（理论物理专业论文）量子力学中的不变本征算符方法及其应用(1).pdf

摘要 摘要 在量子力学中，求解系统能谱是基础而重要的问题。处理此类问题的时候， 人们通常使用的是s c l r 6 d i n g e r 方程，由于涉及到微分方程，很多时候不容易求 解。另一方面，和s c h r 6 d i n g e r 方程同样重要的h e i s e n b e 唱方程，却很少被直接 用于求解能谱。经过我们研究发现，由h e i s e n b e 玛的思想出发并结合s c h r 6 d i n g e r 算子，可以得出一种求解系统能谱的新方法，称为“不变本征算符方法( i n v 撕a n t e i g e n - o p e r a o rm e t h o d ，简称i e o 方法) 。此方法主要对算符进行操作，无须涉 及系统的具体量子态或波函数，从而回避了复杂的微分方程，可以方便的对很 多系统进行求解。本文主要内容就是介绍i e o 方法的发展及其在分子物理、固 体物理、量子光学和量子场论等领域的应用。 一、经过追溯s c h r 6 d i n g e r 量子化方案的起源，我们对比s c h r 6 d i n g e r 方程和 i e i s e n b e 玛方程，从而引入关于本征算符的方程。由于本征算符和系统能级差之 间的对应关系，我们将得到可用于求解系统能谱的i e 0 方法。其核心思想就是 陶造系统哈密顿量的不变本征算符，从而得出对应的本征值，即系统能级差， 由能级差即可得到整个能谱。 二、通过求解几个相对简单的少体系统模型，演示i e o 方法的基本流程和 虫特的便利性之后，我们将运用i e o 方法来处理固体物理中比较典型的链状哈 茁顿量系统。由于在固体物理中，晶格振动的频率就对应于系统的能级差，可 以发现i e o 方法正适合于晶格振动问题的求解，并且由于晶格的周期性，可以 阿标准化的构造不变本征算符的思路。 摘要 三、一些结构比较复杂的哈密顿系统也可以用i e o 方法来求解，如半无限 原子链和奇异谐振子等模型。由于结构更为复杂，不变本征算符的构造通常需 要针对系统的具体结构来进行。 四、非对易空间中的量子力学( n c q m ) 最近引起了超弦理论领域物理学 家们的兴趣。由于不同粒子的坐标算符之间相互不对易，用通常方法求解变得 困难。我们把i e o 方法运用到非对易空间中，对n c q m 的几个模型进行求解， 发现非对易因素在这里并不造成困扰。可见i e 0 方法在此领域中具有相当的优 越性，有望推广实用。 五、当然i e o 方法远非完善，还存在相当的局限性。如何针对含时系统应 用i e o 方法还没有得到解决，而且和传统的s c h r 6 d i n g e r 方程求解一样，对要处 理的哈密顿量的形式也有一定限制，很多问题无法用i e o 方法直接解决。基于 对标准i e 0 方法的补充，最后我们介绍一些扩展方法，如赝不变本征算符和算 符微扰论等，来扩大i e o 方法的适用范围。 关键词：不变本征算符方法，算符本征方程，量子能谱，链状哈密顿量系统， 晶格振动，非对易空间 u a b s t r a c t h o wt oo b t a i nm ee n e 唱ys p e c t m mo fq u a l l t u ms y s t e m si sab a s i c 甜1 di n l p o r t a n t q u e s t i o ni nq u a n t u mm e c h a n i c s p e o p l eu s u a l l ym a k eu s eo fs c l r 6 d i n g e re q u a t i o nt 0 d e a l i n ge n e 玛ys p e c t r u mp r o b l e m s w r l l e r e a ss c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni sad i 疵r e n t i a l e q 删i o n ，i ti sh d t 0s o l v ei nm o s ts i t u a t i o n s o nm e0 t h e r h a n d ，h e i s e n b e 唱 e q u a t i o ni s s e l d o me m p l o y e dt os o l v ee n e 唱y s p e c t r u mp r o b l e m s ，a l t h o u g hi ti s i m p o n a i l ti nq u a n t u mm e c h a l l i c sa sw e l la ss c l h 6 d i n g e re q u a t i o n b yr e s e a r c h i n g t l l e s ec i r c u m s t a i l c e s ，、ec o m b i n e h e i s e n b