（运筹学与控制论专业论文）λ≥2的无线脉冲序列的若干问题.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 无线脉冲序列首先是由c h u 和c o l b o u r n 在【9 1 里面提出的无线脉冲序列的提 出是为了研究带有非调制跳时机制的超宽带无线射频序列或信号的同时，应用 于无线通信中的超宽带系统近来也逐渐地成为了一个十分重要的研究领域如果 想要对此方面的相关知识有更多的了解，可以参考文献f 1 9 1 在文献【9 l 中，c h u 和c o l b o u r n 给出了无线脉冲序列的具体定义，此序列存在的 充分必要条件，所满足的一个上界，同时给出了一些特殊阶数下无线脉冲序列的 直接构造和递归构造令e 是一个由( 0 ，1 ) 序列所组成的集合，如果这个集合中的 序列均具有良好的自相关性和互相关性，这个( o ，1 ) 序列集合便是我们所熟知的 光正交码而我们在本篇文章中的研究对象无线脉冲序列，其与光正交码之间有 着十分密切的联系它们的区别仅仅在于，无线脉冲序列比光正交码需要多满足 一个条件，那便是脉冲位置性质通过它们的定义，我们显然可以得到这样一个结 论，一个无线脉冲序列便是一类特殊的光正交码因而，在对无线脉冲序列进行研 究的过程中，我们可以利用一些在对光正交码进行研究时所使用的研究方法，以 及到目前为止对光正交码进行研究已得到的一些结果 对于一个无线脉冲序列c 而言，确定其上界以及其容量的精确值是区组设计 理论中的一个研究课题其中上界是指对一个无线脉冲序列c 而言其容量最大可 能值的上界j o h n s o n 界给出了这类序列的一个上界，但还有待改进a = 1 时的改 进上界已由高晶晶和常彦勋给出在这篇文章中，我们将首先通过无线脉冲序列 和光正交码的关系，以及光正交码与严格循环填充之间的关系建立起无线脉冲序 列与严格循环填充之间的关系然后，我们将构造几个集合，并对所构造的其中一 个集合中所有元素的和进行估计和计算，进而得到不等式，最终给出a 2 时无 线脉冲序列的上界杨义先在 2 3 1 中给出了a = k 一1 时光正交码的容量的最大可 能值对于a = k l 时的无线脉冲序列，我们也给出西( m ，k ，k 1 ) 的精确值 全文共分四章，本文所用的主要符号将在第一章中给出详细说明，并列出文 中所用的基本引理 第一章，综述了无线脉冲序列的研究背景，并给出了无线脉冲序列的具体定 义以及当前领域的研究成果同时，给出了无线脉冲序列和光正交码之间的关系 光正交码的上界由j o h n s o n 于1 9 6 2 年给出，由于无线脉冲序列是一类特殊的光正 交码，因而无线脉冲序列也满足j o h n s o n 界但不幸的是，对于无线脉冲序列而言 这个上界并不够紧，也就是说其并不是总能达到这个上界t = l 时无线脉冲序列 的一个改进上界由高晶晶和常彦勋在文献 2 5 l 中给出 第二章，主要讨论并给出了当a 2 时无线脉冲序列的上界在本章中我们将 首先建立无线脉冲序列与严格循环填充之间的关系，然后构造几个集合，并对集 合中元素的和进行计算和估计，得出不等式，从而给出当a 2 时无线脉冲序列的 一个新的上界 第三章，借助于默比乌斯函数，讨论并给出了当a = k 一1 时细，七，k 1 ) 的 精确值 关键词：无线脉冲序列；最优；光正交码；严格循环填充 分类号：0 1 5 7 2 北京交通大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t i m p u l s er a d i os e q u e n c e sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yc h ua n dc o l b o u r ni n t g t h i s c l a s so fs e q u e n c e sw e r ef o r m u l a t e dt os t u d y s e q u e n c eo rs i g n a ld e s i g nf o ru l t r a - w i d e b a n d r a d i ow i t hu n m o d u l a t e dt i m e h o p p i n g u w bs y s t e m sf o rw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o nh a v e r e c e n t l yb e c o m ea ni m p o r t a n tu r e ao fr e s e a r c h f o rm o r ei n f o r m a t i o no nu w b 也e r e a d e ri sr e f e r r e dt o 1 9 i n 9 1 ，t h ea u t h o rg a v et h ed e f