（理论物理专业论文）自组织临界现象的热力学分析.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 相变与临界现象是物理学中极为重要的研究领域，如铁磁体j 颐磁体间的转变， 导体和超导体的转变，正常流体和超流体的转变等，都属于临界现象。本文就是 在平衡相变的基础上引出了非平衡相变，并介绍了通常的处理相变和临界现象的 方法。着重讨论了其中的一类非平衡系统在临界点所表现出来的行为一自组织临 界现象，以及它的由来，发展和现状。并以具体实例，即b t w 模型来模拟分析其 在临界点所具有的特性。 首先，研究了一维沙堆和二维沙堆所表现出来的自组织临界现象及其特有的 幂律特性。 又用h u r s t 提出的重标极差法( r s 法) 剖析了在沙堆的一系列沙崩过程中， 前后沙崩具有一定的关联性，即系统具有长期记忆效应。同时通过模拟还发现， 当系统演化到临界状态会导致大规模沙崩的发生，此时关联长度趋于无穷大，局 部的微扰会影响整个系统导致“雪崩”事件的发生。 另外，应用相空间重构法对沙崩规模进行时序分析，发现选取恰当的延迟时 间后，当重构相空间维数达到5 时，关联维数不再增加，几乎达到一个不变值 0 0 0 4 3 。将此沙堆系统扩展到更高维空间有利于发掘一些未知的因素，促进研究的 进一步发展。 最后，着重从热力学的角度出发，将b t w 沙堆系统作为个几何热力学系统， 研究了在沙堆的形成，演化直至沙崩这一系列过程中，系统能量，熵和自由能的 变化及它们之间的关系。研究表明，在沙堆的形成过程中，系统的能量与总熵总 体上是增加的，当系统达到临界点导致雪崩发生对，则会引起能量和总熵的降低， 而熵密度则显著上升。在这里采用结构熵和几何热力学来处理自组织临界现象， 不仅是对临界理论的一个发展，而且对复杂现象的研究也有深远的意义。 关键词：b t w 模型，自组织临界性，雪崩；r s 分析，相空间重构，结构熵 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t p h a s et r a n s i t i o n sa n dc r i t i c a lp h e n o m e n aa r et h ee x t r e m e l yi m p o r t a n tr e s e a r c h f i e l d s ，s u c ha st h et r a n s i t i o nb e t w e e nf e r r o m a g n e ta n dp a r a m a g n e t ，c o n d u c t o ra n d s u p e r - c o n d u c t o r , n o r m a l l i q u i da n ds u p e r - l i q u i d ，e t c ，w h i c ha r ea l lb e l o n gt oc r i t i c a l p h e n o m e n a t h i sa r t i c l e e d u c e st h en o n e q u i l i b r i u mp h a s et r a n s i t i o nb a s e do i l e q u i l i b r i u mp h a s et r a n s i t i o na n di n t r o d u c e st h eg e n e r a lm e t h o d sf o rd e a l i n gw i t hp h a s e t r a n s i t i o n sa n dc r i t i c a lp h e n o m e n a t h e nw ee m p h a s i z ep a r t i c u l a r l yo nt h eb e h a v i o ro f a s o r to fn o n e q u i l i b r i u ms y s t e ma tt h ec r i t i c a lp o i n t s e l f - o r g a n i z e dp h e n o m e n a , a n di t s o r i g i n ，d e v e l o p m e n ta n da c t u a l i t y t h e nw ec o m b i n ew i t he x a m p l e - - - b t wm o d e lt o s i m u l a t ea n da n a l y z ei t sc h a r a c t e r i s t i ca tc r i t i c a lp o i n t f i r s t , w er e s e a r c ht h es e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a lp h e n o m e n aa n di t sp r o p e rp o w e rl a w c h a r a c t e ro f o n e d i ms a n d p i l ea n dt w o d