（计算数学专业论文）投资组合风险评估的var和cvar方法及实证分析.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 金融市场风险管理是金融实务界、学术界和监管当局的重大课题和任务。v a r 和c v a r 已成为当今金融评估的重要参数。本文分别运用历史模拟法、蒙特卡罗模 拟法和最优化方法研究了v a r 和c v a r 在投资组合中的应用问题。 本文引言部分概括了v a r 和c v a r 产生的背景。文章第二部分运用历史模拟 法和蒙特卡罗模拟法对包含期权的投资组合的v a r 计算方法作了详细的研究与实 证分析。文章第三部分研究了三个问题：首先，讨论了正态分布情形下有风险资 产组合的均值一c v a r 模型，并与经典的均值方差模型进行了对比研究，给出了有 效前沿的表述和经济含义；其次，在正态分布情形下的均值c v a r 模型中引入了 无风险资产，推导出了含有无风险资产的均值c v a r 模型的有效前沿；再次，讨 论了l a p l a c e 分布情形下有风险资产组合的均值一c v a r 模型，推导出了有效前沿并 给出了其经济含义，最后，对上述三个问题分别给出了实例进行论证。 关键词：v a r ，c v a r ，历史模拟法，蒙特卡罗模拟法，均值c v a r 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t f i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n ti sa l le s s e n t i a lp r o b l e mi np r a c t i c e ，a c a d e m i aa n d s u p e r v i s ed e p a r t m e n t v a ra n dc v a rh a v eb e c o m es t a n d a r d i z e dm e a n s o ff i n a n c i a lr i s k e v a l u a t i o nc u r r e n t l y i nt h i sp a p e r , v a ra n dc v a rf o rp o r t f o l i ow e r er e s e a r c h e db y h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n , m o n t ec a r l os i m u l a t i o na n do p t i m i z a t i o nm e t h o d s t h ei n t r o d u c ti nt h i sp a p e rg e n e r a l i z e dt h eb a c k g r o u n do fv a ra n dc v a r i nt h e s e c o n dp a r t ，i tw a se x p a t m t e dt h a tt h em e t h o d so fc a l c u l a t i n gv a rf o rp o r t f o l i o s i n c l u d i n go p t i o nb yh i s t o r i c a l s i m u l a t i o na n dm o n t ec a r l os i m u l a t i o na n dt w o e m p i r i c a le x a m p l e sw e r eg i v e n i nt h et h i r dp a r t ，t h r e ep r o b l e m sw e r er e s e a r c h e d ： f i r s t l y , t h em e a n c v a rm o d e lw a ss t u d i e do nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ei n t e r e s t so fr i s k s e c u r i t i e so b e y e dn o r m a ld i s t r i b u t i o na n dw a sc o m p a r e dw i t hc l a s s i c a lm e a n - v a r i a n c e m o d e l e f f i c i e n tf r o n t i e ra n de c o n o m i cm e a n i n g sw e r eg i v e l l s e c o n d l y , r i s k - f r e ea s s e t w a sa d d e dt om e a n c v a rm o d e lu n d e rt h en o r m a ld i s t r i b u t i o nc o n d i t i o n