（应用数学专业论文）一类borel测度的研究及股价走势分析.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 摘要 自然界中出现的诸如云层边界、山脉的轮廓、雪花、海岸等等“不规则”的几何 形体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面来描述而这些不规则的 集合往往能够提供许多自然现象的更好描述2 0 世纪8 0 年代由b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想、方法和技巧特别近 年来，这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质等学科获得巨大成 功，同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展， 测度是分形几何的核心部分它们不仅在分形数学中是一个主要的工具，而 且测度可以以它自己的方式展现许多被研究的分形的特征测度基本上是把集 合数值化的一种方法在本论文中，我们主要讨论的是符号空间里的一个非常有 趣的测度，它是由一种非常有用的反复细分的方法产生的最终我们将证明象这 样的一个测度是b o r e l 正则的( 证明总共分为三部分，首先证明它是一个( 外) 测度，其次证明它是一个b o r e 测度，最后再证明它是一个b o r e l 正则的) 此 外，对于满足强分离条件的函数迭代系统所生成的不变测度( 作为前面所讲测度 的特殊情形) 我们也给予了简单的证明 直到现在，对股票市场变化的动力学还没有统一的结论，而经典的经济模型 认为市场变化是不可预测的一个随机过程最近，越来越多的学者发现，经济体 系不仅仅是时间序列中的一个随机过程在第三节，我们首先回顾了许多概念和 记号，比如粗线条多重分形谱，c 和h a u s d o r f f 多重分形谱如等等，然后利用近 似“重分形基理”来研究股票价格，并利用计盒的思想方法计算出股价的多重分 形谱厶最后结合沪深股市中的某些股票的收盘价格的数据验证了不仅疋可以 用来描述股价的变动，而且，可以用来预测股价走势 关键词：符号空间测度多重分形分析粗线条多重分形谱 a b s t r a c t “a n o m a l y ”g e o m e t r i c a lo b j e c t st h a ta p p e a ri n t h en a t u r es u c ha st h e b a n ko fc l o u d s ，t h eo u t l i n eo fm o u n t a i n ，s n o w f l a k e ，t h eb o u n d a r yo fc o a s ta r e a l ld i f f i c u l tt od e s c r i b ew i t ht h es t r a i g h tl i n e ，s m o o t hc u r v e ，s m o o t hs u r f a c eo f c l a s s i cg e o m e t r y b u tg a t h e r i n go ft h e s ea n o m a l i e sc a nb e t t e rd e s c r i b em a n y n a t u r a lp h e n o m e n a i nn i n e t e e ne i g h t i e sf f a c t a lg e o m e t r yf o u n d e db yb b m a n d e l b r o tp r o v i d e d t h o u g h t s ，m e t h o d sa n dt e c h n i q u e st os t u d ) , t h i sa n o m a l yg e o m e t r y s p e c i a l l yi n r e c e n ty e a r s ，t h i sn e w l ya r i s e ns u b j e c tr e a c hl a r g ea c h i e v e m e n ti nm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y ，m e d i c a ls c i e n c e ，g e o l o g ye t c a tt h es a m et i m e ，t h e l a r g eq u a n t i t yo fp r o b l e m sq u e s t i o n e db yd i f f e r e n tc o u r s e ss t i m u l a t e dt h ef r a c t a l g e o m e t r yd e v e l o p m e n t m e a s u r e sh a v eac e n t r a lp l a c ei nf r a c t a lg e o m e t r y t h e ya r en