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山东大学硕士学位论文 一类特殊市场超额需求函数的结构分析 摘要 般均衡分析是一项基础性的研究工作，它为现代经济学描述市场机制的效率与稳 定性，为宏观经济分析以及经济分析的逻辑根据等提供了关键的基础理论支撑一种大 多数人所认同的观点是，分散化决策的市场机制提高了资源的配置效率一般均衡理论 是现代经济理论取得众多突破与创新的基础，为经济学中沿存已久的诸多传统观点提供 了严格完整的数学证明( 见参考文献【1 ，2 ，3 】) ， 经济学家们为什么会对一般均衡感兴趣? 因为在诸多力量包括需求与供给的驱使 下，经济体系达到了一系列配置和价格构成的理想均衡状态，这也是我们所希望看到的 这种理想状态是我们所希冀的经济体系运动的终止点，或者说，经济体系处于朝此方向 运动的过程之中均衡是市场经济学家描述现象并预言事物未来发展方向与结果的基本 工具更进一步说，人们所希望的市场经济效率同样也依赖于市场的一般均衡状态一或 者退一步说，处予以此为目标的运动过程中见参考文献f 4 ，5 ，6 ，7 ，8 】) 。 关于均衡的几个主要问题是t 均衡的存在性，唯性稳定性效率性以及讨价还价 通常人们只关一t - 以上几个主要同题，而对一般均衡中的超额需求函数关注较少事实 上，超额需求函数在一般均衡起着重要的作用，它使一般均衡表达更加简洁；使存在性 的数学证明更加严格；使对均衡的唯性、效率性、稳定性分析更加严谨( 见【9 ，1 0 ，1 1 】) 满足连续性、零次齐次及瓦尔拉斯定理的超额需求函数必存在一个不动点。即存在均衡 ( 见【1 2 ，1 3 d 1 9 5 4 年，阿罗( 1 9 7 2 年诺贝尔经济学奖获得者) 和德布鲁( 1 9 8 3 年诺贝尔经 济学奖获得者) 第一次利用超额需求函数给出了一般均衡的严格叙述和存在性证明而一 个定义在第一象限内部紧集c 上的任何连续函数能不能作为一般经济均衡的超额需求函 数呢? 一个线性的超额需求函数在理论上是否存在? 回答这些问题，就是研究超额需求 函数的结构从1 9 5 4 年到1 9 7 2 年。人们并没有对这些问题给予高度重视，对超额需求函 数的结构分析也只是统计经验性的1 9 7 2 年5 月，索南谢恩首次提出对超额需求函数的 结构进行分析研究并得出重要的结论如定理4 2 1 ( 见【1 3 1 ) 和4 2 2 ( 见【1 3 】) 随后曼特尔 等人对超额需求函数的结构作出了进一步的研究，其中包括超额需求函数在b a a a c h 空 间分解见【1 4 】) 等1 9 9 9 年，刘心歌和蔡海涛在前人研究成果的基础上得出了重要的结 论如定理4 2 3 ( 见【1 5 】) 毫无疑问。对超额需求函数的结构分析取得的进展。极大地丰 富和推动了对一般均衡的研究人们利用超额需求函效对价格和财富的导数所形成的矩 阵有效地分析了替代效应财富效应价格效应。均衡的稳定性( 希克斯稳定还是动态稳 定) ，得出了正则经济只有有限个均衡等重要的结论由此可见。对超额需求函数，尤其 是它的结构进行研究，是十分必要和有意义的 山东大学硬士学位论文 本文共五节 第一节引盲，一般均衡的历史沿革。简述了一般均衡的发展历史 第二节总结了消费者理论，给出瓦尔拉斯需求函数与消费者偏好及效甩函数之间 的关系 第三节瓦尔拉斯均衡，给出几种均衡的定义及有关命题 第四节对超额需求函数进行分析，利用超额需求函数证明了均衡的存在性，并且 在纯交换经济中利用超额需求函数与瓦尔拉斯需求函数以及效用函数的关系给出了推论 4 2 1 3 在定理4 2 ，1 ( 见【1 3 】) 和定理4 ，2 2 ( 见【13 】) 基础上，本文推导出一类特殊的超额需 求函数的结构即定理4 2 3 和推论4 2 3 1 在定理4 2 4 ( 见【15 】) 的基础上推出定理4 2 5 第五节饲子，通过实倒来说瞬满足定理4 2 3 结构形式的超额需求函数。有相应的 经济存在 主要结果如下； 定理4 2 1 设0 6 1 ，若函数f 在陋，1 司上有连续的导数，则存在一个经济 ( u 1 ，删1 ) ，( t 1 2 。舻) ) ，使得在限1 司上有f - 科，j = 1 ，2 ) 推论4 2 1 3 设o 艿 l ，若函致五在上尬1 周有连续导数，则存在两个效用函数 t 1 ，铲) ，使得 p 。) = z 1 。( p 1 ) + 雹溉) 定理4 2 2 1 1 3 j 设g 为一个定义在n ( 6 ) 上的多项式，0 6 1 ，则存在一簇消费者 ( ，t i ，) ) j j ，使得在n ( 6 ) 上剧= g 定理4 2 3 设0 6 1 ，e l ，易，e n 一1 为定义在n ( 6 ) 上的n 一1 个多硬式。且满 足镩= 赞，( s ，t = l ，2 ，。n 一1 ) ，则存在一个含有n 种商品经济。使得在( 6 ) 上有 ( 剧，尉，础一) = ( e 1 ，易，e i ) 推论4 2 3 1 设0 6 1 ，e l ，b ，王k 一1 为定义在n ( 上的，l 一1 个多项式，且满 足镩= 舒，( 毛t = 1 ，2 ，l 一1 ) ，则存在个含有n 种商品经济，使得在n ( j ) 上有 ( 斟，霹，e s 巾一功譬掣) = e 定理4 2 4 1 1 j 设0 6 1 , e l 。岛，点k i 为定义在n ( 6 ) 上的，l 一1 个多项式，且 满足器= a ( 。