（概率论与数理统计专业论文）带扩散扰动的复合泊松模型上的按比例分红策略.pdf

，溉 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者虢 市刁勿 劾卿7 年二月日 ，l 。1 一 摘要 摘要 本文中，我们考虑带扩散扰动的复合泊松模型上的按比例分红策略。我们 用复合泊松过程来逼近布朗运动，结合g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 6 ) 的方法，我们得到 直到破产前所有分红的期望折现值v ( x ；b ) 的一些结论，且当索赔是指数分布时， 我们可给出v ( x ；b ) 的明确表达式。 关键词复合泊松模型带扩散的扰动按比例分红布朗运动期望折现值 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n w i t ht h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g y w eu s ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s st oa p p r o a c h b r o w n i a nm o t i o n ，a n dc o m b i n i n gw i t ht h em e t h o do fg e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 6 ) ，w e d e r i v es o m er e s u l to f 矿o ；6 ) ，w h i c hi st h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fa l ld i v i d e n d s u n t i lr u i n a n dw ec a ng i v ea ne x p l i c i te x p r e s s i o no fy ( x ；6 ) ，w h e nt h ec l a i mi s e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t e d k e yw o r d sc o m p o u n dp o i s s o nm o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n t h r e s h o l d d i v i d e n db r o w n i a n m o t i o n e x p e c t e dp r e s e n tv a l u e i i 目录 目录 第一章分红问题的背景与前言 第一章分红问题的背景与前言 分红问题的背景 最理想的分红问题要追溯到b r u n od ef i n e t t i ，1 9 5 7 年第1 5 届国际保险精算 师代表大会在美国的纽约城举行，d ef i n e t t i 在大会上发表了他的论文。在经典 的风险理论里，分红问题的研究主要是计算破产的概率；如果运气好的话，破 产不会发生，这样一来资本盈余就无限期地增长。当然这是不现实的，d ef i n e t t i 建议保险公司应该寻求在可能的破产之前所有分红折现值的最大期望。他指出： 在假定保险公司的资本余额是一种离散的单位时间内仅发生一个单位数量变化 的过程之下，最理想的分红策略是一种屏障策略。即，任何在一个确定的水平 之上的资本余额都将作为红利分给公司的股东。 在所发表的一系列的论文之中，k a r lb o r c h 贯彻了b r u n od ef i n e t t i 的这些 思想，并且使得经济学者容易理解它们。b o r c h 的理论被总结在19 6 9 年s e a l 论 文的第六章中，也可以在b o r c h 的1 9 7 4 年和1 9 9 0 年发表的论文中见到。经典的 复合泊松模型中最佳分红问题的首次处理可以在b i i h l m a n n l 9 7 0 年的论文的6 4 节中见到。 19 9 5 年j e a n b l a n c p i c q u 6 和s h i r y a e v ，以及19 9 7 年a s m u s s e n 和t a k s a r 先后 修改了分红问题，即他们都只考虑分红率有界时的分红策略。他们指出：在布 朗运动模型中，现在最理想的分红策略是一种门槛儿策略，这种策略也被称为 按比例分红策略。即，一旦资本余额超过一个确定的数额，分红就应以最高的 可接受的分红率支出。对于这种模型一些实际的计算可以在2 0 0 5 年g e r b e r 和 s h i u 的论文中见到。 