（运筹学与控制论专业论文）板方程反问题的全局唯一性和稳定性.pdf

摘要 本文主要对板方程的一个反问题的全局唯一性和稳定性进行了研究。文 章所采用的方法是：首先借助于一个变换，将原问题转化为对一个带记忆项的 板方程的能观性不等式的证明。经过对板方程的主型算子作一个详细的逐点 估计，在这个逐点估计的基础之上再对主型算子运用c a r l e m a n 型估计的方法。 从而再得到板方程的能观性不等式。 关键词：全局唯一性，稳定性估计，能观性，板方程的反问题。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sa d d r e s s e dt oe s t a b l i s ht h eg l o b a lu n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo fa n i n v e r s ep r o b l e mf o rt h ep l a t ee q u a t i o n b ym e a n so f as u i t a b l et r a n s f o r m a t i o n ，t h e p r o b l e mi sr e d u c e dt ot h eo b s e r v a b i l i t ye s t i m a t ef o rt h ep l a t ee q u a t i o n sw i t hm e m - o r y t h em a i nt o o lw ee m p l o yi sag l o b a lc a r l e m a n t y p ee s t i m a t e k e y w o r d s g l o b a l u n i q u e n e s s ，s t a b i l i t y e s t i m a t e ，o b s e r v a b i l i t y , i n v e r s e p l a t e p r o b l e m 致谢 零文燕程荨瘴张怒教授鳇悉心撵浮下宠成豹在三年酶学簿生活牵，导瘁 在学习、生活，研究等方面给辛了作鬻很多帮助、教诲和鼓励在此，作者向 毽表示深濠懿谶意。 作者同时要衷心感谢尹患旗、黎伟、付晓蓬等同学的无私帮助最后，作 者瑟岛垂已静家夫袭零衷心静疼遴，莛氇蘩证律者簸够安心琏巍痰学蹙。 本文还樽到了国家自然转学基金( 编号：1 0 3 7 1 0 8 4 ) 和全国优秀堪士学位论 文依者专项资金资动项雷( 赣号：2 0 0 1 1 9 ) 的资髓，在巍一并致滗 l 引言 假定t 0 ，q 是r ? ( n n ) 中具有伊边界r = 鲫的有界区域设r 0 是舶的 一个非空子集用l ，毫l ，( 。) = ( 1 ，地，) 表示区域q 在边界上的单位外法 线方向记 q = ( 0 ，t ) q ，e = ( 0 ，t ) a q 假定 p ( ) c 3 【o ，卅， ( i ) 且满足条件弘( o ) q 。设 知( ) w 1 。( o ，t ；l 。( n ) ) ( 2 ) 我们将研究下述系统的一个反问题： lj 胁( t ，霉) + 2 v ( ，z ) = n o ( t ，。) ! ，( t ，z ) + 卢( t ) ，( z ) ，( t ，t ) q ， ”( ，对= a y ( t ，z ) = 0 ， ( t ，z ) ， ( 3 ) lv ( o ，霉) = 0 ，轨( o ，。) = 0 ， z q 在上述系统( 3 ) 中z 一( l ，勋，) ，f = f ( z ) 硪( n ) 是一个未知函数。设 集y = ”日3 ( q ) iy i r = ，l r = o ) 。 系统( 3 ) 的弱解设为：”= v ( ，) ( ，。) g ( 【0 ，邪；v ) n g l ( 【o ，卅；怫( q ) ) 。 实际上本文的主要目的是研究如下问题，即由边界观测值嘉l 。和警l 来 l i j ol l a 确定，( z ) 换一句话说，也就是研究如下两个问题： 唯一性：如果警i 。= 掣i o = o 是否可以推出，兰o ? 稳定性：在( 掣l 岛，掣l 。) 一，是否存在映射是连续的( 按某种合适 的拓扑) ? 关于偏微分方程的反问题已有许多学者致力于这方面的研究。参见( 【l 】， 【2 1 ，p 】f 4 】，【7 】，【8 】 f 9 】) 。但据作者所知目前还没有文章对系统( 3 ) 进行过讨 四川大学硕士学位论文 2 论板方程理论广泛应用于航天、航空、船舶、土建等工程结构中。本文章 主要是通过对系统( 3 ) 采用一个适当的变换将要研究的原问题转换为对一个带 记忆项的板方程的能观性不等式的证明本文所采用的证明方法是从参考文 献【9 1 2 】中发展出来的。 