（计算数学专业论文）二元对角向量值有理插值和曲线的奇拐点分布的研究.pdf

二元对角向量值有理插值和曲线的奇拐点分布的研究 摘要 本文主要对二元对角向量值有理插值的算法和f b - 样条曲线的奇拐点分 别作了研究，内容主要包括主对角线和副对角线上向量值有理插值的两种算法、 预给极点情况下主对角线和副对角线上向量值有理插值的矩阵算法、f b 一样条曲 线的奇拐点分布图。 首先分别回顾了向量值有理插值研究的基本理论与方法和曲线曲面造型 的发展过程以及曲线奇拐点分析的发展过程，分别阐述了二元t h i e l e 型向量值 分叉连分式插值算法和矩形网格上数据缺失的二元向量值有理插值算法，c b 样条曲线、h b 样条曲线、f b 样条曲线的定义，平面c - b 6 z i e r 曲线的奇拐点 分析以及有理b 6 z i e l - 曲线的奇点分析。 本文给出二元对角向量值有理插值的直接求系数匆，的算法和基于 s a m e l s o n 广义逆所定义的特殊初等变换的矩阵算法，构造了在预给极点情况下 主对角线和副对角线上向量值有理插值的矩阵算法，并给出数值例子说明上述 算法的有效性。利用包络理论和拓扑映射的方法，讨论了f b 样条曲线的奇拐 点和凸性性质，并给出了依据控制多边形判断f b 样条曲线出现一个或两个拐 点，一个尖点，一个二重点以及处处为凸的充分必要条件，最后给出了f b 样 条曲线的奇点，拐点以及二重点在缸一平面上的分布图。 关键词：有理插值预给极点f b 样条曲线奇点拐点 分布图包络理论 r e s e a r c ho nb i v a r i a t ed i a g o n a lv e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o na n dd i s t r i b u t i o n o fs i n g u l a r i t i e sa n di n f l e c t i o n p o i n t so nc u r v e s a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ym a k e ss o m er e s e a r c ho na l g o r i t h m sf o rb i v a r i a t ed i a g o n a l v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n dt h ei n f l e c t i o na n d s i n g u l a rp o i n t s o n f b 。s p l i n ec u r v e s i ti n c l u d e st w ok i n d so fa l g o r i t h m sf o rt h eb i v a r i a t ev e c t o r v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o no v e rl e a d i n gd i a g o n a la n ds u b d i a g o n a lr e s p e c t i v e l y ， t h em a t r i x a l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gb i v a r i a t ed i a g o n a lv e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nw i t hp r e a s s i g n e dp o l e s ，d i s t r i b u t i o no fs i n g u l a r i t i e s ，i n f l e c t i o np o i n t s 。 l o o p sa n dc u s p so nf b s p l i n ec u r v e s i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，w e v e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ， r e v i e wt h eb a s i ct h e o r ya n dm e t h o do ft h e t h e d e v e l o p m e n to fc u r v ea n ds u r f a c e m o d e l i n g ，t h ed e v e l o p m e n to fa n a l y s i so fi n f l e c t