i n i t i o ni m p u l s er a d i os e q u e n c e s m e a n w h i l e ，t h e y g a v et h ed i r e c ta n dr e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n so fs e v e r a lg i v e no r d e r s a no p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e si saf a m i l yo f ( 0 ，1 ) s e q u e n c e sw i t hg o o da u t o - a n d c r o s s - c o r r e l a t i o np r o p e r t i e s t h ei m p u l s er a d i os e q u e n c e sh a sc l o s er e l a t i o n s h i pw i t h o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s t h eo n l yd i f f e r e n c eb e t w e e ni m p u l s er a d i os e q u e n c e sa n d o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e sw h i c hw ew i l ld i s c u s si nt h i st h e s i s 。i st h a ti m p u l s er a d i o s e q u e n c e ss h o u l ds a t i s f ya n o t h e rp r o p e r t yc a l l e dp u l s ep o s i t i o n o b v i o u s l y , i m p u l s e r a d i os e q u e n c e si sas p e c i a lc l a s so fo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s t h e r e f o r e ，w h e nw e s t u d yt h ei m p u l s er a d i os e q u e n c e s ，w ec a nu s et h em e t h o dw h e nw es t u d y e do p t i c a l o r t h o g o n a lc o d e s ，a n dt h er e s u l t so fo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s g i v i n gt h eu p p e rb o u n da n dt h ee x a c tc o d e so fi m p u l s er a d i os e q u e n c e s i sat o p i c o fc o m b i n a t o r yd e s i g n u p p e rb o u n di st h em a x i m a lp o s s i b l en u m b e ro fs e q u e n c e si n a n ( m ，k ，a ) - m s i nt h i st h e s i e ，w eu s et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni m p u l s er a d i os e q u e n c e s a n do p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s ，a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s a n dc y c l i cp a c k i n gt oi m p r o v et h eu p p e rb o u n df o ri m p u l s er a d i os e q u e n c e s t h e n ，w e w i l lg i v et h ee x a c t v a l u eo f ( m ，k ，a ) w i t ha = k 一1 t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h et h e s i s ： t h ef i s tc h a p t e ri n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fi