（概率论与数理统计专业论文）带有双误差变量的非线性回归模型的非参数估计.pdf

摘要 带有双误差变量的非线性回归模型在生产和生活实际中都有着广泛的应用在实践中，要 实现该模型的的一些应用需要事先知道误差成分的概率密度，通常满足该要求的做法是假定 误差成分的概率密度属于已知的分布族而事实上，这种假定不一定符合实际情况，有时会出 现较大的偏差 本文在误差项分布未知的情况下，首先用局部线性加权估计的方法给出双误差变量下非 线性回归模型中回归函数的估计，并恰当选取了在一定条件下该估计的收敛速度在进行误差 变量的密度估计时，因为模型含有两个误差成分，在已知一个误差变量服从正态分布的条件 下，我们利用特征函数构造了另一个误差变量密度函数的具有核估计形式的卷积核估计，并在 一定的条件下，证明了该估计的收敛性质 关键词；带有双误差变量的非线性回归模型；局部线性加权估计；密度估计 a b s t r a c t n 伽l i n e a rm o d e kw i t hd 伽b ke 玎o rv a r i a b l e sh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si nt h ea c t l l a lp r o d u c t i o n 雠dl i f e i nt h ep r a c t i c e ，、en e e dt ok n a wt h ep r o b a b i l i t yd e 璐i t y so ft h ee r r o r si na d v a n c e i no r d e r t om e e tt h er e q l l i r 咖e n t ，w eu s u a n y 嬲8 u m et h a tt h ep r o b a ：b i l i t yd e n s i t y 8o ft h ee r r o r sb e l o n gt oa i l k n o nd i s t r b l l t i o nf 妇l i l y t h ef a c ti st h a tt h i sa 勰1 l m p t i o ni sn o tc o n s i s t e n t 丽t ht h ea c t u 8 ls 觚a t i o n i nm 觚l yc 嬲铝，a d l ds o m e t i m 瞪t h i 8a 胬1 l m p t i o nm a y b eg e t 胖a 钯rd e v i a t i o n i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h ew e i g h t e dl o c a l1 i n e a r 箦t i m a t eo ft h er e g r e 鼹i o nf l l n c t i o ni nt h em o d e l f i r s t l yu n d e rc e 叽a i nc o n d n i o n s ，w e8 e l e c tt h e8 p e e do fc o n v e r g e n c eo ft h ee s t i m a t e w h e nw e 鹤t i m a t e t h ed e 璐i t yo ft h ee r r o rv a r i a b l e ，f o rt h e r e 盯et 、釉e r r o rv a r ia _ b 1 篑i nt l l em o d e l ，a n da ne r r o ri 8k n o w n t ob en o r m a ld i s t r i b l l t e d ，w eu s et h ec h a - r a c t e r i s t i cf u n c t j o nt oc o n s t r u c tt h ed e c o l i v 0 1 u t i o nk e r n e l 铬t i m a t eo f 乞h ed e n s i t yo fa n o t h e rv a r i a b l ew h i c hh 笛t h ef o mo ft h ek e r n e l 篑t i m a t e u n d e rc e r t a i n n d i t i o n 8 ，w ea l s op r o v