i o na n ds i n g u l a rp o i n t so ns o r e e k i n d so fc u r v e s ，a n db r i e f l yi n t r o d u c et h ea l g o r i t h mf o rt h eb i v a r i a t et h i e l e t y p e v e c t o rv a l u e db r a n c h e dc o n t i n u e df r a c t i o nr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，t h ea l g o r i t h mf o r b i v a r i a t ev e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o no v e rr e c t a n g l eg r i d sw h i c hi sl a c ko f d a t u m ，t h ed e f i n i t i o no fc bs p l i n ec u f v e s ，h bs p l i n ec u r v e sa n d f b s p l i n ec u r v e s a n a l y s i so fi n f l e c t i o na n ds i n g u l a rp o i n t so np l a n a rc b 6 z i e rc u r v e s a n a l y s i so f s i n g u l a r i t i e so nr a t i o n a lb 6 z i e rc u r v e s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，w ef i r s t l yg i v et w om e t h o d sf o rc o m p u t i n g b i v a r i a t e d i a g o n a lv e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，o n ei s c o m p u t i n g 反， d i r e c t l y ，a n o t h e ri sak i n do fm a t r i xm e t h o dw h i c hi sg i v e nb yd e f i n i n gas p e c i a l e l e m e n t a r yo p e r a t i o ni nt h es e n s eo fs a m e l s o ni n v e r s e i na d d i t i o nw ec o n s t r u c t sa m a t r i x a l g o r i t h m f o r c o m p u t i n gb i v a r i a t ed i a g o n a lv e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nw i t hp r e a s s i g n e dp o l e s ，t h e ns o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h e v a l i d i t yo ft h ea b o v ea l g o r i t h m s w ed i s c u s s e ss i n g u l a r i t i e s ，i n f l e c t i o np o i n t sa n d c o n v e x i t yo ff b 。s p l i n ec u r v e si nt e r m so ft h e i rc o n t r o lp o l y g o n s ，a n dg i v e st h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt e s t i n gw h e nf b s p l i n ec u r v e sh a v eo n eo r t w oi n f l e c t i o np o i n t s ，o rac u s p ，o ral o o p ，o rn o n eo ft h ea b o v ep o i n t s b yt h e e n v e l o p et h e o r i e sa n dt o p o l o g i c a lm a p p i n gm e