i ms a n d p i l e t h e n ，w ea n a l y z et h ea v a l a n c h eo ft h es a n d p i l eb yr e s c a l e dr a n g ea n a l y s i sw h i c h w a sb r o u g h tf o r w a r db yh e h u r s ta n df i n dt h ef o r m e ra v a l a n c h ea n dt h el a t t e r a v a l a n c h eh a v ed e f i n i t er e l a t i o n ，i et h es y s t e mh a st h el o n gt e r mm e m o r ye f f e c t b y s i m u l a t i o n , w ef i n dt h a tw h e nt h es y s t e me v o l v e st ot h ec r i t i c a ls t a t e ，l a r g es c a l e a v a l a n c h ew i l lh a p p e n ，t h e nt h ea s s o c i a t e dl e n g t hi si n f i n i t y , a n dl o c a lt i n yd i s t u r b a n c e w i l la f f e c tt h ew h o l es y s t e mw h i c hw i l li n t r o d u c et h ee v e n to f a v a l a n c h e f u r t h e r m o r e ，p h a g es p a c er e c o n s t r u c t i o ni su s e dt oa n a l y z et h et i m es e q u e n c co f a v a l a n c h es c a l e ，w ef i n dw h e nw ec h o o s ea na p p r o p r i a t ed e l a y e dt i m e ，a n dt h e d i m e n s i o n a l i t yo fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o na c h i e v e s5 ，t h ea s s o c i a t e dd i m e n s i o n a l i t y d o e s n ti n c r e a s ea n ym o r e t h ef i x e dv a l u ei s0 0 0 4 3 t oe x p a n das a n d p i l es y s t e mt oa h i g h e rs p a c ew i l lh e l pu st oe x h u m es o m eu n k n o w nf a c t o r s a n dp r o m o t et h ef u l - t h e r d e v e l o po f s e a r c h l a s t l y , w ea n a l y z et h es y s t e me m p h a s i z e do i 1t h et h e r m o d y n a m i c s , a n dl o o ko nt h e b t w s a n d p i l em o d e la sag e o m e t r i c a lt h e r m o d y n a m i cs y s t e m , a n dd e d u c et h ev 撕e t y o fe n e r g y , e n t r o p y ，f r e e - e n e r g ya n dt h e i rr e l a t i o no ft h es y s t e mi nt h ec o u r s eo ft h e f o r m a t i o n , e v o l v e m e n tu pt oa v a l a n c h eo f t h es a n d p i l e t h er e s e a r c hi n d i c a t et h a td u r i n g t h ef o r m a t i o no ft h es a n d p i l e ，t h ee n e r g yo ft h ee n t r o p yi si n c r e a s e da saw h o l e , w h e n t h es y s t e mr e a c h e st h ec r i t i c a lp o i n ta n dt h ea v a l a n c h eo c c l i l t e s ，e n e r g ya n de n t r o p ya r e d e c r e a s e d ，w h i l ee n