m p u l s er a d i os e q u e n c e s ，t h ed e f i n i t i o na n dk n o w nr e s u l t s w ea l s og i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni m p u l s er a d i os e q u e n c e s a n do p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s t h eu p p e rb o u n df o ro p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e sw a sf i r s t i n t r o d u c e db yj o h n s o ni n19 6 2 s i n c ei m p u l s er a d i os e q u e n c e si sac l a s so fo p t i c a lo r - t h o g o n a lc o d e ，i ts a t i s f i e st h ej o h n s o nb o u n d h o w e v e r , i f i sn o tt i g h te n o u g h ab e t t e r u p p e rb o u n df o r ( m ，k ，1 ) i m p u l s er a d i os e q u e n c e sw a sg i v e nb yg a oa n dc h a n g l l 5 1 i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ew i l lp r e s e n tau p p e rb o u n df o ri m p u l s er a d i os e q u e n c e s w h e na 2 i nt h i st h e s i sw es e tu pt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni m p u l s er a d i os e q u e n c e s v a n dc y c l i cp a c k i n g ，t h e nw ew i l lg i v ean e wu p p e rb o u n df o ri m p u l s er a d i os e q u e n c e s w h e n 五2 i nt h et h i r dc h a p t e r , w ew i l lp r e s e n tt h ee x a c tv a l u eo fi m p u l s er a d i os e q u e n c e w h e na = k 1 k e y w o r d s ：i m p u l s e r a d i os e q u e n c e ，o p t i m a l ，o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e ，s t r i c t l yc y c l i c p a c k i n g c l a s s n o ：0 1 5 7 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：王观签字日期：谚1 年- 7 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：二王嗽)导师签 一 签字日期：私岬年- 7 月2 日 签字日 致谢 本论文的工作是在我的导师常彦勋教授的悉心指导下完成的，常彦勋教授严 谨的治学态度和科学的工作方法对我有极大的帮助和影响，是我学习的榜样无 论是在理论学习阶段，还是在论文的选题、资料查询、课题研究、论文写作等每 一个阶段，常彦勋教授都悉心指导、严格要求在此衷心感谢近两年来常彦勋教 授对我的关心和帮助 此外，我还要感谢我的家人，他们在生活上给予了我最大的关心和爱护，有 了他们对我的支持和鼓励，我才可以全心全意地进行学术研究 感谢周君灵老师，单秀玲老师和范秉理老师，王小苗，吴艳，王昭，李靖尘，陈 琦，马增花，封二强，张娜等师兄师姐师弟师妹对我学业的热情帮助，特别要谢谢 冯驶师兄对我在理论方面的指点和林伟伟师兄在计算机程序方面对我的帮助 最后，感谢各位专家和学者在百忙当中审阅我的论文，并给出批评意见感谢 北京交通大学理学院数学系诸多老师两年来的关心和教育 北京交通大学硕士学位论文第1 章绪论 1 1 基本概念 第1 章绪论 无线脉冲序列是由c h u 和c o l b o u m 首先提出的【9 1 ，这类序列的提出是为了研 