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广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式i 一个改进的计算动力系统规范形的公式 摘要 规范形理论在研究非线性动力系统，特别是研究高次非线性动力系统时， 是强有力的工具之一，因为规范形能够简化原动力系统关于不稳定及分岔等现 象的分析本文在共轭算子法的基础上，推导出一个新的计算多维动力系统规 范形的迭代公式通过用m a p l e 软件编程来解一系列代数方程组，不仅可以求得 动力系统的规范形和相应的非线性变换，还可以求得变换后生成的新的高次幂 项本文的主要研究内容如下 首先，对规范形理论和其研究方法作了介绍，并在共轭算子法的基础上对规 范形的计算公式进行改进本文首次给出一个可以计算动力系统至任意给定的 k 次幂的规范形的方法通过解一系列的代数方程组并以共轭算子法为基础，我 们可以得到一个新的计算动力系统规范形的迭代公式，该公式不仅能够有效求 得j ( j = 2 k ) 次规范形和相应的非线性变换，而且还可以得到变换后所产生的 新的高次( 歹) 幂项 其次，对于这个新的计算动力系统规范形的迭代公式，本文不仅给出了其 相应的证明，而且还应用该方法研究了两类动力系统的规范形：其中一个系统 具有两个零和一对纯虚特征值，而另一个系统是四维幂零动力系统，以此说明 该改进的计算动力系统规范形方法的有效性 最后，本文给出计算动力系统规范形和相应的非线性变换的完整的m a p l e 程 序，并给出了所研究的动力系统规范形的详细表达式和其相应的非线性变换 关键词：规范形迭代公式m a p l e 微分方程非线性变换 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式i i a ni m p r o v e df o r m u l af o rc o m p u t i n gn o r m a lf o r m s o fd y n a m i c a ls y t s t e m s a b s t r a c t f o rs i m p l i f y i n gt h ea n a l y s i so fi n s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fd y n a m i c a ls y s t e m ，n o r m a lf o r m t h e o r yi so n eo ft h em o s tp o w e r f u lt o o l sf o rt h es t u d yo fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s ，i np a r t i c - u l a r ，o fh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o nan e wr e c u r s i v ef o r m u l a f o rc o m p u t i n gn o r m a lf o r m sb a s e do nt h ea d j o i n to p e r a t o rm e t h o do fd y n a m i c a ls y s t e m si sf i r s t i n t r o d u c e d b ys o l v i n gas e r i e so fa l g e b r ae q u a t i o n sw i t ht h ea i do fm a p l es o f t w a r e ，w ec a no b t a i n n o to n l yt h en o r m a lf o r mo ft h ed y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h ea s s o c i a t e dn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s b u ta l s on e wh i g h e ro r d e rt e r m so fd y n a m i c a ls y s t e m sa f t e rn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s t h em a i n c o n t r i b u t i o n so ft h ed i s s e r t a t i o na r el i s t e da sf o u o w s f i r s t l y , t h er e v i e wo