（应用数学专业论文）物理学中的对偶.pdf

中文摘要 中文摘要 对偶和超对称一样是物理学中重要的概念，它试图统一宇宙中基本的相互作用虽 然在统一构成各种相互作用的基本力上不是很成功，但也确给物理学和数学上做出了很 多的重要的而且有意义的预测。在本文中我们先简单介绍了对偶的一些基本概念。简单 的例子，以及和引力子之间可能的关系。为了能够更清楚地理解对偶的例子。文中先介 绍了五种基本的超弦，包括杂化弦，因为对偶在五种基本弦中起着重要的作用也介绍 了弦论中几种常见的对偶，最后用对偶变换说明了五种基本弦和m 理论以及1 1 维超引 力( 本文没作介绍) 之间的关系。 关键词：对偶，超弦，杂化弦。强相互作用，弱相互作用，m 理论，强耦合，弱 耦合。 i i i 英文摘要 a b s t r a c t d u a l i t y , a sw e l la ss u p e r s y m e t r y , i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n c e p t 8i np h y s i c s t h a tt r i e st ou n i f 、，a l lt h ef o u n d a m e n t a ll a w so ft h eu n i v e r s e a l t h o u g hn o tv e r ys u c c e s s f u l i nu n i f y i n gt h ef o r c e st h a tu n d e r l y i n gv a r i o u sk i n d so fi n t e r a c t i o n s ，d u a l i t yi n d e e dp r e - d i c t e d1 0 t so fu s e f u lr e s u l t 8f o rb o t hp h y s i c s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s i nt h i sa r t i c l ew ef i r s t p r e s e n t e dt h er u d i m e n t a r yc o n c e p t so fd u a l i t y , e a r l ym o d e l sa n dp o s s i b l er e l a t i o n sw i t h g r a v i t o n f i v ef o u n d a m e n t a r ys u p e r s t r i n g sa n dmt h e o r yw e r ea l s od i c u s s e dc o n c i s e l yb u t c l e a r l yi no r d e r t om a k et h ef u l lt h i n g sa l le n t i t ys i n c ed u a l i t yp l a y sa ne x t r e m e l yi m p o r t a n t r o l ei ns u p e r s t r i n gt h e o r y s e v e r a lk i n d so fd u a l i t i e si ns u p e r s t r i n gt h e o r yw e r ei n t r o d u c e d a n da tl a s td u a l i t yr e l a t i o n sb e t w e e nt h ef i v ef o u n d a m e n t a ls u p e r s t r i n g s ，mt h e o r ya n d 1 1d i m e n t i o n a ls u p e r g r a v i t y , w h i c hh a sn ob e e ni n t r o d u c e di nt h i sa r t i c l e ，h a v eb e e ns e t u pi nt e r m so fd u a l i t yt r a n s f o r m a t i o n s k e y w o r d s ：d u a l i t y , s u p e r s t r i n g ，h e t e m t i cs t r i n g ，s t r o n gi n t e r a c t i o n ，w e a ki n t e r a c - t i o n ，mt h e o r y , s t r o n gc o u p l i n g ，w e a kc o u p l i n g 一v 首都师范大学论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体己经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 首都师范大学位论文授权使用声明 日期：易方年矽i 日 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定。