（概率论与数理统计专业论文）连续时间的投资组合与消费决策问题探讨.pdf

誓j s s s l 9 2 摘要 2 0 世纪7 0 年代，默顿( r o b e r tm e r t o n ) 研究了连续时间的消费与投资组合 问题，自此开创了崭新的连续时间投资组合理论。套利、资产复制和对冲等等会 融学术语以及动态规划、马尔科夫过程和鞅等等数学概念便广泛应用于金融理论 的研究之中，金融资产的定价理论和投资组合理论得到了空前发展。本文将系统 地介绍两类重要的研究方法：类是动态规划法，该法利用随机控制理论，将最 优化问题转化为求解一个两阶的非线性偏微分方程，当市场具有组合约束限制和 交易费用等等不完备特征时，我们也可以借助该方法予以解决；另一类是鞅方法， 该方法借助凸优化理论和鞅表示定理，用以解决完备市场的投资组合问题。 本文第二部分介绍市场的微观结构，包括此文分析的基本概念和基本内容， 建立了金融经济学分析的基本市场框架。 本文第三部分首先建立连续时间的消费与投资组合的效用优化决策问题。该 部分的重点是介绍鞅方法和随机动态规划法，用以研究期末财富和投资组合没有 受到任何约束时，投资组合问题的最优解。本文的市场系数可以为时间的确定性 连续函数，更能反映市场系数随时间的变异性。在本文特殊的市场系数和效用函 数下进行的实例分析，给出了显示的最优投资组合策略和消费过程，并对具体的 投资学含义进行了深入的分析。 本文第四部分首先对期末财富受约束问题和投资组合受约束的问题进行阐 述，然后根据鞍点理论，通过适当的转化，对期末财富受约束问题建立了等价的 解法；而对投资组合受约束的问题，则需要建立某个完备的辅助市场m ，进行分 析，此两类问题最终需要借助于第三章介绍的方法进行求解。本部分的实例分析 作为全文的重点，详细地讨论了富人的投资组合策略和消费过程，并对得到的显 示解作了基于投资学的精辟分析：对于无显示解的中产者和穷人问题，本部分给 出了数值解，从数值计算的结果看来，随着初始财富水平的提高，效用水平可能 保持不变或者反而降低，这是由于策略思想的差异，中产者的策略从效用角度来 讲不一定优于穷人策略。本部分的另一个要点是建立了投资组合策略受到约束的 一般分析框架，并详细讨论了无风险市场、风险市场和常义完备市场的投资组合 策略和消费过程，同时比较了三类市场的效用关系，另外，该节还给出了一般形 式的投资组合约束问题，这些问题的解决需要更加深入的研究。 本文第五部分讨论v a r 约束下的投资与消费决策问题。作为本文的另一个重 点内容，认为选择消费的前提是使投资者总的效用达到最优，因而采用两次极大 化方法建立了最优化问题，并给出了该问题的一般的h j b 方程以及最优的投资 组合策略。实例采用幂效用函数，给出了投资策略关于消费比例常数的函数，该 常数可以通过两个非线性的优化问题得以解决。在特殊的市场参数下，文章给出 了优化问题的数值最优解，并对得出的结果做了一些实际的经济含义分析。 关键词：风险中性过程；等价鞅测度：随机动态规划；对偶问题：完蚕市场；辅助市场 可弈i 1 ：策略；即期利率：仿射期限结构 a b s t r a c t s i n c et h ei n i t i a t i o no fc o n t i n u o u s - t i m ep o r t f o l i os e l e c t i o n t h e o r y ( s e e ( m e r t o n 1 9 6 9 & 1 9 7 1 ) ) ，m a n yn e wf i n a n c i a lc o n c e p t sh a v eb e e nu s e dt od e s c r i b ei n v e s t o r s p r o b l e m s ，a n ds i m u l t a n e o u s l y , m a t h e m a t i c a lm e t h o d sh a v eb e e na p p l i e dt os o l v et h e s e p r o b l e m s ，a n l o n gw h i c h ，s t o c h a s t i cd y n a m i cp r o g r a m m i n ga n dm a r t i n g a l em e t h o d s a r et w o t y p i c a l o n e sw i d e l yu s e di nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e n o w a d a y s d y n a m i c p r o g r a m m i n ga p p r o a c h r e l i e s h e a v i l yu p o nt h e s t a n d a r dm e