o to n l ya m a j o r t o o li nt h em a t h e m a t i c so ff r a c t a i ，b u ta l s o ，m e a s u r e sm a ye x h i b i tf r a c t a l f e a t u r e sw h i c hm a yb es t u d i e di nt h e i ro w nr i g h t b a s i c a l l y ，am e a s u r ei saw a y o fa na s c r i b i n gan u m e r i c a ls i z et os e t si nt h i sp a p e r w em a i n l yt a l ka b o u ta n i n t e r e s t i n gm e a s u r e i ns y m b o l i c s p a c ew h i c hi sd e f i n e db yav e r yu s e f u lm e t h o d o f r e p e a t e ds u b d i v i s i o n a tl a s tw ew i l ls h o wt h a ts u c ham e a s u r e i sab o r e lr e g u l a r m e a s u r e ( i nt h ef i r s tp l a c e ，w es h o wt h a ti t i sa ( o u t e r ) m e a s u r e i nt h es e c o n d p l a c e ，i ti sab o r e lm e a s u r e f i n a l l y , i ti sa b o r e lr e g u l a rm e a s u r e ) b e s i d e s ，w e w i l ls t i l le x p l a i nt h a ta ni n v a r i a n tm e a s u r ep r o d u c e db yi t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s a t i s f y i n gt h es t r o n gs e p a r a t i o nc o n d i t i o ni s as p e c i a le x a m p l eo fi t t h e r ei sn oc o n s e n s u sa b o u tt h ed y m a m i c so ft h es t o c km a r k e tv a r i a t i o n s t i l ln o w t h ec l a s s i c a lf i n a n c i a lm o d e l sh a v er e g a r d e dm a r k e ts h i f ta sar a n d o m p r o c e s s ，a n da r g u e dt h a tt h es t o c km a r k e tc a n n o tb ep r e d i c t e d b u tr e c e n t l y ； m o r ea n dm o r es c i e n t i s t sf i n dt h a te c o n o m i cs y s t e m sa r en o ts t r i c t l ys i m p l er a n d o mw a l ka sat i m es c r i e s i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ef i r s t l yr e v i e ws o m ed e f i n i t i o n s a n dn o t a t i o n s ，s u c ha st h ec o a r s em u l t i f r a c t a ls p e c t r u m 厶a n dt h eh a u s d o r f f i i m u l t i f r a c t a ls p e c t r u m he t c s e c o n d l mw er e s e a r c hs o m e s h a r ep r i c eb yt h ea p 。 