（应用数学专业论文）nthcds的定价模型分析.pdf

摘要 摘要 本文主要提出了两种几纨c d s 定价模型第一个模型用来计算债券面值都相 等的礼地c d s 未来赔付和权利金在t 时刻的现值第二个模型用来计算债券面 值不相等的礼地c d s 未来赔付和权利金在0 时刻的现值这两个模型对凡此c d s 的定价给出了直观的表达式，使得计算变得非常方便本文分为五章：第一章对 “c d s 作了简单介绍，给出了礼饥c d s 的一般定价流程，并给出了一些最近几年 比较流行的n 执c d s 的定价方法第二章引入一种计算债券面值都相等的几觇c d s 在t 时刻的价值的模型第三章引入一种计算债券面值不相等的n 蠊c d s 的在0 时刻的价值的模型。第四章是仿真分析，分别对前三章的三个模型作了仿真分析 我们重点分析了债券面值不相等的n 矾c d s 的定价模型，分别对违约时间相关性 服从单因素g u a s sc o p l l l a 假设，s t o c h a s t i cc o r r e l a t i o n 假设和c 1 a y t o nc o p u l a 假 设三种情形作了仿真分析第五章给出了结论 关键词：n 饥c d s ，单因素g u a s sc o p u l a ，s t o c h a s t i cc o r r e l a t i o n ，c l a y t o nc o p - u 】a a b s t r a c t a b s t r a c t t h i s 龃t i c l ei n t r o d u c e s 佃m o d e l sf o rt h ep r i c i n go fn 地c d s t h e 丘r s tm o d e l i s u s e dt oc 越c u l a t et h ep r e s e n tv a l u eo ft h ep r e m i u ml e ga n dt h ep r o t e c t i o nl e go f 凡砘c d sa tt i m et i nt h i sm o d e l ，t h er e f e r e n c eb o n d sh a ee q u 出n o i n a lp r i n c i - p a l t h es e c o dm o d e li s1 1 s e dt oc 出c l l l a t et h ep r e s e n tv a l u eo fp r e m i u m1 e ga 丑d t h ep r o t e c t i o n1 e go f 礼n c d sa tt i m e0 1 1 1t h i sm o d e l ，t h er e f e r e n c eb o n d sh a v e 衄e r e n tn o i n 以p r i n c i p “s t h e s et w om o d e l s 舀v ei n t u i t i o n i s t i ce ) ( p r e s s i o i l sf o r t h ep r i c i n go f 几地c d s ，蛆dm a k et h ec a l c u l a t i o n r yc o n v e n i e n t t h e r e 盯e 丘v e c h 印t e r si nt h i sa r t i c l e i nc h a p t e r1 ，w ep r o v j d eab r i e fd e s c r i p t i o no f 舻c d sa d i n t r o d u c ei t sg e n e r a lp r i c i n gp r o c e s s ka l s oi n t r o d u c et h em o s tp o p l l l 盯p r i c i g m e t h o d si nr e c e n ty e a r s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eam o d e lt op r i c en 亡 c d sa t