（应用数学专业论文）多元向量细分方程的解.pdf

摘要 本文研究如下形式的多元向量细分方程 ( 。) 。( 。) 咖( 吖。一“) ，z 科 a 口 其中向量雨数咖= ( 庐1 ，办) 7 在( l 。( 黔) ) 7 中，n 一( 。( “) ) 。弘是无限支集的rxr 矩 阵序列，称为面具。m 是一个8 s 整数矩阵，并且满足l i mm 一= 0 ，称为整数扩张 矩阵。本文主要研究了关于多元向量绍分方程解的特性，得到了两个结果。这些结果在 研究由细分方程得到的多尺度逼进中有着重要的作用。 本文在第一章中介绍了小波分析的历史及主要概念，接下来介绍了多尺度分析的主 要理论、细分方程的基本概念、多重小波以及多元小波等内容。 第二章的主要内容是多元向量细分方程解的性质，包括了多元向量细分方程的相关 基本概念、多元细分方程解的性质、多元向量细分方程解的性质这三部分内容，其中多 元细分方程解的性质、多元向量细分方程解的性质是本文的主要创新成果。 在第三章中主要介绍了小波分析在各个领域的应用及展望，其中包括了小波在图像 压缩中的应用、小波变化在图像去噪中的应用及基于多尺度变换的图像增强技术。本文 最后介绍了在小波的基础上作出了改进的脊波与曲波。 关键词：细分方程，无限支集面具，整数扩张矩阵 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw e i n v e s t i g a t et h em u l t i p l ev e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n si st h ef o r m o ( 。) = 。( 。) 毋( m z “z 8 0 1z 邸 w h e r et h ev e c t o ro ff u n c t i o n s 咖= ( l ，咖，) 7i si n ( l i ( r 5 ) y ，a = ( “( d ) ) 。z 。i si n f i n i t e s e q u e n c eo frxrm a t r i c e sc a l l e dr e f i n e m e n tm a s ka n dm i sa n5 si n t e g e rm a t r i x s u c ht h a tj 1 哩，m “= 0 w em a i n l y i n v e s t i g a t et h ep r o p e r t yo ft h es o l u t i o n so fm u l t i p l e v e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n s ，a n dw eh a v eo b t a i n e dt w or e s u l t s t h e s er e s u l t sp l a ya n i m p o r t a n tr o l ei nm r aa p p r o x i m a t i o n t h ef i r s tc h a p t e rm a i n l yi n t r o d u c et h e w a v e l e t s h i s t o r ya n dm a i nc o n c e p t i o n ，t h e n t h a ti n t r o d u c et h em a i nc o n c e p t i o no fm u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，b a s i cc o n c e p t i o no f r e f i n e m e n te q u a t i o n ，m u l t i p l ew a v e l e t sa n dm u l t i v a r i a t ew a v e l e t sa n ds oo n t h em a i nc o n t e n to ft h es e c o n dc h a p t e ri st h ec h a r a c t e ra b o u tt h es o l u t i o n so f m u l f i v a r i a t ev e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n s ，i n c l u d i n gt h eb a s i cc o n c e p t i o no fm u l t i v