t r o p yd e n s i t yi si n c r e a s e dr e m a r k a b l y h e r ew ea d o p tc o n f i g u r a t i o n e n t r o p ya n dg e o m e t r i c a lt h e r m o d y n a m i c st od e a lw i t ht h es e l f - o r g a n i z e dp h e n o m e n a , i i 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 w h i c hn o to n l yd e v e l o pt h ec r i t i c a lt h e o r yb u th a v eaf a r - r e a c h i n gm e a n i n gf o rt h e r e s e a r c ho fc o m p l e xp h e n o m e n a k e yw o r d s ：b t wm o d e l ，s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y , a v a l a n c h e ，r sa n a l y s i s ，p h a s e s p a c er e e o n s t m c t i o n ，c o n f i g u r a t i o ne n t r o p y i l l 重庆大学硕士学位论文 1 前言 本文所研究的关于自组织临界理论的内容，与“相变和临界现象”这个复杂的科 学领域有关。 相变与临界现象是物理学充满难题与意外发现的领域之一。从早期人类对物 质三态变化的朴素、直观的感性观察，到1 8 6 9 年安德鲁斯发现临界点，1 8 7 3 年范 德瓦尔斯提出非理想气体模型状态方程，对相变的实验和理论研究已有一百多年 的历史了。1 9 1 1 年发现的超导电现象，到了1 9 5 7 年才有了正确的理论解释。而三 十年代才发现的液体氦的超流效应，却在不到十年的时间里，就初步掌握了它的 基本规律。可是在人们用同样的经验来解释氦的另外一种同位素3 h e 的超流性质 时，却使实验物理学家们一再碰壁。而在1 9 7 1 年人们发现3 h e 具有三个超流相， 而不是一个。由范德瓦尔斯首先提出，以后以不同名称，不同形式发表了多次的 相变平均场理论，却于二十世纪后半叶愈来愈与精密的实验相违背。威尔逊因为 在相交和临界现象的“重整化”理论方面的贡献在1 9 8 2 年获得了诺贝尔物理学奖， “重整化”的方法在相变理论中已经成为一个很重要的工具和手段。然而这些研究都 是集中在平衡系统中。最近一些年来，对于非平衡体系中的相交问题，同样也激 起了人们极大的兴趣，并且取得了一定的进展。 对于任何宏观物体，我们知道它其中的电子、原子、分子数目，都是数以万 计的。对于宏观系统，即使知道了它的精确组成和全部微观的相互作用，也无法 写出全部力学方程和初始条件，因此力学也是无能为力的。而热力学则相反，它 是描述宏观系统的另外一套行之有效的方法。这就是使用温度、体积、能量、熵 等宏观量，以及比热、压缩率、磁化率等物质参数进行热力学描述。这种描述的 基础就是热力学的三条定律。统计物理则是联系微观和宏观这两方面的一套理论。 关于平衡态的统计力学，现在已经发展得相当地完善，它是基于一条最简单的假 设一等概率原理，然后给出各种系统的配分函数进而求出其它的各种热力学量。 其中最重要的一个热力学函数即为亥姆霍兹自由能 f = - k t i n z ( t ) ( 1 1 ) 其中z ( t ) 为配分函数，对于具体不同的系统配分函数有所不同。自由能的重 要意义在于：温度和体积一定时，系统处于平衡的条件，是自由能必须达到最小 值。从热力学的观点来说，自由能由两项组成 f = u t s( 1 2 ) 第一项内能u 反映了系统内部能量，它与微观状态的能量e ，不同，是对各种 状态平均后的结果。第二项是热运动和无序的宏观量度，其中出现了著名的熵s 。 重庆大学硕士学位论文 熵的概念是1 8 6 5 年德国物理学家克劳修斯引入的，它曾经引起多年的混乱和争议。 熵的统计解释主要是奥地利物理学家玻尔兹曼的功劳。玻尔兹曼在统计物理方面 的贡献为分子、原子观念奠定了基础。 相互作用导致有序和组成，热运动引起无序和混乱。这两种矛盾的倾向，在 统计物理中表现为e ，和翘的对比，在热力学理论中表现为u 和俗的消长。相变 是一种倾向盖过另一种倾向时发生的突交。 而对于一些非热力学系统，研究表明，在这些系统的自然演化过程中，同样 可以采用热力学的方法来分析，这些过程同样有相交的情况产生，并且在相变中 伴随有临界行为。在一些具体的非平衡非热力学系统中，这些临界点具有重要的 实际意义，在临界点的一侧，系统属于演化成型阶段，而在i 临界点的另一侧，是 暂时性的对系统的成型具有破坏性意义的过程，而这过程又是系统为进一步的自 然演化提供必要的准备。整个一系列过程的发生有可能需要外部参量的改变，有 可能是系统自发地自身调节的一种结果，对于后一种情况，就是本文将要分析的 自组织临界性( s o c ) 拉】。