t h o d sa n dr e s u l t so f s t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y ，a n d f i n a l l y t h ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o np r o b l e mc o m e st o s o l v i n gas e c o n d o r d e rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w h i l et h em a l t i n g a l e a p p r o a c hi s b a s e du p o nb o t ht h er e s u l t so fs t o c h a s t i cc a l c u l u sa n dt h o s eo fc o u v e x o p t i m i z a t i o nt h e o r y a st ot h e r e q u i s i t e c o n t e n to ft h i s p a p e r , w e n e e dt ob u i l dt h ec o l l l l l l o n f r a m e w o r ko ff i n a n c i a lm a r k e t ，w h i c hw i l lb ec l a r i f i e di nt h es e c o n dc h a p t e r f o re a s e t ou n d e r s t a n dt h er e a lm e a n i n go fs t o c h a s t i cd y n a m i cp r o g r a m m i n ga n dm a r t i n g a l e m e t h o d s w ew i l ii n t r o d u c et h e mr e s p e c t i v e l y a sy o uc a ns e e ，t h e s em e t h o d sw i l lb e u s e d i t e r a t i v e l y i nt h e r e m a i n i n gp a n so ft h ep a p e c w ew i l la l s oi n t r o d u c et h e s a d d l e - p o i n t t h e o r e ma n d a u x i l i a r y m a r k e t p r o b l e me q u i v a l e n t t ot h e o r i g i n a l c o n s t r a i n e do n ef o rc o m p l e t e n e s so fm e t h o d o l o g y w ew i l lt h e nd e s c r i b ea n da n a l y z ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o np r o b l e m so fi n v e s t o r s w i t hd e t e r m i n i s t i cm a r k e tc o e m c i e n t si n s t e a do fc o n s t a n t s w h i c ha d m i t su st os o l v e t h em o r er e a l i s t i c j n v e s t o r s p r o b l e m s j nf i n a n c i a im a r k e t s f o ru n c o n s t r a i n e d p r o b l e m s ，w ec a nw r i t eo u tt h ee x p l i c i tc o n s u m p t i o np l a n sa n di n v e s t m e n ts t r a t e g i e s t os o m eg i v e np r e f e r e n c es t r u c t u r e s ，a n dw ec a na l s og i v es o m ef i n a n c i a le c o n o m i c i m p l i c a t i o n s w i t h i no u rf r a m e w o r k f o r p r o b l e m s o ft w i c e u t i l i t y f u n c t