a r i a t e v e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n s ，t h ec h a r a c t e ra b o u tm u l t i v a r i a t er e f i n e m e n te q u a t i o n s ，t h e c h a r a c t e ra b o u tm u l t i v a r i a t ev e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n s w h e r et h eb a s i c c o n c e p t i o no f m u l t i v a r i a t ev e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n sa n dt h ec h a r a c t e ra b o u tm u l t i v a r i a t er e f i n e - m e n t e q u a t i o n sa r et h ei m p o r t a n tp a r t s i nt h et h i r dc h a p t e r , t h e r ea r et h ea p p l i c a t i o na n dp r o s p e c to fw a v e l e ti ns e v e r a l f i e l d s , w h e r ei n c l u d i n gt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ti ni m a g ec o m p r e s s i o n , t h ea p p l i c a t i o n o fw a v e l e tt r a n s f o r mi ni m a g ed e n o t i n ga n dt h et e c h n o l o g yo fi m a g ee n h a n c e m e n t b a s e do nm u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s i nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e r , ii n t r o d u c et h e r i d g e l e t a n dc u r v e l e tw h i c ha r eb a s e do nw a v e l e t k e yw o r d s ：r e f i n e m e n te q u a t i o n s , i n f i n i t er e f i n e m e n tm a s k , g e n e r a ld i l a t i o n m a t f i x i i 第1 章向量细分方程以及应用 1 1引言 小波分析思想萌芽于1 9 3 0 年至1 9 8 0 年，但是直到上个世纪8 0 年代初，m o r l e t 和 a r e l - l s 等人才首次提出了“小波”这个概念。m o r l e t 当时的主要工作是通过分析由爆破 方法产生的人造地震数据来探知地下石油的分布层，即如何从地震反射信号中提取有用 的信号信息。但是，在探测高频时，假如送到地下的可调脉冲波持续时间太长，便不能 用来分辨密聚的地层结构。因此，m o r l e t 认为不能始终发射相同的波长，在探测商频 时应发送更短的波，这种由单个函数伸缩得到的波就是小波。1 9 8 1 年，m o r l e t 在对傅 立叶变换和短时傅立叶转换的异同、特点及函数构造进行创造性研究的基础上，首次提 出了“小波分析”的概念，给出了以他命名的m o r l e t 小波，该小波在地质数据处理中 取得了非常大的成功。然而对于身为一名理论物理学家的g r o s s m a n n ，他在量子物理 中的工作跟m o r l e t 的方法有着很多的相似性。在g a b o r 之后的将近4 0 年，m o r l e t 与 g r o s s m a r m 重新鼓动了理论物理学与信号处理领域专家的合作，使所谓的连续小波变 换得以产生。但是，这些对于从事调和分析的数学家以及致力于计算机视觉中多尺度图 像处理的研究者而言，这些观念并不是全新的。不同知识背景不同领域的科学家一起交 流，使各个不同领域的研究重新融合，从而发展了小波理论。 