（应用数学专业论文）随机和跳扩散模型下金融衍生产品的定价.pdf

摘要 随着现代信息技术的高速发展，以及全球经济一体化，出现了各种各样的新型衍生金融产 品和新型巾场，期权作为金融衍生工具的重要一员，是投资者进行资本套期保值的”超级武器”， 其定价研究是最广泛，但是一般的定价模型都是假设无风险短期利率是确定性的函数，股价的 波动率是非随机的，股票价格过程是连续的，期权是没有信用风险，没有随机寿命的，但是大 景金融统计数据表明，无风险利率通常都带有许多不确定性的因素，加入随机波动率或是引入 跳扩散过程都更能改进模型，获得较理想效果。由于场外期权上不存在像清算公司那样的第 三方担保，因此它们存在信用风险，期权合约通常会由于种种原因被提前终止，所以应该考虑 它们的随机寿命。 本文在以经典的b s 模型为背景，对一些生活巾的实际问题，主要运用随机分析和鞅论， 采取的诸如变换计价单位和测度等的技巧，获得一下一些结果： 1 在住房抵押贷款保证险的鞅定价问题研究上，先对房价引入跳扩散过程且利率服 从v a s c e k 模型给出了定价公式；然后考虑另一方向，令房产的价格过程中的波动率是随机的， 同时假设利率服从v a s i ；c e k 模型，同样获得其定价公式： 2 围绕b - s 模型的推广，一般有两种途径，一是对标的资产引入跳扩散过程二是引入随 机波动率；基于此，对交换期权综合考虑了随机波动率和跳扩散过程，采用变换计价单位和鞅 测度的方法，得到了交换期权价格的闭式解，推广了文献【3 6 】； 3 引入了一种新型的欧式看涨期权一用于股权激励的期权一再装期权一到期收益与路径 相关的期权，考虑它的标的资产服从跳扩散过程，同时加入了随机寿命因素，是得更能反映它 作为股权激励的作用下的实际价值； 4 引入一类欧式看涨跌期权的变形一幂型期权，考虑股价的跳扩散和短期利率可能是随 机的情形，加上了信用风险因素，乘上了一个由企业的价值和负债而确定的违约赔偿率，通过 鞅论，以及变换计价单位和鞅测度的方法得到了其定价的显式表达式； 关键词：跳书散；变换计价单位：信用风险；随机寿命；v a s i ；c e k 模型；随机波动率：再 装期权；交换期权；幂型支付期权；保证险 a b s t r a c t w i t ht h ef a s td e v e l o p m e mo fi n f b 硼a t i o n 眦h n o l o g y 锄dt l l ei n t e 伊a t i o no ft h ew h o l ew o r l d ，m a n y n e wl i n a n c i a ld e r i v a t es e c u r i t i e sa n dn e wm a r k e t se m e r g e a s 觚i m p o r t a n td e r i v a t es e c u r i t y ，o p t i o n i sm e ”s u p e rw e a p o n o fa s s e th e 起i n gf b ri n v e s t o r sw i t hw i d e l yr e s e a r c h b u ti to f t e na s s u m e st l l e n o - r i s ki n t e r e s tf a t ei sn o - s t o c h 觞t i c ，v o l a t i l i 哆o fs 眦k si sc e r t a i na n dt h ep r i c ep 雠e s so fs t l d c k si s c 彻t i n u o u s 。