t h o d a tl a s t ，a l lk i n d so fd i s t r i b u t i o n o fs i n g u l a r i t i e s ，i n f l e c t i o n p o i n t s ，l o o p sa n dc u s p so nf b s p l i n ec u r v c so n 础- p l a n ea r ei l l u s t r a t e d k e y w o r d s ：r a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ；p r e a s s i g n e dp o l e s ；f b s p l i n ec u r v e s ； s i n g u l a r i t i e s ；i n f l e c t i o np o i n t s ；d i s t r i b u t i o n ；e n v e l o p et h e o r y i v 图1 1 图1 2 图1 3 图1 4 图3 1 图3 2 图3 3 图3 4 图3 5 图3 - 6 图3 7 图3 8 图3 - 9 图3 1 0 图3 1 1 图3 1 2 插图清单 平面c b d z i e r 曲线的奇拐点分布1 6 有理b d z i e r 曲线最后一个控制点的尖点判别曲线1 7 选择不同的只点而出现尖点的三条有理b d z i e r 曲线18 前后两条有理b d z i e r 曲线在尖点处相切”1 8 不同形状参数的f b 样条曲线和均匀b 样条曲线2 8 不同形状参数的f b 样条曲线的奇拐点分布图3 0 口1 ，a ，坐标向量在图中的表示3l 抚的位置在区域n 时的f b 样条曲线3 l 反的位置在区域n 时的f b 样条曲线“3 l 玩的位置在区域d 时的f b 样条曲线3 1 玩的位置在区域c 时的f b 样条曲线”3 2 鼠的位置在区域l 时的f b 样条曲线3 2 反的位置在区域s 时的f b 样条曲线3 2 夙的位置在区域s 时的f b 样条曲线3 2 q a ，时且方向相反时的f b 样条曲线3 2 口1 眼时且方向相同时的f b 样条曲线3 2 v i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金壁王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：际欢欢签字日期：捌年月予日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 佥目墨王些太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅或借阅。本人授权金胆工业太堂可以将学位论文的全部或部分论 文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：两欢欢 签字日期：制年石月牛日 导师签名：矽物次 签字日期：o 矿年6 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：上海孵傻巨商楫中学电话：，卵f f 加牛占， 通讯地址：上海争季寝基南蛹诹新建f 路吲主邮编：幻h 。 月7 日 i 致谢 时光飞逝，转瞬已到毕业之际。回顾这三年的生活，往事历历在目。在老 师和同学们的帮助下，自己顺利度过了紧张、忙碌而又快乐的研究生生活，同 时，在学习和为人处事方面，自己也取得了一定的进步。这三年的生活，将是 我人生中的宝贵财富，在此，我要向所有帮助过我的人表示由衷的谢意! 首先我要向我尊敬的导师朱晓临教授、朱功勤教授、郭清伟副教授致以最 衷心的感谢。他们严谨的治学态度、渊博的学识和谦虚的为人将一直激励我更 加勤奋踏实地学习、工作，催我奋进，是他们不断的鼓励与亲切的指导给了我 信心并帮我指引了研究方向，进而顺利完成了论文写作。 在学习期间和论文的撰写过程中，受到了檀结庆教授、苏化明教授、黄有 度教授、邬弘毅教授、林京教授、唐烁教授等老师所给予的支持和帮助。他们 的教学思想、作风和高尚品德都是我学习的楷模，在此我十分感谢与敬佩他们! 三年的学习中，我要感谢李昌文、林伟然和我的师兄周金明、陶有田，他 们都给了很多帮助。同时我要感谢2 0 0 5 级研究生3 4 班的同学们，和他们一起 学习一起生活的日子是快乐的，将成为我记忆中的风景。感谢合肥工业大学排 球队的队友们，谢谢他们陪我度过了一幕幕难忘的时光。 感谢我的父母和朋友，他们无私的关爱、支持和鼓励，让我安心学习，顺 利完成学业。 感谢评阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢他 们在百忙中给予的批评指正和宝贵意见。 