（运筹学与控制论专业论文）带时滞正倒向随机控制系统的最大值原理.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 最优控制问题是控制科学研究的重要内容最大值原理，即最优控制满足的 必要条件，是处理最优控制问题时最重要也是最常用的方法之一本文研究了在 控制集为凸集的情况下带时滞的正倒向随机控制系统的最优控制问题，在一定的 单调性假设条件下得到了带时滞正倒向随机微分方程解的存在唯一性，并进一步 得到了该最优控制问题的最大值原理 在第一章中，我们给出了所研究的最优控制问题，并对最大值原理的研究历 史做了一些回顾在第二章中，我们回顾了倒向随机微分方程的一些知识，给出 了倒向随机微分方程解的存在唯一性定理这是研究正倒向随机微分方程的基 础在第三章中，我们研究了带时滞的正倒向随机微分方程解的存在唯一性问题， 在一定的单调往假设条件下，我们对这一问题给出了肯定的回答在第四章中，我 们利用变分方法和对偶技巧最终得到了带时滞正倒向随机控制系统的最大值原 理 关键词： 正倒向随机微分方程，时滞，最优控制，最大值原理 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a to p t i m a le o n t r o lp r o b l e mi so n eo ft h ec e n t r a lt h e m e s o fc o n t r o ls c i e n c e t h es 0 _ c a l l e dm a x i m u mp r i n c i p l ei st h en e c e s s a r yc o n d i t i o n f o ra no p t i m a lc o n t r 0 1 o n eo ft h em o s tp r i n c i p a la n dm o s tc o m m o n l yu s e da p - p r o a c h e sw h e nf a c i n gao p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e r t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo ft i m e - d e l a y e df o r w a r d b a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e m w h e nc o n t r o ls e ti sc o n v e x u n d e rs o m em o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o n s ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft i m e d e l a y e df o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h em a x i m u mp r i n c i p l eo ft h i so p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi s d e r i v e di n t h ec o n s e q u e n c e i nc h a p t e r1 ，w ef o r m u l a t et h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，a n dp r o v i d eah i s - t o r yr e m a r ko ft h es t u d yo fm a x i m u mp r i n c i p l e i nc h a p t e r2 ，w er e v i e ws o m e r e s u l t sa b o u tb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n t h i sw o r ki saf o u n d a t i o no ft h es t u d yo ff o r w a r d b a c k w a r de q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft i m e - d e l a y e d f o r w a r d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ec