t i m et i nt h i sm o d e l ，t h er e f b r e n c eb o n d sh a ee q u a ln o d n a lp r i n c i p d i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c eam o d e lt op r i c en 地c d sa tt i m e0 i t h i sm o d e l ，t h er e f e r e n c e b o n d sh a 、r ed i f f e r e n t o i n a lp r i n c i p a l s i nc h a p t e r4 ，w e 百v ee m _ l 1 1 a t i o na n a l y s i s f o rt h r e em o d e l s w ef o c u so nt h em o d e li nw h i c ht h er e f e r e n c eb o n d sh a ：、，ed i 丑b r e n tn o m i n 出p r i n d p a l s w bc o n s i d e rt h r e es i t u a t i o n 8 d e p e n d e n c eb e t w e e nd e f a l l l t 恤n e si sm o d e k dt h r o u g hs i n g l ef a c t o rg u a s sc o p u l a ，s t o c h a s t i cc o r r e l a t i o na n d c l a y t o nc o p l l l a i nc h a p t e r5 ，w eg i v et h ec o n c l l l s i o n k e y 、o r d s ：h c d s ，s i n 9 1 ef a c t o rg u a s sc o p l l l a ，s t o 出a s t i cc o r r e l a t i o n ，c 1 a 咖o n c o d u l a i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的目j 刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：桌枣丝 、十一 z o 。年岁月z 1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：来承j 超 勿。e 年争月2 1 日 第一章引言 第一章引言 1 1 舻c d s 简介 随着信用衍生品市场的增长，由各种债券之间的违约相关性而衍生出来的产 品变得越来越流行在这篇文章中我们关注一种产品：与第n 次违约相关的信用 违约互换( 几m c r e d i td e 砌ts w 印) ，简记为n 执c d s 。我们先介绍信用违约互换 ( c d s ) 信用衍生品是2 0 世纪9 0 年代在美国纽约互换市场推出的目前，信用衍生 品等信用衍生产品交易由已北美扩展到欧洲，并在拉美和亚洲形成了市场伦敦 是主要的信用衍生品交易市场，几乎全球一半的信用衍生品交易在伦敦根据英 国银行家协会的统计，信用衍生品市场交易总额1 9 9 8 年为4 0 0 亿美元，2 0 0 1 年 为1 2 万亿美元，2 0 0 4 年约为4 8 万亿美元信用违约互换是国外债券市场中最 常见的信用衍生产品。由于信用违约互换产品定义简单，容易实现标准化，交易 简洁，自9 0 年代以来，该金融产品在国外发达金融市场得到了迅速发展目前 信用违约互换约占信用衍生品总市场份额的4 5 ，即2 0 0 4 年约为2 1 6 万亿美元， 这个数额要远大于我国的国民生产总值 1 】 信用违约互换是指存在信用风险的债权资产的债权人( 信用互换的买方) ，可 签订信用互换违约协议，以支付权利金或定期付款的方式，支付给信用违约交易 的卖方，以获取标的资产发生信用事件时的赔偿，信用事件包括重整、宣告破产、 延期偿付、不能支付本金或利息、信用评级等降至一定水平之下等等 