i o nw i t h c o n s t r a i n t so nt h et e n n i n a lw e a l t h ，w ed i s c u s st h r e ec a s e sa n dg i v et h en u m e r i cr e s u l t s f o rt h em o s tg e n e r a lc a s e w ea l s od i s c u s sp r o b l e m sw i t hc o n s t r a i n t so nt h et r a d i n g s t r a t e g i e s ，a n dc l o s ee x p r e s s i o n sf o ro p t i m a lp o l i c i e s a r ea v a i l a b l eu n d e rl o g a r i t h m u t i l i t y f u n c t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w ec o m p a r et h r e es p e c i a l c o n s t r a i n e ds t a t e so f f i n a n c i a lm a r k e ta n dt h er e s u l t ss u p p o r to u ri n t u i t i o n sa b o u ti t w es t u d yp o r t f o l i o p r o b l e m sw i t hv a r c o n s t r a i n t su s i n gt w i c em a x i m i z a t i o nm o d e l i nt h el a s tp a r to f t i f f s p a p e r t h e n ，w e u s eh j b - e q u a t i o nt o e x p r e s s t h e g e n e r a l c o n d i t i o n so fo p t i r e a l s o l u t i o na n dg i v e o u tag r o u po fo p t i m a l p o l i c y v a l u e su n d e rs p e c i f i cm a r k e t p a r a n a e t e rv a l u e sa n d t h e i re c o n o m i c e x p l a n a t i o n s k e y w o r d s ：r i s k n e u t r a l p r o c e s s ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l e m e a s u r e s l o c h a s l i cd , n a i n i c p r o g i 1 1 1 u n i n g d u a lp n ) b l e n l c o m p l e t ei l l a lk c l a u x i l i a j y m a r k e t n d n l i s s i b l es t l ：i t c g ) ，s p o ti i l l e i c s i r a t e a f l l n et e r l ns i t u c t u r e j 尘续时灿j 的投资灿台l i 潲业狄策n q 地抓lj 第一章引言 1 1 问题的提出 我们知道，在离散时间的框架下，资产的最优配置可以在成本最小化、期望 收益最大化或者风险最小化等不同的优化标准下进行。需要说明的是，如果风险 厌恶的投资者采取前面两个决策标准，则同时也最大化了非系统性风险，这显然 是不足取的。一种有效的方法是在保障一定收益水平的同时，最小化组合风险。 马科维茨于1 9 5 2 年发表的舻d r 帕l i os e l e c t i o n ) ) 一文f 是源于此想法而诞生的。 该文描述了在离散时间的均值一方差风险决策体系下，组合优化问题可以归纳成 一个非线性凸规划问题，亦可称为约束极值问题，运用广义拉格朗日乘子法，得 到原风险最小化问题的最优资产组合的权重向量即为该方法下的库恩一塔克点。 后来的学者以及金融从业人员不断地扩展这种想法，或者为满足特定的经济目标 和机构属性而引入组合的卖空约束和上下界区间约束，其中很多问题都可以借助 广义拉格朗日乘子法得以解决：或者设计新的风险衡量标准建立均值一绝对偏 差与均值一半方差等新的模型；或者在收益和风险之间进行利弊权衡，在最不利 情形下选择最有利的策略( 适用于风险厌恶者) ，而建立双目标或单目标极大极 小化规划问题：或者在模型的约束方程中引入由其他偏矩构造的不等式或等式约 束例如，由v a r 控制的损失发生的概率，由一阶偏矩控制的损失发生的平均 水平，由二阶偏矩控制的损失发生的下方方差以及下方偏度和下方峰度约束，加 入这些偏矩约束之后，投资者的策略可行集缩小了，但其承受的非系统性风险却 得到了有效的控制。