（计算数学专业论文）三维minkowski空间中的螺旋面和伪全脐曲面.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 自e i p - s t e i n 提出相对论以来，其时空模型一m i n k o w s k i 空间一直备受数学界和物理学 界的关注相对于我们最熟悉的e u c l i d e a n 空间，m i n k o w s k i 空间是一个全新的领域由 于度量的不同，导致了一些基本概念有了质的变化，使得m i n k o w s k i 空间的一些问题与 e u c l i d e a n 空间相比有着出人意料的结论这些为m i n k o w s k i 空间所独有的结论，特别是 子流形的几何性质，是我们研究和关注的焦点，因为这些结论更好的反映了m i n k o w s k i 空间区别于e u c l i d e a n 空间的本质特征基于这种思想，本文讨论了三维m i n k o w s k i 空 间中的两类曲面，即螺旋面和伪全脐曲面 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面是一条平面曲线经由螺旋运动所生成的曲面依据 旋转轴的向量类型，三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋运动可分为三类，其中第三类螺旋运 动，即三次螺旋运动，是最特殊的与e u c l i d e a n 空间中的螺旋运动不同，这类螺旋运动 的平移轨迹不是旋转轴方向的直线，而是睦率不为零的类光曲线 在第三章中，本文进一步将三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面细分为五类，集中讨论 了经由三次螺旋运动所生成的两类螺旋面事实上，三维m i n k o w s l d 空间中任意螺旋面 的平均曲率和g a u s s 曲率都与旋转参数无关基于这一点，当螺旋面的平均曲率或g a u s s 曲率为给定光滑函数时，本文选取伪正交标架，使得两类螺旋面的平均曲率和g a u s s 曲 率的表达式相对简化，通过求解一系列的非线性常微分方程，即可确定一族生成曲线， 从而最终确定平均曲率或g a u s s 曲率为给定光滑函数的双参数族螺旋面，并在这一过程 中解决了b e n e k i 等人留下的一个公开问题这样结合b e n e k i 等人的工作，本文证明： 三维m i n k o w s k i 空间中，平均曲率或g a n s s 曲率为任意给定光滑函数的任意一类螺旋面 都是存在的，并给出了具体的参数表达式在此基础上，讨论了螺旋面的一些几何性质 三维m i n k o w s k i 空间中，平均曲率日和g a u s s 曲率k 满足h 2 = k 的曲面称为伪 全脐曲面( 三维e u c l i d e a n 空间中，满足这一条件的曲面局部上只有平面和球面) ，它是 全脐曲面和广义全脐曲面( 即b s c r o l l ) 的推广在第四章中，通过选取类光坐标曲线， 本文证明：三维m i n k o w s k i 空间中的任意类时伪全脐曲面均为n u l ls c r o l l ，即由单参数 族的类光直线构成的类时直纹面在此基础上，我们给出了伪全脐曲面的一种分类： 类空的情况：双曲空间日2 ，类空平面 类时的情况： n u l ls c r o l l 一类时全脐曲面：d es i t t e r 空间研，类时平面 一广义全脐曲面： b s c r o l l 一形状算子的极小多项式形如0 6 ) 2 ( b 不为常数) 的n u l ls c r o l l 其中后两类类时伪全脐曲面的形状算子不能对角化，它们在三维e u c l i d e a n 空间中没有 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 对应概念特别地，在讨论了螺旋面的平均雌率和g a u s s 曲率的关系式之后，本文证明 所有的伪全脐螺旋面均为b s c r o l l ，并确定了伪全脐螺旋面的参数表达式 关键词：m i n k o w s k i 空间；伪正交标架；三次螺旋运动；伪全脐曲面； n u l ls c r o l l 大连理工大学博士学位论文 h e l i c o i d a ls u r f a c e sa n dp s e u d o u m b i l i c a l s u r f a c e si nm i n k o w s k i3 - s p a c e a b r s t r a c t a st h es p a c e - t i m em o d e lo f e i n s t e i n sr e l a t i v i t yt h o e r y ，m i n k o w s k is p a c ec a t c h e s m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n