（计算数学专业论文）各向异性网格下stokes问题的一些高精度分析.pdf

摘要 本文将讨论s t o k e s 问题在各向异性网格下的q 2 一只混合有限元方法一 方面，利用积分恒等式技巧得到了与传统方法相同的超逼近性质同时，基于 插值后处理的技巧，构造了速度和压力的一对插值后处理算子，并且前者具有 各向异性特征，从而导出了整体超收敛结果另一方面，考虑s t o k e s 问题的有 限元解与精确解插值的q 。一n 混合元的渐进误差展开和分裂外推其手段是 先利用积分恒等式技巧确定了微分方程精确解与有限元插值之闻积分式的主 项，再借助插值后处理和分裂外推技7 融导出了比通常的误差估计提高一阶的 收敛速度 关键词：s t o k e s 问题；混合元；超收敛；各向异性网格；后处理技术；外推 a b s t r a c t q 2 一只m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs t o k e sp r o b l e mo na n i s o t r o p i cm e s h e sw i l lb e d i s c u s s e di nt h i sp a p e r o nt h eo n eh a n d ，t h es o n es u p e r c l o s ep r o p e r t i e sa st h et r a d i t i o n a l m e t h o d sa l ed e r i v e dt h r o u g hi n t e g r a li d e n t i t yt e c h n i q u e a tt h es a m et i m e ，ap a i rp o s t - p r o c e s s i n go p e r a t o r sf o rv e l o c i t ya n dp r e s s u r ea r ec o n s t r u c t e d b a s e do nt h ei n t e r p o l a t e d p o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e ，a n dt h ef o r m e ro n eh a s a na n i s o t r o p i ep r o p e r t y t h u st h eg l o b a l s u p e r c o n v e r g e n c ei so b t a i n e d o nt h eo t h e rh a n d ，t h ea s y m p t o t i ce r r o re x p a n s i o na n dt h e e x t r a p o l a t i o nb e t w e e nt h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o na n dt h ee x a c ts o l u t i o no fi n t e r p o l a t i o n o fq 2 一只m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs t o k e sp r o b l e ma r ec o n s i d e r e d t h et e c h n i q u e e m p l o y e di st ou s ei n t e g r a l i d e n t i t yt e c h n i q u e st od e t e m i n et h em a i nt e r mo ft h ee r r o r b e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o na n di t sf i n i t ee l e m e n ti n t e r p o l a t i o n ，a n dt h e nt od e r i v eo n e o r d e rh i g h e rc o n v e r g e n c er a t et h a nt h eg e