o n s i d e r e d u n d e rs o m e m o n o t o n i c i t yc o n d i t i o n s ，w eg i v eap o s i t i v ea n s w e rt ot h i sp r o b l e m i nc h a p - t e r4 ，w ec o m b i n et h ev a r i a t i o n a lm e t h o dw i t hd u a l i t yt e c h n i q u ea n do b t a i nt h e m a x i m u mp r i n c i p l ef o rt h et i m e d e l a y e df o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e m s k e y w o r d ：f o r w a r d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t i m e d e l a y o p t i m a lc o n t r o l ，m a x i m u mp r i n c i p l e 1 1 第一章引言 设( q ，p ) 是一个概率空间， 1 t o 是这个概翠空间中的一个俨维郁刚 运动 五) 伽是 啦 伽的自然口- 域流我们考虑下面的带时滞的正倒向随机控 制系统： f d z ( ) = f ( t ，。( ) ，掣( ，2 z ( t 一6 ) ， ( t ) ) 出 j + 盯( t ，z ( t ) ，g ( t ) ，z ( t ) ， ( t ) ) d 肌， 、 l d y ( t ) = 9 ( t ，。( f ) ，可( t ) ，z ( t ) ，v ( t ) ) d t z ( t ) d w t ， 、 【z ( ) = 。( t ) v t 【一5 ，o l ，g ( t ) = ， 设“是豫的一个非空子集， m 2 ( o , t ；r a ) = ”：【0 卅一倒l e z r m 驯2 出 + o 。) ， 阮d = ( ，) 3 , t 2 ( o ，t ；r ) j v ( t ) “，0 t t ，a e ，a s t ) ， 集合玩d 称为允许控制集，比d 中的元素称为允许控制我们可以定义下面的目标 泛函： 帅( ) ) = e z t 邵，埘蚺雄) ，删d t + 4 ，( 乖) ) 州们) ) ( 1 2 ) 最优控制问题就是在允许控制集0 如上最小化目标泛m j ( ) 允许控g t h , ( ) 称为 是最优的，如果它使j ( ) 达到了最小值方程( 1 1 ) 称为状态方程，其对应于一个 最优控制u ( ) 的解( z ( ) ，! ，( ) ，o ) 称为最优轨道 众所周知，最优控制问题是控制科学研究的一个重要内容对于一个正向随 机控制系统( 方程( 1 1 ) 中的倒向部分以及y ，：都不出现) ，其最优控制满足的 必要条件，即随机最大值原理，在二十世纪七十到八十年代得到了广泛的研究( 参 见b i s m u t 5 ，b e n s o u s s a n a 1 ) 在这方面，彭实戈【1 6 】得到了般情形的最大值原 理，即控制变量出现在了方程的扩散项中，并且允许控制集可以非凸彭实戈f 17 1 还研究了当方程( 1 1 ) 中的，和o - 不含有可和z ，并且控制集是凸的情形下的正倒 向随机控制系统的最优控制问题然而对于完全耦合的正倒向随机控制系统，我 们不能保证任给一个允许控制，系统都有唯一解如何运用对偶技巧保证伴随方 程存在唯一解也是十分困难的问题 对耦合的正倒向随机微分方程的研究始于二十世纪九十年代初a n t o n e l l i 1 1 在他的博士论文中得到了正倒向随机微分方程在一个小时间区间上的可解性，并 复盥大学硕士学位论文 且构造了反例说明在一个大时间区间上不一定可解在这之后，些学者开始研 究正饲向随机微分方程在任意时间区间上的可解往马进、p r o t t e r 和雍炯敏 1 4 1 通过拟线性偏微分方程显式的给出了适应解的正向部分和倒向部分满足的关系， 即所谓的解正倒向随机微分方程的“四步法”但这个方法要求正向方程的扩散 项是非退化的，并且方程的系数都是非随机的胡瑛和彭实戈【1 1 1 不要求方程满 足上面的条件，但方程系数需要具有一定的单调性，并且z 和y 具有相同的维数 彭实戈和吴臻f 1 翻推广了这一结采，允许z 和y 具有不同的维数，并且进一步减 弱了单调性假设，吴臻【2 0 】在此基础上得到了完全耦合的正倒向随机控制系统的 最大值原理。