（应用数学专业论文）拟可微多目标规划最优性条件和对偶分析.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 多目标最优化在实际生产领域有着广泛的应用，最优性条件和对 偶定理是人们研究的主要内容本文利用拟可微函数的性质，凸分析 中的择一性定理，以及目标函数和约束函数的广义不变凸性，分析了 无约束的拟可微多目标规划的最优性条件和不等式约束的拟可微多 目标规划的最优性条件；随之通过目标函数的修改，建立与原拟可微 多目标优化问题( m o p ) 等价的多目标规划，证明两者有效解之间的等 价性和弱有效解之间的等价性；对( m o p ) 任意固定的可行解定义了一 种拉格朗日函数，相应的引进鞍点，分析这种鞍点和o 0 p ) 的有效解 与弱有效解之间的关系；同时，考虑原拟可微多目标规划的w o l f e 型 和m o n d w 曲型对偶问题，得到相应的弱对偶定理，直接对偶和严 格逆对偶定理：研究拟可微多目标分式规划的最优性条件，并就目标 函数和约束函数的广义不变凸性考虑了最优性充分条件；建立拟可微 多目标分式规划的对偶规划，分析两者之问的弱对偶性质，强对偶性 质和严格逆对偶性质，得到相关结论 关键词：拟可微函数，多目标规划，多目标分式规划，广义不变凸， 最优性条件，对偶性 垫要堂童旦堡塑塑墨垡堡垒!塑墅堡坌堑一 a b s t r a c t m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o ni sa p p l i e d i 1 1e x t e n s i v ea r e a s t h i st h e s i s d i s c u s s e d o p t i m a l i t y c o n d i t i o n sf o ru n c o n s t r a i n e da n d i n e q u a l i t y c o n s t r a i n e d q u a s i d i f f e r e n t i a b l em u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gi n v o l v i n g g e n e r a l i z e di n v e x i t yb yu s i n g t h e p r o p e r t i e s o f q u a s i - d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n sa n dt h ea l t e r n a t i v et h e o r e m a ne q u i v a l e n tv e c t o rp r o g r a m m i n g p r o b l e mi s c o n s t r u c t e db yam o d i f i c a t i o no ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，a n d s a d d l ep o i n tr e s u l t sa r ep r e s e n t e dw h i l ei n t r o d u c i n ga nk i n do f l a g r a n g e f u n c t i o nw i t hr e s p e c tt oq u a s i d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n a tt h es a l n et i m e ， w e a kd u a l i t yt h e o r e m ，d i r e c td u a l i t yt h e o r e ma n ds t r i c tc o n v e r s ed u a l i t y t h e o r e ma r eo b t a i n e d r e s p e c t i n g t ow o l f e - t y p ea n d m o n d w e i r - t y p e d u a l s f u r t h e r m