（应用数学专业论文）脉冲效应下多种群传染病模型的研究.pdf

燮鲨型奎 1 鼎必 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东 南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日期： 摘要 本文研究了三类具有脉冲效应的两种群竞争的传染病模型，主要内容如下： 第二章研究了一类具有脉冲捕获的s j s 传染病模犁种群不但内部有疾病传播，种群之间也可 以交叉感染，疾病发生率采用双线性型对于单种群绝火的情形，首先利用频闪映射，得到周期解的解 析表达式，再借助f f o g t e t 理论，得到了这些周期解局部稳定的充要条件，并依据比较原理和脉冲微 分不等式获得全局稳定的充分条件对于两种群均不绝灭的情形，先证明了系统一致持续生存，再利 用b ， d t e ，- 不动点定理证明了周期解存在性无病正j 茜4 期解的唯一性和全局吸引的论证则是通过构 造l 耖n p 札n 伽函数，利用b n r 地z e t 引理得到的数值模拟验证了相关结论的正确性 第三章研究了一类具有脉冲捕获的s j r 传染病模型利用重合度理论，得到了单种群绝灭时另 一个种群正周期解存在的充要条件 第四章考虑了一类具有常数出生脉冲和捕获脉冲的s j s 传染病模型，且两类脉冲事件发生时刻 不同在假设种群j 无密度制约的前提下，根据脉冲微分方程基本理论，对该模型的动力学性态进行 了分析，讨论了各类周期解的存在性及稳定性最后通过计算机模拟验证了结论的正确性 第五章对这三类模型各类周期解存在及稳定的条件进行了对比分析，总结了种群持续生存与绝 灭的决定性条件，同时还讨论了脉冲效应对种群持续生存和对传染病控制的影响，并阐述了这些条件 相应的生物学意义结果表明，选择合适的脉冲作用可以控制特定种群的持续生存与绝灭，同时有利 于控制种群内疾 关键词：竞争： a b s t r a c t o u rm a i np u r p o si i lt l l i sp a p e ra 陀t 0i n v e s t i g a t et l l ed y n a i i l i cp m p e r t i e so ft w oc o m p e t i t i v es p i e c i e s 、i t l li m p u l s i v ee 仃e c t s 1 i ic h a p t e r2 ，w ef o r m u l a t e 锄s i s 印i d e i i l i cm o d e lw i mi m p u l s i v eh 撇s t n i sm o d e la l l o w sc r o 瓣 i i l f e c t i 仰b e 铆ns p e c i e s 加da p p l i e sb i l i n e 盯i n c i d e n c e f o rt i l ec a o f 伽es p c c i e 懿t i n c t ，u s i n gt l l es t m b c o p i cm a p ，w eo b t a i ne x t 柚a l y t i c a le x p 他s s i 伽so fp e r i o d i cs o l u t i s 1 i l e n ，b y 眦粕so fm ef 1 0 q u e t m e o 吼n 伪s a r y 觚ds u 伍d 衄tc o n d i t i o n sa 陀g a i n e df 研n l c1 0 c a ls t a b i l n yo ft h o 靶p e f i o d i cs 0 1 l l t i 伽s m o f 争 o v e r a c c 讲d i n gt o 啪p a r i s 伽p r i n c i m c 拙di m p i l l s i 他d i 岱 r 钆t i a lm e q u a l i 哆岫s 嘣c i e n t 啪d i t i f 研吐 g l d b a ls t a b i l i t yi sd e r i v e d f o rm ec a 辩o f n o n - s p c c i e se x t i n c t ，w es h o wm es y s t c