et h ec 蚀v e g e l l c eo ft h ee s t i m a t e k e yw 0 r d s ：n o n l i n e a rr e 驴臣滴o nm d d e l 8w i t hd o u b l ee r r o rv a r i a b l e s ；、i g h t e d1 0 c a ll i n e a r 签t i m 8 t e ； d e n s i t ye 8 t i m a t e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位敝作者躲酝主：眺 2 耐，以彤 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：越、 日期：竺堕：暨哗 指导教师签名：他亟1 日 期：盈避，签哗 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 盖盔i 盎童迫整 通讯地址：兰查叠逾垄壹查毖堡 电话；1 钾s s 3 鼹 邮编： 呈! 翌型 东北师范大学硕士学位论文 引言 非参数统计是统计学的一个重要分支，它在实践中有着广泛的应用回归分析是统计中最 重要的内容之一，它是研究变量间相关关系的一门学科它通过对客观事物中变量的大量观察 或试验获得的数据，去寻找隐藏在数据背后的相关关系，给出它的表达形式一回归函数的估 计按照回归函数形式选择的不同，所建立起来的回归模型又可分为线性回归和非线性回归两 类双误差变量下的非线性回归模型是当前热点之一在双误差变量下的非线性回归模型中， 我们通常需要对两个随机误差项和进行如下的假定： “和口为连续型随机变量，它们相互独 立且分布已知记联合误差因子为现有的研究一般假设t ，服从均值为零，方差有限的正态分 布，记为= u + ，而侧重于对让进行不同的分布假定，主要有半正态分布，指数分布及 伽玛分布再由卷积公式可得联合误差分布的密度函数，然后就可以利用一些统计方法估计模 型中的未知函数了。但在实际当中，这种分布假定不一定符合实际情况，有时可能会出现较大 的偏差所在在误差项分布为未知的情况下给出误差项的密度估计，就成为我们关心的问题之 一密度函数的估计是非参数估计中的重要内容之一，这方面的研究成果也很成熟其中密度 函数的核估计方法一直是密度函数估计的一种简单而行之有效的方法基于傅氏变换和特征 函数构造的卷积核估计方法除应用于密度函数的估计，也应用非线性回归模型中回归函数的估 计中构造密度函数的具有核估计形式的卷积核估计由于其恰当地利用了特征函数和构造思 想的直观和简捷性也得到人们的普遍重视和深入研究 本文的工作就是在一定的条件下研究双误差变量下非线性回归模型的估计问题问题的 研究包含有两方面的工作：首先，模型当中的回归函数是未知的，如果把双误差变量的和记为 联合误差因子，则在一定的条件下，回归函数即为条件均值函数。我们可以采用非参数估计的 方法对其进行估计在本文中所采用的非参数估计方法是局部多项式估计当中的特殊情形之 一局部线性加权估计原则上来说其精确程度要比一般的核估计略高并在一定的条件下给出 了局部线性加权估计的收敛速度其次，由于双误差变量下非线性模型在应用时往往对误差变 量的分布进行假设，这些假设有时会带来一定的偏差，所以对u 的密度函数在一定的条件下 给出估计量就是我们研究的问题之一，我们利用特征函数构造钆的密度函数的卷积核估计， 并在一定的假设条件下证明了估计量的收敛性。 1 东北师范大学硕士学位论文 1 预备知识 1 1 带有双误差变量的非线性回归模型的简单介绍 非参数统计是统计学的一个重要分支，它在实践中有着广泛的应用所谓统计推断是由样 本观察值去了解总体，它是统计学的基本任务之一在对总体的分布不作假设或仅作非常一般 性假设条件下的统计方法称为非参数统计由于非参数统计方法与总体究竟是什么分布几乎 没有什么关系，所以它的应用范围很广，并且广泛地应用于经济领域而非参数估计做为非参 数统计析的一项重要内容，由于其实用性和灵活性已得到广泛的应用常用的非参数估计方法 如核估计方法、局部多项式估计、样条函数法、拟似然估计、经验似然估计等等已应用到如回 归分析、时间序列分析、生存分析等诸多领域，并且随着科学研究的深入和发展，好的非参数 估计方法也在进一步探索当中 另一方面，回归分析是统计中最重要的内容之一它是研究变量间相关关系的一门学科， 