第一章分红问题的背景与前言 i _ i - j _ 刖置 考虑下面典型的带扩散扰动的连续时间余额过程 l ( f ) u ( t ) = x + t + c r e 一艺叫 其中u ( t ) 是时刻t 的资本余额，石是初始资本，是常数保费收益率， 0 0 0 ，常数仃是布朗运动的扩散系数，0 仃 0 0 ，彬是一个标准的布朗运 l ( f ) 动。叫是密度为a 的复合泊松过程，而 叫，f 1 ) 为具有相同分布层( y ) 和密 i = l 度函数p 。( y ) 的非负随机变量，r y 0 时a ( y ) = o ( 为简便起见，我们记上面的 复合泊松过程为c p p ( 丑，日( y ) ) ) 。 这种带扩散扰动的古典风险模型是由g e r b e r 于1 9 7 0 年首先提出的，最近几 年很多人进行了进一步的研究。 例如，d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ，f u r r e r 和s c h m i d l i ( 1 9 9 4 ) ，s c h r n i d l i ( 1 9 9 5 ) ， g e r b e r 和l a n d r y ( 1 9 9 8 ) ，w a n g 和w u ( 2 0 0 0 ) ，t s a i ( 2 0 0 1 ，2 0 0 3 ) ，以及其中所涉 及的参考资料。 本文通过假定有一个水平b 0 来考虑一种按比例分红策略：当u ( t ) b 时，按比例口6 ) 分红( 即从常数保费收益率中提取常数 a ( a ) 作为分红率) ，直到破产时为止。 设d ( t ) 表示在0 到t 时间内分红的总和，于是 其中 d ( f ) = 口t 疗( 删o ) d s u ( t ) = u ( t ) 一d ( f ) 2 第一章分红问题的背景与前言 称v ( t ) 为u ( t ) 的辅助过程，再令 t = i n f t 0 ，u ( t ) 0 i u ( o ) = 石)( 1 2 ) 则r 是u ( t ) 的破产时间，而 ，1 一 v ( x ；b ) = e i 。e - a d d ( t ) iu ( o ) = x 】，工0 ( 1 3 ) 是破产前所有分红的期望折现值，其中万为计算的利息( 折现) 力度。又 l ( x ；b ) = e e 万rl u ( o ) = x 】，x 0 ( 1 4 ) 是这种按比例分红策略下在破产时刻一个单位的分红收益的期望折现值。作为万 的函数，它是破产时间分布的拉普拉斯变换。 最佳的分红问题要追溯到f i n e t t i ( 1 9 5 7 ) 。a s m u s s e n 和t a k s a r ( 1 9 9 7 ) $ 匕出，在 布朗运动模型上的分红率有界时的最佳分红策略是按比例分红策略。g e r b e r 和 s h i u ( 2 0 0 6 ) 对复合泊松模型做了更多的研究。 本文仿效g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 6 ) ，用复合泊松过程逼近布朗运动，并结合 g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 6 ) 的方法，给出了v ( x ；b ) 的一些结论。本文的其余内容安排 如下：在第二章里，介绍g e r b e r 和s h i u ( 2 0 0 6 ) 中的一些结论；在第三章里，给 出本文的主要结论。 3 第二章预备知识 第二章预备知识：带有按比例分红策略的复合泊松模型中 的一些结论 在这一章中，本文对于一般的带有按比例分红策略的复合泊松模型给出一 些结论，它们能导出本文在下一章的主要结论。这里所给结论可参考g e r b e ra n d s h i u ( 2 0 0 6 ) ，本文略去其证明。 现在考虑不带布朗运动的情形，记 ( f ) r ( f ) = x + c t - ( 2 1 ) j v “) 其中尺( f ) 是时刻f 的资本余额，x 是初始资本，c 是常数保费收益率，是 i = 1 c p p ( 2 ，p ( y ) ) 。 设d r ( f ) 表示在0 到f 时间内分红的总和，- f f 百a ( a c ) 为分红率。于是 令 d r ( t ) = f 口m ) 出 r ( r ) = r o ) 一d 足( f ) 称r ( t ) 为r ( t ) 的辅助过程，再令 = i n f t o ，r ( t ) o 是这种按比例分红策略下在破产时刻一个单位的分红收益的期望折现值。作为万 4 第二章预备知识 的函数，它是破产时间分布的拉普拉斯变换。 我们首先考虑v r ( x ；b ) 。