e 唱s i d e aw i t h s c h 约d i n g e ro p e r a t o r ，a j l dt h e nf i n dan e wm e t h o dt oo b t a i nt h ee n e 唱ys p e c t r u mo f q u 乏m t u ms y s t e m s ，w h i c h 、v en a m ea s “i n v a r i a n te i g e n o p e r a t o rm e t h o d ”，o r “i e o m e m o d ，f o rs 1 1 0 n a p p l y i n gt h i sm e t h o d ，、v em o s t l yd e a l 、i t ht h eq u a n t u mo p e r a t o r s ， a n dd o n th a v et or e f e rt h eq u a n t u ms t a t e sa n dw a v ef h n c t i o n s ，c o n s e q u e n t l yo b v i a t e t h ed i 伍c u l tf l u x i o n a le q u a t i o n s 1 1 1 u si e om e t h o di sc o n v e n i e n ti ns o l v i n gm a i l y q u a n t u ms y s t e m s t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp 印e ra r ct 0i m r o d u c em ed e v e l o p m e n t o fi e om e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n si nm o l e c u l ep h y s i c s ，s o l i ds t a t ep h y s i c s ，q u a l l t u m o p t i c sa r l dn o n c o m m u t eq u a n t u mm e c h 锄i c s 1 f i r s t 、v ec a s tb a c kt h eo r i g i no fs c h r 6 d i n g e rq u a m i z a t i o ns c h e m e ，a n dc o m p a r e s c i ”6 d i n g e re q u a t i o nw i t hh e i s e n b e 唱e q u a t i o n ，t h e r e b ye s t a b l i s ht h ee i g e n - e q u a t i o n o fq u a n t u mo p e r a t o r s i n v i r t u eo fm ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o nb e t w e e nt h e e i g e n - o p e r a t o r sa i l de n e 唱yl e v e lg a p s ，w ec a l le d u c et h ei e om e t h o dt os o l v et h e e n e 唱ys p e c t r u mo fq u a n t 啪s y s t e m s t h ek e m e lo fi e om e t h o di st oc o n s t r u c t e i g e n o p e r a t o r so ft h eh a m i l t o n i a no fq u a l l t u ms y s t e m s ，t h e na c c o r d i n g l yo b t a i nt h e c o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u e s ，n a m e l yt h ee n e 玛y1 e v e lg a p so fq u a n t l l ms y s t e m s t h e 如l le n e 唱ys p e c t r 啪c a l lb el ( 1 1 0 、v 1 1b yt h ee n e 玛yl e v e lg a p s 2 w bs h a ns h o wt h eb a s i cp r o c e s sa l l du n i q u ea d v a 芏l t a g eo ft h ei e om e t h o db y i l i a b s t r a c t s 0 1 v 迹gs o m e 凳w 倒i c l es y s t e m s a 疔e r w a r dw ea = p p