，f ) 静，q ( s ，对a 池s ) = l ( 3 ，l = i ，2 ，f l 1 ) ) ，则存在一个含有d 种商晶 经济，使得在n ( 6 ) 上有( e f ，霹，e 0 1 ) = ( 且，易，e k 1 ) 定理4 2 5 设o 占 l ，易，易，点k l 为定义在n ( 占) 上的行一1 个多项式。且满 足馨= a ( 8 ，t ) 赞，( a ( 毛t ) a ( t j ) = 1 ( s ，t = 1 ，2 ，l 1 ) ) ，则存在个舍有n 种商品 经济。使得在n ( 6 ) 上有( 可，础，五0 1 ) = ( 历，易，点k t ) 关键词瓦尔拉斯均衡；超额需求函数；多项式函效i 瓦尔拉斯定理 i i 山东大学硕士学位论文 a n a l y s i st oas p e c i a lk i n do fs t r u c t u r eo fm a r k e t e x c e s sd e m a n df u n c t i o n a b s t r a c t a n a l y s i so fg e n e r a le q u i l i b r i u mi sd e f t n e dt ob eaf u n d a m e n t a lr e s e a r c h ，w h i c ho f - f e r sk e ye l e m e n t a r ys u p p o r tf o re f f i c i e n c ya n d s t a b i l i t yi nm a r k e tm e c h a n i s mt h a tm o d e m e c o n o m i c sd e p i c t s ，a sw e l lf o rl o 舀c 出b a s eo nw h i c ht od e v e l o pm i r o e c o n o m i c sa n dm a c r o & - e o n o m i c s ，a si sw i d e l ya c k n o w l e d g e d ，m a r k e tm e c h a n i s mo fd i s p e r s i v ed e c i s i o n sa d v a n c e s t oa c e e l l e r a t et h ee f f i c i e n c yi nr e s o u r c e sa l l o c a t i n g i nt h em e a n w h i l e ，i tl a y sad e e pf o u n d a t i o nf o rb r e a k t h r o u g h sa n di n n o v a t i o n so c c u r i n gt om o d e me c o n o m i c st h e o r ya n dt h e n p r o v i d e sam a t h e m a t i cp r o v e m e n tw i t hs t r i c t n e s sa n di n t e g r i t yt oi l l u s t r a t en u m e r o u s t r a d i t i o n a la r g u m e n t sr o o t e di np e o p l e sm i n d ( s e e 1 ，2 ，3 】) w h yd oe c o n o m i s t ss h o wag r e a ti n t e r e s ti nt h et h e o r yo fg e n e r a le q u i l i b r i u m ? t h e r e a s o nl i e si nw h a tw eh o p ef o ri st h ed r i v ep o w e r e db ye c o n o m yi n c l u d i n gs u p p l ya n d d e m a n dr e i n f o r c e st or e a c ha ni d e a ls t a t e ，i e e q u i l i b r i u m ，t h r o u g has e r i e so fr e s o u r c e a l l o c a t i n g si nc o n s i s t e n c yw j t hav a r i e t yo fp r i c i n g s t h ei d e a ls i t u a t i o ni sav e r ya n t i c i p a t e dt e r m i n a t i o nl e db yas y s t e m a t i ce c o n o m ym o v e m e n t ，o ri nt h er i g h tp a t ht o t h ed e s i r a b l eo u t c o m e s e q u e n t l y ，e q u i l i b r i u mi sa p r i n c i p l et o o lw i t hw h i c ham a r k e t e c o n o m i s td e s c r i b e sp h e n o m e n o ni nm a t h sa n dt h u sp r e d i c t so r i e n t a t i o na n dc o n s e q u e n c e o fe c o n o m i