其范畴属于临界现象在非平衡系统中的体现，另外，它也 是近年来在复杂系统研究中的一个热门话题，它们能够解释许多已观察到的复杂 行为。本文的工作就是在这一思想的指导下开展的。 自组织临界理论的提出是为了解释无序的，非线性复杂系统的行为特征，是 控制大量广延耗散动力系统的普遍组织原则 2 】。该理论已成为现代非平衡态统计物 理学的最基本的概念之一，并有可能成为对自然界中一大类空间一时间域中的演 化过程进行解释的一个全新物理模型。 产生自组织临界性的系统，包含着众多的，发生短程相互作用的连锁反应能 对系统中大量数目的组元发生影响，从而导致大规模事件的发生。虽然这类系统 发生的小事件比大事件多，但是遍及所有规模的连锁反应是其动态特征的一个必 不可少的部分，因此所有的时空关联函数都是幂次( p o w e r - l a w ) 的【3 】。 自组织临界性的最简单的理想化模型就是钞堆模型”( s a n d p i l em o d e l ) t 3 1 ，沙 堆可以看作是一个带有局域相互作用和广延空问自由度的耗散动力系统。采用沙 堆的形成和演化来模拟自组织临界过程可以直观地看出系统在临界态所表现出来 的特殊的行为。 本文就是在自组织临界性的基础上对沙堆形成和雪崩发生时的几个问题进行 了系统的模拟和研究。 在第一部分，我们将临界现象的有关理论作了必要的介绍。 在第二部分我们首先对自组织临界现象作了详细的介绍，着重介绍了最早提 出的b t w 模型及相关的一些情况。 文章的第三部分介绍了历来对临界现象的一些处理方法，主要介绍了发展比 2 重庆大学硕士学位论文 1 前言 较成熟的平均场理论，标度律和重整化群理论，并讨论了它们各自的优缺点。 第四部分主要是自己的工作。首先用计算机仿真法对特定的b t w 模型验证了 s o c 所特有的幂律性，并对实验所模拟的系统得到了它的临界指数。 接下来又用h e h u r s t 提出的重标极差法( r s ) 对系统沙崩过程进行分析，发现 系统沙崩的发生是属于一个有偏随机行走行为，前面的沙崩会对后面的沙崩产生 直接的影响，也即此系统具有长期记忆效应。当大规模沙崩发生时，关联长度趋 于无穷大，外界的微小扰动会导致整个系统发生大规模的雪崩。 之后，我们把体现出自组织临界性的沙堆模型用相空间重构的方法扩展到更 高维空间，通过对沙崩规模的时序分析发现，当重构相空间维数为5 时，系统的 关联维数不再变化，从而得出了此沙堆系统的最小重构相空间。将此系统扩展到 高维空间有利于发现一些潜在的未知的信息。相信这部分工作的完善将有助于发 现一些我们未知的形成自组织现象的因素。 最后着重从几何热力学的角度定量地分析了在系统的沙崩过程中，系统的能 量，熵( 结构熵) 和自由能各自的变化情况及它们之问的关系，重点讨论了结构 熵的引入及在本文中的应用。解释了为什么系统在达到临界态后所发生的沙崩会 导致系统总熵增加而熵密度减少，同时释清了熵与系统无序度之间的关系。熵增 代表系统无序度的增加，而沙堆的形成是一个熵减少的过程，是系统自组织地趋 于有序化的过程。 在第五部分我们给出了本文的主要结论及其对以后工作的一些展望。 重庆大学硕士学位论文 2 相变和临界理论 2 相变和临界理论 在物质内部，相与相之间在结构、功能、性态等方面的差异是由于其内部有 序度和对称性的差别而引起的，这可用序参量来表征。广义而言，相变是物质系 统由一种稳定状态向另一稳定状态的跃迁过程。即是指当外场和控制参量连续变 化达到某个临界值而引起系统内部对称性的破缺和有序度的突变。临界点是相变 现象中的一个关节点，相变系统在临界点领域表现出了非常奇特的行为。当控制 参量和外场趋近于某个临界点时，系统在微观水平上调整着自身，预示着将出现 大的涨落。在i 临界点，反映系统有序度的序参量连续地出现或消失，某些物理量 出现了反常涨落和奇异发散。虽然各种纷繁的相变系统所含的变量有很大的差异， 但其临界行为都显示出了极大的相似性，不论其包含的物质和变量如何特殊，在 临界点领域它的变化规律和发展趋势是相同的，这就是临界现象。长期以来，对 临界现象的讨论一直在学术界是个热点话题。毕竟自然界中存在着丰富多彩的临 界现象，如引人注目的“临界乳光”：原来透明的气体或液体，在接近临界点时突然 浑浊起来，呈现一片乳白色。还有各种磁现象在l 临界点的转变等等。起初，对临 界现象的研究只局限于平衡系统。对于平衡系统来说，在临界点附近往往会发生 相变，相变是一个质变过程，或者说是某种物理特性的突变。尽管如此，但是总 可以找到物质在各相中的化学势相等这一条作为普遍的相平衡条件。平衡相变存 在着一级相变，或者二级相变，但不管是处于哪一级的相变，它们具有共同的特 点就是：有一个临界点t c ( 相交点) ，在乃以下序参量不为零，但当r 哼乃时序 参量趋于零；在临界点t = 乃处有对称的破坏，而且是跃变式的，它可能由原子 位移引起，也可能是由晶体有序程度的改变引起。正因为这一特点，朗道提出了 著名的平衡相变本质的理论解释。按照朗道的解释，不论一级相变或二级相变， 都是物质结构有序度的一种改变。在一级相变中，有序结构的破坏是突然发生的， 所以在相变过程中需吸收潜热。在二级相变中，有序结构的破坏是逐渐地连续地 发生的，在有序结构的逐渐的破坏的过程，物质从周围逐渐吸收热量，因此在转 变点没有大量吸收潜热的现象。