i tw a sf o u n d t h a te f f i c i e n tf r o n t i e rf o rm e a n - c v a rm o d e lw i t hr i s k f r e e a s s e t t h i r d l y , t h e m e a n c v a rm o d e l w a sr e s e a r c h e do nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ei n t e r e s t so f r i s ks e c u r i t i e s o b e y e dl a p l a c ed i s t r i b u t i o n e f f i c i e n tf r o n t i e ra n de c o n o m i cm e a n i n g sw e r ea l s og i v e n a tl a s t ，t h r e ee m p i r i c a le x a m p l e sw e r eg i v e n k e y w o r d s ： v a i lc v a r ，h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n ，m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，m e a n c v a r i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重鏖太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：斐爿窿掘签字日期：九刀年钿侈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庆太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名：吏耥 导师签名 签字日期：w 刁年多月弓日 签字日眵，年6 析 重庆大学硕士学付论文1 引言 i 引言 金融工具的价格变动会给金融机构和其他金融市场参与者带来收益或损失。 四类基础性的市场价格因子，包括利率、股票价格、汇率和商品价格等，通过一 定的映射传导过程，影响金融工具及资产组合的市场价值。可见，金融市场风险 的源头，是这四大价格变量的波动。它们的变化频率和幅度等状况，直接决定金 融市场风险的高低。正常市场条件下，基础价格因子稳定，市场风险较低【l l 。 不幸的是，1 9 7 3 年“布雷顿森林体系”崩溃以来，全球范围内，汇率、利率、 股票价格和商品价格等的高度波动性，呈现不断加剧的趋势。基础市场价格因子 的高度波动，直接反映为金融市场风险的不断增大。更为重要的是，上世纪9 0 年 代开始，国际金融市场经历了一些重大结构性变动，这些变动主要包括：经济金 融全球化、技术创新、放松金融管制和金融创新等。它们大大增加了金融市场和 工具的关联度、复杂性、不确定性和波动性，使得金融市场风险上升，结构成分 复杂，难以测量分析。 金融市场风险不断累积，日益复杂化。如何管理它，尤其是如何对其进行较 为准确的度量，成为金融实务界、学术界和监管当局的重大课题和任务。 以v a r 为主的现代金融市场风险评估、管理方法，正是在这样的背景下，逐 步建立和发展起来的，现已成为金融风险评估的重要参数【2 】。v a r 方法试图用一个 数据简单清晰的来评价金融投资组合的总风险，又有严谨的概率统计理论依托， 它可以将不同市场因子、不同资产组合的风险集成加总，充分考虑各种风险来源 的相互作用，能够较好地反映会融市场风险复杂结构日j 的动态影响，得到较为准 确的风险暴露( r i s ke x p o s u r e ) 估计，这是v a r 方法最大的优点，是现今最流行、应 用最广泛的一种风险测量方法，也是非常值得进一步深入研究的一种风险测量方 法3 1 。 但自1 9 9 9 年以来，很多学者在经过不断的探索和实际运用部门的实践证明， v a r 虽然有其优点，但在理论上和实际运用中都存在缺陷。针对这些缺陷，u r y a s e v 4 】 等人于2 0 0 0 年提出了v a r 的一种改进方法c v a r 。该方法满足一致性风险度 量标准，其优化问题可转化为线性规划，计算简便，结果稳定。 本文的主要研究工作： 现有文献中介绍包含期权的投资组合的v a r 计算方法的文献非常少，主要 是因为期权是一种衍生品，其投资组合不满足线性模型。因此本文对包含期权的 投资组合的v a r 计算方法作了详细的研究与实证分析。 讨论了正态分布情形下有风险资产组合的均值c v a r 模型，并与经典的均 重庆大学硕士学位论文1 引言 值方差模型进行了对比研究。给出了有效前沿的表述和经济含义。 在正态分布情形下的均值c v a r 模型中引入了无风险资产，给出了包含有 无风险资产的均值一c v a r 模型的有效前沿。 