（计算数学专业论文）白噪声分析中广义算子值函数的bochnerwick积分.pdf

摘要 白噪声广义算子在白噪声分析理论及其应用中起着十分重要的作用本 文主要讨论了白噪声广义算子值函数的积分及相关问题主要工作如下： 一引入了广义算子值测度( g e n e r a l i z e do p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e ，简称g o v m ) 的概念，分别讨论了这种测度在象征和算子p 范数意义下的变差及相互关系 二借助于广义算子的w i c k 积运算，引入了广义算子值函数关于广义算子 值测度一种积分b 0 c h n e r - w i c k f d i 分，讨论了这种积分的性质，建立了相应的 收敛定理并且展示了其在量子白噪声理论中的应用 三探讨了b o c h n e r - w i c k 积分的f h b i n i 定理及相关问题 关键词：白噪声分析；广义算子值测度；象征；b o c h n e r - w i c k 积分 a b s t r a c t g e n e r a l i z e do p e r a t o r so fw h i t en o i s ep l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o no fw h i t en o i s ea n a l y s i s h lt h ep r e s e n tt h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s st h ei n t e g r a - t i o no fg e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e df u n c t i o n sw i t hr e s p e c tt og e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e d m e a s u r e sa n dr e l a t e dt o p i c s t h em a i nw o r ki s8 bf o l l o w s ： 一 f i r s t ，an o t i o no fg e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e dm n s u r e si si n t r o d u c e d ，a n dv a r i a t i o n so f s u c ham e a s u r ea r ei n v e s t i g a t e di nt h e8 e n 8 eo fs y m b o la n do p e r a t o rp - n o r m r e s p e c t i v e l y s e c o n d l y , a ni n t e f a l ，c a l l e db o c h n e r - w i c ki n t e g r a l ，o fag e n e r a l i z e do p e r a t o rv a l u e d f u n c t i o nw i t hr e s p e c tt oag e n e r a l i z e do p e r a t o rv a l u e dm e a s u r ei sd e f i n e d p r o p e r t i e so f t h ei n t e g r a la r e e x a m i n e da n dc o r r e s p o n d i n gc o n v e r g e n c et h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e d f i n a l l y , t h ef u b i n it h e o r e mf o rt h ei n t e g r a li sd j b c a s s e da n da p p l i c a t i o n sa r es h o w n k e yw o r d s ：w h i t en o i s es p a c e ；g e n e r a l i z e do p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e ；s y m b o l ； b o e h n e r - w i e ki n t e g r a l 1 1 1 独创性声明 本人声明所量交的论文是我个人猩导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和教谢的地方外，论文中不包括其他人已经发寝或撰写 过静磅究残暴，穗苓包含舞获得莲l 嫦鏊大学或其缝教青撰捷熬学位或诞菸褥搜其l 过魏 材辩。