fn o r m a lf o r mt h e o r ya n dm e t h o d si sd e m o n s t r a t e d ，t h e nt h ei m p r o v e d f o r m u l af o rc o m p u t i n gn o r m a lf o r mi sp r e s e n t e db a s e do nt h ea d j o i n to p e r a t o rm e t h o d i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，af o r m u l ai sf i r s t l yp r o p o s e dt oc o m p u t ea n y 忌o r d e rn o r m a lf o r mo fd y n a m i c a ls y s t e m b ys o l v i n gas e r i e so fa l g e b r ae q u a t i o n sb a s e do nt h ea d j o i n to p e r a t o rm e t h o d ，w ec a no b t a i na n e wf o r m u l af o rc o m p u t i n gn o r m a lf o r mo fd y n a m i c a ls y s t e m t h er e c u r s i v ef o r m u l ac a ng e t n o to n l yt h ec o e f f i c i e n t so ft h ej t ho r d e r ( j = 2 ，k ) n o r m a lf o r m sa n dt h ea s s o c i a t e dn o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n sb u ta l s oh i g h e r ( 歹) o r d e rt e r m so fd y n a m i c a ls y s t e m s e c o n d l y , w en o to n l yg i v et h ea s s o c i a t e dp r o o fo ft h en e wf o r m u l af o rc o m p u t i n gn o r m a l f o r m so fd y n a m i c a ls y s t e mb u ta l s oa p p l yt h i sm e t h o dt os t u d yt h en o r m a lf o r m so ft w ot y p e s o fd y n a m i c a ls y s t e m s ：o n eo fd y n a m i c a ls y s t e m sh a sad o u b l ez e r oa n dap a i ro fp u r ei m a g i n a r y e i g e n v a l u e s ，a n dt h eo t h e ri s4 - d i m e n s i o n a ln i l p o t e n td y n a m i c a ls y s t e m ，w h i c hs h o w st h ee f f i c i e n c y o ft h em e t h o d l a s t l y , t h em a p l ep r o g r a mh a sb e e nd e v e l o p e dt oc o m p u t et h en o r m a lf o r ma n dt h ea s s o c i a t e d n o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so fd y n a m i c a ls y s t e m t h ed e t a i l e dr e s u l t so fn o r m a lf o r m so fo r i g i n a l d y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h ea s s o c i a t e dn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sa r ea l s og i v e n k e yw o r d s ：n o r m a lf o r m ；r e c u r s i v ef o r m u l a ；m a p l e ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；n o n l i n e a rt r a n s - f o r m a t i o n s 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式i 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的 成果和相关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位 发表或使用本论文的研究内容除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发 表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名： 乌7 邵弦 弘扩年6 月砌日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 讲p 时发布 口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文储繇概导师签名绅知矿年莎月矽日 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式1 1 1 动力系统的简述 第一章绪论 动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 可以追溯到1 9 世纪末庞加莱的研究工作之中，其 基本的概念也起源于常微分方程的定性理论研究粗略地说，常微分方程和差分 方程可以分别看成有限维连续和离散动力系统，偏微分方程和差分方程可以别 看成无限维连续和离散动力系统，而拓扑和几何流形上的方程可以看是微分流 形上的动力系统在文中我们所研究的是舻上的动力系统即常被称之为n 维动 力系统，即对非线性微分方程的研究，而通过b e n d i s o n ，c a r t w r i g h t ，b o g o l i u b o v ，k r y l o v ， l i t t l e w o o d ，i 圯v i n s o n 和l e f s c h e t z 等学者展开的对非线性微分方程的研究可得，能进 行分析研究的解的类型不外乎下面三种：( 1 ) 平衡态( 静止不动) ；( 2 ) 周期运动( 例 如行星运动的首次近似) ；( 3 ) 拟周期解一也表示频率不可公度的几个周期项的组 厶 口 在此先介绍一下动力系统概念，记八= 【0 ，o o ) ，称映射簇矿：舻_ 酽，t 八为 船上的动力系统，若矿，t 八适合下列半群条件： ( i ) 扣= 矿矿，v t ，s 八 ( i i ) l 矿( z ) = z ， v x f p 并以此简要地研究动力系统所具有的性质对于常微分方程定性理论的研究， 主要讨论稳定性、周期轨道的存在及回归性的问题以及所用的研究方法对于 动力系统的研究，特别是对动力系统在平衡点( 或极限环) 所表现出的不稳定， 分岔或退化现象而作的分析和研究，一直都是研究动力系统的主要工作我们 主要关注如下四个问题： 1 平衡点的局部性态：令z 是动力系统的平衡点，即有( z ) = 0 结合动力系 统相关知识来判断z 所属类别，而此时平衡点z 可能是双曲的，中心，汇， 源，鞍点，结点或是焦点其中还对其特征向量空间进行分解如下：稳定空 间，不稳定空间和中心子空间这些对动力系统进行基本的分析都是非常 重要的 2 不变流形和吸引子：动力系统的不动点和周期轨道就是我们最常见的也最 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式2 特殊的不变集，我们在此基础上引入更为一般的情形设矿：t 是舻上 的动力系统，若a 是舻上闭集且( a ) = a ，v t 八，则称集合a ( acr n ) 为 的不变集若是连续的动力系统，则常称的不变集为不变流形若 a 是o t ( a ) 的不变集，且存在着舻中的开集u ) a ，使得比阢d ( 矿( z ) ，a ) = i n ，f 1 o t ( z ) 一y l o ( t 一) ，则称ac 舻为动力系统，t h 的吸引集对此我 们作如下几点说明t 当u = 舻时，a 就称为整体吸引集，当a 为拓扑可迁 的吸引集时，则称之为吸引子，当a 是拓扑可迁的整体吸引集时，称之为 整体吸引子 3 结构稳定性和分岔的定义：对于一个动力系统进行研究时，我们非常关心该 系统的稳定性，其分岔就是关心系统经过某种小扰动后，其基本结构是否发 生改变设f g ：舻一酽是连续可微的若存在n 0 ，使得，( z ) = 9 ( z ) ，比舻 且i 。