讨论了l a p l a c e 分布情形下有风险资产组合的均值一c v a r 模型，给出了有 效前沿的表述和经济含义。 最后对上述三个问题分别给出一个实例进行了论证。 2 重庆大学硕士学位论文2 v a r 在投资组合中的运用 2 v a r 在投资组合中的运用 计算v a r 的方法很多【2 】【5 1 ，其中主要的有四种：历史模拟法、蒙特卡罗模拟法、 参数方法和极值方法。极值方法从本质上说也是一种参数方法，但没有对收益率 分布强加某个特定模型，而是由数据本身来说明尾部分布，降低了模型风险，但 其计算比较复杂，而且对于较大的置信水平，极值方法估计的v a r 的精确性并不 是很好。我们这罩着重研究前两种方法。这些方法应用都比较广泛，各个金融机 构可以根据自己的需求选择合适的方法。 2 1v a r 的定义及计算的基本原理 所i 胃v a r ( v a l u e - a t r i s k ) ，即在险价值【6 】，是指在给定的置信水平和一定的持有 期内，某项资产或组合的最大预期损失。可表示为： p r o b ( a p v a r 、= 1 一口 其中，p 为资产或投资组合在持有期内的损失，口为给定的置信水平( 置信度) 。 假定某公司在置信度为9 5 下的日v a r 值为9 6 0 万美元，根据v a r 的定义，它表 示该公司在一天内的损失达至u 9 6 0 万美元的可能性为5 ，或说在1 0 0 天内损失达到 9 6 0 万美元的天数不超过5 天。 v a r 有绝对v a r 和相对v a r 两种表达形式。设某一投资组合的初始投资额为 ，经过一个投资周期( 把一个投资周期看作单位时间) 后，组合的价值变为 w 一= w o o + 爿。因为存在风险，所以投资回报率f 和组合价值旷都是随机变量，记 胛盯分别是f 的数学期望值( 概率平均值) 和波动率( 单位时间内的标准差) ，记 e ( 旷) 为旷的预期概率值。在一定的持有期内和置信水平c ( 通常取值为9 5 一9 9 9 ) 下，且w + = ( 1 + r ) ，则： v a r 绝对= 一w ， v a r 相对= 甄一e ( w ) 在实际应用中使用较多的是相对v a r 。 2 2 包含期权的投资组合的v a r 的计算方法 假设投资组合满足线性模型，投资组合的在险价值( v 扭) 用公式【7 】： f a r ，= ( 2 1 ) 来算是非常方便的，其中，玩足指的是第f 项资产的在险价值，岛指的是第f 项资 重庆大学硕士学伊论文 2v a r 在投资组合中的运用 产和第，项资产之间的相关系数。但很遗憾，它不能计算包含期权的投资组合，这 主要因为期权是一种衍生品，其投资组合不满足线性模型。一般的分析方法虽然 也能计算包含期权的投资组合的在险价值，但其假设条件与市场因子分布的厚尾 和非对称的实际情况不符合，容易产生错误，而且对于包含期权或隐含期权的组 合而言，计算v a r 的效果较历史模拟法和蒙特卡罗法要差。所以，本文用历史模拟 法和蒙特卡罗法来计算包含期权的投资组合的在险价值。 2 2 1 历史模拟法 历史模拟法的原理 就历史模拟法而言，其基本原理主要是从实际历史资料中找到在给定置信度 下的最大损失值。对于市场因子模型采用的是历史模拟的方法用给定历史时 期上所观测到的市场因子的变化来表示市场因子的未来变化；在估计模型中，历 史模拟法采用的是全值估计方法，即根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重 新估计，计算出头寸的价值变化( 损益) ；最后，将组合的损益从最小到最大排序得 到损益分布，通过给定置信度的分位数求出v a r 。如对于有1 0 0 0 个可能损益情况， 9 5 的置信度对应的分位数为组合的第5 0 个最大损失值即为v a r 。 历史模拟法的基本步骤 假设一个证券组合矿，其市场因子为f ( _ ，) ，j = l ，2 ，栉，用历史模拟法计算其 9 5 置信度下每日的v a r 。下面给出历史模拟法的主要计算步骤： 1 ) 首先预测市场因子的同波动率。运用过去1 0 1 期的资料，可以提供1 0 0 个l 天期的实际变动量，计算这1 0 0 个变动量，选取市场因子过去1 0 1 个交易日的历史 价格序列，可以得到市场因子价格的1 0 0 个日变化： f ( j 1 的历史价格向量 观测到的变化向量 f ( ) 圳 f ( ) 堋 f ( ) 瑚 断 蟹 ，) 堋 ) 瑚 册 t j j 、) - , f ( n 。“ 2 ) 假定这1 0 0 个变化在未来的l 天都可能出现。所以将莉个市场因子的每日实 际变动向量a f ( _ ，) ，加上该市场因子的目前价值f ( ，) ，就可以得到筋个市场因子 l 天后的1 个替代价值向量a f ( j 1 ，重复1 0 0 个替代价值，可得： 4 重庆大学硕士学t 寺论文 2v a r 在投资组合中的运用 a f ( j ) 。= f ( ，) 。+ 灯( ，) 一。 4 ，( ，) ：= f ( ) 。+ f ( ) 一： ： a f ( j ) 。= f ( ) 。+ 心( ，) 删 依此变动量为基础，就可以算出模拟数据。 