如果变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表示，但在平均的意义下有一定的定量关 系表达式，寻找这种定量关系表达式就是回归分析的主要任务它通过对客观事物中变量的大 量观察或试验获得的数据，去寻找隐藏在数据背后的相关关系，给出它的表达形式一回归函数 的估计按照回归函数形式选择的不同，所建立起来的回归模型又可分为线性回归和非线性回 归两类由于经济模型本身就存在着许多非线性形式，所以非线性回归模型在经济领域有着重 要的应用背景 将非参数统计的方法应用于非线性回归模型的研究一直是统计界研究的热点问题之一 特别是对回归函数的非参数估计由于其有对回归函数的宽松的假设，并且能够更好地利用数 据去寻找合适的回归函数等特点，这方面的研究一直受到普遍的关注并且已经取得重要的研究 成果，如文献【3 】一【5 】研究了带误差变量的非线性回归模型的回归函数的核估计、局部多项式估 计等。文献【1 0 】研究了面板数据的回归模型的半参数估计。文献【7 】一【8 】研究了非线性自回归模 型的回归函数的非参数估计。文献f 1 8 】讨论了非线性回归模型中非参数回归函数核估计的一 致强收敛速度文献【2 0 】将非参数估计方法应用于风险中性过程的研究，显示了非参数估计方 法在实践中的重要作用由于当前经济现象的复杂多样性、经济中时间数据的增多和样本容量 的增大、新的经济模型的层出不穷，对于新的回归模型的探索和研究工作一直也在进行当中 近些年，带有双误差变量的非线性回归模型由于其在经济及其它领域的广泛应用也受到 2 东北师范大学硕士学位论文 人们的普遍关注，文献f 2 l 】讨论具有特殊形式的双误差变量下非线性回归模型的相关性的方 差齐性的检验 一般地，考虑如下双误差变量下的非线性回归模型： k = m ( 五) + 忱+ 啦， i = 1 ，2 ， ( 1 1 ) 对于模型( 1 1 ) ，( 墨，k ) 为取值为r 的i i d 变量，n 代表样本数量，咒，吻，铆独立，对所 有的i ，歹，z = 1 ，2 ，竹耽是不可观测的，随机的，只与个体有关的误差成分；让i 是不可观测 的随机变量m ( ) 是未知函数 带有双误差变量的非线性回归模型在各个领域都有着广泛的应用比如在经济学的生产 理论中经常采用的随机前沿面成本函数模型就是可以看成模型( 1 1 ) 的一种特殊情形，在随机 前沿面成本函数模型中，k 代表总成本，置是产出量和投入价格的向量，误差分为两部分， 一部分随机项是由纯自然因素造成的，如运气，天气，气候，地理机器的表现等它是一个双 边误差项，表示在任何统计关系中均可以发现的统计误差，称之为随机误差项，这里用优表 示而另一部分随机项是由于管理不善造成的，如技术和经济无效，生产者和其雇员的努力程 度等，它是一个单边误差项，用来表示技术无效，称为管理误差，这里用仳i 表示，满足地之o 互地= p ，u t 的方差有限，单侧分布的误差项讹表明实际成本总是高于最优成本 在双误差变量下的非线性回归模型中，我们通常需要对两个随机误差项u 和 进行如下 的假定：札和口为连续型随机变量，它们相互独立且分布已知记联合误差因子为= 口+ 饥 现有的研究一般假设”服从均值为零，方差有限的正态分布，记为u ( o ，砖) 而侧重于对 进行不同的分布假定，主要有半正态分布，指数分布及伽玛分布再由卷积公式可得联合误差 分布的密度函数，然后就可以利用一些统计方法估计模型中的未知函数了 例如，对于模型( 1 1 ) ，假定仳服从半正态分布，口服从正态分布，那么根据w e i n s t e i n ( 1 9 6 4 ) ， 得到e 的密度函数为 ，( ) = ( 2 仃) ，+ ( 盯) f + ( 入e 盯) ， 其中盯2 = 砖+ 司，a = 吼吼，表示u 的标准差，+ ( ) 和f + ( ) 分别表示标准正态分布的密 度函数和分布函数 但在实际当中，这种分布假定不一定符合实际情况，有时可能会出现较大的偏差所在在 误差项分布为未知的情况下给出误差项的密度估计，就成为我们关心的问题之一 1 2 局部线性加权估计的简单介绍 3 东北师范大学硕士学位论文 为了后面几章的应用，在这一节，我们介绍一下非参数估计中的局部多项式估计，它的一 种特殊情形就是局部线性加权估计，是实践中经常使用的一种方法 若我们假设方程( 1 1 ) 中 咒) 的数据为可观测的，由刘忠和茆诗松( 2 0 0 3 ) ，m ( z ) 局部多项 式估计的思想比较简单，根椐r i 匆l o r 