雍炯敏1 2 1 在这个方向进李亍了进一步的研究，总结出了所谓的“连续 法”马进和雍炯敏 1 5 1 在他们的专著中系统的介绍了正倒向随机微分方程的理 论和在数学金融中的一些应用 本论文研究了带时滞的完全耦合的正倒向随机控制系统的最优控制问题的 必要性条件我 f 1 证明了在一定假设条件下，时滞系统及其对偶系统都存在唯一 解，进而得到了时滞系统的最优控制问题的最大值原理在第二章中，我们简单 回顾了倒向随机微分方程的一些知识，给出了倒向随机微分方程解的存在唯一性 定理。这是研究芷倒向随机微分方程的基础在第三章中，我们研究了带时滞的 正倒向随机微分方程解的存在唯一性问题，在一定单调性假设条件下，我们对这 一闫题给出了鸯定的圄答，在第四章中，我 j 剩掰变分方法和对偶技巧最终得到 了带时滞正倒向随机控制系统的最大值原理 2 第二章倒向随机微分方程解的存在唯一性 线性倒向随机微分方程最早是由b i s m t f 4 1 在1 9 7 3 年研究随机最大值原理时 作为伴随方程而引入的，a r k i n 和s a k s o n o v 2 ，k a b a a o v 1 2 ，c a d e n i i l a s j f ；l k a r a t z a s 【7 】等也在研究随机最大值原理时用到了线性倒向随机微分方程b i s m u t l 6 】在1 9 7 8 年引入了一类非线性倒向随机微分方程，并汪明了其存在唯一有界解p a r d o u x 和 彭实戈1 8 1 在1 9 9 0 年最先证明了一般倒向随机微分方程解的存在唯一性自这以 后，由于和非线性偏微分方程以及随机最优控制问题有着密切的联系，倒向微分 方程引起了许多学者的兴趣同时，在数学金融领域中，未定权益的定价和套期 保值理论通常也是用线性倒向随机微分方程的形式表述的( 参见e 1k a r o u i 、彭实 戈和q u e n e z 9 ) 雍炯敏和周迅宇f 2 2 】在他们的专著中对倒向随机微分方程理论 做了系统的阐述 在这一章中，我们主要介绍一下一般倒向随机微分方程解的存在唯一陛定理 我们首先规定一些记号 碍4 = x 础i x r r 一可测；l i z l l 2 = e ( i x l 2 ) g ( 2 + g ) ，下面 的先验估计成立? 冽悟t e 咖删2 + 南m i ； ， 圳( 2 + 2 c 2 t ) 叩昂1 2 + 器m 懵 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 命题2 2 的证明可以参见e ik a r o u i 平d q u e n e z 1 0 下面我们证明定理2 1 证明：我们构造一个砖4 辟“。8 到它自身的映射，它将( 9 ，z ) 映到以，( t ，轨，魂) 为生成元的倒向随机微分方程的解( y 】z ) ，即 m = f + z 7 ，( s ，弧，磊) d s 一t 刃d 巩 ( 2 4 ) 因为( ，f ) 是一个标准对， ，( t ，轨，施) it i o , 卅 属于辟4 设m 是平方可积 鞅b 蠕，( s ，执，如) d s + l 五】的连续版本，根据鞅表示定理( k a r a t z a s 和s h r e v e l l3 】) ， 存在唯一的可积过程z 埠“4 ，使得舰= + 后刁d w , 定义适应连续过 程y ：k = 脱一居，瓴乳，) d s 注意到y 还可以写成 r ，丁1 k = e j ，( s ，y s ，z 。) d s + 纠五i ， t j t j 由此可以推出y 是平方可积的，从而( y lz ) 确实是方程( 2 4 ) 的解 设( 耖1 ，z 1 ) ，( 圹，z 2 ) 是瞬4 磷”4 中的两个元素，( y ，z ) 和( y 。，z 。) 是相应 的解由命题2 2 ，取c = 0 ，得到 6 y | | ；吾e z t e p 5 i ，( s ，j ，乏) 一，( s ，谚，考) 1 2 d s 4 复旦大学硕士学位论文 和 悯靥；e t 沙谚，之) - ，( “矧2 瓠 再根据，是致l i p s c h i t z 的，l i p s c l l i t z 常数为c r ，我们可以推出 l i l y i i ；+ i i d z i i ；竿曲1 i ；+ 1 1 6 z i l 劲 ( 2 5 ) 选取声使得2 ( 2 + t ) c 2 0 ，我们得到窑( ) 兰0 ，从而z 0 ) ；牙( t ) 再根据倒向随机微分方程解的唯 一性( 定理2 1 ) 可以推出( t ) 三口( t ) 和。( ) 兰j ( t ) 口 存在性的证明比较复杂我们将运用上面的技巧和一个先验估计来构造一 个压缩映射，再利用不动点原理证明解的存在性我们考虑下面一族以n 0 ，1 】 为参数的带时滞的正倒向随机微分方程： ， l d x 。