d r o x i m a t em u l t i f r a c t a lf o r m a l i s ma n dc a l c u l a t et h em u l t i f r a c t a ls p e c t r u m ，0o f s o m es h a r ep r i c eb yt h em e t h o do fb o x - c o u n t i n g a tl a s t ，w eu s es o m ed a t a so f t h ec l o s i n gp r i c ei nh u s h e ns t o c kv a l i d a t i n gt h a tn o to n l yt h ev a r i a t i o no ft h e s h a r ep r i c ec a nb ed e s c r i b e db y | 1 b u ta l s ot h ef l u c t u a t i o no f i tc a nb ep r e d i c t e d b ya f k e y w o r d s ：s y m b o l i cs p a c e ，m e a s u r e ，m u l t i f r a c t a la n a l y s i s ，c o a r s e m u l - t i f r a c t a ls p e c t r u m i i i 第一节、引言 自然界中出现的诸如云层边界、山脉的轮廓、雪花、海岸等等“不规则”的几何 形体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面来描述而这些不规则的 集合往往能够提供许多自然现象的更好描述2 0 世纪8 0 年代由b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想、方法和技巧特别近 年来，这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质等学科获得巨大成 功，同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展 在分形几何中我们时常要讨论各种各样的维数，而符号空间和测度理论则是 讨论这些维数的重要工具测度是分形几何的核心部分，它可以以自己的方式展 现许多被研究的分形的特征测度基本上是把集合数值化的一种方法，而在此， 我们首先在第二节里回顾了一下有关符号空间的一些基本记号及概念，然后定义 了符号空间里的一个有趣的b o r e l 正则测度，并分为三步给出了详细的证明此 外，我们对于满足强分离条件的函数选代系统所生成的不变测度( 作为前面所讲 测度的特殊情形) 也给予了简单的说明 直到现在，对股票市场变化的动力学还没有统一的结论，而经典的经济模型 认为市场变化是一个不可预测的随机过程最近，越来越多的学者发现，经济体 系不仅仅是时间序列中的一个随机过程x s a n 9 1 首先利用多重分形分析研究 了香港股票市场每日的h a n gs e n g 指数，并利用多重分形谱的参数证明了在， 的较大的正数区域内，收益和每天增涨的可能性大于7 0 ，而在，的负数区 域内，这种可能性低于2 0 而在第三节里我们利用多重分形理论结合沪深股市 中某些股票收盘价格的实际数据证明了股票价格走势是可预测的 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 第二节、符号空间里的类b o r e l 正则测度 一、符号空间 首先让我们介绍一下有关符号空间的一些常用记号及其含义 设m 2 为正整数，令= 0 ，1 ，m 1 ) 为m 个不同符号( 或字母) 的集合 。= i 1 i 。：i ，1 js 礼) 表示长为n 的符号序列的集合，而集合 。中的元素也称为长为n 的词 特别地，我们约定o = 0 p = u 。，即长为有限的符号序列( 或词) 的集合 o 。= ( i l i 2 i 。：i je ，j ( 其中n 为自然数集) ，即为无穷长的符 号序列的集合 如果盯p ，则我们用川表示口的长度 如果盯= i l i 2 i 。，记盯l 。= n i 2 i 。，则称口l 。为盯的前1 2 个指标 另外，如果口= i l i 2 i 。丁= j l j 2 l j m 则我们有记号 和7 - 盯= j l j 2 j 。i l i 2 i n ( 在不引起混淆的情况下可将之简记为a r 和r 盯) 特别地我们有i 口= i i l i 2 i 。和盯十i = i l i 2 i n i 以下分别将之简记为 打和删 如果o l 是一个有限词，则称e n = 盯：j o 。) 为。中的一个柱集，其 中乜称为这个柱集的基 2 女口果口，7 o 。，令 d ( a ，r ) = 2 一”，如果盯i 。= r l ，i = 1 ，2 ，n ，而口l 。+ 1 r i 。+ l 则d ( u ，r ) 是。上的一个度量 柱集是既开又闭的集合，符号空间。中的闭集未必可以写成柱集之并，例如 单点集，它为闭，但是不可能写成柱集之并但是o 。中任一开集却可以写成若干 柱集之并比如设卫。，z = x l x 2 z 。，记b ( z ，r ) = y 。：x - - y i r ) 对于0 r 1 ，存在一个r l ，使得2 - ( “+ 。) sr 0 的x 的子集a ，b 有： p ( a u b ) = 芦( 4 ) - t - p ( b ) 如果p 是一个b o r e l 测度，而且对于任意集合acx ，都存在一个b o r e l 集e d a 使得 p 旧) = ) ， 则称l - t 是一个b o r e l 正则测度比如勒贝格测度就是一个b o r e l 正则测度， 如果x 上满足p ( x ) 。