n e r a le r r o re s t i m a t eb yp o s t p r o e e s s i n gt e c j a n i q u e a n de x p t r a p o l a t i o n k e yw o r d s ：s t o k e sp r o b l e m ；m i x e df i n i t ee l e m e n t ；s u p e r c o n v e r g e n c e ；a n i s o t r o p i c m e s h e s ；p o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e ；e x t r a p o l a t i o n 前言 有限元方法是求微分方程数值解的一种重要的方法，它起源于1 9 4 3 年，由 c o u r a n t 首先奠定了其数学基础在我国，冯康先生l - 2 1 独立于西方科学家发 明了这种方法自5 0 - 6 0 年代以来，有限元方法得到了极大的发展，并在结构 力学等众多领域取得了很大的成功有限元方法的实质是根据变分原理用有限 维空间的离散解去逼近无穷维空间的连续解，有限维空间的构造，s d m e v 空 间插值理论以及微分方程正则性理论都是这种方法能够实现的理论前提 在传统的有限元方法中，对区域q 的剖分满足正则性假设或拟一致假设m 的要求是必不可少的，即要求鲁s c 或 m 苎s c ，其中h 是单元k 的最大 直径，p k 是k 的最大内切圆直径，_ i l ，= m a x ，h ，风m = r a i nh k ，j h 是区 域q 的个剖分族但在实际应用中对于窄边区域，如比较薄的复合材料，模 拟电机中转子和定子之间的间隙，或模拟关节和髋部之间的软组织等，如果采 用传统的正则剖分，计算量将会变得非常大而无法承受，这时若采用各向异性 剖分可以用较少的自由度而得到同样的最优估计不过在这种情况下，传统的 b r a m 扰e h i l b e r t 引理在插值误差分析中已不再适用( 见【5 ，6 ，7 1 ) 而且对于非协 调元来说，其传统边界估计技巧也失效，因为此时对单元的长边，其误差估计中 出现的器项将会趋于无穷大z 却e f f 5 l 等人研究了各向异性下l a g r a n g e 型协 调元的误差分析，并给出了判别一个单元是否具有各向异性特征的判别定理 从而利用具有各向异性特征的单元使我们得以用较小的自由度得到同样的最 优误差估计效果但这种方法有时难以验证陈绍春和石东洋【4 1 对它进行了改 进，给出了一个更为一般的各向异性判别定理，并将之应用到实际问题中( 包括 各向异性非协调元) ，取得了许多有意义和价值的成果( 见【4 , 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ：2 0 1 ) 有限元的超逼近和超收敛性分析在实际工程计算中占有十分重要的地位， 一直是数值分析家们研究的重要内容之一例如一般椭圆方程，s t o k e s 方程 抛物方程，扩散对流反应方程等的精确解与有限元解之间误差的超逼近和超收 敛( 包括整体超收敛与点态超收敛) 的成果很丰富【2 4 ，2 5 ：2 6 ，2 7 ，2 剐 外推是1 9 2 6 年由r i c h a r d s o n 建立的一种加速收敛技术，已被广泛应用于 i l l 包括有限元在内的数值计算的各个领域1 3 , 2 l j 由于外推计算是整体加密，因 此在解大型多维问题时仍遇到了严重的计算困难为克服这一困难，林群等提 出了有限元的分裂外推方法嘲，其本质在于对近似解的误差进行多参数渐进展 开，通过若干单向加密代替经典的r i c h a r d s o n 外推的整体加密，在增加很少计 算量的同时提高解的精度 本文将重点讨论s t o k e s 问题在各向异性网格下的q 2 一p i 混合有限元方法 一方面，利用积分恒等式技巧得到了与传统方法相同的超逼近性质，同时基于 插值后处理的技巧，构造了速度和压力的一对插值后处理算子，并且前者具有 各向异性特征，进而导出了整体超收敛结果另一方面，考虑s t o k e s 问题的有限 元解与精确解插值的各向异性铴一只混合元的渐进误差展开和分裂外推其 