学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅a 有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 学位论文作者签名： 吼冲和日 第一节对偶 1 1 什么是对偶 第一节对偶 我们说一个物理系统表现出对偶性”就意味存在着两种互补的能够解释这个物理系 统的理论嘲作为例子我们来简短描述三个物理系统的对偶性，因为这三个例子对于寻 找四维规范理论的对偶性有很大帮助 在量子力学中我们说波、粒对偶性是指从量子力学的理论来看粒子能表现出波的性 质，而波也能表现出粒子的性质。粗略地我们可以将其认为是位置空间中的状态基底 刮妒) 与动量空间的基底加l 妒) 的对偶，这种对偶就是傅立叶( f o u r i e r ) 变换 谐振子是“自对偶”的简单例子，从对偶的观点来看它在坐标空间与在动量空间的运 动是一样的。我们来看下面的谐振子的哈密顿量( h a m i l t o n i a n ) 日= + ；删2 舻 ( 1 f u ) 和对易子k ，纠= i 。我们通过以下方式来定义能够交换动量与坐标的对偶变换： d ：z _ 黑，p _ 一舢毛 ( 1 1 2 1 ) m u 注意到这是一个正则变换，所以它保留上面的对易关系。 取d 的平方有d 2 = p ，其中p 是定义成p ：一一的宇称算符。d 算符是谐振 子的一个对称操作：通过d 的作用，我们能把基态的波函数变成它的傅立叶变换反过 来也可以把它对应的傅立叶变换变成波函数，高斯( g a u s s ) 波函数的傅立叶变换还是 高斯( g a u s s ) 函数。当然这个例子是一个相当一般的系统，它和真空的自由场理论相 似，而且我们还可以看到这几的对偶是和真空麦克斯韦( m a x w e l l ) 理论的对偶相联系 在一起的。电磁对偶可以【5 】在n = 4 超杨一米尔斯( y a n g - m i u s ) 理论上的扩展，从某 种意义上可以认为这是谐振子的四维规范理论。 再来看一个可以精确求解的例子，这个例子说明某种不同的对偶便是i s i n g 模型 在一个具有与最邻近的晶点铁磁相互作用距离为i ，的正方形二维晶格上定义一组取值为 4 - 1 的旋量。则t 时刻的配分函数为： z ( 叼= e x p ( k 以乃) ， ( 1 1 3 ) 一 ( 巧) 这里面i ，j 取遍所有最邻近的点，然后对仃所有可能的旋量求和，常数k 等于 j b t 。这个理论的显式解由翁萨格( o n s a g e r ) 求得，并且展示了在临界温度为正时 到铁磁状态的一级相变。但早在翁萨格( 0 n s a g e r ) 以前，克雷默斯( k r a m e r s ) 和万尼 尔( w a n n i e r ) 就已经用对偶的方法求得了临界温度。他们指出配分函数( 1 1 3 ) 可以 通过两种不同的对晶格所在平面求和的办法得到种办法是对原来的晶格所在平面求 1 1 1 什么是对偶第一节对偶 和，其中耦和常数为耳。另一种办法是对该晶格的对偶晶格所在平面进行求和，这时耦 和常数取聍，它满足 ：s h 2 k = i ( s h 2 k ) 。因为对偶晶格也是方形晶格，所以两种 办法是等价的，只是取不同的耦合常数置。注意到高温( k 1 ) 或弱耦合条件被映射 到对偶晶格上的低温( j p 1 ) 或强耦合条件。如果系统只有单相变，那么相变必然 发生在对偶点k = k 或s h ( 2 j k b t o ) = 1 上面的例子是使用对偶的著名的例子之一。对偶能够提供临界状态不同寻常的信 息，并且把强耦合与弱耦合联系在一起。既然物理学中大多数棘手的问题都与强耦合有 关( 比如夸克囚禁【l 】，高温超导等) ，这就促使我们尝试用对偶的办法在一个弱耦合的 理论里去计算其对应的强耦合的问题。 1 9 6 3 年夸克模型提出以来，理论的成功越来越使人相信强子是由夸克构成的；夸克是 比强子更深一个层次的粒子但是大量的实验都没有能够找到自由夸克对于这个结果， 除了假定夸克很重目前的能量还不足以把它们从强子中分出外一个可能的解释是认 为夸克是由于某种原因被囚禁在强子的内部而不能以自由状态存在，这就是所谓的夸克囚 禁。目前。说明夸克囚禁的唯象理论有弦模型f l j l 和袋模型f 1 j 。也有人试图用量子色动力 学解释夸克囚禁。即所谓“红外奴役” 另一个更加促使我们去进行尝试的例子是二维的相对论量子场论。s i n e - g o r d o n 方 程由以下的作用量来定义： 跏= j 厂舻霉( ；钆缈+ 番( c o e 脚一- ) ) ( - 工a ) 这个理论存在质量为m 。= 石的激发态和处在不同极小势之间的质量为尬= s v a 俨 孤立子。我们把上面的作用量展开到二次项后可以看到伊便是该理论的耦合常数。 值得一提的是已经知道这个理论和另一个看起来完全不同的费米子相互作用的理 i 念- r h h - d n g 模型相等价。