本文余下的部分是这样安捧的：在第二节，我们叙述本文的主要结果第 三节给出我们所需要的预备知识。第四节，致力于对带记忆项的板方程的能 观性的证明，这一节具有独立的意义。在第五节，我们将给出板方程反问题的 主要结果的证明过程。最后，在附录里给出引理3 i 的详细证明 四川大学硕士学位论丈 2 主要结果 首先，在本文中我们约定：c 代表一个正的常数，每一行的e 可能不同 但都独立于，( z ) 。固定一个知正p ，且设 r 。= z rl ( z z 。) p ( 善) o ) p 3 本文的主要结果叙述如f ： 定理2 1 在，1 o 和一仞成立的条件下，r 0 如例所给出。则存在正常数g ，使 得系统俐的解( 蔫足 c - 1 i ，1 ( 卿 刖警h o y 川g ( f ) 2 + i 学1 2m + l 警学陋。 茎g l _ ，i ( n ) ， v ，硪( q ) 定理2 1 的第二个不等式隐含在下一节的引理3 5 的结论中。我们将知道， 在经过一个适当的变换后，定理2 1 的第一个不等式的证明可以转化为对下述 带记忆项的板方程的能观性估计的推导。 l 也t 十a 2 = 6 0 ( t ，z ) 西+ b l ( t ，z ) 也 j + 6 z 。，z ) z ( s ，z ) d s ， ( t ，。) q ， ( 6 ) i 咖= 咖= 0 ，( t ，z ) ， i 咖( o ) = 0 ，c ( o ) = 1 ( z ) ： t n 这里系数b 。( i = 0 ，l ，2 ) 满足下述条件： “( t ，z ) l ”( ( o ，t ) n ) ( 7 ) 嚼列天擎硕士学位论交 现在我们将系统( 6 ) 的个能观健结果陈述如下； 定理2 2 农t o 和删仞成立的静件下，r o 如例所给出则存在正常数c ，使 得系统 碡簿疹e l o ，? | | y ) 曩9 1 ( i o ，t i ；翻哟) 滗龟 吣曼。肭警| 2 十| 警| 2 d e 。，v 虻醐) 定理2 2 的证明主要基予对s c t l r 6 d i n g e r 算子做c a r l e m a n 估计。 注1 用同样的方法，我们用一个带有更多低阶项的板方程来代替系统( 6 ) ， 我镯也羼榉霹戳霉爨一令类 蛙于定溪2 2 豹嶷蕊蛙缝爨。篷终注意戆楚无论熟 何在q 上曲( o ) = o 邈一条件在定理2 。2 的证明过程中怒不可缺少的。对于这假 定涯明其憝否霹竣滚接是一令擐袁戆义熬滔透。到鬟甍摹餮蔻海壹，这是令蠢 未解狭的问题。 3 预备知识 薅 为了诞明定理2 。2 ，我们需要如下几个引理。首先我们介绍下述几个记号： 五一警， = 酉o f ，= 霎，一塞， 4i = l j；u = i 箕中表幂。萋p 静第 个艇标。冀矫，对征给静d 雹，r e a ，妇8 ，和磊分弼表 示n 的实部，虚部和菇轭。 引理3 1 假定 g 2 ( r 妒；彤) 设是一个实常数 和渤；霜，砖) 魏h 喂给定娉点。记 o ，z ) = n ( 一一磊) 2 + b ( 亡一t o ) 2 ， 目= 一 ， 四川大学硕士学位论文 其中( t ，z ) 垒( t ，l ，铲，铲) r 1 ”则对任意的 o ，成立下述不等式 ( 1 + - i ) i i w t + i 。 a 2 4 ( 皿+ 莓一z 卜+ l ； 一e ( 皿+ 巳j ) 2 一霍2 + 厶t 1 1 叫1 2 + 2 0 2 【e k j ( w 皿+ w 画一1 w 刊 一卜+ i 1 w t l 2 ) _ 2 2 0 2 岛洲2 ( 1 0 ) 彬 ( f l + 知) ( 面+ 哦) 埘岛蚶i + 口2 陬( 嘶矾+ w j w k ) 眈一( g t 口2 坩) e + 2e e 0 2 已( 白q 一啦) b 十2 妒o ( 白町一e , j ) l 。一心( 矗 一轨) 】j ) j 其中f = 厅：垒r e 叫，叩垒i m 讲。 其详细证明过程见附录1 。 类似于【l l ，1 2 】，应用在n 上咖( o ) = o 和通骷的能量方法我们易证明得到 一卜面三个引理。 引理3 2 假定t 0 和例成立别存在常数g = c ( t ，q ) 使得系统俐的解 g ( 【o ，卅；v ) n c l ( 【o ，r l ；硪( n ) ) 满足 e ( t ) sg e ( s ) ， vt ，s 【0 ，卸， ( 1 1 ) 其中 e ( t ) = i ( ，) i 备。