v 作者：陈欢欢 2 0 0 8 年5 月 第一章绪论 1 1向量值有理插值问题 向量值有理插值可视为是标量有理插值的一种推广。它的系统研究始于 g r a v e s - m o r r i s 【9 】的一篇文章，基于连分式与向量广义逆变换( s a m e l s o r l 变换) 给出了向量值有理插值的定义及算法，证明了它的特征性与唯一性。之后有许 多学者对向量值有理插值问题进行了深入研究，取得了一些有价值的结果 i o , 1 1 , 1 8 。朱晓临与朱功勤( s 7 1 将向量值有理插值定义中的整除性去掉，给出了更 一般的向量值有理插值的定义，证明了它的特征性与唯一性。 从1 9 9 0 年开始，朱功勤、檀结庆和顾传青等人在基于连分式的有理插值 与逼近方面开展了一系列的研究工作。朱功勤、顾传青1 5 1 1 把数量连分式的思想 引入到向量连分式中，给出了向量的s a l z e r 定理及t h i e l e 型向量连分式的收 敛性定理，并将著名的p r i n g s h e i m 定理推广到向量的情形。朱功勤、顾传青 5 2 , 5 3 , 5 4 1 利用s a m e ls o n 逆，引进了向量的偏倒差商与偏反差商，首次将一元t h i e l e 型向量值有理插值推广到二元的情形，建立了二元t h i e l e 型向量值有理插值的 概念，并证明了相关的性质，给出了二元t h i e l e 型向量连分式的误差公式。朱 功勤、檀结庆 5 5 1 对矩形网格上的二元向量值有理插值进行了专门的研究，得到 了矩形网格上二元向量值分叉连分式插值的特征定理、单向唯一性定理、对偶 定理及边界插值定理等。首次提出矩形网格上二元对偶向量值有理插值的概念， 并对它们的性质进行了比较深入的研究。 顾传青【5 6 】给出了一种求二元t h i e l e 型向量连分式的系数算法。朱功勤、 檀结庆【5 7 】利用向量分叉连分式对二元向量值有理插值及其系数的算法作了进 一步的研究，并给出了二元向量分叉连分式插值的矩阵算法【强】。檀结庆1 5 9 1 建立 了逆差商的一种紧凑的行列式表达式。朱晓临 6 0 1 分别给出了一元和二元向量值 有理插值函数具有承袭性的逐步递推算法。 朱功勤、顾传青等( 6 1 , 6 2 1 分别建立了二元对称型向量值有理插值及二元有向 向量的有理插值的概念，并对这些类型的向量值有理插值进行了研究。陈之兵 1 6 3 构造了矩形网格上二元n e v i l l e 型向量值有理插值，这是一种对型值点的倒 数进行插值的二元向量值有理插值。檀结庆f 6 4 】建立了一种二元混合有理插值， 将矩形网格上的节点分成若干个三角网格，根据需要将它们进行适当的拼接， 得到了较好的插值效果。檀结庆、唐烁 6 5 1 建立了一种二元混合有理插值，将向 量有理插值与向量多项式插值进行有机地组合，从而达到了更好的逼近。檀结 庆 2 0 l 通过引入多个参数构造了二元插值的一般框架，当参数取不同值时分别表 示多项式插值，两种二元混合有理插值和二元分叉连分式插值。赵前进两1 将二 元向量值有理插值推广到了三元的情形，构造了一种三元向量值混合有理插值 及其算法。檀结庆，唐烁【6 7 娜】又构造了向量值三重分叉连分式插值的算法，并 对三重分叉连分式插值进行了进一步的研究。 对于矩形网格上出现数据缺失的向量值有理插值算法，主要有以下一些结 论。朱功勤等咿】给出了离散点集上的向量值有理插值算法与特征性质，朱功勤、 檀结庆、王洪燕i t o 给出了预给极点的一元( 二元) 向量有理值和算法，并得到 相应的向量有理插值的特征定理。檀结庆 1 7 1 考虑了对于数据缺失而产生的“有 洞”情形，给出了矩形网格上出现矩形“洞一的向量有理插值算法和特征定理。 朱功勤、檀结庆1 1 9 给出了三角网格上的二元向量有理插值算法和特征定理。 朱功勤、顾传青 7 1 , 7 2 | 定义了矩阵的s a m e l s o n 逆，将一元t h i e l e 型向量值 有理插值的思想和方法运用到矩阵有理插值的研究中，建立了基于矩阵 s a m e l s o n 逆的一元矩阵有理插值，得到了一系列类似于向量值有理插值的结 果。顾传青 7 3 1 又将一元矩阵有理插值推广到二元的情形，建立了二元矩阵有理 插值；朱功勤1 7 4 】进一步研究了二元矩阵有理插值算法与特征性质。随后朱功勤、 檀结庆 7 5 1 建立了向量值有理插值与矩阵有理插值之间的转换关系，从而将向量 值有理插值的研究与矩阵有理插值的研究统一起来。朱晓临【7 6 】去掉了基于广义 逆的二元矩阵值有理插值函数定义中对二元矩阵有理函数的整除性条件，给出 了矩阵值有理插值函数的具有一定承袭性的逐步递推算法。 