m i sp e 咖卸e n t ，t l i e nb y 吣i n g b r 伽w 盱sn 耻dp 咖tt h e o 栅，t h ee x i s t e n c co fp e d o d i c l u t i o 璐a 球0 ：眦n e d t h ec f i 劬f b rt h cm i q l l 争 n e 鼹柚dg l o b a l 删i v i t yo fi n 胁t i o n f 慨p o s i t i v c 耐o d i cs o l u t i o n s 批d e r i v e db yl i a p u n o v sc ，i r e c t m e t l l o d 卸db a r b a l e t sl e m m a b i o l o g i c a li n t e 叩m t a t i 伽sa n dn u m e f i c a le x 锄p l e s 彻t l l em a i n 他s u l t s 玳 a l s og i v e n i i lc l l a p 衙3 ，锄s me p i d e m i cm o d e lw i mi m p u l s i v eh a r v e s ti sc 伽s i d 部e d u s i n gm a w i l i n sc o i i i c i d e n d e g r e c ，w c 曲曲i nt h cn 船s a r ya n ds l l l 五c i e n t 似b n 艋t l l ee 豇s t 即o fs i n g k s p e c i e sp o s i 吐v ep e r i o d 睑 s o l u t i o n s i l lc h a p i t c r4 ，w ei n 仃c i d u c e 柚ds m d y 柚s i se p i d e i n i cm o d e lw i t t ii m p u l s i v eb i r t l i 粕di m p u l s i v eh a n ，e s t 砒m 疗细tm 伽e n t h 雠sm o d e lw ca 鹊u m em a ts p e 崩矗c 2h 勰n od e n s i 哆d e p e n d e n c c b ym 啪so f 咖d a r dt l l e o r i e s0 fi m p u l s i v ed i 雎佗n t i a lc q u 撕o n ，w e 柚a l y z ed y n a l i l i cb e h a v i o ro ft t l i sm o d e l n u m 甜c a l s i i i l l l l a 6 s 耐咖t i w 脚o f t h em a i n 删t s h c l i a p l 盯5 ，t i l cr e l 删陀s u l t so ft l l e t i l r i i l a d e l sa 他c o m p d w bo b t a i nt l l ee s 潮n i a lc o n d i t i o n s f 研喇s t c i l c e 柚ds t j l b i l 姆0 ft l l cs p c c i e s ，d i s c u s s 吐圮i i i l p a c to fi m p u l e 行酏t ，柚di l l u s 呲岫b i o l o g i c a l s i g n i 丘c 柚o fm e n d i t i 咂s k e y 一埘d s ：c 啪p c t i t i v e ；i m p u l s i v ed i f f b 化n t i a lc q 删；p c r i o d i c l u t i 伽；鼬i l i t y ；p e 彻a 肥n 目录 摘要 趋 a b s t r a c ti 五 日录 i v 第一章引言1 1 1 研究背景l 1 2 基本准备2 1 3 本文的结构4 第二章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i s 传染病模型5 2 1 模型建立5 2 2 半平凡周期解的存在稳定性6 2 2 1 某种群绝灭的无病周期解6 2 2 2 某种群绝灭的正周期解1 0 2 2 3无病正周期解 1 2 2 3 一致持续生存与正周期解的存在性1 4 2 4 数值模拟1 7 第三章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i r 传染病模型2 1 3 1 模型建立2 1 3 2 主要结果2 2 3 3 某种群绝灭的正剧期解的存在性2 3 3 4 一致持续生存和正周期解的存在性2 9 3 。