与我一鬻麓襻匏霹恚对本礤突耩徽豹在鹰贡献均悉农论交串作了臻魂豹谎明并表 示了谢意 签名 日期：趣卜虬 ， 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有燕保留，使用学位论文的规定，l i p ：学校有权保留送 交论文韵复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内嚣，可以采 ( 保密的论文在解密嚣痤遵守藏穰定) 签名：二毒卜导师螯耄乏参俨日期：j 塑挈l 上- j 一 刖吾 白噪声原本作为一个声学概念，是指各频带的音强都相同的混合声音在工程技术 中，工程师们常用白噪声这个术语来表示动态系统中出现的一种随机干扰这种随机干扰 的数学模型被认为是一个具有零均值，无穷大方差并同时满足下面两个条件的随机过程 z ( ) ： ( 1 ) 当s 时，z ( t ) 与z ( s ) 独立； ( 2 ) e l fl ( t ) z ( t ) d t 2 = ，【，( t ) 1 2 d t 因此擞学上一般把具有上述特征的随机过程叫做白噪声由于b r o w n 运_ 动口( ) 的形 式时间导数b i ) 具有上述特征，b ( ) 是一种白噪声( 通常称为g a u 鹊白噪声) 然而，白噪声并非通常意义下的随机过程长期以来，为了给白噪声赋予严格而合理的 数学意义，人们做出了种种努力例如，人们曾经把白噪声定义为一个具有下列性质的广义 随机过程恐( f 属于某个检验函数空间) ： ( 1 ) k + t m = 8 鼍+ 6 ； ( 2 ) 恐服从均值为零，方差为fk ( ) 1 2 d 的正态分布 这个定义虽可接受，但却难以处理曰( ) 2 ，e a l ) 等白噪声泛函 白噪声分析是1 9 7 5 年由h i d nt 提出的一种类似于s c h w a r t z 分布理论的无穷维 分布理论，其基本思想是把w i e n e r 泛函视为白噪声泛函最初的h i d a 白噪声分析 框架是从g e l f a n d 三元组s ( 哟cl 2 ( r ) cp ( r ) 出发得到一个新的g e l l a n d 三元组 ( l 2 ) + c ( l 2 ) c ( l 2 ) 一，其中( l 2 ) = 工2 ( 扩( r ) ，p ) 表示扩( r ) 上关于p 平方可积的函数 所成空问，“是标准g a u s s 测度， ( 工：) + ： c o 厶( 厶) ：厶曰盖( r n ) ，妻州i 厶巴牛但 o o ) 为检验泛函空间， ( 。) 一 妻厶( 厶) ：厶瓜嚣( 舻) ，妻州l 厶华。， o o j 1 前言 为广义泛函空问8 0 年代初，k u b o - t a k e n a k a 首次用二次量子化方法构造了经典的白噪 声分析框架( e ) c ( l 2 ) c ( 功，其中( e ) 和( 层) 分别为检验泛函空间和广义泛函空间 其后m e y e rp y a hja ，k o n d r a t i e ry ug ，l e u k e r tp ，p o t t o f fj ，s t r e i tl 和w e s t e r k a m p w 进一步讨论了一般g e l l a n d 三元组的二次量子化到了8 0 年代末，k o n d r a t i e ry ug 和s t r e i tl 首次提出用推广了的二次量子化方法构造白噪声分析框架近年来，由于实际 问题的需要或理论上的兴趣，提出了着干新的白噪声分析框架，在白噪声分析的理论框 架下，不仅作为数学对象的白噪声可获得严格而合理的定义，而且诸如b ( t p ，e b ( ) 等白噪 声泛函都可以得到方便的处理迄今，白噪声分析已逐步发展成为一套精细的无穷维随 机分析理论，并且因其深刻的物理背景而日益受到数学物理界的广泛关注 2 0 世纪8 0 年代初期，作为i t 6 随机分析理论与量子力学相互渗透的结果，诞生了量子 随机分析理论1 9 9 1 年，黄志远先生将白噪声理论应用到量子随机分析，提出了量子白噪 声的概念，并系统发展了一套理论和方法一量子自噪声分析 在量子系统的数学描述中，许多物理量并不是通常意义下的算子在白噪声框架下， 可以定义点态的湮灭和增生算子巩，曜，这就是量子自噪声，它是提升到了算子水平的白 噪声是一种广义算子量子场中的w i c k 编序就是广义算予的w i c k 积广义算子的概念比 传统的h i l b e r t 空间中算子要广泛得多，包含了人们感兴趣的许多物理量这一新观点突 