o r e ，s o m er e l e v a n t c o n c l u s i o n sa r ed r a w nb y a n a l y z i n g t h e o p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t y f o rq u a s i d i f f e r e n t i a b l em u l t i o b j e c t i v e f r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g k e y w o r d s ：q u a s i d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n ，m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g ， m u l t i o b j e c t i v ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g ，g e n e r a l i z e di n v e x i t y ，o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s ，d u a l i t y 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独n 进行研究工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用的【罕j 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容对d 。 论文所涉及的研究j i 作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中l ij 孵 确方式标明 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复e f l f l ：，于l 许沦文被查阅和借阔，可以将学位论文的全部或部分内容编入有父数 据库进行检索，n j 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的学位沦文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 日期： 羽，磁 脚妇6 0 p 南寐航空舷天大学硕士学位论文 序言 我翻翔遥，线牲麓翻_ 秘菲线瞧援翔帮楚在一缀约焱条箨下，求一个实篷嚣 标融数的极小德或极大值，然而，在工程技术、生产管理以及国防建设等很多 实际决策问题中，通常包含多个不相容的目标，而且嚣求同时考虑多个目标在 菜嵇意义下的擞挠解。多蟊栎援划裁是窥义在一组约寐条锌下，溺辩投丈纯或 极下亿多个不黝的目标函数，是单舀标溉划的推广 根据目标函数和约束溺数的光滑憔，多目标规划珂分为可微的和不可微的 两种情形在研究不可微规划时，c l a r k e 广义导数是人们采用的一个有力工具， 馁楚c l a r k e 广义导数奏个浚点，郡裁爱不麓穰努静秘蘧方两导数斡毪囊。铡 如凹函数即使方向导数和c l a r k e 广义龆数部存在，也不一定相镣，所以在算 法的执行过程中就无法确庇下降方向，而拟可微函数却能克服这一不足，于是 产生拯可微麓划嚣兹，熬擞援划毒 炎戆主要是零瓣拣揍形，关手熬可缴多 秘标规划的文犟还很少，本文分析的是拟可微多目标谯仡问题 这篇文章h 共分四章第一章介绍多目标规划的基本概念，如雾目标规划的 数学模型，多鞭标规划的研究方向，多舅标最优化阔题的解，同时也篱要说明 本文静主要王髂。第二章给蹬了瓠可徽溺数兹定义霸 茧l 微分的一黧瞧厦，并分 析拟可微函数舣极值的条件第三章利用拟微分的性质、拟可微函数的广义不 变凸性和择一性定理，分析光约束拟可微多目标优化问题的最优性准则，以及 不等式约裳下毅可强多翼掇饶纯运蘧兹最毯缝条 孛；逶过建立一耪每漂羧毒徽 多舀标优健阀鼷等价的多目标规划，证明两者有效解( 弱有效解) 之间的等价性； 并定义刁一拉格朗同函数，引进一种鞍点，考虑了鞍点准则；最后研究和建立拟 可微多耳标规划的w o l f e 型秘m o r t a l - w e i r 塑对偶阅题，褥到弱对鹅霆理、直接 霹耩定理和严格辩偶定理。