s a t t e n t i o n c o m p a r e dw i t he u c l i d e a ns p a c e ，m i n k o w s k i s p a c ei saf i r e - n e wf i e l d b e c a u s eo ft h ed i f f e r e n c eo fi t sm e t r i cf r o me u c l i d e a ns p a c e s ， m a n ye s s e n t i a lc o n c e p t si nm i n k o w s k is p a c ec h a n g eal o t t h i sm a k e st h ec o n c l u s i o n s o fs o m ep r o b l e m si nm i n k o w s hs p a c em u c hd i f f e r e n t w ea l w a y sc o n s i d e rt h ep r o p e r t i e s p o s s e s s e db ym i n k o w s k is p a c eb u tn o tb ye u c l i d e a ns p a c eb e c a u s et h e s ep r o p e r t i e sr e f l e c t t h ee s s e n c eo fm i n k o w s k is p a c em o r et h o r o u g h l y a c c o r d i n gt ot h i si d e aw es t u d yt w o t y p e so fs u r f a c e s ，i e ，h e l i c o i d a ls u r f a c e sa n dp s e u d o - u m b i l i c a ls u r f a c e s ，i nm i n k o w s k i 3 - s p a c e ah e l i c o i d a ls u r f a c ei nm i n k o w s k i3 - s p a c ei sd e f t n e da st h eo r b i to fap l a n ec u r v e u n d e ras c r e wm o t i o n d e p e n d i n go nt h ea x i sb e i n gs p a c e l i k e ，t i m e l i k eo rn u l l ，t h e r ea r e t h r e et y p e so fs c r e wm o t i o n s t h et h i r dc a s e ，i e ，c u b i cs c r e wm o t i o n ，i sm o s tp a r t i c u l u r b e c a u s ei t i sn o tar o t a t i o nt o g e t h e rw i t hat r a n s l a t i o na l o n gt h en u l la x i s ，b u tar o t a t i o n t o g e t h e rw i t hat r a n s l a t i o na l o n gan u l lc u r v ew i t hn o n z e r oc u r v a t u r e i nc h a p t e r3w ed i s t i n g u i s hh e l i c o i d a ls u r f a c e si nm i n k o w s k i3 - s p a c ei n t of i v ec a s e s a n dd i s c u s st w oc a s e su n d e rt h ec u b i cs c r e wm o t i o ni n t e n s i v e l y w ec h o o s eap s e u d o - o r t h o n o r m a lb a s i sa st h ec o o r d i n a t ef r a m ea n dp a r a m e t r i z et h em e a nc u r v a t u r ea n dt h e g a u s sc u r v a t u r ei nm o r es i m p l ef o r m i nf a c t ，t h em e a nc u r v a t u r ea n dg a u s sc u r v a t u r eo f a n yh e l i c o i d a ls u r f a c ea r ei n d e p e n d e n to nr o t a t i o np a r a m e t e r b a s e do nt