之后，m e y e r 对m o r l e t 的方法进行了深入系统的研究，为小波分析的诞生和发展 做出了极为重要的贡献，使小波分析取得突破性的进展。然而，当从事计算机视觉与图 像分析的研究者m a u a t 与数学家m e y e r 进行合作之后，使得小波的发展有了一个更大 的飞越。他们共同提出了多尺度分析的理论框架，这就使得以前提出的各种构造小波的 方法得到了统一，成为小波构造的通用的框架；而且，统一了各种信号处理的方法。而 d a u b e c h i e s 在多尺度分析的基础上，构造了连续的紧支集正交小波，使小波有了再一次 的突破性进展。 连续小波是这样一种函数，满足条件 r + 1 1 ；f ，( f ) 一f r - 1 必 ：1 t ，。， 。w 二， a e z 且 = 0 ，k z 。若妒w o ，则有 吻，。( z ) = 2 妒( $ 一o ) ) 。z 是l 2 ( r ) 的标 准正交基。 我们把奶，。z 称为小波基，称为小波空间。对于j 较大的情形，小波空间- 巧 中的函数就以高的频率变化。这是由于m 是由妒( 2 j z ) 经过平移生成的。定理1 3 表示 l 2 ( r ) 中的任意函数都可以由频率不同的成分表示出来。在这个定理中的无限求和可以 理解为有限求和的极限，在实际应用中只对有限和计算。 因此，问题归结为利用母( t ) 构造一个函数妒( t ) ，使它的整数平移 e f t a ) ) 。z 构 成w 0 的标准正交基。我们当然希望妒( t ) 具有较好的局部性与光滑性，而这在很大程度 上取决于( t ) 的局部性与光滑性。因此首要的问题在于如何构造尺度函数( t ) 使其具有 较好的局部性与光滑性。但是有的函数局部性较好但是光滑性太差，有的函数光滑性较 好但是局部性很差，或者取一个局部性和光滑性都很好的函数又不一定能够满足m r a 定 义的要求。所以我们就要提供一个构造尺度函数较好的方法，此时，细分方程( 又称双尺 度方程) 便应运而生。 浙江大学硕士学位论文5 1 3 细分方程的主要概念 由多尺度分析的定义及其性质，可以知道个正交的m r a 是可以来构造空间 l 2 ( i r ) 的，而根据多尺度分析得到的 w j ) 3 e z 同样可以构造空间l 2 ( r ) 。下面我们就来 研究 l 吩) j z 以及小波函数。 定义1 4 设 k j z 及咖( 。) y o ，而 以( 2 z q ) ) 。z 是的标准正交基， 且$ ( o ) = 1 ，故有 庐( z ) = 。( d ) 庐( 2 z 一口) ( 1 1 ) 口z 我们称此方程为细分方程( 又称双尺度方程) 。令 妒( ) = ( 一1 ) 。( 1 一q ) 妒( 2 z a ) ( 1 2 ) a z 及奶，。( z ) = 2 妒( 2 j x a ) ，则 也，。) 。z 是工2 ( r ) 的标准正交小波基。 细分方程是小波分析中的核心方程，多尺度分析在小波分析中有着举足轻重的地 位，通过多尺度分析便可以构造好的小波，而细分方程的解西如果有好的性质并再加上 其他的条件就可以构造多尺度分析，从而构造了正交小波。因此，细分方程既然具有如 此重要的地位，那么对它的研究工作则是不容忽视的。本文的主要研究成果也就是围绕 这细分方程来展开的。 引理1 5 令，。( t ) = 妒 一a ) ，则 如，。( z ) ) 。z 是标准正交系 = 争l 乒+ 2 k l r ) 1 2 ； 七z 1 。 引理1 6 令日( ) = j 1 n ( q ) e - i a f ，其中 ( q ) ) 是由细分方程确定，则函数 日( ) 是周期为2 7 r 的函数，且 i h ) j 2 + 1 h 篮+ 万) j 2 i 1 由这两个引理我们可以得到对m r a 的较好的刻画。在工2 ( r ) 中取定一函数( z ) ， 假定它具有较好的局部性( 有限区间外恒等于零或很快趋于零) 与光滑性( 具有某阶连续导 数) ，且满足 ( a ) 妒( ) 连续有界，且毋( o ) o ( b ) 0 a s i 嬉+ 2 k ，r l - p + o 。 衄：z ( c ) ( 2 ) 函( f ) 是周期为2 1 r 的平方可积函数。 那么，函数西可以生成一个多尺度分析。 此外，我们对细分方程做出限制，还可以给出另外一个定理来构造多尺度分析。 6第1 章向量细分方程以及应用 定理1 7 设毋是一个紧支集的连续函数并满足如下条件： ( 1 ) 标准正交性条件j ：毋( z ) 硬；= 可如= 氕山女，1 z j ( 2 ) 标准化条件j ：= ( z ) 如= 1 ； ( 3 ) 细分方程( z ) = n 缸) 咖( 2 一a ) 只有有限个a 缸) 非零e a e z 令y j = s p a n ( 2 z 一) z ，则 ) j z 构成一个多尺度分析。 