主要手段是先利用积分恒等式技巧确定了微分方程精确解与有限元插值之间 积分式的主项，由连续性条件，相邻单元上其主项的某些部分可以相互抵消， 经求和后得到整个求解区域上的主项，对该主项引入辅助问题并利用s t o k e s 问 题解的正则性理论，给出精确解与有限元插值间的一个误差渐进展开式，其次 再借助插值后处理和分裂外推技术，导出了比通常的误差估计提高一阶的收敛 速度 本文写作安排如下t 第一章：预备知识，介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号 第二章：s t o k e s 问题各向异性网格q 。一p 。混合元超收敛分析。 第三章：s t o k e s 问题q ：一p ，混合元外推方法 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及一些结论 设舻为n 维欧式空间，q 为舻中的区域用驴( q ) 表示切定义在q 上的 p 次可积函数组成的集合l * ( n ) 表示一切在n 上本性有界的可测函数组成 的集合则按范数 l l t ( a ) = ( 上i n ( z ) i 如) ；，1 墨p 。o 岫n ) _ 8 8 8 裟) i ，p 2 ” i p 为b a n a c h 空间而k ( 0 ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为( ) = 矗u v d z 用c m ( n ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，g ”( q ) 表示区 域n 上无穷次连续可微函数组成的集合，简记伊( q ) 为g ( 记区域q 上的偏微分算子d d = d 0 1 瑶”，其中d i = 杀，为非 负整数口= ( 口1 ，a 。) 称为n 重指标，记i o i = o t l + 0 1 2 + + 口。设m 为非 负整数，1 s p o 。，考虑函数空间 i v ”9 ( q ) = u ：d o u v 。c n ) ，l n is ”； ， 这个空间依范数 i l u 一协z o f 刚p d z ) 5 ，1 s p o o i l u l l , n 。* 2 3 麓l i d 。u 0 。* ，p 2 。o 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o l u d e v 空间，并定义半范数 l u l m 一2 ( a l = m 五i d 。训如) 5 ，1 p o o i t t l m , = 舯a xi i o 。, , 1 1 0 ，。，p = 。 l a l = m 又令l 馏p ( n ) 为卵( q ) 按范数i 。，在空间1 1 7 ”一( q ) 内的完备化空间，则 n 口9 ( q ) 也是个b a n a c h 空间简记 h ”( q ) = w “，2 ( ，h 伊( q ) = w 矿o ( q ) ，”恢= ”1 i r a , 2 ，i i 。= i i m o 于是日“( n ) ，珊。( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( “，口) 。= ( d 。u ，d n ”) ，口日”( q ) s o b o l e ”嵌人定理设nc 俨为有界区域，其边界锄是局部l i p s c h i t z 连续的， m ，为非负整数，1 s p 。o ，贝! 1 w ”如( n ) 一w 4 ( n ) ，m n p h o l d e r 不等式：设l 0 使 n ( q ) o f | 叫& ，v t ，e k 其中v = 和x l b ( v ，p ) = o ，咖y ( 2 ) 6 ( ，) 在xx y 上满足l b b 条件，即存在常数p 0 使 。 甜s u p 锹 p i l u ，v f l y 则混合变分问题有唯解( “，p ) x 矿 若x 且k y 则称为协调元空间，否则称为非协调元空间 对于协调元，离散的混合变分问题( 1 1 1 ) 有如下结论。 