（计算数学专业论文）有限群子群的正规性及其对偶.pdf

摘要 长期以来，研究子群的某种正规性与有限群的结构的关系一直是有限群论 重要的课题之一人们不仅给出了各种各样的广义正规性的概念，而且获得了 大量的研究成果，为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用在这些众多 的广义正规性的概念中，o - 正规与覆盖远离性的研究非常活跃然而这两个重 要概念之间并没有必然联系最近，樊恽，郭秀云与k p s h u m 等人提出了所谓 的半覆盖远离性的概念他们的研究表明半覆盖远离性既涵盖了覆盖远离性， 也涵盖了o - 正规性，从而半覆盖远离性是这两个概念的统一推广本文前面一 部分继续这方面的工作，研究某些子群的半覆盖远离性与有限群结构的关系 一方面，我们研究了极大子群、釜极大子群的半覆盖远离性与群的可解性之间 的相互作用关系，得出一系列有限群可解的充要条件这些工作的新颖之处就 是从各个不同角度，极力用尽可能少的极大子群来刻划有限群的可解性许多 已知的结果被推广另一方面，我们研究了s y l o w - 子群的某些特殊子群的半覆 盖远离性对有限群结构的影响，给出了一些有限群为p 幂零和超可解的充分条 件部分结果被推广到群系上去 作为上述思想的对偶，我们还尝试研究了幂自同构群对有限群结构的影响 研究群的自同构群与群的结构的关系是十分重要但又非常困难的同题而研究 幂自同构群对群结构的影响目前国内外还不多见我们首先对群的n o r m 进行 了细致深入的研究，为进一步的工作奠定了基础所谓群g 的n o r mn ( g ) 是 g 中诱导g 的幂自同构的全体元素构成的g 的一个特征子群第四章运用 n o r m 推广了著名的i t 6 和b u r n s i d e 关于p 幂零的定理第五章则以群作用为 工具，克服了p - 群分类的困难，给出了几类具有较大阶的幂自同构群的有限群 的分类为此，我们首先对不同的素数p ，q ，确定了满足条件i g ：( g ) i = p 或卿的有限群的结构然后在此基础上综合运用多方面的知识，进一步给出了 满足条件i a u t ( g ) ：p a u t ( a ) l = 1 ，p 或p c l 的有限群的完全分类，其中a u t ( g ) 是群g 的自同构群，p a u t ( g ) 是g 的幂自同构群，p ，q 仍是不同的素数特 别地，我们证明了若群g 满足i a u t ( g ) ：p a u t ( g ) l = p q ，p ，q 是不同的素数， i 则a u t ( o ) p a u t ( g ) = 岛这一饶有趣味的结果作为本文的重要组成部分。第 六章应用所获得的有关n o r m 的性质，通过换位子的运算技巧。确定了一类较 d e d e k i n d 群类更广泛的群一 r - 群类的结构称群g 是- 群，若对任意 的z g ，总有( z ) 塑g 或z ( g ) 研究群是基于以下考虑，一方面， 群g 是d e d e k i n d 群当且仅当对任意的z g 。有( z ) gg ；另一方面，g 是 d e d e k i n d 群当且仅当对任意的z g ，有( g ) 但是有例子表明( z ) 璺g 与z n ( g ) 无必然联系，因此研究 r - 群就有更广泛的意义我们的研究结果 表明d e d e k i n d 群类是- 群类的真子类 关键词，正规子群；半覆盖远离子群；极大子群；n o r m ；幂自同构 a b s t r a c t t h e r eh a sb e e nm u c hi n t e r e s ti ni n v e s t i g a t i n gt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns p e - c i a ln o r m a l i t yo f s u b g r o u p sa n dt h es t m c t u r e so f f i n i t eg r o u p si nt h ep a s td e c a d e s n o to n l yh a v em a n yk i n d so fc o n c e p t so fg e n e r a l i z e dn o r m a l i t yb e e ng i v e n ，b u t a l s oa l a r g ea m o u n to fr e s e a r c h5 - u i ti sg a i n e d t h i ss t r o n g l yd r i v e st h ed e v e b o p m e n to ft h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p