5 数值模拟。3 l 第四章具有脉冲出生和脉冲捕获的两种群竞争的s i s 传染病模型 3 5 4 1 模型的建立3 5 目录 4 2 定性分析3 6 4 3 数值模拟4 0 第五章讨论4 3 5 1 种群持续生存的条件及脉冲效应对其的影响4 3 5 2 脉冲效应对传染病控制的影响4 4 致谢- 4 5 参考文献- - 4 6 v 1 1 研究背景 第一章引言 传染性疾病，简称传染病，是指由各种病原微生物所引起的常见病，多发病中的一组 疾病这类疾病在一定条件下可以传染他人，有的还可以在人群中传播引起流行传染病 自古有之，对社会发展和人类生存产生了极大的影响 自k e 珊a c k 和m c k e n 嘶c k 于1 9 2 7 年构造了经典的s ，冗仓室传染病模型以来，传染病 模型一直被广泛研究s j r 模型是比较简单的模型，这个模型得到了历史上发生过 的大规模的传染病，如上世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的强有力支持后来很多 学者对s j r 模型做了推广【二4 儿邵】若无潜伏期，按传染机制划分一般有如下几种：s | r 模型，患病后难以恢复；s j s 模型，患病后可以恢复，但恢复者不具有免疫力；s ，冗模 型，患病后可以治愈，且康复者具有永久免疫力；s ，兄s 模型，患病后可以治愈，但康复 者只有暂时免疫力，部分康复者会丧失免疫力而被再次感染若考虑传染病的潜伏期， 在三个仓室中增加仓室e ，得到更加复杂的s e ，冗或s 刀，冗s 等在传染病模型中还 有一个重要的因素就是发生率众所周知，传染病是通过接触传染的单位时间内一 个染病者与其他人口接触的次数称为接触率，它通常依赖于总人口数，记作c ( ) 而所谓发生率就是指单位时间内被所有染病者传染的新人口数，记作卢c ( ) s ， 在经典的传染病模型中，双线性型( 卢s j ) 和标准型( 卢鲁，) 是最常使用的发生率除 此之外，还有可能更符合实际的饱和型发生率【硝】【】，饱和发生率的c ( ) 满足条件： c ( o ) = o ，矿( ) o ，( 竺铲) o ，且 i mc ( ) = 岛，以及强非线性发生率( 形如p 伊p ) v _ 等形式 对于一般的传染病模型，往往只考虑单个种群，通常得到一个阈值条件：若种群中 易感者数量高于阈值，传染病将爆发；低于阈值，传染病将趋于绝灭然而实际情况往 往并非如此在生态圈中，各个种群不是孤立存在的，种群间的关系一般分有捕食被 捕食，竞争，寄生，互惠等a n d e r s o n 和m a y i ：，) j 讨论了一类捕食被捕食的传染病模型竞争 系统是指每一个种群的存在对另外一个种群的增长有抑制作用，主要原因是因为争夺 共同的资源一个典型的例子是在同一片草地上生活的牛和羊对于竞争系统，有大 量的研究结果集中体现在系统的持续生存性和绝灭性、周期解的存在性和稳定性上 z e e m 锄【卅，d e o c a 和z e e m n a l h 】，滕志东【1 j 研究了部分种群绝灭和部分种群共存的条件 a h m a d 【：_ ，a l v a r e z 和l a z e 一- j 利用微分不等式和拓扑度分别研究了一个两种群竞争系统 的正剧期解的存在性和全局渐近稳定性，他们得到了相同的充分条件 因此考虑疾病在相互作用的种群之间传播规律的研究更具有生物意义这就是我们 第一章引言 所要研究的多种群传染病模型多种群传染病模型是指种群动力学模型和传染病动力学 模型两方面的结合，从种群生态学角度来说是相互竞争，互惠或捕食与被捕食的模型：从 疾病的传染机制来说又是疾病在多种群之间传染的模型最近几年对于这方面的研究也 很多在国内，1 9 9 7 年马知恩教授提出传染病动力学和种群动力学相结合，对疾病在多 个相互作用种群间传播的情况进行了分析，对如何控制疾病在多种群流行提出了策略上 