破了传统的l 2 理论，为量子随机分析和计算提供了合理的数学框架，并使得有可能将重 正化方法置于严格的数学理论基础之上，克服了构造性量子理论场论中的种种困难正因 为如此，广义算予在量子白噪声分析中起着基础作用近年来，广义算子已经被成功地应 用于量子随机分析，量子随机计算和量子随机极限理论中，由于白噪声分析有着深刻的物 理背景，而且成功地应用于f e y m m a n 积分以及量子场，因而越来越多地受到物理学家和 数学家的关注，成为自噪声理论中不可忽视的一部分 对于广义算子和广义泛函的讨论主要有：o b a t an 借助于广义算子的象征讨论了广 义算子的解析刻画；g - h u n gd m 利用w 变换对广义算子的解析刻画定理给出了更简单的 证明本文我们引入广义算予值测度的概念，并讨论广义算子值函数关于广义算子值测 度的积分借助于广义算子的w i c k 积运算，我们定义了一种广义算子值函数关于广义算 2 前言 子值测度的积分，称) b b o e h n e r - w i c k 积分我们讨论了这种积分的性质，建立了相应的 收敛定理并且展示了其在量子白噪声理论中的应用 3 l 白噪声分析框架 本文中r 表泳实数域，c 表示复数域 一自噪声绽间 莰d 1 楚给定懿差整数，h = 舻辩；获) 表示定义衣d 维敬氏空阕彩土势量关予 l 西e s g i i e 测度警方可积的全体实德聪数构成的h 矗b e r t 空阅，珏中的内积帮蔽数分鄹记 为，) 和 l o 令 a 一一+ f 叫2 + 1 ，其孛= ；蒜，| 童| 2 = 耋，霹熬强，a 是嚣孛瓣一今骞歪下雾瓣零瞧良矮嚣葵 子，称为孵中的谮振子 命题1 1 n 存在h 的一个标准溅交基 e j ) j 1 满足： ( 1 ) l 白= 彤， j = l ，2 ，。； 嵇0 1 姜a l 如曼一+ 。o ； ( 3 ) 凳l 可1 0 ，存在c 唯得 i f ( f ) l c 唧倒引乙，f 最 一般来说，两个广义泛函的逐点乘积不再是一个广义泛函，然而，两个u 一泛函的逐点 乘积还是一个u 一泛函因此，利用u 一泛函的这个特征可定义广义泛函之间的所谓w i c k 积 定义1 5 【6 】设西，皿( f ) ：，则它们的s 一变换s 圣和s 皿的逐点乘积还是一个u 一泛函，称 广义泛函s 一1 陋圣s 叫( e ) g 为圣与皿的w i c k 积，记作由o9 引理1 7 嘲设西，皿( e ) 各，它们的f o d 【表示分别为园焉和o o og n ，则w i c k 积 ，n = un = u 有f o d 【表示。以，其中 以= o g 。f 0 m + n = l 引理1 8 蚓设弘口z ( z 表示整数集合) 且q p + 而i i n 莉z ，则对任意妒，妒( 日) g ，下列 估计成立 i i 妒。妒0 ，c ；。i i5 l o l l q l l 妒1 1 4 其中g = 1 、l 一2 p 2 抽刊 引理1 9 嘲定义指数映射妒：歪b 一( e ) c 如下，妒( ) = 九，e b ，则满足 ( + 町) = ( f ) o ( 町) ，f ，叼e v 并且西还是连续的 定义1 6 1 0 设( q ，只i ，) 是一个完备的a 一有限测度空闯，庐：q 一( 司各是一个给定的广 义泛函值函数若存在q 0 ，使得 妒( u ) ( e 一口) 口，p n e u q 8 1 蠹噪声分耩框架 并且映射西：n 一( e l 口) c 关于测魔扩b o c t 虹e r 可积，则称广义泛函值函数毋荚于测度p b o c h n e r 可积此时，相应的积分称为跏械n e r 积分，并记作矗蚤) d 咖) 雩l 理1 1 0 6 li i ( n ，磅是一令突冬瓣玎一毒浆溯凌空瓣，：q 一动参是一令绘定豹 广义泛舔照蕊散+ 若西满足： ( 1 ) 对每个e c ，函数s 西( ) ( f ) ：n c 可测； ( 2 ) 存在常数如p o 及n 上的非负硼积邀数c ( u ) ，使得聪协勖和l ，一8 e ，u 芒n 下 式霾立 l 舯p ) ( ) lsc p ) e x p 倒嘏 则庐关于测度b o c h n e r 可积，并凰冀b o c h n e r 移 分满足 烈，垂如) 咖 ) l ( 9 ：f u ) 煳咖埘) ，芒互k nj l o 三。