该理论的作用量为： 岛= 铲z 秒妒+ m 硒妒一；西矿砂西钆妒) ( 1 1 5 ) 初看起来上面这两个理论完全不同，但通过“玻色化”就能知道他们是完全等价的。玻色 化把两个理论的耦合常数联系起来： 俨 1 4 丌 1 + 9 丌 ( 1 1 6 ) 并且把s g 理论的孤立子映射到t h i r r i n g 模型的基本费米子，还把s g 理论的介子态映 射到费米和反费米束缚态。像前面提到过的i s i n g 模型一样，我们从( 1 1 6 ) 看到一个 # 此处8 h $ = e z l _ 一e - z 一2 第一节对偶1 2 对偶的早期模型 理论的强耦合被映射到另一个理论的弱耦合1 。所以说对偶提供了一种利用对偶映射的 方法把强耦合理论中的计算映射到弱耦合理论里去计算。 从上面这些例子我们能提取出一些对偶对称性所具有的性质，虽然这些性质并不是 所有的例子里面都具有： 对偶能把强耦合和弱耦合联系起来 它能把基本量子和孤立子交换，也就把纳脱( n o e t h e r ) 荷和拓扑荷交换了 常常包含几何对偶，比如把晶格和它们的对偶晶格联系起来 1 2 对偶的早期模型 在1 9 0 0 年时，为了能够和实验很好地符合，普朗克( p l a n c k ) 发表了他的著名的 黑体辐射公式。在物理学中像这种一条由实验得到的曲线能直接和基本原理的公式有关 联的事情并不多见，通常得经过大量的复杂计算才能发现这种联系。但黑体辐射却有幸 打破这一规则。为了能够和实验数据符合。普朗克( p l a n c k ) 导出了众所周知的引出量 子这一概念的公式。 在二十世纪六十年代时【6 j ，强相互作用物理学中一个神秘的部分是具有强相互作 用的粒子或强子在数量上的激增。只有具有相当高自旋的粒子才能发生强子共振，在 这些粒子中具有自旋为，的质量最轻的强子的质量的平方大约是m 2 = j 口，其中 一1 ( c o v ) - 2 是常数，常常被称为雷济( r e g g e ) 斜率。强子的这种行为在自旋达到 j = 1 1 2 的时候都已经被证实，并且好像对更高的自旋能不确定地一直做下去。这种强 相互作用粒子数量的激增，令人惊讶的一个原因是因为弱相互作用和电磁相互作用完全 不同，相比较来讲，只有极少的一些低质量的粒子不具有强相互作用。 共振的大量存在以至于很难合理地把它们的作用当成基本的相互作用不管 怎么样，自洽的理论中不存在具有高自旋的基本粒子。自洽”的量子场论把自旋限 定在0 ，l 2 和1 ，已知的例子是阿贝尔( a b e l i a n ) 规范场论。标量场理论和汤j i i ( y u k a w a ) 理论。虽然没把杨一米尔斯( y 妇g - m i l l 8 ) 理论包含在自旋为1 的自洽理论 里，但这些在自洽的量子场论中对自旋的限制在今天看来还是正确的。这种在自洽的量 子场论中对低自旋的限制和已知的成功的电磁相互作用的理论是相容的电磁理论描绘 的是自旋为1 和1 2 的粒子，并且这种限制也和描绘弱相互作用的( 已经成功的) 尝试 相是容洽的。但类似的对强相互作用的描绘并不令人鼓舞 一个困惑是散射振幅在高能时的行为。考虑入射动量为p l ，p 2 和出射动量p 3 ，m 的无自旋粒子的弹性散射。我们把度规取成 一十+ + + ) ，这样粒子质量与动量的关 比如g 很大时 1 很小的口 i i 对偶的几何方面的性质只有当我们考虑一般的规范群时才能看得更清楚。 一可重整化的。 3 1 2 对偶的早期模型 第一节对偶 + 图l ：动量为p l ，沈的入射粒子和动量为一p 3 ，一p 4 的 出射粒子的弹性散射过程。图示中表示了s 和t 通道的 贡献。在场论中振幅由s 和通道图的和组成。 系为m 2 = 矿定义方便使用的曼德尔施塔姆( m a n d e l s t a m ) 变量 + 8 = 一( p 1 + 沈) 2 ， t = 一( 现+ 期) 2 ，u = 一( n + 船) 2 ( 1 2 1 ) 它们满足等式s + t + 珏= m 。我们假定( 图1 ) 中的粒子的外部态比如介子在 对于三昧则是在s u ( 3 ) 或u ( 3 ) 的味群的伴随表示中变换。第i 个外线介子由味矩阵 九来指定我们讨论散射振幅中正比于群论因子t r ( a i a 2 沁a 4 ) 的项。因为这个群论因 子在置换1 2 3 4 2 3 4 1 作用下是不变的，所以破色统计要求对应的振幅也应该在置换 p l p 2 p 3 p 4 。p 2 p 3 p a p l 作用下不变。若采用曼德尔施塔姆( m a n d e l s t a m ) 变量则动量的置 换等价于s t 置换，而这正是我们对振幅a ( s ，t ) 所要求的对称。 在量子场论里，振幅中的主要的非平凡贡献来自于( 图1 ) 的树图。构建合理的高 自旋粒子的量子场论存在困难的根本原因是因为树图在进行高自旋粒子交换时具有糟糕 的高能行为a 粗略地讲，它们违反厶正性我们以t 通道图为例。分别用西和盯来表示 图1 中的外线粒子和被交换的粒子。