的建议在此基础上，国内的其它研究者也开始这方面的工作在国外，h i f k e d m 柚， j c h a t t o p a d h y a y 州，o a r i n o h 等也在这方面做了大量的工作 实际上，种群在自然环境中传染病的传播过程中会受到自然或人为因素的脉冲影响， 比如对生物的定期捕获，某些动物的季节出生，对群体的集中接种免疫等，这些都需要用 脉冲微分方程来刻画 脉冲微分方程描述了某些运动状态在同定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它对自 然界的这种快速变化发展的描述比一般的常微分方程更加真实，科学和技术的许多领域 如理论物理、机械、种群动力系统、传染病动力系统、工业控制、生物技术、经济等 许多方面的变化规律都可以用脉冲微分方程来刻画脉冲微分方程一般按脉冲时间来划 分可分为：在固定时刻的脉冲微分方程和在非同定时刻的脉冲微分方程若按方程类型 又可分为：脉冲常微分方程、脉冲时滞微分方程等【：刀1 9 8 9 年l a l 【s h m i l 【a n t l l a m 等人的专 著t h e o r yo fi m p u l s i v ed i 侬i r e n t i a le q u a t i o n s 对脉冲微分方程的基本理论做了大量的 工作脉冲微分系统理论及其在种群生态学和流行病动力学中的应用，是上个世纪八十 年代末、九十年代初国际上迅速发展的前沿研究方向之一，近年来，它的研究引起了许 多数学家的注意脉冲微分方程广泛应用于种群的脉冲出生，疾病的脉冲免疫，种群的控 制，杀虫剂的脉冲投放，具有脉冲需求的最优物流控制等实际问题在竞争系统中引入脉 冲因素，靳祯等【2 h 考虑一个具有生育脉冲的n 种群竞争周期系统，利用m a w h i n 连续定理 得到了正周期解的存在性条件刘兵等【_ l 研究了一个具有脉冲效应的两种群竞争周期系 统，通过利用r a b i n o w 记分支理论讨论了系统从半平凡周期解分支出内部正周期解的存 在性和稳定性 在多种群传染病系统中引入脉冲因素，是对多种群传染病的进一步发展从本文讨论 部分可以看出，脉冲模型不但从模型本身上是无脉冲模型的推广，在结果上也可以涵盖 无脉冲模型的结果因此，对于有跳跃变化的生物现象，研究多种群脉冲传染病模型比无 脉冲的多种群传染病模型更加具有广泛性和实际意义 1 - 2 基本准备 下面以引理的形式给出本文中会用的几个理论依据及定义： 引理1 2 1 ( 文献【q ) 考虑下面的脉冲微分不等式 j ( t ) ( ) p ( ) u ( ) + 口( t ) ，t 如，七， iu ( t 吉) ( ) d 七u ( “) + k ，t = “，七， 其中，p ( t ) ，口( t ) c ( 皿，r ) ，毗o ，且6 七为常数 假设 2 第一章引言 ( n ) 序列“满足0 t o t 1 z 2 ，且f m 如= o o ； c + ( 6 灿尸c 1 ( r ，兄) 且u ( z ) 在如( 七) 处左连续 则 w ( t ) ( 芝) u ( 亡o ) 呶e x p fp ( s ) d s 卜卜( n 而e x p fp ( 5 ) d s ) ) k t 0 “ t ，t o t o 七 t “ o ，使得对系统( 1 1 ) 的任一解( z l ，z 2 ，z n ) ，存在 丑 o ，当t 互时，m o 时，只( t ) ( o ，o ，瓦( t ) ，o ) 存在 易知，系统( 2 3 ) 的周期解厩( t ) 是全局渐近稳定的 定理2 2 1 记 r 1 = ( 1 一七1 ) e ) 【p r l t n 1 2 您t + 轨( 1 一乜) 忌- ( 1 刊唧 _ ( d 2 恂肌( 助嘞) 婴等型 飓l ( 亡) 如( 2 4 ) 定义如果1 一扔一e r 2 t o ，则存在周期解b ( t ) ( i ) 如果冗1 1 ，忌 1 ，则周期解只( z ) 是局部渐近稳定的 ( i i ) 如果1 一一e - r t 0 ，忌 1 ，则周期解只( t ) 是全局渐近稳定的 证明：r ( t ) 的存在性由上面讨论可得 ( i ) 令n 1 ( t ) = 1 ( t ) ，i 1 ( t ) = ( t ) ，他( t ) = 2 ( t ) 一飓1 ( t ) ， 2 ( ) = 易( t ) 在t t n 时，系统( 2 2 ) 关于周期解只( t ) 的线性化系统为 刚荨 其中 l = n a 1 2 飓1 ( t ) 如= 一( d 1 + 0 f 1 ) 一n 1 2 2 1 ( ) 以1 = 一0 2 l 2 1 ( t ) 如= r 2 2 n 2 2 2 l ( t ) 如= 岛1 2 l ( t ) j h = 一( 如+ 眈) + ( 如一n 2 2 ) 丙丢( t ) 该系统的基解矩阵记为 搁 西c t ，= ( 妒1 芋们妒2 毒。