细分方程不仅在小波中的多尺度分析中有着重要的作用，它也同样应用在其他领域 中。在计算机图形中有一种算法叫做细分算法，根据这个算法，获取了性质好的面具， 也就是细分方程中的( 口) 如果找出好的面具o ( o ) ，那么对于所需要的逼近也就可能越 准确。所以，细分方程的作用是不可忽视的。 1 4 多重小波 在小波分析理论中，有一个尺度函数咖( z ) 的伸缩、平移生成的基函数而建立 起来的多尺度分析是最基本的内容之一。标准的m r a ( 也称标量m r a ) 通常只考虑 妒0 ) 为标量函数的情形，1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 等人证明了除h a r t 小波外，不存在具 有对称紧支集的标量正交小波变换，虽然样条小波是对称的、连续的，并且光滑性 也很好，但不是紧支的。线性相位特性在图像处理中有着重要意义，为了保证在正 交的意义下保持系数的对称性，2 0 世纪9 0 年代初期，人们将标量小波推广到向量 空间上，即上。( r ) 的子空间v 0 由向量函数= 【妒， ) ，庐2 ( z ) ，办0 ) 】r ( 也可以视为 多个尺度函数庐1 ( ) ，也( 。) ，拆( z ) ) 生成。记向量函数= 陋- ( $ ) ，如( z ) ，西( $ ) t ，它同样满足相应的尺度方程，并且由( ) 可以生成相应的多重小波( 向量小波) 妒= 眇l ( z ) ，他( z ) ，似( f ) p 。最早的多重小波是a l p e r t 用多项式构造的不连续小 波。此后，g e r o n i m o ，h a r d i n 、m a s s o p u s t 等人用分形差值的方法构造了g h m 多 重小波。很显然，与经典的标量小波相比，多重小波无论是构造还是应用都更为复杂， 因为它考虑的不再是简单的数和多项式，而是矩阵和矩阵多项式。从形式上看，多重小 波是标量小波向向量空间的一种很自然的拓展，但是需要指出的是，小波拓展到矢量以 后，将具备一些比标量小波更好的性质，如同时具有正交性和对称性、紧支性、消失矩 等性质，这些性质在信号处理等诸多领域中的应用都是十分重要的。 与由一个尺度函数生成的多尺度分析概念类似，下面给出由多个尺度函数生成的多 尺度分析概念。 定义1 8 设 ) j z 是空间l 2 ( r ) 的一个闭子空间列， y j b z 被称为工2 ( r ) 的一 个r 重多尺度分析，如果 y j b 朗满足下面四个条件： ( 1 ) c v j + 1j z 浙江大学硕士学位论文7 ( 2 ) nk = o ) ，u 可= 如( 目 o ，吐 ( 3 ) ，( ) y j = 寺s ( 2 x ) k + 1 ， ( 4 ) 存在r 个函数j ，( z ) ，妒- ( z ) 即 j z 办( z ) ，使得 ( z q ) ) ，_ 1 2 ，z 是k 的r i e s z 基。 = s p a n 妒i ( x 一) e 1 如v z 且存在正常数a 和b ，使得对任意 0 = 1 加 z z 2 ，有 rrr a 卅剑砖啦 一硒惦sb 闽2 ( 1 3 ) k e z i = l k e z = 1k e z = 1 其中庐t ( z ) ，j 1 2 ( z ) ，办( z ) 称为尺度函数，v j 称为逼迸空间。如果尺度函数。( z ) ，如( 。) ，办( z ) 使得它们的整数平移 以扛一) b 1 如。；k z 构成的标准正交基，则称 k b z 为l 2 ( r ) 的一个r 重正交多尺度分析。 由定义可以看出，标量小波是多小波的特殊情况。 若记向量函数妒，( z ) ，也( 功，办扛) ，向量= ( c ，砖，聿) 7 ，则( 1 3 ) 式可以写 成 ki 。2 i i 勘 一蚓i ；b k 。2 ez崩ezi=1k e z 下面介绍r 重正交多尺度分析的一些主要性质。 设 b e z 是由尺度函数= 毋- ( z ) ，妒2 ( z ) ，由( z ) 】t 生成的l 。( r ) 的一个r 重正 交多尺度分析。由y ocv 1 可得到细分方程 ( z ) = n ( o ) 妒( 2 z a ) a e z ( 1 4 ) 其中o ( 口) 是r r 矩阵。 设晰是k 在巧+ 1 中的正交补空间，即k + l = v jow j ，则存在r 个标准正交 的小波函数妒，( ) ，仍( z ) ，以( z ) w o ，如果妒。