这些约束条件的加入往往使市场变得不再完备，即可行集不 再是整个超平面，而仅仅是一个闭子集。同时，许多的研究人员还对离散时| 1 j j 的 单期和多期市场存在交易费用、买卖价差和税收等不完备市场情形也进行了相应 的讨论，技术上的难点在于优化问题在其可行域内的光滑性受到了质疑，但问题 最终总可归结为定义在一闭子集上的非线性优化问题。 在离散时间的体系下，资产的配置问题还可以通过引入经济学上常见的v o n n e y m a n n m o r g e n s t e r n 效用函数来刻画，比较典型的有二次效用、幂效用、对数 效用等h a r a 类效用函数以及负指数效用函数，该类型的效用函数建立在具备 反射性、完备性等七个公理性假设的基础上，能够准确刻画一类较为特殊的风险 偏好关系。由于资产收益的不确定性，金融经济学采用期望效用作为决策的标准， 连续时间的投资组台，消费决策问题探讨 以期望效用最大化来选择最优的资产组合，并以此来反映投资者的风险偏好关 系。当然，效用理论对投资者行为的刻画更加细致，一个显著的特点就是，该体 系除了可以研究投资者的投资行为之外，还可以同时用来刻画投资者的消费行 为，这一点在涉及到跨期的投资与消费决策问题中尤为重要。事实上，消费变量 成为一个新增加的决策变量，目标函数可取为期米财富效用极大化，或者对跨期 消费的累积效用极大化，或者对二者求和后并求最大化，三类问题都可采用动态 规划的方法从后往前进行逆序迭代求解。当投资组合受到特殊的约束之后，例如 对常见的定义在期末财富函数上的各阶偏矩约束，出于问题具有动态规划所需的 可分结构，因而也可以利用动态规划的方法从后往前进行逆序迭代求解，不同的 是，求解过程的第一次迭代步骤需要求解一个带约束的非线性规划问题；当问题 不具有可分结构时，可以构造可分的辅助市场问题，再利用动态规划的逆推算法 求解该问题并进一步利用等价关系求得原问题的最优解。特别地，对于定义在 期末财富函数上的效用优化问题，当市场完备时，我们可以利用鞅方法求解该问 题，首先需要根据风险资产价格变化的各条路经，构造离散时间的风险中性的状 态树，再分两个步骤求解各个状态下最优的投资组合问题：( 1 ) 根据风险中性概 率测度和效用函数，求解期朱各个状态下的最优财富；( 2 ) 根据风险中性状态树 的路径结构，由逆推方法求解各个父节点最优的投资组合策略和对应节点的最优 财富。经过适当的变形( 1 ) 与( 2 ) ，鞅方法也同样适用于效用基于消费的组合 优化问题；当投资组合受到某些约束时，原问蹶的求解需要借助求解辅助的完备 市场问题。 本文假设风险资产价格服从几何布朗运动，以效用函数为决策的依据，分析 投资者在连续时间的框架下理性的消费与投资行为。限于篇幅，本文仅讨论跨期 消费的累积效用和期术财富效用两者之和的最大化问题。我们都知道，f 确的方 法是解决问题的关键所在。因此，本文将辟少量篇幅详细介绍在经济与金融等学 科运用得极为广泛的两类数学方法鞅方法与动态规划法，这些方法的应用非 常类似于离散时间的情形，不熟悉该方法的读者可以结合离散时间模型参阅并研 读该部分内容。同时，熟悉衍生金融产品定价和套期保值的人们可以看到，投资 组合的动态规划法非常类似于衍生品定价的b s 法，两者最终都需要求解带边界 约束的偏微分方程；而且，除了选择不同的状态变量之外，鞅方法在衍生金融产 垃续时间的投资组台峙消费决策问题探讨 品的套期保值问题和资产组合优化问题中的应用保持一致。因而，如果您不熟悉 动态规划法与鞅方法，可以借助本文相应章节的内容仔细推敲与对照。显然，熟 练地掌握这些方法将极大地方便我们解决基于效用的投资与消费决策问题。本文 的目标是要利用这些分析方法，结合市场的监管要求和机构自身的特点出发，研 究期未财富受到约束与投资组合受到约束两类优化问题，得出一般性的结论，并 结合实例予以解释，希望有助于大家对这些方法有进一步的了解。倘若这套现代 投资组合理论能为大家带来开卷上的微薄裨益，进而能够为国内的金融机构接受 和应用，也便是本文莫大之荣幸。 1 2 论文的结构安排 本论文的结构安排如下： 第二章介绍市场的微观结构，包含无套利完备市场的含义，价格过程的刻画 和效用函数的选取等等，本章提供全文分析的基本概念和基本内容，建立了一般 的金融经济学分析的框架。 第三章重点介绍连续时间的消费与投资组合的效用优化决策问题，在期术财 富和投资组合没有受到任何约束时，分别利用鞅方法和随机动态规划法研究最优 的消费过程和投资策略。和以往常见模型有别的是，本文的市场系数可以为时间 的确定性连续函数，更能反映市场系数随时问的变异性。