s a m o n gt h e s ee o n c e p t 8 ，e - n o r m a j i t ya n d c o v e r - a v o i d a n c ep r o p e r t ya t t r a c tm o r ea t t e n t i o n ，a n dt h er e s e a r c ha b o u tt h e mi s b e i n gd e e p e n e d h o w e v e r ，t h e s et w oi m p o r t a n te o n c e p t sh a v en oc e r t a i nc o n u e c - t i o n r e c e n t l y , f a n ，g u oa n ds h u mi n t r o d u c et h ec o n c e p to fs e m ic o v e r - a v o i d i n g p r o p e r t y t h e i rr e s e a r c hs h o w st h a tt h es e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yc o v e r sb o t h c o v e r - a v o i d a n c ep r o p e r t ya n dc - n o r m a l i t y , a n ds oi ti sau n i f i e dg e n e r a l i z a t i o no f c o v e r - a v o i d a n c ep r o p e r t ya n dc - n o r m a l i t y i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，w ec o n - t i n u et os t u d yt h ef i n i t eg r o u p sw i t hs o m es u b g r o u p sh a v i n gs e m ic o v e r - a v o i d i n g p r o p e r t y m a n ys u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra f i n i t eg r o u pt ob es o v - a b l ea r eg i v e n ，w h i c hg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s m o r e o v e r ，s e v e r a ls u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o raf i n i t eg r o u pt ob ep - n i l p o t e n to rs u p e r s o l v a b l ea r eo b t a i n e d ，s o m e o fw h i c ha r ee x t e n d e dt of o r m a t i o n a sad u a lo ft h ea b o v ei d e a ，w et r yt os t u d yt h ei n f l u e n c eo fp o w e ra u t o - m o r p h i s mg r o u p s0 1 1t h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s f i r s t ，w ei n v e s t i g a t et h e p r o p e r t i e so ft h en o r l no fag r o u p ，w h i c ha r en e c e s s a r yf o ro u rs u b s e q u e n tw o r k t 1 1 en o r l nn ( g 1o fag r o u pgi sac h a r a c t e r i s t i cs u b g r o u po fgc o n s i s t i n go f d e m e n t sw h i c hi n d u c ep o w e ra u t o m o r p h i s m so ng t h e n ，i nc h a p t e r4 ，w eg e n - e r a l i z et h ef a m o u si t 5t h e o r e ma n db u r n s