i ，则有 i s ( z ) 一9 ( z ) l + i d y ( x ) 一d g ( x ) l j ) 幂项，在该部分同时也 给出了其相关的证明 第三章，应用该方法研究了两类动力系统的规范形：其中一个系统的线性 部分具有两个零特征值和一对纯虚的特征值，而另一个系统的线性部分具有四 阶幂零矩阵的形式，进而说明该改进的计算动力系统规范形方法的有效性，同 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式7 时给出了编写计算程序的概要 本文在后面的附录a 给出主计算程序和相应的输入文件，并在附录b 列出 了通过程序计算所得的具体表达式 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式8 第二章共轭算子法的分析与研究 2 1 迭代公式的介绍与改进 考虑微分方程 主= a x + ，2 ( z ) + + ，生( 窑) + o ( 1 l x l l 知) ，z r n ，( 2 1 ) 其中a 是n n 约旦标准形，户( z ) 穰u = 2 ，k ) 和0 ( 1 1 ：e 1 1 k ) 表示动力系统( 2 1 ) 的 高次项这里暖表示n 维j 次齐次多项式( h o m o g e n e o u sp o l y n o m i a l s ) 的向量空间 假设原点z = 0 是奇异的，即设杰( o ) = 0 则可以通过如下一系列的近恒等的非线 性变换把动力系统( 2 1 ) 的非线性项进行简化 其中 因此可得。 和 z = 可+ p j ( y ) ，p j ( y ) 王瑾，j = 2 ，七，( 2 2 ) p j ( y ) = ( 辟( y ) ，巧( y ) ，焉( 可) ) 士= ( i + d p j ( y ) ) 多( 2 4 ) ( j + d p j ( y ) ) 一1 = j d p j ( y ) + ( d ( 3 ，) ) 2 + + ( 一1 ) ( d ( 可) ) 陋( i 一1 ) 】+ 1 ( 2 5 ) 定理1通过第歹次非线性变换，不仅可以求得动力系统( 2 1 ) 的第歹次规 范形而且还可以求得动力系统( 2 1 ) 变换后的高次项，其具体的迭代公式如下： 多= a y + 1 2 ( 可) + ，3 ( ! ，) + + ，u 一1 ) ( 可) + 户( 可) + a p ( y ) 一d p j ( y ) a ( y ) 奄 十 ( 一1 ) ”( d ( y ) ) ”尹( y ) a 一1 ) m + p = j 4 - 1 m o 巾l ( 2 6 ) 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式9 其中扣( 掣) = 嚣1 f p d 一1 ) i ( y ) ( 印( y ) ) i j = 2 ，k ，p = 歹+ 1 ，k 1 j ( y ) 和p j ( y ) 分别 i 【p 卅 表示不同的第j 次y 的齐次多项式向量，l j ( y ) 表示动力系统( 2 1 ) j 次齐次多项 式，p j ( y ) 表示第歹次非线性变换 1 通过分析上面的理论可得；第歹次非线性变换仅对动力系统( 2 1 ) 第j 次项 和大于歹次的项产生影响，而对小于歹次的项不产生任何影响； 2 随着非线性变换p j ( y ) 中的次数j 增大，表达式( 2 6 ) 最后一项中所含多项式 的项数就会减小因为j 的次数越大，表达式( 2 6 ) 最后一项所含多项式的 次数也就变得更大，但是我们在此只考虑所有次数不超k 的多项式 下面，我们介绍一下如何利用共轭算子法来计算动力系统( 2 1 ) 的第j 次规 范形，给出线性算子定义如下： o 矗：暖一暖， 口以p j ( y ) = d p j ( y ) a y a p j ( y ) ， ( 2 7 ) 这里。砍称之为同胚算子( h o m o l o g i c a lo p e r a t o r ) 记印表示o d ! ! l 的象空间，即有 印= ，僦，是印是在穰中的任意补子空间则有穰= r jo c j 假设户= + ，其中h j 印，则我们可以选择满足如下关系的非 线性变换p j ( y ) a d 囊p j c y ) = h i ( y ) = f j ( y ) 一，( 可) ( 2 8 ) 其中方程( 2 8 ) 称之为同调方程( h o m o l o g i c a le q u a t i o n ) 运用一系列近恒等的非线性 变换，则可得简化后的方程( 2 1 ) ( 变换后依然用z 表示) 如下： 亳= a x + 9 2 ( z ) + 9 3 ( 。) + + g k ( z ) ，z 舻，( 2 9 ) 其中( z ) ，这里歹= 2 ，k 我们称方程( 2 9 ) 为非线性动力系统( 2 1 ) 至七次幂的规范形因此计算动力系 统规范形的主要目标就是选择一系列的近恒等变换p ( z ) = ( p 2 ( z ) ，p 3 ( z ) ，p k ( x ) ) v 使得非线性动力系统( 2 1 ) 可以被最大程度简化 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式1 0 从上面分析可得，计算规范形的关键步骤就是如何找到补子空间( j = 2 ，均 下面我们来分析如何找到i m 口敏在磁中的直补空间( v e r t i c a lc o m p l e m e n t a r ys u b s p a c e ) 一组相应的基0 = 2 ，l 【) 假设y 为有限维内积空间，二是该内积空间的一个线性算子，p 是l 的共 轭算子因此可得 ( i ) k e r l = ( i r al ) 上，( i o v = i m l 国k e r l ( 2 t o ) 其中k e r l 是l 。的零空间，这方面相关知识在参考文献【1 9 】给出了较为详细的 介绍 我们知道如果能够找到线性算子8 敏的共轭算子( 8 馥) ，则k e 尹( o ) 就是 i m 8 嚷在艇中的直补子空间从参考文献 9 ，1 0 可得，算子8 以是8 以在碟的 共轭算子，即有o = ( o 矗) + ，其中a 匕矛表示是a 的共轭转置矩阵 。敏。p 7 ( z ) = d p j ( x ) a 。z a p ( z ) ( 2 1 1 ) 因此i m 口暖在暖中直补空间可表示为k e r 。d ! ! i 。，即穰= h 口幺ok e r a 吐。而且 k e r a d # a 是包含下列偏微分方程所有的礼维歹次多项式解向量的子空间 n 以。( z ) = 0 ( z ) 磁， 或有 d p 3 ( z ) a + z a + p ( 互) = 0 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 所以需要从j = 2 到j = k 来解一系列的偏微分方程组( 2 1 3 ) ，以求得非线性动力系 统( 2 1 ) 至七次幂的规范形 2 2 改进的迭代公式的证明 我们在下面部分中给出定理1 中关于上述计算动力系统的第歹次规范形和 其高次项的迭代公式的证明 首先，我们考虑应用2 次非线性变换，把方程( 2 2 ) 0 = 2 ) 和方程( 2 5 ) ( j = 2 ) 代入 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式1 1 到方程( 2 1 ) 可得 ( ，+ d p 2 ( 们) 雪= a ( y + p 2 ( 可) ) + ，2 ( y + p 2 ( y ) ) + ，3 ( y + p 2 ( y ) ) + + ，詹( + p 2 ( y ) ) ，( 2 1 4 ) 运用泰勒展开定理，把方程( 2 1 4 ) 右边的部分展开至k 次幂，则有 a ( y + p 2 ( 可) ) + 2 ( 3 + p 2 ( 妙) ) + f s + p 2 ( 暑，) ) + + ，知( y + p 2 ( 可) ) = a v + a p 2 ( y ) + ，2 ( y ) + d ，2 ( 可) p 2 ( y ) + 互1 1 d 2 f 2 ( ) ( p 2 ( y ) r + 尸( y ) + o f 3 ( 可) p 2 ( 3 ，) + 酉1d 2 ，3 ( 可) ( p 2 ( y ) ) 2 + 酉1d 3 f 3 ( y ) ( p 2 ( y ) ) o + 广( 可) + o f 4 ( ! ，) p 2 ( 暑，) + 击d 2 ，4 ( 暑) ( p 2 ( 可) ) 2 + 酉1d 3 f 4 ( y ) 【p 2 ( 曼，) ) 3 + 砉d 4 f 4 ( 可) ( p 2 ( 可) ) 4 + + ，( 暑，) = a v + ，2 ( ! ，) + a p 2 ( y ) + ，3 ( ! ，) + d ，2 ( 可) p 2 ( 可) + ，4 ( s f ) + d ，3 ) p 2 ( ) + 壶d 2 ，2 ( 妙) ( p 2 ) ) 2 + - + ，七( 可) + d ， 一1 ( ! ，) p 2 ( y ) + 刍d 2 ，似一2 ) ( ) ( p 2 。) ) 2 + + 去d ，( k i ) ( ) ( p 2 ( 3 ，) ) i = a v + ，2 ( y ) + a p 2 ( y ) + 击d i f ( 3 - i ) ( 3 ，) ( p 2 ( 可) ) i i f 3 2 1 + 击d i ，( 4 一( y ) ( p 2 ( ) ) i 1 l + c - 1 ) ”( d p 2 ( y ) ) “ p c u ) m + p = 4 m o ，p l + + ( 一1 ) ”( d r 2 ( y ) ) ”产( y ) m + p - = k m 0 ，p 