l yt h ei e 0m e t h o d t 0d e a lw i n l l i n e a rc h a i nh a i l l i l t o n i a i l sw h i c ha r et y p i c a l l yi ns o l i ds t a t ep h y s i c s 姗e r ei ns o l i d s t a 童ep h y s i c s ，l a t t i c ev i b r a t i n gm o d e sc o r r e s p o n dt 0t h e 锄e 唱yl e v dg a p s ，w ec a ! ls e e t h a tt h ei e om e t h o di sq u i t es u i t a b l ef o rt 1 1 i ss i t u a t i o n d u et om el a t t i c ep e r i o d i c i 劬 t h e r ei sa c t u a l l yas t a n d a r dt e c h n i q u et oc o n s t r w tt h ee i g e n o p e r a t o r s 3 s o m ec o m p l i c a t e dh a m i l t o n i a n sc a na l s ob es o l v e db yi e om e t h o d ，s u c h 硒 s e m i - i n f i n i t ec h a i nm o d e la n ds i n g u l a ro s c i l l a t o rm o d e i o w i n gt 0t 壬l ec o m p i i c a t i o n f o 衄s ，缸圮c o n s t m c t i n go fe i g e n o p e r a t o r sh a v et ob ed c t e m i n e db a s i n go np a r t i c u l a r o f m eh 锄i l t o n i a i l s 4 r e c e n t l yp h y s i c i s t s 、o r k i n go ns u p e r s t r i n gt h e o r ) rp a i dm u c ha t t e n t i o nt ot l l e q 砸n t u mm e c h a n i c so nn o n c o 帆u t a t i v es p a c e s ( n c q m ) s y s t e m si nn c q m a r e h a r dt od e a lw i t l lb yo r d i n a r ) ，m e t h o d s ，s i n c et h en o n c o m m u t a t i o nb e t w e e nt h e c o o r d i n a t eo p e r a t o r so fd i 船r e n tp a r t i c l e s w r ea p p l yt h ei e om e m o d t os o m em o d e l s i nn c q m ，锄dn o t i c et h a tt h en o n c o m m u 协t i o nd o e sn o tc a u s ea i i yt r o u b l ei no u r w 够t h u sw ec a ns a yt h ei e 0m e t h o dh a ss 叩e r i o r i t yi nn c q m ，a n dw e a r eh o p e m t l 眦i tc a nb ee x t e n dt os t u d ym o r em o d e l si nn c q m 5 0 fc o u r s et h ei e om e t h o di sn o tc o n s u 删n a t en o w ，t h c r ea r es t i l lm a n yp r o b l e m s t 0f j 重c ea t j u s tl i k et h es c h r 6 d i n g e re q u a t i o ns o l u t i o n ，t h eh 锄i l t o n i a n sw h i c hc a l lb e f i g u r e do u tb yi e om e m o da r ea l s or e s t r i c t e d ，a n dw eh o p et 0g e n e r a l i z et h ei e o m e t h o dt om et i m e d e p e n d e n tc a s ei nm ef h t u r e i nt h ef i n a lo ft 1 1 i