i d et h e o r e ma b o u tp n i l p o t e n c e i n c h a p t e r5 ，w ec l a s s i f ys e v e r a lc l a s s e so ff i n i t eg r o u p sw h o s ep o w e ra u t o m o r p h i s m g r o u p sa r eo fl a r g eo r d e r f o rt h i sp u r p o s e , t h es t n l c t u r eo faf i n i t eg r o u pg w i t hl g ：( g ) i2 p o rp qi sd e t e r m i n e d o nt h eb a s i so ft h a t ，af i n i t eg r o u p gs a t i s f y i n gi a u t ( g ) ：p a u t ( a ) l = 1 ，po rp c li ss u c c e s s f u l l yc l a s s i f i e d ，w h e r ep ，口 i l i a r ed i s t i n c tp r i m e s ，a u t ( g ) i st h ea u t o m o r p h i s mg r o u po fga n dp a u t ( g ) i st h e p o w e ra u t o m o r p h i s mg r o u po fg f i n a l l y , i nc h a p t e r6 w ed e t e r m i n et h es t m c - t u r e so fs o - c a l l e dn - g r o u p s ag r o u pgi sc a l l e dan - g r o u pi ff o ra n yz g e i t h e r ( z ) 璺go ro ，( g ) t h er e a s o nw h yw ei n v e s t i g a t en - g r o u p si st h a t ： o no n e h a n d ，ag r o u p g i s d e d e k i n d i f a n do n l y i f ( z ) 旦g f o r a n yz g ；o n t h e o t h e rh a n d ，ag r o u pgi sd e d e k i n di fa n do n l yi fz n ( g ) f o ra n yz g b u t t h e r ea r ee x a m p l e ss h o w i n gt h a t ( z ) 塑ga n d $ n ( g ) h a v en or e l a t i o nb e t w e e n t h c m s oo t t ri n v e s t i g a t i o nh a sm o r eg e n e r a lm e a n i n g t h er e s u l ts h o w st h a tt h e c l a s so fn - g r o u p sp r o p e r l yc o n t a i n st h ec l a s so fd e d e k i n dg r o u p s k e y w o r d s ：n o r m a ls u b g r o u p ；s e m ic o v e r - a v o i d i n gs u b g r o u p ；m a x i m a ls u b - g r o u p ；n o r m ；p o w e ra u t o m o r p h i s m i v 符号表 i g i 群g 的阶 7 r ( g ) 群g 的阶的所有素因子 e x p ( g ) 群g 的方指数，即g 中所有元素的阶的最小公倍数 口( z ) 元素z 的阶 陆，胡元素z ，y 的换位子x - l y _ 1 x y 忙，y ，2 j 【z ，胡，卅 ( z ) 元素z 生成的循环群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 【x ，y 】( 扛，胡i $ x ，y l ，) h g 日是群g 的子群 日 g 是群g 的真子群 日里g 日是群g 的正规子群 hc h a rg 日是群g 的特征子群 h 皇g 群同构于群g 日s g 日同构于群g 的一个子群 l g ：h f 子群日在群g 中的指数 b ( 日) 日在g 中的正规化子 v a ( h ) 日在g 中的中心化子 c o r