（运筹学与控制论专业论文）向量拟平衡问题解的稳定性.pdf

摘要 在第一章中，介绍了平衡问题的研究背景、发展状况和稳定性的研究状 况。平衡问题是系统研究中一个重要的概念，很多问题都可以化为平衡问题， 如优化问题、n a s h 平衡问题、互补问题、不动点问题、鞍点问题以及变分不 等式等。在这一章节里，详细地介绍了平衡问题的一般类型及其推广类型， 并介绍了近年来出现的新类型，即隐向量平衡问题和对偶向量平衡问题。由 于稳定性的研究无论在理论中还是在实际应用中都很重要，本章系统地介绍 了稳定性研究中通有稳定性和本质连通区的研究状况和相关结果。 在第二章中，介绍了在后面的讨论中需要用到的一些基本概念和基本引 理。主要介绍了向量锥及其性质、集值映射的连续性与凸性以及泛函分析、 拓扑学中的一些基本概念和引理等，并介绍了某些概念之间的相互关系。 在第三章中，讨论了向量拟平衡问题解的通有稳定性。我们知道，在复 杂系统中，有关问题的解未必具有稳定性( 例如：通常的非线性问题l o ，l j 上 的恒等映射的不动点集中就没有本质不动点或说任何不动点都不稳定) ，因而 有必要退一步研究其通有稳定性。在这一章节罩，先在满足满足一定连续性 和凸性条件的向量拟平衡问题构成的空间m 上，加一些条件建立度量，并证 明了此空间的完备性。进一步在此完备度量空间上建立一船映射，利用1 口c o 映射的性质、f o r t 弓l 理和本质解之间的关系，得到了大多数( 在b a i r e 分类意 义下) 向量拟平衡问题的解是稳定的，并举例说明了某些向量拟平衡问题的 任一解是不稳定的。 在第四章中，讨论了向量拟平衡问题解集的稳定性，即向量拟平衡问题 解集的本质集和解集的本质连通区。由于些向量拟平衡问题的解是不稳定的， 甚至其任一解都是不稳定的，因此我们转而考虑解集中是否存在稳定的一个 子集，即对解集进行选择和精练。证明了在以集合包含关系为偏序关系的情 况下，向量拟平衡问题解集里至少存在一个极小本质集，并且在集值映射满 足一定的连续性，凸性等条件下，每一极小本质集都是连通的。我们的结果 包含了某些文献中已有结果。 关键词向量拟平衡问题，本质解，通有稳定性，本质集，本质连通区。 a b s t r a c t i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，i n c l u d i n gt h eh i s t o r y a n dr e c e n td e v e l o p m e n to fe q u i l i b r i u mp r o b l e m t h ee q u i l i b r i u m p r o b l e m i si m p o r t a n ti na p p l i e dn o n l i n e a ra n a l y s i s m a n yp r o b l e m sc a nb e t r a n s f o r m e dt oe q u i l i b r i u mp r o b l e m ，s u c ha so p t i m i z a t i o np r o b l e m ，n a s h e q u i l i b r i u mp r o b l e m ，c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ，f i x e dp o i n tp r o b l e m ， s a d d l ep o i n tp r o b l e m ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n ds oo n i nt h i sc h a p t e r ， w ei n t r o d u c et h eo r i g i n a la n dg e n e r a l i z e dt y p e so fe q u i l i b r i u mp r o b l e m w ea l s oi n t r o d u c en e wt y p e sw h i c ha p p e a r ei nt h er e c e n ty e a r s ，n a m e l y ， t h ei m p l i c i tv e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e ma n dt h ed u a l v e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m d u et ot h ei m p o r t a n c eo fs t a b i l i t yi n t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n ，w ea l s oi n t r o d u c es o m ec l a s s i c a ls t a b i l i t yc o n c e p t ，s u c h a st h eg e n e r i cs t a b i l i t ya n de s s e n t i a lc o m p o n e n t i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m ep r e li m i n a r i e s ，n a m e l y ，t h ev e c t o rc o n e a n di t sp r o p e r t y ，t h ec o n t i n u i t ya n dc o n v e x i t yo fs e t v a l u e dm a p