sp a p l e r ，w e i n d d u c es o m eg e n e r a l i z a t i o no ft h es t a i l d a r di e om e t h o d ，s u c h 嬲p s e u d oi n v a r i 勰t e i g e n o p e r a t o rm e m o da n dq u a n t u mo p e r a t o rp e r t u r b a t i o nm e t h o d k 舒w o r d s ：i n v a r i a n te i g e n - o p e r a t o rm e t h o d ，o p e r a t o re i g e n e q u a t i o n ，q u a l l t l l m e n e 唱ys p e c t m m ，l i n e a rc h a i nh 锄i l t o n i 锄，l a t t i c ev i b r a t i o n ，n o n c o m m u t a t i v e s p a c e s i v 论文原创性和使用声明 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 口曰 作者签名：云暑 年月 日 、 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 量子力学的建立是二十世纪物理学最重要的成果之一，要研究微观层面下 的物质结构和属性，只有在量子力学的理论基础上才能得到彻底的解决。可以 说现代物理学的每一个分支都离不开量子力学的基础。 量子理论起源于1 9 0 0 年p l a n c k 为了解决黑体辐射的问题提出量子假设【1 】， 而后相继出现了e i n s t e i n 的光量子概念【2 】、b o l l r 的量子论【3 】、和d eb r o g l i e 的 物质波【4 】假设。到上世纪二十年代，h e i s e n b e 略和s c l l r 6 d i n g e r 分别提出两种不 同而相互等价的量子化方案矩阵力学 5 】和波动力学 6 】，稍后b o m 提出波函 数的统计解释【7 】，d i r a c 引入电磁场的量子理论【8 】，量子力学的理论框架终于正 式确立。量子力学的建立以及日后不断完善的历史中，闪耀着一大批上世纪最 优秀的物理学家的光辉名字。 伴随着量子力学的发展，如何求解量子系统的能谱始终是一个基础而重要 的问题。长期以来，人们一般都是根据系统的哈密顿量建立定态s c h r 6 d i n 萨r 方 程 9 】，进而求解体系的本征能谱。与此同时，和s c h 硒d i n g e r 方程有着同等重要 地位的h e i s e n b e r g 方程 1 0 】，却很少被直接使用于求解能谱。我们知道，当初 h e i s e n b e 唱创建量子力学时，他所关心的不是粒子的坐标或动量，而关注物理上 可观测的光谱，即能级之间的跃迁。据此，他创立了量子跃迁矩阵，即矩阵力 学。可以发现h e i s e n b e 曜的思路是适于处理能谱问题的。另一方面，s c m d i n g e r 的做法是从定态方程出发，求本征态和本征值。由于涉及到微分方程的求解， 在实际应用中常常遇到困难。 出于对这种状况的不满意，经过研究发现，对于很多系统来说，直接对算 第一章绪论 符进行操作更为简便。我们把这一套对算符操作的方法进行归纳总结，并称之 为“不变本征算符方法( i n v a r i a n te i g e n o p e m t o rm e t h o d ，简称i e o 方法) 【1 1 】。 这一方法是从h e i s e n b e 玛思想出发，关注能级的间隙，同时结合s c h r 6 d i n g e r 算 符的物理意义，把本征态的思想推广到“不变本征算符”的概念，从而使得 h e i s e n b e 玛方程的用途更加广泛。 1 2 le 0 方法的引入 追溯s c h r 6 d i l l g e r 量子化方案的起源，s c h 埔d i n g e r 把f 丢和日视为等价( 为 方便起见本文中取j l = 1 ) ，故而在很多文献里f 罢被称为s c h r 6 d i n g e r 算子。这样 可以写出波函数的定态本征方程： f 丢 f ，= 却= 印 ( 1 2 1 ) 当我们转到h e i s e n b e 玛表象中时，类比上式可以写出算符的本征方程： f 丢6 = 哆日 翎 ( 1 2 2 ) 如果算符6 满足( 1 2 2 ) ，我们就称它为系统的一个不变本征算符( i n v 撕勰t e i g 朗一0 p e r a t o r ，简称i e 0 ) 。利用这些不变本征算符来求解系统能谱的方法相应 的称为i e o 方法。 在波函数的定态本征方程中，本征值e 即表示系统的能量。而在我们引入 的算符本征方程中，本征值名对应的则是系统的能级差。 