1 2一元向量值有理函数插值 1 2 1一元向量值有理函数插值的定义 定义1 2 1 设由n + 1 个不同点组成的点集为聩- x , l i = o , t , f 1 五e r 和相应的有 限值向量集为v ：= ，( 再) = ( h ( 薯) ，屹( 毛) ) ，f = 0 ，l ，刀 其中( x ) 为多项式。令 r ( 石) = n ( x ) d ( x ) ( 1 2 1 ) 其中n ( x ) 为d 维向量，即n ( x ) = ( 川( x ) ，n d o ) ) ，( x ) ( 1 d ) 为实的或复 的多项式，d ( x ) 为实代数多项式。所谓向量值有理插值问题，就是寻找向量值 有理分式函数尺( x ) ，使之满足条件 皿，( 毛) = ，( t ) d ( 葺) = y ，( ) ，f = o ，1 ，万j = l ，d ( 1 2 2 ) 其中露，( x ) 表示向量r ( x ) 的第j 个分量。 1 2 2t h i e l e 型向量连分式有理插值 g r a v e s - m o r r i s 引入向量 ，的s a m e l s o n 变换 p - l ( x ) = ，( x ) i v ( x ) 1 2 ( 1 2 3 ) 其中1 ，( x ) 表示 ，( z ) 的共轭向量，i ，( x ) i 表示向量 ，( x ) 的模。将定义1 2 1 中 的r ( x ) 化为向量连分式形式，即 肌m + 寻一+ 孚 2 ( 1 2 4 ) 利用插值条件便可逐一求出4o = 0 ，l ，刀) 事实上匆可用反差商表示： b o = v ( x o ) = ( ) 岛= ，( 一) 一v ( x o ) 吼( 五) 一q , o ( x o ) = 仍( 而，j c i ) 巩= 依( x o ，五，黾- l ，以) ，k 2 l ，2 ，儿 其中 x i x 。 纵而2 讯翥意两 x l x i 纵x j 以卜不磊暑表两 纯( ，黾小) 2 瓦：石i _ i i ：i x 了km j x 夏k _ j li x o 了_ j ；= = i 乏j 败一i l ，& 一2 ，矗) 一纯一l 【，吒一2 ，黾一l j k = l ，2 ，绝 定理1 2 1 9 1 设匆c d ，z ，薯r ，i = o ，l ，刀如果对连分式( 1 2 4 ) 从末项起利 用变换( 1 2 3 ) 逐项向前有理化，则存在d 维向量多项式( x ) 和实代数多项式 d ( x ) 满足： ( i ) 曰( x ) = n ( x ) d ( x ) ：( i i ) d ( x ) 0 ；( i i i ) d o ) 0 ( x ) 1 2 定义1 2 2 设d ( x ) 是实代数多项式，( x ) 是d 维向量多项式，且d ( x ) 0 ( x ) 1 2 ， 由式( 1 2 1 ) 给出的向量有理分式函数的连分式表示( 1 2 4 ) 满足条件( 1 2 2 ) ， 则称r ( x ) 为基于广义逆( 1 2 3 ) 的向量值有理插值函数，或t h i e l e 型向量有理 插信函数。 1 3 二元向量值有理函数插值 1 3 1二元向量值有理函数插值的定义 定义1 3 1 设腭= ，毛，) 和田= 砒，乃，) 是两组实数构成的集合，且 x ，彤少，i ；e j , i , j = o , 1 , 设平面点集为l - i ：7 = “，y ，) lf - o ，1 ，n ；j = o ，l ，m ， 五n ；，y ，；) ，称n 筹为矩形网格。对应的有限值二元向量组成的集为 v 写= 哆，i 吩，= ，( 薯，乃) ，( 薯，乃) 兀写 定义二元向量l ，( x ，力的s a m e l s o n 逆 变换为l ，。( x ，y ) = ，+ ( x ，y ) v ( x ，少) 1 2 ，其中 ，( x ，y ) 表示 ，( x ，y ) 的共轭向量，i l ，( 工，y ) i 表 示向量v ( x ，y ) 的模。若y = 0 ，则 ，一= o o ；若 ，= ，则 ，1 = 0 。 所谓二元向量值函数有理插值问题，就是寻求向量值有理函数 r ( x ，y ) = p ( x ，y ) q ( x ，y ) ，使之满足如下的插值条件： r ( 鼍，y j ) = v i ，= l ，( 薯，y j ) ，u = 0 ，l ，n ；j = o ，1 ，m ) ， 其中叶。，c d ，o = o ，1 ，l ；歹= 0 ，1 ，哟。 3 1 3 2二元t h i e l e 型向量值分叉连分式插值 定义1 3 2所谓二元向量分叉连分式是指如下形式的连分式： u w m 渺) + 嚣一+ 诸， 其中 驰m + 学一+ 等小0 ，1 ，泓 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 定义1 3 3 ( 1 3 2 ) 式中匆( x o ，x , ；y o ，”) 称为第( f ，) 阶偏反差商，定义它 的递推关系如下： b o ，o = b o 。