( n ) + i 咖t ( t ，) i ( n ) 0 2 ) 5 礴j | | 走学磺士擎谊论炙 6 g l 理3 3 莰定0 墨 t 2st 移固成立剐霹囊掌敷c g ( 爻甄，t 2 ，哟使 得系统f 印的解曲g ( 【o ，明；v ) n c l ( o ，引；础( q ) ) 满足 隅，岛 zi 矾豫) l f n ) 出sg 上 静( 2 ，) l 知( n ) 斑 ( 1 3 ) 弓l 理3 假定0s 墨 0 ，成立 l 警k ，+ 协o q tk c l f l 州叩州 ( 1 9 ) 另外p 满足下述系统： lp “+ 2 p = ( ，z ) u + b l ( ，z ) u ， ( ，z ) q ， p = a p = 0 ， ( t ，卫) ， ( 2 0 ) ip ( o ) = 札o ，p t ( o ) = l t i ， z q 我们在系统( 2 0 ) 中方程一的两边同乘 - v a 庐，设 = y ，在( o ，t ) q 上积 分，通过直接计算我们能够得到 上掣 v ( 却胆+ z 害 唧艘 一1 2 | v ( p ) 1 2 h u d e 一1 2 | v p 。1 2 h v d z j j e ： h v ( a p ) v ( p ) d q + ， 日v 凤v p t d q 此 r j 。 ( 2 1 ) + u 2 l 耶t 1 2 一i v ( a p ) 1 2 ( d i v h ) d q +q p j t v ( d ) v p c d 0 一【( p t ， v ( p ) ) n 】l o + 互h v ( 删f b 0 珈h 吣如) 叫d o 四川大学硕士学位论丈 和 我们应用p o i n c a r e s 不等式，和引理3 3 ，我们有 上掣州酬抖上等慨拢 ， c e ( o ) 冬c ( i , , 0 1 2 + i u l l 2 ) 从而，最终我们可以得到 掣l 甜( e ) ， a pl lu 、u n 另外，我们还有 和 斋i 。p ( ) a ( 一a p ) il 2 ( 。) g ( | “。慨+ i 吼川( n ) ) l 斋k ，e ( 旧，啪ii 郴，) 综上，我们有 i 警k ，+ 嘲姻g ( i u 恫n ) + i u t 慨。，) ( 2 3 ) 由( 1 7 ) ，( 1 9 ) ；f 1 1 ( 2 3 ) ，从而我们证明了 7 1 理35 。 4 定理2 2 的证明 在这一节里，我们将给出定理2 2 的证明。丰要思想来源于 9 ，1 2 。证明分 为四步来进行。 第一步：为了简便，我们假定如丽( 对于z o 丽，我什j 仿照 6 】中的 定理5 1 巾情形2 样的方法来证明结论。征此，我们不给出证明) 。记 凰垒赌| z z o l ，r i - a 搿l a 7 - - z o i ( 2 4 ) 8 四川大学硕士学位论丈 显然，r 。 风 0 我们需要引入下面的摘单变换，它在本文的后续证明过程 中起着关键的作用。设 彬= - - $ 也+ ( 2 5 ) 分别对”关于t 求一阶导数，关于z 求二阶导数，我们可以得到 i w t = 西“+ i 砂，a w = 一 也+ a 2 咖( 2 6 ) 从而有 + = “+ a 2 西 由( 6 ) 和( 2 7 ) ，我们得到下述方程 i w t + a w = b o ( t ，。) 西+ b l ( t ，。) 西f + b 2 ( t , x ) f o 2 地z ) d 5 t u = 0 i m 叫= 0 ( 2 7 ) ( 。，q ， ( 2 8 ) ( t ，z ) ， z n 第二步：我们再介绍一些记号。设 妒= i x z o l 2 一产，= ；a 砂， 0 = o ( t ：z ) = e t ( ，。) ，= ( 1 2 n ) 这儿 0 是。个参数，其中 0 2 8 _ 二t 2 同时我们又记 t k = 女t ， q = 0 ，t k ) q ： 七= 0 ，l ，2 ， 其中0 e l e 2 l 将在稍后再给出。 山( 2 4 ) ，( 2 9 ) 和( 3 0 ) ，我们有 蛔，z ) sr ：一n 严譬 0 ，我们能够 推得到存在两个证常数a a 1 和c c o ，对任。a a l 和c c o ，成立 正，日2 ( a ： 。一z 。1 2 + ( n 一，1 2 ) a q ) l 1 2 d z 出十j 乞，口2 l v 1 2 d d ( 3 9 ) j q rq r n q 、 g r 厶，萨2 出出+ 上，萨i v ”1 2 如把 j 里盟叁茎塑芏焦坌奎 2 联立( 3 6 卜( 3 9 ) ，我们得到 a 3z ，明 1 2 如出+ a 厶萨i v 伽1 2 如出 c z ，明t w t + a w | 2 如出+ a 厶一2 j 筹f 2 扰。 c 。， 执1 d 上( z ) 1 2 + 1 屿( r 硝) d 。) 