h i sp r o p e r t y , b y s o l v i n gas e r i e so d e sw ec o n s t r u c tat w o - p a r a m e t r i cf a m i l yo fh e l i c o i d a ls u r f a c e su n d e r c u b i cs c r e wm o t i o nw i t hp r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r eo rg a u s sc u r v a t u r ea n ds o l v ea no p e n p r o b l e ml e f tb yb e n e k i t h u s ，c o m b i n i n gt h i sw o r kw i t hb e n e k i sw o r k w ep r o v et h a t t h e r ee x i s ta n yt y p eo fh e l i c o i d a ls u r f a c ew i t hm e a nc u r v a t u r eo rg a u s sc u r v a t u r eb e i n g a n ys m o o t hf u n c t i o n m o r e o v e r ，w ed i s c u s ss o m eg e o m e t r i c a lp r o p e r t i e sa b o u th e l i c o i d a l s u r f a c e si nm i n k o w s k i3 - s p a c e a p s e u d o - u m b i l i c a ls u r f a c e si nm i n k o w s k i3 - s p a c ei sd e f i n e da sas u r f a c ew i t ht h e m e a nc u r v a t u r eha n dg a u s sc u r v a t u r ek s a t i s f y i n gh 2 = kf l o c a l l y , s u r f a c e sw i t ht h i s p r o p e r t yi ne u c l i d e a n3 - s p a c ec a nb ec l a s s i f i e di n t op l a n sa n dt w os p h e r e s ) i nc h a p t e r 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 4 ，b yc h o o s i n gt w of a m i l i e so fn u l lc o o r d i n a t ec u r v e s ，w ep r o v et h a ta n yp s e u d o - u m b i l i c a l e u t f f ei nm i n k o w s k i3 - s p a c ei san u l ls e r o u m o r e o v e r ，w ec l a s s i f yp s e u d o - u m b i l i c a l s u r f a c e si nm i n k o w s k i3 - s p a c ei n t ot h ef o l l o w i n gc a s e s ： s p a c e l i k ec f l s e ：h y p e r b o l i cs p a c eh 2 s p a c e l i k ep l a n t i m e l i k ec a s e ：n u i ls e r o l l t i m e l i k eu m b i l i c a ls u r f a c e ：d es i t t e r2 - s p a c e 研，t i m e l i k ep l a n 一g e n e r a l i z e du m b i l i c a ls u r f a c e ：b s c r o l l 一n u l ls c r o l lw i t hs h a p eo p e r a t o r 一6 ) 2 ( 6 c o n s t a n t ) o b v i o u s l y ，t h el a s tt w ot y p e so ft i m e l i k ec a s e sh a v en oc o u n t e r p a r t si ne u c l i d e a ns p a c e e s p e c i l l y , w ep r o v et h a ta n yp s e u d o - u m b i l i c a lh e l i c o i d a ls u r