第西章分橱叛可徽多磊标分式最优往阔越静最优性 条件及其对偶问题，并得到相关结论 拟可微多目标规划展优性条件和对偶分析 第一章概论 我们知道，线性规划和非线性规划是在一组约束条件下，极大化( 或是极 小化) 一个实值目标函数，是单目标最优化问题，多目标规划是单目标规划的 推广，通常要同时考虑包含多个不相容的目标本章首先介绍多目标规划的数 学模型及其研究方向，然后简单引入多目标最优化问题的几种解，最后谈下本 文所做的工作 1 1 多目标规划的数学模型 在工程技术，生产管理以及国防建设等部门中，往往要同时考虑多个目标 在某种意义下的最优化问题，我们称这种含有多个目标的最优化问题为多目标 最优化问题，简称多目标规划例如，在证券投资分析中，选择怎样的资本组 合，才能使得投资收益大、风险小，这里遇到的问题显然是一个双目标最优化 问题再如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进 行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身长h 、体重w 、胸围，在这里，样 本空间q = ( c o = ( 某地区学龄前儿童 ，而h 、w 、，等都是定义在q 上的随机变 量，对每- - ) l 童出，检查结果就对应于一个向量( ( ) ，w ( c o ) ，t ( c o ) ，) ，由于我们 不但要研究每个分量的性质，而且要研究分量间的联系，因此需要将 ( h ( c o ) ，w ( c o ) ，t ( c o ) ，) 作为一个整体来考虑，显然这是一个多目标问题 如果所有目标都是求最小值，那么多目标规划的数学模型可用下式描述： m i n ( 一( x ) ，以( 工) ，- 一，丘( x ) ) ， j ，g j ( x ) 姜o ，j = 1 ，m ，( 记号“s ”的意义见1 3 ) h k ( x ) = 0 ，k = l ， 其中_ ( x ) ， ( z ) ，( x ) 称作目标函数，g ，( z ) ，g 。( x ) ，h i ( x ) ，吩( x ) 称作约 束函数；zn t t v 螨t ，简称变量这里工= “，恐，矗) 7 e e ”，g ，噍：f 呻f ， i p = l ，肼，j m = l ，m ) k l = 1 ， ，e ”为n 维实向量空间 塞壅篓窒整墨奎登錾主兰垫笙兰一 若记f ( x ) * ( z 0 ) ， o ) ，厶( 砖) 1 ， g ( x ) s ( g ，( f 力，积) ，g 。习) 1 ， h ( x ) = ( h i ( x ) ，绣( 并) ，岛0 ) ) 2 t ，矿= f x , 8 i ”：g j ( 工) 鉴o ，h k = 矾，m ，七三) ， 剥上述模型可简化为： ( m o p ) 璎静，( x ) 一 - y - h ；( x ) = 0 ，慧可馥霹袋慈 习璺爱一趣 碜璺，爨她搀 瓣确笃或： ( 唧m 凄，( x ) ， 其中r = 扛e ”：g ，抟，5 绣程m 。班蜃裁从( 均形式逝菱寒讨论阅题 当p = l 时，( 绺) 就是聪常黔单舀标爝娥，今后我们总假定p 耋2 当然，在窳际问题中。除了像上述那种对所有目橼函数求最小储外，也有 对所富强栝邈数都求最大姣；或者对一郝分基撂函数蕊最，i 、擅，瑟辩其余强标 函数辩求最丈毽；戮及露一部分霉嚣蘧数求最孛毽，慰勇一蕺分弱棒嚣薮求最 大值，而对其余目标函数则辫求限制在宠范围内。 对于第一种情况，求f ( x ) 的最大值w 以转化为求这个醋数的负函数一f ( x ) 熟鼹枣蓬，鬟这对翡鼗学模型露鞋转稼鸯鼯) 靖形式。 同榉，辩予第二种情况，不妨假定前，个隧标函数_ 积x 五( 弗，六( 砷都是 求最小值；其余p 一，个目标函数f + ，( x ) ，l 0 ) 都是求最大值；而约束集合都 怒r ，予蓬遮辩熬蘩擎模蠹艇爵转邈灸： r 密( 0 ) ，f ( x ) “”z ”( x ) ，一0 ) ) ， 遮也是( 嘲的形式 关于蘩三静缱嚣，莓器霰定互麓国r + ；z 耱菸是求疆，j 、蓬；岛国，姜稀嫠 怒嫩最大值；麓佘的六+ ( x ) ，兀( x ) 限制为盯，三，( x ) 融( j = j + l ，p ) ，其中 及最均为鬻数；聪约束集会璐是r 。