如果盯的自旋为零( 图1 ) 只有简单的妒西，相互 作用，则振幅便很简单： a ( s , t ) = 蒜， 其中g 是耦舍常数，材是，粒子的质量。在t 0 0 时振幅趋于零。这是我们讨论的 立方标量相互作用在高能行为时的良好表现的一面。下面假定a 粒子是自旋为，的场 h = 妓 图2 ：如图示中所示，单圈图可由两个树图“缝”在一起。 4 第一节对偶1 2 对偶的早期模型 即。舻对于这样的场来讲， ( 图1 ) 中的立方耦合必然是类似于 矿瓦，苔。o * o 瓦，矿- 缈* ， 的项。现在( 图1 ) 中有2 j 个动量因子如果外线粒子是标量，那么这个自旋为i ，的 粒子在t 通道里的交换在高能行为时对散射振幅的贡献为： a j ( s ，t ) = 一i 9 2 = ( - 1 万8 ) j ( 1 2 2 ) 该振幅因此对越来越大的j 值表现的行为也越来越坏，越来越发散一种客观判定什么 样的振幅是“坏”的依据是：当我们把( 图2 ) 中的两个树图“缝”在一起成为一个单圈图 时振幅( 1 2 2 ) 会有什么情况发生单圈图在n 维空间里的积分大致是： 厂m a 2 口硒i 其中a 是( 1 2 2 ) 的振幅。在四维时这个圈图对j 1 时发散不可重整化 在t 通道会有各种不同质量和自旋的强相互作用粒子被交换，我们考虑t 通道对振 幅更一般的贡献： 脚) = 一筹， ( 1 2 3 ) 此处被交换的粒子的耦合数g j 和质量坞可能依赖于t ，也可能依赖于没明显标出的其 它量子数。当然可能会认为相互作用如此之强以至于( 1 2 3 ) 的类玻恩( b o r n ) 近似无 望。但我们乐观些，看我们能做些什么。( 1 2 3 ) 的高能行为是什么? 如果求和是对有 限项进行。那么高能行为就由( 1 2 3 ) 中具有最大，的强子来决定这与自然界中观 测到的完全不同：实际的强子的散射振幅的高能行为比( 1 2 3 ) 中任何一项都弱些此 外，没理由认为( 1 2 3 ) 是有限项求和。好像不存在什么“最高”自旋的强子。当我们把 ( 1 2 3 ) 当成无限项时就可以想象求和后的表现比被求和的每一项表现的都好。就像函 数e - 。一样在z o o 时它很小，比它的展开式中任何一项( - z ) n ! 的绝对值都小 把( 1 2 3 ) 看成无限项也有其它类似的结论在类似于7 r 介子的弹性散射中，我们 期望( 1 2 3 ) 包含t 通道极点。也期望出现s 通道共振，即对某些特定的8 值时振幅出 现极点。事实上轮换对称性要求振幅中t r ( a l k a s a 4 ) 的系数同时存在或不存在8 和t 通 道极点。有限项的( 1 2 3 ) 式定义了不存在8 通道极点的振幅，对于固定的t 来讲，只 要求和项为有限则( 1 2 3 ) 就定义了一个关于8 的整函数正是因为这个原因才使得包 含了8 和t 通道的一般量子场论的微扰展开具有交叉对称性。当有无限时，情况就不同 了。尽管( 1 2 3 ) 中每一项都是8 的整函数，但无穷项的积分会在s 的某些值发散，给 出8 通道的极点。所以如果我们接受( 1 2 3 ) 本质上是无限项这一事实，则s 通道项必 须单独存在就不那么明显了，它们必须隐含在( 1 2 3 ) 中。 5 1 3 对偶与引力子 第一节对偶 若我们开始讨论共振散射或s 通道极点时散射振幅的贡献的话，我们也会有类似的 结论。我们就可以构造一个类似于( 1 2 3 ) 的包含s 通道而不是t 通道极点的振幅： ( t ，s ) = 一年9 j s 一( - 峭t y ( 1 2 4 ) 外部动量的轮换对称要求( 1 2 4 ) 和( 1 2 3 ) 中具有相同的质量和耦合常数。进一步研 究( 1 2 4 ) 我们会发现有限项的( 1 2 4 ) 不可避免地会有比观测到强子在高能时更坏的 行为，但对无穷项这并不一定正确此外有限项的( 1 2 4 ) 必然( 对固定的s ) 会定义 一个异于t 的整函数，但无限项时就不一定正确。 进一步思考我们可以想象若合理地选择耦合数卯和质量m j ，那么8 和t 通道的振 幅a ( 8 ，t ) 和( t s ) 可能相等。这样，整个振幅可以写成一个像( 1 2 4 ) 中仅对3 通道 极点求和或像( 1 2 3 ) 中仅对t 通道极点求和的项。这和场论中形成鲜明对比，场论里 面通常会同时对s 和t 通道极点求和 1 9 6 8 年多伦( d o l e n ) ，霍恩( h o r n ) 和施密特( s c h m i d t ) ，借助实验数据在对 ( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 进行计算的基础上提出了s 和t 通道振幅相等的结论，即：对于很 小的8 和t 值等式a ( 8 ，t ) = a ，( t ，8 ) 的确成立。这就是对偶假说：s 和t 通道图给出同一 物理的不同描述或对偶描述。对偶是近似还是基本原理? 乍一看好像不太可能选取合适 的耦合和质量使它们恰好满足于对偶关系a ( 8 ，t ) = ( t ，8 ) 可是在1 9 6 8 年韦内齐亚诺 ( v e n e z i a n o ) 做到了。