在信用违约互换中，有两种可能的结果，其一是约定的违约事件在契约期间 内没有发生，结果买方徒然定期支付卖方一定的权利金，直到契约到期日为止， 第二种是在契约期间内，约定的违约事件发生，则卖方此时有义务赔偿买方，契 约因此提前终止，买方不须再支付卖方 至于赔偿方式，通常可以归类为三种，分别是依事前议定的固定金额支付、 依资产面值与市值的差额支付，以及双方以标的资产进行实体交割实体交割的 赔偿方式越来越普遍，因为违约事件发生时，不容易得到标的资产的市价 2 】 权利金的计算是基于标的资产面值如果权利金为3 ，意味着信用违约互换 的买方每年支付给卖方( 3 + 标的资产面值) 的金额权利金的大小应使得未来 买方权利金支付的现值等于未来卖方赔偿额的现值 下面给出一个c d s 的例子| 3 1 ： 1 第一章引言 表1 1 ：c d s 的示例 到期日3 年 标的信用a 公司 标的债券a 公司发行，票面利率8 的3 年期债券 信用事件标的信用发生破产或债券发生违约后的第一个交易日 违约支付额名义本金一标的债券违约后的公平市价 违约互换的权利金 信用保护的买方支付，3 2 ( 浮动) 违约支付额支付发生违约事件时，由信用保护的卖方支付 n 执c d s 和一个标准的c d s 非常类似想要规避风险的买方基于一个特定 的本金来支付权利金，他一直支付直到债券组合发生第n 次违约，否则支付到 合同结束权利金支付通常为季付。如果在债券到期前债券组合发生第n 次违 约，“c d s 的买方可以将债券以面值卖给礼地c d s 的卖方，或者卖方支付债券面 值与违约后的实际价值之间的差额。 1 2 定价流程 我们考虑简单的定价流程考虑n 个债券违约时间为h ，研) f 和s 分别为h ，研) 联合分布函数和生存函数对( t 1 ，如) r ， f ( t 1 ，t ) = p ( 丁1 t 1 ，丁n t 。) s 0 1 ，t ) = p ( n t 1 ，丁h t ) p 为一个定价测度 日，日v 为各个债券违约时间的分布函数c 为违约时间的c o p l l l a 函数 满足： f ( t ，如) = g ( f 1 ( t 1 ) ，f ( 如) ) 且为第i 个债券的面值，t = 1 ，最为第i 个债券的回复率尬= 最( 1 一也) 为第i 个债券的违约损失假设最为决定性的，这样我们可以主要关注违约时间 的相关性 为了处理数据方便，使模型的定价结果直观化设违约时间关于v 独立 l y = p h t l y ) ，g i y = p ( 瓦 t l y ) 分别为条件违约概率和条件生存概率 2 第一章引言 我们可得到违约时间h ，伽) 的联合生存函数： s ( t 1 定义7 r r ( ) 为t 之前刚好有k 个违约的概率违约时间兀关于v 独立由 此可得所有债券在t 之前均未发生违约的概率为： _ ，吁( 0 i y ) = & ( t i y ) ( 1 1 ) t = l 这里s t ( t l y ) = 为第i 个债券条件生存概率类似有： 呻一吲y 噻蒜畀 定义： v 一一1 一s ( t i y ) 吼一1 丽可厂 t 之前刚好有k 个违约的概率为： 研( 酬y ) 研( o l y ) n 寸 ( 1 1 ，一，瑶) j = 1 ( 1 2 ) 这里( i 1 ，钆) 为从( 1 ，2 ，) 取出的k 个不同的数共有c 脊种取法 设知为v 的密度函数，可得： 研( 七) ：，研( i 口) 知( u ) 咖( 1 3 ) j 设t 之前至少有n 个违约的概率为p ( r “t ) ，则 第n 次违约发生在五与正之间的概率为p ( 乃 p 正) ，则 ( 1 4 ) nn 尸( 五 r ”正) = p ( 7 - “马) 一p ( 7 - ”噩) = ， ) 一”n ( ) ( 1 5 ) = n凫= “ 3 矿 g ：i = 矿 r 丌 胁 | | r 一 n 丁p 第一章引言 定义礼地c d s 权利金支付的现值为o ( ，违约赔付的现值为a ( 设0 = t o t 1 “) ( 1 6 ) 七= 1 a “= e 印( 一r + “) p ( “一1 t ”“) ( 1 7 ) k = 1 由( 1 4 ) 已知下“的分布函数，我们可求出o ( “) 和a ( 【4 