e g ( h ) 子群日在群g 中的核 s y l p ( g ) 群g 的所有s y l a w p - 子群的集合 g ，：群g 的导群 z ( a 1 群g 的中心 磊( g ) 群g 的上中心列的第i 项 n ( c 1 群g 的n o r m f ( g 1 群g 的f i t t i n g 子群 圣( g ) 群g 的f r a t t i n i 子群 v i i 0 ，( g ) 群g 的最大的正规p 子群 o p ( g ) 群g 中所有矿元生成的子群 0 分( g ) 群g 的最大的正规- 子群 d 咖( g ) 群g 的最大的正规p 幂零子群 q ( 尸) p 群p 中所有阶不超过p 的元生成的子群 j ( p ) p 群p 的t h o m p s o n 子拜 a u t ( g 1 群g 的自同构群 p a u t ( g 1 群g 的幂自同构群 i n n ( g 1 群g 的内自同构群 晶，以。n 次对称群，竹次交代群 q 2 l 2 n 阶广义四元数群 d 2 ，i 2 札阶二面体群 已p n 阶初等交换p 群 m 阶循环群 a b 群a 与群b 的直积 a ) 口b 或bka 正规子群a 与子群b 的半直积 a b z iz a 但z g b ( m ，n ) 。自然数m 和他的最大公因子 五 gj g 是f r o b e n i u s 群，其核是矿阶初等交换群， 补是素数阶循环群 ，其中p 是某个固定的素数 ，u 乃，其中p 是全体素数的集 v i i i 原创性声明 本人声明t 所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 签名i 三j 爱本1 本论文使用授权说明 日期：知咿j - 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，l l p , 学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇粥籼一轹计重妒： 爻矿 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 第一章引言 1 本文主要研究子群的正规性及其对偶对有限群结构的影响 在有限群理论的研究中。子群的正规性对群结构有很大的影响如每个子 群都正规的有限群即d e d e k i n d 群，只能是交换群或一个没有4 阶元的交换群 与一个8 阶四元数群的直积而著名的s h u r - z a s s e n h a u s 定理则断言，若有限 群g 有一个正规的h a l l 子群，则在g 中有补群，且所有补群彼此共轭 正规子群有许多良好的性质如若是群g 的正规子群，则对g 的任意子群 k ，恒有k = k ，knn 里k 这些性质被人们从不同角度进行了各种各 样的推广，如拟正规，伊正规，覆盖远离性等我们统称为广义正规性子群 的广义正规性与群结构的关系。已成为有限群理论重要的研究领域这方面的 研究成果颇为丰富最近，樊恽、郭秀云等人引入了子群的半覆盖远离性( s e m i c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y ) 的概念【3 4 | 他们的研究表明。半覆盖远离性既涵盖了 覆盖远离性，又涵盖了伊正规性，因而是二者统一的推广i 同时半覆盖远离性 在刻划有限群的可解性和超可解性方面非常适宜和有效关于子群的半覆盖远 离性与群结构的关系，郭秀云做了很多研究工作，半覆盖远离性的特别之处被 体现出来( 见【3 4 】， 3 7 1 ，p g ，【4 0 】) 本文继续这方面的工作，进一步研究子群 的半覆盖远离性对群结构的影响许多前人的结果被推广 作为上述思想的对偶，本文还将尝试研究幂自同构群对有限群结构的影 响研究群的自同构群与群的结构的关系是十分重要但又非常困难的问题如 t h o m p s o n 关于素数阶无不动点自同构的著名定理就说明了这一点【8 0 】关于 幂自同构群对群结构影响的研究，目前国内外还不多见本文试图有所作为 这导致了我们对群的n o r m 的研究群g 的n o r m ( g ) 是g 中诱导g 的幂 自同构的全体元素组成的g 的特征子群显然n ( g ) 非空且z ( g ) ( g ) 研究n o r m 的性质以及n o r m 对群结构的影响是本文所必需的，这将为我们进 一步研究幂自同构群对群结构的影响打下基础我们运用n o r m 推广了i t 硼 b u r n s i d e 关于p 幂零的著名定理，同时给出了几类具有较大阶的幂自同构群的 有限群的分类一类较d e d e k i n d 群类更广泛的群的结构也被确定 2有限群子群的正规性及其对偶 下面我们简述本文工作的研究背景及获得的研究成果除去特别指明的地 方外，文中所述的群均指有限群 1 1 广义正规性与群结构 确定有限群的性质和结构是有限群论的核心任务而子群的某种正规性对 群本身的影响长期以来一直是群论工作者重要的研究课题众所周知，单群除 去平凡正规子群外。