定理1 3 2 1 1 q 若双线性型口( ，) ：“，) 满足， ( 1 ) a ( ，) 在k 满足强制性，即存在a 0 使 口( ， ) 2a l l v l l x ，k 其中坛= u x h l b ( v ：p ) = o ，v l , e k ) ( 2 ) 6 ( - ，) 在k 上满足l b b 条件，即存在p 0 使 嘲s u p 等矧挑，嘶 则离散格式( 1 1 1 ) 有唯一解( 肌) 虼并且有误差估计 “一n l l x + l i p 一圳y c 州i 。n f 。洲u 一口恢+ i i p p h l l y ) ， 其中( q ，力和( u h ，p h ) 分别是( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 的解 5 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 第二章s t o k e 5 问题各向异性网格q 2 一p 1 混合元超收敛分析 2 1双二次元的构造及各向异性特征 设露是 一q 平面上的参考单元，其四个顶点分别为a l ( 一1 ，一1 ) ，a 2 ( 1 ，一1 ) ， a s ( 1 ，1 ) 和a 4 ( 一1 ，1 ) ，四条边为f 1 = 丽，f 2 ；丽，毛= 丽和f 4 = 一a 4 a 1 下面构造膏上的双二次拉格朗日型插值令宝= 魂，i = 1 ，2 ，9 ) ，户= s p a n 1 ，玑f 2 ，7 2 ，玑f 2 q ，矿 2 ，7 2 ) ，其中 e 歉名，s ，屯 容易验证上述插值算子是适定的并可表示如下 知= 扁+ 风+ 恳叩+ 岛钿+ 历f 2 + 风矿+ 触2 叼+ 西矿+ 风 2 矿( 2 2 ) 岛= 嘉( 巩+ 如+ 玩+ 幽- ；( 玩+ 玩+ 辞+ 魄) + ；国， 凤= ；( 。1 _ 奶一南+ 钆) + ；( 讯一魄) ， 萎三萋兰嚣鼍三亍兰： i i i ) 。( 0 一i o ) i i n 膏sc i 方。0 1 2 詹：v d 3 ( 詹) 6 ( 2 3 ) 这里及以后，正常数c 都与h 及丝p k 无关 证明：当n = ( 1 ，0 ) 时，我们有 纠。= 等= 厮+ 岛7 + 2 触+ 纸卅房矿+ 2 触矿 ( 2 4 ) 注意到伊户= s p a n 1 ，q ，鸳，越叩 ，7 2 ，颦q 2 ) ，所以 = 夸1 5 , 一上f l 。瑟o f f t , f ，一1 ) 必一z 赛( 1 ) 成) + 否3 ( 。( 1 砌却一。( 一l 湖咖) = ；( 一工蓑武一j i 簧武) + 3 。膳t0 磁1 3 ，d 吼 店= “霎武+ 五秘：；厶裔撕。 反= 一素l b ( 啻t - + 赴+ 魂+ 讥) ，：8 ( 魄+ 3 讥+ 钾l 一； t 南 风三萋醚骧嚣孤釉风一；( 。- + 仍一如一钒) + i ( 玩一曲) 一i ( z ，f 爱吠一厶磊) 2i 厶砸历武却 岛：一；( 。一如一玩+ 铂) 一；一魂) = 否3 ( r 瑟o f i 鹰+ 五赛鹰) 一百3 厶t 瓦o i l 鹰咖， 风三鞔嚣蓉器9 瓣寥 令t 白= 裳，则 历= a ( 西) = 百1 ( 一石。矗以一五t 知世) + ；厶衙蛭打口 岛= 岛( 西) = 互1 厶娄武却， 胁= 岛( 西) = 一杀( z f 勘+ 五f t 被) + 杀厶f 西必d 叩， 风= 允( 由) = ；厶f 墨勃蜓却， 岛= 危( 西) = ；( 工西武+ 五由武) 一；厶t i ，d 仉 风= 危( 西) = 杀( 石西武+ 五f t 溅) 一杀厶f 曲蜓d q 由迹定理可得i 丘( 由) isc l l 面ll 。膏，即或( 2 ( k ) ) ，i = 1 ，6 当。：f o 1 1 时可得相似结论，由f 4 1 4 中的各向异性判别定理知引理得证 7 2 2s t o k e s 问题的逼近格式 考虑下面s t o k e s 问题： 求( “：p ) v p ，满足 一“+ v p = 工 i n n ， d i t = 0 “= o 伽n o n 鳓 ( 2 5 ) 其中”= ( u - ，u 2 ) 为流体的速度，p 为压力，= ( ，l ，厶) 为外力，v = ( h 2 ( n ) n 嘲( n ) ) 2 ，p = 瑶( q ) = “口l 2 ( q ) ，上口d z e y = 0 ，q 是边界同坐标轴平行的凸多边形区域 上述问题( 2 5 ) 的变分形式为。