】 1 3 几种常见的定价模型 下面我们考虑几种流行的定价模型它们之间的区别在于对于违约时间的相 关性假设不同，也即叠i y 的表达形式不一样这里我们仅作简单介绍 单因素g a u s s i a j lc o p u l a s 2 0 0 0 年由“提出【5 】令( x 1 ，五) 是一g a s s i a n 变量，满足： 磁= 胁y + 、1 一店玩 这里v ，玩，i = 1 ，n 是互相独立的标准正态随机变量 定义矾= 1 一圣( 五) ，i = 1 ，礼，圣为标准正态分布函数 l = 耳1 ( 阢) 即r = 譬1 ( 西( x ) ) ，i = 1 ，几 我们可得到 卸( 鬻) ， ( 1 8 ) 这样可以计算出联合分布函数： f ( t 1 ，t 。) = 厂血他) 咖 o t = l = 佃圣c 鼍掣舭如 这里，( ”) = 去e 孚为正态分布的密度函数 4 第一章引言 k e n d a l l s7 - ： m ：兰。，c s i p 七= 一o r c s o n p 。- 7 r 这里k e d a l l s 丁为违约时间相关性参数，只依赖于c o p l l l a 函数定义参见参考 文献f 6 1 s t o c h a s t i cc o r r e l a t i o n 2 0 0 4 年由a n d e r s o n 和s i d e n i l l s 提出7 1 。s t o c h a s t i cc o r r e l a t i o n 模型为单因 素g a u s s i a nc o p u l a s 的简单推广 k = 马( p y + 1 一矿) + ( 1 一鼠) ( p y + 、1 一卢2 k ) = 1 ，且为b e r n o u l l i 随机变量k 玩为独立正态随机变量n 卢为相关系数 参数0 p j d 1 ，肌= q ( b j = 1 ) 违约时间关于v 独立，可得： p y = 张西( 皇二辫) + ( 1 一a ) 圣( 皇二辫) ( 1 9 ) 、一矿、 l 一酽 k e n d a u s7 - ： m = 芸( 矿。r c s i n ( 矿) + 2 p 2 ( 1 一p ) 2 r c s i n ( p p ) + ( 1 一p ) 4 0 r c s i n ( p 2 ) + 4 矿( 1 p ) o r c s i 凡( 2 1 铲) + 2 矿( 1 一p ) 2 血r c s i n ( 2 1 专生) + 4 p ( 1 一p ) 3 0 r c s 打l ( 旦! 妄鲤) ) s t u d e n ttc o p u l a 2 0 0 3 年由a n d e r s o ne t 出提出 8 】s t u d e n ttc o p l l l a 为单因素g a l l s s i a n c o p l l l a s 的简单推广 设( ，k ) 服从自由度为 的t 分布k = 形五；而 硷= p y + 、而谚 k k 为独立正态分布w 与( 五，墨。) 独立服从参数为；的g 舢a 分布 注意到与k 的相关系数为；p 2 0 为单变量k 的分布函数我们有 兀= e 。1 ( “( k ) ) 我们可知在条件( v ，w ) 下，违约时间是独立的，满足： 五- = 圣( 旦二兰鼍警) ， ( l - o ) k e n d a l l s7 ： m ：兰n r c s 饥j d 2 m 2 ；n 惴m 矿 5 第一章引言 d o u b l etc o p l l l a 2 0 0 4 年由h 1 1 l l 和w h i t e 提出 8 ( ，k ) 满足： k = p ( 等) y + 乒7 ( 孚) 玩 这里v 玩服从独立t 分布，自由度分别为”，o ，p o 由于t 分布在卷积下不稳 定，知k 不服从t 分布，所以与s t u d e n ttc o p u l a 模型不同。 违约时间定义为：矗= f 1 ( 甄( k ) ) ，i = 1 ，礼其中且为k 的分布函数。 那么： 卅y 刈禹乒丛等等迎】， ( 1 1 1 ) c l 码，t o nc o p u l a n i e n d 和r o g g e ，g r e g o r y 和l a 眦e n t ，等人在2 0 0 3 年提出来该模型 8 考虑变量v 服从参数为；得g a m m a 分布。