广义嚣挚 如果u 矿越同一个数域上的两个局部凸拓扑线性空间，舆我们总以l w , 卅表示u 到y 的全体谶续线性算子构成的空间 疆霹) c ，( 露) 越中的元素髂为嘏黎( e ) cc l 2 ) cc ( e ) 乏上的广义算予( 以下簿 耪广义粪子) 荔踅，h i l b e r t 空闽( l 2 ) c 上戆毒秀线魏嚣子霹撬兔广义冀予，瑟箨 c 【( e ) c ，( e ) c l 和f ( e ) a ，( e ) 劲中的溺豢也都视为广义算予 设x 【( 职) c ，( e ) c 】是一个广义算子，则根据拓扑线性空间的对偶理论可知，存 在难一豹一个广义算子x + c f ( g ) c ，( 印刮满足： x 妒，梦一x 妒，妒，妒，妒( e ) c ， x 为x 的对偶弊子 定义1 6 嗍设x ：( e ) c 一( e ) 乏是个线性算予，定义( 凹) c ( e ) c 上的复值泛函 贾如下 x 落，磅；x 蠢，如，露( e ) c 称泛函戈为线憔算子x 的象征 1 白噪声分析框架 由于指数泛函集合 艇lf 玩 是检验泛函空间( e ) c 的完全子集，因而广义算子 被其象征完全确定，亦即，两个广义算子相等当且仅当它们的象征相等 设x c 【( e ) c ，( e ) 刳是一个给定的广义算子，x + 是其对偶算予，则显然有 x + 代，叩) = x ( 叩，f ) ，町e ：c 命题1 7 嘲( 广义算予的刻画定理) 设g ：( e ) c ( e ) c c 是一个给定的；变元泛 函若存在广义算子t 【( 司c ，( e ) 副使得g = 贾，则g 满足： 。 ( 1 ) 对任意f ，p ，聃，7 ，( e ) c ，下列二元复值函数是c c 上的整解析函数 ( z ， u j ) _ g “+ ，町+ 硼 ( 2 ) 存在非负常数c 0 ，k 0 和p 0 使得 ig ( 目) f sc e x p k ( if 曙+ i 7i ；) ，f ，田( e ) c 反之，若二交元泛函g 满足上述两个条件，且存在唯一的一个广义算子x l 【( 曰) c ，( e ) 副满足g = 殳此外还满足下列范数的估计 | f x 妒忆f 两币c 而嘶。，妒( 局) c 其中q p 且2 e 2 9 i l a 一( 口一砷| | k 0 ，满 足露e 妒= 只a 妒，f ( e ) 。，妒( e ) 定义2 1 嗍设( q ，一表示任意商测空间，廊为( q ，刀上取值于( e ) 的向量测度，如 果对任意一列互不相交的可测集a 。，n = 0 ，1 ，2 ，有 p ( u a ) = p ( a ) ， 其中级数的收敛是( e ) 中的弱收敛 易见，若p 是( e ) + 值的向量测度，则其s - 变换( s p ) ( a ) = j f 上( a ) ，侠是一个实值测 度其中欢( z ) = e 一i 1 c m 2 ，z e + 一广义泛函值函数的b o c h n e r - w i c l 【积分的定义 定义2 2 嘲设p 是，一( e ) 的向量测度，a ，7 r 是a 的有限可测划分，规定 i 川，( a ) = s u “e 占。0f ( b ) i2 ，p r ，则称i p i ，为p 的p 变差，( i p i p 未必有限) 进一步，若存在p r ，使得lpi p ( e ) 0 ，2 - 缸+ 2 一筇= l ，有 u x p ) o 中i i 。8 五0 2 肿。8p ) f l 。肿口s ”x ( l h 肿。d ip f 什口 。 = i 。 定义2 5 5 1 称映射x ( u ) 是关于p 强可测的，若存在p ，q r ，和简单映射序列 r ( e ) ，t l l ，使得0 x ( ，) 一x 。) 1 1 2 月一0m o o ) ，jp i p d 定义2 6 嘲设x ) 是强可测映射，若存在鼽q 肺简单映射序列x 。( u ) 使得 | | x ( u ) 一j k ( u ) 0 2 ，口d l , i p ( 几，o o ) 则称x ) 关= j = p b o c h n e r w i c k 口- 积，这时_ r ) od p 强收敛到( e ) 中唯一元素，记 为fx p ) o 咖，称之为x p ) 关于卢的b o c h n e r - w i c k 积分 引理2 2 ( s 1 强可测映射x ( u ) 关于pb o c h n e r 、v i c k 可积的充要条件是，存在p ，q 刚吏 得i l x ( u ) l h ，。关于p 可积，即 l l x ( u ) 0 2 ，口d l p l ， + 引理2 3 阎设墨p ) ，n l 是强可测映射序列，若存在口r 使l l x ( w ) 一五。- ) 。一 0 加一o o ) ，则x ) 是强可测映射 引理2 4 1 5 1 ( 1 ) 线性性设x ( u ) ，y ) ，关于p b c l c h n e r - w i d 【可积，对任意实数o ，p 有 陋x + 。舡= a x 。咖+ 卢y ( u ) 。舡 ( 2 ) 设x ) 关：于：# b o c h n e r - w i c k 积，则存在p q ，r r 使 i lf x ( u ) 。咖o 。，f i i x ( o 一) i 。