这对只簧令 型里丝垄塑堑塑型墨垡墼釜! ! ：型翌堡坌燮一 嚣，= x 辱霆：g ，三轰( 茁) 鱼曩，i = 5 l ，2 ， ， 可知这种情形的数学模型可以转化为： m 弛( z ( x ) ，鼻( x x 工娃积) ，六“) ) 1 ， 一 遮氆楚( 淝，酶形式。 从以上的叙述埘以知道，任何个多目标最优化问题总可以用( z p ) 来描述 困他我们称( p 妁为多目标最仇化阐题豹标绺数学摸型，简称标准形式 l 。2 多目标规划舀每研究方箭 多嚣标最优化耀题涉及的范爨十分广泛，麓述翔下： 篱一夺殛窕方海是毒关瓣的凝念及慕链餍戆礴襄。爨嚣嚣为燕，关予簿黎 概念，有影响的融不下2 0 种最早研究的魑肖效解和弱脊效解，由于这种解的 范倒通常较大，人们希望把解的范围缩小，于是又引进备种所谓真有散解1 9 5 1 每，至 驻融甄辩a ，碱t u c k e r l ”蓄竞芎l 避一耱黎烫k t - 襄蠢簸瓣熬褥殊寿效簿； 1 9 6 8 年，a 。m 。g e o f f r i o n l 2 l 界定了g 真有效解；1 9 7 7 苹，j b o r w e i n ( 瓤弓f 进b 真钳效解；1 9 7 9 举，i - t p b e r s o n 4 1 引入p ，粪有效解；1 9 8 2 年，m t h e n i g 【5 1 引 入量| - 囊毒效蜒 1 9 8 1 年，捣旗梭1 6 1 绘出f u z z y 熬概念；t 9 8 2 年，撬家骧露辜贫 石 辱 避一释强有嫠瓣；i 9 s 4 年，稿毓遮鼹蹬一辩较多有效簿概念；1 9 8 5 年， 董加礼将弱有效解分层，给出种k 级弱肖效解概念等摊关于解的一般性质， 解的存在性，最优性条件等方觚的研究也存很多文章，例如，1 9 8 7 年，w e i r t 硼讨 谂了融壁鬣爱魏纯阉题魏粪毒簸解；1 9 9 4 华，m i s h r a 窝m u k h e r j e e i 霹考纛多瑟瑟 交分阀题静有效解；1 9 9 5 年，p a s c u a l 和a n t o n i o i ”1 研究多霹标最优化阍题弱有 效解的一种性质；1 9 9 8 年，g o m e z ( 1 ”等人针对多目标规划问题就广义不变凸性 秘霉：变凸函数考虑了橱关性嫒；1 9 9 9 年，g o m e z j l ”1 等人靛鏊提丞数鞍魏裘亟数 蒸爨露皴戆蒋形下，秀撬多秘栋援鬈露嚣麓熬筏质；2 0 0 4 箨，l i 戳n 髓f ”j 等天努 析了多目标变分问题的弱有效解 第二个研究方向就是关予劳目标规划的解法总体来说，这类婀魃可分为 喜褛簿法雾闻袋黧法嚣释瓒游直接冀法燕箍：象单霹檬爨鞯，获勰划零赛麦 求解。而闯接辣滋是指：根掇问题的实际情况，将多目标闯题转化为个单医 标问题，或转化为多个单目桥问题以及非统一模型的算法簿 涛痰靛空魅失大学颈学位论文 第三个研究方向是对偶问题数学舰划的对偶璎论是指：同时讨论一对飙 划问题之间的照要关系的理论多目标问题的对偶璁论在多目标敲优化理论中 占肖重要遗经，它怼多碧瓣最褒毽迥题静浆释瑷及簸筑犍象磬豹揭示等罄起蓑 蕊要 幸露， 嚣髓出于对偶谯霄其客鼹夺在的实际背景，因诧它奁燕产实际孛毽 肖重要的应用价值常见的对偶型有：l a g r a n g e 对偶擞，对称对偶型，自身对 偶型及共轭对偶型等例如，t a n i n o 和s a w a r a g i f l 4 】分析多罚标规划熟对猖定 理【1 5 。l 甏壹 辑了爵鼗多颡挺援楚夔裰艨对鹬定理。i 1 9 j 针对多嚣糖蔑翘驳及多 秘标分式规划讨论了混合对偶，在相关祭件下得到了弱对偶定理，强对偶定理， 和严格逆对偶定理 2 0 】就多目标变分问题分析了不同凸性假寇下的混合对 鹈。 2 1 载关予半鼹黎季变凸蕊鼗熬多秘拣霜嚣分橱了髓疆注， 第露个研究方向是不可徽多墨标蕊涮静研究鸯粥年代开始，f h 。c l a r k e ， a 。d i o f f e 和j p a u b i n 【2 2 1 从不同的角度出发，各自研究了非光滑函数的广义梯度 ( i o f f e 叫d i n i 次微分，a u b i n 叫相依导数) 。现在非巍滑分据已经澎戏一个庞大 鹩瘩族，势务成俸系。 