但是，在二级相变中，有序结构破坏的速度逐渐 增加，温度较低时，有序结构的破坏较慢，所需要吸收的热量较少，随着温度的 升高，有序结构的破坏的速率越来越快，因而热容量突然增加，到了转变点，造 成“雪崩式“的破坏，此时所需要的热量突然增加，于是热容量发生改变。也就是说 一级相变是物态的突变，二级相变是同一物态中结构的对称突变。 但是，在我们周围的大多数类型的对称突变，都是在平衡状态下发生的吗? 其答案是否定的。无论是力学的，物理的，化学的，生物的等方面，都不乏临界 4 重庆大学硕士学位论文 2 相变和临界理论 相变发生的现象，如贝纳尔德实验中突然出现的对流现象，其实对流是日常生活 经常遇到的现象，它的出现不是由微而著，逐渐发展起来的，而是突然从无到有 发展的。还有在一些化学反应中突然出现的花纹图象等。所有这些现象所具有的 共同特征就是： 首先，它们是在远离平衡的非平衡区域中实现的，在近平衡的非平衡区是可 能实现的。而平衡相变是在系统处于平衡状态下实现的。 其次，非平衡转变也有一个特定阈值，而没有一个相转变范围。即只有一个 相变点，也即临界点，而不是一个相变区域。这点是与平衡相变相同的。或者说， 非平衡相变是突变式的，而不是量的积累，其无序有序突变的发生，与平衡态 二级相变性质相似，因而也可用类似二级相变所用的平均场理论来近似地描述。 第三，非平衡相变都是在同一物态中的相转变，而不涉及物态间的相转变， 当然也就没有物态转变时潜热的释放和吸收。也即是说，非平衡相变的这一特性， 与平衡相交中的二级相变雷同，而异于平衡相变中的一级相变。 第四，非平衡相变点两侧的性质，与平衡态二级相变两侧的性质相似，因而 其相变平衡性质可用范仑菲特方程 塑：望! 二望! ( 2 1 ) d t r v ( a 2 一1 ) 相类似的数学方程来定量地描述。 第五，非平衡相变后所形成的稳定有序的耗散结构本身，必须随时有外界的 能量和物质的补充，以有助于维持耗散结构本身的稳定，若一旦不能充分地供给 外界的能量和物质，耗散结构立刻瓦解。这是与平衡相变完全不同的。平衡相变 后的新结构，是不需要外界供给能量和物质来维持其稳定的。 本文所讨论的就是处于非平衡状态下沙堆系统的临界性，以及其在临界点附 近的行为。由于沙堆在趋于临界态的过程是个自组织过程，它在临界点表现出来 的特性就是自组织临界性。 在对临界现象处理的方法上，近几十年来取得了较大的进展，以对铁磁相变 的研究为例，铁磁相变的研究首先由居里开始的，明确了居里点【4 】；1 9 0 7 年，外 斯( p w e i s s ) 提出了顺磁铁磁相变的分子场理论 5 】，也称平均场理论来解释铁磁 相变；用平均场理论描述相变现象，定性基本正确，物理图象清晰直观，推导简 捷，成为进行粗略分析时的一个有价值的工具，但其结果与实际情况有时偏差较 大。1 9 3 7 年，朗道( l d l a u d a u ) 总结了平均场理论的实质，用序参量的幂次级 展开来表示相变点附近的自由能，从而提出了一种用来描述二级相变的唯象理论， 称为朗道理论【6 】。朗道理论可以对临界现象作定性解释，但定量上却和实验事实有 着明显的差别，这就引发了人们对临界现象进行了大量的理论和实验研究；1 9 6 5 重庆大学硕士学位论文2 相变和临界理论 年，威东( b w i d o m ) 在总结实验事实的基础上提出了标度性，指出了系统的热力 学函数在平衡相变临界点邻域将随临界距离和外场的变化而改变它的尺度，但其 函数的形式不变，这就是标度理论的基本思想。其数学表述为：热力学函数是约 化控制参量和外场的广义齐次函数。他运用这一思想得到了平衡相变临界指数间 的关系，即标度律，确定了在相变点附近各热力学量临界指数间的关系【7 】；1 9 6 6 年，卡丹诺夫( l e k a d a n o f f ) 提出标度变换的概论，试图从微观上论证标度假设， 并导出了与关联函数相关的f i s h e r 和t o s e p h s o n 标度律 s ，他在标度律的基础上提 出了普适性的概念：标度理论和普适概念的出现，较为清晰和准确地描述了平衡 相变系统趋于临界点的热力学行为，使平衡相变临界理论向前迈进了一大步。1 9 7 1 年，威尔逊( k g w i l s o n ) 进一步发展了卡丹诺夫的思想，把量子场论中的重整化 群方法用到标度理论中，论证了标度律和普适性的正确性，并提出了重整化群理 论1 9 j ，阐述了从微观上计算临界指数的方法，把相变理论的研究推向一个新的阶段， 使临界现象理论取得了突破性的进展，推动了临界理论的发展。但是所有这些方 法在处理平衡相变上比较成熟，在对非平衡相变的研究上还比较缺乏，大多数只 停留在定性的分析，真正地定量推求非平衡相变还需作迸一步的努力。 非平衡相变是非平衡系统由一个非平衡定态向另一个非平衡定态的跃迁过 程，其临界参考态是非平衡定态。非平衡相变问题与平衡相变问题一样地古老， 然而长期以来一直未引起人们的重视，直到本世纪六七十年代耗散结构理论 1 叭， 协同学理论【l ”，以及之后一些自组织理论 1 。”】的出现才引发了人们对非平衡相交 现象的广泛兴趣。由于涉及面广，渗透到了许多领域，其思想不仅在物理学中得 到了应用，在自然科学的其它学科中也有着应用。人们从不同的领域对之进行了 广泛地研究和讨论，在边缘学科，交叉学科甚至社会领域也有人进行了探讨。