密度函数为： “2 南e 1 考，”n 皿为f 的l a p l a c e 变换皿( s ) = 厂，( z ) e 一“如= ( 1 + s ) 一 我们可以定义k k = 皿( 一警) 这里巩，为独立均匀分布变量，取值在 o ，1 】之间。并且与v 独立等价 地，矗= e 一1 ( k ) ，i = 1 ，n 违约时间在条件v 下的概率为： 列y = e 印( y ( 1 一只( t ) 一9 ) )( 1 1 2 ) 注意到k 分布函数相同，违约时间为的增函数故违约时间的c o p l l l a 为 的联合分布 9 】。对( u 1 ，u 1 ) o ，1 卜有： q ( k s ) 我们 肛) = e ( 1 h 。 t ， p ( r + ) = e ( 1 ( n 。 ， 知户( a ) 为概率测度 7 _ “ s ) = 飞 t ) 1 j 4 1 飞+ 。= 勺+ 1 ，t 。= t ) ，矗， t ) i + ，= 勺+ 1 ，几= t ) 即) 一端 = 8 几+ 1 ) 1 ( 凡 s ) = j ) ( 2 4 ) 一 咖糌 o 一 起 e i m葛|三：汹 一 s r l 谢 ，【 第二章债券面值相等情况下的定价模型 5 = 1 h s ) t = 1 户( p s ) = 户( 8 = j ) j = 一n 十l 令匈= 0 1 = - - = 一1 = o ，岛= = 甜= 1 ； 我们引入s c h u e t e _ n e s b i t t 公式： 设 1 ，岛为m 个随机变量每个矗取值0 或1 令： = 毫 则对任意实数c k = 0 ，1 ，m 有： c t l p ( 一n ) n = 0 这里为差分算子，鼠满足 由s c h u e t e _ n e s b i t t 公式 我们先计算5 _ 盅 p 临= 1 ，靠= 1 ) 1 ，k ) p ( r ” s )( 2 5 ) 鼹= 卢( 1 ( 啄) 1 ( 兀， ， ) i n ，+ ，= o 丁1 7 ，n 。= 如) 0 】，j m ) c 1 ，) p ( t 。 t ， t i 几抖，= 岛十1 t - ，几= t ) 这里9 玉= 1 ( 勺。 s ) ，由于勺+ 1 兰o 一，如! t 知( n ，知) c ( i 1 ，0 ) 故第 三个等号成立。 9 &印 k 。 咒白 m 。一 第二章债券面值相等情况下的定价模型 由公式( 2 3 ) 可计算出h ，啊) 的联合分布，可计算出s 矗 现在计算”( c 0 ) ，如下表所示： z c 0 o0 1o 20 “1 “+ 1 一n ”( 一1 ) 靠j ( 一1 ) 一”( 端 有上面矩阵，我们得到 ”( c 0 ) c 1 0 0 0 0 ( 一1 ) ”“q 墨 岛一1 0 1 1 c n。c 1 1 0 0 o o 0 0 0 0 ( 一1 ) ”“o 0 ( 一1 ) + 1o o i f 竹2 礼 另由臻的表达式知m j 故： j 户( r “ s ) = ( 一1 ) 一”噶器 2 2 定价模型 n 执g d s 未来赔付t 时刻现值为锋，未来权利金t 时刻现值为0 7 ( 2 6 ) 田= e ( 1 ( 亡 r “t ) 反筹( 1 6 ) 1 i 吼) = 展( 1 6 ) e ( 1 0 1 “) ，( 7 ”) h ) ( 2 7 ) 设吼= 研v v 月；这里碰= 盯( rss ，s t ) ，( f “) = 肛爿1 ( 丁“t ) 我们先考虑e ( 1 0 ，飞+ ，t ，瓦。t ) ，( 7 _ “) 慨) ，= 一n + 1 ( l r ，曲) e ( 1 ( t ， t ，t ， t ，飞+ 。t ，几 ，t ) ，( r “) j 珥v v = ，：差川点，- ( p 。，q 坠盥寒誉意裂掣，= 一n + l “l ，如) l7 1 1 ，4 ，i n t 。一”n t ， = 蹀机m 1 ( ”。柏， t ) 壁堕景黠嚣稽篙【1 0 】 0 1 ，畸j 。 。 给定条件n ，+ ，= 屯+ 1 ，几。