o ( 誓，x j ) ， i = 0 ，l ，1 。刀；= o ，1 ，m bl,0-也，。(jco，而；)。可雨再x1-瓣xo ， b 0 , k 一- - ，t ( ；，y d2 瓦：忑i i 了i 了：y j k 历- y = k - 瓦1 ：忑云i 了丽， 岛，t = 岛，t ( x o ，x ，；y o ，儿) ( 1 3 3 ) ：l 号i ，( 七1 ) ， b lkl ( x o ，x ，；y o ，y k - 2 y k ) 一岛扣l ( x o ，x ，；y o ，y k 1 ) 一 ” 定理1 3 1 对于给定的节点集兀：了及相应的向量集v x , y ，只要由式( 1 3 3 ) 求 出匆除，。之外均不是零向量，则 兄，。( 薯，乃) = ，( 葺，乃) = 哆，v ( 薯，乃) 训 , m 1 3 3二元t h i e l e 型向量值分叉连分式插值的递推算法 算法1 3 1 s t e p1 v ( ，y j ) h x , y ，令“= ，u ，i = o ，1 ，疗； _ ，= o ，1 ，研； s t e p2 对i = o ，1 ，r ；j = l ，m ；k = 1 ，2 ，歹，令 戤虬硬y y 历- - y k 可- i s t e p3 对t = 1 ，2 ，i ；i = l ，胛。9 ，= 0 ，1 ，m ，令 4 4 名n = x l x 1 1 箕：j a 意f 定理1 3 2 令r ( x ，y ) = l o ( 少) + 其 x x ox x n i 厶( y ) + + 厶( j ，) e pl , ( 加础+ 带一+ 劳，f - 0 ，1 ，彤 贝j j ：f f ：足( 薯，y j ) = ，v 1 3 4 ( 薯，y j ) n r 圳, m 二元t h i e l e 型向量值分叉连分式插值的矩阵算法哪! 记a ：i ，, j = ，i = 0 ，1 ，刀；j = o ，l ，m 设 熊们飞j 4 5 l 。, o ) “：1 “譬毹4 i ，并称 i； ；i 毋雒“j 之为初始矩阵。采用特殊的方式定义其初等 变换，例如4 的第1 列减去第0 列产生的新矩阵定义为 椎。) “一 础“一 “j ”) 4 其中4 = 而 l ) ，0 一 爿的第1 行减去第0 行产生的新矩阵定义为 其中“：i l ) = 算法1 3 2 m 一甄 。1 0 1 ，o , 1 ) j o ，1 0 , 0 ) i = 0 ，1 ，n s t e p l 对i = 0 ，1 ，以一l ；j = “- 1 ，r 一“ j = 0 ，1 ，m 4 1 “! ；1 ) “苫 “：o ) “：1 ) n , 2 ) ，0 ： 将a 的第，列减去第i 列后得到列变换后的 5 4 行 邶p； 稚4 础耐 吣 d 芍 础础戤； 向量矩阵为4 = 勰o ) “：；i 础4 一4 ：；o 础4 一4 穷 钴) 4 j “4 s t e p 2 对i = 0 ，1 ，m - l ；j = f + l ，m 将4 的第，行减去第f 行后得到行变换后的 向量矩阵为4 = “ ：；。) 秽4 j 。) “：。) 衙1 毋1 4 弘”4 0 1 “= 船。4 气2 ( 2 ，册, m ) 4 z 定理1 3 3 令置( 墨y ) 5 ( y ) + i x - 万x o + + 专i 争， 其中吣) = 秽+ 蒂一+ 劳小0 ，l ，绝 则有：足( 一，y j ) = _ ，v ( 一，y j ) e n r ，l , ，y m 算法1 3 1 与算法1 3 2 实质上是同一种算法，将算法1 3 2 具体化为分 量形式即得到算法1 3 1 ，算法1 3 2 的优点在于采用线性代数中初等变换的 概念，只不过这里的行列变换是在倒差商意义下进行的。此外，算法1 3 2 的 结果整齐、美观。 1 4 预给极点的二元向量值有理插值 1 4 1预给极点的二元向量值有理插值的定义 定义1 4 1预给极点的二元向量值有理插值问题的一般提法是：给定节点集 n m 及向量集l ，以”，点集gc b , m ，寻求向量值有理函数r ( x ，y ) = p ( x ，y ) q ( x ，y ) ， 使得 ( i ) 月( 薯，y j ) = h 。，= ，( 再，y j ) ，( t ，y j ) h ”g ； ( i i ) r ( x ，少) 以g 为极点集： ( i i i ) r ( x ，y ) 为对角型。 1 4 2预给极点的二元向量值有理插值的算法 s 2 1 算法1 4 1 6 s t e p l 初始化：对( 薯，y j ) n m g ，令4 = ，i - - 0 ，l ，甩；j = o , 1 9 o9 m 对j = o ，1 ，肌；，= 1 ，2 ，玩4 。