童力 其中 妒。l ( t ) = 唧 朋：r 1 一n 1 2 厩( s ) 】如) ， 7 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ) ( 2 6 ) 3 o 0 氏0 o 如。如 第一章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i s 传染病模型 蚴( t ) l 细( t ) 忱4 ( t ) 当t = = e x p 启【( d 1 + 口1 ) 一q 1 2 丙丢( s ) 】d s ) ， = e x p 露f r 2 2 0 2 2 厩( s ) 】d s ) ， = e x p 名【一( d j + q 2 ) + ( 如一口2 2 ) 丙丢( s ) 】d s ) t n 时，由系统( 2 2 ) 获得 彳：r 1 一七1 1 一h 、i i 1 _ 乜 l 1 一 p = m 圣( d ，剧d 弘e t 乘子为 a t = ( 1 一h ) 唧蝣卜口。2 瓦( ) m = ( 1 一) 唧 ，1 t n 1 2 您丁+ 跏( 1 一如) ) = 兄1 ，t 入2 2 ( 1 一克1 ) 唧 上【一( d 1 + 0 c 1 ) 一b 1 2 2 1 ( t ) 】毗) ：( 1 一七1 ) 唧1 佃) t _ n 1 2 坚掣) 冗1 ，t。一r 2 t 砖= ( 1 一包) e x p 上h 一2 口2 2 2 1 ( t ) 】出) 2 五 1 ，t 儿= ( 1 一乜) 唧 上【- ( 如+ 口2 ) + ( 触一n 2 2 ) 2 1 ( t ) 】d t ) = ( 1 一) 唧 一( d j + 锄) t + ( 如一口2 2 ) r 2 t + z 钆( 1 一乜) ) = 尼 由川凹t i e t 理论( 文献，周期解只( ) 稳定的充要条件是丸 1 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，即 r l 1 ，惑 1 ( i i ) 由系统( 2 2 ) 作比较系统 j 警= 1 ( r l 一口1 1 l 一口1 2 2 ) t 灯 i 1 ( t + ) = ( 1 一七1 ) 1 ( t ) t = 灯 害= z ( r l 一吣z ) t n t 【z ( t + ) = ( 1 一七1 ) z ( t ) t = n z ( 2 7 ) 在1 一h e 一7 ，t o ，则存在周期解b ( t ) ( i ) 如果飓 1 ，风 1 ，则周期解马( t ) 是局部渐近稳定的 ( i i ) 如果1 一乜一e r 2 r 0 ，风 o ，忌 1 时，周期解马( t ) 存在 定理2 2 3 如果1 一乜一e r 2 r 0 ，飓 l ，则存在周期解忍( t ) ( i ) 如果r 1 1 ，忌以p 一2 觞j 孑丘( t ) 出) 1 ，则周期解岛( t ) 是局部渐近稳定的 ( i i ) 如果1 一h e r t 丁 o ，见e x p 一2 如岳丘( ) 出， 1 ，则周期解b ( t ) 是全局渐 近稳定的 证明：存在性由上面的讨论可得 ( i ) 类似于定理2 2 1 的方法，求得f l d q 札e t 乘子为 a 1 = ( 1 一七1 ) 唧 正【r l d 1 2 2 l ( t ) 】出) ：( 卜七1 ) e x p r 1 t _ 口1 2 坚芒坠型) ：冗1 入2 = ( 1 一七1 ) 唧 厶【- ( d 1 + 口1 ) 一口1 2 丙丢( t ) 一卢1 2 磊( ) 】d t ) _ ( 1 咄) 唧怕肛口1 2 婴等型喝2 r 丘( ) 小r t 1 0 聊 舢灯 觞，鍪f i 