d j 川， ( 3 ) 控制收敛定理设x ( u ) ，x 。( u ) ，竹l 是强可测映射序列，9 ( ) 是，可测函 数，若存在p 口r ，使得9 ( ) l 1 ( d i p l p ) 弄0 1 1 x ( w ) 1 1 2 口9 ) ，i , i pn s 则当p ) 黑 1 4 x ( u ) 时，x ( u ) 关于pb o c h n e r - w i c k n - 可积，且 厂矗( 小咖当硼) 。咖 引理2 5 嗍设x ( u ) 强可测且关于肚i o c h n e 卜w i c k 可积，则其s 一交换s x 0 ) 关于测 度跏可积，且 s x p ) 。中= 跚州跏 二广义泛函值函数的b o c h n e r - w i c k 积分的f u b i n i 定理 弓i 理2 8 1 5 】设p ，i ，都是( n ，刁上有限变差向量测度，x ( d l ，地) 是f 2 。2 一( e ) 二元强可 测映射若存在p ，q r 使得 ，x ( u l ，忱) j i 钿d j p j , i 咋i + o o 则( j ) xw l ，地) 关于p o b o c h n e r - w i c k 可积 ( 2 ) x ( ，眈) ，x ( 嘶，) 分别关于p ，强可测且b o 吐n e r - w i c k 可积 ( 3 ) 圄如) = f x ( ，岫) o d p ，幽1 ) = f x ( w l ，) o d u 分别关于“强可测且b o c h n e r - w i c k 可积 ( 4 ) 下面等式成立 x ( 忱) 。d ”) = ( x ( 忱) 。咖) o d u = ( x ( 忱) 。咖) 。咖 下面给出引理2 8 的一个应用 引理2 9 1 5 】设m ，刁= ( 冗，8 ) ， 晰，t r 是( 矿( r ) ，e ( s ( 固) ) 上的布朗运动，a ( a ) = fi a d w t ，a 8 若存在g r ，使得川i x ( t ，8 ) 崆w d t d s + ，则下列各积分式有意义，且 等式成立 g a ；x ( ，w ) 疵幽= 磁( 劈x ( 以u ) d t ) d s = a ：( 露x ( t ，u ) d s ) 出 1 5 3 广义算子值函数的b o c h n e r - w i c k 积分 本章，我们弓i 入广义算子值测魔的檄念，并讨论广义算予值函数关于广义算予值浏度 的积分借助于广义算子的w i d 【积逡算，我们定义了一种广义算子值函数关予广义算予 僵测度豹积分，豫为b o c l m h - w i c k 积分我识讨论了这静积分数经凌，建立了耱应豹收 敛定理莠显震零了其在耋予鑫噪声纛论孛约应蔫 c 【( e ) ，( 聊+ 中的元素称为白噪声分析框架( e ) c ( l 2 ) c ( 功+ 上的广义算予，简称广 义算子由s c h w a r t z 核定理可知 技露) ，( 霆) + l 磐召鬏动( 扔l 垒疆9 ( e ) l 裂露r o ( e ) ， 定义3 1f - 义算子僮函数z ：一( 岔) ，( 固 称为胃溯空离，霹上瓣广义舅子筐 测度，若对任意一捌两两不交的 r c ，有 z ( u r ) = z ( r ) ， 其中j | 芟敛是象镊意义下豹收敛，嚣v ，站e ，有 z ( u 致) 氆，谚= z q - m ( 毒，彩 n = ln = l 注l ：设z 怒，一上的一个广义辣子值测度对于僚一对町e ，定义簸值集函 数毒m ：，一c 如下： 磊。固一z 毋g ，霉) ，f 2 z 荔觅，对子每一冀涎，锋e ，毒。是，力上盼复值滔度。 注2 ；若牙怒( n ，一上的广义算予德测度( g e n e r a l i z e do p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e ，简称 为g o v m ) ，则对乎有限多个两两不交的 r l s 。c 肖 积u 黝= z ( 羁) 蠢嚣li = - - - 1 设t 秘，( 嚣) l ，p 0 ，撩宠 i f t i | ，= 8 p l l t ￥ l l - p i 妒( 聊，i i 妒0 p l ： 称之为r 的算予抄范数 薹6 3 广义算子值函数的b o c h n e r - w i c k 积分 定义3 2 假定z 是( n ，a 上的一个g o v m ，p 0 ，f ，规定 i l z l l ，( f ) = 舭p 懈b ) 其中丌是f 上的有限可测划分，s u p 意味着对一切f 的有限可测划分求上确界 称集函数i l z l l p ：，一局+ 为z 的p 变差，而称l l z i i p ( f ) 为z 在f 上的p 变差 若i i z i i ，( n ) 0 ，由于i l z l l p ( 日) sl i z l l p ( q ) o 。