求( u , p ) v p ，满足 。 船m 篡 仁e ， 其中 d ( ”) = 上v u v ”如由，“”，q ) = 一q d i v v d x d y ，( ”) = 上知d x d y 为了简单起见，设n 是边界同坐标轴平行的凸多边形区域靠是一族均匀 矩形剖分，即要求所有平行z 一轴的也相同，所有平行一轴的b 相同，不妨 设h z ；h 。，b ；h 2 ，v k t h ，但剖分不需要满足正则性和拟一致假设对任意的 k 矗，定义单元k 的中心为( z ，躲) ，其边长分别为2 k ，2 单元k 的顶点 为z l ( x k k ，船一b ) ：9 2 ( x l + h z ，”一b ) ，z 3 ( x k + h z ，鲰+ f ) ，z 4 ( x k h x ，”k + _ i l v ) ， 单元k 的边为i i = 五五十l ( r o o d 4 ) ，i = 1 2 ，3 ，4 q 2 一尸l 混合元空间v “p “可定义为1 3 1 ； v “= v e ( h 1 ( q ) ) 2 ；v l k q 2 q 2 ，k 死；v l o = o ， p “= 口l 2 ( n ) ；q l k p l ( k ) ，k 死) ， ( 2 7 ) 磁= 口r ；z q d x d y 2 o ) 显然v h 磁c ( 硪( n ) ) 2 瑶( q ) ，则( 2 6 ) 的有限元离散形式为： r 求( ，肌) e y “p ，褥足 。( u h ，t j ) + 栅) ：“们， v v v a , ( 2 t 8 ) ib ( u h ，q ) = 0 ， 峋p ， 其中 。( ) 2 上v u v v d z d y ，v ”v h ， 6 ( u ，q ) = 一a q d i v v d x d y ，v q 砂 显然n ( i ) 在p 砂满足强制性即。 n ( 口，2l i v l l ；，v “ ( 2 9 ) f 1 5 ，1 6 已经证明( v h ，砂) 满足b b 条件，即 o i 蚱n f s 倒u p 。胁。 ( 2 1 0 ) 由混合元理论知( 2 8 ) 存在唯解( “ ，p h ) v p ，且有下面的误差估计： 一“h ”l i p 圳。c ( 址i n ，f x p h ( 1 l u 一叫i l + l i p q l l 。) ， ( 2 1 1 ) 坤，q j e y “ 其中这里及以后出现的c 均是与h k p x 及h 无关的正常数 此外，还证明了当混合元空间( 2 7 ) 满足b b 条件时，对v ( v ，q ) p p n 有 州| i + 悱坯似州器啪。盟娑i i 羔i i 娑i i q 挫i i o 型( 2 1 2 )( 目，0 ) ( 口，q ) e v “p ul 十 设u ( h 2 ( q ) ) 2 ，p l 2 ( q ) ，其插值函数“。= ( “j “；) 1 “，矿p 由以下条件 确定： 在单元k 上 以及 ( 磊) = u ( z i ) ， = 1 ，2 ，3 ，4 ， 小= j ( ”帆 i = 1 2 ，3 ，4 ， ( 2 1 3 ) l n u t d x d y = | k 谢z 如 上( p p ) g 如由= o ， 均r ( ) ( 2 “) 9 由插值函数的定义知若 ( ，2 ( q ) n 删( q ) ) 2 ，p 瑶( q ) ，则( ，) i 巾p 2 2 3一些基本估计式 下面我们介绍一些重要引理 引理2 3 1 ：v h ，k t h 成立下列不等式 i i , l a o ，sc h ；1 h o ，k ，i i , y l l o , kso h ；1 i m o , x ， 妇s g 纠汕x ，h c 钏圳嘶 ( 2 1 5 ) h t k q l l o ，k 曼c h ；2 1 1 0 n k ，h t k w o o ，耳sc h ；2 i i v , l l o , 耳， 。 00 t ksc t k 2 k 10 h o k ，0 q p o 耳o h ；1 i 2 1 1 , 1 1 0 x 证明：我们只证明第三个式子，其余式子可类似得证由于在参考单元上有限 维空间上所有模等价，所以 吲5 k = f k ( 0 2 v i ) 2 如妇 = 厶( 麦葫) 2 ；2 k 2 h x h y 武却 铲酊2 k 圳城詹 ( 2 1 6 ) c h ；2 i 2 k 训训：膏 。 = c h ；2 喊， 此即 i p i o k c k l i h k 故引理得证 在任意的单元k t h 上，利用【3 j 中的思想引进误差函数 脚) = ；( ( z 一训2 一磋) ，m ) = ；( ( ”一2 一砖) 1 0 记= ( w l ”，w 1 2 1 ) = “一，r = p 一， 引理2 3 2 ：如果( ( q ) ) 2 ，则 ( v 坩，v v ) = o ( h 3 ) 陬1 4 p l i ， v v h 证明：对关于变量y 做t a y l o r 展开 谚( 墨，) = 谚( 毛揪) + ( 一耿) 喇( 置瓤) + ；( ”一v k ) 2 域( z ，! ，) ， 二世砖1 ( v k ) = ( 丘一) w 世( 而v k ) , t v 一五w l l l v l z l ( z ，v k ) = 0 ， 五趔细一叼删( 曩y k ) = 否i k 。i l l 。2 ( ) 砷捌( t 瓤) = 叁五一上) 世1 俨( ) ”础( 甄欺) 如一；上t 螂俨( ) “蝴( $ ，鼽) = 等( 上一工) 世1 删( 以瓤) 如一：厶俨( ”m i l lv 1 l 文觚) 2 - 一等( 五一上) 护1 螋知，觚m 一；上俨( 咖础( 毛o ) = 一石1 五严( ，) ，l 。1 1 。1 v i i i 婀) ， 上趔j 虿1 扫船1 2 觇= 厶趔l ( 嘉f 3 ( p ) + 慧) 如 2 刍( 五一z ) 趔1 p ( ”) 峰如刍上p ( ”) 。删蛆 + 篙一五) 护1 蛾咖一篙厶护，础。 = 一刍( 丘一石h 一1 f 3 ( ”) 。蜴如一嘉厶f 3 ( ，) t t 删。 = 一嘉五f 3 ( ) “壤， 由( 2 1 6 ) 至( 2 1 9 ) 式及引理2 3 1 得 厶世1 谚1 = 飞1j 耳f 2 ( f ) 蠕螂( z ，y 耳) 一百1 。打f 3 ( ) u 蜴 = d ( 7 孙t l lj 1 4 ，k 妒i h ，k ， 同理可得 上彬= o ( 磋) 川硼t m ( v t ”1 1 1 ：v t ，l l 】) = o ( h 3 ) 胪i i 。l t f l k ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 同理 ( v w l 2 1 ，v v l 2 1 ) = o ( h 3 ) l u t 2 1 1 4 1 v 1 2 1 1 1 引理2 3 3 ：如果p h 3 ( q ) 且k 兰h x ，三_ 1 1 2 ，v k 死，则 ( r ，d i v v ) = o ( h 3 ) l p l 3 i v l l ， 铷v “ 证明：对谚1 ( 曩”) 关于变量做t a y l o r 展开 谚】( z ，”) = 谚l ( 甄觚) + ( 一) 捌( 毛拈) + ；( ”一驰) 2 龆( 。，) ， ( 2 2 2 ) 注意到谚1 ( 曩驰) b ( k ) 及插值定义知 厶r 蟛1 ( 为斯) = o ( 2 2 3 ) 厶r ( y 一觚) 础( 毛躲) = 厶r 白一k ) ( 蟛( z 耳，瓤) + 一甜) t 地( q ) ) 2 上e ( 而f ( ) 脚t y k ) = 上f ( 州；f 2 ( 一等) m ，v 。i i i ( 毛鼽) 2 ：潞：。， z a ， 一i j 厶即矿( 酬缨。咄一船) 蜴) 一簧厶e ( z ) 几，t 埋，一等厶e ( r ) f ( ”) 儿。t 埋。 = 一等上e ( z ) 儿。v z l + o ( ；) 训。，i v t j i - m 厶r ；( ”一船) 2 蛾= j 厶( 严( ) ”+ ；) r 蜴= 6 1j 耳f 2 ( 蜴， ( 2 2 5 ) 注意v 1 1 i 在q 上连续且v 1 1 ii a n = 0 ，于是当eh 2 时，由( 2 2 2 ) 至( 2 2 5 ) 式及引 上r t 9 = 。( ：【1 l i - 一莓譬厶e ( ，) 几，t 盟+ ：莓厶f 2 ( ”) = 。( 心| 3 i 一莓等( 五一五) f ( z ) 胁蠼如+ 莓譬厶e ( z ) p 。