作为工的函数，o ；6 ) 满足下列积分微分方程组： c ( x ；6 ) 一( 力+ f 万) ( 工；6 ) + 五，( x - y ；b ) p ( y ) d y = 0 ， o 0 ，这里o 届 厦 o ，i = 1 ，2 ，刀， 开 且4 = 1 ，则我们有 f = l ( x ；6 ) = c ：e 戊。，0 工 b z 一 k = o 其中厂不依赖于x ；p o ，见是 一( 见+ 万) + a p ( 善) = 0 不同的解，而p ( 孝) 表示p ( y ) 的拉普拉斯变换，且成 岛一。 岛； 5 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 第二章预备知识 u o ，o ol 9 甜。是 ( c a ) 善一( 允+ 万) + 旯多( 善) = 0( 2 6 ) 不同的解，u 。 u “ ； 又q ，i = 0 ，1 ，n ，口，i = 0 ，1 ，刀满足或= 0 且 萎g 赤一o ，m ( 2 7 ) y 骞c 赤一去詈一喜见去一o ，川，m 亿8 ， y 丢g 2 詈+ k = l q = o u ( 2 9 ) 其次，我们考虑厶( x ；6 ) 。作为x 的函数，厶( x ；6 ) 满足下列积分微分方程组： 叱( 石；6 ) 一( a + 万) 厶( x ；6 ) + 旯，k o y ；b ) p ( y ) d y + 2 1 - p ( x ) 】_ o ，o x 6 1 i m l r o ；6 ) = 0 j - - 0 0 ( 2 1 1 ) 而l r ；6 ) 在x = b 是连续的。函数厶 ；6 ) 是由这些条件所决定的，而在如下的 一些特殊条件下我们也能够给出它的显式解。 引理2 2 在如上同样的条件下，我们有 6 第二章预备知识 厶( x ；6 ) =( 2 1 2 ) 其中，p o ，岛和u o ，u n 同引理2 1 ；而q ，i = 0 ，1 ，l ，皿，i = o ，1 ，刀满足 d 0 = 0 毫q 焘乩i = l , - - - , n ( 2 1 3 ) 喜q 焘= 骞q 焘一”一m 亿 q p 咖= q e 叩 k = ok = l 7 ( 2 1 5 ) 6 x 0 工 工 反 叭 以 c 砬 。脚。脚 第三章主要结论 第三章由带有常数漂移和按比例分红策略的布朗运动所 扰动的复合泊松模型中的主要结论 现在让我们回到由( 1 1 ) 式表达的带有常数漂移和按比例分红策略的布朗运 动所扰动的复合泊松模型中。在这一章里，我们用第二章的引理给出v ( x ；b ) 和 ( x ；6 ) 在叫具有指数分布密度情形下的明确表达式。( 1 1 ) 式给出： i ( t ) u ( f ) = x + t t + c r w t 一叫 i = 1 我们首先给出v ( x ；b ) 和l ( x ；b ) 所满足的积分微分方程组。 定理3 1 v ( x ；b ) 和l ( x ；b ) 分别满足下列积分微分方程组： 1 2 二y ”( x ；6 ) + 矿( 工；6 ) 一( + 6 ) y ( 工；6 ) + a 口+ 2 y ”( x ；6 ) + ( 一a ) y ( x ；6 ) 一( 丑+ 万) y ，矿o - y ；b ) p l ( y ) d y = 0 ， o 工 6 0 ( 3 1 ) 2 三( x ；6 ) + t u l ( x ；6 ) 一( a + 万) ( z ；6 ) + 五j 三( 工一y ；6 ) p l ( y ) 咖+ a 1 一日( 功】= o ，o x 6 8 第三章主要结论 证明： 由于上面的四个方程形式相似，所以我们只给出v ( x ；b ) 在0 工 b 时的证 明。另外三种情形可类似证得。 考虑0 到出的小时间间隔，以“在这个时间间隔内是否有索赔以及如若出 现索赔，则索赔额是否引起破产 为条件，我们能够得到方程 由于 以及 y ( 工；6 ) = e 甜 ( 1 一a 历) e ( 矿( x + + 仃缈o ) ；6 ) ) + a 出，y ( z - y ；b ) p l ( y ) d y e ( 矿( x + , u + c r 肜( f ) ；6 ) ) = y 。；6 ) + 出o ；6 ) + 譬出矿 ；6 ) + 。( 班) e 砌= 1 8 d t + o ( d t l 则将它们代入矿( x ；6 ) 的表达式，可得 即 矿( x ；6 ) = 【1 一艿比+ 。( 出) ( 1 一& d t ) e v ( x ；6 ) + i u d t v ( x ；6 ) + 0 1 2d t v 。( x ；6 ) + 。( 出) 】 + a 西lz ( x - y ；b ) p l ( y ) d y ) y o ；6 ) = 【1 一万砒+ 。