a l s oi tn e g l e c t st h ed e f a u l tr i s ka n ds t o c h a s t i cl i f e ；al o t0 ff i n 锄c i a ld a t aa n ds t a t i s t i c s s h o wt l l a to n r i s ki n t e r e s tr a t eo f c e nh a v eu n c e r t a i n t e df e a t u r e s ，a d d i n gj u m 叫i f h j s i o no rs t o c h a s t i c v 0 l a t i l i t ym a yi m p r o v et h eb sm o d e lg e t t i n gb e t t e rr e s u l t s b e c a u s et h e r ea r en ot 1 1 i r dp a n y c u r r e n c y o p t i o n sf b r 曲v a t e l yw r i 舵no p t i o n s ，i tw i l le x i s td e f a u l tr i s ks o m eo p t i o n sm a yc o m et 0 粕锄da n d b e c 雒c e l e dp r e m a t u r e l y t h a ti s ，t l l ec o n 眦tm a yh a v eas t o c h a s t i cl i f e i i ld e t a i l ，w ea r eg o i n gt 0m o d e ls o n 圮既a m p l e so f0 u rl i v e s0 nn l eb a s i so fb - sm o d e l ，u s i n g s t o c h 雏t i cc a l c u l u s 也e 嘶e s 觚dm 枷n g a l em e n l o d 。b yc h 0 0 s i n gd i 髓陀n tn u m e r a i r ea n dc o r r e s p o n d _ i n gp r o b a b i l i t ym e 菸u m ，w eh 删它m a i nc t r i b u t i 伽si nn l i sp a p e r 镐f o l l o w s ： 1 w ep d c c l em o f t g a g ei n s u m n c eu n d e rv r a s i c e ki n t e 陀s tr a t e 粕dj u m 叫i 觚s i o nm o d e ll i r s t i n 柚o t l l e rw a y ，w ec o n s i d 盯e s t a b l i s h i n gs 眦h a s 石cv o l a t i l 时觚dv 如i c e l 【i n t e r e s t 豫t e b o t l lw eg e t t h e p r i c i n gf 锄u l a 2 i i lo r d e rt 0g e 舱r a l i z ct h eb l a c k - s c h o l 懿m o d e l ，t h e 他a r et 0w a y s t h ef i r s to 鹏勰s u m e st h e v o l a t i l i t ) rf o l l a w sas t o c h a s t i cp r o c e s s t h eo t i l e ro n ei n 臼0 d u c e sj u m p si n t 0 l er e t u mp r o c e s s s o ，w e c o n s i d e rb o t i le l e m e n t st om o d e le x c h 柚g e0 p t i o n ，u s i n gd i 髓r e n tn u m e m i l l e 锄dc o 仃e s p o n d i n gp r o l 一 b i l i 哆，w eo b t a i ni t sp r i c i n ge 嬲i l y 3 a n o t l l e r 舱wk i n