= 如，这里+ 1st ，亡t ，则： = 兰! ! ! 至! 三! ! ：! 至! 三1 21 二：! ! ! ! 鱼! 三堑! ! ：! ! ! p ( 瓦， t ，飞 t 1 + 。= 勺+ 1 ，t 。= t ) ：，t 库，妒d s ) j ：一1 露t d 户( r n 。) j t 因此可得 ( 2 8 ) 臂= 屈( 1 6 ) 1 ( t 。 t ，飞 t ) j = 一n + 1 ( t l i 畸) + z r ( 一t 露1 护( r ” s ) ) p ( 强，鸥扎，兀。出洲2 9 ) 对于o ? ，设s 为权利金易知 0 n 础 1 ( n 鲫生掣h ) + s 耶( t r n ) 生掣( 2 1 0 ) b t ) + s e 1 ( t 7 - “) 二i ；! 二坐i 吼) ( 2 1 0 ) 对于e 1 0 s ) ) p ( 飞+ ，d 与+ ，n 。d t ) 1 1 畸 一 “ 产 第二章债券亘塑箜堕堡!塑壅!堡型一 = 一 ( 2 ) e 【1 ( r t ) 类似田的求法，可得 e 【1 ( t p ) ( 1 一卢高：) ) 这样我们得到： i 吼) = ! ! 二! 釜生! r e o t ， 2 ) j = n 一+ 1 ( t 1 ，) * 心一 t + d 户( r n s ) ) p ( 瓦仆，d t j + 1 ，几d 亡n ) 坚掣。壹( 护t 几 j ；_ 一n + 1 ( 1 r ，q ) 飞 ) + “妒汀斌d t j + 1 ， 掣 第三章债券面值不相等情况下的定价模型 第三章债券面值不相等情况下的定价模型 考虑几讹e d s 假设与第二章相同简便起见，我们考虑权利金和赔付支付均 为离散情况即只在赴发生支付，f = 1 ，2 ，m 满足0 = t o t l r ( i ) ) ；得到： j t ( 丁“= 几) = ( v 二( 几) = 一佗) 1 3 一 n r t ) ) ，c 0 _ = c 一。一1 = o ，c 一。：c t ，c 一计1 c = 0 参照第二章矩阵知；当c t = 1 时，2 ) 如下表所示： o 1 c 0 0 0 。一n1 一“+ 1 一( 一n + 1 ) 小 ( 一1 ) 一( 1 一“) c 譬“ 一1 我们得到 ) c 1 0 0 0 c 一n 一1c 一n 0 1 ( 一1 ) b ( 。“) 掣“ 因此：c k l ( l ( t ) = 一n ) 1 4 ( i 一n + l 0 0 ( 一1 ) 一“ 0 ( 一1 ) - 时1 0 c 0 0 ( 一1 ) 2 00 ( 一1 ) _ 1 0 ( 一1 ) 0 i f 南 一礼 i f 一几 仁1 七= 一n ( t 1 ，“) ，h 和 瓦) ) m = 6 ( 孔) b ( 白) m 几“】p ( 瓦， t ，飞 t ，瓦= t ) 出 z = 1 i = 1 ( i 1 ，“) ，t h t 、。 故在条件v 下： a l ”j ( 矿) = e a ( ”i y 】 m 一l 七 = b ( 白) 尬!，删y ) 班( 一1 ) 卜+ “碟” ( t i y ) f 1 注1 j ( “一1 ，“l 七= 一n ( 1 ，札) ，“弁j = 1 p 下 6 ( n ) 善z 即) 饰m 眦如( 帆m ) 出 令知为v 的密度函数，则： 小) - r ) 知( 岫 ( 3 5 ) 3 2o “的定价公式 考虑“g d s 的买方所支付的权利金的现值扩我们考虑两种情形一为权 利金为定值情形，一为权利金随违约损失变化的情形 3 2 1 权利金为定值 权利金为定值情形，设权力金为s ，则： 。”= s e 印( 一r + 白) p ( p 岛) ( 3 6 ) f = 1 可用1 2 节中方法求出 1 5 第三章债券面值不相等情况下的定价模型 3 2 2 权利金随违约损失变化 定义两个参数d m ，d m ，d m d m ，在每个赴支付权利金，设费率为x ： l( d m d 。) x ，i f l ( 南) d 。， b = ( d m l ( 南) ) x ，i f d 。 d m 权利金的现值： 口( n ) “= x b ( 白) 【( d m d 。) 1 【o ，如l ( l “) + ( d m l h ) 1 ( 如，d 。