第二章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i s 传染病模型 入32 ( 1 一乜) e x p 上【r 2 2 口2 2 2 l ( z ) 】d t ) 2 = 瓦 1 儿= ( 1 一如) e x p 上【一( d 2 + 眈) + ( 勉一n 2 2 ) 2 l ( ) 一2 岛2 厶2 ( ) 】出) _ ( 1 刊e x p 啪恂谬+ ( 勉嘞) 型等型啦z z t 五班) = 飓e x p 一2 如上如( t ) 出) 由f z d 弘e 理论，当冗1 1 ，忌e x p 一2 如丘( ) 出) o 令 y ( t ) = i z 竹厶( t ) 一z 几磊( t ) l ，t o 易知y ( ) 朋1 ( 【o ，o o ) ，皿) 计算y ( t ) 的上右狄尼导数： 当t 灯时 d + y ( t ) s i 妒( 厶( t ) 一j i ( t ) ) ( 笔一等) = 一如i 厶( t ) 一j i ( t ) i 2 2 2 而 y ( n 7 呻) = y ( n 丁) 由引理2 3 2 知， 从而 因而 里巴y ( t ) = o t z n 厶( t ) _ z 礼如( t ) ，tj o 。 j 2 ( t ) ( t ) ，t _ 再由厶的任意性，( 2 9 ) 的任意解j 1 2 - 磊从而，恳( t ) 全局渐近稳定 类似地，可以讨论周期解只( t ) = ( 瓦( 亡) ，元( t ) ，o ，o ) 的存在性和稳定性 定理2 2 4 如果1 一h e 一7 t t o ，见 1 ，则存在周期解只( t ) ( i ) 如果飓 l ，r 4e x p 一2 岛1 矗元( t ) 疵) 1 ，则周期解只( ) 是局部渐近稳定的 ( i i ) 如果l 一乜一e r 2 r 0 ， ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 则系统( 2 1 4 ) 有唯一正周期解，记为( 瓦( t ) ，永) ) ，且全局吸引并且对任意小的 曼 o ，竺 o ，都存在正 o ，使得盟一1 l ( t ) 丽+ l ，盟一e 2 2 ( z ) 飓+ 眈，对t 芝噩 一 证明：易证，任取瓦，磊 0 ，t 充分大时， 从而 肌( t ) 丽+ 百，飓( t ) 丽+ 瓦 譬1 ( ( n i 1 ( ( n 1 ( 矿) = ( 1 一 ，您 一口1 2 l 口2 2 h ) 1 ( z ) ， 由比较原理，对充分大的t 和任意小的3 ，有 + 瓦) ) 一口1 1 1 ) ，t n t t = 灯 l ( t ) 坠筹鉴筢掣嘶口1 l 【毒一e i 厶l n 1 2 e 2 j ) u 由于三1 在右边分式中的连续性，总存在这样磊和3 ，使得 坠篇瞥芸掣飞盟咱 二- 一e 、 ， a l l ( 1 一e 一陋l 0 1 2 五) t ) c 3 二三盐一巴1 所以，对充分大的和任意小的l ，有 邮，等措咱 1 2 一 一 m m 仍 彩 一 一 n 您 m m | l = 警警 第二章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i s 传染病模型 类似的，对充分大的和任意小的2 ，也有 哪) 笔措咱 n 2 l l e 一“y 1j 不妨记e l = m i n e 1 ，i ) ，2 = m i n 2 ，瓦) ，则存在五 o ，使得 盟一l 1 ( t ) 丽+ 1 ，丝一2 2 ( z ) 两+ 2 ，t 正 即系统( 2 1 4 ) 是一致持续生存的，初值为正的所有解最终进入区域 q = ( 1 ，2 ) i 堕一e 1 1 ( t ) 丽+ 1 ，盟一e 2 2 ( t ) 两+ 2 ) 定义p d i n 形映射 p ：qo q ， p ( 1 0 ，飓o ) = ( 1 ( 矿) ，2 ( r ) ) ， 其中( 1 0 ，) q ，( 1 ( t ) ，( t ) ) 是系统( 2 1 4 ) 满足初始条件( 1 ( 0 ) ，2 ( o ) ) = ( 1 0 ，2 0 ) 的解 因为q 是有界闭凸集，并且是系统( 2 1 4 ) 的正向不变集，所以p 是映q 到q 的自映 射再由解对初值的连续依赖性( 文献【叼) ，p 为连续算子，由b r 