为了说明这一点，我们假设 i ) ) 是哈密顿量h 的本征态集合，且构成 h i l b e r t 空间的完备集。i ) 和l ) 是其中任意两个不同的非简并本征态，对应 的能量本征值分别为e 。和既。根据( 1 2 2 ) 式有： 2 第一章绪论 ( | d ，日 f ) = ( 岛一只) ( 例) = 名( 纵蚓) ( 1 2 3 ) 由于d 是非零算符，必然存在i ) 和l ) 使得( 1 6 l ) o ，于是 a = ( 一只) = 丝 ( 1 2 4 ) 即兄是系统的一个能级差。如臬是在动力学系统中，例如求解固体物理中的 晶格振动时，能级差对应的就是振动频率。 为了求解问题的方便，有时候我们要用到n 阶本征方程： ( ，丢) 宁= 盼h 埘卅枷 n 2 却 其中对易运算为n 次，算符6 称为n 阶本征算符。类似上面的讨论，可以 得出此时相应的系统能级差为丝= 划五。 借助i e o 方法，我们无须涉及系统的具体量子态和波函数，直接对算符进 行操作即可得出系统的能谱。对于很多量子系统，使用i e o 方法将极大的简化 求解过程。 1 3 ie 0 方法的相关性质 一、系统有一阶本征算符和系统有n 阶本征算符等价 显然“有一阶本征算符”兮“有n 阶本征算符”。现假设系统有n 阶本征 算符互满足： 【互，日】，日 ，日 = 五墨 ( 1 3 1 ) 我们可以令 e + l = 允- 1 【e ，日】， 刀= l ，2 ，一l ( 1 3 2 ) 联合( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 两式可见 第一章绪论 【目，日】= 五厩 ( 1 3 3 ) 于是有 广1 f e ，何l = 五e ( 1 3 4 ) l 互lj j 1 即系统也存在一阶本征算符。在实际运用i e o 方法求解时，可以视情况选 择寻找一阶本征算符或者n 阶。为方便计，以下讨论不经特别说明时均指一阶 本征算符。 二、不变本征算符集和群映射 假设f 和g 都是哈密顿量日的不变本征算符 【f ，】= 旯f ， 【g ，劈】= g ( 1 3 5 ) 则有 p ，胃 = 一五矿 ( 1 3 6 ) 和 【粥，】- ( 元+ ) 粥 ( 1 3 7 ) 即i e 0 的共轭算符和相互乘积都是i e o 。由( 1 3 6 ) 和( 1 3 7 ) 可得 即，日 = o ( 1 3 8 ) 综合上述几个式子，并对照群的定义，我们可以发现：用算符和哈密顿量h 之间的对易运算可以把i e o 集合映射到一个加法群。该群生成元的个数对应系 统的自由度，群的所有元素对应了系统的所有能级差，由该群即可构造出系统 的整体能谱。 三、有关虚数本征值的说明 用i e o 方法求解系统能量的时候，有时会遇到i e o 对应的本征值是虚数的 情况，相应的物理解释是什么呢? 4 第二章少体系统 【只，日】= 一f ( q 皇+ 吒昱+ 2 向q 曼裂薹l 羹囊喜篓霾蓁蓁耋冀黧 雾搿 i 型i 绽i ；i ! 墓薹季警荔薹蓁薹鍪鐾囊所! i； l 蓁；鎏! ；! 型霎奏再孝塞蛋蒡蓁喜耋胄l 蠢冀生霹芈名箍季i 蓁i 霄；羹i 爱l 豫薹强蓁霪鸶静攀醪弱羹薹i 羹静糖陋1 酵蓁黄短羹塑蓁夔薹攀篓蓁鼎 蓁一萎薹霎霎彳擘冀霪垂囊冀i 霎。耋耋l 霆霪錾冀望型骝麴蒂毅虻i 妻iij 蓊 4 ) 把( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 代入( 2 2 4 ) ，我们可以得到如下矩阵方程 铂 0 如一向 0 一q 毛一心 -z 乞一毛呸 o 向一岛o 也 彳 1 l 、 、 = 五 石 石 五 、 ( 2 2 5 ) 解出此方程，由i e o 方法，即可得极化子系统的能级差为 丝= 五 = 击厍瓦瓦习乖蓊雨雨丽亿2 固 特别的，当取q = 哆= 缈时，我们有 丝= 橱j 耳面 而取后l = 乞= 尼时，有 缸= 击正面雨丽 这些结果和以前的文献 2 0 相符合。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) x 第二章少体系统 特别的如果取朋= 鸬= q = 岛= 吼= c r 2 ，哈密顿量日简化为 何= 彳露2 + 石碍+ 毛研+ 如讲 ( 2 1 9 ) 此时( 2 1 6 ) 中对应的旯简化为 名= 石j i l ，或者五= 石乞 ( 2 1 1 0 ) 此时系统对应于两个独立的谐振子，结果也相吻合。 本节中讨论的这个双原子系统的模型具有普遍性，实际问题中出现的很多 双模系统模型都可以化成( 2 1 1 ) 中哈密顿量的形式，从而可以由( 2 1 6 ) 中的结果 给出其系统能级差。 作为例子，下面我们引入一个均匀磁场下量子点中电子的运动模型 1 0 。 量子点中的电子在均匀磁场中运动的哈密顿量为 风= 去( n ：+ n ；) = ( 兀+ n - + 三) q ( 2 1 ) 这里 n = 赤( 叩仉j ( 2 1 1 2 ) 见= n ，一吐，岛= n j ，一鸭 其中见，乃表示电子的正则动量，j = ( 一三砂，主出，。) 