do fo p t i o n - 把l o a d0 p t i o n si si n t d u c e d 1 1 l e 懿p l i c i t 皿c i n gf 0 】n n l u l ao fi t u n d e rj u m p i 肌s i o nm o d e l s 粕ds 眦h 硒6 cl i f ei sg a i n e d 4 an 舭s f o 册0 fu s u a le u r o p e 锄o p t i o i h x p o n e n t i a lo p t i o ni si n 缸甜u c e d w ba s s u m ej u m p _ d i f r u s i o nm 耐l e l s ，s t o c h a s d ci n t e 他s tm t e ( m a y b e ) 柚dd e f a u l tr i s kf o rp r i c i n ge x p o n e n t i a lb ym u l t i p l y i n g 锄i n 伊e d i e n t b y i n gt h ec h 锄g so f 肌m e m i 他觚dc o f r e s p o n d i n gp f o b a b i l 咄w eg e tt h ee x p l i c i tp r i c i n g f b n m i l l a v k e y w o r d sj u m p - d i f h j s i o nm o d e l ； m a i t i n g a l em e t l l o d ；c h a n g c s0 fn u m e r a i r e ， d e f a u l t r i s k ； s t o c h a s t i cl i f e ；v a s i c e km o d e l ： s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ；r e l o a do p t i o n ； e x c h a n g eo p t i o n ； e x p o n e n t i a le u r 叩e 觚o p t i o n ； i n s u m n c e ； 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名 学位论文授权使用声明 日期：q 盘：丝 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并 向国家主管部门或其指定机构送交论文的电予版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的 的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位 日期 导师签名囝垫 1 1问题的提出 第一章前言 金融衍生产品的定价问题以及衍生产品的信用风险控制一赢都是金融数学中的核心问题 之一。期权定价理论的奠基性工作是引a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年做出的，他们根据股价波动符合 几何布朗运动的假定，发表了具有划时代意义的b s 模型，从而在真正意义上涉及到了期权定 价这个前人未曾触及的问题。但是几何布朗运动是连续的随机过程，所以假设股票价格过程是 几何布朗运动就意味着股票价格是时间的连续函数；而且在他们的模型巾假设了无风险利率 以及股票价格的波动率是非随机的，但是实际研究发现，几何布朗运动并不是刻蜮股票价格 过程的理想工具，大量金融数据也表明大景金融统计数据表明b s 模裂与实际情形存在系统偏 差，其中主要的两种不一致现象是：( 1 ) 由b s 馍型确定的无条件报酬分布的峰度过小；( 2 ) 实际 观测到的资产价格分布的两条拖尾曲线都比b s 模型假设的对数正态分布要宽，即存在隐含波 动率”微笑”( i m p l i e dv o l a t i h t y ) 再一步。