，所以存在r 的有限可测划 分”t 使得 i i zl i ，( f 1 ) 一s i i z ( b ) i i ， 同理，存在毋的有限可测划分7 r 2 使得 ，( 兄) 一 i i z ( b ) l l ， b 仰 注意到7 1u 她构成f 的有限可测划分，于是 ，( 冗) + i l z l l ，( 最) - 2 e i i z ( b ) i i ，+ i i z ( b ) i i ， i i z l j ，( f ) 由e 的任意性可知 综上 l i z l l ，( f 1 ) + i i z l l ，( 岛) i i z l l ，( f ) 0 z i f ，( f ) = i i z l l ，( 日) 七l i z l l ，( 尼) 1 7 3 广义算子值函数的b o c h n e r - w i c k 积分 定理3 2 设z 是可测空问( n ，一上的一个p - 有限变差的g o v m ，其中p o 给定，则 其p 一变差l l z l l ，盯- 可加的充要条件是：z 关于算子p 一范数a 一可加，即对任意两两不 交 r c 有 i i z ( u r ) 一z c v h ) l l ，一0 ，m o o ) t i = lk = l 证明：必要性显然 下证充分性设 r c ，两两不交，再设丌是f = ur 的任意一个有限可测划分，则 ，i = l i i z ( b ) i i ，= i l z ( ub n f ) i i ， b g *口f t l ；l = i i z ( b n f ) i i ， 口fn = l i i z ( b n f ) i i ， 且f n = l = i i z ( b n v ) l l ， n = l 口_ | | z | i ，( r ) t l = 1 由w 的任意性，i i z i i ，( f ) i i z l l p ( f p ，证毕命题3 1 若z 是( q ，一上的一个p 一有限变差 的g o v m ，则对任意的 ，口e ， i 乏。i ( dsi i z i l ，( f ) e x p ；( 落曙+ i 叩瑶) ， 证：设7 i 是f 的任意有限可测划分，则 o 磊( b ) i i = o z ( 8 ) 哝，如o i i z ( b ) i i ，l i e d ，1 1 毋1 1 ， b e 7 = i i z ( b ) i i p e x p ) ( i 卵+ i ”胁 丑o i l z l l ，( f ) e x p - ；( if 曙- i - i ，7 胁 以下设p20 给定，z 是( n ，一上的一个p 有限变差的g o v m 记脚( ) = l i z l l p ( ) ，并 假定脚是一可加的 3 广义算子值函数的b o c h n e r - w i c k 积分 定义3 3 称广义算子值映射s ：n c 【( e ) ，( e ) + 】是p 简单的，如果 s ( 叫) = 正k ( u ) ，u n t = l 其中 日，b ，f n ) c ，是q 的一个有限可测划分， t 1 ，t 2 ，瓦 c 岛，这里 c ，【( e ) ，( 目。】兰 t c 【( e ) ，( e ) 】| l i t i i p n 时，有 9 上x ) 。z ( 山) 峙ii i f x ( u ) 。z ( 山) 一上岛( c ，) 。z ( 幽) + j f l 瓯) 夺z ( 缸) j nj n i i f x ( u ) 。z ( 幽) 一上鼠( u ) 。z ( 山) 扎+ i l f s ( u ) o z ( 幽) l l 川 s - i - & ( u ) o z ( 幽) 所以j 矗x ( u ) o z ( 口b ) c 。 而又有以上证明及前一定理知，对任意的一 0 ， 0 x ( u ) o z ( c b ) l k 4 - i i 蹋( u ) o z ( c ) i k j n j n e + ( i i & ( u ) 0 p ，峰( 也j ) + q w i i x ( u ) 0 p 脚( 幽) + ， 由e ，一的任意性， j i x ( u ) oz ( 叫虬g ，叮l i x ( c i ，肇( t j nj n 容易证明，积分具有线性性 定理3 6 若x ，y l ( q ，脚；岛) ，对任意实数o ，席 z 陋x ) + 毋( 训。z ( 山) = a 上x ( u ) z ( 幽) 4 - 卢上y ( u ) 。z ( 血) 定理3 7 ( 控制收敛定理) 设广义算子值映射序列 x j 。- p 一可测，且满足 2 1 ( 1 ) v 6 o ，有 。旦脚【0 一x l l p 川= 0 ，