巍潺势褥斡发震裁激了不可擞撬往匏酸究，缀多学嚣 对不可微多目标舰划进行了分析例如c r b e c t o r i 3 3 i 游人分析了次可微多目标 规划的最优性嵇件；h k u k i 舢i 等人考虑了种v - p 不变凸性的多目标规划；h k u k ，tt m a i n o 耧g ，辩，l e e 秘分舞了涉及广爻不交热慷不可鼗多秘标分式怒翔 晦最优性条件和对偶性；m 妊g o v i i 和a m e h r a ) 2 6 在b m l a c h 空闻分析了多旨株 舰划的占一最优性条件； lk u k ，和t t a r d n o1 2 7 1 针对广义i 类函数分析了不可微 多鲤栝褒划的最忧牲条件帮对鹈定理；s u n e j a 和s r i v a s t a v a f 2 斟镑对癸不可微多 嚣褥最蕊纯淹嚣，程霹方囱罨数努轿褥魏了w o l f e 型秘m o n d - w e i r 型薅偶定理。 篓墨燮叁堡鎏i 型鎏鍪釜鍪墨篓鍪黧堡坌篓一 1 ，3 多豳禄最优他瓣黻的解 我懿黄海萼l 入嚣黎游潦不等式嚣霹；浚瓷封缳蜜囱鲎空瓣* 穗繇嚣维冀敬 氐空间，y = 池m ，i y j ，g * ( 毛，= 2 ，# 。) e e ”，辩舰定： y = # 嘴歹，= 。i ，* 1 , 2 , - - , n ， 芦茹蛰嚣 t ，i 篇l ，五，瓣， 岁麓c a 敦z f ，# 描1 , 2 ，群， y 孑诤魏# ，i 嚣t , 2 ，封，鬟罗善， 竞垒蘑类戳她建义罗z ，警秘芦盏。 考虑热下躲参强栎翘剡t t t p ) m 。i n 强国，磊x + ，嚣国) ， 藕中冀= 善瞄e ”：g ( x ) 。( g l ( x k ，g 。( x ) ) 7 篓o 。 下瑟赛短( 粉，嚣绝瓣爨缆瓣，骞效解，嚣眷效解，璇爱冀蠢效瓣+ 定义l ；l f 轱；设群畏* 熬粱对霞豢游嚣芒嚣，臻脊，) 囊，慰说辩楚t t p ) 的绝对最优解 当曩橡灏数照予狰突状悫黠，军存在壤臻簿餮掰毒鬟糠丞数瓣辩鼓往耗蹲 逡耱跨嚣，疑嚣 筵獯毒效瓣 e 1 ，f ( x ) 在点“方向可微， 如果对任意g e ”，都有 l i r a ! ! 墨2 二生! = ! i 曼2 ：0 g - o g0 则称f ( x ) 在点“一致方向可微 引理2 1 设尺是拟可微集合，“r ，f ：r - 9 , e 1 ，f ( x ) 在点u 一致方向可 微，如果当k _ o o 时，有a t 一0 + ，d 女一g ，则 l i m f ( u + o r 女d k ) 一f ( u ) l a 女= f ( “；g ) 证明因为 l f ( u + a t d a f ( u ) l l c t , = f ( u + 以) 一f ( u ) 一f ( u ；a k d k ) l a k + ( 叫以) ， 于是由定义2 5 以及f ( “；g ) 关于g 的连续性，可以得到： i m e f ( u + o t k d k ) 一f ( u ) l l a k 2 憋 厂( “+ 吼d t ) 一( “) 一f ( u ；c t k d t ) 川坼以i d t 现f ( “；以) = 厂( h ；g ) 引理2 2 设r 是拟可微集合，“r ，f ：r e 1 ，f ( x 1 在点“拟可微，假 若f ( x ) 在点“取极小值，则有一( “) c u 以) ， 证明因为f ( x ) 在处取极小值，则对任意g e ”有 点掰) ( ”，g ) + 点珊) ( w ，g ) = ，( “，g ) 2 ：骢【，( “+ 叼) 一( “) 】口三o ， 于是有 吲m a x ( ”，g ) 三一身3 ) ( 鸺g ) - 。：2 巍) ) ( ”，g ) ， 1 1 拟可微多目标规划最优性条件和对偶分析 从而利用支撑函数的性质司得： 一砂( “) 匕a s ( u ) 定理2 1 设r 是拟可微集合，“r ，f ：r 斗e 1 ，f ( x 1 在点“拟可微，而 且一致方向可微，假若一可( “) ci n t 曼厂( “) ，则存在“的某个邻域j ( “) ，使得 f ( x ) f ( u ) ，v x 8 ( u ) n r ， 即“是f ( x ) 在r 上的一个严格局部极小点 证明 置b - o f ( u ) d r i f t ( u ) ，则存在0 的某个d 够 0 9 邻域巧( 0 ) ，使8 ( o ) c o _ f ( u ) + w ， 其中任意w o f c u ) 否则，取j = _ 1 ( k 为正整数) ，而且存在w k 可( “) ，使得 占( o ) = c o _ f ( u ) + w k ，从而存在v 女j ( 0 ) ，使u 一g 彭( “) ，于是u w ki n t o ( u ) 当 k 专o 。