f a c ei nm i n k o w s k i3 - s p a c ei s ab s c r o l l k e yw o r d s ：m i n k o w s k is p a c e ；h e u c o i d a ls u r f a c e ；c u b i cs c r e wm o t i o n ；p s e u d o - u m b i l i c a ls u r f a c e ；n u l ls c r o l l i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名 日期：一 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名： 垒盆童笙 导师签名：逸生笙 丛16 年具互l 口 1 绪论 1 9 0 0 年，在巴黎举行的国际数学家大会上，德国数学大师h i l b e r t 在讲演的开始就 说：”揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢? ”接着，他提 出了2 0 世纪需要解决的2 3 个数学问题现在，2 0 世纪已经过去，百年来数学面纱一 层层被揭开自然科学尤其是物理学的推动，以及电子计算机的出现，改变了人类社会 的生活方式，也改变了数学本身数学技术渗入到各行各业h i l b e r t 问题多半已经有了 结果在过去的一百多年里，数学科学一日千里地发展，在探索自然奥秘和推动社会发 展中做出了难以估量的贡献回首数学百年，让整个数学界为之兴奋不已的大事层出不 穷尤为难忘的是2 0 世纪初期，e i n s t e i n 的相对论把新时代的几何学推到了科学的最 前沿四维时空的狭义相对论，产生了m i n k o w s k i 空间几何弯曲时空的广义相对论， 使得张量分析，黎曼几何，高维几何成为物理学革命的工具我们生存的宇宙空间，可 以用r i e m a n n 在1 8 5 4 年创立的高维流形和曲率理论来描述人们不禁惊叹造化之工， 数学之巧 1 1 本文研究背景介绍 1 1 1 m i n k o w s k i 空间与相对论 回首2 0 世纪，我们会发现；在科学的分支愈分愈细，日益丰富的同时，各分支的交 叉与渗透也在一步步的走向深入这两种趋势相辅相成，使得上个世纪的科学发展蔚为 大观微分几何与理论物理作为数学和物理的两大分支，有着天然的渊源二者都用微 积分作工具，一者研究几何现象，一者研究物理现象后者虽然广泛些，但任何物理现 象都在空间发生，所以前者又是后者的基础微分几何与理论物理的这种渊源，决定了 二者能够相互促进，又往往殊途同归 上个世纪最激动人心，也最引入注目的科学理论无疑是相对论而相对论可以说是 数学家和物理学家共同努力的结果1 8 9 9 年荷兰数学家，物理学家l o r e n t z 在运动 物体中光电现象的简明理论中对他的电动力学理论作了数学上的处理，引入了一种新 的坐标变换1 9 0 4 年他又专门为此发表一篇论文，题目就是l o r e n t z 变换第二年 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 e i n s t e i n 创立了狭义相对论，所用的数学工具就是l o r e n t z 变换1 9 0 7 年m i n k o w s k i 得 到完美表述狭义相对论的数学时空观，1 9 0 8 年在德国科隆举行的科学年会上以空间 和时间为题进行了演讲，宣告了m i n k o w s k i 空间的建立根据m i n k o w s k i 的思想，同 一现象的不同描述能用极其简单的数学方式表出，l o r e n t z 变换只是一种把标准正交基 变到另一组标准正交基的线性变换他通过公式 d s 2 = c 2 d 2 一d 。2 一d 2 一如2 ，c 为光速 对狭义相对论给予巧妙的几何学意义，因此这一空间被人们称为”m i n k o w s l 【i 空间” 不久e i n s t e i n 以此为基础进一步研究引力场理论，最终于1 9 1 5 年创立了广义相对 论作为一种引力理论，广义相对论将引力场和时空结构联系起来，引入四维l o r e n t z 流 形作为现实时空的模型，其目的是把引力场及其作用加以几何化，因此广义相对论被认 为是引力的几何理论 1 1 2 m i n k o w s l 【i 空间中的w e i n g a r t e n 超曲面 作为相对论的时空模型，m i n k o w s k i 空间始终备受数学界和物理学界的关注而 m i n k o w s k i 空间中的子流形理论一直是几何学界关心的重要课题相对于我们最熟悉的 e u c l i d 空间，m i n k o w s k i 空间是一个全新的领域由于度量的不同，导致了一些基本概 念，诸如向量，标架，点的运动有了质的变化，特别是类光向量的出现，使得一些问题 的结果往往是出人意料和超乎想象的这也就决定了m i n k o w s k i 空间中的子流形理论与 e u c l i d e a n 空间相比有着更为复杂而丰富的结论。