究带有非跳时机制的超宽带无线射频序列或信号的与此同时，应用于无线通信 中的超宽带系统近来也逐渐成为一个十分重要的研究领域如果想要对此方面的 相关知识有更多的了解，可参考文献【1 9 1 定义1 1 1 令x 盏( x o ，孔，稚1 ) 是一个露长的( o ，1 ) 序列，此序列x 的支撑 为s u p p ( x ) = f ：再霉l ，f 乙 定义1 1 2 一个伽，k ，厶，五) 无线脉冲序列( m s ) c 是一个由长为k m ，权重 为k 的( 0 ，1 ) 序列组成的集合，并且该序列集合满足如下三个条件： ( 1 ) 脉冲位置性：对任意的x = 嚣1 c x 的支撑可以表示为 s u p p ( x ) = l a i4 - i m ：iez 七，a i 乙1 ( 2 ) 自相关性：对于任意x = 协) k 枷i n - 1 c 以及任意整数厶t 藿0 ( m o d k i n ) 七m i 撕rs 屯 厶一 一 扭o 在上述定义中，下标是在模k m 的情况下进行的其中，当, t a = 以= a 时，我们 一般将( m ，k ，a a ，l 。) i r s 简写为( m ，k ，一i r s 下面我们给出两个无线脉冲序列的例 子： 例l 此处分别给出一个( 5 ，3 ，1 ) 一i r s 和一个( 7 ，3 ，1 ) i r s 的例子 ( 1 ) 一个具有两个序列的( 5 ，3 ，1 ) i r s ： 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1o ( ) 0 0 任及 以 y x 中其d 肌瑚 蚶 一一 厶 y 一 g “ 批 一瑚枷 砧 = x 的 惠任 于 对 巨，关数 相整互意 p 北京交通大学硕士学位论文第l 章绪论 ( 2 ) 一个具有两个序列的( 7 ，3 ，i ) - i r s ： o o 0 0 0 0 1 0 1 0 ( ) 0 0 0 10 i x l 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 i ) 0 0 0 0 设c 是一个( m ，屯t ) i r s ，其中包含b 个序列并且x = ( x o ，却，溉伊i ) c 是 其中的一个( 0 ，1 ) 序列，则将x 表示为上的一个k 元子集x ，即 x z ( ，口( i ) + ，l ，p 芒i + ( 七一1 ) m ) ，a 。( x e 乙，i 磊 在这种关系下，不难看出无线脉冲序列( m ，双一i r s 还可以等价地叙述为： 定义1 1 3 ( m ，k ，a ) 无线脉冲序列c 可看作k m 元集合中的若干个k 元子 集x l ，恐组成的类，并且此整数集合类满足如下条件： ( 1 ) 脉冲位置性； ( 2 ) 对任意整数a ( ae ) 和c 中的两个集合墨yec ( 即墨y 都是中 的k 元子集) ，除非x = y 并且a 毫o ( m o ak m ) ，否则必有： l ( 口+ 的nyi a 此处lxl 表示集合中元素个数，并且 x + j = l x + sm o dk m ：工x 由无线脉冲序列的定义可以看出它与光正交码之间有密切的联系，下面给出 光正交码的具体定义，其定义与无线脉冲序列的定义相比只是少了一条脉冲位置 性质，以及在参数表示形式上有所区别而已 定义1 1 4 一个( 1 ，k ，屯，也) 光正交码( o o c ) 6 是由一个长度为 ，权重为k 的( 0 ，1 ) 序 列组成的集合，并且这个序列集合满足如下两个条件： ( 1 ) 自相关性：对以任意的x = i 置 昌c 以及任意整数t ，t 掌0 ( m o dd v - - i 、 乙x i x i + ，屯 i = o 2 意 任及以 y x 中真g ：重 抄 = 五 y 一 c 挑 寄枷 而 = x 的意 任 于时 陛 关， 相数互整 口 北京交通大学硕士学位论文 第1 章绪论 与在无线脉冲序列的定义中一样，在上面定义中的下标也是在模 ，的情况下 进行的同样当厶= 厶= 矗时，我们一般将( 1 ，k ，屯，七) o o c 简写为( ，k ，a ) 一0 0 1 2 同样，对( ，k ，a ) - o o c 中的序列】【也可用x 的支撑来表示由无线脉冲序列和光 正交码的定义得到如下引理 引理1 1 1 嘲一个( 小，k ，厶，疋) 一i r s 是一个( k m ，k ，厶& ) - o o c 1 2已知结果 在这一节中，我们将简单介绍本文讨论问题的已知结果 c h u 和c o l b o u r n 在【9 】中给出了无线脉冲序列的定义之后，对其进行了一定的 讨论，给出了下面的定理，此定理的提出给出了无线脉冲序列存在的充分必要条 件与此同时，【9 】还给出了一些特殊阶数的无线脉冲序列的直接构造和递归构造 定理1 2 1 令c 是磊上的k 元子集的集合，c 构成一个( m ，k 厶，也) 一i r s 的充分必 要条件是：对任意的x = ( a o ，a l 钆1 ) ec 以及y 嚣( b 0 ，b l ，b i - 1 ) c ，对于 任意的g ，其中0 gsm 一1 ，以及任意的d ，其中d o dsk l ，如果g 在刍中 出现九次，而一m + g 在一a d y + y l 中出现t 2 次，则t l + t 2sa ，其中如果x = y 则a = 厶， d o = 1 ，如果x y 则五= 厶d o = 0 其中 女r = b i + t a i ：f 磊 上面定义中的下标是在模k 的情况下进行的 对于一个伽，k ，厶，屯) i r s 而言，我们定义其所包含序列的个数为此序列的 容量，并且此容量的最大可能值用( m ，k ，屯，丸) 来表示一个( m ，k ，a o ，如) - i r s 如 果包含o ( m ，k ，丸，屯) 个序列则称其为最优，然而由于很难确定( m ，k ，厶，如) 的 具体值，我们更关心d p ( m ，k ，屯，厶) 所能达到的上界和在给出i r s 和o o c 的定义 时一样，当也= 如= a 时，d p ( m ，k ，也，止) 可简写为o ( m ，k ，1 ) 在对光正交码进行 研究时，得到了光正交码满足一个上界，此上界是由j o h n s o n 于1 9 6 2 年提出的，称 为j o h n s o n 界而引理1 1 1 的提出，保证了无线脉冲序列是一类特殊的光正交码， 因此c d ( m ，k ，a ) 也满足j o h n s o n 界 定理1 2 2d s ( j o h n s o n 界) 撕删k 嘻等等l l 百k m - h j j j j 由引理1 1 1 保证了无线脉冲序列满足j o h n s o n 界，但在对无线脉冲序列进行 研究时发现其不是总能达到对定理1 2 2 所给出的上界高晶晶和常彦勋在【1 5 】中 给出了对于伽，k ，1 ) 一i r s 的一个改进上界： 3 北京交通大学硕士学位论文第1 章绪论 引理1 2 1 【i ，l s 豫二勰1 耋乏淼 ( 2 ) 如果k 是奇数，那么 地l k 2 m - 2 一k m 掰- + 2 k 批+ 竺j ( 3 ) 如果七和m 都是偶数并且k 5 ，那么 (m1)(k-1)m+写(k2-孳2k+9匦)m2+16m+8 ( 4 ) 如果k 5 是奇数并且m 是偶数，那么 ) l k m - m - 2 + 、 写( k 2 - 2 霹k + 9 乒) m 2 - 塑( 4 k - 2 0 ) m + 4 令c ( m ，k ，1 ) 表示引理1 2 1 中给出的上界，同时令2 ( m ，七 1 ) 表示定理1 2 2 给 出的j o l l i l s o n 界( j ( m ，毛1 ) = l j i k 丽m - ij ) ，对于给定的k ，不难看出 l i m ( ，( m ，k ，1 ) 一c ( m ，k ，1 ) ) = + c o m - 0 0 这表明引理1 2 1 改进了伽，k ，1 ) 一i r s 的j o h n s o n 界接下来，我们将给出t 芝 2 时( m ，屯五) i r s 的一个相对于j o h n s o n 界的改进后的上界 为了改进定理中伽，k ，a ) i r s 的上界，我们需要引入一些组合构型，由c h u n g ， s a l e h i 和w e i t l o 】提出并被f u j i h a r a 和m i a o 1 3 】证明了光正交码和严格循环填充有密 切的联系设 ，k ， t 是正整数并且t 2 一个f ( v ，k ，填充是一个对子陇功， 其中x 是一个，元点集，易是x 的k 子集( 区组) 的集合，并满足x 中不同点的t 子 集至多出现在毋的a 个区组中 t - ( v ，k ，a ) 填充固的一个自同构群是x 上使召保持不变的一个置换群， 设g 是一个t - ( v ，k ，a ) 填充的一个自同构群，对任意区组b 召，形如 万g ：矿= b 的子群称为b 在g 中的一个不变因子，一个t - ( v ，k ，a ) 填充称为是循环的如果 置换群是一个长为y 的循环群不失一般性我们可以把x 看作互，加群中的元 素模 ，在这种情况下自同构可以看作fhf + 1 ( m o dv ) ，其中f 乙如果一 个t - ( v ，k ，a ) 循环填充( 五固中所有区组的不变因子在乙中是平凡的，也就是对任 意区组b ，都满足 6 乙：b + 6 = b l = o ，其中b + 6 = l x + 6 ：工斟，那么这 个t - ( v ，k ，a ) 循环填充称为是严格循环的，记作t - ( v ，k ，t ) s c e 4 北京交通大学硕士学位论文第1 章绪论 假设，窃是一个t - ( v ，k a ) - s o 对任一区组be 男，b 所在的轨道中所含区 组的形式为l 丑+ i ：i 乙l ，每个轨道中包含 ，个不同的区组，因此，$ 是一些区组 轨道的集合，轨道区组中的一个代表被称为基区组 下面列出光正交码和循环填充之间的基本等价关系，可在【1 3 】中查到 引理1 2 2 【1 3 】设c 是一个( ，k ，a ) - o o c ，那么 s u p p ( x ) ：xec l 构成一个似+ 1 ) - ( ，k ，1 ) s c p 的所有基区组集合 5 北京交通大学硕士学位论文第2 章( m ，七。