（概率论与数理统计专业论文）框架条件和beurling密度的关系.pdf

摘要 框架理论最早是在1 9 5 2 年由r d u f f i n 和a s c h a e f f e r 提出来的在复指数系统 和g a b o r 系统的研究过程中发现：b e u r h n g 密度和一列函数成为框架的关系是非常 密切的本文主要讨论了在复指数系统和g a b o r 系统中，成为框架的条件和b e u r l i n g 密度之间的关系全文分成了四个部分：第一部分主要是给出了有关框架和b e u d i n g 密度的一系列的基本概念；第二部分给出了框架理论和b e u r l i n g 密度理论中的一些 基本的定理，这些定理是基本的、对这部分的研究是非常重要的；第三部分将注意力 集中在了复指数系统中，在研究s e i p 和j a t f a r d 的文章的基础上，增强了j a f f a r d 的 文章的一个定理的结果，并研究了复指数系统的指数系数序列为复高维的情况；第四 部分集中精力讨论了b e u r l i n g 密度在g a b o r 系统中的应用，这部分在总结以前结果 的基础上，对相关理论进行了进一步的研究 关键字：框架， b e s s e l 序列，r i e s z 基，b e u r l i n g 密度，复指数系统， g a b o r 系统 a b s t r a c t t h ec o n c e p t i o no ff r a m ew a sd e f i n e db yrd u m na n da s c h f i e ri n1 9 5 2i n t h ep r o c e s so fs t u d y i n gc o m p l e xe x p o n e n t i a l sa n dg a b o rs y s t e m ，i tw a sf o u n dt h a t t h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ec o n d i t i o n sf o rb e i n gaf r a m ea n dt h eb e u r l i n gd e n s i t y i sv e r yt i g h t l y i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ec o n d i t i o n st o b e i n gf r a m ea n db e u r i n gd e n s i t yi nc o m p l e xe x p o n e n t i a l so rg a b o rs y s t e m t h e r e a r ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v es o m ee s s e n t i a ld e f i n i t i o n sa b o u t f r a m ea n db e u r l i n gd e n s i t y i nt h es e c o n dp a r t ，w es h o ws o m ee s s e n t i a lt h e o r yt o t h er e a d e r s i nt h et h i r dp a r t ，w ep a yo u ra t t e n t i o nt ot h ec o m p l e xe x p o n e n t i a l s t h r o u g ht h es t u d yo ft h ep a p e ro fs e i p sa n dt h ep a p e ro fj a f f a r d s ，w ec a ng e ta b e t t e rr e s u l tt h a nj a f f a r d i nt h ef o u r t hp a r t ，w ef o c u so nt h ea p p l i c a t i o no fb e u r l i n gd e n s i t yi ng a b o rs y s t e m k e yw o r d s ：f r a m e ，b e s s e ls e q u e n c e ，r i e s zb a s e ，b e u r l i n gd e n s i t y ，c o m p l e xe x p o n e n t i a l s ，g a b o rs y s t e m 本文主要结果 本文中主要有以下结果： 1 定理a 人= h ) r z 是r 中的序列，区间j 满足：m ( i ) = 2 a t ，( a 0 ) 如果 p h 。) z 是驴( ) 中的框架，则对v 0 n 0 ) 使 e “h 4 。