没有别的正规子群有限单群的分类经过群论工作者长达 1 5 0 年的努力，已于上个世纪八十年代完成( 见f 4 1 】) 人们最终证明，有限单群 共有十八个无限族和二十六个零散单群与单群相对的另一个极端是群g 的每 个子群都是正规子群这样的群称为d e d e k i n d 群，非交换的d e d e k i n d 群称为 h a m i l t o n 群1 8 9 7 年，d e d e k i n df 2 0 】给出了有限d e d e k i n d 群的完全分类那 么对于一个一般的群，研究某些子群的某种正规性与群结构的相互作用关系就 显得很有意义人们在这方面取得了极为丰富的成果 首先，如下事实是人们所熟知的， 定理1 1 1 群g 是幂零群当且仅当g 的每个极大子群是正规子群 定理1 1 2 【4 6 】( h u p p e r t ) 群g 是超可解群当且仅当g 的每个极大子群 具有素数指数 对于可解群，则有如下的定理一 定理1 1 3 若g 是可解群，则g 的每个极大子群具有素数幂指数 然而，定理1 1 3 的逆不成立，如考虑群p s l ( 2 ，7 ) 对比定理1 1 1 和定理 1 1 2 ，人们自然希望对可解群有一个类似的刻划这实际上是寻求可解群的极 大子群所具有的本质特征这种本质必然是正规性的推广1 9 5 9 年，d e s k i n s 引 入了正规指数的概念( 见【2 l 】) 定义1 1 1 设m 是群g 的极大子群若g 的主因子h k 满足k m 但h gm ，则称h k 的阶为m 的正规据数，记作7 ( g ：m ) 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 3 d e s k i n s 证明，上述定义中极大子群m 的正规指数f 7 ( g ：m ) 是由射唯一 t 确定的，与主因子h k 的选取无关( 见1 2 1 】或【9 2 ，i v ，5 6 1 ) d e a n n a 在文1 2 l 】 中证明了下述定理； 定理1 1 4 【2 1 】群g 是可解群当且仅当g 的每个极大子群具有素数幂 的正规指数 定理1 1 - 5 2 1 】若群g 有一个可解的极大子群m ，使得卵( g ：m ) 是一 个素数的幂，则g 可解 定理i i 4 说明，用极大子群的正规指数来刻划可解群是合适的但正规指 数的缺陷是只能对极大子群定义，对一般的子群就失去意义了如取g = 山z 2 是4 次交代群a 与2 阶群历的直积令l 是凡中的个2 阶子群，尸是a 4 的 s y l o w 2 - 子群显然p 与z 2 均是g 的极小正规子群，且均满足p 盛l ，而茹l 但是l p l i 邑i 为克服正规指数的这一局限性，1 9 9 6 年，王燕鸣【8 7 1 引入了 。争正规子群”的概念 定义1 1 2 设g 是群，日是g 的子群若存在g 的正规子群，使得 g = h n ，hn n c o r e a ( h ) ，则称h 是g 的c 。正规子群 定义1 1 2 中，条件“日n n c o r e a ( h ) ”等价于。日n n 塑g ”同时也容 易看出，正规子群是争正规子群但反之不然例如取g = 岛，令日是g 的 s y l o w2 - 子群那么日是g 的伊正规子群，但不是g 的正规子群因此“c - 正规”是。正规”概念的真推广 利用c 正规的概念，文【8 7 】证明了下述结果t 定理1 1 。61 8 7 】群g 是可解群当且仅当g 的每个极大子群是c - 正规的 定理1 1 7 【8 7 】若群g 有一个可解的极大予拜m ，使得m 是g 的c - 正规子群。则g 可解 定理1 1 8 【8 7 】若群g 的每个s 可l o w 子群的极大子群是g 的c - 正规子 群，则g 超可解 定理1 1 9 【8 7 】若群g 的每个极小子群与4 阶循环子群是g 的c 一正规 子群，只l lg 超可解 4有限群子群的正规性及其对偶 定理1 1 6 和定理1 1 7 平行于定理1 1 4 和定理1 1 5 ，因此用。o 正规”替 代。正规指数”是恰当的此处让我们回忆一下s r i n i v a s a n 和b u c k l y 在历史上 取得的两个重要成果 定理1 1 1 0 【7 9 】( s r i n i v a s a n ) 若群g 的每个8 y t o w 予群的极大子群是 g 的正规子群，则g 超可解 定理1 1 1 1 【1 5 1 ( b u c k l y ) 设g 是奇数阶群若g 的每个极小子群是g 的正规予群，则g 是超可解的 显然，定理1 1 8 和定理1 1 9 分别推广了定理1 1 1 0 和定理1 1 1 1 这说 明。