p i n g ， s o m eb a s i cc o n c e p ta n di e m m ai nf u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt o p o l o g ya n d s oo n w ea l s oi n t r o d u c et h em u t u a lr e l a ti o no fs o m ec o n c e p t i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eg e n e r i cs t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n o ft h ev e c t o rq u a s i e q u i l i b r i a mp r o b l e m f i r s t ，w ee s t a b l i s ham e t r i c o nas e tmc o n s i s t i n go fs o m ev e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e mw h i c hs a r i s f y s o m ec o n t i n u i t ya n dc o n v e x i t y w ep r o v et h ec o m p l e t e n e s so fm a n d p r o v e t h es o l u t i o nm a p p i n gi sa nu s c o m a p p i n g w eg a i nt h a t t h e s o l u t i o no fm o s tv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e ma r es t a b l e w eg i v e a ne x a m p l ea n ds h o wt h a tt h es o l u t i o no fs o m ev e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e mw e r eu n s t a b l e i n d e e d ，a l ls o l u t i o n so fs o m ev e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e ma r eu n s t a b l e i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h es e t w i s es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n s e tt ov e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m ，n a m e l y ，t h ee s s e n t i a ls e ta n d i l e s s e n t i a lc o m p o n e n t w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sa tl e a s to n em i n i m a l e s s e n t i a ls e ti nt h es o l u t i o ns e to ft h ev e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m ，i nw h i c ht h ep a r t i a lo r d e ri st h ei n c l u s i o no fs e t s a n de a c h m i n i m a le s s e n t i a ls e ti sc o n n e c t e du n d e rs o m es t r o n g e rc o n d i t i o n s o u r r e s u l t si n c l u d es o m er e s u l t si nt h el i t e r a t u r ea ss p e c i a lc a s e s k e yw o r d sv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m ，e s s e n t i a ls o l u t i o n ， e s s e n t i a ls e t ，g e n e r i cs t a b i l i t y ，e s s e n t i a lc o m p o n e n t i f i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果除文中已经注名引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对 本人的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明本人完全认识到本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名：南盘羞j e l 期： ! q q ! 生! 旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留，使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：啦导师签名 辨 第一章：背景知识 一平衡问题的研究背景和发展状况 1 9 世纪末，w a l r a s 建立了一般平衡理论。