明m t + 2 d x d t d q r = z ，铲j b ( t ，$ ) 西+ b t 。血 + 6 。，。) z 。曲( z ，z ) d 。 2 d z d t e q ，9 2 0 6 0 ( ，。) 曲j 2 + | 6 j ( t ，z ) e f t 2 + 6 ： ，z ) z 。( z ，z ) d z f c b d t 5 e ( 删2 丹j 6 】( f ，圳。群 + f 6 2 ( e ，z ) 1 2 f o 地z ) 计) d x d t = g j f q , 0 2 ( j 6 0 ( t ，z ) j 2 咖2 + j 6 。( t ，z ) j 2 簖) 出出 + i b m ( 删2 酽圻北d 刮2 d x d t s e z ，。2 ( n 瞬+ l z 。北，酬2 ) 揪 旦! ! ! 叁芏塑主堂堡堡奎 13 lz 。他，圳= i 2 姚 g z 龅批如出 筇z ，t 0 2 ( ) 以郴) d z d x d t( 4 2 ) a 1 ，我们有 妒r e , p 2 1 ”1 2 如出+ a1 日2 1 v w l 2 如出 s e e 。 厶( 耕+ j 警j 2 ) 摆。 ， 执1 1 厶( i 圳2 + w v , 0 1 2 州1 2 + i v 1 2 ) 出出 | j q 2 j 第四步：由( 2 5 ) ，引理3 3 ，引理34n l p o i n c 矗r e s 不等式，我们得到 ( i 1 2 + i w , 1 2 + i 1 2 + l v 1 2 ) d z d t j q 2 = 一刊也1 2 + i 庐尸+ i v , 1 2 + | v 西1 2 + i 刮2 + i v 曲1 2 ) d x d t ( 4 9 ) j q 2 g ( i v a a l 2 + f v 也1 2 ) d z d t j 0 i 联2 l ( 4 8 ) 和( 4 9 ) ，对任一a a 1 ，成立 舻目2 晰d x d t + a 0 2 i v w l 2 d z d t e p 厶( 钟+ l 警舱。 c s + a e 一即1 “v 庐1 2 + i v 毋c 1 2 ) d x d t 四川大学硕士学位论文 义凼为征q 上成立一 a + 毋= w 且q o cq l ，川得 a 2 五10 2 1 ”1 2 d z d t + 五l0 2 1 v 埘1 2 出出 日2 ( 1 y e c l 2 + i v 1 2 ) d z 出( 5 1 ) j q o e “1 ( i v 1 2 + i v 咖1 2 ) d x d t j q o 再联立( 5 0 ) 和( 5 1 ) ，我们有 e 岛1 ( t v 也1 2 + i v a 庐1 2 ) 出出 j 铂 s g e “刖蔷1 2 + l 警1 2 ) 拢。 ， + e m 厶( 1 v 曲1 2 + i jv 也n d 茁疵 0 o 最后，我们借助7 - - a j l 理3 2 ，由( 5 2 ) 知，我们有 e 凡1 e ( 0 1 c p 厶d 警h 警1 2d e o + e - 。j e ( o ) v 入a 1 在( 5 3 ) 中取a 足够大，又 o 和一r o 0 ，故有下式成立 即脚创i 溉o u1 2 + i 喾陋。 从而，我们完成了定理2 2 的证明。 5 定理2 1 的证明 = 瓦e ll 五y ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 5 四川大学硕士学位论文 1 6 其中 由( 5 5 ) ，易得 通过直接计算，我们将( 3 ) 转化为 ( 5 6 ) 血t + a 2 妒= b o ( t ，z ) ，t + b d t ：z ) 曲t + b 2 ( t ，z ) 7 ( s ，z ) d s ，( t ，z ) q ， j o ( 5 7 ) 西= 西= 0 ( t ，x ) ， 螂) 姐= 器( 巩x ef l , ( 5 8 ) 现在对系统( 5 7 ) 应用定理2 2 和引理3 5 ，由( 5 6 ) ，我们就得到了定理2 1 。 口 、，c一3 y p 一肛 鼢书地 一 2 0 3 k 矬睁扣 a 弘 o ，成立 ( 皿+ j j ) 【( i 叫t + 叫) 而+ 伽( 叫t + ) 1 j ( 8 0 ) 2 一一1 1 i 。+ 1 2 一e ( 皿+ 珞j ) 2 l 1 2 j 四川大学硕士学位论文 2 5 从而，我们就证明了引理3 1 。 