不 断发现其应用价值，这些都促进了非平衡相变理论的发展。然而临界现象是相变 理论的一个关键问题，由于非平衡相变系统与平衡相变系统的状态背景截然不同， 其结构及关联因素要复杂得多，非平衡临界的问题有其自身的特殊性，情况更复 杂，内容更丰富。就目前而言，人们对非平衡临界现象及其性质和规律的认识还 很不充分，特别是对非平衡临界的标度理论、演变机制、临界指数、标度律、普 适性以及非平衡相变临界巨涨落的触发机制和非平衡相变临界动态重整化等方面 的研究还有待深入。另一方面，虽然非平衡相变与平衡相变差异很大，其状态背 景截然不同，但它们的临界行为却有着许多相似，如临界慢化、有序度突变、对 称性破缺、关联发散、标度等价、临界巨涨落等等。这些共同特征绝非偶然巧合， 其问必有某种内在的联系。虽然已有许多学者开始着手于这类现象研究讨论【1 4 _ 2 0 】， 但就目前而言，非平衡相变临界理论还远未形成体系，对其临界现象的根源探讨 甚少，且大多仅限于定性或零散的讨论。 6 重庆大学硕士学位论文 2 相变和临界理论 本文就是从不同的几个方面对其中的一类非平衡相变临界现象即自组织临界 现象进行分析处理，着重从热力学的角度出发提出几何热力学的概念，将热力学 量推广到非热力学系统，并发现适用于热力学系统的规律同样也适用于非热力学 系统。在对自组织f 临界现象的分析中，我们借助于计算机仿真的手段，突破了原 来的只是从定性的角度处理非平衡相变的情况，用定量的方法对所研究的系统进 行分析，从一定意义上说也促进了非平衡相变研究的进展，有利于临界理论的发 展和完善。 重庆大学硕士学位论文3 自组织临界性概念 3 自组织临界性概念 由于本文所研究的临界现象是自组织临界现象，这是一种有别于一般意义的 临界现象，尽管这种现象在自然界和人类社会中一直存在，但它的提出只不过是 近二十年来的事。作为本文讨论的重点，有必要把这个概念先介绍一下。 3 1 自然界中的一种特殊规律一幂次规律 对于广大远离平衡态系统的动力学行为，如地震爆发强度的变化，河流的涨 落，交通的拥挤，股票指数的升降，生物的进化，山体的滑坡，雪崩等都表现出 动力学行为，因这类现象内部存在着随机性，动力学机制具有非线形性，导致其 运动规律表现出复杂性，对其研究起来比较困难。而从实验和观测中又得出规律 性。美国孟菲斯州立大学的约翰斯通和纳娃收集了美国东南部新马德里地区 1 9 7 4 1 9 8 3 年间的地震的数据 2 ”。他们发现，在双对数图上地震的大小的分布是一 条直线，这表明地震大小的分布是幂次的。而在经济这上同样发现了类似的规律。 曼德尔布罗特 2 2 - 2 4 】发现股票、棉花和其它许多商品的价格波动遵从一种极为简单 的模式，即列维分布，在双对数图上为一条直线。这表现价格波动也服从幂次分 布。 m a n d e l b o r t 用“分形这个词来描述那些没有特征标度的几何结构，他在许多领 域发现了分形现象，正是在对这些现象的特征的概括与总结的基础上，他才创立 了分形理论。仅以海岸线问题为例，1 9 6 7 年曼德布罗特在美国科学杂志上提 出这样一个问题：“英国的海岸线有多长? ”初看起来，这是个极其简单的问题，但 是要明确回答却极不容易。因为海岸线的长度取决于测量时所用的尺度，即海岸 线的结构是“标度无关的( s c a l ef r e e ) 。用不同基本标度的尺来测量海岸的长度会发 现，需要的计数的标尺数目与的大小6 ( 长度) 是一个幂次关系。与6 的关 系在双对数图上是一条直线，直线的斜率的负值就是海岸的分形维数d 。 另外一种被称为1 ，厂噪声f 2 5 】的现象在许多系统中都观察到了，这些系统包括 尼罗河，脉冲星，交通等等。英国地球物理学家赫斯特( j h u r s t ) 用了一生的时间 来研究尼罗河的水平面的变化。他发现高水平面的持续时间长短不一，各种时间 尺度都有。这个信号就是1 f 噪声。1 ，厂噪声表明各种时间尺度都会出现，如果根 据出现的频所有的时间尺度叠加成一个信号，会发现该信号的某个分量( 时间尺 度) 的强度与该时间尺度的大小成反比，即时间尺度大的出现的机会要少，时间 尺度小的出现的机会多一些，体现在双对数图上就是一条直线。 上述的几种现象在自然界是极其普遍的，而且这些现象看起来千奇百怪，似 重庆大学硕士学位论文3 自组织临界性概念 乎毫不相干。但是它们却有着许多共同之处，最根本的相似点在于：它们都是一 些统计规律，而且总可以找到一个量，这个量的分布在双对数图上是一条直线。 双对数图上的一个直线在数学上称之为“幂次定律”，即某个量( s ) 能表示为另一 个量s 的幂次： n ( s 1 = s 1 ( 3 1 ) 对于地震来说，s 可以表示地震释放的能量，而( s ) 则表示能量为s 的地震 出现的次数；对于海岸线来说，s 可以表示海岸线的，而( s ) 表示长度为s 的海 岸线的数量；对于分形的结构来说，f 指的就是分形维数，s 代表”维盒子的大小， 而( s ) 个n 维体需要的大小为s 的盒子填充的数量；对于i f 噪声来说， s 代表 时间尺度，而( j ) 度代表尺度s 出现的频率。一句话，一个简单的幂次定律把如 此众多，看似杂乱无章的现象联系起来! 幂次定律表明对于所观察的量而言没有一个特征尺度，各种大小的量均可以 出现。