1 七 = 户( y ) + 2 c y ) - d p 2 c u ) f c y ) + ( 一1 ) ”c o p 2 ( 可) ) ”户( y ) r e + p = 3 ，孔0 伊1 七 = a y + f 2 ( 可) + a p 2 ( y ) 一d p 2 ( 3 ，) 户( y ) + ( 一1 ) ”c o p 2 ( 可) ) ”尹( y ) r e + p = 3 m o ，p l ( 2 1 7 ) 其中i x ( y ) = a y ，产( 可) = f 2 ( 掣) + a p 2 ( 可) ，户( ) = 1 d i f p i ( 可) ( p 2 ( 3 ，) ) i t s b ，2 j 0 = 3 ，七) 一个改进的计算动力系统规范形的公式1 3 从分析运用2 次幂非线性变换后的结果来看，2 次幂非线性变换仅对动力 系统的2 次幂项和高次( 2 ) 幂项产生影响，而对于动力系统中幂次小于变换幂 次的项( 向) 则不产生任何影响经过2 次幂非线性变换后，再结合上述共轭算 子法我们不仅可以得到动力系统2 次幂的规范形和相应的非线性变换项，而且 还可以得到动力系统变换后新的高次幂项，如果需要更深入分析动力系统的性 质，计算和分析变换后新的高次幂项则是必不可少，在本文后面部分将结合例 子给予进一步的说明再通过分析和计算我们可以求得动力系统的2 次规范形 和高次幂项，则可具体表示为： 雪= a y + 9 2 ( y ) + ( 一1 ) ”( d p 2 ( y ) ) ”产( y ) c 2 1 8 ) m - t - p = 3 m o 巾1 其中产( y ) = a y ，产( ! ，) = ，2 ( 可) + a p 2 ( 可) ，户( y ) = 扣) i ，p i ( 可) ( p 2 ( y ) ) i b , 2 j 0 = 3 ，南) 在此我们把方程( 2 1 8 ) 中变量y ，求得的2 次规范形和变换后新的高次项写成 一个如下简单的形式： 奎= a x + ，2 ( z ) - t - + f k ( z )( 2 1 9 ) 但是方程( 2 1 9 ) 与方程( 2 1 ) 分别表示不同的意义，方程( 2 1 9 ) 中，2 ( z ) 和户( 。) ( 3 歹南) 分别表示经过2 次幂非线性变换后而求得的2 次规范形9 2 ( y ) 和新的高次 项，只是为了计算下一次幂规范形在表述上的简化和一致性，我们才把方程( 2 1 8 ) 设成上述形如方程( 2 1 ) 的表达式 其次，我们进行3 次幂的非线性变换，以求得动力系统3 次规范形及相应的 非线性变换把方程( 2 2 ) ( j = 3 ) 和方程( 2 5 ) 0 = 3 ) 代入到方程( 2 1 9 ) 得 ( j + d p 3 ( u ) ) 雪= a ( y + p 3 ( 可) ) + f 2 ( y - t - p z c y ) ) + f a 0 + p 3 ( y ) ) + + ，七( y + p 3 ( y ) ) ( 2 2 0 ) 即 雪= ( j + d p 3 ( 掣) ) 一1 ( a c y + p 3 ( 9 ) ) + f 2 ( y + p 3 ( ! ，) ) - i - ，3 ( y + p 3 ( 可) ) + + ，七( y + p 3 ( y ) ) ) ( 2 2 1 ) 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式1 4 运用泰勒展开定理，我们考虑把方程( 2 2 1 ) 右边中两项分别进行展开， 有不超过七次幂的多项式： c z + d p a ( y ) ) 一l = i - d p a ( y ) + ( d p 3 ( y ) ) 2 + + ( 一1 ) 瞎】( d p 3 ( y ) ) 【喜 ：i - d p 3 ( y ) + 塞( - 1 ) 。( d p 3 ( y ) ) m = ( y ) + ( ”( d p 3 ( y ) ) “ r a ；- 2 a ( y + p 3 ( y ) ) + 1 2 ( 3 + p 3 ( 3 ，) ) + ，3 + p 3 ( 暑) ) + + ，( ! ，+ p 3 c v ) ) = a y + a p z ( y ) + ，2 ( 可) + d ，2 ( ! ，) p 3 ( y ) + 击d 2 ，2 ( ! ) ( p 3 ( 可) ) 2 + ，3 ( y ) + d f a ( 可) p 3 ( y ) + l 21d 2 ，3 ( y ) ( p 3 ( 可) ) 2 + 酉1d 3 ，3 ( 3 ) ( p 3 ( y ) ) 3 + 尸( g ) + d 广( 箩) p ( 们+ 壶d 2 ，4 ( 彩( p 3 ( 们) 2 + + ，5 ( ) + d ，5 ( 3 ，) p 3 ( 