势。若用正则坐标和正则动量来表示，( 2 1 1 1 ) 可写为 风= 去( 蠢+ 刃) + 罢( 觋一煅) + 吾艘2 ( x 2 + y 2 ) 如果现在有一个外加的非对称谐振子势( 一个量子点) ， 密顿量为 = 去( 兀：+ n ；) 毛朋砰 三历西y 2 令 q 2 + 4 砰= q ；，q 2 + 4 砖= q ； 则( 2 1 1 4 ) 可写为 代表对称的电磁矢 ( 2 1 1 3 ) 则相应的系统的哈 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) 9 第二章少体系统 日= 去( z + z ) + 罢( 觋一溉) + 吉拂q ；x 2 + 吾班q ；y 2 和( 2 1 1 ) 式相对比，可以得到 石= 石2 嘉 毛= 昙m q ；，屯= 吉椭； qq 吼2 一了，吒2 了 厶厶 霪；季= 霎；霎= 囊 驯薹。e 。目耋! 霹舻! ! ：；：塑i j 霎黢繁蓁鲢罄靴羹增圈墅墅 蚕；蓥冀鞴颡茎篓蘩羹 i 笔，l ；| 霉| 霎篓罂翼黉i ! 主l 茎崧雾薹瓣黼像一露； ￥蓁。羹薹篓羹羹羹 i 晕；! 少体系统是量子力学中相对简单的系统，在分子物理和量子光学等领域中 经常出现此类模型。然而很多情况下要用s c l l r 6 d i n g e r 方程对系统精确求解仍然 并不容易。本章我们将运用i e o 方法来研究一些具体的少体系统模型，并演示 用i e o方法处理问题的基本思路和流程。 2 。1双原子系统 双原子系 统是最简单而基础的少体系统，我们以它作为第一个例子。 我们研究的是这样一个双原子系统，其哈密顿量为 麓勉篇黑q 2 州咖：马q ( 2 1 1 ) + 硒墨最+ 筋q l q 2 + q # 踢+ 岛昱q 2 + q 弓q 2 + 侈2 马q 、。 其中眉(鸟) 和另( q 2 ) 分别是两个原子的动量( 坐标) 算符，而系统中 包含不同原子间坐标和动量的所有二次耦合项，这个系统可以看作双原子耦合 的一个普遍意义上的模型。 第二章少体系统 2 3 多原子分子系统 最后我们用i e o 方法来求解一类结构比较规则的多原子分子系统模型 5 。 首先考虑一个如下图所示的6 原子分子系统 m m m 萋户 图2 3 1 六原子分子模型 其哈密顿量可以写成： 日= 喜睁嘉+ 嘉+ 扣玎+ 弦珂+ 弦“ 叫， 在这个分子系统里，共有三种原子相间排布，其质量分别为肌，朋7 ，明”， 原子间有最近邻相互作用，作用力常数都是。先写出基本对易关系 1 2 【只，日】= f ( 一。+ 一2 ) 【巧，日】= 泸( 矗+ 一2 ) 【群h 】= 妒( + 毛+ 。一2 ) 【 【 【 h h h 进一步得出二次对易关系 二只 ，竹 砉g 去磷。 ( 2 3 2 ) 第二章少体系统 配，日】 【g ，日】 【蝶日】 ( 2 3 3 ) 这样可以看到算符集合 只，g ，础在和日的二次对易运算下是封闭的。于是 我们假设日的i e o 为 2 f = ( 五+ 俨乙+ 绷 月篁l 并满足二阶本征方程 【f ，】，日 = 五f 把( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 代入( 2 3 5 ) ，得到 为简单起见，令 鲁( 2 一芹。一) ：允以 所 。 鲁( 2 名一z 一朋= 硝 q p n 心= 嘁 旦三口，旦兰6 ，旦三c 朋历历。 可以得到如下矩阵本征方程 2 口一口oo 一62 660 oc2 cc oo一口2 口 0o06 一coo0 0口 0o 00 一口o 2 66 一c2 c z r ： 五 j r 佟 = 五 彳 父 r 正 ； 矗 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 于是问题变成求解( 2 3 8 ) 中矩阵的本征值。解出( 2 3 8 ) ，可知名是如下两个 上期血肌鱼矿只一肌殳珥一所珥i堡 口 口 疗 l i = i i 1 j 1 j 1 j h 日 h 第二章少体系统 石 炙 r 石 r r 石 e = 名1 月( 2 3 1 6 ) 解出( 2 3 。1 6 ) ，可知名是如下两个方程的根 名3 一( 2 口+ 2 6 + 2 c ) 五2 + ( 3 口6 + 3 6 c + 3 伽) 见= o ( 2 3 1 7 ) 和 旯3 一( 2 口+ 2 6 + 2 c ) 名2 + ( 3 口6 + 3 6 c + 3 口c ) 五一3 口6 c = o ( 2 3 1 8 ) 对比上述几个例子，我们发现所有矩阵本征方程的根都满足如下形式的方 程 五3 一( 2 口+ 2 6 + 2 c ) 名2 + ( 3 口6 + 3 6 c + 3 伽) 名一勋6 c = o ( 2 3 1 9 ) 这是一个很有趣的现象，我们尝试着继续增加分子中的原子数直到3 0 ，用 i e o 方法对其进行求解，发现相应本征值的结果也同样满足上述方程。这应该代 表了此类结构分子系统的某种性质。