l ( 厶。) 】 这里： 口c n ，= m 溉“ 1 ， 七 k 扎。+ k ，。+ - = c m ”( 坛)n ( 舰j ) 仁1 ( 1 ，“) m j = 1 一1 + 中+ 1 仇“( 尬)n ( 舰，) t = 1 ( i 1 ，一，“一1 ) 脯j = 1 七一1 = c m ”( 坛) 兀( 尬，) + q ( 聪)n ( 蚝) 0 2 1 “1 ，“) 肌j 2 1“1 ，“一1 ) ，2 1 = 审“( 坛)nq ，( 坛，) 仁1 ( t 1 ，“) j = 1 = 5 k 巩 1 9 第三章债券面值不相等情况下的定价模型 由上面两个式子可得 k ，1 = ( k ，l + k 2 ) 一( k 2 + k 一2 ，3 ) + + ( 一1 ) ( ，k 一1 + & ) + ( 一1 ) 。+ 1 鼠 = & 巩一1 一岛仉一2 + 岛巩一3 + + ( 一1 ) 8 & 一1 巩+ ( 一1 ) 2 + 1 乳 k = ( 一1 ) 卅1 巩一。 # 1 这里= 1 考虑集合： 容易证明 可得 可得 则 k a = q ，( 蚝) ：( i 一，让) ) j = 1 ，( i 1 ，缸一1 ) m ) a = f b = q ) ( 蚝) # 1 ( n ，“一1 ) mj = 1 = 七( 屹) ( 。l ，札) j = 1 = 七l k 巩 b ：圭( 州1 s m 嗍垆；塞( - 1 ) 卅1 z ) l | | 阮 q h 一 ，【 | | b 峨剐 q h 皿 肌 c 一 慨刨q h i l k 第三章债券面值不相等情况下的定价模型 注意到 我们得到 川 m ) = c m ”( 舰) m ) t = 1 = c m 【e 尬一1 ”，( z ) = 1 m = c ( 一1 ) “。兹，忙+ j 尬) t = 1j = 0 魄，( z ) = ( 一1 ) m + 1 审( 一1 ) “。碟魄一。m + j 坛) m = 1t = 1 = 0 km = c m ( 一1 ) 嚷巩一。m + j 尬) m = l = 1 j = 0 一1 一f = c h 一1 ) 州q 一。阢， + j 坛) “t = 1z = 0 = 0 得证 此时有： k 一1 一n 巩( 俄m i y ) ，且以，) 口d 扛) = ( 一1 ) - 1 曹一1 c ：一f ，巩( 吼( 亡i i y ) ，尬，) 雪d ( z + j 尬) = 1n = 0 = 0 ( 3 1 0 ) 代入( 3 7 ) 式中，可求出n “( y ) 令知为v 的密度函数，则： o ”= o ”( ) ( u ) 咖 ( 3 1 1 ) 2 1 第四章仿真分析 第四章仿真分析 这一章中我们对三种模型作仿真分析。 4 1 模型1 第一种模型为是小节1 2 中介绍的模型，我们仅考虑违约时间相关性假设服 从单因素g u a s sc o p l l l a 假设 设n 忱c d s 的债券组合为1 0 个面值相等的债券。不妨设面值均为1 市场无 风险利率为r = 0 0 3 ，回复率6 = 0 4 n 执c d s 协议的期限为t = 5 第i 个债券 的违约时间为t ，概率分布函数为： 条件概率分布函数为 其中 p ( 几t ) = 只( t ) = 1 一e 一1 t 胡y 卸c 号警等， a = o 0 1 1 ，o 0 1 2 ，o 0 1 3 ，o 0 1 4 ，o 0 1 5 ，o 0 1 6 ，0 0 1 7 ，o 0 1 8 ，o 0 1 9 ，o 0 2 0 p = 【o 1 ，o 1 2 ，o 1 3 ，o 1 4 ，o 1 6 ，o 1 7 ，o 1 8 ，o 1 9 ，o 1 3 ，o 1 4 】 设七地c d s 的违约赔付的现值为a ( m ，权利金为1 时的权利金现值为8 ( m ，对应的 权利金为s ( m 即： s ：筹 用m a t l a b 编程计算可得 第四章仿真分析 表4 1 ：模型l 的仿真结果 a ( )o ( 七)s ( ) 七= 1o 3 7 3 93 4 6 3 60 1 0 8 0 七= 2o 1 1 8 54 4 0 2 30 0 2 6 9 七= 30 0 2 5 64 6 0 6 