( 衍) 矿 ；6 ) + 出矿7 ；6 ) + 譬砒y ”o ；6 ) + 。( 以) 一 如y ；6 ) 一以( 出) 2 y ；6 ) 一了o 2a ( 出) 2 y ( x ；6 ) 也即 一a d ( 出) + 五出，矿 - y ；b ) p 。( y ) 咖1 9 第三章主要结论 从而有 y o ；6 ) = 1 一万出】【矿 ；6 ) + 以o ；6 ) + 等出y ” ；6 ) 一 出矿 ；6 ) + a 巩，矿( x - y ；b ) p l ( y ) d y 矿 ；6 ) = 矿 ；6 ) + 班y o ；6 ) + 孚疵y ；6 ) 一a 出y ；6 ) + 五出，矿o - y ；b ) p l ( y ) d y - a d t v ( x ；b ) - 6 p 。( 班) ( 工；6 ) 一万了0 , 2 。( 出) 叭x ；6 ) + 配【。( 出) y ( x ；6 ) 一矾 。( 比) 】j 矿o - y ；b ) p 。( y ) d y 这样，e 面的方程可改写为 譬叭啪) + ( 啪) 一( a + 缈( 砌) + j 0 矿( x - y ；b ) 币y ) 砂= 。 以上的推导中，我们忽略了o ( d t ) 。这正是( 3 1 ) 式中的第一个方程。 撑 备注3 1 对于v ( x ；b ) ，有两个边界条件为 y ( o ；6 ) = 0 ( 3 3 ) 和 v ( b - ；b ) = v ( 6 + ；6 )( 3 4 ) ( 1 1 ) 式中的x + + 仃彬可看作是带有指数型索赔额分布密度的复合泊松模 ，( f ) _ ( f ) 型族的极限，即x + c t 一叼，其中昕是c p p ( 屯，( y ) ) ，p 2 ( y ) = 屈p 一助， 且当如一0 0 ，屐j ，cj 时，我们有 1 0 第三章主要结论 和 = 五：畸。，岛l i m 。，。一。 c 一去 ( 3 5 ) 仃2 ，烛。，万2 a 2 3 2 - - ，o o c - - ) o o ( 3 6 ) ，p l 呻。8 ： 、。 且在上述极限过程中，从( 3 5 ) 式和( 3 6 ) 式我们可以得到 i 0 - 22 ”。，般蛳一云 ( 3 7 ) 2 五2 一o 。，声2 一，c 瑚及 、7 因此在上述极限过程中，过程u ( f ) 等同于过程r ( t ) ，如下：( 这里等同于是 指：对于固定的国有相同的分布) 式为 l ( f )2 ( f ) 尺( f ) = x + c t - ( 叫+ 昕) ( 3 8 ) 因为两个复合泊松过程的和仍是一个复合泊松过程，所以我们可以改写( 3 8 ) ( f ) r ( f ) = x + c t - i = l ( 3 9 ) l v ( t )1 其中善q 是c p p m ，”，a = 丑+ 屯且以力2i 瓮e ( y 卜百瓮昱) o 这 样，对于模型( 3 9 ) 我们可以如同第一- - - - 。z 。， 9 ；6 ) 和k o ；6 ) ，并且以极限 的形式，我们可获得下面定理。 定理3 2 当五一，2j 和c o o 时，我们有 v ( x ；b ) = ，娶1 耳 ( 工；6 )( 3 1 0 ) 2 ，2 + ，c - - 0 0 和 第三章主要结论 三( 工；6 ) = a ：帆l i ：r a 抛厶( x ；6 ) ( 3 1 1 ) 证明： 同定理3 1 ，我们只给出0 b 时g ( x ；b ) = ，娶m ( x ；6 ) 的证明， ，_ ，口 _ c 叶 其它三种情形可同方法证得。由于v r ( x ；b ) 在o x t - 8 ) v u ( 工；6 ) 一( 芦2 力+ 织万一旯p ( o ) ) ( x ；6 ) + 鹕j - y ；b ) p ( y ) d y + 2 ，v r ( 石- y ；b ) p ( y ) d y = o 因为肚a + 如，彤) = 焘加) + 焘驰) 及p l ( o 瑚和p 2 ( j ，) 钢p 邓2 j ， 我们可改写上面方程为： c k ”( x ；b ) - ( c f l 2 - 2 2 - 2 l 一万) ；6 ) 一及( 旯。+ 6 ) ；6 ) + a l 屐，吆。一y ；b ) p i ( 少) 咖+ a l ，o - y ；b ) p 1 7 ( y ) d y = o ( 3 1 5 ) 1 2 第三章主要结论 当如j ，2 一0 0 ，c 寸o d 时，我们在( 3 1 5 ) 式两边同除2 ，再由( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得 等”o ；6 ) + ；6 ) 一( 允l + 8 ) v a x ；6 ) + a l ，o y ；6 ) p l ( y ) d y = 0 ( 3 1 6 ) - o 方程( 3 1 6 ) j e 是( 3 1 ) 式中的第一式。