c - 正规”较。正规指数”更具优越性争正规的概念提出后，许多作者研究 了子群的c 正规性与群结构的关系，如见文献1 5 0 】，【5 1 l ， s 3 1 ，i s 4 、f 8 9 1 等 但是c - 正规也有其不足之处我们知遘，幂零群还可通过其s y l o w 子群的正规 性来刻划，即 定理i i 1 2 群g 是幂零群当且仅当g 的每个8 y l o w 子群是正规子群 但可解群却不能由s y l o w 子群的c 正规性来刻划关于这一点。我们通过引入 “几乎正规”的概念来说明 定义i i 3 【9 8 】设g 是群，日是g 的子群若存在g 的正规子群。 使得日与日n 均是g 的正规子群，则称日是g 的几乎正规子群 由争正规的定义可以看出。o - 正规子群必是几乎正规子群但反过来不成 立如取g = s 4 是4 次对称群。日是g 的s y l o w 3 - 子群取是g 中的4 阶 正规子群则灯= a 4 璺g ，hnn = l 璺g 那么是g 的几乎正规子群 但h 不是g 的c - 正规子群这是因为1 n a 4 & = g 是g 的仅有的 一个主群列因此满足条件日= g 的正规子群k 只能是g 但日n g = 日 不是g 的正规子群 应用几乎正规的概念同样可给出可解群类似于定理i i 6 和定理1 1 7 的刻 划，但。几乎正规。却不能用来给出可解群一个类似定理1 1 1 2 的刻划这是 因为若群g 的s y l o w p - 子群p 是几乎正规的，则存在g 的正规子群_ 】、r ，使得 p n 与p n 均是g 的正规子群那么正规群列1 p f ln n p n g 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 5 就是g 的一个p 矿列这意味着g 的p 长最多为2 但p 长大于2 的可解群 大大存在这也同时说明。d 正规”也不能用来给出可解群一个类似定理1 1 1 2 的刻划于是自然提出一个问题，可解群能否通过子群别的特征性质来刻划? 答案是肯定的其中关于子群的覆盖远离性的研究较为成功 设g 是群若m 和是g 的满足m 的正规子群，则称m n 是g 的正规因子设l 是g 的个子群。m n 是g 的个正规因子若l 肘= l n ， 则称l 覆盖( c o v e r ) m n 若l n m = l nn ，则称三远离( a v o i d ) m n 定义1 1 4 设l 是群g 的予群若l 覆盖或远离g 的每个主因子，则称 工是g 的具有覆盖远离性质( c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y ) 的子群 子群的覆盖远离性质最初是由g a s c h i i t z 提出的1 9 6 2 年，g a s c h i i t zf 3 1 】在 他的研究中，将可解群中彼此共轭的一类特殊子群称为p r e - f r a t t i n i 子群p r e - f r a t t i n i 子群既远离可解群可补的主因子，同时覆盖其他的主因子因此g a s c h i i t z 所谓的p r e - f r a t t i n i 子群就是具有覆盖远离性的子群白那时起，许多作者致力 于寻找可解群具有覆盖远离性质的子群或者研究具有覆盖远离性质的子群本身 的性质( 例如见【1 6 、【3 2 】，【6 8 1 ，| 7 7 】，【8 1 】等) 事实上，容易证明可解群的每 个极大子群具有覆盖远离性质p h a l l 曾证明了如下著名的定理t 定理1 1 1 3 【7 5 ，9 2 6 】设是可解群g 的系正规化子，则覆盖g 的每个中心主因子。远离g 的每个非中心主因子 因此可解群的系正规化子是g 的具有覆盖远离性质的子群 1 9 9 3 年，e z q u e r r o 证明了如下定理 定理1 1 1 4 【2 6 】若群g 的每个s 讲。删子群的极大子群具有覆盖远离性 质。则g 超可解 由于正规子群具有覆盖远离性质，因此定理1 1 1 4 是定理1 1 1 0 的推 广e z q u e r r o 的结果激发了人们关于子群的覆盖远离性对群结构影响的研究 郭秀云在这方面做了很多工作例如在【3 7 】中他证明了下述结论。 定理1 1 1 5 3 7 1 群g 是可解的当且仅当g 的每个极大子群具有覆盖远 离性质 6有限群子群的正规性及其对偶 定理1 1 1 6 【3 r 群g 是可解的当且仅当g 的每个s v l o w 子群具有覆盖 远离性质 定理1 1 1 7 【3 7 1 群g 是可解的当且仅当g 有一个可解的极大子群m ， 使得m 在g 中具有覆盖远离性质 定理1 1 1 8f 3 7 3 群g 是可解的当且仅当g 有一个可解的2 - 极大子群 l 。