对于m i n k o w s k i 空间，由于度量的变 化，一些在e u c l i d e a n 空间看起来很简单的问题在这里往往变得很复杂也正因为一些 基本的问题( 如：向量间的夹角) 尚未讨论清楚，使得所得到的结果相比e u c l i d 空间要 零散一些在这种背景下，对m i n k o w s k i 空间中的超曲面，特别是w e i n g a r t e n 超曲面的 研究就显得相对集中 m i n k o w s k i 空间中主曲率a l ，一，a 。满足非平凡的关系式；f ( a l ，一，a 。) = 0 的超 曲面称为w e i n g a r t e n 超曲面这里，我们简要介绍一下m i n k o w s k i 空间中几类常见的 w e i n g a r t e n 超曲面的研究概况( 参阅文献【1 5 9 1 ) 等参超曲面 等参超曲面是最特殊的一类w e i n g a r t e n 超曲面，这类超曲面的主睦率均为常数严 格的说，每一点形状算子的最小多项式都相同的曲面称为等参超曲面e u c l i d e a n 空间 中的等参超曲面可分为三类，即超平面，超球面和柱面【1 ，而m i n k o w s k i 空间中的等参 超曲面的分类要更复杂一些，这是由其形状算子所决定的 2 大连理工大学博士学位论文 由于m i n k o w s k i 空间中类时超曲面的形状算子在一般意义上是不能对角化的【2 】( 类 时曲面的形状算子合同与四类矩阵，其中三类不是对角矩阵) ，这一点使得很多几何学者 对其产生兴趣早在1 9 7 9 年g r a v e s 【3 1 就发现了三维m i n k o w s k i 空间中的一类特殊的 以类光直线为母线的直纹面一b s c r o l l ，这类曲面形状算子的最小多项式为扛一口) 2 ，其 中a 为常数这类曲面在e u c l i d e a n 空间中是没有对应概念的因此引起了相当的关注 4 - 1 2 1 实际上，b - s c r o u 是三维m i n k o w s k i 空间中的一类等参超曲面，尽管当时还没 有人在m i n k o w s k i 空间中定义等参超曲面此后，n o m i z u1 1 3 】于1 9 8 1 年在m i n k o w s k i 空间中引入了等参超曲面的概念并讨论了相应的c a r t a n 条件h a h n1 1 4 在1 9 8 4 年 将n o m i z u 的结果推广到伪r i e m a n n 空间，并给出了一些例子事实上，m i a k o w s k i 空 间中的类时等参超曲面具有与e u c l i d e a n 空间相同的c a r t a n 条件即m i n k o w s k i 空间 中的等参超曲面至多有一个非零的主曲率在此基础上， m a g i d 【1 5 在1 9 8 5 年给出了 m i n k o w s l d 空间中类时等参超曲面的一种分类除了e u c l i d e a n 空间中等参超曲面相对 应的超平面，超球面( 不定度量意义下的超球面) 和柱面之外还有四类形状算予不能对 角化的情况， m a g i d 分别将其定义为两类广义柱面和两类广义全脐超曲面此后x i a o 1 16 在1 9 9 9 年给出了h n + 1 中等参超曲面的分类，并讨论了其上的一些几何性质有关 e u c l i d e a n 空间和m i n k o w s k i 空间中等参超曲面的其它工作，可参阅【1 7 - 2 2 】 w e i n g a r t e n 旋转超曲面 最初讨论的旋转超曲面多为三维m i n k o w s k i 空间中的常平均血率曲面k a b a y a s h i 23 和v a nd e v e e s t y n e 【2 4 1 分别在1 9 8 3 年和1 9 9 0 年讨论了三维m i n k o w s k i 空间中的 极大和极小曲面，对于相关的b e m s t i e n 问题，c a l a b i 【2 5 】，c h e n g 和y a u 【2 6 】解决了 类空的情况；m i l n o r 2 7 ，m a g _ i d 【2 8 】解决了类时的情况a k u t a g a w a 和n i s h i k a w a 2 9 于1 9 9 0 年给出了具有给定平均曲率的类空曲面的方程i n o g u c h i 3 0 运用有限型体调 和映射和分裂四元数理论讨论了常平均曲率和常g a u s s 曲率的类时曲面，给出了曲面的 基本方程 上世纪8 0 年代开始，很多学者关注m i n k o w s k i 中的旋转超曲面，并且得到了一系 列很好的结论h a n o 和n o m i z u 3 1 1 于1 9 8 4 年完成了三维m i n k o w s k i 空间中常平均 曲率旋转曲面的分类 m o r i 3 2 】和l i u 