e z 是l 2 ( q h ( 。) ) 的框架，则有： d + ( r e a ) 。( 其中r e a i p 。) 。z ：p 。= r e k ，v n z ) 3 定理cq = “h ) 。z ，f = ) 。z 是r 4 中的两个序列，g l 2 ( 彬) o ) ， 则： ( a ) 如果 e 。9 ) k t z 满足框架条件的左不等式，则d + ( r ) = c o ( b ) 如果 e 0 耳。9 k 。z 是b e s s e l 序列，则d + ( q ) m o ， ( m o 是某一正数) ，且g 有紧支撑但是对于任何d 一 r o o ，一定无法满足 框架的左不等式 1 1 1 第一章基本定义 定义1 1 设e r ，l p o o ，令 l 9 ( e ) = ，：，在e 上可测而且丘i f ( z ) t 9 d x 0 ，都存在有限线形组合。l $ 1 十c 2 如+ + c n x 。，使得 z 一( c 1 x l 十c 2 x 2 + + c n z n ) | | 0 ，使对任何n ( n z ) ，有 0 若常数5 0 ，使得对任意j k ，1 一h 卜5 ，则称6 是分离常数 r 砂 k 是1 称为是相对一致离散的，如果 扎挺。是有限个一致离散序列的并集 定义l _ 9a = ( 扎 z 是r 。中的一个序列，z r d ，h 0 ，q ( z ) 表示r 4 中 以。为中心，h 为边长的半开长方体，即 d q h ( z ) = n f z j h 2 ，q + h 2 ) ，z = ( z l ，2 d ) j = l 易知对任意h 0 ，( ( h ( n ) ，。e 两两不交且是r 。的一个覆盖设矿m ) 和 m ) 分别表示a 位于方体龟l ( 力中的最大和囊小的点的个敷，即 + ( ) = s u ph ( an0 & ( 2 ) ) ， ”一( ) = 础i n f 。6 ( a nq ( 功) a 的b e u r l i n g 上密度和下密度分别如下定义 d + ( a ) _ 。l i _ ms u p 掣， d 一( a 卜h l i m 。i n fv - 俨( h 当d + ( a ) = d 一( a ) 时，我们说 有一致的b e u r l i n g 密度，即 d ( a ) = d + ( ) = d 一( a ) 2 n d 第二章基本理论 引理2 1 平移算子丁具有以下两个性质： 对任意1 2 剃，瓦是一个酉算子 以。对任意，l 2 ( r 8 ) ，y 一咒，是r d 到l 2 ( 础) 的连续函数 引理2 2 ( f 明) 设a 一 九) z 是删中的一个序列，则下列命题等价： 俐d + ( a ) 0 ，存在自然数 k 使得r d 中的任意一个长方体 q h ( h n ) ，nez 4 至多含有风个a 中的点，即 s u p6 ( a n 仉( n ) ) 0 ，使 矿k 2 ) 自。z 是l 2 ( 一且，a ) 的b e s s e l 序列，则 s u p | l m a k i 0 倒d 。l 2 ( 6 ，c ) = l 2 ( 曲，n c ) t j k k z 是一个复数序列如果 e “- 。) 女z 是l 2 ( 6 ，c ) 的框架，则 e o , k x 。) k e z 是二2 ( 曲，n c ) 的框架 证明( t ) 对任意的，l 2 ( 6 c ) ，由它的定义知道 r c ) l ，( 茁) | 2 d x o 。定义 删= d 。，= 击孵) 则有 z，。，il(abz ) 1 2 a z = j ( a b ，。，；i ，( ；) 2 a 。 j ( ，d c )( ，d c ) “ u = 五慨，i ，( 到2 a ( i ) = 五一i ，( 训2 出 o 。 从而 d 。