展开，任何一个高阶可微函数都可用多项式来近似，对于 一个高度非线性函数，采用一个全局型的多项式来近似自然不可取，但如果用多项式来近似待 估函数的每一局部，则可望达到较好的近似效果，而局部范围的大小则由权函数控制，一般采 用加权最小二乘法来估计局部多项式系数，因此局部多项式估计又往往称为局部加权最小二 乘估计，特别地，最常用的是局部线性加权估计 这里在 置 的数据为已知的条件下，仳和口记为联合误差因子e ，则模型( 1 1 ) 中的未知 的回归函数m ( ) 就是条件均值函数我们直接给出条件均值函数m ( z ) 的估计具体地，假 设条件均值函数有z l 阶连续导函数，如果我们要估计在任意给定点z 处的条件均值函数值 m ( z ) ，先将每一m ( 五) 在z 处作f i a y l o r 展开并舍去余项就有： m ( 五) m ( z ) + m o ) ( 五一z ) + 型( 恐一z ) 2 + + m o - l k ) 搿， i = l ，礼 ( 1 2 ) 所以( 1 2 ) 就是一个多项式回归模型，可以用最小二乘法得到m ( z ) ，m ，( z ) ，m 卜1 ( z ) 的 估计，但是随着咒与z 的距离不同，( 1 2 ) 的近似精确性也就不同，当五距离z 较远时。 m ( 置) 用( 1 2 ) 近似就差些，因此不能将这些近似式等同看待，这就产生加权最小二乘法的思 想，权重的大小根椐咒距离z 的远近来决定，距离越远的权重越小但事先难以给定各托的 权重，因而常选取核函数作为权重函数，核函数可以通过调整带宽来调整诸五的权重 将以上思想总结起来，由h a r d l e 锄dt s y b a k o v ( 1 9 9 7 ) ，m ( z ) 的加权最小二乘估计就是： 胤枷( z ) = f ( o ) z g ( z ) ，( 1 3 ) 其中就是g ( z ) 通过极小化下面的目标函数来得到( 即为使下面的目标函数最小的向量c ) ： ( 置一e t ) 2 k ( p n ) ， ( 1 4 ) c = 砚 q 锯 ： a 4 f ) = u u 2 虿 一l 研 ( 1 5 ) 奎垄堕蕉拦塑圭堂笪迨塞 一一一 = f ( m ) ， x t z 胁2 百 k ( ) 是一个核，通常可选取正态核k ( z ) = 去e 一手，e p 孤眺n i l c o v 核k ( z ) = 鲁( 1 一z 2 ) 川z i 1 ) 等 k 是一个正数( 带宽) ，它的大小可以控制诸五在估计m ( z ) 时的权重的大小，且| l ，l _ o ， 一+ o o ) 对每一z 都采用这样的加权最小二乘估计法，我们就得到条件均值函数m ( z ) 的估计，这 是局部多项式估计的基本做法，显然，顺带地我们还得到了条件均值函数的诸导函数m u _ 1 ) ( z ) 的估计； 晚毁1 ( z ) = l 歹g ( z ) ，l ， 歹= 1 ，2 z 其中1 j 是第歹行元素为l 而其他行元素为。的维列向量，所以导函数的估计是局部多 项式估计的副产品在局部多项式估计中，如果取z = 2 ，所得到的就是局部线性加权估计 5 东北师范大学硕士学位论文 2 回归函数的局部线性加权估计 在实际应用中，对于模型( 1 1 ) 有如下假设z 假设2 1 凰，嘶，叻独立，对所有的后，歹，f = l ，2 ，n ；并且u 和t ，是相互独立的 假设2 2e i y i r 2 假设2 3 ( o ，盯2 ) ，且e ( 让) = p ，“的方差有限 记仳；= 一p ，联合误差因子为岛= t i + 忱，从而有m ( z ) = m ( z ) + p ，= “；+ 优 模 型( 1 1 ) 转化为 k = m ( 玉) + ：，t = l ，2 ，1 ( 2 1 ) 对于：，有e ( ；) = o ，且e ( e ：2 ) o ，e “置1 2 ) m ； 假设2 5 在任意区间【口，6 】 6 ) 内，m ( z ) 存在有界导函数； 假设2 6k ( ) 满足 ，十，十，+ o o k ( 秒) d 耖= 1 ， 矽k ( 秒) d 耖= o ， 矽2 k ( 矽) d 秽o ， j o o，一 ，一 耖2 k ( 秒) d 矽 + 。o ，r = l ，2 ， 在假设2 4 2 6 下，可给出m ( z ) 的局部线性加权估计，即找出n 和6 使下式值达到最小： 砉( k “一) ) 2 k ( 等) ， ( 2 2 ) t = = l 式中k ( ) 是一个核函数，k 是带宽，n 一+ 。