( 亡) = o ，( t ，a o ( t ) ，z ( 一d ) ) 十咖( t ) 】d t + 【a a ( t ，a o ( t ) ) + 妒( t ) 】d i 戗， d y 。p ) 一( 一( 1 一a ) p 茁o ( t ) + a g ( t ，天8 “) ) + - r ( t ) a t 一= 。( t ) d k ， ( 3 2 ) iz 。0 ) = = ( t ) ，f o rt 卜d ，o 】，y ( t ) = ， 其中毋，中和1 是给定的在r 中取值的平方可积过程 定义3 2 我们祢方程( 3 2 ) 关于n 是可解的，如果对任何平方可积过程( 协妒，y ) 都存在一个三元纽( 2 0 ，y o ，严) 满足( 3 2 ) 容易看出，如果方程( 3 2 ) 关于o = 1 是可解的，那么方程( 3 1 ) 的解是存在的 根据随机微分方程和倒向随机微分方程解的存在性定理，方程( 3 2 ) 关于= 0 是 可解的下面的引理给出了方程( 3 2 ) 关于n 【o ，1 l 的可解区间的一个先验估计 引理3 3 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立如果方程( 3 2 ) 关于某个。1 0 ，1 ) 是可 解的，则存在一个正常数e o 使得对任何5 0 ，o ，方程( 3 2 ) 关于o = o + 都 是可解的 证明：由于九妒，y h 4 2 ( 0 ，t ) ，方程( 3 2 ) 关于口。是可解的，所以对任何三元 组a ( s ) = ( z ( s ) ，y ( 5 ) ，。( s ) ) m 2 ( o ，? ；r 3 ) ，存在三元组a ( s ) = ( x ( s ) ，y ( s ) ，z ( s ) ) 7 墨旦盔堂堡主堂堡笙窭 _ w _ - _ - _ - - _ - _ _ _ _ _ - _ - 一一一 m 2 ( o ，t ；r 3 ) 满足下面的带时滞的正倒向随机微分方程： fd x ( t ) = 【o t o f ( t ，a ( t ) ，x ( t 一6 ) ) + e ，( t ，a ( t ) ，z 0 5 ) ) + 庐( ) 】d t l + 陋。口( t ，a ( t ) ) + e a ( t ，入( t ) ) + 母0 ) 1 d ，t ， 一d y ( ) = 【一( 1 一n o ) ，x ( ) + a o g ( t ，a 0 ) ) + ( 卢茁( ) + g ( t ，a ( ) ) ) ( 3 3 ) i十7 ( t ) 】d 一z ( t ) d w ， ix ( ) = 口( ) ，vt 【- 5 ，o 】， y ( t ) = ， 我们要证明映射厶。杠( a ) = a 是m 2 ( o ，t ；瓞3 ) 中的个压缩映射，这里我们假 设。( t ) = o ( t ) ，t 【- 5 ，o 】 设天= ( 雪，口，j ) 。m 2 ( o ，t ；r 3 ) ，天= 厶。+ 。( 天) 我f 门令 支：( 岔，玩暑) ：0 一牙，y 一口，。一j ) ， 天= ( 更，p ，岔) = ( x 一贾，y p ，z 一2 ) 对贾p 运用i t 6 公式，我们得到 o ；e ? q 。【，( t ，a ，x o d ) ) 一，( t ，五，x ( t 一6 ) ) y d t + e e f ( t ，a ，z ( t j ) ) 一f ( t ，a ，牙0 6 ) ) y d t ，一 + e 【( 1 一o o ) z x 一口d ( 9 ( t ，a ) 一g ( t ，a ) ) l x d t e 5 【凰岔+ ( 9 0 ，a ) 一g ( t ，五) ) j 戈d t + e j f o t t ，0 盯( t ，a ) 一盯。，a - ) z d t + e f o ts p ( t ，a ) 一a ( ，工) 】岔d t ：t 。( a o ，a ，x ( t 6 ) ) 一a ( t ， ，贾。一d ) ) ，+(1一。)zeea d t，11 2 1 2 d t = o o ( a ( 亡，a ，6 ) ) 一， ，贾( 亡一d ) ) ，+ ( 1 一o oi 2 3 0 j o + e e ( 一p 岔- 宕+ ( a ( o ，a ，。o 一6 ) ) 一a ( t ，天，牙。一6 ) ) ，j c ) ) d 。 邱小1 2 d t + e e t ( 一麟圳a 坤叫m 如( ，轴 8 复旦大学硕士学位论文 由于a 满足l i p s c h i t z 条件，我们得到 由于i f 2 f a l 2 ，f x f 2 f 氕f 2 ， e z rl 窭。