参考文献 1 】v i s a k o v , i n v e r s e p r o b l e m s f o r p a r t i a l d i f f e r e n 6 a l e q u a t i o n s , s p r i n g e r - v e r l a g ， b e r l i n ，19 9 8 【2 】v _ i s a k o va n dm y a m a m o t o ，c a r l e m a ne s t i m a t ew i t ht h en e u m a n nb o u n d - a r yc o n d i c t i o na n d i t sa p p l i c a t i o n st ot h eo b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t ya n di n v e r s e h y p e r b o l i c p r o b l e m s , c o n t e m p m a t h ，2 6 8 ( 2 0 0 0 ) ，1 9 1 - 2 2 5 【3 】m vk l i b a n o v , c a r l e m a ne s t i m a t e sa n di n v e r s ep r o b l e m s 抽t h el a s tt w o d e c a d e s i ns u r v e y s0 1 1s o l u t i o n sm e 曲o d sf o ri n v e r s ep r o m e m s s p r i n g e r - v e r l a g ，w i e n ，2 0 0 0 ，11 9 - 1 4 6 【4 】m m l a v r e n t e v , v g r o m a n o va n ds ps h i s h a t s k i i ，一p o s e dp r o b l e m s o fm a t h e m a t i c a lp h y s i c sa n da n a l y s i s , t r a n s l a t e df r o mt h er u s s i a nb yj r s c h u l e n b e r g e r , t r a n s l a t i o n so fm a t h e m a t i c a lm o n o g r a p h s ，v 0 1 6 4 ，a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 8 6 【5 】j l l i o n s ，c o n t r d l a b i l i t 6c x a c 碹s t a b i l i s a t i o nc tp e r t u r b a t i o n sd es y s t e m e s d i s t r i b u 6 s t o m ej ：c o n t r 6 l a b i l i 蝤e x a c f e ，r m a8 ，m a s s o n ，p a r i s ，1 9 8 8 【6 ja l 6 p e z ，x z h a n ga n de z u a z u a ，n u l lc o n t r o l l a b i l i t yo f t h eh e a te q u a t i o n a ss i n g u l a rl i m ro f t h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo f d i s s i p a t i v ew a v ee q u a t i o n s ，j m a t h p u r e sa p p i ，7 9 ( 2 0 0 0 ) ，7 4 1 8 0 8 7 jm y a m a m o t o ，s t a b i l i t y , r e c o n s t r u c t i o n f o r m u l aa n dr e g u l a r i z a t i o n f o ra ni n v e r s es o u r c eh y p e r b o l i cp r o b l e mb y 口c o n t r o lm e t h o d , i n v e r s ep r o b l e m s , 11 ( 19 9 5 ) ，4 8l _ 4 9 6 8 】m ，y a m a m o t o ，u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t y 胁m u l t i d i m e n s i o n a lh y p e r b