可) + 壶d 2 ，5 ( y ) ( p 3 ( y ) ) 2 + + ，8 ( y ) + d f ( v ) ：c y ) + + 歹7 ( 功+ d 7 ( 分) p ( 芗) + + ，8 ( 夕) + + ，9 ( ! ，) + + ，( 们 = a y + ，2 ( 可) + ，3 ( y ) + a p s ( y ) + ，4 ( g ) + d ，2 ( v ) p 3 ( v ) + ，5 ( 3 ，) + d ，3 ( ) p 3 ( y ) + f 6 ( 夕) + d f 4 ( y ) p 3 ( 3 ，) + 1 21d 2 ，2 ( ! ，) ( p 3 ( 掰 + ，7 ( 可) + d ，5 ( 可) p 3 ( y ) + 击d 2 ，3 ( ) ( p 3 ( y ) ) 2 + ，8 ( y ) + d ，6 ( ! ，) p 3 ( y ) + 酉1d 2 ，4 ( 曼，) ( p 3 ( y ) ) 2 + 1 9 ( 可) + d ，7 ( y ) p 3 ( ! ，) + 1 21d 2 ，5 ( 曼，) ( p 3 ( 可) ) 2 + 击d 3 ，3 ( 掣) ( p 3 ( 可) ) 3 并给出所 + ，( 可) + d f ( k 一2 ) ( 可) p 3 ( y ) + 1 21d 2 ，( 一4 ) ( 可) ( p 3 ( 3 ，) ) 2 + + 1 i ! d i ，( 七“) ( y ) ( p 3 ( y ) ) ( 2 2 2 ) 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式1 5 = a y + ，2 ( y ) + ，3c y ) + a p 3c y ) + 砉d i ，( 4 - 2 0 ( y ) ( p 3 ( y ) ) 逛【4 3 l “ + f j 二j i 5 3 】 + f d _ 6 3 】 + i 7 3 + i o ，p l + ( 一1 ) ”( d p 3 ( y ) ) 尹( y ) 2 r n + p = 5 m o ，p l + ( 一1 ) ( d p 3 ( 箩) ) ”产( ! ，) 2 r n + p = 6 r n _ 0 ，p l + ( 一1 ) ”( d p 3 ( y ) ) “产( 可) 2 r e + p = 7 m 0 ，p i + ( 一1 ) ”( d p 3 ( 掣) ) ”户( ) 2 r n + p = 8 m o ，p l + ( 一1 ) ”p p 3 ( ! ，) ) ”产( ) 2 r e + p = 9 m o ，p 1 + - + c - i ) ”( d p 3 ( 掣) ) “户( ) 2 m + p = k m o ，p 2 l 七 = ，1 ( 可) + 户( y ) + 尸( y ) - d p 3 ( y ) l ( y ) + ( 一1 ) p ( y ) ) ”产( ! ，) 2 m + p = 4 m 0 ，p l 七 = a y + f 2 ( ) + ，3 ( 可) + a p 3 ( y ) 一d p 3 ( y ) a ( v ) + ( 一1 ) ”( d p 3 ( 夕) p 户( 可) 2 m + p = 4 m o 口 1 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式1 7 其中户( y ) = a y ，p ( y ) = ，2 ( 可) ，户( y ) = ，3 ( ! ，) - t - a p 3 ( y ) ， 尹( 可) = e 矗d i ，p _ 2 i ( y ) ( p 3 ( 3 ) ) i ，0 = 4 ，) i p 3 1 通过上述分析，经过3 次非线性变换并结合共轭算子法，我们可以求得动 力系统的3 次规范形9 3 ( y ) 和相应的非线性变换p 3 ( y ) 及变换后新的高次项( 幂次 不小于4 ) 通过从2 次至0 1 ) 次幂的非线性变换进行逐步迭代计算，我们可以求得动 力系统( 2 1 ) 从2 至0 1 ) 次幂的规范形，我们依然把已获得从2 至u 一1 ) 次幂规 范形及最新的高次项的方程简写为： 圣= a x + f 2 ( z ) + + ， )( 2 2 5 ) 同理，方程( 2 2 5 ) 与方程( 2 1 ) 和方程( 2 1 9 ) 只是具有相同的表达式，但却包含着 各自不同的意义 最后，我们进行j 次幂的非线性变换，以求得动力系统j 次规范形及相应的 非线性变换把方程( 2 2 ) 和方程( 2 5 ) 代入到方程( 2 2 5 ) 得： ( ，+ d p j ( y ) ) 雪= a ( y + 声( y ) ) + ，2 0 + p j ( 可) ) + ，3 + p ( y ) ) + + ，七( 可+ ( y ) ) ( 2 