一1 2 d t = e 丁一6i 岔( t ) 1 2 d t r z tj 支j 2 d t ， 所以 e j 0 1i 殳| 2 出s g e z l ( i 1 2 + 闲2 ) 出， ( s 4 ) j 0 、 7 其中a = 1 + 菩 接下来估计p 和2 我们在区间k y l 上对方程( 3 3 ) 的倒向部分积分得到： 矿o ) ：t 一( 1 一口。) p 譬+ a 。o ( 。，a ) 一g ( 。，五) ) r p ( t ) + 岔d 巩 j t = ，t _ ( 1 一咖) 解+ 咖( 小，a ) 一9 ( 5 ，鳓州肺+ 如叫硝( 圳) d 。 9 圣 一a 碉 一 m 阶 一 呦 巧 邴 卜 呦 、j 一 !z e o “一“烈i 卜 。 叫广。妒如f 凡 0 ， 锄 m 椭 讹 ，五也 也 n “砌m m 出 出 一x x 铲 鑫篡誓郴小小办卜叫 叮吖叮吖，硪。 d z t ， 一sd 叫 0 一5 g 一 s “ +防 “ + 而从 一 星旦盔兰堕主堂垡堡塞 ，_ - _ _ _ _ - _ _ _ 一一 一 两边平方后取期望并结合l i p s c h i t z 象忏，戎得到 e l g ( t ) 1 2 + e 1 2 ( 2 d s j t = e ，r 一( 1 a 。) 口爱+ a 。( g ( s ，a ) 一g ( s ，五) ) + s ( 腼+ 9 扣，入) 9 ( s ，x ( s ) ) ) d s 、 2 ( t - t ) e j ( 1 一( 1 - o r o ) 1 9 2 + a 。( 9 ( 3 ，a ) 一9 【s ， ) ) + g ( 卢奎+ g ( s ，a ) 一9 ( s ， ( s ) ) ) 1d s 一 1z 4 ( t - t ) e 1 ( 1 - 0 r o ) 2 伊1 贾1 2 + 碲k 2 l 天1 2 + s 2 p 2 l 童1 2 + s 2 k 2 l 天1 2 d s 4 ( t - t ) e f 1 ( 1 一锄) 2 酽l 天1 2 + 碥k 2 l 天1 2 + s 2 胪 1 2 + e 2 k 2 | 1 2 d s 4 ( t - t ) e j ( t ( 伊十( 闰2 柑n 令p = 面考耐，则对任意t i t 一卢，卅 e l 矿1 2 + 百1 e 1l 岔j 2 d s 运用g r o n w a l l 不 e f p ( ) 1 2 e 铆山 等式可以得到 c 。e f o ? c 避；1 讯曙1 前d s _ 叠1 2 c b + 扣胁2 d s ( 3 5 ) 贾 ：d s + q 5 2 e ，t 浒d 。，( 3 6 ) j 0 爻1 2 d s + c e 2 e i | 2 d s ，t 【t p ，卅 一o 类似的，我们还可以得到 ，r p y ( ) + z d w = ，n “h 咄) 藤恂湫蚰h ( s 】鳓州胆吲s 叫硝( s ) 灿 + y ( t 一卢) 1 0 t r ，z e e l 一2 1 2 + + s s d d 2 2 一y y t r ， e e 1 2 1 2 0 ，使得对任何 o ，如】， 坠! 曼妻鱼! 坠掣! 1 i 一口( q + g + 1 ) 8 复旦大学硕士学位论文 于是，厶。* 就是m 2 ( 0 ，t ；r 3 ) 中的一个压缩映射，从而存在唯一的一个不动点 a 。“= ( x “，y 。牝，z ”“) 换句话说，方程( 3 2 ) 关于a = a o + 是可解的这就证明了引理3 3 口 由命题3 1 和引理3 3 ，我们立即得到下面的定理 定理3 4 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立。则存在唯一的一个三元纽 a ( ) = 忙( - ) ，( ) ，z ( t ) ) 满足带时滞的正倒向随机微分方程( 3 1 ) 1 2 第四章带时滞正倒向随机控制系统的最大值原理 我们考虑带时滞的正倒向随机控制系统( 1 1 ) 和目标泛函( 1 2 ) 假设： ( h 3 ) 函数f ，g ，o - ，l ，圣和h 关于a ，r 和 是连续可微的函数，1 9 ，口的所有一 阶偏导的绝对值不超过k 函数l 的所有一阶偏导的绝对值不超过c ( 1 + + 1 y i - 4 - + m ) 函数圣，h 关于嚣和9 的一阶偏导的绝对值分别不超过g ( 1 - 4 - h ) 和c o + i y l ) ( h 4 ) 对任何u ( ) 阮d ，( h 1 ) 和( h 2 ) 对方程( 1 1 ) 成立 于是根据定理3 4 ，对任意一个允许控制，方程( 1 ，1 ) 都存在唯一解 设u ( ) 是一个最优控制， ( ) ，( ) ，z ( - ) ) 为相应的最优轨道令u ( ) 使得“( - ) + ( ) 阮d 由于玩d 是凸集，因此对任何p 【0 ，l 】，u p ( ) = 仙( ) + 舢( ) 玩d 我们把对应于“，的轨道记为( 唧( ) ，勘( ) ，都( ) ) 下面的引瑾给出- f i e 倒向随 机控制系统的解对参数p 的依赖关系 引理4 1 。