假设共有1 1 个市场因子，运用以上程序，每个市场因子都可以找到一个替代价 值向量，每个替代价值向量都包括1 0 0 个模拟值。所以在第t 次模拟中，可以根据 a f ( 1 ) t ，a t ( 2 ) ，胛( n ) ，来计算组合的价值，然后计算出目前组合价值与第t 个 模拟值替代的差矿一r o = a z , ，可以用下图表示其运算过程： 目前资产组合价值 巧 呸 a z , o o 3 ) 将这些数据依大到小排列，取其百分位数即为v a r 值。 将这1 0 0 个资产组合变动量( a v , 一k 。) 按照大d , i n 序由小而大( 考虑正负号) 整理成概率分布，如此便可根据所需的置信水平计算v a r 值。 计算实例( 程序【8 】见附录中的f u n c t i o nh i s ) _ l 设现在分别持有万科a 、中国国贸、清华同方的一股股票和一份距到期日为2 6 天的欧式看跌期权，其标的物为北大高科的一股股票，期权的执行价为3 0 元，当 前，北大高科、万科a 、中国国贸、清华同方一股股票的价格分别为3 3 o o 元，1 3 9 9 元，1 0 5 7 元，4 4 3 0 元，现在来计算该投资组合在9 5 置信度下的v a r 值( 计算v a r 的时间期限定为l 天) ，我们运用的数据为以上四只股票2 0 0 0 年1 2 月2 9 日及前1 5 1 天 前的股票价格。 1 ) 首先运用过去1 5 1 期的资料，预测市场因子的日波动量。这里的市场因子 为北大高科、万科a 、中国国贸、清华同方的股票价格。计算结果如下表： 5 重庆大学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的运用 表2 1 北大高科股票价格的1 5 0 个变动量的前十个 t a b l e 2 1t h ef i r s tt e no f1 5 0p k u - h i g ht e c hs t o c kp r i c ec h a n g e s t 数据日期变动餐 t 数据日期变动量 l2 0 0 0 1 2 2 80 2 6 0 062 0 0 0 1 2 2 31 5 0 0 0 22 0 0 0 一1 2 2 70 3 0 0 072 0 0 0 1 2 2 20 5 5 0 0 32 0 0 0 一1 2 2 60 4 7 0 08 2 0 0 0 1 2 2 l一0 3 5 0 0 42 0 0 0 1 2 2 5- 0 1 2 0 092 0 0 0 一1 2 2 0 0 1 0 0 0 52 0 0 0 1 2 2 4- 0 3 9 0 0l o2 0 0 0 一1 2 1 90 2 0 0 0 表2 2 万科a 股桨价格的1 5 0 个变动茸的前十个 t a b l e 2 2t h ef i r s tt e no f1 5 0w a n k eas t o c kp r i c ec h a n g e s t数据日期变动晕t数据日期变动阜 l2 0 0 0 一1 2 - 2 8o 0 1 0 062 0 0 0 1 2 2 30 1 0 0 0 22 0 0 0 - 1 2 2 70 2 1 0 072 0 0 0 1 2 2 20 ，2 0 0 0 32 0 0 0 - 1 2 2 60 0 3 0 082 0 0 0 1 2 2 1o 42 0 0 0 1 2 2 5o ，1 3 0 092 0 0 0 1 2 2 00 ，0 6 0 0 52 0 0 0 1 2 2 40 0 2 0 0 1 02 0 0 0 - 1 2 1 9o 0 1 0 0 表2 3 中国国贸股票价格的1 5 0 个变动晕的前十个 t a b l e 2 3t h ef i r s tt e no f 1 5 0c h i n ai n t e r n a t i o n a lt r a d es t o c kp r i c ec h a n g e s t 数据日期 变动鼍t数据日期变动量 i2 0 0 0 1 2 2 80 0 5 0 062 0 0 0 1 2 2 30 22 0 0 0 1 2 2 7o 1 3 0 072 0 0 0 1 2 2 2o 1 4 0 0 32 0 0 0 1 2 2 60 0 8 0 082 0 0 0 1 2 2 l0 ，0 2 0 0 42 0 0 0 1 2 2 50 0 2 0 092 0 0 0 - 1 2 2 00 0 8 0 0 5 2 0 0 0 1 2 2 4 o 1 1 0 01 02 0 0 0 1 2 1 90 1 2 0 0 表2 4 清华同方股票价格的1 5 0 个变动量的前十个 t a b l e 2 4t h ef i r s tt e no f15 0q i n g h u a t o n g f a n gs t o c kp r i c ec h a n g e s t 数据日期变动量 t数据日期变动晕 l2 0 0 0 1 2 2 8 0 8 3 0 062 0 0 0 1 2 2 30 3 3 0 0 22 0 0 0 一1 2 2 7 - o 5 1 0 072 0 0 0 1 2 2 20 4 7 0 0 32 0 0 0 1 2 2 60 2 2 0 082 0 0 0 1 2 2 1o 5 6 0 0 4 2 0 0 0 一1 2 2 5 0 9 3 0 0 92 0 0 0 1 2 2 0 0 7 1 0 0 52 0 0 0 1 2 2 40 3 0 0 01 02 0 0 0 1 2 1 90 2 3 0 0 2 1 假定这1 5 0 个变化在未来的1 天都可能出现。