，现实生活中，无风险利率m ) 并不是常数，或是仅仅为时 间的确定性的函数，而带有更多的不确定性因素；还有很多的金融衍生产品可能在合约到期日 之前就山于利t 利，原冈被取消或终止等等许多的随机的因素影响这些产品的价格。另外许多场 外交易期权在金融机构或机构投资者之问进行交易由于场外期权上不存在像清算公司那样 的第三方担保因此，大多数场外期权实际上都是有违约风险的，在研究衍生产品的定价时有 必要去考虑违约的因素。 已经有很多的人对股票价格波动规律进行了研究。如：【4 】的随机利率模型；k h u tka a s e 的t t o 过程和随机点过程混合模型；c h 锄的l e v y 过程；j a i lk a l l s e n 的指数l e v y 过程；e l l i o t ，r j 柚dj o h nv r 舳d e rh o e k 的分式布朗运动模型；l p e t e rj e 彻e r g i 弓n ，b e r t i ln a s l 呻d 的随机寿命模型， 也有许多文献将上述模型组合考虑，如【3 6 】， 3 8 】等等。 本篇论文在更加实际的问题包括创新期权一幂型支付看涨期权，住房抵押贷款保证险，股 第一章前言2 权激励一再装期权，交换期权的定价问题上对股票价格过程引入跳扩散过程，随机利率模型， 随机寿命，随机波动率，信用风险或是这些因素的组合情况，得到了这些产品的漂亮的定价公 式，使得对这些衍生产品的研究更加贴切实际。 1 2 下面章节常用引理 引理1 设x 一( 0 ，1 ) ，l ，一( 0 ，1 ) ，其中( 0 ，1 ) 表示标准正态分布，且“五y ) = p ，则对任意 的实数口，阢m l ，m 2 成立以下式子 【p 桃坍l ， 慨 】 口l 6 1 = 已p + 矿+ 撕口( 口i ，6 l ，p ) = 口+ 印一m l 2 印+ 6 一m 2 其中： - 棚= 蟊南唧 _ 帮) 批 证明详见【2 8 】 引理2 ( 【3 3 】) 设x 一( 0 ，1 ) y 一( 0 ，1 ) ，其中( o ，1 ) 表示标准正态分布，且“五y ) = p ，则对 任意的实数口6 ，c ，正m l ，m 2 成立以下式子 e p 刎嘶t 口x + 易l ， m z 】 “删一【c 掣等等m c 鼍糍警，】 l 口2 + 易2 + 2 口幼 。 、石2 + 6 2 + 2 日幻 7 j 引理3 ( 广义，纺公式 4 1 】) 设口是连续函数，卢是局部连续鞅，p 是局部鞅测度，y 啄，函 数f ( x ) 是二次连续可微，那么过程j 7 ( f ) = 厂( 鼠f ) ) ，鬏f ) = a ( d + 卢( ot 撕，f ) ，有随机微分 如= d 啊c + d h d 其中 如c = f 嗡，d 曲+ 事”：闪t 飞j f 嗡d + f 嗡，蛹 咖= l 卜+ 谚一阍p 做，幽) + l ( 厂( 瞄+ 力一艄一( v 伯，7 ) ) 丌似，幽) 引理4 【6 】如果过程觑f ，山) 与某一测度p 下的标准布朗运动w ( f ，) 是相互独立的，且 令尬= 磐= 唧l 卢，d 肌“) 一 石鹰幽i 若有式子f 鹰( u ) 如 口sp ，那么有：尬是测 度q 下的鞅，即q ：p 是等价的鞅测度 。 第一孝前言 1 3以下章节模型建立的假设前提 3 1 论文中出现的风险资产的收益率，如设( f ) ，波动率，如设( 厂( 力以及市场上的无风险利 率r ( 力，不管这些变量是时间的确定性函数还是随机变量，均假设： r 础灿 ，r 们出 y m ( 丁) ，即日( 丁) o 均为时问t 的确定函数，且假设这些函数满足使得相关数学定义有 意义及上述随机微分方程有解的必要条件，可以假设z ( f ) ，口日( o 是两个相互独立的一维的标 准b r o w n 运动，( 若两者不独立，由文献【2 6 】可知可以对其做一个变换化成独立的两个b r o w n 运 动) 7 ( 咖鳓为【0 刀( 一l ，) 上对等于一个复合p 0 i s s 册过程，( 如i ) 的时齐泊松随机测 度，a m ( 奶出为认咖，出) 的补偿测度，其中常数a 为p o i s s o n 过程的强度参数，m ( 咖) 为平方可 羞口 以 以 第二孝全融衍生产品在随机模型下的定价6 积得独立同分布随机燹量序夕( u ，) 业1 日q 概翠 ! 