讹叫e r 不动点定理，q 中存 在p 的不动点，即系统( 2 1 4 ) 至少存在一个l 周期解，且在q 内记为( 厩( t ) ，藤( t ) ) 下证此解唯一且全局吸引 取系统( 2 1 4 ) 的任意解( u ( ) ，u ( t ) ) ，令 y ( t ) = l i 礼1 5 ( 亡) 一z 竹t ( t ) i + i 打l j 5 ( t ) 一z n t ，( t ) i ， 当t n 丁时， d + 忡，篇嚣篆宅器胁厩一舢】，+ 罱嚣篆去赫队厩一胁， 一( 口1 1 + n 2 1 ) i 1 5 ( t ) 一u ( t ) i 一( 口1 2 + 口2 2 ) i 2 5 ( t ) 一u ( ) i 一o 【l 1 5 ( t ) 一t ( t ) l + i 2 5 ( t ) 一u ( t ) i 】 其中， q = m i n 口l l + a 2 1 ，n 1 2 + n 2 2 ) 当t = 灯时， y ( t + ) = i z n 丙三( t + ) 一j 礼t ( t + ) i + 1 2 竹丙磊( t + ) 一z n 口( 亡+ ) i = i z n ( ( 1 一h ) 1 5 ( t ) ) 一f n ( ( 1 一七1 ) t | ( ) ) i + l z n ( ( 1 一如) 2 5 ( ) ) 一z n ( ( 1 一砬) ( t ) ) l = l z n 1 5 ( t ) 一z 住仳( t ) i + l z 礼2 5 ( t ) 一z n ( ) i = y ( ) 1 3 第二章具有脉冲捕获的两种群竞争的s l s 传染病模型 所以，当o 时，y ( t ) 单调递减，对d + y ( ) 在【o ，叫上积分得， ，t y ( t ) + q 上【i 1 5 ( s ) 一让( s ) l + f 2 5 ( s ) 一 ( s ) l 】d s y ( o ) 0 ， 那么r ( ) 存在且唯一己1 ，如如定理( 2 1 5 ) 所定义 定理2 2 7 记 ( t ) = 一( 也+ q 1 ) + ( 尻1 一n 1 1 ) 丙二( ) 一口1 2 丙磊( t ) ， 如( t ) = 一( 如+ 口2 ) + ( 尾2 一n 2 2 ) 丙二( t ) 一a 2 1 丙三( t ) ， 垆1 1 = e j i l ( 。) 出， 恸：e j = ：i 如( 2 础， 妒1 2 ：e j j 1 t ( t 油f t 尻2 j 吒( t ) e j ：【j 玉( 。) 一j 1 ，( 叫幽疵， ，0 忱1 ：e 譬如( t ) 出 t 岛1 瓦( t ) e m t ( a ) 一场( 叫幽班， ，0 = 【( 1 一概) 仇l 一( 1 一如) 妒2 2 j 2 + 4 ( 1 一缸) ( 1 一乜) 妒1 2 忱l ， 在推论2 2 6 的条件下，若 飓6 = 去 【( 1 一七1 ) 妒1 l + ( 1 一) 妒2 2 】士伛) 0 ，l 一乜一e 一工2 t 0 ， 1 4 t z d 力 口 a + + 西 如 一 一 班 斑 ，5 ，5 飓 m r r z z 叭 一 一 出 如 o _ 5 ，5 肌 飓 r r z 石 小 彩 一 一 风 忍 l l l l 瓦 易 第一章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i s 传染病模型 盈+ z 7 l ( 1 一七1 ) 0 ，如十z n ( 1 一) 0 ， 则存在嵋 o ，仇； o ，使得 ( t ) m ：，屯( t ) 幔，对充分大的t 成立其中， “ 垒血号蔷掣，幔 坐生驾莞掣从而系统( 2 2 ) 一致持续生存 证明：取o m 1 生掣，o o ， 使得 口l = ( 1 一七t ) e x p z t 【( 岛。一a t ，) ( 瓦( t ) 一。) 一口。2 ( 瓦( ) + 2 ) 一( d 。+ a 。) 一岛1 m ，】出) 1 眈= ( 1 一) 唧 z t 【( 勉一0 2 2 ) ( 厩( t ) 一2 ) 一a 2 。( 瓦( t ) + - ) 一( 如+ q 2 ) 一尾2 m 。】