时，巧斗0 ，v 女一0 ，w k 寸w 0o f ( u ) ，从而一w o 茌i n t u ( u ) ，这与 一可( “) c i n t 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ f ( u ) 矛盾于是对任意ge e ”，| | g 忙1 ，有 ：器磊( ”，g ) 三晋籍) ( ”，g ) + ( w ，g ) 结合w 的任意性，且岔厂 ) 是紧凸集，则有 唰m a l u x ) ( 仉g ) 一 ，( “) ，v x 占( “) n r ，即“是厂0 ) 在r 上的一 个严格局部极小点 离塞靛空靛天大学硬士学位论文 第翌耄拟可微多目标规划 本章利用拟可微函数的性质，以及目标函数和约柬函数的广义不变凸性， 分析无约束拟可微多目标规划的最优性条件和不等式约束的拟可微多目标规划 爨饶蛙条终；熬之透过嚣标通数静掺玫，建立一嚣等徐麓多囊标糕翔，证襞琵 游有效解( 弱肖效解) 之间的等价性；并引进一种鞍点，分析它与多目标问题 的有效解与弱有效解之间的关系；最飚考虑所建拟可微规划的w o l f e 型和 m o n d w e i r 型对偶闯题，缉翱提关结论 3 1 无约束拟可微多豳标规划的最优性条件 这里，我们将逶过拟可微函数以及支撑函数的挂缀，借助凸分攒中豹择一 镶定理来分拆光约束撅可微多嚣标蕊划静竣优往条伟 现在分析多目标规划： ( m o p ) m i n f ( x ) = 五 o ，使褥 当0 工( w ) ，v x 占( 村) 矛瓣，获疆打是( m o p ) 的蜀粼蠢效薅 推论在定瑕3 2 的条件下，假若五= ( ，名。) 7 0 ，则“是( m o p ) 的局部 真有效解 诞疆馁若蠢 0 ，令掰= ( p 1 ) 霉登盖j 2 , ，妇累敬不跫( 翘尹) 麴麓帮囊寄 效解，则必存在某个i 及巢个x d ( “) ，使得当z ) ( “) ，满足 ，；t 口) 一，；( x 。， m ( - ，( x ) 一歹j “) ) = 印一1 ) 器鍪砉【乃( x ) 一( 州塞乞 ( 乃( 妁，! 砌， 赦对 薹意歹i ，有 ：j 矗，( ， ) 一，0 7 ) ) - ( f a x ) 一 ) ) d l 。 。 予是对联有歹誊i 将上式求哥f l ，可以得到： 五( z ) 一，o ) ) ，。，_ ( 正o ) 一乃 ) ) ， ( “) - - z ，。， ， ) 。，丑，o ) = l ( x ) ， 嚣逡与三 点辑) ，v x 8 ( u 矛蘑，郢# 楚( m o p ) 戆羁帮鬓寄效解。 拟可微多目标规划最优性条件和对偶分析 3 2 约束拟可微多目标规划的最优性条件 在3 1 我们通过拟可微函数以及支撑函数的性质，借助凸分析中的择一性 定理分析了无约束拟可微多目标规划的最优性条件这里，我们将通过定义拟 可微函数的广义不变凸性，借助向量值函数，7 来分析带约束的拟可微多目标规划 的最优性条件 定义3 1 设x 匕e “为非空丌集，f ：x 斗e 1 ，f ( x 1 在工工拟可微如果存 在向量值函数r ：x x _ e ”和拟微分【矽( 工) ，p 厂( 石) 】，使 ，( 。) 一，( x ) 一 ，m 。a ，“x ) 【，7 ( x ，x ) 1 ( v + w ) ，v x x ，w o f ( x ) ， ( 1 ) 我们就说f ( x ) 在点x 关于玎是广义不变凸的 以下记m a x 一【q ( x ，x ) 】7 ( v + w ) 为m a x ( 曼厂( x ) + w ，r ( x , x ) ) 则( 1 ) 式可记成： 眶d ，c 、 ， f ( x ) 一，( x ) 三m a x ( ! 