3 3 】分别讨论了三维d es i t t e r 空间研和三维 a n t i - d es i t t e r h 空间中的极小和极大旋转曲面及其稳定性质，并在此基础上完成了簧 和日3 中的常平均曲率旋转曲面的分类 3 4 - 3 5 d oc a r t o n 和d a j c z e r 3 6 】将日3 中的 旋转曲面推广为n 维a n t i d es i t t e r 空间h ”中的旋转超曲面，并讨论了极小曲面的特 例及曲面的稳定性质 如何通过寻找相应的生成曲线，进而构造给定平均曲率的旋转超曲面，一直是一个饶 3 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 有兴趣的同题d e l a u n a y1 37 于1 8 4 1 年证明：一条圆锥曲线在其所在平面内沿一条直线 滚动，其焦点的轨迹曲线绕该直线旋转所生成的曲面均为常平均曲率旋转曲面反过来，除 了球面之外，任意常平均曲率旋转曲面均可由此方式生成这一结论称为d e l a u n a y 定理 1 9 8 1 年h s i a n g 和y u 3 8 】将d e l a u n a y 定理推广到n + l 维e u c l i d e a n 空间中的常平均曲率 旋转超曲面此后，h s i a n g 3 9 与s t e r l i n g 【4 0 】分别于1 9 8 2 年，1 9 8 7 年证明：d e l a u n a y 定 理对于冗”1 和舻+ 1 中的印型w e i n g a r t e n 旋转超曲面仍然成立( 所谓印型w e i n g a r t e n 旋转超曲面是指主曲率a l ，a 。满足印( 1 7 一，a 。) =a 小，a 1 z 礼 t l 0 分别是坐标平面o e l e 3 ，o e ：3 中的两条生成曲线7 】( u ) 和讹( u ) 经过以e 3 为旋 转轴，符距h 0 的螺旋运动分别生成曲面： s 1 ： r ( u ，u ) = ( us i n h ，u c o s h ，f ( u ) + h v ) ，札 0 ，v r 岛： r ( “，v ) = ( u c o s h v ，u s i n h v ，( “) + h v ) ，u 0 ， r s 1 和岛分别称为e 中的第一类和第二类螺旋面 1 8 ( 3 1 ) ( 32 ) 大连理工大学博士学位论文 设 7 a ( u ) = ( ，( “) ，u ，0 ) ，u 0 是坐标平面o e 。e ：中的生成曲线加( u ) 经过以e 1 为旋转轴，符距h o 的螺旋运 动生成曲面： 岛： r ( t ， ) ：( ，( “) + h v ，c o s v ，“s i n v ) ， u 0 ，钉r ， ( 3 3 ) 岛称为研中的第三类螺旋面 取伪正交标架1 0 ；1 ，e 2 ，黾】( 类光，类空，类光) ，设 h ( u ) = ( ，0 ，( “) ) ，u 0 7 5 ( u ) = 【0 ，“，f ( u ) ) ， 0 分别是坐标平面0 e 。e 3 ，p 而南中的两条生成曲线 讯( u ) 和( u ) 经过以e 3 为旋 转轴，符距h 0 的螺旋运动分别生成曲面： s 4 ：小，”) = ( u + 地“”+ 警，( u 卜丁u v 2 一警) ，u o , v er ( 3 。) s r ( 叩) = ( u + 警 ，( u ) - - u v - - 警) ，u o , v er ( 3 5 ) & 和既分别称为研中的第四类和第五类螺旋面 3 2 2 研中螺旋面的平均曲率与g a u s s 凸率 第一类螺旋面s 1 的第一基本形式，第二基本形式分别为： j = ( 1 + ，2 ) 出，+ 2 h f d u d v + ( 2 一u , 2 ) d r 2 i i = 吲一 _ u f ”d u 2 + 2 h d u d v - i - u 2 ，d v 2 其中 d = e g f 2 = h 2 一让2 ( 1 + ，7 2 ) 则其平均曲率与g a u s s 曲率分别为： 日= 业坐写旃趔 ( 3 。) 耳一- u a 矿f f - h 2 ( 3 7 ) 1 9 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 第二类螺旋面岛的第一基本形式，第二基本形式分别为： ，= ( ，“一1 ) d u 2 + 2 h f d u d v + ( h 2 + i t 2 ) d r 2 = i d 一 u ，d u 2 2 h d u d v 一“2 ，d v 2 其中 d = e g f 2 = u 2 ( ，“一1 ) 一h 2 则其平均曲率与g a u s s 曲率分别为t h = 业型高斋塑血 = 哥 第三类螺旋面岛的第一基本形式，第二基本形式分别为： f = ( 1 一，“) d u 2 2 危，7 d u d v + ( n 2 一h 2 ) d r 2 口= i d i 一 【u ，”d u 2 2 h d u d v + 