韦内齐亚诺( v e n e z i a n o ) 推测了一个振幅公式，即， 脚) = 等糌 ( 1 2 5 ) r 为欧拉( e u l e r ) 伽玛( g a m m a ) 函数： “ 脚) = 厂一e “d t 口( 8 ) 是雷济( r e g g e ) 轨迹，对些韦内齐亚诺( v e n e z i a n o ) 假定了a ( s ) = 口( 0 ) + 0 ，( 0 ) 8 ，和在雷济( r e g g e ) 极点理论中分别称为雷济( r e g g e ) 斜率和雷济( r e g g e ) 截距。 1 3 对偶与引力子 强相互作用的对偶理论所面l l 缶的困难是这些模型经常会预测出各种不同自旋的无质 量粒子，而其中之一就出现在强相互作用世界中【6 】。特别地闭弦扇区的对偶模型是一个 自旋为2 的无质量粒子。研究表明该粒子的耦合与广义相对论十分近似。我们可以把这 个粒子解释为引力子吗? 量子引力常常困惑着理论家们。实验仅能说明量子力学和引力确实在大自然法则中 扮演某个角色。量子引力特征质量( 普朗克( p l m a e k ) 质量) 是 菘7 舀竺1 0 z o g e v 。 - 6 第一节对偶1 3 对偶与引力子 我们很难希望有检验量子引力的实验。能够真正检验量子引力的希望是在学习如何使量 子引力成为自洽理论的过程中学习如何使引力与其它理论统一 一7 第二节基本弦与m 理论 第二节基本弦与m 理论 2 1i 和i i 型超弦 在l o 维( 也就是超弦的临界维数) 时我们已经知道【6 】超弦作用量中的0 坐标必须 是马约拉纳一韦尔( m a j o r a n a - w e y l ) 旋量特别地，这就是说口1 和俨必须有固定的手 征性。 左和右整体上来看只是一种约定，但物理上却有到两种不同的可能。口1 和俨的手 征要么相同要么不同在闭弦的情况中唯一的边界条件是对坐标仃的周期限制。这种 限制在以上两种可能中都存在，因为闭弦中口1 与俨没有关联另一方面，开弦则要求 0 1 与俨在端点相同。既然左手手征与右手手征不可能相同，那么开弦时只能有一种可 能，即口1 与俨手征相同 建立在开弦上的超弦理论称为i 型超弦理论可以证明t e l 开弦的边界条件把空时 超对称约化到= l 的情况。使用“i 型”弦有部分原因也在于此。开弦具有杨一米尔斯 ( y a n g - m i l l s ) 群论量子数与由于在弦端点附加荷而引入的经典群的对应。这种办法称 作踢0 巴顿( c h a n - p a t o n ) 法。任何群的选择对于经典的开弦相互作用( 树图) 理论都 是自洽的。然而在量子水平自洽的条件下只能选择唯一的s o ( 3 2 1 群。所以i 型超弦理 论若是量子力学自洽的话就只能建立在5 0 ( 3 2 ) 群上。它包括无定向的开弦和闭弦的相 互作用。在量子水平必须要有闭弦因为要得到闭弦就必须把弦的端点连接在起。因为闭 弦没有自由端，所以它们必然是杨一米尔斯( y m a g - m i l l s ) 群的单重态。 下面只考虑建立在闭超弦之上的理论。若0 - 和0 。有不同的手征性那么理论中就必 须包括定向的弦，因为口- 描述弦周围向某种方向传播的模式而俨描述的是相反方向传 播的模式。这个理论中包含两个守恒的d = 1 0 超对称的手征性。方程6 舻= e a 说明 超荷的手征性直接由相应的超坐标口来决定。含有两个相反手征的超荷的超弦理论称为 i i a 型理论这个理论是左右对称( 即非手征) 的。没有引入杨一米尔斯( y a n g - m i l l s ) 群的自由度。 其余的可能就是建立在两个相同手征的0 坐标上的闭超弦理论。这时我们可以选择 把左右运动模式对称化( 或不对称化) 来定义非定向( 或定向的) 闭弦。前者选择我们 回到了s o ( 3 2 1 的闭弦扇区。正如上文所讲，自洽的理论要求同时包含给出i 型超弦理 论的s o ( 3 2 ) 开弦 如果没有任何约束，那么就得到定向的具有两个相同手征的空时超对称的闭弦理 论。这就是i i b 型超弦理论。很明显，这是左右非对称( 即手征) 理论。可以证明i i b 型超弦理论是量子力学自洽的。这个理论中也没有引入杨一米尔斯( y a h g _ m i l l s ) 群的 自由度。 当然也有构造其它可能的自洽的弦理论。这就是建立在仅仅使用一个而不是两个0 坐标基础上的理论，也就是接下来即将介绍的杂化弦理论。 9 。 2 2 非阿贝尔( n o n a b e l i a n ) 规范对称第二节基本弦与m 理论 2 2 非阿贝尔( n o n a b e l i a n ) 规范对称 如果超弦可以描述自然的话，那么它们必须不仅能可以解释广义坐标不变性和局部 超对称，还要能解释构成其它力的基础的局部规范对称。事实上，与局部超对称相比我 们更需要非阿贝尔( n o n a b e l i a n ) 规范对称。 一种可能是规范对称不存在于1 0 维世界中，而是在约化到4 维的时候出现如果 我们想用i i 型超弦来描述自然的话，那么这种想法的确有很多困难。 