, 0 - i r s 的上界 2 1预备知识 第2 章( m ，k ，a ) 一i ll s 的上界 假设a ，b ，c 是磊中两两互不相等的元素，并满足a b c ，我们用记 号o ( a ，b ，力来表示集合 佃+ b + c + n ：f 乙 ，g ( a ，b ，d - m _ l 易一a ，c 一口 ， ，+ a b ，c 一6 l ，f v + a c ，+ b 一订 称为o ( a ，玩c ) 的一般集，这里d ( 口，b ，c ) 的一 般集这个定义和【1 2 】中一样显然，g ( a ，b ，c ) 中包含磊 0 中的三个二子集如 果d ( 口，玩c ) 中包含 ，个不同的三元组，那么g ( a ，b ，d 中的三个二子集是两两互不 相同的 引理2 1 1g ( a ，b ，c ) nga i ，) 0 当且仅当o ( a ，b ，c ) = d ( 口，c ，) 证如果d 0 ，b ，c ) 薯d ( 口，b ，c ，) ，由g ( a ，玩力的定义我们可知g ( 口，b ，c ) = g ( 口，) 因此，g ( 口，b ，c ) f lg ( 口，b 7 ，c ，) o 另一方面，如果g ( a ，b ，c ) n g ( a ，c ，) 0 ，不失一般性我们假定 b - a ，c - - a l = 一a ，c ，一a ，l 由等式两边的二子集相等可以得到a 一= b 一= f c ，或a 一口，= b c ，= c 一，这表明存在一个元素g 乙满足 a ，b ，c = a t4 - g ，+ g ，c ，+ 9 1 结 论由此得证口 令贝是乙 0 1 0 的任一二重子集，定义 卿= m i n y ，z l y , z l e 9 1 其中m i n l y ，z 表示从y 和z 中取较小者 引理2 1 2 ( 1 ) 如果及和召是z i ， o ) 0 的两个二重子集，那么5 ( 贝t j 固= s ( 圆+ s ( 囝 ( 2 ) 如果a ，b ，和c 是乙中两两不相同的元素，那么s ( g ( a ，b ，c ) ) = y 证第一个结论由s ( 舅) 的定义即可得出 对于第二个等式，不失一般性我们假设a b 2 m 圳陟，z l y , z l e 。g 。( a , b , c ) 6 北京交通大学硕士学位论文 第2 章伽，k , i ) - i r s 的上界 结论得证 = ( 西一口) + ( c 一易) + ( ，+ 口一c ) 口 引理2 1 3 对任意正整数t 3 ，每个( t + 1 ) - ( v , k ，k 1 ) 填充都可看作一个乒 ( y ，k ，也) 填充，其中 = l 磊v - - t k i j 证设陇劢是一个( t + 1 ) ( ，t i t + i ) 填充，对任意t 子集re 墨令知表 示be 易并且满足r 曰的易的区组个数，用两种方法来计算男中所包 含r 的t + l 子集的区组个数可得到不等式( k - o i ts ( ，一f ) 厶l 因此五丁sl 昌丸l j ， 结论得证d 引理2 1 4 令c 是一个彻，ka ) 一i r s ，其中a 芝2 ，那么l s u p p ( x ) ：x 仨c 是一 个3 - ( k m ，k 也) 一s c p 的所有基区组的集合，其中当a - a 2 时，也篁1 ，当a 3 时， , 1 3 = l 学l 酱l l 学j j j j 证由引理1 1 1 和引理1 2 2 ，尹= s u p p ( x ) ：x c 是一个( a + 1 ) ( k m ，k ，1 ) 一 s c p 的所有基区组的集合，重复运用引理2 1 3 ( 五一2 ) 次，可以知道尹也是一个3 - ( 枷，k ，a 3 ) 一s c p 的所有基区组集合，其中当a 芝3 时，1 3 = l 百k m - 3 l 学l l 酉k m - a j j j j ， 当a = 2 时，1 3 = 1 r a 令c 是一个含有b = i c l 个序列的( m ，k ，a ) i r s ，由引理2 1 4 ， s u p p ( x ) ：xe c ) 是一个3 - ( k m ，k ，1 3 ) s c p 的所有基区组组成的集合，其中当a 3 时，也= l 学【臀【l 皆j j j j ，当a = 2 时，如= 1 由无线脉冲序列的脉冲位置性，可 以将x 的支撑写为如下形式： s u p p ( x ) = 口；l + m ：i z k ，口：i ) z m 由此我们定义一个由 o 的二子集形成的多重子集： 尹= uug ( 口，+ i m , t l ( x + 加，口( x ) + 砌) x