因此，我们可得结论： 当屯一0 0 ，p 2 专，c o d 时，对于o x o ，我们有 其中p o ，p l ，p 2 是 矿 ；6 ) = 2 y q 扩。， o x b 七= 0 詈+ 耄驴。，跏 ( 3 1 7 ) 争降卜肌- 卅m 。= 。 埘 1 3 第三章主要结论 不同的解，且p 2 户l p o ；而“o ，u l ，u 2 是 争降叫冉饵删- ；t , - 8 ) 善- 种舯， 不同的解，且“2 “l “o 。y - d o = 0 ，c o 0 ， p 等匿警矽6 r b 2 。， ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) q = 者口却眇脚以p k - u 2 c 矽6 + 瓦a l , 1 2 - - ( 3 2 3 ) 砬= 警p 却 y 篇 1 以u l - - + p k y 6 一嚣】 ( 3 2 4 ) 证明： 当叫是参数为。的指数分布时，可知尸( y ) 是两个指数分布的混合，于是 砌) = 击雕呐y + 去即幔y ( 3 2 5 ) 而p ( y ) 的拉普拉斯变换为 础) = 去丽p l + 丽a 2 丽f 1 2 这样，方程( 2 5 ) 变为 ( 3 2 6 ) 川一：删m 。) ( 丧忐+ 熹忐瑚( 3 2 7 ) 上面方程可改写为 1 4 n 一岛 应一岛 + 一+ + 一+ 屈一从 展一屈 仍一见 a n 二一 二一 丛n 鱼色 一 一 = = r - 1 r - 吧 第三章主要结论 c 善3 + l e f t l + 9 p 2 一允2 - 2 i 一万】孝2 + 9 i i a 2 l a ( p 。+ 2 ) 一力。2 】善一万i 2 = 0 。( 3 2 8 ) 进而，( 3 2 8 ) 式两边同除2 ，再令如一，：_ ，c o o ，又由( 3 5 ) 式、( 3 6 ) 式和( 3 7 ) 式，我们有 譬冉【譬州冉( 层- 卅印肛。 这正是( 3 1 8 ) 式。用同样的方法，我们在极限情况下可以从方程( 2 6 ) 得到( 3 1 9 ) 式。因此，在极限情况下我们有 矿o ；6 ) = 2 y q e 咿， o x b k = o 詈+ 砉驴。，跏 其中p o ，p l ，p 2 ，“o ，“l ，u 2mr 如定理中所述。我们还必须在甩= 2 和2 寸时求 解方程( 2 7 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) 。这是容易做到的，在n = 2 和f l ：j 时我们可以得到 g 和口( i = 0 ，1 ，2 ) 满足岛= 0 ，c o 0 ，以及( 3 2 1 ) 式，( 3 2 2 ) 式，( 3 2 3 ) 式和( 3 2 4 ) 式。故此，我们完成本定理的证明。撑 备注3 3 当研是参数为。的指数分布时，从表达式( 3 1 7 ) ，( 3 2 1 ) 5 r 1 ( 3 2 2 ) 以及c o 0 ， 2 我们能够得到y ( o ；6 ) = y q = o ，即条件( 3 3 ) 式被满足。另外，微分( 2 9 ) 式两 边，从表达式( 3 1 7 ) 我们可以得到条件( 3 4 ) 式也被满足。 定理3 4 在如上的条件下，我们有 1 5 第三章主要结论 l ( x ；b ) = 其中p o ，p l ，p 2 和u o ，u l ，u 2 同定理3 1 。而d o = 0 ，c o 0 任意，又 q 一篇筹 e 一箍筹 dl=等8嘲6脚-1级pk-uzcu u p l 一，t ；o 风十p ， d2=尝e吨6脚-,ui-十,okuiu2,okp l 唧 一 t = o 十 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 证明： 我们唯一须做的是，在咒= 2 和2 一o 。时解方程( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 7 8 1 ( 2 1 5 ) 。容 易得到或= 0 ，c o 0 任意，以及( 3 3 0 ) ，( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) 式均成立。这样， 我们完成了本定理的证明。 