更会成功的可能是规范对称已经存在于1 0 维世界了这时，从1 0 维到4 维的紧致 就在早期对称破缺中扮演重要角色。 我们已经知道了两种完全不同的引入规范对称的办法。第一种办法，把具有内部对 称性的荷放在开弦的端点。第二种办法是让荷在闭弦上分布。第二种办法看起来更有优 势，它引出杂化弦实际上，如果某种已知的超弦理论是正确的，那么它几乎完全被限 制在玛风杂化弦理论之内。 2 3 s o ( 3 2 ) 与e s e 8 杂化弦 格罗斯( g r o s s ) ，哈维( h a r v e y ) ，马蒂内克( m m t i n e c ) 和罗姆( r d h m ) 利用 闭弦理论得出向左和向右运动的模式可以去耦合。所以就可以想象在闭弦理论中可以向 左运动的模式是一种类型，而向右运动的模式是另一种类型。要引入规范自由度，就得 让左运动模式包含合适的流代数。 这种两种不同模式的杂化被称作“异配优势”下面的作用量是构造这种杂化的一个 例子： 1，9 n 、 s = 一去舻盯i ( 以x 一俨耳一缆贮a + 皿一，) 一2 t 肆丸a 晕l ， ( 2 3 1 3 ) 。 f o = 1 此处妒，“= 0 ，9 与洛伦茨( l o r e n t z ) 群的向量表示变换是一样的。 。a = 1 ，竹是洛伦茨( l o r e n t z ) 单重态，但却带有一些内部量子数皿”和 都是马 约拉纳一韦尔( m a j o r a n a - w e y l ) 费米子娅俨是右运动模式。而部分x p 是左运动模 式这和右运动的某种i i 型模型是一样的。所以临界维数是1 0 ，这就是为什么我们在 ( 2 3 1 ) 中令d = 1 0 。j p 与皿兰之间有种超对称。准确的公式表达为 6 x p ； e 皿兰，6 皿竺= e a ，”，( 2 3 2 ) 此处的超对称生成元只有一个正手征分量。由于这种对称，量子化这种理论就要引入可 交换的鬼。引入了鬼就可以计算右运动模式的临界维数是1 0 。当然除了引入鬼之外我 们还可以通过其它办法来计算临界维数，比如可以把( 2 3 1 ) 中的妒用一组等价的光 锥规范坐标来替代。如果令g s o * 投影作用在右运动模式上就有空时超对称 格里奥齐一谢尔克一奥得夫( g l i o z z i - s c h e r k - o l i v e ) 1 0 第二节基本弦与m 理论2 4 m 理论 另一方面，左运动模式由p 和部分左运动的x 一组成。由于没有左运动超对称， 所以唯一的左运动的鬼是重参数鬼，而这对于抵消2 6 个玻色子的贡献已经足够了。由 于( 2 3 1 ) 中只有l o 个x p 所以p 必须抵消余下的维拉索罗( v i r a s o r o ) 反常。既然 两个马约拉纳( m a j o r a n a ) 费米子或一个迪拉克( d i r a e ) 费米子构成一个玻色子的维 拉索罗( v i r a s o r o ) 反常，在( 2 3 1 ) 中我们就需要3 2 个p 因此，若所有 都满足 相同边界条件的话，它们就带有一个, 9 0 ( 3 2 ) 对称。此外嘲分析表明会出现s o ( 3 2 ) 的 无质量的规范介子，于是8 0 ( 3 2 ) 的确是一个规范对称。还有个更不易觉察的可能就是 并不是所有的p 都满足相同的边界条件，这时我们就得到毋e 8 对称而不是, 9 0 ( 3 2 ) 对称。 2 4m 理论 从狭义上来讲嗍m 理论是指具有1 1 维酱安卡雷( p o i n c a r 6 ) 不变性的强耦合i i a 型理论的极限。广义来讲( 也是通常的用法) 指那些像狭义的m 理论一样的包含各种 弱耦合弦理论的那些量子理论。名字故意取得这样模糊。以反应理论还不为人知的事 实。m 是一种1 l 维理论，不管它是什么，可以代表【3 】谜一般的( m y s t e r y ) 理论、母 ( m o t h e r ) 理论( “一切理论之母”的意思) 、膜( m e m b r a n e ) 理论( 因为不论结果如 何，膜似乎都是理论的一部分) 、矩阵( m a t r i x ) 理论。 一1 1 第三节对偶在物理中的应用 第三节对偶在物理中的应用 3 1 电磁对偶 麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程为： v e = p c v b 一等也 v b = 0 v e + 百o b = o ( 3 1 1 ) 当p e = 0 、j c = 0 时，这些方程在对偶变换下是不变的： d ：e _ b ，b _ 一刀 ( 3 1 2 ) 注意到d 2 便是 ( e ，b ) _ + ( 一层，一b ) ， 这正是电荷共轭变换a 所以我们首先可以肯定一个理论如果是精确地对偶，那么必须 满足电荷共轭下也是不变的。 