cd e v e l o p m e n ti nf u t u r e f u r t h e r m o r e ，t h en a t u r ei nm a r k e te c o n o m ye f f i c i e n c y i sd e p e n d e n to fe q u i l i b r i u mi na $ e n 钾m o r es a f et os a y , t oe n s u r ei tm o v ei nt h er i g h t d i r e c t i o n ( s e e 4 ，5 ，6 ，7 ，8 】) s e v e r a lm a i na n dt r a d i t i o n a li s s u e so ne q u i l i b r i u ml i e si ni t se x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， s t a b i l i t y , e f f i c i e n c ya n db a r g a i n i n g ，w h i c ha r o u s e sm a j o rc o n c e r n sb yt h em a s s h o w e v e r ， e x c e s sd e m a n df u n c t i o n so f g e n e r a le q u i l i b r i u md o c s n td e s e n ，ea n ya t t e n t i o ni ts h o u l d a s am a t t e ro f f a c t ，t h ef u n c t i o n sp e r f o r ma k e yr o l et oe x p r e s se q u i l i b r i u mw i t hm o r eb r e v i t y , t ob e a ro u ti t se x i s t e n c ei nm a t h e m a t i cr i g i d i t ya n db r i n ga b o u tm o r et h a na s c i e n t i f i cb u t s i m p l ea p p r o a c ht ou n i q u e n e s se f f i c i e n c ya n ds t a b i l i z a t i o n ( s e e 1 9 ，1 0 ，1 1 】) h o m o g e n e o u s o fd e g r e ez e r oi na l lp r i c e s ，w a l r a s l a wt o g e t h e rw i t hc o n t i n u i t yg u r a n t e et h a te x c e s s d e m a n df u n c t i o n sm u s th a v ea z e r o ，o ri nm o r ef a m i l i a rt e r m i n o l o g y ，t h a te q u i l i b r i u m p r i c e sm u s te x i s t ( s e e 1 2 ，1 3 】) i n1 9 5 4 ，i tw a st h ef i r s tt i m et h a ta r r o w ( n o b e l - l a u r e a t e si n e c o n o n l y1 9 7 2 ) a n dd e b r e u ( n o b e l - l a u r e a t e si ne c o n o m y1 9 8 3 ) s h o w e dt h es t r i c t e rd c s c r i p - t i o na n dp r o o fo fe x i s t e n c et og e n e r a le q u i l i b r i u mw i t hm a r k e te x c e s sd e m a n df u n t i o n s i l l 山东大学硕士学位论文 b u tc a na na r b i t r a r yc o n t i n u o u sf u n t i o u s d 面n e do nac o m p a c ts u b s e tco ft h ei n t e r i o ro f ap o s i t i v eo r t h a n t ，b ea l le x c e 8 8d e m a n df u n t i o nf o r m ec o m m o d i t yi nag e n e r a le q u l i b - r i u me c o n o m y ? al i n e a ra g g r e g a t ee x c 晦fd e m a n di st h c o r e t i c z dp o s s i b l e ? t o 蛐s - w e rt h e s e q u e s t i o n sm e a n t 懿u d y i go fs t r u c t t t r eo fm a r k e te x c e 簦d e m a n df u n c t i o n s f 如砸1 9 5 4t o 