l 2 ( 6 ，c ) l 2 ( 曲，o c ) ( 2 1 ) 另一方面，对任何厶l 2 ( 曲，a c ) ，令 ，0 ) ；d l 厶0 ) = 伍厶( a z ) 即： 厶缸) = d 。f 所以我们可以得到； li f ( 列| 2 虻l 叫“) | 2 出j ( 6 ，c )j 抽，c ) = i a ( a z ) 1 2 d a x = i a ( x ) 1 2 d x o 。 q 6 ，c )j ( a b 。) 即：f l 2 ( d ，c ) 从而 l 2 ( a b ，a c ) d 。工2 ( 6 ，c ) ( 2 2 ) 由犯1 ，和犯2 ，得 d 。l 2 ( 6 ，c ) = l 2 ( a b ，a c ) 所以命题( i ) 成立 ( i i ) 因为 e i a k x ) e z 是l 2 ( b ，c ) 的框架，则由引理2 3 知，s u p zj i m a k 。不 妨设 s u pi i m x k k e z 对任意厶( z ) l 2 ( a b ，o c ) ，令 ，( z ) = ：，o ) ( z ) = 佩( o 。) 所以有 s u pj i m a k a i = m a o o k e z 由，( 七) 的定义，容易得到矗如) = z 1 八：z ) - 再由( t ) 知道，f l 2 ( b ，c ) ，且有 i ，( z ) 1 2 d x = i ，o 和) j 2 d x j o c )j ( d 6 ， 所以我们可以得到： fl2(ab,ac)lkez 2 2 篆儿。，脚) 丽如ik zt 。、一，肼， = 篆比，击畦，。一1 2 = 。薹 厶堰，i 蕊砀c 刮2 篆m ) 厕。j _ - 。羡| l 2 ( b , v ) 。 4 ( 2 3 ) 其中a 和b 是 e “t 。) k e z 作为l 2 ( b ，c ) 中框架的下界和上界 另一方面，由r 23 j 可得： i i s i i i 。( 6 。) = 忱嵫( “。) 所以由盘4 j 和仁5 j 可得： n al l 丘睦：( 。b ，0 c ) i c z ( “。) 1 2 n b0 厶i i i ：( 曲。) k e z 所以我们得到( e 2 h 。“ k z 是l 2 ( 曲，o c ) 的框架 引理证毕一 5 f 24 1 ( 25 ) o 铲 ， 日n d 吖h e 丘 眦 0 肌= k + 1 4 k 1 ，且a 是相对一致离散的 另设r = p 。) 。z ，且p 。= 2 n ，v n z 则有d ( r ) = 1 2 ，r 不满足定理2 1 中的曲要条件，所以e ( r ) 不是l 2 ( 一7 r ，”) 中的 框架 另一方面，对v s l 2 ( 一，w ) ， f 1 2 = 4 j f 2 npnr 因此，e ( a ) 是l 2 ( 一7 r ，7 r ) 的框架 = = c ( r ) 是l 2 ( 一7 r ，7 r ) 的框架但是e ( r ) 不是 驴( 一7 r ，”) 的框架，所以c ( h ) 也不是l 2 ( 一 ，7 r ) 的框架y - $ 7 说明定理j 中，条件 “a 中的点两两不同”的必要性 由引理2 4 知，通过对上面两个定理进行简单的变量替换，可以很容易的把定理 进行推广： 定理1 口是个大于0 的实数，为了使系统( a ) 是口( 一n ，口7 r ) 中的一个框架， ( 1 ) 岿要条件是a 相对一致离散，且d 一( a ) 2a ( i i ) 充分条件是a 相对致离散，且d 一( a ) a 定理2 n 是个大于。的实数，为了使系统( a ) 是l 2 ( 一a t r ，n 7 r ) 中的一个r i e s z 序列， 7 ( i ) 必要条件是a 一致离散，且d + ( a ) sa ( i i ) 充分条件是a 一致离散，且d + ( a ) n 在川4 中，j a f f a r d 给出了下面的结论： 定理3 ( 【4 1 ) a = a ) k e z 是实数列，则以下条件等价： ( i ) 存在区间，使 e “t 。) z 是l 2 ( ) 中的框架 ( i i ) a = a o u a l ，其中a o n a l ；o ，a o 有一致密度，a 是相对一致离散的序 列 此外，若条件( i i ) 成立设a o 有一致密度d ，则对于任何区间，满足：m ( i ) 0 ) 如果 h 。) z 是三2 ( ，) 中的框架，则对v0 a 0 ，使得任何长度为上 的区间上至少有a 中的f a l + 1 】个点即在【_ a 2 ，l a 2 ) 中至少有a 中【口五+ l 】 个点我们在其中取【a l l 个点记为细，p i 埘一1 v n n ，他 1 ，在【m 一1 ) l n 2 ，n l 一口2 ) 中至少有a 中【口二+ 1 j 个点，而且 i n a l 】一i ( n 一1 ) a l 】i a l + 1 所以从这个区间中可以取出 h a l 】一【m 一1 ) a l 个 点，作为p i ( 。