对偶变换( 3 1 2 ) 可以推广到由角口参数化的任意的旋转 驴- e l 善0 矧h a - h 和 ( 幸f ) 磕= j 1 岛材m f m ， m = 矿p 孽”w j ；k 写成分置式为： h = 一f 0 0 = 一日，f 叩= 只妒= 一e 蚋日，其中口，p = 1 ，2 ，3 - 1 3 - ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 3 1 电磁对偶 第三节对偶在物理中的应用 也可以写成微分形式 f = f , j d z 蹦 i ， = e d x o a d x 4 + h 1 舻a 舻+ h 2 d x 3 a 豳1 + h a d x l a 舻 f = 一h 8 d x o d x 。+ e l d x 2 d x 3 + f _ a d x 3 d x l + e 3 d x l 舻 a = l 此外有 ( f ) = 一f 即算符，的两次作用相当于用一1 作用。 算符的这个性质可以在= 阶反对称张量集合里引入复线性空间结构【l o 】定义 ( a + m ) f = a f + b t e( 3 1 5 ) 此处f 为任意二阶反对称张量f , j = 一f j , ，口+ b 为任意复数，这样我们就在每一点得到一 个三维复空间c a 我们可以把占和日当成张量f 实和虚部，可以写成f = e + i h 。这与上式( 3 1 5 ) 是一 致的， i ( e + 妇彳) = 一日+ 居， 的作用与的作用一样。这样很自然地引入了复坐标 ，= 晶4 - i h a ，n = 1 ，2 ，3 ， 对底空阃每一点都有一个c 3 。 因为s 0 0 ，3 ) 的雅各比行列式( j a c o b i a n ) 为1 ，所以张量 怕如o a d x l a 如2 a d x s 在s d ( 1 ，3 ) 作用下不变这样s o ( 1 ，3 ) 是c 3 上的复线性变换群 下面定义一个张量f = ( f ) 俯在s o o ，3 ) 作用下不变的内积( 只f ) 很容易知道 f a f 和f a f 是( 0 ，4 ) 形反对称张量： 1 ( f a * f ) o m = 妄f ， ( faf ) 0 1 2 3 = 一；忍 从上面知t ( fa 刃与+ ( fa f ) 为标量，那么它们的任意组合也为标星： ( 只日= 一 【f a f + i ( ，a f ) j = 一；( 冠k f h + 话。材岛f 削) = 一1 日1 2 + l e l 2 + 2 i ( e ，日) 3 ；( 矿) 2 1 4 第三节对偶在物理中的应用3 2 威腾( w i t t e n ) 效应 肚0 e 0 0 ，) ，靴脚时 f - ，l ， 当( f ，乃o 时 ， ，0e00 、 i _ e oe0 0l ，当( f f ) ：o 时- e00 ii 3v 一，一” 0 00 0 ， 3 2 威腾( w i t t e n ) 效应 有个著名的口项 岛= 一主秦哆( + f 严 ( 3 2 1 2 ) 可以加进杨一米尔斯( y a n g - m i l l s ) 理论的拉氏量 11 彩= 一i j f 4 ”+ 吉d “壬4 巩由。一y ( 圣) ， j = 钆鬈一乱a ：+ e 扩雒鬈， p 驴= 钆垂o + 既哆屯币。 而不破坏可重整化。 上面的( 3 2 1 ) 破坏p 和c p 对称。但不破坏g 对称。既然它不破坏c 对称。正 如前面所说我们可以期望j 殇满足对偶性。众所周知，( 3 2 1 ) 中有个表面项【1 2 l 但并不 影响运动方程，可是却有包括规范场的非平凡长程行为的依赖于0 的孤子效应。正如威 一1 5 3 2 威腾( w i t t e n ) 效应第三节对偶在物理中的应用 腾( w i t t e n ) 所注意到的【1 3 1 。在有磁荷出现时口具有非平凡的效应，它把电荷值在磁 单极子所允许的部分进行移动。 下面是这个效应的两种解释。第一种是科尔曼( c o l e m a n ) l l q 的解释 腾( w i t t e n ) p 3 】提供的解释。若只考虑电磁相互作用，则口项为 岛= 筹e 咀 下面考虑出现迪拉克( d i r a c ) 磁单极的情况包括磁单极的场方程为： 第二种是威 ( 3 2 2 ) e = v a o ， b = v a + 器， ( 3 删 代入( 3 2 2 ) 有 l e = l 毋r 翰 = 等扪a o ( v x a - i - 羔) 一黎厂护椰嘉 一器卉( n ( 3 2 4 ) 把标量式山的耦合当成是放在原点的电量为一6 e 2 9 8 7 r 2 的电荷。换句话，磁单极 的出现，也要求电荷同时出现。对于最小的满足于e g = 4 丌的磁荷所对应的电荷为 一甜2 ”。尽管推导结果正确，但我们还是感觉这个方法有点) l 另f j 扭。我们并不知道迪 拉克( d i r a c ) 单极子出现在原点会有什么情况发生，可是这个计算却暗含了在原点有 密度为6 白) 函数的电荷存在。 下面来看更加基础并且很清晰的应用s u ( 2 1 规范理论的推导。 我们看到单极子的双荷子( d y o n ) 集合坐标允许双荷子里电荷存在。双荷子的集合 坐标源自于u ( 1 ) 规范变换，它在无穷远处是常数。我们来看出现口项时的变换。我们 对这样的规范变换感兴趣：它在无穷远处是常数，并且是由规范场选择的s u ( 2 ) 子群 u ( x ) 中的转动- 也就是3 0 ( 2 ) 中关于轴和= 圣。