假设( h 3 ) 和( h 4 ) 成立则 舢lim删叫巩plira。坦型瑚)1删limpp 盟锄) p 。o、“p op 。0 d 、 这里极限在m 2 ( 0 ，t ) 中取，并且 d 量( # ) ：= f 厶( t ，。( ) ，( ) ，z ( ) ，( 一5 ) ，( ) ) 量( t ) + m t ，口( t ) ，( t ) ，z ( t ) ，x ( t 一6 ) ，“( t ) ) 鳓) + 厶( t ，z ( t ) ，可( ) ，z ( t ) ，x ( t 一6 ) ，u ( t ) ) 双t ) + ，r o ，z o ) ，0 ) ，z ( t ) ，x ( t 一6 ) ，让( t ) ) 奎 一d ) + 凡( t ，z ( ) ，( t ) ，z ( t ) ，x ( t 一6 ) ，u ( t ) ) v ( t ) l d t 十p j 0 ，z 0 ) ，g ( t ) ，z ( t ) ，u ( t ) ) z ( 亡) + 0 ，z ( t ) ，可( t ) ，z ) ，0 ) ) 鲰t ) + o _ ( ，z 0 ) ，口( t ) ，z ) ，让( t ) ) 双t ) + o ( ，z 0 ) ，0 ) ，。( t ) ，u ( t ) ) v ( t ) d w t d 敢茚= g ( t ，。( t ) ，可( o ) ，z ( t ) ，n 0 ) ) 茅( ) + g ”( o ，。( ) ，s ， ) ，z ( t ) ，“( t ) ) 获) + g z ( t ，z 0 ) ，9 0 ) ，。 ) ，u ( t ) ) 飘t ) + 9 0 0 ，z 0 ) ，( t ) ，：( t ) ，t ( t ) ) u 0 ) 】d t z ( ) d ，k ， z 0 ) = 0 ，vt 一6 ，o l ，斫t ) = 0 ( 4 1 ) 证l t s j ：根据假设( h 3 ) 和( h 4 ) ，将u ( ) 看成是个给定的函数，我们很容易验证 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 对方程( 4 1 ) 成立根据定理3 ，4 ，方程( 4 1 ) 存在唯一解( i ( ) ，认) ，甄) ) 方程( 4 1 ) 称为变分方程 1 3 复旦大学硕士学位论文 则 我们首先证明解对参数的连续依赖性令 岔o ) = x p ( t ) 一z 0 ) ，烈t ) = y p ( t ) 一0 ) ， ( t ) = 却( t ) 2 ( t ) ( 垃( t ) = 【f ( t ，z p ( t ) ，y a t ) ，却( t ) ，z p ( t 一6 ) ，t 0 ) + p 0 ) ) - f ( t ，( t ) ，y a t ) ，郎( t ) ，x p ( t 一6 ) ，u ( t ) ) - - f ( t ，( ) ，铷( t ) ，昂( t ) ，鄂o d ) ，( ) ) - f ( t ，z ( t ) ，f ( t ) ，z ( t ) ，x ( t 一6 ) ，u 0 ) ) 】d + p ( t ，( # ) ，蜘( ) ，白( ) ，让( ) + p ”( t ) ) 一口( t ，z a t ) ，蜘( # ) ，印( ) ，珏( t ) ) + o - ( t ，卸( t ) ，郎( f ) ，卸( t ) ，乱( ) ) 一盯( ，z ( # ) ，( ) ，z ( ) ，u ( t ) ) d w t ， 一d 烈t ) = 【g ( t ，嘞( t ) ，咖( t ) ，知( t ) ，u ( t ) + p ( t ) ) 一9 ( t ，( t ) ，郇( t ) ，z a t ) ，仳( t ) ) + 9 ( t ，x p ( t ) ，勘( f ) ，知( t ) ，世( t ) ) 一g ( t ，z ( t ) ，( t ) ，z ( t ) ，u ( t ) ) l d t z ( t ) d w , 奢( t ) = 0 ，t 【- 5 ，0 】， 引t ) = 0 我们要证明当p 一0 时，( ( ) ， ( - ) ，甄) ) 在川2 ( o ，t ) 中趋于0 由假设( h 3 ) ，对面运用i