这一点可以从直线看出，因为直线上没有纽结。现有的物理规律似乎还无 法解释这一点。幂次规律的背后隐藏着什么样的物理机制? 有没有“普遍的机制在 支配着我们的自然界? 现有的许多理论，比如平衡系统的理论，混沌理论，都无 法说明为什么。试图研究这些开放的，拥有多个子单元且予单元间，子单元与外 界环境有着复杂的相互作用的动力学系统所产生的行为，必须抛弃简化论，还原 论的思想，寻找新的探索途径。诺贝尔尔物理奖获得者安德森( e w a n d e r s o n ) 曾 说过 m o r e i s d i f f e r e n t ( 多则不同) ! ”。 3 - 2 自组织临界性的提出、发展及研究现状 1 9 8 7 年，美国布鲁海汶国家实验室( b n l ) 的三名物理学家巴克( z b a k ) ，汤 超( c t a n g ) 和威森费尔德( k w i e s e n f e l d ) 在当年发表于美国物理评论快报 ( p h y s i c s r e n e w l e t t e r s ) 的一篇文章【1 7 】，第一次提出了自组织临界性( s o c ) 的 概念。 这篇文章的题目叫做“自组织临界性：l 厂噪声的一种解释( s e l f - o r g a n i z e d c r i t i c a l i t y ：a ne x p l a n a t i o no f1 f n o i s e ) ”。作者的最初意图只是想提出一种解释自 然界中极为常见的1 f 噪声谱。他们起初研究耦合摆，后来发现耦合摆的情形对于 不学物理的人来不容易想像，他们发现沙堆是更为形象的例子，于是便有了自组 织的经典模型一沙堆模型( s a n d - p i l em o d e l ) j 2 , 1 7 。 自组织临界性指的是一类开放的、动力学的、远离平衡态的、由多个单元组 成的复杂系统能够通过一个漫长的自组织过程演化到一个临界态，处于临界态的 一个微小的局域扰动可能会通过类似“多米诺效应”的机制被放大，其效应可能会延 伸到整个系统，形成一个大的雪崩。临界性的特征为：处于临界态的系统中会出 重庆大学硕士学位论文3 自组织临界性概念 现各种大小的“雪崩”事件，并且“雪崩”的大小( 时间尺度和空间尺度) 均服从“幂 次”分布。这种分布被称为自组织临界性的指纹( f i g e r p f i n t ) 。 在理解自组织临界性这个概念时，有两个关键方面要考虑：首先，这个临界 性根本不同于平衡态统计力学中的平衡相变的临界性。平衡系统的相变是通过调 节系统的某个参数而达到的，比如系统的温度。然而自组织临界性的产生不需要 调节系统的任何参数，它是通过系统内部的组元之间的复杂的相互作用而产生的， 不依赖于任何参数，纯粹是系统自身的种动力学。因而这临界性被称为自组织 的，不是依靠外部因素来干扰或驱使系统演化到临界态。其次，临界性体现了由 短程的局域相互作用导致的系统组元间的一种长程的时空关联，这种关联最终结 果体现为雪崩事件的“标度无关性”，由幂次规律所表征。 作为临界理论暨复杂性理论之一，自组织临界性理论具有以下几个特征： 第一，从某种意义上来说，它是不充分的。复杂性蕴藏着巨大的变化，这种 变化的存在排除了所有的细节都能被浓缩成数学方程的可能性。自组织临界性可 能解释为什么会存在着变化性，或者是哪种特别情况会出现，不可能解释某个特 定系统的某个特定的结果。 第二，自组织临界性理论是抽象的。譬如，一个关于生物演化的自组织临界 性模型从原则上来说应当能够描述演化的所有可能的情形，适用于大象，也适用 于猴子。因此，这个理论考虑的不是具体情形，也不亲睐于任何特例。 第三，它是一种新型的统计理论，不依赖于系统的初始任何细节部分，也不 会产生特定的细节。细节的变动不会影响系统的临界性。因此，它不描绘细致的 图像。 作为观察大自然的一种新方法，自组织临界性的主要目的是想要解释大自然 为什么是复杂的而不是简单的。它解释了自然界中某些普遍存在的结构，比如分 形，1 f 噪声等。它的应用范围也极其广泛，其中包括地震、脉冲星、黑洞、地貌、 生命演化、大脑、经济和交通等，大自字宙，小到基本粒子的层次。 自从巴克及其合作者于1 9 8 7 年组织临界性的概念以来，已经有成千上万篇关 于这方面的工作在各神杂志上发表。物理学家，生物学家，地质学家，经济学家， 计算机专家等各个领域的科学家纷纷把这种概念引入他们自身的工作领域，建立 了各种各样的模型，得到了许多令人关注的结果。许多实验室还利用沙堆，米粒 和泥土来开展s o c 实验方面的工作，有了很大的进展。随着十多年的发展，s o c 的研究手段也拓展了不少，除了计算机模拟以外，还包括平均场近似，微扰方法， 重整化方面和主方程的运用等解析手段。这些都极大推动了s o c 的应用和发展。 到目前为止，有关自组织临界研究的一些初步结论如下【2 6 l ： 1 组织临界性存在的依据 重庆大学硕士学位论文 3 自组织临界性概念 场量在时间上和空间上具有幂律分布( p o w e r - l a wd i s t r i b u t i o n ) 。幂律反映自相 似性( s d s s i m i l a r i t y ) ，它是标度不变性( s c a l ei n v a r i a n c e ) 和分形( f r a c t a l ) 之源。 