，妒2 ，协是具有紧支集的，则 妒= ( 妒1 ，仍，协) t 可以表示为： 妒= 6 ( a ) ( 2 。一n ) a z 其中b ( f o ( z ) r 。下面的定理刻画了b 的形式。 、 定理1 9 令n ( f 0 ( z ) ) “，妒= - ( z ) ，。( ) ，办( z ) 】t 是细分方程 妒( z ) = 。( a ) ( 2 z n ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 8 第1 章向量细分方程以及应用 的规范化解，其中 咖( 一口) ：j 一1 ，r ，口z 是如( r ) 的正交系。令妒= ( 妒1 ，妒2 ，一，咖) r 是( 1 5 ) 中所给出的向量，则曲，如，协是m r a 下的多重正交小波 的充分必要条件是 ：a ( a ) b ( a + 2 7 ) = o z ， ( 1 7 ) o z 且 6 ( ) 6 ( o + 2 7 ) = 2 5 ，, o z ( 1 8 ) a z 若记屯。( z ) = 2 庐( 2 j x n ) ，妒( z ) = 2 撕( 2 j x n ) 则 醒。) ，l ，k z 是k 的一组 标准正交基， 绣。) ，z 玉，艇z 是的一组标准正交基，f 媚。 ”z 加r j , k e z 是如僻) 的一组标准正交基。 多重小波与单小波( 标量小波) 还是有很多不同的，比如在具体的应用中，单小波 可以直接利用分解与重构公式对信号进行滤波，但是多重小波来说，就不能直接利用分 解与重构公式对信号进行滤波，而应该在分解前对数据进行预处理，对处理后的数据再 进行分解，同样，对重构后的数据也要进行后处理彳能得到需要的结果。不同的多重小 波有不同的预处理和后处理方法。 用多重小波对信号处理进行滤波时，在第一层分解之前，要先对原始数据进行预处 理，再进行分解。如果进行多层分解，不要再进行预处理。在重构过程中，按相反的顺 序进行，在最后一层重构之后进行一次后处理就得到所需的结果。 1 5 多元小波 对图像来说，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行 压缩。在同等的通信容量下，如果图像数据压缩后再传输，就可以传输更多的图像信 息，也就可以增加通信能力，例如，用普通的电话线传输图像信息。图像压缩研究的就 是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的噪声比，在压缩传输后还要恢复原图 像，而且在压缩、传输和恢复中还要求图像的失真小等等。 图像压缩是小波分析应用的一个重要方面，它的特点是压缩比高、压缩速度快、压 缩后保持图像的基本特征不变，且在传递过程中可以抗干扰，实现累进传输等。 图像显然是二维函数可以表示的，所以，为了更好的对图像进行处理，我们需要的 是二维小渡。这样，我们就把一维小波推广到二维小波。但是，在实际应用中，有时= 维小波也是不能达到要求的，所以我们可以将二维小波再推广到高维小波，为我们生活 中的实际问题提供了一则通用的方法。 多元小波也称为高维小波，是多元函数，首先来介绍一下多元小波的概念。 浙江大学硕士学位论文 9 设i a ( i t ) 是中平方可积函数的全体，( ) ，9 ( z ) l a ( r 。) 的内积定义为 = | f ( x ) 一g ( x ) d x 。 相应的范数为 i i f i l l ：( r ) = ， 这里是s 维欧式空间，f ( x ) = f ( x l ，x 2 ，) ，d x = d x l d x 2 如。 f ( x ) l 2 ( 础) 的傅立叶变换为， ，( ) = ，( z ) e - i z 出， j i t s 其中，z f = z 靠是向量z 与向量的内积。 令w j 是k + 1 的正交补空间，即 巧+ l = 巧o w j 则对于任意的j f ，有上m 并且工2 ( r 5 ) 能分解成空间的正交和，即 三2 ( 群) 一o 肛2 0 肌l o w o o m o w 2 0 = q z 空间序列 w a j z 也满足条件( 3 ) 。 多元小波的讨论比较复杂，在此我们只介绍一个结论。 如果如( 础) 生成一个多尺度分析并且它是正则的，即 i 0 ) i ( 1 m ( 1 + l z l ) 一” 当趋于正无穷大时对于所有自然数m 都成立，则在中存在小波函数 矿h s ，s 2 一1 ，使 矿扛一a ) ) 。z s , l s ，2 一1 是w j 的标准正交基 如果记 。