据此，我们可以模拟出2 0 0 0 年1 2 月3 0 日可能出现的1 5 0 个股票价格。 6 重庆人学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的运用 表2 52 0 0 0 年1 2 月3 0 日可能山现的北人高科股票价格的前十个 t a b l e 2 5t h ef i r s tt e no f p k u h i g ht e c hp o s s i b l es t o c kp r i c e0 1 1d e c e m b e r3 0 ，2 0 0 0 t 可能出现的股祟价格 t 可能出现的股票价格 l3 3 2 6 0 063 4 5 0 0 0 2 3 3 3 0 0 073 3 5 5 0 0 33 2 5 3 0 083 2 6 5 0 0 4 3 2 8 8 0 09 3 3 1 0 0 0 53 2 ，6 1 0 0l o3 2 8 0 0 0 表2 6 2 0 0 0 年1 2 月3 0 日可能出现的万科a 股票价格的前十个 t a b l e 2 6t h ei n s tt e no f w a n k eap o s s i b l es t o c kp r i c eo l ld e c e m b e r3 0 ，2 0 0 0 t 可能出现的股票价格 t可能出现的股票价格 1 1 3 9 8 0 061 3 8 9 0 0 21 3 7 8 0 071 4 1 9 0 0 31 40 2 0 0 81 3 9 9 0 0 41 4 1 2 0 091 4 0 5 0 0 51 3 9 7 0 0 l o1 4 0 0 0 0 表2 72 0 0 0 年1 2 月3 0 日可能出现的中国国贸股票价格的前十个 t可能出现的股票价格 t 可能出现的股票价格 l1 0 5 2 0 061 0 5 7 0 0 21 0 7 0 0 07l o 7 1 0 0 31 0 6 5 0 0 81 0 5 9 0 0 41 0 5 5 0 091 0 4 9 0 0 51 0 4 6 0 0l o1 0 4 5 0 0 表2 82 0 0 0 年1 2 月3 0 日可能出现的清华同方股票价格的前十个 t a b l e 2 8t h ef i r s tt e no f q m g h u a t o n g f a n gp o s s l b l es t o c kp r i c eo nd e c e m b e r3 0 ，2 0 0 0 t 可能出现的股票价格 t 可能出现的股票价格 l4 3 4 7 0 064 3 9 7 0 0 24 3 7 9 0 074 4 7 7 0 0 34 4 5 2 0 0 84 3 7 4 0 0 44 3 3 7 0 094 5 0 1 0 0 54 4 0 0 0 0 1 04 4 0 7 0 0 7 重庆大学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的运_ i j 3 ) 计算出目前期权价值与第t 个模拟值替代的差l v o = ，期权定价根据 b s 看跌期权定价公式f 7 】： p = x e r f ( t - t ) ( 一d 2 ) 一s ( f ) ( 一d 1 ) ( 2 2 ) 其中， d1：一ln(s(t)x)+(ri+t722)(t-t)，d2：dl一仃再 一；= = = 一”一u 一 d 。、，1 1 s ( t ) 表示的是t 时刻股票可能出现的价格，z 为预定价( 执行价格) ，盯表示的 是股票价格的波动率( v o l a t i l i t y ) ，即按连续复利计算的股票回报率的标准差；t t 表示的是期权距到期日的时日j ，以年计；无风险利率为1 9 8 。 利用上述数据，算出了此例中北大高科股票价格连续复利收益率的均值为 0 0 0 4 2 ，日波动率为0 0 2 9 1 ，转换为年波动率为0 4 6 2 6 。从而可以算出以北大高科 一股股票为标的物的期权目前的价格0 4 8 元以及与模拟出的1 5 0 个股票价格相对应 的期权价格，其结果如下表所示： 表2 9 模拟出的1 5 0 个期权价格的前十个 t a b l e 2 9t h ef i r s tt e no f1 5 0o p t i o ns i m u l a t i o np r i c e s t p t p 10 4 0 9 960 2 3 4 0 20 4 0 2 970 3 6 1 0 30 5 5 8 0 80 5 3 1 0 4 0 4 8 2 3 90 4 3 9 2 50 5 3 9 9l o0 4 9 8 8 现在来计算模拟出的2 0 0 0 年1 2 月3 0 日的组合价值以及它与目前组合价值的差 k - a v , 。