然而总原子数不同的分子对应( 2 3 1 9 ) 式中 参数七的数值，尚未找到规律，将留待以后的研究解决。 在这一章里我们利用i e 0 方法求解了若干比较有代表性的少体量子系统， 并展示了i e o 方法求解的基本流程。对一个量子系统进行求解，通常是首先算 出构成系统哈密顿量的各算符和哈密顿量之间的对易关系，若满足封闭式的对 易关系，则可写出不变本征算符的表达式，并由对易关系列出矩阵形式的方程。 解出这个矩阵方程，即可得到相应的本征值，也就是系统的能级差。 川o o o o o o 而幻 o 0 0 0 o 0 川曲 吖 o 0 o o o 吖孙而0 o o o o 而幻 吲o o o o o 川动 叩o o o o o叶扫而o 0 0 o o 而幻 川o o o 0 o 川筋 叼0 o 0 o o o 孙而0 0 o o 0 o 叼 第二章少体系统 参考文献 【1 】h o n g 一f a n a n dc h a o “，肌畛蛔三p 舵糟a 3 2 1 ( 2 0 0 4 ) 7 5 7 8 【2 】h o n g y i f a i la n dh a ow u ，刀h d v d c f ，”g 疗幻b ，11 9 ( 2 0 0 4 ) 1 1 0 5 【3】fan h o n g y i a n d f a ny u e ，c d 所所配砌p d ，：尸纫愠v 4 4 ，n o 2 ( 2 0 0 5 ) 2 5 2 【4 】h o n g y i f觚，hai-pengh ua 1 1 dx u - b i n g 佃1 9 ，尸i l j 哆a ：m a t h g e n 38 ( 2 0 0 5 ) l 【5】hongyif a i la l l dh a 0w u ， 如如朋脚，妇三8 抛船b ，v 0 1 1 9 ，n o 2 6 ( 2 0 0 5 ) 1 3 6 l 【6】hongyi f 锄，h a ow u 锄dx u e - f e nx u ，伽觚矿坳d 肼矽b ，v 0 1 1 9 ，n o 2 7( 2 0 0 5 ) 4 0 7 3 7】f强hongyia 1 1 dt 觚gx u - b i n g ，c d 所朋乩砀p 以朋坶v 4 5 ，n o 6 ( 2 0 0 6 ) 10 0 3 【8】failh o n g - y i 锄d1 肌gx u b i n g ，m 聊阢砀p o ，= 肼矽v 4 6 ，n o 2 ( 2 0 0 6 ) 2 0 9【9 】f a n hongyia n d i 觚gx u b i n g ，i ：勿所朋纪z 强p d ，：尸矗坶v 4 6 ，n o 4 ( 2 0 0 6 ) 6 0 3 1 0 】h y f a j l ，t t w m g 锄dyl y 缸g ，觑舰一矿胸d 鳓眵b ，v 0 1 2 0 ，n o 3 2( 2 0 0 6 ) 5 4 1 7 【11】gui w；ei-jun，guij i a z h 孤g ，a n d 吖蝌gg 孤g ，c 口脚朋纪砀p d ，：尸，移惋v 4 5 ，n o 4 ( 2 0 0 6 ) 6 1 4 12 】f a i l g hongyi a n d d ac h e n g ，( 1 d 川坍比7 确口d ，= p j l j 归v 4 5 ，n o 2 ( 2 0 0 6 ) 2 5 5 【1 3 】h o n 分y if a i l 肌dh a 0w h ，刀z v dc 砌明幻b ，v 0 1 1 2 2 ( 2 0 0 7 ) ，2 5 7【1 4 】h a 0 wu a11dh o n g y if a l l ，j j l 如沈朋尸矗声妇三p 抛坶b ，v 0 1 2 l ，n o 2 6 ( 2 0 0 7 ) 1 7 5 l【l5 】f a i l hongyi a j l d t a n gx u - b i n g ，c d 脚朋扎砌p d ，：肋坶v 4 7 ，n o 5 ( 2 0 0 7 ) 8 6 5 【16 】f a nh o n g y i ，1 觚gx u - b i n g 觚dw m gt o n g t o n g ，c d 肌聊比劢口d cm 孵v 4 8 ， n o 4 ( 2 0 0 7 ) 6 3 3 【1 7 】h o n g - y if a n 锄dh a 0w h ，c d 历m 乩砌p d ，：肼归v 4 9n o 3 ( 2 0 0 8 ) 7 5 9 【1 8 】h o n g y if a n a l l dh a ow u ，劬小明琵乃鳓归v 4 9 ，n o 1 ( 2 0 0 8 ) 5 0 1 6 第二章少体系统 【1 9 】g e r a l ddm a h a n ，拖缈肋比尾p 枷蛔，p l e n 啪p r e s s ，n e wy 0 r k ( 1 9 8 1 ) 3 4 8 【2 0 】s g h o s h a la n da c k 吡e l j e e ，尸矗坶r p eb5 2 ( 1 9 9 5 ) 9 8 2 ；尸眇三p 纪a2 3 3 ( 1 9 9 6 ) 1 9 5 1 7 第三章链状哈密顿量系统 第三章链状哈密顿量系统 ：y = 芝r 人( 一蟛) 2 + 人( 嘭一+ 。) 