场量的时空幂律分布是自组织临界性的证据，它指出系统已经而且正在自组织成 临界状态。 2 自组织临界状态的涌现机制 远离平衡的广延耗散系统自发向临界状态演化的自组织过程具有如下的动力 学机制： 多组成及作用过程的非线性相互作用的多重耦合与叠加。 自组织临界性的形成具有”元胞自动机“的动力学机制。 当来自随机介质的，在多重标度上相互作用的微扰( 涨落) ( 包括能量，动量 或质量) 持续旌加于开放的复杂系统时，它们将引发其中的多组成耦合系统的相 干与协同动力学，及多重耦合过程的相互作用动力学。微观上，由于子系统的最 近邻之间在三维空间上的高度多重连结( h i g h l ym u l t i p l y - c o n n e c t e dt o p o l o g y ) 和 非线性相互作用而产生增值过程”，包括“反复扩张”( i t e r a t e d a m p l i f i c a t i o n ) 和“持 续脉动”( s e q u e n c eo f s c a l e dp u l s e s ) ，并通过“多米诺效应”( d o m i n oe f f e c t s ) 和连 锁反应而将强化了的微扰传播而波及全系统。然而经过持续的驰豫和衰减，系统 自我调节以适应扰动，直到在总体守恒( g o l b a lc o n s e r v a t i o n ) 的条件下，使能量， 动量和质量的运输达到稳健的非平衡定态( n o n - e q u i l i b r i u ms t e a d ys t a t e ) 。这就是 复杂系统的自组织临界状态。 3 时空分形和长程时空关联与连通性 空间上的分形反映为空间分形结构，而时间序列上的幂律功率谱则反映为时 间分形结构。空间分形结构和1 f 噪声分别为自组织临界性的空间和时间上的“指 纹”。时空分形结构可以看作自组织临界性在特定时刻和空间构形中的定格摄像 ( s n a p s h o t s ) ，物理时空是四维的分形连续系统( f r a c t a lc o n t i n u u m ) ，简称“分形时 空”( f r a c t a ls p a c e t i m e ) ，并可形象化为“变焦时空”( z o o ms p a c e - t i m e ) 。 在临界点附近，不同空间点上的微小涨落突然扩大而导致空间上的关联，其 平均长度称为“关联长度”( c o r r e l a t i o nl e n g t h ) 。同样，在临界点附近，不同时间 上的微小涨落也突然扩大而导致时间上的“关联时间”。逼近临界点时，时间上和空 间上的关联时间和关联长度突然发生一定程度的发散从而出现“长程时空关联” ( l o n gr a n g es p a t i a l t e m p o r a lc o r r e l a t i o n ) ，有时也称“长程连通性”( l o n gr a n g e c o n n e c t i o n ) 。长程时空关联和长程连通性是自组织临界性的突出特点。正是临界 点附近这种关联时间和关联长度的发散使复杂系统发生“自组织”而呈现有序的时 空结构。 4 自组织临界性是分形的动力学吸引子 重庆大学硕士学位论文3 自组织临界性概念 自然界和人类社会中的许多动力学过程具有三大特点： 第一、过程的不可逆性及其多重时间标度； 第二、动力学行为的自相似性和分形性； 第三、以不同规模的阵发”( b u r s t s ) ，“崩塌”( a v a l a n c h e s ) 或“阶流”( c a s c a d e s ) 进行的间歇性( i n t e r m i t t e n c y ) 。 可以认为，演化过程多为远离平衡的增长过程( f a r - f r o m - e q u i l i b r i u mg r o w t h p m c e s s e s ) 或分形生长过程，具有分形动力学的特征。分形来源于自组织临界动力 学过程。系统一旦达到自组织临界态以后，微扰虽可使其发生偏离，但比将通过 呈幂律分布的一系列阵发式的崩塌或阶流等瞬变的驰豫过程和它们之间“点断平 衡”( p u n c t u a t e de q u i l i b r i u m ) 的相对静止与间歇，而归复自组织临界态。因而， 自组织临界性是一种“分形动力学吸引子”，复杂系统的长程时空关联和连通性是分 形动力学吸引子的截断( c u t s ) 。 5 自组织临界性涌现于混沌边缘 动力学研究指出，系统的动力学行为受外部参量的控制，当外部控制参量逐 步增大并超过临界闽值时，系统将相继经历不动点( 非平衡动态) ，极限环( 周期 性振荡) 而达到混沌这样一系列由简单到复杂的吸引子过程。在周期区与混沌区 之间存在一个极窄的区，由于从有序向混沌的转换与相交类似，因此此区正位于 有序与混沌之间的转变点( 或临界点) 上，为此，l a n g t o m 称该转变点为“混沌的 发生”( o n s e to f c h a o s ) ，p a c k a r d 和k a u f f m a n 称之为“混沌的边缘”( e d g eo f c h a o s ) ， 而