，计算得到目前的组合价值为6 9 3 4 0 0 元，见下表： 表2 1 0 计算得到的1 5 0 个组合价值损益值的前十个 t a b l e 2 1 0t h ef i r s tt e no f1 5 0p r o f i ta n dl o s s e sc a l c u l a t e df o rp o r t f o l i o t v tv t t v t 4 “ l6 8 3 7 9 9- 0 9 6 0 066 8 6 6 4 00 6 7 6 0 26 8 6 7 2 9- 0 6 6 7 l7 7 0 0 3 l oo 6 9 1 0 36 9 ，7 4 8 00 4 0 8 l86 8 8 5 l o0 4 8 8 9 4 6 8 5 2 2 3 0 8 1 7 796 9 9 8 9 2o 6 4 9 2 56 8 9 6 9 90 3 7 0 01 06 9 0 1 8 8一o _ 3 2 1 l 重庆大学硕士学位论文2 v a r 在投资组合中的运用 图2 1 损益直方图 f i g u r e 2 1h i s t o g r a mo f p r o f i ta n dl o s s 4 ) 将这些数掘依大到小排列，取其百分位数即为v a r 值，得到的v a r 值为 1 5 0 7 7 。 除此例之外，附录中还附有一较复杂的投资组合的实例程序，请参看附录中 的程序f i m c t i o nh i s2 。 历史模拟法的评估 历史模拟法的优点有： 1 1 概念直观、计算简单、实施容易，容易被监管当局和风险管理者接受； 2 1 是全值估计方法，可以较好地处理市场大幅波动、非线性等情况，捕捉各 种风险； 3 ) 是一种非参数方法，不需要假定市场因子变化的统计分布，可有效处理分 布的厚尾和非对称问题。 历史模拟法的缺点是： 1 ) 假定市场因子的未来变化与历史变化完全一样，服从独立同分布以及概率 密度函数不随时间而变化( 或明显变化) ，这与实际金融市场的变化不一致，有时出 入较大； 2 1 难于进行灵敏度分析； 3 ) 需要大量的历史数据，有时受客观条件所限，这难以得到满足。 2 2 2 蒙特卡罗法 下面介绍一种更好的处理非线性、非正态问题的v a r 计算方法蒙特卡罗 ( m o n t ec a r l o ) , 法 9 。 m o n t ec a r l o 模拟法计算v a r 的主要步骤 9 重庆大学硕十学位论文 2v a r 在投资组合中的运用 基于m o n t ec a r l o 模拟的v a r 计算和基于历史模拟法的v a r 计算方法原理是相 同的，不同之处在于市场因子的变化不是来自历史观测值，而是通过随机模拟得 到。其基本思路是重复模拟会融变量的随机过程，使模拟值包括大部分可能情况， 这样通过模拟就可以得到组合价值的整体分布情况，从而求出v a r 。主要步骤为： 1 ) 选择随机过程和其中随机变量的分布，并估计相应的参数； 2 ) 产生伪随机数序列占。o = 1 , 2 ，疗) ，一般情况下n 要等于或大于1 0 0 0 ，利 用随机过程求出s t 。s 。，墨+ 。( 品) ； 3 ) 在该价格序列下估计组合价值及其变化。可以采用定价公式进行全值估 计，也可采用一阶灵敏度进行近似估计； 4 ) 重复第二步和第三步，直至达到模拟要求，根据所得到的组合价值变化的 分布，按照特定的置信度，由分位数估计出v a r ； 情景产生 在m o n t ec a r l o 模拟中，情景产生是基础和关键。它主要包括股票价格变化路 径的模拟几何布朗运动和利率期限结构的模拟川。 1 ) 几何布朗运动 d s t = p t s i l t + o t s 。d z q 其中s 为时刻t 的价格变量，遵循维纳过程；出是一个均值为0 ，方差为出的 正态随机变量，具有马尔可夫性质；，和盯，是漂移率和波动率。 模拟步骤： a 先将( 2 3 ) 离散化。设t 为当前时间，r 为到期时间，f = t t 为持有期。在 持有期内要产生一系列随机变量置。( i = 1 , 2 ，n ) ，先把f 分为n 个区间，即 缸：三 n 由式( 2 3 ) ，得到： 丛f + l = s , ( p a t + t y z v l - 石) 其中占为标准正态分布随机变量， v a r ( a s l s ) = 盯2 a t ，它们都与时间成正比。 ( 2 4 ) 可以证明，e ( a s s ) = a a t ；方差 b 给出当前股票价格水平s ，并估计出相应的参数从和o t ； c 产生随机数序列，( f = 1 , 2 ，1 ) ； d 根据公式墨“= s + 墨( ， + 1 4 - x ；) 来产生只+ 。； e 依次类推可以得到s t + 2 , 只+ 3 ，直至t j s , + 。= s ，； 2 1 期限结构模拟 由于价格波动是不可逆的，因此描述股票价格变化的几何布朗运动模型并不 1 0 重庆大学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的返用 适合用来描述利率变化。