e co i j l k 一1 引理2 1 5 令c 是一个含b 个序列的( m ，k ，1 ) i r s ，那么多重集尹中元素的个数 为i 尹i _ k ( k 1 ) ( 七一2 ) b 2 ，并且可以得到 j ( 卿：k 2 ( k - 1 i ) ( k - 一2 ) m b 7 北京交通大学硕士学位论文第2 章( 取屯, o - m s 的上界 证由多重集尹的定义可知纠= 3 6 ( ：) = 七 一1 ) ( 七一2 ) b 2 运用引理2 1 2 可 知对0 i j f lsk 一1 ，有墨( g ( 口尹+ m ，口尹+ 加，一+ 砌) ) = 拥，因此 s 霉s , uug ( a ：x ) + i m ，妒+ j m ，妒+ 砌” 霉j ( g ( + o n ，+ j m ，毋+ 砌) ) 譬姜翩= 加文翁= 塑生掣 x 6 co i j l s t l r ， 引理2 1 6 如果 ) ，z l 览那么r n i n y ，z ls 一1 ) m i ，m a x y ，z ) m + 1 口 证由多重集尹的定义可知，存在xec 和0sf j ，由g ( a ( x + m ，母+ 加，口；动+ m ) 的定义，以上问题 可分为三种情况： 如果l y , z = 口1 芦一口( i + u d m ，口( i 一i + ( z o m ，则m i n y ，z = 口尸一斧+ ( j 一力ms 口韪一口+ ( 七一2 ) m ( 詹一1 ) m 一1 如果l y ，z ) = l 七， + 霹吣一d 尹+ ( i d 脚，毋一本+ ( 1 一伽 ，则m i n y ，z l = 口；i 一口+ ( 1 - j i ms 口芒l 一口( i ) + ( t - 2 ) m ( 七一1 ) m 1 如果l y ，z j = l 白捍+ 毋一4 p + ( f d 小，k m + 口1 芦一口( i + ( _ ，一d m l ，贝l j m i n y ，z = k m + a l x ) 一口( x + o d 聊口( i 一口( x + ( 七一2 ) ms ( 七一1 ) m 1 对于m a x y ，z l m + l 的证明和r a i n y , z ) ( 七一1 ) m 一1 的证明相似 口 令【口，纠表示满足asi b 的整数f 的集合，f l a ，纠表示【口，刎中的整数都恰 出现p 次的多重集定义 0 l 上的二重子集q 如下： q = l 抄，z l ：m i n l y ，z ) ( 七一1 ) m 一1 ，m a x l y ，z ) m + 1 ，y ，zez ：咖 0 1 ) 由q 的定义我们可以知道多重集 m i n y ，z ) ： y ，z q = u k f ：m 。- + i l 【l ，m i n i 一1 ，( 七一1 ) m 一1 】 = ( u 霪册一1 【1 ，f 一1 1 ) u ( u j = u n ( - 七- ii 枷【1 ，( k - 1 ) m - 1 1 ) = ( u ：箬砌一2 【l ，m + 司) u ( m 【l ，( 七一1 ) m 一1 】) ( 2 1 ) 并且，1 主i ( 2 1 ) 和等式岛产= ( 2 矿+ 3 ，+ s ) 6 可以得到 j ( q ) = ym i n y ，z l - j l y , z l q 8 北京交通大学硕士学位论文第2 章伽，k ，, 0 - i r s 的上界 毒 y ； j _ _ _ 鲤i m i n i y z l ：眦l 目 ( k - 2 k n - 2m + i ( k - l 、哪一l 墨j + m j 窜( k 3 - 3 k + 1 ) m 3 - 3 l k ( k - 1 ) m 2 + ( 2 k 一- 1 ) m ( 2 2 )j e iz 2 ：i 和 周= ( k 2 - 2 ) m 2 - _ ( 3 k - 2 ) m 一+ 2 ( 2 3 ) 引理2 1 7 尹和q 如上定义，那么尹覆盖q 的二子集至多也次，也就是尹ca 3 q ， 其中，, t 3 q 表示q 的每个二子集恰出现a 3 次所形成的集合，, t 3 如引理2 1 4 所定义 证令c 是一个沏，k ，a ) 一i r s 由引理2 1 4 i s u p p ( x ) ：x c 是一个3 _ ( k m ，k ，a 3 ) 一s c p 的所有基区组集合，对任意xec 和0 i j f a 2 ，那么 西( m ，七，su 3 _ ( k 2 + 2 k - 6 j ) k m l 2 庀- 一( 1 1 八0 庀k 一- 印9 ) m + 9 + 、t ， 其中，t = ( 4 k 4 8 k 3 8 肛+ 2 4 k 一1 2 ) ，1 4 + ( 4 矿一4 肛 l - 1 2 k 一1 2 ) m 3 一( 1 l k 2 + 1 8 k 一 2 1 ) m 2 一( 6 k 一3 0 ) m + 9 ，a 3 如定理2 1 4 