1 1 9 度且u 一l ( 古则会出现非正价格) ，此外 设z ( f ) ，b 日( 力，f 以及相互独立，令( 纤) o 塔r 为由p ( r ) 及s ( f ) 产生的满足通常条件的滤 波。 记七= e u l = f 妒( 方) ，e 表示在测度q 下的期望 引理5 随机微分方程( 3 ) ，( 4 ) 的解为 丁，= r a c 。，丁，+ j ：r 献“m c “，丁，d “+ 上7 “h m c “，r ，彪c “， c 5 ， 即，= 脚 r t 州一知础肌争- 删+ r 哪) ) 渤 其中 俐 ，础胁) 晒， 由( 5 1 式以知道。 令 j ：r “r 础= ，r 帆触+ r 出f 地帅，恸+ 上r 出r 嘶肌，r 皿c “， 山此可得： 其中： x = r 出f “m c 巩悯加r 以，【r 劬，叫极雎， y = r 蹦d 。= r r 柳胁+ r 出伽脚肭 = 月k 五p i r c 力一三矿刍c 力一舭，出+ 姜，n t - + ，+ y ) x 堋力， 畦= r 叫r 撕州f 】2 咖 y 一( 。，弓) ， 弓= r 卉( r 渺 f 、， 渺 d 俐 即 7 r 加 第二聿金融衍生产品在随机模型下的定价 7 定理1 若市场无套利，承保期为【0 ，叼，t 时刻的支付为( 1 ) ，无风险利率“t ) 及房产价格h ( t ) 满 足( 3 ) ( 4 ) 的全额担保的保费在0 时刻的价格为 其中： 证明： = e 删( 胛) _ 胡( 丁) ) + 】 = 薹学( 一帅c 伊州峋节腑删 田= 蠼= 砖= 生：! ! 竺二! ! 竺生：! ! ：竺：! ：! ：! ! ：竺! 扛i 生堂坐警筝塑：田一再 一+ 匠 弗+ 以c r 2 = e ”惴( 邶h 阳) ) + 】 = 口e p 唑竽一聊，+ 】 盎口， 耻善学e 岫c 等叫丁扩卜川 为了方便书写，以下将k 圭华， 在已知蜥= 玎的情况下，记 a 垒 竽 即) )l口j = n 等 d + x + y 一三一+ 妻n c + ，一舭丁) = 卜y + 喜m - + 蚴妯嘉一d + 三弓r ) 由第一章假设可知ll n ( 1 + ) 会服从( 1 n ( 1 + 七尸一 咒萨，舻) 矿为常数，是l n ( 1 + ) 的 方差，所以令 z = y + l n ( 1 + ) j = 1 则z ( 1 n ( 1 + 矽一；n c r 2 ，舻+ 嵋) ， 记 砌= l n ( 1 + 矽一寺，1 0 r 2砖= 一+ 司 第二孝全融衍生产品在随机模型下的定价 令 忍：塾，z l ：羔 口z 仃x 由z ( f ) ，曰珂( f ) ，f 以及相互独立性，可得 由引理【2 】，可知 其中 其中 因此 = f = 0 f = o 丁1 行p l r ，l ! a 丁1 “p a r 刀! e ”蝴( k 圳功叫 ( ，i 一，2 ) j l ：研p fr ( 岫足，a 】 = k e 【p 一x + 研x + y + 名li n ( 1 + ) s l n 备一d + 弗+ ，l 7 】 = 扩e p 仆啪一吒驯n 牛，】 ，l - 殷 一一d ( 研) 田= 业半簿芋竺 如= e 卜辑咖砒】 = 妒辑功脚m z 一三弓以丁删仆确一啦汕贮竿竺，】 ：矿 弓一肚r 吖啊e 【p 吒z 2 ，f 一z 。一c r z z j - n 苎丝学 】 = p 一砖卅r + 鳓+ 匠( 噬) =( 1 + 七) ”p 一肚r ( 蠼) 哩：蔓坐竺掣竺竺塑：d ? 