常见的利率期限结构的随机模型有淡因素模型，用来描 述短期利率随时间发生的随机变动。双因素模型除描述短期利率的变化外，还刻 画了长期利率的变化，模拟中应根据会融变量的行为，选择相应的随机过程模拟。 随机数的产生 1 ) 单变量随机数的产生方法 乳【o ，1 】上的均匀分布，从这一分布中用确定性算法产生随机数序列； b 通过累积概率密度函数求逆，把伪随机数x 转换为期望的分布。对于正态分 布，其概率密度函数n ( y ) 在0 1 之间，只需计算y = n - 1 ( y ) 即可。 2 1 多变量随机数的产生方法 考虑h 个变量，如果变量间完全不相关，可以分别独立产生随机数序列；如果 变量之间存在相关性，则模拟中需要产生一个n 1 维随机变量序n z ，其相关矩阵 为b ，即e ( z 7 2 1 = b 。在正态分布下，可按如下方法产生n x l 维随机变量序y u z ； a 产生一个独立的月1 维随机变量序列y = ( k ，y 2 ，匕) 7 ，】，：n ( 0 ，1 ) ； b 在b 为半正定对称下，用分解法得到下三角矩阵a ，且b = a a ： c 利用z = a y 产生由标准正态变量构成的n 1 维向量z 。 由于c o v ( z ) = e ( z 7 z ) = e 似7 y 7 y a ) = a 7 e ( y 7 r ) a = a 7 a = a 7 a = b ，因此z 的协方差矩阵为b 。 计算实例( 程序见附录中的f u n c t i o nm c l ) 设现在分别持有万科a 、中国国贸、清华同方的一股股票和一份距到期日为2 6 天的欧式看跌期权，其标的物为北大高科的一股股票，期权的执行价为3 0 元，当 前，北大高科、万科a 、中国囤贸、清华同方一股股票的价格分别为3 3 0 0 元，1 3 9 9 元，l o 5 7 元，4 4 3 0 元，现在来计算该投资组合在9 5 置信度下的v a r 值( 计算v a r 的时间期限定为l 天) ，我们运用的数据为以上四只股票2 0 0 0 年1 2 月2 9 日及前1 5 1 天 前的股票价格。当前的无风险利率为1 9 8 。 已知北大高科股票价格连续复利收益率的日波动率为o 0 2 9 1 ，转换为年波动 率为o 4 6 2 6 。万科a 股票价格连续复利收益率的只波动率为0 0 1 7 3 ，转换为年波 动率为0 2 7 5 4 。中国国贸股票价格对数收益率的日波动率为0 0 1 9 0 ，转换为年波 动率为o 3 0 2 2 ，清华同方股票价格对数收益率的日波动率0 0 3 1 4 ，转换为年波动 率为0 4 9 7 9 。 1 1设股票价格运动服从几何布朗运动，先把计算v a r 的时间区间分成1 0 0 0 份，则a t = 1 1 0 0 0 ，这里我们假定在一天之内以上四种股票股价连续复利收益率变 动的均值为0 ，则公式( 2 4 ) 就变为了 _ 。一 a s = s , c r 8 4 t ( 2 5 ) 2 ) 随机数的产生 重庆人学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的运用 a 产生一个独立的4 x l 维随机变量序列y = ( 誓，e ，e ，l ) 7 ，表2 1 1 给出了1 0 0 0 个数中的前1 0 个。 表2 11 随机序列y 的前十个数据 t a b l e 2 i1t h ef i r s tt e ne l e m e n t so f r a n d o ms e q u e n c ey l 瓦瓦 l 墨，艺， 10 4 3 2 60 7 1 6 061 1 9 0 90 5 2 7 8 21 6 6 5 61 5 9 8 671 1 8 9 20 5 5 3 2 30 1 2 5 32 0 6 4 780 0 3 7 60 2 9 8 3 40 2 8 7 70 7 4 3 690 3 2 7 31 _ 2 2 6 6 5- 1 1 4 6 50 1 7 6 2l o0 1 7 4 60 1 8 9 7 l k匕 l 匕匕 1- 0 6 0 2 80 8 3 0 462 3 0 1 1o 2 1 3 l 2- o ，9 9 3 40 0 9 3 870 2 7 0 l- 1 8 2 l l 3 1 1 8 8 9 0 4 5 9 180 5 0 2 81 4 6 7 5 4 2 3 8 8 00 0 4 9 0 9o 1 1 9 20 4 6 4 1 52 2 6 5 51 3 6 3 11 0一o 0 0 1 90 7 3 3 l b 其相关矩阵b 【8 l 【1 0 1 为： b = 1 0 0 0 0 0 2 6 6 2 0 0 0 0 6 0 0 1 5 5 分解得到下三角矩阵a 为： a = 1 0 0 0 0 0 2 6 6 2 0 0 0 0 6 0 0 1 5 5 0 2 6 6 2 1 0 0 0 0 0 6 6 0 6 0 2 1 2 9 0 0 9 6 3 9 0 6 8 5 5 0 2 2 5 2 - 0 0 0 0 6 0 6 6 0 6 1 0 0 0 0 0 6 7 0 7 o 0 0 7 2 8 l 0 7 0 9 1 0 o 0 0 6 6 8 0 c 利用z = a y 产生由标准正态变量构成的4 1 维向量z ，表2 1 2 给出了向量z 中的前十个数据。 