让2 ，d v 2 其中 d = e g f 2 = u 2 ( 1 一，口) 一h 2 则其平均曲率与g a t l s s 曲率分别为： h = u ，”( u 2 一 2 ) 一2 h 2 ，7 一u 2 ，( ，“一1 ) 2 d i d l l 7 2 = 驾茅 ( 38 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 第四类螺旋面& 的第一基本形式，第二基本形式分别为： j = 2 ，d u 2 + 2 h f 7 d u d v + “2 d v 2 口= i d i 一 u ，”d u 2 + 2 h f 7 d u d v + ( h 2 f 7 一t t 2 ) d r 2 其中 d = e g f 2 = 2 u 2 ，7 一 2 ，心 则其平均曲率与g a u s s 曲率分别为： 日= 罨等d 嘲 2 d il i 大连理工大学博士学位论文 = 型芝铲 第五类螺旋面s 5 的第一基本形式，第二基本形式分别为： i = d u 2 牟2 h f d u d v 一2 h u d v 2 口= l d i 一 ( 一h y d u 2 + 2 h d u d v + h 2 y 7 d v 2 ) 其中 d = e g f 2 = 一2 h u 一危2 ，。 则其平均曲率与g a u s s 曲率分别为： h ：h 2 ，( 2 u f - f ) 2 d i d i k = 型器p 综上可知：五类螺旋面的平均曲率与g a u s s 曲率都是关于u 的单参数形式 参数 无关则有： ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 与旋转 命题3 5 e 中的任意螺旋面都是由生成曲线和符距唯一确定的，因此，其平均曲率 与g a u s s 曲率可表示为： h = r l ( u ，h ) k = r 2 ( “，h ) 从( 31 2 ) ，( 3 1 4 ) 中容易看出：对于以类光向量为轴的两类螺旋面，其平均曲率是 否为零是由其生成曲线决定的，而与符距无关于是，我们有 定理3 2 研中的任意以类光向量为轴的极小螺旋面s ，英符距任意伸缩时，s 保 持极小性不变 3 3 e 中给定平均曲率或g a u s s 曲率的螺旋面 针对命题3 5 ，从相反的角度考虑，当平均曲率h 或g a u s s 曲率给定时，也可由 日或k 来确定生成曲线，进而确定螺旋面，这是本章主要讨论的问题事实上，当平均 曲率或g a a i s s 曲率确定为光滑函数h ( u ) 或k ( u ) ，且符距给定为h 时，上述螺旋面的 平均曲率或g a u s s 曲率的表达式( 36 ) 一( 3 1 5 ) 可看作关于f ( u ) 的方程，通过解方程即可 确定生成曲线，进而构造平均曲率为h ( u ) 或g a u s s 曲率为g ( u ) 的双参数族螺旋面 2 1 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 3 3 1给定平均曲率或g a u s s 曲率的以非类光向量为轴的螺旋面 b a i k o u s s i s 与k o u f o g i o r g o s 在 5 4 】中讨论了三维e u c l i d e a n 空间中的螺旋面 s ： r ( u ，v ) = ( 乱c o s ，钍s i n v ，f ( u ) + h v ) ， u 0 ，u r 通过求解有关平均曲率和g a u s s 曲率的两个方程，在局部上构造了平均曲率或g a u s s 曲 率为给定光滑函数的双参数族的螺旋面，其生成曲线分别为： 1 ( 札，日( “) ，h ，e l ，c 2 ) =(邮，士_ifhdu-2+cllv磊(u2+h2)晚) 7 c u ，k c “， ，c - ，c 2 ，= ( “，。，士j 厂： d u + c 2 ) o l ，c 2 是积分常数 b e n e k i 、k a i m a k a m i s 和p a p a n t o n i o u 兰人考虑了研中的螺旋面，得到如下定理： 定理33 设【0 ；e l ，e 2 ，e 3 】是一组正交标架( 类时，类空，类空) ，h 是给定的非零实 常数，日0 ) 为定义在，上的实值光滑函数则对于任意“o i ，存在，的包含的 开子区间i ，及定义在，上符距为h ，平均曲率为日( ) ，以8 3 为旋转轴的双参数族 的第一类类空螺旋面( 或第一类类时螺旋面) ，其生成曲线为 7 ( 牡，日( ) ，h ，c 1 ，c 2 ) =d u + c 。1 。1 ，c 2 是积分常数 定理3 4 设 0 i e l ，e 2 e 3 】是一组正交标架( 类时，类空，类空) ，h 是给定的非零实 常数，k ( u ) 为定义在，上的实值光滑函数则对于任意4 0 i ，存在，的包含u o 的 子区间i ，及定义在1 7 上符距为h ，g a u s s 曲率为( “) ，以e 3 为旋转轴的双参数族 的第一类类空螺旋面( 或第一类类时螺旋面) 。