出) 1 由定理2 2 5 知，( 瓦( ) ，厩( t ) ) 存在唯一且全局吸引所以存在亍 o ，对( 2 1 4 ) 的任意 解( 1 ，2 ) ，都有 1 5 ( t ) 一e 1 1 ( ) 1 5 ( ) + e 1 ，2 5 ( ) 一2 2 ( t ) 2 5 ( t ) + 眈 t 下面只需证j r l ，尼也有正下界，分两步证明： 第一步：证明存在t 1 ，t 2 z 使得 ( t 1 ) m l ，厶( t 2 ) m 2 否则有下面三种情况： ( i ) 存在t 2 t ，使得尼( t 2 ) m 2 ，且厶( t ) m 1 ，对所有t t ； ( i i ) 存在t l t ，使得 ( t 1 ) 7 7 1 1 ，且易( t ) 1 2 ，对所有亡t ； ( i i i ) ( 亡) 于，对任给n ，对( 2 1 7 ) 式在( 以( n + 1 ) t ) 上积分，有 ，( n + 1 ) t j 1 ( ( n + 1 ) t ) ( 灯) ( 1 一七1 ) e ) ( p t 1 成立，则厶的一致持续性得证否则，存在某个 t t l ，使得j r l ( ) m 1 记t 2 麟【 ( t ) 孔时，( 2 1 7 ) 式成立，从而 m 1 否则， ( ) m 1 从而证明了t 3 的存在记f = 蹲 ( t ) m 1 ) ，则 ( t ) m 1 ，继续上面 厶( t ) m 1 ，孟l ，圹) ( t 。) = 仇1 由于j r l ( t ) 在一个脉冲区间上是单调递增的，所以这种情况不成立 最后，类似有 厶 ) 鹏= ( 1 一如) m 2 ，t 如 为了便于计算，我们给出个条件较强的结果： 推论2 j 2 记 如果 吲肛) 等并一篆r 2 - ( d 1 m 蚓勉) 笔措 1 一七1 一e 一工1 r o ， 1 一h e 一( 1 t 0 ， 一挈r 。一( d 2 + 口2 ) ， 一r 1 一( 啦+ 口2 ) ， 口1 l 1 一如一e 一场r 0 ， l 一岛一e 一( 2 t 0 ， 则系统( 2 2 ) 一致持续生存 注：当脉冲间隔( t ) 较大，或收获率( 恕) 较小，即 或 t t 扣去，扣击，江l ，2 ， 缸 o ，则存在周期解b ( t ) ( i ) 如果兄l 1 ，惑 1 ，则周期解只( t ) 是局部渐近稳定的 ( 3 3 ) 】 ( 3 4 ) 盟出盟出 亟疵业出监出 垃出 第三章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i r 传染病模型 ( i i ) 如果1 一七l e 叶t r 0 ，忌 o ，则存在周期解b ( t ) ( i ) 如果飓 1 ，忍 1 ，则周期解b ( t ) 是局部渐近稳定的 ( i i ) 如果1 一如一e 一您r 0 ，凡 1 ，则周期解恳( t ) 是全局渐近稳定的 定理3 2 3 在满足定理2 2 5 的条件下，周期解r ( t ) 存在且唯一 3 3 某种群绝灭的正周期解的存在性 本节将要讨论b ( t ) 的存在性，等价于考虑 |!三、一飓一厶一恐，一他如一az厶)tnt。37， 警= 一如j 1 2 一n 2 2 腿厶+ 如尼( 飓一j 1 2 一恐) 一他如一a 2 j 1 2 n t 警= 一d 2 飓一a 2 2 2 飓+ 能厶j ，一、 2 ( 矿) = ( 1 一) 2 ( t ) l ” 厶( t + ) = ( 1 一扔) j 1 2 ( t ) z = n t 飓( 矿) = ( 1 一兢) 尼( t ) j 噍二莲搿挈怕如隔。) n 蚴卜 8 ， i鲁= 一d j 忌一n 2 2 丙丢( t ) 忌+ 饱如f 。广“1，0 、 lj 2 ( t + ) = ( 1 一) 训 江灯 卜“ 第三章具有脉冲捕获的两种群竞争的s i r 传染病模型 嘲 二然) - 盘+ ) 刚碱。掣。l 俨。卜n 9 ， j( t ) = 一d 2 一口2 2 瓦( t ) + 他矿，( 2 ) 叶。( f 7 - “1，n 、 l会： 乏；三： ：二乏； k = 礼t 。 时1 2 黧嚣觜“。_ e 钇。m 涮) ) 一如一a 2 2 2 1 ( t ) + 伪矿1 ( 2 ) 呻：( 2 )厂l n ( 1 一) 因此，j m 工是团的，工是擂杯为零的f r e d 魂m 算子 取 n = ；f 邢) 出 q 可2q ( ，c ) = ( 李 上，( t ) 毗+ q ，o ) 显然，p ，