t 6 公式可得 0= e 【，( t ，a p ，z p ( t d ) ，u + p v ) 一f ( t ，x p ( t d ) ，u ) 】 d t + e7 【f ( t ，入p ，七p ( t 6 ) ，u ) 一，( t ，入，聋( t 6 ) ，u ) l 蚕d t r t ，t e b ( t ，a p 缸+ 户u ) 一9 ( t ，a p ，) 1 歪试一e b ( t a p ，) 一g ( t ，a ，乱) 奎d t j 0j o +ep(t，ap，t+印)一盯(t，k，u)l暑dt+e【o(tt r t ，a p ，) 一盯( ，a ) 拙 ， j oj o = 匠( a ( t ，a p ，p 一6 ) ，“) 一a ( t ，a ，。( 一6 ) ，铭) ，支) d ， + e ( t ，x p ( t 一6 ) ，u - 4 - p l v ) p v 纰 j o e ：t 函( 厶, , uh - p 2 v ) d t + e z o t c $ v ( t ，k 札十| d 。”) 删 d t e 上函( 厶 ) 。 d 。+ e 2 ，t 十| d 3 ”) 删 d 2 胆z r 俐2 d r - k p e z o r 忡j ( i 州桃 其中p 1 ，p 2 ，p 3 f o ，p 1 因此 e 小2 峨万k p ez ? ( i x l w 2 心 ( 4 2 ) 复旦大学硕士学位论文 因此 同样地，对i 列2 运用i t 5 公式，我们有 ，t e l 烈t ) 2 = e 2 【g o ，) 、p ，让+ 舢) 一g ( s ，ap 1 u ) l 争d s j t + e z t2 k 小小，枷) 弘一e ，7 阡山 另一方面，根据假i 发( h 3 ) 可知 ， e f 烈) 1 2 + e i 纠2 d s j t ，t p t 圃j ( ( 钟仆 2 ) d s 似e ( 2 硎2 + 去2 m 如 。 。 ( 2 舻惭+ 扣，7 肌+ 扣t 咖 + 扣胁2 d s + k p e z o 瓠 e l 贰t ) 1 2 + 三1 e tj 司2 d s ( 2 k 2 + k p + j 1 ) e ，r i 列。d s + ；e 胁m s + k p e h 根据g r o r l w 出l 不等式我们得到 厂(i剜2+l刁2geoe ) d t t l 奎 2 d t j 0 + c ；胚j ( 7 i ”j z d t ( 4 3 ) ( i 剜2 + l 刁2g e + c ；p e 4j 口j 2 d t f 4 3 ) ，n 、1 由( 4 2 ) 和( 4 3 ) 可以推出 e 厂rf 爻1 2 d c ；p e ，t ( f 爻| 2 + f 口1 2 ) d ， j 0 j o 其中g 和p 无关这样我们证明了当p 一0 时，( 窑( ) ， ( ) ， ( ) ) 在m 2 ( o ，t ) 中趋 于0 现在我们令 a p x ( 归掣，劬( f ) ：掣，a p z ( 牡幽 r po 复旦大学硕士学位论文 于是有 d a p 。o ) = ：p ( t ，。p ( t ) ，y p ( t ) ，( ) ，z p 一d ) ，u ( t ) + d ( t ) ) 一f ( t ，$ ( t ) ，o ) ，4 t ) ，。( t d ) ，u ( ) ) ld t + i l 叮( ，( t ) ，( t ) ，知( t ) ，u ( t ) + ( t ) ) ul 一盯( t ，z ( ) ，可( t ) ，。( t ) ，u ( t ) ) d ， d ( t ) = ； g ( t ，z 一( t ) ，蜘( ) ，却( t ) ，u ( t ) + p ”( t ) ) 一g ( t ，茁( t ) ，y ( 氓z ( t ) ，u ( t ) ) 1 出 一( ) d - k ， ( t ) = o ，t 【- 5 ，o l ， 。( t ) = 0 我们司。以把上面的方程改写为 f d a p x ( t ) = f ( t ，, s p z ( 茚，可口) ，( ，p z 一d ) ，v ( t ) ) d t j+ 孑( ，p z ( ) ，彬“) ，一( t ) ，口( ) ) d w ， 1 一d a p y ( t ) = 她芦( t ) ，p ( t ) ，p 4 t ) ， ( t ) ) d t a p z ( t ) d w t ， jz ( t ) = 0 ，t 卜6 ，o l ， 【a ( 即= 0 ， 其中 地。，y ，2 ，r 叻= a ；( f ) 。+ 彰( t ) + 嘭( 力。+ 珥( t ) r + e ( ) ”， f 可以分别取，盯，g 令 岛( 。) 