( z ) = 2 p ( 2 j = 一o ) ，j z ，k f ， 则容易证明 1 】c ) 。z 1 r s 2 一1 是的标准正交基，从而 孵。) ，z 口e z s 1 1 时，假定h ( 0 ) 满足( 2 4 ) 式，m 研究了在( 岛( r ) r 中当m = 2 ，5 = 1 时细分格式的收敛性；l o n g 和m o 刻画了在( l 2 ( 酞) ) 中细分格式的收敛性；s h e n 研 究了在( l 2 ( 1 8 ) ) r 中m = 2 1 时细分格式的收敛性。 在假定扩张矩阵m 是各项同性的情况下，m 相似于对角矩阵d i a g ( a l ，) 其中 i 以j = = i f f l i ，很多文献证明了在s o b o l e v 空间( 孵( r 5 ) ) ( 1 p o o ) 和w 参( r 。) 中 细分格式的收敛性( 参考文献【1 1 ) 。 对与多元向量细分方程的研究，是研究多小波和多元小波的基础，因为多元向量细 分方程是构造好的尺度函数的核心，尺度函数是m r a 的基础，所以对多元向量细分函 数的研究就显得至关重要了。 2 2多元细分方程解的性质 这一部分是本文的主要创新成果之一，主要获鼐了多元细分方程解的一个重要的特 第2 章多元向量细分方程解的性质 性，其中a 是一个无限支集的面具，m 一个8 s 整数矩阵并且满足l i r a m n ：0 ， n + 称为整数扩张矩阵。 定理2 1 令l 1 ( r s ) 和a l l ( 刀) 。如果妒满足多元细分方程则有 证明：对于多元细分方程 ( 一o ) = 毒( o ) n z 5 ( z ) = 。( a ) ( m x - a ) ，。彤， ( 2 7 ) n 舻 两边同时做傅立叶变换，我们可以得到 毒( ) = 日( ( m 7 ) 一1 f ) 乒( ( m r ) 一1 f ) ，f 科，( 2 8 ) 其中 昧) = 去三牲。，删 这里m = i d e t m i ，由( 2 8 ) 可以得到 七 毒( f ) = 日( ( m r ) 。 ) 毒( ( 矿) 一。f ) ， ，( 2 9 ) = 1 如果1 日( 0 ) i l ，在( 2 8 ) 中我们可以选= 0 ，那么 毒( o ) = 日( o ) 壬( o ) 可以得到$ = 0 。如果乒( o ) 0 ，则日( o ) = l ，而i h ( 0 ) i 1 ，所以我们可以得到这个 结果是矛盾的 我们令i h ( 0 ) 1 则意味着对任意固定的瞅和足够大的j ， 1 日( ( f r ) o ) 引 1 ，f r 8 ， 因此，在( 2 9 ) d f 我们令一，可以得到毒( ) = 0 。这对任意的f 都成立。则有 ( 岳) = = 壬( ) e 缸 d = 0 ，r o j i t 所以西= 0 。 现在我们令1 日( o ) l21 。在( 2 9 ) 中选择f = 2 r ( ( m r ) 。归，其中卢刃 o ，我们 可以得到 毒( 2 7 r ( ( m 7 ) ) p ) = h ( o ) $ ( 2 叩) ，p 刀 o ) ， 浙江大学硕士学位论文 1 3 因此 l $ ( 2 ”西 i 参( ( 矿) 卢) f 对于上面的不等式令k o 。并且应用r i e m a r m - l e b e s g u e 引理，可以得到 西( 2 7 r p ) = 0 ，p z 飞 o ) ( 2 1 0 ) d a ( 2 1 0 ) 黼l j ( 2 6 ) 如果咖三1 ( 融) 是紧支的，可以用泊松和公式证得。般的， 我们可以用在l 1 ( o ，1 ) 。) 中的以1 为周期的傅立叶级数展开( 一n ) 得到： a e z 。 则 其中傅立叶系数 o a ) 一c ( p ) e i 2 ，r 肛，z 【0 ，1 ) l a z 3 口z c ( 萨t 三鼬叫e 卅艰。出 = 上。弛) e _ 刎= 参( 2 删 c ( 卢) e 一2 m 。= 乒( 2 丌卢) e 泖。4 口驴口p = 乒( o ) + ( 2 邛) 刎。= 参( o ) 而妒( o ) 同样也有相同的傅立叶级数展开式，如果两个方程有相同的傅立叶级数展开式， 则这两个函数相等。 因此， 妒( - 一a ) = _ n z j 2 3 多元向量细分方程解的性质 这一部分也是本文的创新内容，我们将关注一下多元向量细分方程的解的一个性 质，其中o ( o ) 是rxr 的矩阵，m 一个s ) s 整数扩张矩阵并且满足l i r am n = 0 定理2 2 铘( 厶( r 8 ) ) ，e l t = ( 1 ，0 ，o ) 并且日( o ) = 1 面1 丽n ( 口) 满足f 2 5 j ，声( o ) = ( 1 ，0 ，0 ) 。