2 ( 3 o 1 ) m 务“小吐，一2 ( 3 0 2 ) m 警= + “：) 1 8 把( 3 ，o 3 ) 代入( 3 o 2 ) ，可以得到 毗肛蔫 第三章链状哈密顿量系统 嚣_ 糍二筠 n ， 一m 切2 孝= 人研e x p ( 啪) + e x p ( 一纳) 卜2 外 p 于是有 拍) - a ( 击+ 古) 人陋等r o s ， 和 喜：塑：型( 3 o 6 ) 一= 一= 一 i - n i 2 人一m c p 2 2 人c o s 口口 、7 可见彩2 有两组解，其中矿( g ) 称为声学支，表征所有原子在任意时刻都朝 同一方向运动的振动模式；而( g ) 对应的是光学支，代表不同种类原子运动方 向相反的振动模式。 3 1 一维双原子链系统 首先我们考虑比上述模型更为复杂的一个双原子链系统 3 ，如下图所示 m m 图3 一卜一1 双原子链模型 该原子链由两种不同原子交替排布构成，其质量分别为所和肌；原子间存 在最近邻相互作用，且和左右原子的弹性系数并不一样，相应的弹性系数分别 为y 和y 7 ；链中共含有2 n 个原子，并且满足周期性边界条件。系统的哈密顿量 可以写成 第三章链状哈密顿量系统 罗= 只孝c o s 2 鸩+ 踞c o s ( 2 刀+ 1 ) 曰 打= l ( 3 1 1 0 ) 形( 3 1 1 0 ) 代入( 3 1 7 ) ，相 【凡日】， 2 善【纠c 。s 2 鸩一孝彳c 。s 1 9 l c 。s 2 鸩+ 孝，s i n 岛s i n 2 刀岛】鲁 + 善陟彳c 。s ( 2 疗+ 1 ) 1 9 i 一鲥c 。s 岛c 。s ( 2 疗+ 1 ) 岛一弘s i n 岛s i n ( 2 刀+ 1 ) 易 等 ( 3 1 1 1 ) = 么砉 鲁 一善c 。s 毋) c 。s 2 鸩+ 鲁( 孝7 一善s 研) c 。s ( 2 嚣+ 1 ) q + g s 洫f 9 i 其中我们令 g 三善 篆s i n 2 刀易一砉只s ；n ( 2 刀+ t ) 易 c 3 t t 2 ， 比较( 3 1 1 0 ) 矛( 3 1 11 ) ，我们发现如果取 兰( 孝一孝7 c 。s q ) ：善：三( z 一f c 。s q ) ：孝， 班掰 则( 3 1 1 0 ) 式化为 【f ，日】，日 = a f + g s i n 绣 其中 五= 昙( - 一手c 。s 岛) = 昙( - 一多c 。s q ) 解出( 3 1 1 5 ) 式，我们得到 孝所一所( 历一川) 2 + 4 所川c o s 2 f 9 i 二：= - - ，! - 二二二，二 孝7 2 历c o s 岛 和 ( 3 1 1 3 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 6 ) 五= 翥 m 吲厄研面 ( 3 - 朋) 根据( 3 ，1 1 2 ) 和( 3 1 1 6 ) 我们可以计算g 的对易关系 2 l 第三章链状哈密顿量系统 = 彳姜 去( 等+ 砉c 。s 岛) 只s ；n 2 鸩一刍( 砉+ 丢c 。s 岛) 只s ；n ( 2 以+ t ) 谚， + 争嘻伽2 鸩馏c o s ( 2 川) 岛 3 1 8 ：五g + f 刍s i n 岛 兵中 五= 刍 所州千厄丽面 ( 3 9 ) 由( 3 1 1 4 ) 和( 3 1 1 8 ) ，我们发现f 和g 的组合可以构成日的不变本征算符。 令算符0 为f 和g 的一个线性迭加 0 = 毛f + 如g ( 3 1 2 0 ) 算符d 要满足二阶本征方程 心砚日 = ( 毛五+ 也刍s i n 岛) 叫如五郴s i n 啪( 3 1 2 1 ) = 旯( 毛f + 如g ) 解出方程( 3 1 2 1 ) ，我们得到 五( 岛) = 南耐) 瓜磊而丽爵丽 ( 3 他2 ) 由i e o 方法可知，系统的振动能级为 q ( 毋) = 压丽 ：锚伽“) 压可面而丽驴。 2 3 下面我们简要分析一下该振动能谱。由( 3 1 2 3 ) 式我们可以得到能谱的各边 界频率 q 心= 0 ) ：属哦 q 一( 岛= o ) = o ( 3 1 2 4 ) ( 3 1 2 5 ) 第三章链状哈密顿量系统 和 q ( 岛= 三) = 压再丽丽丽锄 m 6 ， q 一( 岛= 詈) = 压再面丽丽吗n 比7 ， 为了显示q 商) 随岛的变化，我们取朋：2 坍，y ：2 作一个频谱示意图 q q 0 曩晓 2 图3 一卜- 2q 士( 岛) 随够变化的频谱示意图 图中表示振动频率q 土( 易) 的曲线有两个分支，其中q + ( 岛) 代表的是光频支， 而q 一( 1 9 i ) 代表的是声频支。由上图可见光频支的频率比声频支更高，且曲线更 为平缓。 进一步，为了显示参数，即原子问相互作用大小的差异对q 。( 易) 的影响， 我们选取聊= 2 肌，彳兰y + = 1 作另外两个频谱图