其生成曲线为 伽，m 如旧，= h 士： c l ，c 2 是积分常数 如+ q 1 定理3 5 设【d ；e l ，e 2 ，e 3 】是一组正交标架( 类时，类空，类空) ，h 是给定的非零实 常数，日( “) 为定义在上的实值光滑函数则对于任意u o ，存在j 的包含札。的 2 2 大连理工_ 大学博士学位论文 开子区间，及定义在，上符距为h ，平均曲率为h ( u ) ，以e 3 为旋转轴的双参数族 的第二类类空螺旋面( 或第二类类时螺旋面) ，其生成曲线为 7cu，hcu，亿c，龟，=，一，flfhd。u2+cll。；：(焉h2+u2)du+啦) c 1 ，。2 是积分常数 定理3 6 设【0 ；e l ，e 2 ，e 3 是一组正麦标架( 类时，类空，类空) ，h 是给定的非零实 常数，g ( u ) 为定义在i 上的实值光滑函数则对于任意u o i ，存在，的包含u o 的 子区间1 7 ，及定义在1 7 上符距为h ，g a u s s 曲率为k ( u 1 ，以e 3 为旋转轴的双参数族 的第二类类空螺旋面( 或第二类类时螺旋面) ，其生成曲线为 7 c 札，c u ， c ，c z ，= 0 , u , - - i - 1 c 1 ，c 2 是积分常数 咖+ c 2 1 ， 定理37 设【0 ；e 1 ，e 2 ，e 3 是一组正交标架( 类时，类空，类空) ，h 是给定的非零实 常数，日( “) 为定义在，上的实值光滑函数则对于任意u o i ，存在j 的包含u o 的 开子区间，及定义在，7 上符距为h ，平均曲率为h ( u ) ，以。1 为旋转轴的双参数族 的第三类类空螺旋面( 或第三类类时螺旋面) ，其生成曲线为 7 ( ，日扣) ，h ，c 1 ，c 2 ) = d u + c 2 ，“，0i c i ，c 2 是积分常数 定理3 8 设【0 ；e l ，e 2 ，e 3 】是一组正交标架( 类时，类空，类空) ，h 是给定的非零实 常数，( u ) 为定义在i 上的实值光滑函数则对于任意u o ，存在，的包含“o 的 子区间i ，及定义在j 7 上符距为h ，g a u s s 曲率为k ( u ) ，以e l 为旋转轴的双参数族 的第三类类空螺旋面( 或第三类类时螺旋面) ，其生成曲线为 1 c u ，k ( 让， ，c - ，啦，= f ，士1 c 1 ，c 2 是积分常数 + 0 2 ，“，0l 由于上述定理证明的程序与第四，五类螺旋面的对应问题大致相同，我们这里仅给出 方程( 3 6 ) 一( 3 1 1 ) 的解法，剩余证明不再赘述，证明的详细过程和相关例子可参阅【5 8 】 三维m i n k o w s k i 空间中的螺旋面和伪全脐曲面 设s 为研中的一次螺旋面，s 的参数方程为( 3 1 ) 一( 3 3 ) 中之一令 f u 2 ，7 i h 2 一u 2 ( 1 + f 2 ) l _ 1 2 ，s 为第一类螺旋面， a = 一u 2 f 弘2 ( ，“一1 ) 一h 2 i _ 1 2 ，s 为第二类螺旋面， 【舻，i u 2 ( 1 一，墙) 一h 2 l 一”， s 为第三类螺旋面， f ( u 2 ，“一 2 ) i 2 一u 2 ( 1 + ，詹) i ，s 为第一类螺旋面 b = ( “2 f “一h 2 ) f 铲( ，“一1 ) 一 2 r 1 ，s 为第二类螺旋面 【( 札2 ，忍+ 2 ) e u 2 ( 1 一，2 ) 一 2 r _ 1 ，s 为第三类螺旋面 对于札( 0 ，+ o 。) ，由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 和( 3 1 0 ) 我们得到 从而有 ，( u ) = 士 主l f h d u 2 + c 1 t 正 ，h d u 2 + c 1 士衄警 2 u h = a 三三毛焉u + 旬，s 为第一类螺旋面 i ( h 2 + u 2 ) ：三i u + c 。，s 为第二类螺旋面 ( u 2 - h 2 ) ；如慨三一面 对于u ( 0 ，+ o 。) ，由( 37 ) ，( 3 9 ) 和( 3 i i ) 我们得到 从而有 其中 ，( u ) = 2 u k = b 士1(h2-u1)乒(fkd呼u2+c1)+eu2du+s为第一类螺旋面 士：v 互三量夏手耍至霎再+ 白，s 为第二类螺旋面 士： 互三三至笋喜至雾乩+ c 。，s 为第三类螺旋面 s 为类空曲面 s 为类时曲面 大连理工大学博士学位论文 c z ，c 2 是积分常数这样，我们得到了方程( 3 6 ) 一( 3 1 1 ) 的通解证毕 例3 1 h = 0 ，k = - 0 一u 2 ) _ 2 的第一类类空螺旋面( 如图3 1 ) ： r ( ，v ) = ( u s i n h v ，u c o s h v ，口) ，o 锃 0 ：u r 例3 3 h = 0 ，k = ( 1 一u 2 ) 2 的第三类类时螺旋面 r ( u ， ) = ( u ，t c o s y ，u s i n v ) ，0 0 ，以及f