一 、一+ 一 = 口薹孚m 圳舳式妣 8 【证毕】 第二孝金融衍生产品在随机模型下的定价 9 定理2 若市场无套利，承保期为 0 ，r 】，t 时刻的支付为( 1 ) ，无风险利率“t ) 及房产价格h ( t ) 满 足( 3 ) ( 4 ) 的部分担保的保费在o 时刻的价格为 = e 似( 邶) 一础嗍胛) 半 】 + e p f 一嗡心丁) 州( d 半 + e p r 懈，肘( 7 ) 胆( 7 ) q _ = 2 幽 l ( 丁) ：n 1 l口 lj 如= 哪胁y 胛川艄 半) 一 - n 学+ 三司+ 服卜d x + z 妯等l口，、a 仃z 7 口h 陋， o 时，有 其中 胁溉垆兀曲f 叫r y 害唰一盟秽胁卜 兀力= 8 3 j r 2 厕。1 唧( 气茅) - 甲( 们= 州鲁胁蛐) p 砸一苗) 此外，显然有b ( 工；口 易) = 0 ( 石0 ) 由这个引理可知：m 的概率密度函数为p r ( 工；p ，2 力 第二聿金融衍生产品在随机模型下的定份 1 4 定理3 若市场无套利，承保期为【0 ，t 】，t 时刻的支付为( 1 ) ，短期险利率r ( t ) 及房产价格h ( t ) 满足 方程组( 7 ) 的全额担保的保费在0 时刻的价格为 ，= e q 蝴( 郴) _ 口胛) ) + 】 证明： d l 2 晚= j ”( 岬讲棚础( o ) ) ) 胁胁 尘竺三! 二坚竺竺型塾堡：生二2 厮 ! ! 竺三! 二! ! ! ! 竺业：塾堡二2 厮 = e q 哪惭( 丁h 肿) ) + 】 ：口俨p j c r 撇( 塑一日( 丁) ) + 1 l口j ：唯j c r ，( 眦挈“掣冽计眯j c r 惴删i 型猁驯1 t口口jl口 j = ，l 一尼 ( 等洲丁) ) 一卜y 妯器一。+ 主吲 = 酬p 一一籼型“型( 丁) l l l口口j = 庐p 。竽删+ n 罴一d + 三m 圳 = 竽p d e q p m n 揣一d + 三m 剜 = 竽p 加俨阱1 m n 器一。+ 三m 帅蹴哪圳) = 竽p 加r ”俨m 妯揣一驯胚一怕肛撕 由b ( d ，霸( d 之间的相互独立性以及引理【2 】： 竽p 加j 。庐m 妯揣一捌她肛撕 口 j 0 l 口t l u j z。j 。 等水加j 呐；n 刎方 其中： 。 l n m ( 丁) 一l n ( a 日( o ) ) + ) ，瑶+ 一一d d 1 = 二_ 二二；兰三= = 兰二上l 一+ y 瑶 第二章金融衍生产品在髓杌模型下的定价 1 5 一的表达式见上一节 如：e q p j c r ，( 触日( 丁) 以竺旦日( 丁) 1 = 即舻p 嘞m 蚓n 耥一d + 三肘刮 = 即俨州扩删+ y 妯器一d + 三m 瑶 岫眈o “圳) = 即，r ”叩- y 锄x 一n 器一。+ 细陋n 圳帅；肿嘞 ，+ = 瞰o ) f ( 以) 尸7 ( ) ，；肛缸胁 j o 其中： ， l nj i i 彳( 丁) 一1 n ( ( r 日f o ) ) 一y 瑶一d 口22 = = = = = = ：_ 一 一+ y 瑶 f 证毕1 定理4 若市场无套利，承保期为【0 ，t 】，t 时刻的支付为( 2 ) ，无风险利率“t ) 及房产价格h ( t ) 满足 方程组( 7 ) 的部分担保的保费在0 时刻的价格为 j p ：e q p r ，( ，肪( 肘( 7 ) 一口日( 丁) ) + “日( r ) q 二! 塑! ! 旦 1 + e q k r ，( f ) 出y 肘( 丁) ，1 日( 丁) 半 + e q pj c r 惴7 m ( 丁朋( 丁) + 俨p f 椭y m ( r ) 胆( r ) p ( 酬肥雎如】) = 卿户f ”咋m n 与裟产 = 肘( 丁弦- dj俨p x 耶n 尘二缫掣 j o l u j l u ， l 邢( n o h r ) k ( ) ，；a 刎方 脚矿。厂” j o俨p i l n g + 争瑶) 】p r ( y ；d 2 神咖 一y ) m ( 丁) 口日( o ) ( 1 7 ) 肘( 丁) 一。