1 9 7 2 ，p e o p l ed i d n tp a ym o r ea t t e n t i o nt ot h e s e ，a n da n a l y s i bt os t r u c t u r eo fm a r k e te x c e s s d e m a n df u n c t i o m sw a sj u s ts t a t i s t i c a la n de m p i r i c a l t h ef i r s ta n s w e rt ot h e s eq u e s t i o n s w a sg i v e nb ys o n u e n s c h e i na n dh eo b t a i n e di m p o r t a n tr e s u l t sl i k et h e o r e m4 2 i ( s e e l l 3 1 ) a n dt h e o r e m4 2 2 ( s 盹 1 3 1 ) t h e nm a n t e la n do t h e rp e o p l e sm a d et h ef u r t h e rs t u d yf o r i t ，i n c l u d i n gt h ed e c o m p o s i t i o no fe 魁e 蹲d e m a n df n n c t m n so db a n a c h 宕p a c 酷( s e p ! 】4 】) i n 1 9 9 9 ，l i ux i n g e 卸dc a ih a i t a og a i n e x ii m p o r t a n tr e s u l t ss u c ha st h e o r e m4 , 2 ，4 ( 3 靶【1 5 】) o nt h eb a s i so ft h ef r o n ts t u d y i n ga c h i e v m e n t s t h e r ei sn od o u b tt h a tt h ea d v a n c e m e n t o fs t u d y i n go fm a r k e te x c e & sd e m a n df u n c t i o n se n r i c h e da n da d v o c a t e dt h ed e v e l o p m e n t a n ds t u d y i n go fg e n e r a le q u i l i b r i u m w i t hm a t r i xf o r m e db ym a r k e te x c e s sd e m a n df u n - t i o u s d i f f e r e n t i a lc e o 伍c i e n tt 0p r i c ea u dw e a l t h p e o p l ee f f e c t i v e l ya n a l y z ep r i c ee f f e c t s ，w e a l t he f f e c t s s u b s t i t i o ne f f e c t s ，s t a b i l i t y e q u i i i b r i u m ( 1 l i c k s i a ns t a b l eo rd y u a m i c a l l y s t a b l e ) a n ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t ss u c ha s ：i ft h ee c o n o m yi sr e g u l a r ，t h e nt h en u m b e r o fn o r m a l i z e de q u i l i b r i u mp r i c ev e c t o ri sf i n i t e i t sc o n c l u d e dt h a tt h er e s e a r c ho ne x c e s s d e m a n df u n c t i o n s 。e s p e c i a l l yt h es t r u c t u r eo ft h a t ，i sn o to n l yn e c e s s a r yb u ts i g n i f i c a n t t h ew o r kc o n s i s t so ff i v es e c t i o n s f i r s t ，p r e w o r d ，d e v e l o p m e n to fg e n e r a e q u i l i b r i u m 边酾e s e c o n d 。