o 时，k o ，用a ，6 分别表示使式( 2 2 ) 达到 最小的值和6 值，则m ( z ) 的估计值是渤( z ) ，经过简单的计算，可知， 概( z ) = k 峨， 为避免分母为o ，通常取m ( z ) 的估计危( z ) 如下： 抚 ) = 吡k 【咄+ 壶】， ( 2 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 式中 一c 等牵等晒叫2 啦叫砉k c 等胝叫， 并且咄满足 由式( 2 4 ) 可知， 孔 僻一z 础= o i = l 仡 【k m 扛) 一晚扛) ( 墨一z ) 】咄+ n 一2 m p ) e 晚扛) = m 扛) + e 丝 n 忧+ n 一2 = l ( 2 4 ) 由f 蛐( 1 9 9 3 ) 可知，对于上面给出的回归函数的局部线性加权估计具有下面的性质t 如果窗宽 h = o ( n p ) ，0 卢 l ，则 e 州z ) 一m ( 圳= o ( 碡+ 击) ( 2 - 4 ) 7 东北师范大学硕士学位论文 3 双误差变量下非线性回归模型的误差变量的密度估计 3 1 误差变量的密度估计 对模型( 2 1 ) 中的误差变量矿的密度函数的估计，是我们所关心的同题，下面将在一些假 定下，讨论误差变量仳+ 的密度估计 在模型( 2 1 ) 中，模型的残差为；= 巧一m ( 玛) ，给出回归函数的局部线性加权估计后，可 以得到：的估计。 弓= 玢一危( 玛) ( 3 1 ) 则有 s l p 眩一弓i = s u p i 赢( 玛) 一m ( 玛) i j】 由于回归函数的局部线性加权估计具有相合性，且在一定条件下的收敛速度为o ( 1 n h ) ，| l ，l = o m 一卢) ，0 p 1 - 因此，当n o o 时，记0 o ，使当礼充分大时， 成l 咖k ( 丁k ) i d 丁 m ，根据引理3 2 ，当n _ o o 时，对于z 一致的有 l 去等m = o 似n h ) + o ( 置k h ) ， 即有i 五( z ) i = o ( 如k ) + o ( 既k ) ，引理3 3 证毕 下面我们给出误差变量的密度估计的收敛性质； 定理3 1 凡在支撑域内二次可微且一致有界，则有 8 u pl 五( 2 ) 一九( 2 ) i = o ( ：) + o ( j e i h 入n ) + o ( a 。入忭) 证明已知五。( z ) 的形式如下； m 加去仁州巾 x 卅讹肌 将五( z ) 分解成两个部分，即 五( 名) = j l ( z ) + 毛( 2 ) ， 1 2 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 东北师范大学硕士学位论文 ( z ) = 去e 吣( 丁) 一( 下渺k ( r h ) 唧( 一订z ) 缸 屁( z ) = 去! k ( 下) k p k ) 唧( 一r 名) 打 这里 k p k ) = 以p 打k z k ( 2 ) 出， 设随机变量卵以核函数k ( ) 为密度函数，则其相应的特征函数为k ( ) ，从而 ( 丁) 妒耳( 丁 n ) 是 仳+ 卵k 的特征函数，由于n 一+ o o 时，l _ o ，则让+ + 叼k 的密度函数趋于u + 的密度函数， u + ，7 k 的特征函数趋于k ( 下) j 1 2 是u + 卵k 的密度函数，这样由卷积公式，有 “ j 1 2 ( z ) = 厶( z k 伽) k ( t u ) d t l ， ( 3 1 3 ) 由九0 一k ) 的泰勒展式，有 如( z k t l ，) = 缸( z ) 一伽k 丘( z ) + 寺2 ，l 三路( 矗) ， ( 3 1 4 ) 式中厶在z h 硼与z 之间把( 3 1 4 ) 式代入到( 3 1 3 ) 式中，得到 j 1 2 ( z ) ：厶( z ) 厂+ k ) d 叫一 竹丘( z ) 厂加k ( 似) d 伽+ 丢，l ：厂+ 伽2 路( 矗) ( 伽) 如j 1 2 ( z ) = 厶o ) k ( 伽) d 叫一 竹咒( z ) t ，k ( 似) d 伽+ 去，l ： 伽2 路( 矗) ( t t ，) 如- ，一o o ，一 ，一 k ( 伽) 为核密度，所以有忍k ) d 叫= 1 又k ) 为对称函数，所以t u k m ) 