+ 争瑶 y y + + x x ，_jti，l-i 一 一 茸 1_i-j 第二章金融衍生产品在随机模型下的定份 由引理【2 】 z 4 = = = 如= 肘( 丁) 已一 一一df( ( 如) 一( 幽) ) p 丁( ) ，；，) ，2 矿) 咖 ，一砖- 1 n 帮+ d 一；) ，瑶 一+ y 瑶 ，一一一l n 耥+ d 一 y 瑶 一十) ，瑶 e q f p f d r 妙7 m ( 即以日( 丁) q 二2 竺! 丛旦 l 口 ，m c 丁，p 一。e q e q 【p x 以x + y n 等 y 胛矿。r 咋m ! ! 二= _ 等丝盟 = 删叫一咖n 等一。+ 三删 x 佻- n 耥一。+ 三m 叫 = 胡( 邮q p p 扣蜘l n 矿( b ( “) ，o “7 ) 】) = 口日c 。，j ：7 e 口 p y - ；j l f 咯，t ，n 訾一。+ 三m 瑶 x + 蚓n 器一。+ 三m 瑶，l 紫一。+ 三肘瑶 一1 ，巧 一l 。设口= 片川( 勘，6 = c 川( 方) 不 失一般性，假设卅，砰，岛，f ，叻巧是相互独立，令巧为由s ；及s ；产生的满足通常条件的 滤波，假设市场上的无风险利率r 为常数。 令 j 岍等p 卜丫嘏一碡d t 其中： m = ( 箫，箭，等) 7 d 嘶= ( d 叫，d 孵，嘏) = ( d 叫，d 砰，鸸) + 竹出 由于波动率不是可交易资产，因此这里的市场是不完备的，因而等价鞅测度以及相应的价 格过程是不唯一的，也就是说我们不可能得到与投资者风险态度无关的唯一定价。然而，由期 权定价理论公平的价格一定会等于某个等价鞅测度所确定的风险中性价格。对于这类不完备 市场中的定价问题，是数理金融中的一个热点问题，已经有许多不同的研究方法，例如：( 1 ) 在 某个特殊鞅测度下得到一些特定的定价公式【5 】；( 2 ) 在局部风险最小准则下讨论局部风险最小 策略或在全局风险最小准则下研究均值方差最优策略。 引理7 e 【所】= l ，e 【】表示在测度p 下的期望值，因此过程m 为p 鞅 第二聿金融衍生产品在随机模型下的定价 2 0 注意到由上面引理 6 】可知： e 旧三r 伽，】 是发散的，所以不能直接运用”n o v i k o v ”条件的方法去证明e 【坼】= 1 ，从而证明过程m 在p 下 是鞅。请参见引理【4 】，具体证明过程见文献【6 】的第六章第二节例题4 。 有了以上两个引理，由g i r s a n o v 定理可知，叫，孵，岛均为鞅测度q 下的标准布朗运动，且 它们之间与f ，u ，y ，也是相互独立的。由文献【3 8 】可知此时市场上的可交易的资产的价值过 程锄的折现过程鲁均为q 下的鞅。 由上，方程组( 8 ) 在测度q 下变成了： 豳l ( f ) s l ( f 一) d s 2 ( r ) 5 2 ( 卜) d k h = r d f + 矿l 蹦叫+ r 畎，( 咖，鳓一砌( 咖) = 肋+ 矿z 巧d 孵+ j ：础( 出，们一矧出) 奶 = 疗+ 硎b ( f ) 交换期权在t 时刻的未定权益为 x = ( s 2 ( r ) 一s l ( 丁) ) + 所以其期权在o 时刻的价值为 令 因此 胛，的= 庐【扩”) ( 蹦r ) 一剐聊+ 】 = 砷毗刚项船- 1 ) + 】 = 蹦叫高c 船叫 z ( 力= 船 d 矿-s l ( r ) d q口( 丁) si ( 0 ) h 0 ，册：s l ( 0 ) e 矿1 【( z ( r ) 一1 ) + 】 其中e 矿1 【】为在测度矿- 下的期望值；由文献【3 6 】可知，此时市场上的可交易的资产的 价值过程嘶的折现过程晶均为矿- 下的鞅且由g i r s o n o v 定理有 ( d 研，d 砰，扭( f ) ) = ( d 叫，d 孵，删f ) ) 一p l k ，o ，o ) 出 第二章全融衍生产品在随杌模型下的定份2 l 为矿- 下的标准布朗运动，令 口= r 册b = 删 泊松过程f 在矿- 中的强度参数为t = a ( 1 + 口) ，在矿t 中的概率测度变为舻- ( 方) = 坐害磐，万( 匆，妣奶在- 中的补偿测度为盖( 1 十岁砌( 毋) 碍，见文献 3 6 】。 