1 2 鬈淼 m 0 n l 重庆大学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的运用 表2 1 2 向晕z 的前十个数据 1 h b l e 2 1 2t h ef i r s tt e ne l e m e n t so f v e c t o rz z 2 ， l z l 。 z 2 f l z l j 10 4 3 2 60 5 7 5 061 1 9 0 9 0 8 2 5 8 21 6 6 5 61 0 9 7 671 1 8 9 2- o 2 1 6 7 30 1 2 5 31 9 5 6 9 80 0 3 7 60 2 7 7 5 40 2 8 7 70 6 4 0 2 9 0 3 2 7 31 0 9 5 2 51 1 4 6 50 1 3 5 41 0o 1 7 4 60 1 3 6 3 l 五，z 4 。乙，z 4 。 l0 0 5 2 20 2 9 5 26 2 0 3 6 5 1 5 8 9 9 20 3 7 3 5o 3 8 1 370 5 7 6 51 5 5 0 9 3- o 5 4 9 8 0 0 6 9 680 5 7 0 61 4 0 4 6 41 2 2 8 81 ，5 5 4 39 - 0 9 2 7 8- 0 6 7 5 8 51 7 7 0 90 7 5 3 51 0_ 0 1 3 1 50 4 4 2 9 3 ) 我们以第一个随机数为例来模拟出股票的价格， s = s o + s o o e i x f - 石= 1 0 6 8 0 0 8 重复以上步骤，根据产生的随机数模拟出股票价格变化的1 0 0 0 个情景。表2 1 3 给出了模拟出的北大高科、万科a 、中国国贸和清华同方的前十个股票价格的情景。 表2 1 3 模拟出的前十个股票价格的情景 t a b l e 2 1 3t h ef i r s tt e no f s t o c ks i m u l a t i o np r i c e s 万科a l 北大高科万科al 北人高科 13 2 ，9 8 6 81 3 9 9 4 463 2 9 5 0 11 3 9 8 8 2 23 2 9 3 6 21 4 0 0 2 873 2 9 8 6 21 3 9 8 6 5 33 2 ，9 4 0 0 1 3 9 8 7 883 2 9 8 5 01 3 9 8 8 7 43 2 9 4 8 81 3 9 8 2 993 2 9 9 5 01 3 9 8 0 3 53 2 9 1 3 91 3 9 8 1 91 03 3 0 0 0 31 3 9 7 9 2 清华同方l 中国国贸清华同方 l 中国国贸 11 0 5 7 0 34 4 3 1 3 06l o 6 0 1 34 4 4 7 0 7 21 0 5 7 2 74 4 2 9 6 271 0 5 9 7 64 4 4 0 2 3 31 0 5 6 9 24 4 2 9 9 38l o 6 0 1 2 4 4 4 6 4 2 41 0 5 7 7 04 4 3 6 7 691 0 5 9 5 34 4 4 3 4 4 5 1 0 5 8 8 3 4 4 ，4 0 0 7 l o1 0 5 9 4 54 4 4 5 3 9 根据b s 定价公式【7 】： 重庆大学硕士学位论文 2v a r 在投资组合中的运用 p = x e 一。7 1 ( 一d 2 ) 一s o ) ( 一d 1 ) ( 2 2 ) 其中， dl：一ln(s(t)x)+(ry+ty22)(t-t)，a-2：aticry,眄t = 7 = = = 一，= 一 l t y 4 t t 。 便可得到模拟出的1 0 0 0 个期权价格的情景。 钔组合的损益分布及v a r 计算组合的价值，并用a v , = k v o ( i = 1 , 2 ，1 0 0 0 ) 得到组合损益的值，然后 排序。9 5 置信度下的v a r 就是第5 0 个最大的损失，表2 1 4 给出了模拟的组合价值 及损益的前十个数据。计算得到目前组合价值为6 9 3 4 0 0 元。 表2 1 4 模拟出的前十个组合价格及损益的情景 t a b l e 2 1 4t h ef i r s tt e no f p r o f i ta n dl o s s e ss i m u l a t e df o rp o r t f o l i o l k 巧一 l k一 l6 9 3 3 8 7一o 0 0 1 366 9 5 2 8 40 1 8 8 5 26 9 3 4 2 70 0 0 2 8 7 6 9 4 4 7 6o 1 0 7 6 36 9 3 2 6 5o 0 1 3 586 9 5 1 5 40 1 7 5 4 46 9 3 9 6 0 0 0 5 6 0 96