为奇函数，从而 有，：t t ，k ( 伽) d 伽= o 因此， 坼) = m 卅扣仁伽2 路( 郴( 州饥 根据路一致有界，由假设2 6 可以得到巴叫2 k ) d 0 o o 所以对于z 一致的有 尼( z ) = 厶( z ) + o ( i ) 式( 3 1 1 ) 可由这个结果联合方程( 3 1 2 ) 及引理3 3 得到 定理2 2 1 证毕 这样就有了u 得收敛性较好得密度估计五，进而可得u 的密度估计为五( z ) = 五( z p ) 1 3 一一 壅垄堕整燮亟堂垡坌塞 参考文献 【1 】a i g l l e r ，d j ，l o 、r e l l ，c a k ，a n ds d l m i d t ，p f i o r 删1 1 a t i o na n de 8 t i m a t j o no fs t o d l a s t i cf t i e r p r o d u c t i o nf 1 j n c t i 佃m o d e l 8 【j 】j d fe c o n 鲫e 喇c s 1 9 7 7 ，( 6 ) ：2 l 一3 7 f 2 】d a 、，) ，d o v ，m l a m j 硒n gc o n d j t j 锄sf o rm a r k 0 vc h a i l 埔f j 】弛钞0 ，p r d b a 砌钞a n dj 捃a p p z f c 8 巧鲫s 1 9 9 3 ，( 1 8 ) ：3 1 2 - 3 2 8 【3 】f i a n ，j a l l dm a s r y ，e m u l t i v a l r i a t er e g r e 鹤i o ne s t i m a t i o nw i t he r r o r 8 - i n _ v a r i a b l 伪：踮y m p t o t i cn o r - m a l i t yf o rm i 茹n gp r o c 骼船s 【j 1 z 乳踞咖口疵口纪a ，l n l1 9 9 2 ，( 4 3 ) ：2 3 7 _ 7 2 f 4 】f 蚰，j 肋d n l l o n g ，y k n o n p 甜锄e t r i cr e g r 嘲i o n 丽t he r r o r 8i nv a r i a b l 鼯【j 】知n s a 纽c 1 9 9 3 ， ( 2 1 ) ：1 9 0 0 1 9 2 5 【5 】f i 缸，j l o c a l1 j n e a rr e g r e 8 8 i o n8 m o o t h e r sa n dt h e i rm i n i m a xe 币c i 印c i 髂【j 】山1 n j s a 蹴1 9 9 3 ， ( 2 1 ) ：1 9 6 - 2 1 6 【6 1h a u r d l e ，w 粕d i 8 y b a l i v ，a l o c a lp 0 1 y n o m i 甜酷t i m a t o 瑙0 f 心i l i 锣f 1 1 n c t i 伽i nn o n p 村跚r l e t r i c a u t o r e 铲e 胬i o n 【j 】，o ，跏加m e f c s 1 9 9 7 ，( 8 1 ) ：2 2 3 _ 2 4 2 f 7 】 h j o r t ，n l a 1 1 dj o n 髑，m c ，l o c a 1 yp a r 锄e t r i cn 衄p a r 蜘l e t r i cd e n s i t ye s t i m a t i o n 川a 肌 矗魄1 9 8 8 ，( 2 4 ) ：1 6 1 9 - 1 6 4 7 【8 】j o n d r a w ，j ，l a v e n ，c a k ，m a t e r o v ，i ，a n ds c h m i d t ，p o nt h ee g t i m a t i o no ft e c h n i c a li n 栅c k n c y i ns t o c l l a s t i cp r o d l l c t i o nn l n c t j 鲫m o d e l 【j 】，o ，五扎d m e 拥1 9 8 2 ，( 1 9 ) ：2 3 3 _ 2 3 8 【9 】l i p s t e r ，r s h a n ds h j r j a e v ，a n af l l i