根据叻，吻的定义，通过计算可以发现z f 在t 时刻的跳跃度乃= 誓鲁，于是令z = 篝，且 c 皇刚= c c 拼t ( 呦q ( 批= 瓮j lj l l 十口 令顽匆，妣出) 为 o ，刃( 一l ，o o ) ( 一l 。) 上对等于二维复合p o i s s o n 过程( 魁，( 砚，巧糯i ) 的 时齐泊松随机测度，注意剑泊松过程的跳罱为二维独立同分布的序列( 叻，吩) 业1 ，且7 r ( 方，出，哟 的补偿测度为砌l ( 方) q ( 出 由广义，d 公式【4 1 1 可得 俐= d 船= ( 一鬻，南) c 趴跏r + ( 一器，杰) c 跏t 蚱砚溉聊咿 + 器s 2 ( f 喇出+ r 【c 鬻嵩一湍m 删 一r j = ：o ( 一端，志p - c 帆s z c r 瑚7 枷似顾啪出 = z ( f ) b 蹦孵一矿- 蹦叫+ 一砰出+ r 焉【丌( 方，氓鳓一硼+ 咖( 匆均协删) = z ( r ) 仁即群一矿- 蹦研+ r r 幂瞰方，砒奶一。椰+ 蜘( 圳甙出渺】) 令 痂：! 型墼型里 砰+ 畦 则可知：厩是矿- 下的标准布朗运动 极力= z ( h ( 厢k 4 藏+ j 二二or z 蚴，妣幽一l 舻1 协) 留汹油】) 引理8 若 l n ( 1 + 蚴一般l n ( 1 + 口) 一三吒，吒) l n ( 1 + 吩) 一拟l n ( 1 + 功一三吗，吻) 则：l n ( 1 + 乃) = l i l ( 1 + 磁) 服从( 1 n ( 甓) 一；( 吗一吒) 吻一吒) ，哟均为常数 第二聿金融衍生产品在随机模型下的定份 由上面的引理，记吗= 吃一吒，则l n ( 1 + 乃) 一( 1 n ( 惜) 一 弓， 由半鞅指数公式，可以得到勿的解为： 一帅r 研哟枷r 厢蹦r 曹邮蝴】 定理5 股价服从随机微分方程( 8 ) t 时刻未定权益为x 的具有跳一扩散过程和随机波动率下的 交换期权在0 时刻的价格以0 ，x ) 为 y ( 0 ，的= s l ( 0 ) e 驴1 ( z ( 丁) 一1 ) + 】 ：妻之! 当等幽r ( 研) p r d 射) 出 =， 一-，vi，!了尸下irf)，rldr 急 ，l ! j o _ 7 一。1 ” 疗= u 一 一薹竺学j 唧m 积2 地名 n ! 山一”1 。”一 其中 砰：塑蔓竺! 颦竺竺竺竺兰! ! 坚竺堂! ( 矿；+ 哇) y ( o ) 2 工+ 嵋 霹：i ! 二堕二堕竺! 二堑窒竺些兰竺二竺二竺坚：坐堂! ( 一十一) y ( o ) 2 工+ 嵋 = 研一扣互丽丽 p = 2 r c r 2 证踞由于 以下分别求解，l ，恐 以o 的 龟 = s 1 ( o ) g 矿1 【( z ( r ) 一1 ) + 】 =s 1 ( 0 ) ( ，1 一，1 ) = e 矿 z ( 丁) ， z ( 了 ) 之1 j 】 = e 矿1 f 血硪砸i 1 e 矿1 【z 础惭圳】 = e p j c r 蝴( s r 一剐s n 娜惭x 】 如= e 卜一j c r 枷蹦m 。础惭x 】 z 4 = e pj c r 岫叫惭x l 】 = e 卜驴删y ( 矾) 】 中佃 ， 如 广 其- 第二孝金融衍生产品在随机模型下的定价2 8 根据式( 1 1 ) e p 惴警郴p 郴丁。，】 扣t 一卜m 和一扣出+ r h 。磬”叫 薹薹堂掣* 唰一i n 蝴+ 小舭一知胁+ r 一+ ；磬，k 啪吨= 疗】) 在已知蜥。= 肌，坼一坼= n 的条件下，由式( 11 ) 可得： h 对一蚺州一知胁+ 上n 删删力+ 和堋川n c 渤 一 r 删踯，+ 和t 柚川n c 争小垆舭一知渺) k 乩) 一 r c “力一舭一三一t 力渺+ r 以力坝力+ 薹。- 邮蚀p 。) 一( j = “+ ，h + f = 研+ l呲t 柚p r c 协肚一眦) y 皇f 1 似力+ z 叁t 州