在每种方法的后面，文 章还分别选择了一类效用函数进行具体的投资学含义分析。 第四章首先对期未财富受约束问题和投资组合受约束的问题进行阐述，然后 通过适当的转化，建立了原问题和其辅助问题等价的条件，最终需要借助于第三 章介绍的方法进行求解。同样，在特定的效用函数下，本文分析和比较了几类约 束下的投资组合选择问题，而且，本章还对无显示解的期术财富约束问题给出来 了一簇优化数值解。 第五章讨论v a r 约束下的投资与消费决策问题本章采用两次极大化方法 建立最优化问题，然后写出价值函数满足的h j b 方程以及边界与终值条件。结 合幂效用函数，本文给出了投资策略关于消费比例常数的函数，该常数可以通过 一个非线性的优化问题得以解决。在取特殊的市场参数下，文章给出了优化问题 的最优解，并对得出的结果做了一些实际的经济含义分析。 连续时问的投资组上合i 消费决策问题椿讨 第二章市场的微观结构和消费者行为 2 1 目标市场的基本假设 类似于b s 期权定价公式的基本假设通常在无任何约束的情况下，研究 连续时间的消费与投资组合问题仍需要这些假设 ( 1 )风险资产的价格变化过程可由几何布朗运动来表示； ( 2 )所有资产可以连续地进行交易，且所有资产具有任意可分割的属性； ( 3 )交易不涉及到任何中介费用和税金，即市场是无摩擦的； ( 4 )无风险资产存在： ( 5 )投资者可以买、卖空资产，并可利用所得的资金进行其他的投资。 为了利用鞅方法研究投资组合与消费决策问题，还需要假设目标市场是无套 利的完备市场，即存在唯一的风险中性概率测度，使任何贴现证券价格在该测度下 的条件期望为鞅过程。 2 2 利率和利率过程 利率是金融市场的一个非常重要的变量，反映货币的时间价值和借贷成本， 是政府从宏观层面上干预和调节经济系统、实现经济平稳发展所采纳的手段和工 具之一。在金融市场上，对利率的研究主要集中在对期限结构方面，即各种期限 所对应的利率之间的关系，期限的长短在利率的确定过程起着不可忽视的作用。 伴随着期限结构理论的发展，各种旨在刻画利率期限结构的随机波动数量模 型应运而生，例如，著名的荜因子模型有v a s i c e k 提出的奥恩斯坦一乌伦贝克利率 模型、c i r 利率模型和h u l l w h i t e 等连续时间模型以及h e l e e 提出的离散时间 利率模型；双因子模型如b r e n n a n s c h w a r t z 模型，而c h e n 提出的三因素模型， 则除了刻画了利率的瞬间变动水平以外，还将利率的瞬间期望和波动率视为随机 波动的过程，并用类似c i r 模型的均值回复过程加以描述。 在金融市场上，零息债券是一种重要的金融工具，它常作为无风险资产的最 理想代表，对该金融工具的正确定价首先是要确定利率的期限结构。为了简化下 面的讨论除非另作声明，均假设利率是时间的确定性函数，利率的演变过程中 没有随机因素，不像股票价格变化那样具有扩散项；同时，零息债券价格关于即 期利率为对数线性的。 2 3 资产的价格过程 4 一望壁盟塑塑塑塑坐垒! 苎垫垫墼塑望丛塑 本文讨论的金融资产在现实的世界里有其原始的雏形，即能集中地反映未来 所有不确定性的若干种典型股票所代替。给定他们的初始价格水平，股票价格的 未来演化服从几何布朗运动 咖”( f ) = p o t f ) r 和) 折，? ) 。( o ) = 1( 1 ) ( 加，( ，) = i ，f ( ，) ( 6 ，( t ) d t + 盯，( 0 d u ，( f ) )p ，( o ) 0 ，i = 1 2 一” ( 2 ) ，l l 其中w ( ，) = ( w 。( ，) ，w ：( f ) ，( f ) ) 是定义在带域流的完备概率空间( q ，f ，p ) 上的n 维布朗运动，域流f f ，0 f t 是由该布朗运动生成的自然域流，并满足下面两 个通常性条件 1 ) r 包含所有的p - 零测集； 2 ) 域流f f 0 ，t 右连续。 在上面的市场结构( 用m 表示) 下，假定市场系数6 ，( f ) 、r u ) 女r 1 c r 。( ，) 是在时 间区间 o ，t 】上连续的函数，关于f 适应的，并且在下面的意义下有界 n 6 ( f ) 础 m 洲 i ，i i 盯，( ，) i i ! 曲 o 。，口s j 1r ( ，) i 讲 ， ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 利用常数变差定理，在市场系数的选取符合条件( 3 ) 、( 4 ) 与( 5 ) 时，随机微 分方程( 1 ) 和( 2 ) 有唯一解 p 。