他主要考虑的是完全竞争下的 经济分析。在他的模型里，包括经济系统里的生产者与消费者、金钱与社会 财富等。其理论是：如果存在适合的价格系统，在这个价格系统下，每个人 都是受益者，即消费者得到最大好处、生产者得到最大利润及金钱与社会财 富等达到了完全竞争平衡状态。这个结论称为w a l r a s 完全竞争平衡的存在定 理。但其严格的证明是在半个世纪以后的1 9 5 2 年被数学家d e b r e u 给出。 d e b r e u 用集值映射的不动点理论证明了w a l r a s 完全竞争平衡的存在定理， 因此他获得了1 9 8 3 年的诺贝尔经济学奖。 1 9 6 1 年，k yf a n 证明了著名的k yf 8 n 引理 2 1 ，f a nk ，1 9 6 1 年 ，这一结 果是k k m 6 i 理在无限维空间的推广。在此基础上，k yf a n 证明了一个重要的不 等式，称为k yf a n 不等式，有的文献也称为平衡问题。由于k yf a n 不等式的 重要性，出现了对它的各种类型的推广：一种推广是减弱基本空间及函数的 条件，如改进紧性、连续性及凸性条件等；另一种推广是研究向量值函数及 向量集值映射形式的k yf a n 不等式问题，如向量平衡问题、向量k yf a n 不等 式、向量变分不等式等。由于它们在数学、物理、经济等领域都有重要应用， 近年来，越来越多的学者对向量平衡问题及向量拟平衡问题进行了深入的研 究和推广。 设e ，】，是拓扑向量空间，0 表示日中的零元素，r 为实数空间。若是y 的一个子集，则记i n t 为的( 拓扑) 内部。x 是e 的非空子集，2 。表示x 的非空子集全体。c 是y 中的一个闭凸尖锥且i n t c a 。t ：x 斗2 7 和 s ：x 斗2 。是两集值映射。现选取部分平衡模型如下： ( i ) 设让x x 哼r 为二元泛函，则平衡问题是： 了x x ，s j 伊( 毛y o , v y x 。 ( 1 1 ) 它有以下的推广： r 蓊x ，万t ( x - ) ，s j 妒( i ，只z ) o ，v z e x ( 1 2 ) i i 匿x ， i e s ( x - - ) ，s j 妒( i ，y ) o ，v y s ( 习 ( 1 3 ) l l 翦x ，- i e s ( i ) ，可r ( 习声? 妒( 瓦只z ) o ，v z s ( x - ) ( 1 4 ) ( 1 2 ) 与( 1 4 ) 中的伫x y x x 专r 为三元泛函。问题( 1 1 ) 是b l u m 和 0 e t t l i 在文献 1 8 ，b l u me 等，1 9 9 3 年】中提出的平衡模型，并给出了它与变分 不等式、最优化等问题之问的关系。问题( 1 2 ) 称为广义平衡问题，p a r k 等 在文献 4 0 ，p a r ks 等，1 9 9 8 年1 中给出了它在x 具有紧性条件下的存在性结果。 p a r k 在文献 3 9 ，p a r ks ，1 9 9 7 年】对这样的广义平衡问题进行了讨论。问题 ( 1 3 ) 称为拟平衡问题，文献 9 ，张石生，1 9 9 1 年 、 4 1 ，t i a n g ，1 9 9 3 年 、 4 2 ，t i a ng 等，1 9 9 1 年 、 5 0 ，y u a nxz 等，1 9 9 7 年 分别在不同的条件下给 出了它的解的存在性结果。问题( 1 4 ) 称为广义拟平衡问题，l i n 和p a r k 、t i a n 分别在 3 4 ，“n lj 等，2 0 0 5 年 ， 4 1 ，t i a n g ，1 9 9 3 年 中得到了此问题解的 存在性结果。 ( i i ) 设伊：x x y 为二元向量值映射，则强向量平衡问题是： ：j i x ，s j 妒( i ，j ，) ( ：、吵x( 2 1 ) 它有以下的推广： r 打x ，et ( x - - ) ，s t 伊( i ，y ，z ) ec ，v z ex( 2 2 ) l 。 0 ，定义u ( a ，) = u 曰d ( 4 ，) d e i i 其中仍( 4 ，占) = 扛x ：d 4 ) 0 ，存在n = 忙) ，使得： d ( ，毛) n 成立。 空间x 称为完备的，如果z 中的每个c a u c h y 序列都收敛。( 即它收敛于工中 的一个元素。 定义2 2 7 3 ，张石生等，1 9 8 6 年】设x 是为度量空间，x 的子集一称 为是稠密的。如果j = x ，j 表示4 的闭包。即v s o ，vx x ，3 x a ， 使得d x ，) 占。即z 中的任一元素都可以用彳中的元素去充分逼近。 定义2 2 8 3 ，张石生等，1 9 8 6 年】设y 是h a u s d o r f f 拓扑空间，qc y 。 如果q 包含一列在】r 中稠密开集的交，则称q 是】，中的一个剩余集。 定义2 2 9 3 ，张石生等，1 9 8 6 年1 设x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，称x 是b a i r e 空间，如果x 中每剩余集在x 中稠密。 注2 2 5 ( 1 ) 如果y 是b a i r e 空间，特别y 是一个完备度量空间，则y 中的剩余集q 在y 中是稠密的。有限或可数个剩余集的交仍是剩余集。 ( 2 ) 在完备度量空间中，任一剩余集是稠密的并且可数个剩余集的交 也是稠密的。 定义2 2 1 0 1 3 ，张石生等，1 9 8 6 年】一个集合a 称为偏序集，如果在它 上面定义了一偏序，即是一二元关系，记为 ，对任意口，b , c 4 ，满足条件： ( 1 ) a a 。