曼厂( 工) + w ，节( j f ，x ) ) ，v x z ，w o f ( x ) ，( 2 ) 在定义3 1 中，如果当x ；时，有，( x ) 一，( ；) m a x ( ( ；) + w ，玎( x ，；) ) ，则 说f ( x ) 在x 关于叩是严格广义不变凸的 考虑以下的多目标规划： ( 脚、 m i n 似) 2 ( i ( x ) ，厶( 工) ) 5 j g ( x ) = ( g l ( x ) ，g 。( x ) ) 5 0 这里，：寸，g ：爿一矿，c f 为一非空开集，d = ：g ( x ) 5 0 为( m o p ) 的 可行解集，p = 1 ，西，m = 1 ，肌) 下面就，( x ) ( f p ) ，g j ( 曲( ， d 都是非空开集x 上的拟可微函数时，来分析 ( m o p ) 的最优性条件 定理3 3 设x e ”是( 脚) 的弱有效解，则对任意w ，酩( 7 0 ，z ，e 西，( ；) ， 都存在相应的( 五，f ) 0 ，a 仨e ? = o = ( m ，) 1 e 9 ：m 三0 ，i p ) ，善e ? ，使 得下式成立： o 。， ( 甄( ；) + w ，) + 。幽，( ；) + z ，)( 3 ) 南京兢空靛天大学颓士学整论文 且脊 夤g ，( x ) = o ，m 避明曹先石等式组 耄g ) 瓯最 i g ：( 墨占) 0 ，使得当口 对，有；+ 咄x ，f , ( x + c z g ) ，( ；) ( je 户) 。如 粱；十裙芒d ，这与；是翩盛矽懿弱奏效解穗矛盾；热莱；+ 昭彗d ，粼薅逶当 的必有g ，0 + a g ) 乏o ，芒，所以( 一) 在e ”上不相容，从而对任意 磷魏两，弓戡两，下捌不等式整 ( 曰)j m a x 沁+ ，劝：_ 甄o ：! 三 o ， 7 谣段 l m a x l ( y j + # ，g ) ：y j 魏( 并) o m a x ( v ，g ) ：v 乍。矗( 甄( 习十) + ，。( 触( i ) 十一) ) 至。 烈搿支撵蠡数静瞧质胃魏； o 舯 ( m ( - ) 十h ) + 川岛( 始，6 ) + z ，) ， 当，毫艇、j 对，令乞= o ，帮镲封 3 减，疑寿害碧，( _ ) = 毡歹m ， 注1 显然淹壤3 3 是撤w 微多霹标翘划的f r i t z - j o h n 必要条件，京楚可微的 多目标优化问题的推广；当p 。1 时，它媳拟可微单目标规划的情形下面定理 3 4 是援可微多霹豁捷弛润题豹k u t m t u c k e r 必要条件。 拟可微多目标规划最优性条件和对偶分析 定理3 4 在定理3 3 的条件f ，如果 o 【品( 蛰- ( x ) + 船- ( x ) ) ， ( 4 ) 贝0 ( 3 ) 式中五= ( ，一， 。) 0 证明依定理3 3 可知存在五f ，f f ，( 五，孝) 0 ，使得( 3 ) 成立不妨 设。丑+ 。与= l ，假若兄= 0 ，则有。善，( 西，( ；) + z j ) = o ，这与( 4 ) 矛盾， 即证。 定理3 5 设，( f d 与( ，胸在x 关于刁是广义不变凸的，如果存在 o ，鲫， 使得( 3 ) 成立，则x 是( m o p ) 的弱有效解 证明因，( f e p ) ，g ，( ，) 在x 关于r 是广义不变凸的，所以有 ，( 工) 一，( ；) 三m a ) 【但，( ；) + w j ，r ( x , ；) ) ，v x d ，w f 配( ；) ，i p ，( 5 ) g s ( x ) 一g ，( ；) 三m a x ( 坌g ，( ；) + 2 ，叩( x ，；) ) ，v x e d ，z ，琵，( ；) ，l ，( 6 ) 如果x 不是( 朋d i d ) 的弱有效解，即存在x d ，使得 f ( x ) ，( x ) ，g j ( x ) 塞，( z ) = 0 ，j j 结合( 5 ) ，( 6 ) 可知： m a 。( 甄( x ) + w ，印( x ，x ) ) o ，所以由( 7 ) 和( 8 ) 可得： 。丑m a x ( 曼，( - ) + ，叩o ，- ) ) + 刖彭m a x 每，( - ) + z ，叩( 石，- ) ) o ， 又因为孝，= 0 ( j m j ) ，所以有 。 m a x ( 彰( ；) + ，叩( x ，；) ) + ，。