( ，) = e x p ( 1 7 ( ，) 曲) ( 6 ) 硝，) = 纵。) e x p ( j ( 姒s ) 一喜盯；( 圳2 ) 出+ 喜j ( s ) 撕小) ) ( 7 ) 需要指出的是，由于本文后面的讨论将限制市场系数6 ，( ，) q ，( ，) r ( ，) 为时间 的确定性连续函数或为常数，因而，上面的假设条件( 3 ) ，( 4 ) 和( 5 ) ，以及下面的假 设条件( 11 ) 和( 1 2 ) 在通常情况下都能满足，保证了各随机微分方程解的存在性和 唯一性。 一堡壁盟塑塑丝塑坐垒! ! 堂望堡墨塑婆堡塑 在结束本节之前，引入市场m 中的一些符号或表达式 9 ( ，) = 盯“( f ) ( 6 ( ，) 一r ( ) ! )( 8 ) 枷) = e x p ( - 咖嵝芈灿一似，) 州州) ( 9 ) 2 4 自融资过程和可允许策略 在这篇文章中，消费函数是个重要的决策变量，和投资策略一道构成了投 资人优化决策的中心问题。为此，首先给出消费过程的一般定义个消费过程 f ( ，) 是一个关于域流一 f 渐进可测的非负随机过程，其样本函数的积分 fc ( ，砷 0 的投资者，相应的 财富过程满足下面的随机微分方程 d x ( t ) = x ( f ) ( 1 一万( t ) d r ( t ) + 万( ，y 6 ( ，) 】d t 十万( 叫盯( ，) f ，( ，) 】一c ( t ) d t ( 1 2 ) 显然，满足( 1 2 ) 式的消费和交易策略协，c ) 是自融资的。进一步假定 f i b , ( t ) l 2 d t ，叫 ( 1 3 ) f ) f 2 d t 0 ，且a 1 ，如果 口( o ，1 ) ，则效用函数是严格递增的凹函数，此时投资者为风险规避的，本文将 主要分析这类效用函数；否则效用函数是严格递增的凸函数，投资者为风险喜好 的：1 一口是该效用函数的常数相对风险规避系数( 相对风险规避系数定义为 以= 一号杀 ) ，绝对风险规避系数定义为r 。= 一等等) ；另一类效用函数 ( x ) ” “。( x ) u ( x ) = i n ( x ) 其中x o 。显然这些效用函数在其定义域内存在一般意义的逆函 数。 另外，基于求解消费与组合选择问题所采用方法( 随即动态规划法和鞅方法) 的差异性，一个效用函数还可以如下定义，u ：( 0 ，o o ) 一定，u ( ”，u ” 0 u ( = ) = 0 ( b ) 符合定义( b ) 的效用函数可取为u ( x ) = “一b e + 。，其中a 、b 、c 与x 均 为正实数，而f 即为该效用函数的常数绝对风险规避系数( 绝对风险规避系数定 义为凡= 一等等) ：或者u ( x ) = 一( x 一女) v 2 ，其中x 与k 为正实数，和( a ) 类 堡堡! ! ! 塑塑墼塑型垒兰堕垫盗丝堂塑堡塑 投资者相比，该类型投资者追求稳定的存储财富和基准消费水平，过低和过高都 不及于该参考水平。即使瞬问的财富水平或者消费水平如果高于该参考水平，由 于投资者面临的不确定性风险增大，其效用反而降低。显然，定义( b ) 比定义 ( a ) 更加广泛。对于这类效用函数，在区域y 【o ，u 。( o ) 时，逆函数存在并记 为( u ) “( y ) ：否则取零。 为了应用经典的动态规划的理论，效用函数需要满足多项式增长条件 lu ( x ) j i ( 1 + 1x 1 “)( c ) 其中k 。与女! 为正常数。 不同时期的等量消费对一个理性的消费者势必产生不同的效用，而且，时问 上越靠前的消费其效用越大，而越往后的消费其在消费者一生中的总赦用中所占 的比例越低。经济学上引入效用贴现函数，用以反映不同时期的消费给消费者一 生所带来的效用差异。本文中，贴现函数的选区较为一般化，只要满足连续性、 单调性和一定意义下可积的正时间函数即可。例如，。( ，) ；1 ，表示各期消费带 来的效用没有时间差异；又如，f ( t ) = c 一，其中p 0 是主观贴现率。 作为本章的结束，我简单的阐述一下金融市场和投资者两者唰的关系。金融 市场的引入首先实现了社会资源的优化配置，而个人投资者则实现了消费和投资 的跨期选择，从而大大地扩大了投资者个人的决策空间，提高了投资者的期望效 用。本文研究的重点是在金融市场的背景下的研究投资者的消费和投资决策行 为并根据需要选择适当的方法。 连续时闽的投资盟i 台，消费决锻问题探讨 第三章投资与消费组合选择问题 3 1 连续时间投资组合问题 投资者的消费和投资决策问题，是动态的调整消费和投资组合的过程，本 文的决策的目标是使提有限时蒯段内的跨期消费和期末财富的总效用的贴现 期望达到最大，其他类型的决策问题可以类似地加以讨论。定义 d ( x 万，f ) = e i ，( ，) u i ( c ( ，) ) 折+ ( r ) u2 ( x ( t ) ) j ( i ) 这里，u ，u ，为效用函数，厂( ，) 为贴现函数它们的取法见2 5 节定义( a ) 。 