如果妒是可细分的，则 a 舻 e l r 币( 一a ) = 1 n z 。 ( 2 1 1 ) 1 4 第2 章多元向量细分方程解的性质 证嘲首先尉仁1 ) 两边同时作用傅立叶交换，可以得到 $ ( f ) = hc ( m t ) 一1 ) ( ；( ( m r ) 一- ) ( 2 1 2 ) 其中日( f ) 21 南互。( 。) e ，f 肚 由( 2 1 2 ) 可得 声( ) = h ( ( m t ) 一。) 氟( m t ) 一f ) ，f 彤 ( 2 1 3 ) 如果我们选择= 2 7 r ( 矿) ) p ，p 刀 o 由( 2 1 3 ) ，我们可以得到 乒( 2 丌( 矿) 。p ) = h ( o ) 乒( 2 卵)( 2 1 4 ) 将( 2 1 4 ) 两边同时乘以8 1 t ，得到， e 孙( 2 ”( m 7 ) t 3 ) = e 胪( o ) $ ( 2 ”p )( 2 1 5 ) 因为 所以可得 令女_ + o o ，则 e h ( o ) = 奇 巧$ ( 2 7 r ( 订t ) 。卢) = e 声( 2 ”卢) 舰西乒( 2 ”( m r ) 妒= 3 骢e 孙( 2 ”p ) = 矗乒( 2 ”卢)k _ 耐。 。 应用i i i e m a n n - l e b e s g t l e 引理，能够得到 e $ ( 2 7 r 卢) = 0 ，p z 弋 o f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 由( 2 1 7 ) 可以得到( 2 1 1 ) 。如果曲l 1 ( ) 是紧支的，则可以用泊松求和公式得到。 通常情况下，考廖以1 为周期在( l ，( o ，1 ) 。) ) 中将( 一o ) 展成傅立叶级数： o z 矗妒0 一q ) 一e c ( p ) e 刎。，z 阶) 其中傅立叶系数是 承( 萨e l 三弛刊e - d 2 r b z 如 浙江大学硕士学位论文 1 5 = 口妒( $ ) e 啦胡4 如= 刁参( 2 祁) ，r 则 e c ( p ) e 一2 帕。= e ：；( 2 ”p ) e 。砸。 芦z 口z i = e 和( o ) + e $ ( 2 丌2 艰。= e $ ( o ) 卢z 0 而e $ ( o ) 同样也有相同的傅立叶级数展开式，如果两个方程有帽同的傅立叶级数展开 式，则这两个函数相等。由于函( o ) = ( 1 ，0 ，o ) ，因此e 参( o ) = 1 。 所以， 毋( 一a ) = 1 _ 第3 章永波分析在各个领域的应用及展望 3 , 1小波分析在各个领域中的应用 小波分析在当今各个领域都得到了广泛的应用，它弥补了傅立叶变换及窗口傅立叶 变换的不足，在信号处理、图像压缩、通信处理、信息安全、医学、化学、石油地质勘 探、机械工程等各个领域中都有着重要作用，下面我们将对小波分析在各领域中的应用 做一个概述。 3 1 1小波在图像压缩中的应用 多媒体技术是一种全数字技术，文字、图形、图像、视频、动画和声音都可以用数 字化的形式表示，但是计算机在处理这样的多媒体信息时，需要大量存储空间，这对通 信信道及网络都造成很大的压力从而成为制约多媒体数据高效处理的瓶颈。特别是在分 布式网络多媒体应用技术中，为了达到令人满意的视频画面质量和听觉效果，需要对视 频信号和音频信号进行实时处理。为了提高处理速度，对数据实现高保真、大压缩比的 压缩成为必要。人们所指的数据压缩主要包含无损压缩( 无失真) 和有损压缩( 有失真) 两大 类。所谓无损压缩是指图像经过压缩后可以完全得到复原，复原后的图像与原始图像完 全一致；而有损压缩则是指经过它处理后的数据在基本保持原图像的特征的前提下，不 可避免的丢掉一部分认为不重要的图像原始信息。目前，基于小波变换的图像压缩方法 已经逐步取代基于离散余弦变换或者其他子带编码技术，而成为新的图像压缩国 际标准的首选方法。 图像数据之所以能够进行压缩其数学机理主要有下面两点：( 1 ) 原始图像信息存在着 很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻象素之间色彩的帽关性等，信息中这些 冗余信息将会产生额外的编码。如果去掉这些冗余的信息，就会减少信息所占的空间。 例如，“美利坚合众国”可以压缩成“美国”，这样就能大大节省存储和传输的开销。 当然，冗余信息在某些情况下是非常有用的，具有一定冗余度的信息能有较强的抗干扰 能力。当消息在传输中受到干扰而出现错误时，这些冗余信息可以帮助人们根据上下文