= 0 ， 若( t ，乃) g ； 导， 若( 而，乃) f i g 4 ，广4 7 s t e p 2 弟1 次迭代。 对，= o ，1 川汕一扩l ；川+ l ， 令4 。2 万x f - 瓦x , s t e p 3 第2 次迭代： 对f：=。，l，z；jf=。，1，刀哩-l；，=jf+l，。，刀嚏，令呜，|2=：雨y,-yj 定理1 4 1 利用算法1 4 1 求得系数4 ，可构造如下二元向量分叉连分 式 肌川吲y ) + 而x - x o 一+ 锗， 其中 轴卜+ 等一+ 等 得到： 足( 薯，y j ) = 吩= ，( t ，乃) ，( 而，y j ) n ”一g ， 足( 薯，y ，) = 0 0 ，( 薯，y ，) g 1 5 矩形网格上数据缺失的二元向量值有理插值 1 5 1 三角网格上的二元向量值有理插值的算法 1 9 1 定义1 5 1 把方阵n 玑”按两个对角线可分成下述形式的四个三角点阵 ( j c o ，) ( 而，y o )( 五，m ) ：。 ( 而，y o )( 屯，乃)( 矗，只) ( a ) ，y o ) ( x o ，m ) ( x o ，以) ( 毛，乃) ( 五，虬) ( 矗，儿) ( b ) 7 ( 而，见) ( 而，以一1 )( 而，以) ( ，y o ) ( ，虼一1 )( 毛，) ( 而，y o ) ( x o ，乃) ( x o ，儿) ( 毛1 ，)( 毛- i ，乃) ( 矗，) ( c )( d ) 分别称( a ) ，( b ) ，( c ) ，( d ) 为左下三角网格( l b ) ，右上三角网格( r u ) ，右 下三角网格( r b ) 和左上三角网格( l u ) 三角网格上的二元向量值分叉连分式插值的算法如下，这里以右上三角网 格( r u ) 上的向量有理插值为例，其它类型的三角网格上的向量有理插值的算法 与其基本相同。 在r u 上构造向量值有理函数： 心( r u ；x ，y ) = s o ( 尺u ；y ) + x 一：c o x x n 一2 s ( r u ；y ) + + 甄一l ( 尺u ；j ，) 舯踯y m n ，+ 等2 + + 等一- o ，l 以 ： d k 鼻+ + + o k 算法1 5 1 s t e p l 对i = 0 ，1 ，n - l ；_ ，= f + 1 ，刀，令b u o , o = ： s t e p 2 对j = 1 ，2 ， ；p = l ，2 ，j - l ；i = p ，p + l ，j 一1 ，令 霹p = i ，j 薯一x p i 毗。1 们_ r ( p - u i , s t e p 3 对i = o ，1 ，n - l ；j = i + l ，刀，令础+ 1 l _ i b ( i j , o ； s t e p 4 对i = o ，l ，n - 2 ；j = i + 2 ，刀；g = i + 2 ，j ，令 拶2 砑y 玛j - - y q 呼- i ( 1 5 1 ) ( 1 5 2 ) 定理1 5 1 令吮，= 磁y ，k = o ，1 ，n - l ；l = k + l ，r 1 其中b 。( t i 由算法1 5 1 求出，则由式( 1 5 1 ) 和( 1 5 2 ) 所确定的向量有理函数毛( x ，力满足插值条件 r ( 薯，乃) = l ，：i 1 5 2一般点集上的二元向量值有理插值的算法f l 定义1 5 2 设g ”= ( 而，以) li = o ，l ，刀 为r 2 中的一些离散点集，相应地向量( d 维) 集为矿= = ，( 葺，乃) c d , ( 而，乃) g ”) 离散点集上的向量值有理插值问题的 8 提法和矩形网格上的提法一样，寻求向量值有理函数 r ( x ，少) = p ( x ，y ) q ( x ，y ) ， 使之满足插值条件 r ( 五，乃) = ，( 薯，乃) ，f = 0 ，l ，甩 下面给出离散点集上的向量值有理插值函数的构造方法： 设u ： g n 中不同薯的个数卜1 ，诸x 坐标记为麓，f = 0 ，l ，材；w # g “中不同 y ，的个数 一1 ，诸y 坐标记为y ，j = o ，1 ，w ；而 u i - g ”中不同( 弱，y i ) 的个数 ，f = o ，1 ，咋； q _ g ”中不同 t ，y ，) 的个数 ，_ ，= o ，1 ，w ，； s t e p l 初始化：对j - 0 ，l ，“；j = 0 ，l ，职令 、i ，( 乩y ) ， ( 弘y j ) g ”， “：k 。 一= l ( o ，o ) ，( 鼢，y ，) 仨g ” 并将初始化的向量排成一个初始向量矩阵 a = “! ：；o 勰1 ) 畿 “! ? 