，则称测度肛为有限的 如果对每个有界集a 有肛( a ) o 。，则称p 是局部有限的 如果u ( x ) = 1 ，则称p 为一个概率测度 对任一非空开集u ， “( u ) = s u p t z ( a ) ：ac 阢a 是紧集1 和对任一集合e ， u ( e ) = i n f , ( u ) ：ecu u 是开集) 则称p 是一个局部有限( b o r e t 正则) 测度， 4 硕士学位论文 m a s t e r st i 正s i s p 的支撑，记为s p t # ，是补集的测度为零的最小闭集，即 s p 中= x u u ：u 是开集，u ( u ) = 0 ) 三、一个有趣测度的构造及证明 对于m 2 ，我们有指标集 + = ( i l i k ) ：七0 ，且对于每一个j 有1 弓m ) 对于任意给定的a = ( i z ) + ，设k 是r n 中的非空有界闭子集，以这 些集合为元素组成的集族记为q 假设： ( a ) 五，i 。 u ； n 1 五，i 即这些集合是嵌套状的； ( b ) x o = x ，u ( x ) 0 ，由芦( a i ) 的定义可选择满足 j 芦( ) z ( a ；) + 墨 l j 肛( 1 白) ) 0 ，则d ( a ne ，bne ) 0 由p ( a ) 的定义知，对于形中的任意子集a ，有 p ( ) = i n f e i p ( 矾) ：a n ecu i 巩且阢n 因为a 、bc r “，d ( a ，b ) 0 ，不妨假设d ( a ，b ) = 3 叩 0 又定义 豇( a ) = i n f z i , a ( u i ) ：a ne c u i g i ，l 以l r ，d ( ，ane ) 0 ； 第三类，若i l q ，d ( ，a n e ) = 0 对于第一、二类中的，其虽然可以看作是a n e 的覆盖中的元素，但是 它们的测度大小在计算集合a 的测度时可以去掉( 因为要取下确界) ，因而对之 没有任何影响，所以此时。肛( 砜) 的下和不增，而对于第三类中的即为我们 所需要的，而对于第四类中的再按照此法往下进行细分，经过有限步后总可 使对于所有a n e cu ：队中的巩均满足l 阢l 叩，而此时e t “( 阢) 的下和也不 增加，因而综上所述，我们总有p ( a ) = 口( a ) 成立，而以下要证p 是一个b o r e l 测度，就可转化为证明豇是一个b o r e l 测度 由皿) 的定义知，对于盈“中的任意子集b ，我们有 西( b ) = i n f j p ( k ) ：b n ec u j k ，i y j l 叩，y j n ) 对于任意给定的x a n e ，存在阢q ，使得x 以且i 巩i 0 ，而此处若用记号 ( a n e ) 。表示a n e 的q 平行体，则有 a n ec u i 以c ( a n e ) b n e c u j y jc ( b n e ) 口 又因为d ( ( a n e ) ，( b n e ) ) 27 7 0 则有d ( u i 以，l 。巧) 1 0 ，所以对 于任意的u 和k 均有d ( 以，巧) q 0 接下来对于彤中的任意子集a 、b ，显然有a u b 也是殿中的子集， 8 因此 豇( au 口) = i n f e ，( 眦) ：( au b ) n ecu t m ，1 w , i r , m q ) = i n f z p ( m ) ：( a n e ) u ( b n e ) c u 。啊，1 w , t 0 ，则作为 ( a n e ) u ( b n e ) 的覆盖的眦要么眦c ( 4 h e ) q ，要么w t c ( b n e ) ” 对于任意给定的z a ne ，存在眦q ，使得。眠，记这样的矾为 巩， 同理，对于任意给定的g b ne ，也存在w j n ，使得y w j ，记这 样的为y j ，因而有 p ( a u b ) = i n f e 。p ( 1 识) + j _ i 上( t 吗) ：a n ec u i u ， bnec u j w j ，jw 1 ：【l 、! l 叩，m 、q ) = i n f e ：肚( 阢) + j p ( 1 ) ：a n e cu t u t ， br 、ec u j k ，i v d 、l 巧 ? 7 ，阢、u q ：i n f 2 i # ( 阢) ：a n e cu 。阢，1 u i l ”，氓f l + i n f e ，肛( 嵋) ：a f - 1 ecu j 巧，i y j i 卵，巧n ) = 皿( a ) + 扛( 口) 所以西是一个b o r e l 洳度，困此p 也是一个b o r e l 测度 ；g z f f ，证明肛是一个b o r e l 正则测度 首先由p ( a n e ) 的定义知，对于任意给定的住，存在一个覆盖 u o t ) c n ，使得a n ecu 墨1 ，且 。p ( 。) sp ( a n e ) + ； 取t = n 甚l u 墨l 巩t 9 硕士学位论文 m a s t e r st i 王e s i s 由于对每一个1 1 都有a necu z l 。