使得l 在g 中具有覆盖远离性质 解 定理1 1 1 9 【3 r 若群g 的每个2 - 极大予群具有覆盖远离性质，则g 可 定理1 1 2 0 【3 7 设g 是a 4 - 加e 群。p 是i gj 的最小素因子若g 的每 个s y l o w p 一子群的2 - 桩大子群是g 的具有覆盖远离性质的子群，则g 是p - 幂零 将定理1 1 1 5 、定理1 1 1 6 、定理1 1 1 4 与定理1 1 1 、定理1 1 1 2 以及定理 1 1 1 0 比较，可以看出，覆盖远离性较c - 正规更适合来刻划群的可解性但二 者之间并无必然联系 例1 1 1 【3 4 1 ( c 一正规但非覆盖远离) 设a 4 是4 次交代群，磊= ( c ) 是 2 阶群令g = a 4 历又设k 4 = ( a ，6 ) 是a 4 中的4 阶正规子群，其中口，b 是配的两个2 阶生成元令h = ( n c ) ，那么日是2 一阶群显见日n a 4 = l ， 从而g = h a 4 所以日是g 的c 一正规子群现考虑g 的主因子拖磊易容 易看出h 彩= 口，c ) 日( 配z 2 ) = 凰z 2 ，且日n 甄历= h h n 磊= 1 因 此日不是g 的具有覆盖远离性质的子群 例1 1 2f 3 4 1 ( 覆盖远离但不几乎正规) 设y 是5 3 阶初等交换5 群 那么& 忠实不可约地作用在y 上令g 是y 与瓯的半直积，则g 可解 显然y 是g 的极小正规子群若g 还有不同于y 的极小正规子群，则必 有k s 4 这使得& 在矿上的作用不是忠实的所以y 是g 的唯一的极小 正规子群现设是g 的任一包含y 的正规子群，那么n = v ( n n 8 4 ) 。且 n 舅璺岛由于& 仅有唯一的主群列1 k 4 a 4 s 4 。故g 也仅有唯一 的主群列1 v v 甄 v a 4 v s 4 = g 令p 是g 的s 掣l o w2 子群因 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 7 g 可解。由定理1 1 1 6 知p 是g 的具有覆盖远离性质的子群但p 在g 中不 是几乎正规的否则，若p 是几乎正规的，则存在g 的正规子群，使得p n 与p n n 均是g 的正规子群因v 垂p n n 。那么p nn = l ，从而n 是2 ， 群所以n = 1 或y 但p 与p v 均不是g 的正规子群 由于争正规与覆盖远离性互不包容，那么将它们统一在一个范畴内就成为 一件很有意义的事最近，樊恽、郭秀云和k p s h u m 【3 4 】提出了半覆盖远离性 ( s e m ic o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y ) 的概念。成功地解决了这一问题 定义1 1 5 设日是群g 的予群若g 存在一个主群列1 = c g l g 。= g ，使得日覆盖或远离该列的每个主因子，则称日是g 的具有半 覆盖远离性质的子群，有时也说日是g 的半覆盖远离子群 显然，具有覆盖远离性质的子群必具有半覆盖远离性另外若口是g 的 几乎正规子群，那么g 有正规子群，使得日与日n 均是g 的正规子 群显见日覆盖或远离正规群列1 h nn n 日g 的每个因子那 么日必覆盖或远离由1 日n n n 日g 加细后所得主列的每个主因 子因此，几乎正规子群必是半覆盖远离子群上面的例1 1 1 和例1 1 2 也说 明半覆盖远离性是c 正规和覆盖远离性的真推广 利用子群的半覆盖远离性质，文【3 4 】获得了如下结果， 定理1 1 2 1 【s 4 设g 是一个群，则下列命题等价 ( 1 ) g 是一个可解群； ( 2 ) g 的每个极大子群在g 中具有半覆盖远离性； ( 3 ) g 的每个s y o w 子群在g 中具有半覆盖远离性 定理1 1 2 2 【3 4 】群g 是超可解的当且仅当g 的每个s y t o w 子群的极大 子群在g 中具有半覆盖远离性 定理1 1 2 3 【3 4 j 设g 是群若g 的每个极小子群及4 阶循环子群是g 的半覆盖远离子群。则g 超可解 上述事实说明，半覆盖远离性质不仅将o - 正规和覆盖远离性质统一起来，而 且对可解群有类似于定理1 1 1 ，定理1 1 1 2 的刻划，定理1 1 1 0 和定理1 1 1 1 8 有限群子群的正规性及其对偶 也得到了推广文【3 9 】和【4 0 】继续研究了子群的半覆盖远离性与群的p 幂 零、p 超可解以及超可解的关系值得一提的是文【6 7 】证明拟正规子群是覆 盖远离子群这进一步说明了半覆盖远离性所具有的广泛性本文第三章继续 研究子群的半覆盖远离性与群的p 幂零性可解性以及超可解性的关系首 先我们将半覆盖远离性的概念拓广为半丌覆盖远离性设 r 是某些素数的 集g 的一个主因子m n 称为一个丌- 主因子，若存在素数p 7 r 。