欲： 畿0 s t e p 2 对j f = o ，1 ，w ；f = l ，“；t = 1 ，2 ，i ，令 砖= 。，i o , 1 ) = ( x f ，y o ) g ”且( z r l ，y o ) g ”， 其它， ，而，歹。) g ”且，歹。) g “， 蕊f 爵( 础) “且【乩y l j “” 一- 1 n , 0 ， 其它， ni 矗戋，( 菇y j ) g ”且，歹加g 一， 钴) - 删一钴r ”b 皿“h ” i 黜， 其它， s t e p 3 对i = 0 ，1 ，“；j = 1 ，嵋k = l ，2 ，j ，令 9 掣掣；秽 一表 i砑销 秽- | 卷务，而，- 少豇乏反1 ) g ”， i 戤2 ， 其它 尬川= 驰) + 而x - - x o + + 锗， ( 1 5 3 ) 跏一a 锄( 1 , m ( o ”+ 镣+ + 罨秽， 5 4 ， 其中聊( o ) ，聊( 刀) 仍表示0 , 1 ，疗的一种排列，并要求聊( 七) 满足( x ，y 。( i ) ) g ”，且 m ( o ) 聊( 1 ) l ，对任意实数 口( 0 口 ) ，带参数口的h - b 样条曲线定义为 p ( f ) = 厶o ) 匆+ 厶( f ) 匆“+ 厶( ，) 匆+ 2 + l 3 ( t ) b 。+ 3 ，0 f 口，i = o ，1 ，刀一1 c - ( 1 + 2 c ) 一s2 s l 1 + 2 c 口2 口c 2 + c 一1 一s o - ( 1 + 2 c ) 1 口0 龟 6 l + 。 6 f + 2 6 i + ， 其中c = c o s h a ，s = s i n h a l o ( t ) = 导群，郇) = 互t 而- s i n h t ， 耶m ( f ) _ 2 郇) + 鬻，如m 沪2 妙器。( 1 6 4 ) 1 6 3 f b 样条曲线 定义1 6 3 设b o ，a ，如，吮，既“是给定的控制点，其中疗2 ，对应的参数是 c l ，c 2 ，e 小g ( 0 c f ) 则带参数的f b 一样条曲线3 3 1 定义为 p ( f ) = m o ( f ) 6 f l + f i ( f ) 鸟+ 2 ( f ) 匆+ l + m 3 ( f ) 6 f + 2 ，0 f 1 ，i = 1 ，2 ，玎一1 其中u , o = 驾紊掣心= 器嵩， f l ( f ) = j 3 ( f ) 一2 f o ( f ) + ( 1 一f ) ；2 ( f ) = m o ( f ) 一2 n , 3 ( f ) + r ， ( 1 6 5 ) 0 c ， 0 0 ，口，_ 2 a r c c o s c j ) ，c o s ( ) = 2 c f 2 - 1 ( 歹= 1 ，2 ，刀) 特别地，当0 g = c 2 = e 1 时，f b 一样条曲线就是c b 样条曲线；当 1 c 1 = c 2 = g o o 时，f b 一样条曲线就是h b 样条曲线；当0 c f 1 或 0 c f “ 1 时，f b 一样条曲线穿过均匀b 样条曲线。 1 7 曲线奇拐点分析 对曲线的奇、拐点及其凸性的研究是控制其曲线形状的关键，并且对带参 数曲线的奇拐点分析在c a g d 领域已经是一个很重要的课题。有不少学者相继 对此类问题进行了深入的研究，形成了一套系统的方法，并且直到现今还在不 断发展之中。对三次平面参数曲线的奇拐点分析 3 4 , 8 3 1 已经得到了很好的结果， 他们对三次参数曲线进行了实奇点和实拐点的个数作为特征的仿射分类，从而 给出了判断和控制三次参数曲线段形状的几种实用的算法。经过适当的仿射变 换，这套算法同样可以应用到三次b 6 z i e r 曲线与三次b 样条曲线的形状控制问 题中，但所用的方法对于非代数曲线难以奏效。苏步青 3 5 1 研究了三次和n 次曲 线的奇拐点分布以及b 6 z i e r 曲线的拐点分布，并且已经取得显著成效。叶正麟 1 8 5 1 用代数拓扑的方法研究了张力b 样条曲线的奇拐点分布。1 9 9 2 年，m a n o c h a 和c a n n y 3 6 1 开始研究一般曲线的奇拐点分布。c r i p p s l 3 7 1 ，s a k a i 3 8 1 和j m o n t e r d e l 3 9 1 应用这些结果来研究平面有理多项式曲线的奇拐点分布，其中m o n t e r d e l 3 9 1 研究 1 4 了有理b 6 z i e r 曲线的奇点的控制问题，指出当给定三个控制点，通过适当选择 第四个控制点( 端点) 的位置来产生并调控有理b 6 z i e r 曲线的奇点；并且前1 1 个 控制点所确定的有理b d z i e r 曲线马= 曰哦，只书w o ，w 川】和后n 个控制点所 确定的有理b d z i e r 曲线垦= 研墨，只，嵋，w 。】在奇点处相切