一1 ) 。纠，p 【。q 一1 对任何批，k 0 ，有非负整数n o ，满足 n o a l k 【( n o + 1 ) a l l ， ( 3 1 ) 即 p k 【n o l 一吖2 ，( n o + 1 ) l n 2 ) ( 3 2 ) 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 知道： j p k 一8 f m n z ( ( n o + 1 ) l 一( n o l a 2 ) ，( n o + 1 ) 二一2 一( n o l 一1 口) l + 1 a + n 2 8 对于小于0 的部分，采用同样的方法抽取从而，可以从a 中取出 肌 e z ，满足 即 肌) k z 有一致密度a ，记a o ； 批 z 又因为a 本身就相对一致离散，所以a 。= a 也是相对一致离散的所以a = a o u a l ，满足条件 定理证毕 3 2 系数序列为复数序列的情况 在以上的讨论中，a = a 。 。t z 都是作为酞中的序列如果a 作为c 4 中的序 列，会有什么样的结果呢? 通过研究，我们可以得到下面的结论： 首先我们给出一个引理： 引理3 1 给定r 4 中的长方体q h ( n ) ，( 0 0 、z q ( ) ，存在j 0 ， 呐p 一，1 2 赢 所以当| 一a o l 0 所以存在h 0 ，使得： 肛艋 ( 圳嗾吲删。f l 2 ( q 删| o 因为a 不是相对一致离散的，从而对任何n n ，有a o c 4 ，使a 中满足 r e ( a 。一a o ) ( - h ， ) 4 ，i r n ( 2 。一a o ) ( 一h ， ) 4 的至少有i v 个点令 a n ； n z ：r e ( a 。一a o ) ( - h ， ) 8 ，i m ( a 。一蜘) ( - h ， ) “) 】n 从而 j l 2 ( 州嘞 2 = n 6 a ni h ( a ) e 吲z 1 2 肛2 ：丽g i 餐一栌一，呱， = i 一| i e 。 | ir 咿q h ” ”“w 小叫4 又因为a 中的点虚部有界，所以我们不妨设i m a o ( 一m ，m ) 4 所以存在m 。，使 0 l e i 矧蝴s 坛。 由n 的任意陛知f e t “一 。z 不是b e s s e l 序列，从而产生矛盾，所以a 相对一致 离散 ( 2 ) 证明d + ( r e h ) 0 是它的分离常数定义m 南，n i 噤 + 1 定义f 手中一系列长方体如下； e 。1 ，m = 【( n l 一1 ) m ，h i m ) 【( 礼d 一1 ) m ，n d m ) 其中，对于1 i d ，一n 6 2( s 3 ) 由f 。的定义知道， ( 1 r n a l - i m a 2 ) ：s 笔+ 一+ 竺4 d ：竺4 ( 34 ) 由( 3 3 ) 和( 3 4 ) 我们可以得到： ( 蹦。一r e 2 耘 即警d 是r e f 。的分离常数 由r 。的任意性可知r e a - 是相对一致离散的 同理可以得到r e a ”，r e a ，都是相对一致离散的所以r e a 是相对一致离散的 即： d + ( r e a l 。 定理证毕 第四章g a b o r 系统 g a b o r 系统是指形如 昂咒g “6 1 t 这样的系统，其中g 是铲( 彬) 中的函数 为了书写上的方便，记： g ( a ，g ) 三 e b t 。g ( 。， ) = g 。，6 ：乳，6 = e 2 r i b x 口 一。) i ( d ，6 ) a t ( f ，g ) e 9 ) 。r = g 。：乳= 9 ( z 一口) 口r ) 4 1 成为框架或r i e s z 基的条件 在f 7 1 中，作者给出了以下的定理： 定理4 ( f 7 ) r 是一个固定的正整数，对每个k = l ，r ，选择g t - l 2 ( 掣) 和 a cr “，满足：对任何的1 k l ，k 2sr ，如果k l k 2 ，则k ，n a k 。