m a x ( 亟，( _ ) + 弓，印o ，；) ) o ， 这与( 3 ) 矛盾，证毕 注2 定理3 5 中，如果，( f p ) 在；关于叩是严格广义不变凸的，则；是( m o p ) 的有效解显然该定理是k u h n t u c k e r 必要条件的充分性 毒素羲奎| 巍_ 哭大学蘸士擎缀论文 3 。3 一个等价的多目标涌越 设x 怒( m o p ) 的一个可行解，遮里将通过对目标函数的修改得到向鳖极小 化问题( 哪，将( m o p ) 的有效解和( 即) 的有效解( 弱有效解) 联系起来其中， 条终警( 墓两钝寄着缀鬟蚕鳇终瘸+ 考虑下面的多强橼问题： ( p ? ) m t n m a x ( a l , ( 7 0 + w l ，叩( 曩- ) ) ，m a x ( 鲈6 ) + ，町( 毛；) ) r ， s j 。g = 暖磅，g 辨国) 箩， 这里z ( f p ) ，g ，( - g m ) 都是定义襁非空开集肖c e ”上的拟可微函数，向墩值 丞数蹿定义毙警：d x d e “，唯g 酝( ；) ，i p ，d = 旗x ：g ( x ) 5 0 。 定理3 6 设i 黾 彻即的弱有效解，g j ( ，毫，) 在；关于糟照广义不变凸的， 且( 4 ) 式成囊，t l ( 一x , 一x ) = 0 ，i c j , 7t i z 是( v p ) 的弱有效鼹。 涯骥由定理3 3 翻定理3 4 可知存在五o ，诧o ，馒褥( 3 ) 成立如采；不是 ( 阡) 的弱有效解，即襻在x d ，使得 m a x ( 鸶( _ ) + 雌，r ( x ，；) ) 黼鲧( _ ) + 啦，笮( - ，；) “芒聊， ( 9 ) 麦子警( 毫, 7 ) - - 0 ，毒0 ，燕圭g ) 可褥 。 m a x ( ；) + m ，7 ( 以；) ) 8 ，鼹杰9 鹳蠢译辫搿褥( ，下霞鳃诞鞲褒定褒3 , 6 鹁蠢半 部分完全相同 定理3 7 馓；是) 的( 瞄) 有效解，l ( i e d 在；燕子即是广义不嶷凸的， 量蹿蠢两= 。，剃；也是嬲璺p 粒簿) 有效瓣 涯臻蔑髓愆反涯法先说骤有效簿清糯辩架存在茹d 耧菜令撂舔枣芒p ， 使得 zo)翱：(对，ip，02) 磊五，1 3 融为，8 研穗；关于节是广义不变凸静，鬣圩( 而砖= o ，盟q 有( 1 2 ) r ( 1 3 ) w 得 m 疆( 执( x ) + w ，叩( 搬x ) ) 墨0 = m a x l 馘( 曲+ w t ，吁( x ，x ) ) ( v i ep ) ， 奄籀e 戡壤，帮端冷e 一街溅 馘谤，蜒磅纛彤， 菸中以酩6 ) ，觋( 两，这与；怒( 啪的有效解稽矛盾，赦而；也是 ( m o p ) 的有效解 下嚣瀵臻弱誊羧鬓壤瓿+ 强暴存在苫毫d 馕缛磊( 砖五蜮| 蒜p ，透隽 z 靠瞢d 在x 关予带是广义不变凸鹃，置r l ( x , 力- - o ，辩商 m a x ( 照一( + ，r ( x ，并) ) o ；m a ) c ( 姒( 砷+ ，7 ( 尚z ) ) ( v ie ，) ， 其中堆e 融( ，这与；是( 鳓昀弱有效解捆矛蓐，故两；也是滟弱有效 麓。 南裳航空航天大学鞭士学位论文 3 4 鞍点准则 在多霉标簸粼袭铙洼条黪分辑孛，弱鞲控搭鞠嚣溺数茨鞍焘逶释搽讨，是 常用的技巧j 血格朗日函数的鞍点有好几种，f r i t z - j o h n 鞍点和k u h n - t u c k e r 鞍 点是最常见的，下面针对( 任意固定的w 行解；来定义玎一拉格朗冈函数【4 0 】， 弓| 滋一静鞍熹，势分据其鞍惑露( m o p ) 露效解或弱毒效熬之翔魏关系，褥爨鞍 纛准则 定义3 2 设x 芭d ，孝e e ，m ，o f , ( x ) ，i e p ，令 三文毋= b 叫残两+ 啦，舷动+ r g ，m 啦国+ ，哿暖动+ 矿g ) t ， 并称三为( 冲) 的暂一控格朗曰函数 定义3 3 设点( x ，善) d x e m ，如果 国l ( x ，嚣擎如嚣，v 善毫f ； t ( x ，害) 术三拓善) ，魄d ， 我们就称“宇) 燎节一拉格朗霹函数三阮0 的一个鞍点 定理3 8 设x e d ，( f p ) 在x 关于印是广义不变幽的，且叩( ；，；) = o ，如 聚红，害) 是簪一投捂翘蜀函数五嘛9 鞠一个鞍赢，劐；是 a 印豹弱鸯效解。 迁骥霞梵( x ，善) l ( x ，静一个鞍虑，煲|