使得p 整 除m n 的阶称g 的子群日是g 的半丌- 覆盖远离子群，若g 存在主群列 l = g 0 g l ( k = g ，使得日覆盖或远离该列的每个丌- 主因子接着 我们给出了半丌- 覆盖远离子群的一些重要性质这些性质对后面的工作是必 不可少的然后我们研究了极大子群、2 - 极大子群的半覆盖远离性与群的可解 性之间的相互作用关系，得出了群可解或什可解的一系列充要条件如。 定理3 2 1 群g 是7 r 可解的当且仅当g 的每个非幂零的极大子拜是g 的半7 r 覆盖远离子群 推论3 2 2 群g 是7 r - 可解的当且仅当g 的每个极大子群是g 的半7 r 覆 盖远离子群 定理3 2 4 群g 是丌- 可解群当且仅当对每个素数p 7 r 。g 有s y l o wp 子群尸。使得p 是g 的半丌覆盖远离子群 定理3 2 5 设g 是群，p 是整除g 的阶的最大的素因子那么g 是p 一可 解群当且仅当对任意的m 莎彻( g ) ，m 是g 的半p 覆盖远离子群 定理3 2 6 设g 是群，p 是整除g 的阶的奇素数则g 是p 可解群当且 仅当对任意的m 莎9n 玩，m 是g 的半p 覆盖远离子群 定理3 2 7 群g 可解的充要条件是g 有一个极大子群m ，使得m 可解 且m 在g 中具有半覆盖远离性质 定理3 2 8 群g 可解的充要条件是对任意的m 只。( g ) ，m 是g 的半 覆盖远离子群，其中p 是i g i 的最大的素因子 推论3 2 5 设g 是群，则g 可解当且仅当对任意的m 莎一( g ) ，m 是 g 的半覆盖远离子群 推论3 2 8 群g 可解的充要条件是对任意的m 罗2 ( g ) ，m 是g 的半 2 0 0 7 年上海大学博士学位论文 9 2 一覆盖远离子拜 定理3 2 1 2 若群g 的每个2 - 极大子群是g 的半覆盖远离子拜，则g 可 解 定理3 2 1 3 若群g 有一个2 极大子群l 可解，且l 是g 的半覆盖远离 子群。则g 可解 上述结果的一个特别之处就是从多种角度，用尽可能少的极大子群来刻翔 群的可解性许多已知的结果被改进或推广最后我们研究了s y l o 子群的某 些特殊子群具有半覆盖远离性质时对群结构的影响如我们得到 定理3 2 1 7 令彩是包含超可解群类的饱和群系设日是群g 的正规予 群。使得c h 够若j = r 的任一个s y l o w 子群s 或者循环。或者s 的每个极 大子群是g 的半覆盖远离子群。则g 彩 定理3 2 1 8 设p 是整除群g 的阶的一个奇素数，p 是g 的一个5 y z o w p 一 子群若j v g ( 尸) 是p - 幂零且尸的每个2 - 极大子群在g 中具有半覆盖远离性 质，则g 是p 幂零 引理3 2 4 设g 是偶数阶群，p s y l 2 ( g ) 若g 与a 无关且p 有一个 2 - 极大子拜p l 使得p l 是g 的半覆盖远离子群，则g 是可解的 定理3 2 1 9 设p 是整除群g 的阶的最小的素数，p 是g 的一个s y l o w p 一 子群若g 与凡无关且p 的每个正规的2 - 极大子群在g 中具有半覆盖远离 性质。则g 是p 一幂零 定理3 2 2 0 令夕是超可解型的5 y l o w 塔群类设圩是群g 的正规子群， 使得c h 夕若g 与也无关，且目的每个s y l o w 子群的2 一极大予群在 g 中具有半覆盖远离性质，则g 5 0 定理3 2 2 1 令“是超可解群类设日是群g 的正规子群使得g h “ 若g 与，无关且的每个s y l o w 子群的2 一极大子群在g 中具有半覆盖远离 性质。则g “ 由于内容冗繁，所得结果此处难以一一列出，更详细的情况见第三章 1 0有限群子群的正规性及其对偶 1 2 正规性的对偶 最先注意到正规性的对偶的当属r b a e r 有限d e d e l d n d 群的结构被确定 后，无限d e d e k i n d 群的分类在历经3 0 余年后在1 9 3 3 年才被b a e r 【5 j 给出b a e r 在研究d e d e k i n d 群时发现，d e d e k i n d 群中的每个元素均诱导群自身的一个幂 白同构那么对于一个一般的群g ，g 中所有诱导g 的幂自同构的元素组成 的g 的子群具有什么特性，它对群g 的结构有什么影响，这是b a e r 感兴趣的 问题( 参见f 6 】，吲，【8 】，1 9 1 ，【1 0 1 ) 1 9 3 4 年，b a e r 在文【6 】中引入了n o r m 的概 念给定群g ，g 的n o r mn ( g ) 被定义为g 的所有子群的正规化子的交显 然，n ( g ) 是g 的一个特征子群，z ( c ) ( g ) ，且n c g ) z ( g