2 6 ) 即 鸯= ( j + d p ( y ) ) 一1 ( a ( y + p ( y ) ) + ，2 ( 3 ，+ p ( 可) ) + 1 3 4 - p j ( 可) ) + + ，知( + p 7 ( y ) ) ) ( 2 2 7 ) 运用泰勒展开定理，可得 u + d p j ( y ) ) 一1 = i - d p j ( y ) + ( d p j ( y ) ) 24 - + ( 一1 ) 【盘l + 1 印( y ) ) 【盎l + 1 f 由】+ l( 2 2 8 ) = i - d p j ( y ) 4 - ( - 1 ) ”( d p j ( ! ，) ) ” a ( 可4 - p ( 3 ，) ) 4 - ，2 ( 3 ，4 - p ( ! ，) ) + ，5 ( 箩+ p ( y ) ) + + ，。白+ p c y ) ) = a y + a p 3 ( ) + ，2 ( 可) 4 - d r 2 ( y ) p ( y ) + 酉1d 2 ，2 ( y ) ( p ( 舻 + ，3 ( ! ，) 4 - d r 3 ( ! ，) p ( 可) + 击d 2 f 3 ( ! ，) ( p ( 可) ) 2 + 1 1d 3 ，3 ( 掣) ( p ( 可) ) 3 + ，4 ( y ) 4 - d f 4 ( 可) p ( y ) + 酉1d 2 ，4 ( 可) ( ( 可) ) 2 + 酉1d 3 ，3 ( 可) ( 一( y ) ) 3 + 者d 4 ，4 ( 可) ( p ( 3 ，) ) 4 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式1 8 。卜 + ，( 们 = a y + 1 2 ( 可) + ，3 ( 掣) + ，4 ( 暑，) + + 户一1 ( y ) + 户( y ) + a p j ( y ) +f去，( o + 1 ) 一g 一1 ) ( 筝) ( ) i _ _ 一1 i 墨i u + 1 ) l 乱 + 五1 产+ 2 ) 一删习( y ) ( p ( ! ，) ) + i 【0 + 2 ) j 1 + 去，b ) ( 掣) ( ( 掣) ) ：，1 ( ! ，) + 户( y ) + 尸( 3 ，) + 尸( 3 ，) + + 弘一1 ( 可) + 户( ! ，) + 弘+ 1 ( ! ，) + 弘+ 2 ( y ) + + 尹( ! ，) 其中，1 ( y ) = a y ，户( 可) = ，2 ( y ) ，产( 可) = ，3 ( ) ，弘一1 ) ( 掣) = 户一1 ( ! ，) ， 户( y ) = 户( 可) + a m ( y ) ，扣( 3 ，) =矗d i ，p o 一1 ) i ( y ) ( 印( 掣) ) i ，白= 歹+ 1 ，知) i l + f ( 一1 ) ”( d p ( ) ) ”j p ( y ) 0 1 ) m + p = j + 2 ，n 0 p l + + ( 一1 ) ”( d ( 掣) ) ”产( y ) ( j - 1 ) m + p = k m 0 p 1 ：，1 ( 譬) + 尸( y ) + 尸( 掣) + + ，u 一1 ) ( 掣) + ，o ( ! ，) 一d p j ( y ) 1 ( 可) ( 2 。2 0 ) 广西大学硕士学位论文一个改进的计算动力系统规范形的公式1 9 + ( 一1 ) ”( d p ( y ) ) ”产( 可) u 一1 ) m + p = j + 1 m o ，p 1 。= a y + f 2 ( ! ，) + ，3 ( y ) + + 1 0 1 ( y ) + 以y ) + a p j ( y ) 一d p j ( 9 ) a ( 掣) k + ( 一1 ) ”( d ( ! ，) ) ”尹( y ) d 一1 ) m + p = j + 1 m 0 p 1 其中产( 可) _ ；三a y ，户( 掣) = ，2 ( y ) ，户( y ) = ，3 ( y ) ，弘一1 ) ( y ) = 户一1 ( 可) ， p c y ) = 户( 可) + a 印( ) ，扣( ) = 召1d i f p d 一1 ) ( ! ，) ( p ( 可) ) ，( p = 歹+ 1 ，七) 连【p 朋 通过上述分析结合规范形理论及共轭算子法，我们可以得到如下三个结论： 1 歹次非线性变换仅对动力系统的歹次幂项和高次项( 歹) 产生影响而对动力 系统的低次项( 歹) 可由已求得的低维 ( 歹) 的非线性项和已获得的低维( 歹) 规范形给出具体表示； 3 动力系统至一定幂次的规范形可以由逐次非线性变换并结合相应幂次所对 应的共轭算子法而求得 广西大学硕士学位论文 一个改进的计算动力系统规范形的公式2 0 第三章改进方法的应用 3 1 一个具有双零和一对共纯虚特征值的动力系统的研究 在这部分中，