= 0 记 a ；u l ( ，a 女则有以下的结论： ( i ) 如果峨：。g ( h k ，虬) 满足l 2 ( r “) 的上界条件，则有d + ( a ) o 。 ( i i ) 如果u ；：。a ( a k ，g k ) 是驴( 酞4 ) 的框架，则有d 一( a ) 1 这个定理给出了g n b o r 系统中成为框架的条件，和b e u r l i n g 密度之间的关系经过 进一步的研究，我们可以得到下面的结果； 定理cq = c ) 。z ，r = 脚) 。z 是r 4 中的两个序列，g l 2 ( r 8 ) o ) ，则： ( i ) 如果 玩。缸。g k z 满足框架条件的左不等式，则d + ( r ) = o 。 ( i i ) 如果 7 k 9 ) ，z 是b e s s a l 序列，则d + ( q ) o 。，d + ( r ) v 伍5 , v m n 厶，1 j s 取h ( 0 ，6 2 ) ，ji ( 一h ，h ) 8 ，则有 f i 2 k z 1 3 s 怕) ，既。g l l 2 j = l e 0 由，的选择方式知， 【j 一) e o 是两两不交的令 j i u k l ( ，一船) 则 2 k e z 引恢，1 1 2 善么，b 如) 2 如 由控制收敛定理知道 i 9 ( z ) 1 2 d x 一0 ( 矗一o ) j j 所以不满足框架条件的左不等式所以假设错误，即有； d + ( r ) = o 。 ( i i ) 我们同样的通过反证法来进行证明 反设d + ( q ) = o 。，则q 不是相对一致离散的容易看出，影射 ( z ，y ) ，( $ ，y ) 豫缸 连续，且在0 射点非o 所以存在h 0 使； 暑，、j 彤。i l o ( # ) ( 一h ) 2 4 5。 由于n 不是相对一致离散，从而对任意的n n ，存在n r d ，使q 在 中至少有】v 个点令 0 1 一h ，口1 + h ) ( a d h ，a d + h ) q 三 七z ：咄一a ( 一h ， ) 。 1 4 ge乩x | 2 g ，昆h t o g 1 2 k e f ! n 2 = 箫慨轴i i 由n 的任意性，知道 既。咒。9 h 。e z 不是b e s s e l 序列产生矛盾因此有 d + ( q ) o 。 类似可以证明 定理证毕 d + f f ) 。 另外，我们可以注意到，t ( r ，g ) = c ( r o ) ，g ) 这样，我们可以把t ( p ，g ) 看作是a ( rx o ) ，g ) 的一种特殊的情况在文章【7 】中，作者在研究g a b o r 系统的 基础上，给出了关于t ( f ，g ) 的一个定理： 定理5 ( 1 7 1 ) r 是个固定的正整数，对每个k = 1 ，r 选择9 k l 2 ( r “) 和 f hcr d ，满足：对任何的1 h ，sr ，如果k l 乜，则r 七】nf 如= 0 记 a iu l i ，则有以下的结论： ( i ) 如果u ；：，t ( n ，g k ) 满足l 2 ( r 8 ) 的上界条件，则有d + ( r ) 。 ( i i ) 如果u z ：l t ( n ，虬) 满足口( r d ) 的下界条件，则有d + ( r ) = o 。 从而得出结论： u ；：。t ( r k ，9 k ) 不可能成为工2 ( r d ) 中的框架 4 2g a b o r 系统完备性与b e u r l i n g 密度的关系 以上讨论了为了使a ( h ，g ) 成为铲( r 8 ) 中的框架，a 必须满足的条件那么， 单单为了使g a b o r 系统在2 ( 骢d ) 中完备，对a 有什么样的要求呢? 我们将在接下 1 5 1 。对任意= 0 ，存在 9 l 2 畔) 和acc ，满足；d + ( a ) 1 ，存在掣r 8 中的可分l a t t i c ec ，d ( ) = a ，满 足下列的性质：对任意e 0 ，存在有紧支集的g 驴( r 勺和ac ，满足： d + ( a ) 0 ，所以不满足左不等式，矛盾从丽有 1 d 一( r ) 二 “0 定理证毕 1 7 那么，对于夕l 2 ( r ) o ，9 满足：m x ：9 ( z ) 0 ) m o ，( m o 是某一正 数) ，且g 有紧支撑令r = m ) * e n 。