l 圣4 l 的转动这个无穷小规范变换对 场的作用为： 哗= 刍巩妒 ( 3 2 5 ) 此处圣为希格斯( h i g g s ) 单极子背景场 令表示该规范变换的生成元。若我们绕圣转轴2 丌弧度必然得到单位变换。 即，物理态必须满足 e 孙= 1 ( 3 2 6 ) 1 6 第三节对偶在物理中的应用3 2 威腾( w i t t e n ) 效应 利片j 绷脱( n o e t h e r ) 办纭吲h j 以且璜计算力 = 褊雌 其中6 屯由( 3 2 5 ) 给出包含9 项后我们看到 = 譬+ 丽o e g ， 此处 g = ；1 ，d * z d 妒研， q = ；1 - ，d s 。功圣。曰 分别是磁荷和电荷算符。条件( 3 2 6 ) 要求 q ；e 一! 警， 其中n 。是任意整数，整数n 。= e g 4 x 是决定单极子磁荷的数。 3 2 1 蒙托内恩一奥利夫( m o n t o n e n - o l i v e ) 和s l ( 2 ，z ) 对偶 转们暂日看下存律守电和磁自南席的对偶讨释中鞍们右哪螳收获 质量 ( 仇，q 。) 旋量 h i g g s o ( o ，0 ) 0 光子o ( o ，0 ) 1 w 士 钞e ( e ，0 ) 1 m 士 创g( 0 ，夕) o 表1 ：在p = 0 的b p s 极限下的经典谱。 出，所有这些状态都能达到玻戈莫洛尼( b o g o m o l n y i ) 约束嘲 m t ，、诬+ 铝 的饱和态： q 。= t 4 7 1 r i m ，q e 仉e 一! 警 一】7 一 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 从表格中看 3 2 威腾( w i t t e n ) 效应 第三节对偶在物理中的应用 在弱耦合时一级近似很好地符合量子中的解， 蜥= e ”弘蚴= 卵= 竽t ， ( 3 伽) 所以尽管我们构造了同时包含电荷与磁荷的理论，但在弱耦合时单极子比玻色子要 重的多。然而我们想构造的是一种能够交换电荷与磁荷地位的对偶理论。给定了量子化 条件就蕴含了我们应该找一种像( 3 1 ，2 ) 那样作用在场上的对偶变换，而且这种变换还 漱 。一9 主警 c s 。i z ) e 叶 主 l 5 和重新标记电态与磁态。 由( 3 2 1 ) 中经典谱和其它分析蒙托内恩( m o n t o n e n ) 和奥利夫( o l i v e ) 得出在 b p s 极限【1 5 】下这些就是8 0 ( 3 ) t h - 米尔斯一希格斯( y a h g - m i l l s - h i g g s ) 理论的精确对 偶。然而正如他们所注意到的，这种提法有一些明显的问题： 虽然从经典来看y ( 西) 有时候并不存在，但量子修正会产生一个非零的势y ) 而且这会修改经典的质量公式。 w 玻色子的自旋为1 ，而单极子的旋转不变性说明它的自旋为0 。所以尽管质谱在 对偶下不变，但却不会有准确的星子数与态的对应。 提出的对偶对称看起来不容易去验证，因为它是联系两个不同理论而不是同一个 理论中的对称，并且其中一个理论还是我们很难把握的强耦合。 前两个问题可以通过把理论嵌入到n = 4 的超杨一米尔斯( y a h g - m i l l s ) 理论中解 决i l 哪最后一个问题却仍然没有解决，因为很少有具体的方法去检验这个假设。尽管 如此，却仍有非平凡的尝试。比如优先被考虑的在一组更广泛的变换下来考虑对偶扩展 的方法 不难看出，若对偶的基本观点是正确的，那么当包含非零的0 角时就会有些有意思 的扩展。包含0 项，拉氏量( l a g r a n g i a n ) 就由两个实数e 和0 来决定我们可以把拉 氏量( l a g r a n g i a n ) 写成 矽= 一；j 影一j 叵0 e 石2f 吵( f ) 一互1 d 一圣d ，圣 ( 3 2 1 3 ) 三一百磊19 ( 嘉+ 等) ( f + 小f ) ) ( + 小f ) ) 一；圣巩西 这样我们看到拉氏量( l a g r a n g i a a ) 只依赖于一个复坐标 7 = 磊0 + 万4 r i ( 3 2 1 4 ) r 2 磊+ 万 哆2 1 4 j 1 8 第三节对偶在物理中的应用3 2 威腾( w i t t e n ) 效应 1 、助厂 一7 曩 一 ， 、 、 jl 。 、 图3 ：在( 3 2 1 6 ) 变换下r 的变化。 顺便说下，注意到该理论中n 个瞬子的效应的权为e 撕 因为物理上0 的周期为2 丌所以变换 r r + 1 在重新标记态的前提下在物理上是不变的。 当口= 0 时由r 给出的对偶变换( 3 2 1 2 ) 为 1 r _ 一一 r 理由猜想对任意的0 来讲整个对偶群由变换( 3 2 1 5 ) 和( 3 2 1 6 ) 生成。 两个变换生成的s l ( 2 ，z ) 群： 口7 - + b r 。c r + d 其中o ，b ，c 。d z 且a d 一6 c = 1 因