最优的消费和投资策略下( 1 ) 式表示的期望不会发散至负无穷，本文对可允许 策略迸一步限制为下面的子集合 爿( 石) = ( 疗，f ) a ( x ) f if ( t ) u , - ( c ( t ) ) d t + f ( t ) u ：- ( z ( 7 1 ) ) 】 。】j ( 2 ) 由于常见的效用函数都能满足( 2 ) 式的要求，因而很多情况下a ( x ) 与a ( x ) 相合。 下面将提出本章的最优化问题 m a x j ( x ， ，8 )( p ) i f l 一( # ) 上面的决策问题( p ) 中，消费过程已明确地定义为非负过程，但对投资组合策 略的限制却很少，因此问题( p ) 常称为无约束的投资组合问题，由于默顿( m e r t o n ， 1 9 6 9 和1 9 7 1 ) 首先将随机控制的理论引入金融学，并深入地研究了该问题，因 此也称为默顿闯题。现实的金融市场中交易的各种股票，往往强加了诸如卖空约 束或者买卖上下限约束，对这类问题的讨论将在以后各章节中加以大致的介绍。 本章的后面两节将对问题( p ) 的两类求解方法一随机动态规划和鞅方法展开细 致的讨论。 3 2 最优投资与消费决策问题的随机动态规划方法 3 2 1 随机动态规划的方法介绍 b s 经济中，期权定价可采用带边界条件或终值条件的偏微分方程的方法； 本节中涉及的跨期投资与消费决策问题，可以利用随机控制的理论予以解答，最 终仍然需要求解带边界条件或终值条件的偏微分方程，两者的处理过程非常类 似，可以参阅( h u ah e 2 0 0 0 ) 的讲义。技术性的细节可以进一步参阅论文后面 所列的书目，本论文仅对该方法正确运用时所要注意的各个环节给予充分的说 明，然后结合该法列举一些实例并从金融实用的角度上做一些分析。 堡堡堕塑塑丝望型鱼兰塑塑盗丝塑望丛堕 结合本论文的问题，下面阐述一下动念规划方法的具体运用过程。首先引入 可允许反馈控制的概念，以s r ”表示一闭集。适应过程z f ( ) = ( 刀( ，) 。( ，) ) ，有 “( ，) s ，c ( t ) o ，“sv t 【o ，t ，而且成立下面两式 “( ，) = h x ( 0 ，f ) ，其中h x ，) 为个连续函数 丌( f3 0 ，1 一口( 0 , 1 ) 是该效用函数的常数相 对风险规避系数，利用3 2 1 节的方法，关键是对步骤( c ) 的偏微分方程的求解， 在本节选用的效用函数之下( 1 1 ) 可改写成 r 蒉州州f ) + 半，( f ) 品i p 牙= o 2 d 如果引入记号 “1-一，a x o ( t ) o ( t ) 1 - 型 f l 一口1 2口一i n ( t ) = - _ 厂( ” ( ，) = e x p ( 一f 埘( _ ) 幽) 卜f ( s ) e x p ( f 卅 ) d u ) d s + 其中c 。满足 则上面的方程有如下解：。( x ，) ：鱼止xa 。显然，价值函数v ( _ ，) 具 口 有我们需要的一切性质相应的最优的组合决策和消费过程为 万( ，) ：堕! 12 ：垫尘 j 一口 c ( ，) = f ( t ) x ( t ) 连续时间的投资j 生l 合j 消费决策问题探讨 肌“忙等 类似于c a p m 风险资产的市场组合，连续时间背景下的均值一方差有效组 合，又称风险基金可表示为 砌) = 踹 其中上式分子即为金融学中常常见到的风险的市场价格，又称相对风险溢 价。由上面给出的最优的组合决策可见，幂效用函数下可供选择的资产种类可分 为两部分：无风险资产和风险基金( 基金中的各风险资产的比例由上式给出，并 由市场结构唯一决定) ，于是只需分析两资产市场：即风险资产和无风险资产组 成市场，便可以得出一些该市场的重要性质，例如上面的两基金分离定理和后面 章节要讨论的v a r 约束下的允所有容许策略的全体为凸集等性质，参阅( 何华 等，2 0 0 1 ) 。进一步地分析可知，幂效用函数下的最优组合策略由市场结构和投 资者的偏好结构共同决定，而且相对风险规避系数1 一口越小。各风险资产的投资 比率就会变得越高。消费函数是某个固定时间函数的财富函数的倍数，即某个时 刻，( 0 ，r 】处，消费的波动性来自于财富的累积量，消费率主要与该时刻财富的 大小有关，财富积累越多，投资者既可以在增加投资的基础上，同时增加消费， 如果允许时间在t 【0 ，t 】内任意取值，则各时刻消费率还与某个时恻函数有关； 当各个市场系数为常数时，消费过程正比于财富过程，与时间无显示的关系。幂 效用函数下的最优效用值u t i l i t y ( x ) ( 工为初始财富) 即为价值函数在e l , j 亥l j 零的 取值 u t i l i t y ( x ) = v ( x ，o ) ( o ) “。工。 ：坦型! 丝：塑。 = 一j 其中譬( ，) = 八，) e x p ( j 口( “) + 鱼，二旦掣】幽) 所以最优的期望效用 值u t i l i t y ( x ) 是初始财富的严格递增的凹函数，因而同一类效用群体，如果在一段 连续时问的投资盟f 台1 0 消费决策问题探讨 时问水平 o ，7 1 内，均采取相同的组合投资和消费策略( 丌( ) f ( ) ) ，则初始的! ! ：寸 富水平唯一决定了他们的效用水平。在求得相应的最优组合决策和消费过程后， 最优的财富过程为 工( ) = x c x p ( j ( 女，( ) 一：! ! ! ! ! ；兰尘) d u + i - 。( “) d l 一( “) ) 耳e 者d x ( t ) = x ( ，) ( l ( t ) d t + j l ( ，) c v ( ，) ) ，x ( o ) = x 其中，女i ( ，) = ( 1 丌( t ) d r ( t ) + 7 r ( 叫6 ( ，) - i l ( ，) 和s l ( ，) = 万+ ( ，y o - ( t ) ，可见财 富过程服从对数正态分布，类似地知道消费过程和以市值表示的各种资产的价值 过程都服从对数正态分布，它们的均值函数分别为 r + ( ，) = e x + ( ，) = e x p ( “( 1 ，) 幽) ( ( ，) = e c ( t ) = ，( ，) ( ，) p ( ，) = e 万+ ( ，) x ( ，) = 玎( ，) ( ，) 试( ，) = e 贰( ，) z + ( ，) = ( 1 一! 万( ，) ) x ( ，) 3 3 最优投资与消费决策问题的鞅方法 3 3 1 鞅方法介绍 本节的讨论建立在完备市场假定的基础之上，即市场上一切不确定性或风险 源可以用市场上有代表性的 种股票的价格波动的随机过程来完全刻画；这一点 区别于随机动态规划的方法，随机动态规划方法允许市场不完备，即不能以市场 上已有的”种股票的价格波动的随机过程来完全刻画市场上的不确定性或风险 源，但为了分析上的方便。上节的市场仍然在完备的假定下展开讨论。本节选用 更加广泛的( b ) 类效用函数重新考虑问题( p ) ，不同的是将采用鞅方法求解最 优的消费和投资策略，求解的过程也类似于b s 期权定价时所采用的鞅方法。我 们知道，只有成立市场为完备的假定，才存在唯一的等价鞅测度q ( 该测度的构 造可参阅( h u ah e ，2 0 0 0 ) 讲义的第六章的内容) ，同时，贴现财富( 包含消费 连续时问的投资纰台1 0 消费决策问题探讨 在内的总财富) 也因此在该测度f 的条件期望为鞅过程- 该法也因此而得其名。 该法的精髓是将把消费与投资组合问题( p ) 的求解化为以下两个步骤， ( i ) 用类似于拉格朗日乘予的方法求解静态的最优化问题，寻找最优的消费过程 c ( ，) 和最优的期末财富函数x ( 7 1 ) 。 m a xe f f ( i ) u 。( c ( ，) ) 加+ f ( t ) u 2 ( b ) 】 ( q ) “e 【fc ( t ) h ( t ) d t + h ( t ) b i = x 其中，( ，) 的定义见第二章的( 9 ) 式。 ( i i ) 寻求一个可行的投资策略石( f ) ，结合上面( i ) 产生的消费过程f ( ，) ，使得 ( 万，r ) 爿( x ) ，该策略在期术产生与( i ) 相同的财富函数，需要注意的是浚步骤 需要用到有关鞅表示定理的结论。 要求解上面的问题，可以类似于确定性最优化问题进行，下面不加证明地叙 述随机控制理论中的一个重要事实，以求得最优的消费过程c ( ，) 和最优的期末财 富函数x + ( 丁) 。设u i ( o ) 0 ( 13 ) x ( y ) ，砂( 0 ，) ( 1 4 ) 则x ( y ) 在其定义域内连续且严格单调递减，从而存在唯一的逆函数y - i ( ) ，最优 的消费过程c ( ，) 和最优的期末的财富函数x + ( 7 1 ) 分别为 x c 丁，= i ；! ，：暑蓉，日。t ，厂。t ，否贝。 c - s ， c ( f ) = z i 7 ) 篆洲，硎 ， 其中，u j ( ) = 0 ，= ， o ，x ( ，) = 墨! 二坦 ，且显然不存在有限的。 ，f = 1 ，2 ， 使得u ( ) = 0 ，由上面的命题，可得最优的期来财富和消费过程分别为 x v ，= 等等p c ) = 帮 舯 y ( 盯卜南 从而财富过程满足 6 连续时问的投资纠台，消费决策问题株讨 x ( f ) 肠( f ) i 【( _ ) f + ( 一) d s + t t ( t ) x ( 7 ) lf 】 ：m j ) ( 盯) + m 。， 对此利用 t o 公式 蜘掣州( i y m ( ) 小( f ) 珊等+ 筹) 与2 4 节中的财富过程的微分方程( 1 2 ) i z t ；较扩散项系数，得到 万( ，) = ( 盯( ，) ) 。0 ( t ) 1 ：( ，) = 1 一! 万( ，) c ( ，) = ，2 ( ，) x (