2 罚秀丽鄂( t ) ，蛳( t ) ，部( t ) ，酃( t 一6 ) ，“( t ) + ( t ) ) 一l ( t ，z 0 ) ，y o ( t ) ，知o ) ，。p ( t 一6 ) ，u ( ) + ( t ) ) i 廓( 。) 2 孺声丽。( t ) ，( ) ，知( t ) ，( 一d ) ，u ( t ) + p v ( t ) ) 一f ( t ，。( t ) ，( t ) ，z a t ) ，z p ( t 一6 ) ，u ( ) + p u o ) ) f ， g ( 。) 。石再j _ 三而 ( 。，。( ) ，( t ) ，和( ) ，o d ) ，札( t ) + ( ) ) 一f o ，z ( t ) ，o ) ，。( t ) ，z ，( 亡一，u 0 ) 十p 。o ) ) l ， 1 6 复旦大学硕士学位论文 d 一( ) 2 硒j 寺而渺，蛾蛾撕鄂( 。一帅( 。) + ( 。) ) 2 0 ，嚣( t ) ，可( t ) ，z ( t ) ，z ( 一巧) ，钍( t ) + _ i 。口( t ) ) 易( 。) 2 赤t 眇。( 。) ，g ( 。) ，碱。( t - ) ，”( 2 ) + 舢( 。) - l ( t , x ( t ) ，( t ) ，z ( t ) ，z ( t d ) ，t ( t ) ) 】， 则 q ：( 扪= 孑“曲萎菩不等于。， q = a ，b ，a ，。，e 根据假设( h 3 ) 和前面证明绗连续性结果，我们可以知道 翌哿a ；0 ) 一k 0 ，z ( t ) ，( ) ，z 0 ) ，x ( t j ) ，u 0 ) 觋群( t ) 一f ”( t ，$ ( t ) ，口( t ) ，z ( t ) ，$ ( t d ) ，u ( t ) 觋q ( ) 一，。( t ) ，g ( ) t ：( t ) ，茁( t d ) ，u ( t ) 娅珥( t ) 一m 。( t ) ，z ( ) ，$ ( t d ) ，u ( t ) 。l i + m 。q 0 ) 一乙( t ，z 0 ) ，( t ) ，z p ) ，。0 一j ) ，u 0 ) = 0 = 0 ， = 0 ， = 0 ， = 0 ， 以及 o 2 溉f ( t ，声( ) ，赳( t ) ，( t ) ，一。 一j ) ，u ( t ) ) 一屯0 ，。0 ) ，0 ) ，。( ) ，x ( t d ) ，u ( t ) ) ( c ) 一f 。0 ，z ( ) ，口0 ) ，z ( t ) ，z ( 亡一6 ) ，札( t ) ) 。茁( ) 一z 9 0 ，z ( ) ，g ( t ) ，z 0 ) ，z 0 一d ) ，t 0 ) ) 。v ( t ) 一z 。0 ，z ( t ) ，9 0 ) ，2 ( t ) ，z 0 一d ) ，u 0 ) ) 。z ( t ) 一f r 0 ，z ( t ) ，9 0 ) ，z ( t ) ，x ( t d ) ，o ) ) 。x ( t 一6 ) 我们已经知道方程( 4 1 ) 有唯一解( 蕃( ) ，敢) ，双) ) 根据前面的连续性结果以 及定理3 4 中的唯一性结果可知，当p 一0 时，解( p 。( ) ，a ( ) ，a ( ) ) 在朋2 ( o ，t ) 中收敛到( 茁( - ) ，双) ，双) ) 证毕口 因为珏( ) 是一个最优控制，我们有 p - 1 f j ( 札( ) + p u ( ) ) 一j ( “( ) ) 】0 ( 4 4 ) 由不等式( 4 ，4 ) 和引理4 1 可以得到 1 7 一一 星里盔堂塑主堂垡笙茎 一一 “_ 一一一一 引理4 2 假设( h 3 ) 和( h 4 ) 成立则下面的变分不等式成立? ，t o e 【l 。( t ，z 0 ) ，( t ) ，z ( ) ，“( t ) ) 童( t ) + l ￥0 ，z ( t ) ，( t ) ，z u ) ，u ( t ) ) f ( t ) + l 。( t ，z ( t ) ，f ( t ) ，2 0 ) ，u ( t ) ) 甄t ) + l 。0 ，z ( ) ，f ) ，。( t ) ，u ( t ) ) v ( t ) l d t + 皿唾0 扛( 丁) ) 叠( ? ) + e ( 可( 0 ) ) 歹( o ) ( 4 5 ) 证明：根据引理4 1 和( h 3 ) ，我们容易看出当j 。一0 时， p - 1 e ( 蛋( 邬( 丁) ) 一垂( z ( t ) ) ) ，e 垂。( z ( t ) ) z ( t ) ， p - i e ( h ( 3 ，p ( 0 ) ) 一 ( ( 0 ) ) ) 一+ e 。( ( 0 ) ) 虱o ) ， ，