是否当d 一( r ) 足够大时，定可以找到某 个n = w k k e n ，使得 己。毛。9 ) m e n 满足框架条件的左不等式呢? 这不一定能成立我们可以找出反例，说明存在满足上述条件的g ，但是对于 任何d 一 r 。，一定无法满足框架的左不等式 例4 1 令，是豫中的一个区问，e 0 是j 上具有正测度，且没有稠点的可测 集则对于任何，q ) ci ，有( c ，d ) c ( p ，q ) ，且( c ，d ) ne o = 0 令g = x e a ， 显然g 满足条件 下面证明，如果d 一( f ) 0 ，n n ， 使l 厂中至多有r 中个点。不妨设 p o = 鲰 1 1 k ! o( 0 n ) 是这些点令r = r 1 2 0 不妨设 = ( a o ，a + 口) ，j = ( b b ，b + b ) 因为m ( j ) 仇( ，) ，所以b a 于是对于 e l 兰( a + b b + 口，a + b + b 一口) ， 有( c i ，d 1 ) e 1 ，且( c i ，d 1 ) n ( e ；d 一_ “1 ) = 儡 进一步有( 臼，d 2 ) ( c 1 ，d 1 ) ，且( c 2 ，d 2 ) n ( e o p 2 ) = 0 总之，有( d ，d p ) ce 1 ，使得 ( c i ，) n ( e o p 。) = 0( 1 礼s n o ) 1 8 至于n a 0 ， ( c 7 ，d 7 ) n ( 岛一肛。) e ln ( e j 一“。) = 0 令f5x ) ，则对任何的n n ，f 和o ( x p 。) 不能同时非0 ，即 f f 2 = 0 n 而且，r 。i f ( z ) 1 2 d x = d 7 一c ， 0 ，从而不满足框架条件的左不等式 证毕 1 9 参考文献 【1 1d u m d ，r j a n ds c h a e f i e r ，ac ： “ac l a s so fn o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ”t r a n s a m e r m a t h s o c 7 2 ( 1 9 5 2 ) 3 4 1 - 3 6 6 【2 】hj l a n d a u ：“n e c e s s a r yd e n s i t yc o n d i t i o n sf o rs a m p l i n ga n di n t e r p o l a t i o no f c e r t a i no nt i m ef u n c t i o n s ”a c t am a t h 1 1 7 ( 1 9 6 7 ) ，3 7 5 2 【3 jhjl a n d a u ：“as p a r s er e g u l a rs e q u e n c eo fe x p o n e n t i a l sc l o s e do nl a r g es e t s ” b u l l a m e t m a t h s o c 7 0 ( 1 9 6 4 ) 5 6 6 - 5 6 9 f 4 】j a f f a r d ，s ：“ad e n s i t yc r i t e r i o nf o rf r a m e so fc o m p l e xe x p o n e n t i a l s ”m i c h i g a nj m a t h3 s ( 1 9 9 1 ) ，3 3 9 3 4 8 ( 5 lj r 2 m a n a t h e n ，t s t e g e r ：“i n c o m p l e t e n e s so fs p a r s ec o h e r e n ts t a t e s ”a p p l c o m - p u th a r m o n a n a l 2 ( 1 9 9 5 ) 1 4 s 1 5 3 1 6 1o l ec h r i s t e n s e n ：“a ni n t r o d u c t i o nt of r a m e sa n dr i e s zb a s e s ”b i r k h h u s e r ，b o s t o n 2 0 0 2 【7 】o