t h ep a p e rg 娅u pt h et h e o r yo fc t t s t o m e r sa n ds b o w st h er e l a t i o a s h i p a n a o n gw a l r a sd e m a n df u n c t i o n ，p r e f e r e n c eo fc u s t o m e r s a sw e l la su t i l i t y f u n c t i o n i nt h e t h i r ds e c t i o n ，t h e r ei ss o m e t h i n ga h o u tw a l r a se q u i l i b r i u m f o u r t h ，i tt i r e sa n a l y s i so f e x c e 8 sd e m a n df u n c t i o nw i t hw h i c hi tp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u m ，a n di nt h ep u r e e x c h a n g ee c o n o m yi tg i v e sc o l o l l a r y 4 ，2 1 3 w h a t sm o r ei m p o r t a n t ，o nt h eb a s i so ft h e t h e o r e m 4 2 1 t h e o r e m 4 2 2 ( s e e 1 3 ) a n d 4 ，2 ，4 ( s e e 1 5 ) 。i td e d u c e dt h es t r n c t u r eo fe x c e 鼯 d e m a n df u n c t i o a so f8s p e c i a lk i n do fe c o n o m y 。乞h a ti s ，t h e o r e m 4 2 3a n dc o r o i l a r y 4 2 3 1 躯w e l la st h e o r e m 4 2 5 i h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w sl t h e o r e m4 , 2 ，1 1 1 3 】i ffh a sac o n t i n u o u sd e r i v a t i v eo d t 陋，1 6 f o r8 0 m e 最0 6 1 ， t h e nt h e r e 醯tt w oc o u s u m e r e ( 泸v 1 ) a n d ( u 2 ，”2 ) s u c ht h a t ，= 日o n 峨1 o l 。 j = 8 ，签 c o r o l l a r y4 2 1 ，3i ffh a sac o n t m u o u sd e r i v a t i v eo nh1 f o rs o i i l e 五0 d 1 ， t h e nt h e r ee x i s tt w ou t i l i t yf u n c t i o n su 1a n du 2 ，s u c ht h a ta ( p 1 ) = z i ( p 1 ) + z ；p 1 ) t h e o r e m4 2 2 【1 3 】i fgi sap o l y n o m i a ld e f i n e do i ln ( 6 ) ，a n d 0 6 1 ，t h e nt h e r e i v 山东大学硕士学位论文 e x i s t sac o l l e c t i o no f i n d i v i d u a l s 泸，矿) ，i j ，s u c ht h a t 目= go i ln ( 占) t h e o r e m4 2 3l e t0 6 1 ，a n de i ，岛，厶一lb en - 1p o l y n o m i a l sd e f i n e do nn ( 6 ) s a t i s f y i n g 镪2 舒，( s ，t = 1 ，2 ，n 一1 ) t h e nt h e r ee x i s t s a l ln c o m m o d i t ye c o n o m y ，) ，i ，s u c ht h a t ( 科，耐，e 0 1 ) = ( e l ，易，玩一1 ) o nn ( 占) c o r o l l a r y4 2 3 1l e t0 6 1 ，a n de l ，岛，e n lb en - 1p o l y n o m i a l sd e f i n e d o n ( 6 ) s a t i s f y i n g 镩= 镪，( 毛t = l ，2 ，n 一1 ) t h e nt h e r ee x i s t sa nnc o m m o d i t y e c o n o m y 扩，加) ，i j , s u c ht h a t ( e f ，霹，职l ，一乃蒿群) = eo l in ( 6 ) t h e o r e m4 2 4 1 1 5 】l e t0 6 1 ，a n de l ，e 2 ，王一1b en 一1p o l y n o m i a l sd e f i n e d o nn p ) s a t i s f y i n g o 互p t = x ( s ，t ) 謦，似( 毛t ) a ( t ，5 ) = 1 ，( s ，t = 1 ，2 ，n 1 ) ) ，t h e nt h e r e e x i s t s 姐扎c o m m o d i t ye c o n o m y 驴，) ，i j ，s u c ht h a t ( e f ，剧，联一1 ) = ( 而，岛， ，风一1 ) o i l ( 6 ) t h e o r e m4 2 5l e t0 6 0 存在毫，x 使得8y z0 e 而y 卜曩则称膏上的偏好关系 芝是局部非饱和的 定义2 1 4 连续性：对每个z o x 。，集合a ( z o ) = 缸k f ，z 己z o ) 和分( z o )