撑 1 6 6 x o x r 以 以 q 砬 ：枷：脚 g 塑协反一鼠篇 g 等一声筹 参考文献 参考文献 1 】( b o o k ) a s m u s s e n ，2 0 0 0 r u i np r o b a b i l i t i e s s i n g a p o r e ：w o d ds c i e n t i f i c 【2 】( j o u r n a la r t i c l e ) a s m u s s e na n dt a k s a r , 1 9 9 7 c o n t r o l l e dd i f f u s i o nm o d e l sf o ro p t i m a l d i v i d e n dp a y - o u t i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 2 0 ：1 1 5 【3 】( j o u r n a la r t i c l e ) d u f r e s n e ，e ，g e r b c r , h u ，1 9 9 1 r i s kt h e o r yf o rt h ec o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s st h a ti sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，15 ：2 3 3 6 4 】( j o u r n a la r t i c l e ) g e r b e r , h u ，l a n d r y , b ，19 9 8 o nt h ed i s c o u n t e dp e n a l t ya tr u i ni na j u m p - d i f f u s i o na n dn ep e r p e t u a lp u to p t i o n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ， 2 2 ：2 6 3 2 7 6 【5 】5 ( j o u r n a la r t i c l e ) g e r b e r , h u ，s h i u , e s w ，1 9 9 8 o nt h et i m ev a l u eo fr u i n n o r t h a m e r i c a na c t u a r i a lj o u r n a l2 ( 1 ) ，4 8 c 7 8 【6 】( j o u r n a la r t i c l e ) g e r b e r , h u ，s h i u ，e s w ，2 0 0 6 o no p t i m a ld i v i d e n d s ：f r o mr e f l e c t i o nt o r e f l e c t i o n j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a - t i c s 18 6 ：4 2 2 【7 】( j o u r n a la r t i c l e ) g e r b e r , h u ，s h i u ，e s w ，2 0 0 6 o no p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g i e si nt h e c o m p o u n dp o i s s i o nm o d e l n o r t ha m e r i c a na c t u a r i a lj o u r n a l1 0 ( 2 ) ，7 6 9 3 1 7 附录 附录 本附录的目的在于给出：当个体的索赔额分布的概率密度p ( y ) 为混合指数 分布密度时，按比例分红策略下在破产时刻一个单位的分红收益的期望折现值 l ( x ；b ) 的计算方法。 如果将算子 冉( 丢+ 屈) ( a 1 ) 应用于下式 e l ( x ；6 ) 一( 元+ 6 ) ( x ；6 ) + 旯，三 - y ；b ) p ( y ) d y + 2 1 1 - p ( x ) 】_ o ，o 工 b ( a 2 ) o 那么我们可以得到：l ( x ；b ) 在0 x b 时满足一个n + l 阶的常系数齐次线性微分 方程。 于是，我们设 、 代入( a 2 ) 式后，得到恒等式 i ( x ；6 ) = q e 即， o x 6 ( a 3 ) c z c k p k e 即一( a + 万) q e 风。 “善荟4 q 万e p k x _ e - 届x ) + a 善彳鼬= 0 o b 时也满足一个n + l 阶的常系数齐次线性微分方程。 因此，我们设 n l 2 ( x ；6 ) = d , e v ， 工6 ( a 9 ) k = o 将其代入( a 8 ) 式后，得到恒等式 ( c 一荟q 栌。_ ( 兄+ 回荟n4 铲力善n 荟n 彳r q 万p i 笼彬叫啪咱叫