 1 通过使用引理2 2 3 ，引理2 2 4 ，引理2 2 5 ，附注 2 2 6 的正则性结果和标准对偶理论技巧 引理2 5 4 如果h 1 ，牡是问题偿彰的解，并且是按照前面臼5 刀所定义，那 么 8t 一u h ：焉hl i 牡j h( 2 ，7 2 ) 成立 证明；首先注意到 一训= 弧潞。) 斜g ( 2 7 3 ) 弧l 2 ( q * ) i i i i 对于任一函数9 l 2 ( q o 。) ，假设h 0 1 ( a o 。) 满足 b ( v ，) = ，乩h 6 ( q ) ( 2 7 4 ) 接下来考虑问题( 2 7 4 ) 的有限元逼近：找到( ) 垤，使得满足条件 b ( v h ，( ) h ) = ， v v h h ( 2 7 5 ) 那么我们有 ( u u h ，g ) = 6 ( u t ，) = b ( u u ，一( ) ) + b ( u u h ，( ) ) ( 2 7 6 ) 因为 b ( u 一h ，( ) ) = 0 ， ( 2 7 7 ) 于是有 ( u 一坝，9 ) 焉l lu 一坝怯t1 1 一( ) 矗怯，( 2 7 8 ) ( u u h ，g ) s 0t 二一t 轨l l 劈，( hi | 吩l l 抒2 ( o 。) + ( ) 80 吻j j 日- + l ( 吸。) ) ( 2 , 7 9 ) 利用引理4 2 和性质h ( ) 。，l | t 一u hi i m l l 让怯，我们得到 ( t 一u h ，g ) shl lul l 抒，l lgl i 二2( 2 8 0 ) 再利用( 2 7 3 ) 和( 2 8 0 ) 命题即得证 截断的声波散射p m l 问题的二重网格数值解 2 5 2 误差估计 定理2 5 5 取h 1 ，假设u h h 是由算法2 彳1 算出的解，那么在u 7 - r + 1 的 前提下， i lt h t i l l 1 焉+ 1l l 珏i | r + 1 以及 i iu t l i n l 焉( h r + h r + 1 ) 0ui i ，+ 1 ( 2 8 1 ) 证明；由定义得 n ( u h ，x ) 一a ( u h ，x ) = ( ，) ( ) ，墩h ，( 2 8 2 ) n ( u n ，x ) 一a ( u ，) ( ) = ( ，) ( ) ， v x h ， ( 2 8 3 ) n ( u h ，x ) 一a ( u h ，x ) = ( ，x ) ，v x 妇( 2 8 4 ) 直接计算我们可得 a ( 一u h , x ) = ( ( ，一户h ) ，x ) + n ( ( p h u h u h , x ) ( 2 8 5 ) 下面我们分别估计方程右边两项的值首先第一部分显然满足 ( ( j p n ) u h ，x ) 焉l i ( ，一户) 让，l 川) ( i l | j f -( 2 8 6 ) s ( 1 it 一u hl l + l ii 一p h ul i + i ii t c h ? 【一p n u hi i ) i lxl l 片1 。 ( 2 8 7 ) 利用引理2 5 3 和引理2 5 4 中的结论，进一步可得 焉( 日l l 牡一u h 月】+ j jt 一岛让| j ) ”xl l l (