( 自反性) 1 2 ( 2 ) 如果a 6 且b a ，则a = b 。( 反对称性) ( 3 ) 如果a b ，且b c ，则a - 4 c 。( 传递性) 注：( 1 ) 所谓“偏”，即彳可能包含这样的元4 和6 ，对于他们来说， 既不是4 b ，也不是b a 。 ( 2 ) a 蓍 l l b 称为可比较元，如果满足a _ b ，或者b a ( 或者两者同时 成立) 。 定义2 2 1 1 3 张石生等，1 9 8 6 年】链( 或全序集) 是一偏序集，且它 其中的每对元都是可比较的。 定义2 2 1 2 1 3 ，张石生等，1 9 8 6 年】偏序集4 的子集矿的上界u a 是 指：对每一工w ，工 u 。 注2 2 6 “依赖于和彳，这样的u 可以存在，也可以不存在。 定义2 2 1 3 1 3 ，张石生等，1 9 8 6 年】偏序集彳的极大元珊a 是指：对 任意的工e a ，若m 时有 p ( “”，”) = s u p 红( 曩”( 并，j ，) ，巧”( y ) ) + 罂p x h , ( 曰( j ) ，g r ( 力) 占 ( 1 ，y ) e k x k jf e ， l e l 从而有： s u p 鬼( e “( y ) ，e ”( 毛) ，) ) f 。 ( 1 ) 1 7 由此得： 岛( 鼻4 ( 五y ) ，巧”( x ，y ) ) 忉， i ，j e x i e l 从而s u p 鱼( 鼻”j ，) ，f a x , y ) ) 一0 ，疗专。由于( 足( k ) ，| j 1 ) 作为子空间 ( ，) e f x x 完备，同理可得：s u p 岛( 曰( 工) ，q ( ) 呻0 n 。 x , y ) g k x k i 由上述知：甜4 j u 。要证( m ，p ) 完备，只需证 m 。 下证：m ，即u 满足引理3 2 1 中的条件。 1 ：先证e ( x , y ) 满足引理3 2 1 中的条件。 因为e ”( x ，y ) 一f ( x ，y ) k ( i ) ，从而f a x , y ) 是紧值的，满足引理3 2 1 中的条件( 3 ) 。 ( 1 ) ：下证“满足引理3 2 1 中的条件( 2 ) 。假设“不满足引理3 2 1 中 的条件( 2 ) ，即存在z k 且l g j ( 一) ，但e ( 一，z ) c i n t c ，。因为e “( ，) 引理2 1 中的条件( 2 ) ，即：只”( x 7 ，) 伍一i n t q 。所以至少存在z f ( ，) ， z 叠一i n t c ，从而z 舞f a x ，z ) 。因为f a x ，) 是闭的，故存在占 0 ，使得 u ( z ，占) n c ，( 只( 一，) ，占) = g ( 这里u ( z ，占) = 臼墨：l l z 。一z l l o ，使得u ( z ，, ) f l u ( g 7 ( 工) ，毛) = o ，从而z 芒u ( 6 7 ( x ) ，) ，与 曰( x ) _ g ，( 工) 矛盾。故g f ( x ) 在足上上半连续。 再证q ( 工) 在足上下半连续。假设g j ( 石) 在足上非下半连续的，即至少存 在- - x e k ，使得q ( 石) 在x 处非上半连续，由集值映射的下半连续的定义知： 在k ，中存在开集y 隅( 力o ，对x 中任何包含，的开集口，存在x e u 使 得q ( 力n y = o 。因为q ( 功斗g ，( ，则当刀充分大后，g ，( x ) n 矿a 。由 g ，( 功在足上下半连续知，在局中存在开集u ，使得对v x e u ， 研( n 矿g 。由上面讨论知：存在善u i 使得g , ( x ) n r = a ，则存在 z 2 曰( 工) ，z 2 矿，从而乞仨g f ( x ) 。由于q ( 工) 是闭集，故存在g 0 ，使 得【厂( 乏，毛) n 【，( q ( 工) ，q ) = o ，从而z 2 u ( g f ( x ) 毛) ，与g ，( 功寸g f ( 功矛盾。 故g ( x ) 在k 上下半连续。 下证g l 是凸值的。对任意五，z 2 q 和v t e o ，t l ，令 z = t z i + ( 1 - t ) z 2 。由于g ( 工) 寸q ( 力知存在彳，研( 曲，使得：彳寸毛， z 一句。令，= 叼+ ( 1 - t ) z ；，由掣o ) 是凸值的知：，钟( j ) 且z 4 一z 。 若z 仨q ( 功，由g f ( 功是紧的和引理2 2 3 知，存在s 0 ，使得 u c z ，c ) nu ( q 破# ) = 彩。由乏寸之知存在自然数，当靠 n 时有： z ”u ( z ，s ) 但，芒( ，( g f ( 工) 占) 。因为钟( x ) 斗g a x ) ，所以当n 充分大时， 曰i x ) c u ( g ，占) ，即z ”曰( 砷c 【，( q ，s ) ，矛盾。所以z q ( x ) 。则 g ( 曲是凸值的。即“m 。所以，( m ，p ) 是一完备度量空间 对每一“m ，s ( u ) 为u 的解的全体，则s 定义了一个从膨到k 的集值映射。 定理3 2 2s ：m 争k 是一个u s c o 映射。 证明：因k 紧，由上述引理3 2 3 知，只需证s 是闭映射，即s 的 图像g r a p h s 是m k 中的闭集，其中： g r a p h s = ( “，工) m x k ：“m ，工s ( 甜) 。 任取序列 ( 矿，r ) ) c g r a p h ( s ) ，且( 矿，) _ ( “，) m x k 。记 “”= ( e “( x ，) ，) ，g ”( ) ，“= ( # ( 工，y ) ，g ? ( 工) ) ， 则 巧”) ，) 寸巧( j ，j ，) 睇( 曲寸研( 石) ，善 r 钟( 矿) ，e 4 ( ，y ) 岱一i n t c , ，v y