，则有 ( a n e ) c t 根据测度肛的单调性，则有 卢( a n e ) sp ( 丁) ； 另一方面，又由测度的次可列可加性，即 卢( u 墨1 巩 ) 墨1 p ( u i ) 所以p ( u 墨1 u m ) _ f 上( - 4 n e ) - fi 对r l 取极限有p ( 丁) “( a n e ) 综上可得，p ( 7 1 ) = p ( 肖n e ) 又因为。q ，所以t 显然是一个b o r e l 集 对于( a ne 。) ce 。显然e 。也是一个b o r e l 集 所以e 。u t 也是一个b o r e l 集，将之记为f ，即f = e 。u t 因为测度肛是支撑在e 上的，所以p ( e 。) = 0 从而对于a = ( a n e 。) u ( a ne ) 存在一个b o r e l 集f ，使得a cf 显然，根据测度p 的单调性有肛) s z ( f ) ；另一方面，由于 p ( f ) = u ( e 。u t ) sp ( e 。) + t z ( t ) = 0 + 肛( 丁) = p ( 丁) = p ( a n e ) t t ( ( a n e 。) u ( a n e ) ) = p ( a ) 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st t l e s i s 故存在一个b o r e l 集fda ，使得p ( a ) = p ( f ) 所以弘是一个b o r e l 正则测度 四、特殊情形 满足强分离条件的迭代函数系所生成的不变测度是我们前面第三部分所讨 论测度的一种特殊情形在给出此不变测度之前，现在让我们先回顾一下迭代函 数系，它提供了一种描述和重新构造许多分形的非常简便的方法 对于m 芝2 ，设 日，局，见) 是r “的非空闭子集x 上的一族压缩映 射，即假设只：x _ x ，i = 1 ，2 ，m ，如果对于任意的z ，y x ，都有 置( z ) 一e ( 9 ) f n 】z y 其中7 - i 1 记r 。= m a x l _ i ! 。t i ，则此压缩映射族 f 1 ，毋，f m ) 称为一 个迭代函数系( 简记为i f s ) 一个i f s 最基本的性质是它确定了唯一的满足e = u 罢，只( e ) 的非空紧集 e ，这种集常常是分形，而满足此式的唯一非空紧集e 称为i f s f - ，f 2 ，) 的吸引子或不变集 当e = u 警，只( e ) 是不交的，就称i f s f 1 _ ，r ，j k ) 满足强分离条件 三分康托集就属于这种情形然而强分离条件对许多想要达到的目的来说太强 了，因而常常只在弱分离条件下研究问题 如果存在一个菲空有界开集u c x ，使 m u 只( 矿) cu t = 1 且u 翟- 曩( u ) 是不交并，就称w s r ，忍，r ) 满足开集条件( 简记为o s c ) y o nk o c h 曲线和s i e r p i n s k i 垫就是满足o s c 的集合 设 f 1 ，f 2 ，r ) 是xcr “上的一个i f s ，记 x i i “= e 1o f z 2o - o 曩 ( x ) 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i $ 又令 p ( x i m i ) = p i 。p i 2 - 鼽k 则( x i ， p 与p 满足第三部分中的条件( a ) 、( b ) 与( 1 ) 、( 2 ) ，因 而对于a c 酽，也可定义 肛( a ) = i n h t 舻( k ) ：a n ecu v i i ，1 q ) 这里不变集e 显然满足e = n 墨1u l j l = k x j 引理1 如果i f s 凡，f 2 ，昂。) 满足强分离条件，则存在开集u 满足 u 只( 秒) c 驴 且 曩( 移) ) 銎，是不交的 证明由e = u 墨z 只( e ) 知，对于任意给定的i ，有e ( e ) ce ，记 e 6 = p ：存在x 属于e 使得f z y i 0 的所有r 一网立方体a 求和 鼬) - - 黜l i r a t 掣 融= 一l i r a s u p 麴- l o 地g r 如果生( g ) = 万( g ) ，则记为f i ( q ) 假设犀：r - r 是凸函数，下面的变换称为勒让德变换 ，( 。) 2 j 醛 。g + p ( q ) ) 记 - j l ( a ) 2 j 2 “u + 垒( g ) ， 硕士学位论文 m a $ t e r st t 正s i s 7 c ( 。) 。聪知+ 酗) 对于知，_ c ，厶，无有下列引理： 引理1 知( “) s ，( o ) 墨，。