中所定义 证令c 是一个包含b 个序列的沏，k ，a ) 一i r s ，尹和q 如第二部分所定 义，由定理2 1 7 ，尹覆盖q 的每个二子集至多a 3 次，即尹ea 3 q 定义多重 集z = ( a 3 q ) 尹，由定理2 1 2 ，有以下等式 s ( z 3 = s ( a o ) 一j ( 孕) ) = _ - 3s ( o ) 一s ( 孕) ) ( 2 4 ) 由引理2 1 5 和( 2 2 ) ，( 2 4 ) 可化简为如下形式： = 坠塑坐塑坠竖等生业型坠坠型( 2 5 ) 9 北京交通大学硕士学位论文 第2 章伽，k ，a ) - m s 的上界 由引理2 1 5 和( 2 3 ) ，司以得到 旧： ( k 2 - 2 ) m 2 - ( 3 k - 2 ) m 彳+ 2 a 3 - k ( k - 1 ) ( k 一- 2 ) b ( 2 6 ) 1 厶i2 ：一1 厶o j e h ( 2 1 ) ，每个【1 ， 一1 ) m l 】中的整数出现在f m i n y ，z l ：i ) ，z leq 中至多 一 1 ) m 1 次，这说明【l ，( k 1 ) m l 】中的每个整数出现在 m i n y ，z ：i ) ，z z l 中 至多1 3 ( ( k 一1 砌一1 ) 次，因此 m i n y ，z ：饥z l z l 中至多包含z = l 礤萨i - o l 鬲丽j 个 不同元素。由此可得 蜃( d = r a i n y , z i ) ，z l “ 1 3 ( ( k - - 1 ) m - 1 ) i 瓦丽i 丽c 1 2 一丁i z l ( 2 7 ) 将( 2 7 ) 和( 2 6 ) 代人( 2 5 ) 中并化简可得到如下不等式 3 k 2 ( k 1 ) 2 ( 七一2 ) 2 b 2 2 k ( k 1 ) ( 七一2 ) 【( 胪+ 2 k 一6 ) m 2 一( 1 0 k 一9 ) m + 9 a 3 b 【( p 一4 七3 + 1 6 k 一1 6 ) + ( 8 k 3 + 6 k 2 4 8 k + 3 2 ) m 3 一( 4 3 k 2 4 2 k 一1 6 ) m 2 + ( 5 8 k 一4 4 ) m 一2 4 1 , t 2 ( 2 8 ) 通过求解不等式( 2 8 ) ，可得到b 的一个上界 6s 坐堡蒹嚣罱等型j 定理得证口 当a = 2 ( 此时a 3 = 1 ) 时运用定理2 2 1 可以得出下面推论 推论2 2 1 令m 和七3 都是正整数，那么 撕 2 生坠蒹嚣1 邕 型业j ， j 庀i 庀一) i 庀一zj 其q t = ( 4 k 4 8 p 一8 炉+ 2 4 k 一1 2 ) ，十( 4 k 3 4 k 2 + 1 2 k 一1 2 ) m 3 一( 1 l k 2 + 1 8 k 一 2 1 ) m 2 一( 6 k 一3 0 ) m + 9 特别的，在推论2 2 1 中令k = 3 得到 推论2 2 2 令m 为正整数那么 撕，3，2)l9m2-21m+9+、96m4+96m3-1亚32m2+12m+9 1 0 北京交通大学硕士学位论文第3 章西卸，七，k 1 ) 的精确值 第3 章沏，七，k 一1 ) 的精确值 我们用l ，化七，a ) 表示一个( ，t , i ) - o o c 容量的最大可能值，杨义先在文献【2 3 l 中给出了v ( v ，k ，k 1 ) 的值 首先介绍默比乌斯函数，默比乌斯函数的定义如下： 砌，1 蓁：n 套= 嚣l 一 引理3 0 1 幽默比乌斯函数p ( 帕满足如下的关系式： 丢c 力= 三萋：三： 这里表示对n 的一切正因数求扣 定理3 0 2 嘞对任意正整数y 成立 呲，= 吾；m 蚴 ( 此处若d 不能整除七，则将( v 纫理解为o ) 在本章中，我们主要讨论对一个( m ，k ，k 1 ) 一i r s ，m ( m ，k ，k 1 ) 的值 定义3 0 1x ，y 为z k 中的k 元子集，若存在正整数d ，使得 x + d 兰y ( m o d k i n ) 则称x 和l ，彼此平移等价若对磊。中k 元子集x ，若存在正整数丁使得 x + t 三x ( m o dk m ) 则称丁为x 的一个周期，使上式成立的最小的丁称为x 的最小周期 定义3 0 2 令c 为一个( m ，k ，k 1 ) 一i r s ，若上的k 元子集x c ，由无线脉冲 序列的定义可知 x = ( 以乎，口( i + ，l ，口芒l + ( 七一1 ) ，挖) 北京交通大学硕士学位论文 第3 章o ( m ，k , k 1 ) 的精确值 其中口( i ) e 乙，iez k ，令妒= m i n a o x ) ，口p 9o o9 口譬 ，则x ，= x + 一d m 一口尹可 整理为 r = ( o ，f + m ，磷：+ ( 七一1 ) m ) 其中 牡 袭薯小o 川i k 一1 ，另一方面由于五】，中元素个数 为k 所以i + 的n1 1sk ，因