40 0 0 5 6 七= 40 0 0 4 04 6 3 8 88 6 2 2 9 术1 0 一4 七= 53 1 7 8 8 木1 0 一44 6 4 2 76 8 4 6 9 丰1 0 6 后= 62 5 1 8 1 木1 0 一o4 6 4 3 05 4 2 3 4 $ 1 0 6 后= 71 5 1 6 9 幸1 0 64 ，6 4 3 13 2 6 7 0 1 0 “ 七= 86 0 0 2 0 1 0 8 4 6 4 3 11 2 9 2 7 丰1 0 8 七= 9l 4 4 3 0 木1 0 94 6 4 3 13 1 0 7 8 1 0 1 0 七= 1 01 5 9 1 4 丰1 0 1 14 6 4 3 13 4 2 7 5 车1 0 1 2 由上表可知当4 时权利金已经相当小，故可以把七4 的地c d s 组合 在一起打包出售 4 2 模型2 第二种模型为第二章的模型由于该模型循环比较多，我们考虑债券组合为 四个债券的情形仅对( 2 饥c d s ) 作了计算 设债券面值均为1 市场无风险利率为r = 0 0 2 ，回复率6 = 0 4 协议的期 限为t = 5 观察时间为t ； 入= 【0 1 1 ，o 1 2 ，o 1 3 ，o 1 4 】 定义t 时刻的准备金y ( 2 ) ( t ) 如下： s = 勰- o 蚴。 y ( 2 ( t ) = a ( 2 ) ( t ) 一s ( 2 ) o ( 2 0 ) 2 3 第四章仿真分析 少 表4 2 ：模型2 的仿真结果 a ( 2 ) ( )o ( 2 ) ( t ) y ( 2 ( t ) t = 00 1 7 1 34 0 8 0 0 0 t = l0 0 9 2 62 6 9 7 30 0 2 0 6 t = 20 0 5 3 11 7 6 7 40 0 2 1 1 t = 30 0 2 4 71 0 4 0 20 0 1 9 0 t = 40 0 0 6 30 4 5 2 60 0 1 2 7 t = 5o 00 由上表可知a ( 2 ) ( t ) ，o ( 2 ( t ) 随着t 增加而减少y ( 2 ) ( t ) 随着t 增加先增大后减 4 3 模型3 第三种模型为第三章的模型我们考虑权利金支付为固定的情形 设债券组合为五个债券，债券面值均为1 ，但回复率各不相同市场无风险利 率为r = 0 0 2 ，协议的期限为t = 5 a = o 1 1 ，o 1 2 ，o 1 3 ，o 1 4 ，o 1 5 m = o 6 5 ，o 5 9 ，o 5 8 ，o 5 9 ，o 6 1 】 我们分别考虑违约时间相关性假设服从单因素g u a s sc o p l l l a 假设，s t o c h a s t i c c o r r e l a t i o 假设和c l a y t o nc o p l l l a 假设三种情形 单因素g u a s sc o p l l l a 情形，计算结果如下表： 表4 3 模型3 单因素g u a s sc o p l l l a 情形的仿真结果 p 2 a ( 1 )o ( 1 )s ( 1 )a ( 3 )o ( 3 ) s ( 3 )a ( 5 )0 ( 5 )s ( 5 ) 00 4 7 1 21 1 6 9 40 4 0 2 90 2 7 3 23 7 1 9 50 0 7 3 50 0 1 5 84 5 4 8 30 0 0 3 5 0 1o 4 5 6 51 3 0 1 90 3 5 0 60 2 7 6 53 6 6 2 50 0 7 5 50 0 2 5 34 5 1 6 2 0 0 0 5 6 0 30 4 2 1 71 5 8 5 10 2 6 6 00 2 8 2 6 3 5 6 1 20 0 7 9 40 0 5 1 24 4 4 8 50 0 1 1 5 0 50 3 7 8 71 8 9 6 50 1 9 9 70 2 8 6 93 4 7 5 60 0 8 2 50 0 8 8 74 3 3 7 0 o 0 2 0 5 0 70 3 2 4 22 2 5 0 70 1 4 4 00 2 8 7 43 4 0 3 10 0 8 4 50 1 4 4 84 1 5 7 6 0 0 3 4 8 10 1 4 4 22