( “) 弓l 理2 ：乙( n ) s l ( o ) ，瓦( 0 ，) s 了t ( a ) 厶和7 l 有时也称为测度肛的下、上勒让德谱 对于许多测度而言，引理2 等号成立，确实，正如自相似测度一样，下、上 值经常是相等的经常发生的粗线条谱正好是函数卢( q ) 的勒让德变换，这就可 以用此极限更明确的定义它 如果对于有，h ( ) = 允( q ) 则我们称“弘对于d 满足重分形基理”下 面我们用近似“重分形基理”来研究股票价格 ( 二) 多重分形的计算 下面我们利用计盒的方法来计算沪深股市中某种股票收盘价格的多重分形 谱设t 是一段交易时间，t ( 1s t ) 是能整除t 的正整数，记e = 丰 ( 显然 0 表示股价位 于高位的概率比位于低位的概率大，而a 0 ，顶峰在左边；图 b 的， 0 ，顶峰在右边这就反应了第一组的股价主要在高位，而第二组的 股价主要在低位 最后，我们把某种股票从1 9 9 2 年2 月2 4 日到2 0 0 1 年1 月1 0 日的2 2 0 0 个 收盘股价，均分为1 0 组，每组2 2 0 个交易目的数据( 参见图2 ) 图2 2 3 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 然后，我们计算各组的a f 的值，按照时间顺序得到图2 m 1 0 1 0 0 5 ：。 ? ，0 0 3 j 2 、广+ ” 口1 ! 漤 图2 ： 值得关注的是，随时间变化的趋势图2 和股票价格走势图2 之间的关 系两图的对照观察，很容易看出：a f 和股票价格都有一个深谷股价低谷形 成于第八组，而，的低谷形成于第七组如果这种现象不是偶然的，那么，我 们就可以用a f 的图2 来预测股价的走势 统计数据发现，其他股票从1 9 9 2 年到2 0 0 1 年的数据也有这个现象所以在 现实中，我们在很大的概率上可以用a f 的图象来预测股价的走势 参考文献 1 】c a r o g e r s ，h a u s d o r f fm e a s u r e s ，c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r o s ，1 9 7 0 【2 g a e d g a r ，i n t e g r a l ，p r o b a b i l i t y , a n df r a c t a lm e a s u r e ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 8 【3 】g a e d g a r ，m e a s u r e ，t o p o l o g y , a n df r a c t a lg e o m e t r y , s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 0 【4 g b r o w n ，g m i c h o n ，o nt h em u l t i f f a c t a la n a l y s i so fm e a s u r e s ，j s t a t p h y s v o l u m e6 6 ，7 7 5 7 9 0 ，1 9 9 2 5 1j e h u t c h i n s o n ，n a c t a l sa n ds e l f - s i m i l a r i t y i n d i a n au n i v m a t h j v o l u m e3 0 ， 7 1 3 7 4 7 ，1 9 8 1 6 kj f a l c o n e r ，f r a c t a lg e o m e t r y m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n da p p l i c a t i o n ，j o h n w i l e y ，1 9 9 2 a 7 k j f a l c o n e r ，t h eg e o m e t r yo ff r a c t a ls e t s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 5 8 1l a n a m a r a l ，s v b u l d y r e v ，p o w e rl a ws c a l i n gf o ras y s t e mo fi n t e r a c t i n gu n i t s w i t hc o m p l e xi n t e r n a ls t r u c t u r e ，p h y s r e vl e t t v o l u m e8 0 ，1 3 8 5 ，1 9 9 8 f 9 1l o l s e n ，m u l t i f r a c t a ld i m e n s i o n so fp r o d u c tm e a s u r e s ，m a t h p r o c c a m b r i d g e p h i l o s s o c v o l u m e1 2 0 ，7 0 9 7 3 4 ，1 9 9 6 1 1 0 1l ，o l s e n ，r a n d o mg e o m e t r i c a l l yg r a p hd i r e c | e ds e l f - s i m i l a rm u l t i f r a e t a l s ，l o n g m a n s c i e n t i f i ca n d1