删 + ：莓( 五一五) f 2 ( ，) p w 棚由一：莓厶俨( ”) m 船 ：。( 胪) 挑l l _ 等厶f ( z ) 锄趔宵d s + ：厶硝咖细 1 j - ，：, - 如 = o ( h 3 ) l p l 。伊i l ， 五r 妒= o ( h 3 ) 川”嘲l t 引理得证 引理2 3 4 ：如果( h 4 ( n ) ) 2 ，则 ( d i v w ，q ) = o ( h 3 ) l u f 4e t q u o ，v q p h 证明：由t a y l o r 展开得 q ( z ，) = q ( x ，y k ) + ( 一”k ) q y ， ( 2 2 6 ) 厶砖1 口( 置鼽) = ( 五一五) 护1 口( 置y k ) d u 一五w q 啦( z ，船) = o ， ( 2 2 7 ) 肚k 扩三教辎一脚铀协。， = ；( 五一五) 世1 f 2 ( ”) ”锄如一；厶删f 2 ( ”) ”铀 ( 2 2 8 ) = 一；二f 2 ( 咖肌 由( 2 2 6 ) 至( 2 2 8 ) 式及引理2 3 1 得 厶趔q 2 o ( h ；) l u 1 l t 巾帆， 故 j ( ，趔q 2 o ( 洲”i a i l q l l 。 同理可得 上蚓q 2 o ( h a = ) l u l 2 j 4 l l q l l 。 1 3 2 4q z p l 元超逼近及超收敛结果 定理2 4 1 ：如果( “，p ) ( 日4 ( q ) n 础( q ) ) 2 h 3 ( q ) ，( ，p h ) v “p “分别是 方程( 2 6 ) ，( 2 8 ) 的解，则 f l “h 一“邗l + i 一p 邗o 曲3 ( h f 4 + i p l 3 ) 证明：由( 2 1 2 ) 式对v ( “，p ) p p j l 有 c ( 1 l “h 一吐l i l + 0 p h 一，0 0 ) 曼黼s ，u p q ) e v h x p a 业趔盟聋i l v 揣1 1 1 等i i o 地虹业( 2 z 。)( 口 0 ) ( ， 1 - i l q 、 = 佃，o ) ( 。s u ) p m p ( v ( u - u t ) , v v ) - i ( d 而i v v 习, p - 而p l - ) + ( d i v ( u - 一u n ) , q )佃，o ) ( 口，口) y “x p “i i u l l l 十l i q o 将引理2 3 2 至引理2 3 4 代入上式即得结论 有了超逼近的结果，利用【3 1 中的思想可以用插值后处理算子k ，如来得 到整体超收敛把相邻的四个小单元所，飓，肠：配合并为个大单元露( 如图 1 ) ，露的顶点为z i ，i = 1 ，9 ，露的边为k ：i = l ，1 2 定义插值算子k ，如在 单元露上满足v ( w ，p ) ( c c k ) ) 2 l 2 ( 露) ，( j 2 h ，以 p ) ( q 4 ( 露) ) 2 p 2 ( 露) 且 & h w ( z i ) = ( 五) ， 0 删a s 一一s ， f k 。1 2 h w d x d y = b m b 名如p 如劫2 厶p 如? t = l z ，3 ：4 。m ， i 厶( 咖一p ) r d x d y = 厶。( j 2 印一p ) y d x , d y - 0 ， 一 其中k ， ，五分别为小单元及它们的边和顶点 1 4 3 犯 ， 2 9 l 4 1 1 l = | l i | 1 1 1 磊1 2z 2z l蜀 恐1 4k l 厶z 。l 配 9心 1 3 蜀 k z 7 由【4 j 的技巧可以验证上述构造插值后处理算子k 具有各向异性特征， 即o t = ( o t i ，a 2 ) ，当h ；1 时有 l 加 一如n ) l 噼茎c i 伊砬l ：l 膏，v 砬( ( 詹) ) 2 ( 2 3 2 ) 引理2 4 1 ：在上述条件下，v ( h 4 ( n ) ) 2 ，插值算子k 满足 = k u ，( 2 3 3 ) i i ，2 t 一 1 1 1sc h s l u l 4 ， ( 2 3 4 ) i l ，甜t 0 l c l u l , ，v u v “( 2 3 5 ) 证明：由于”= ( u 。，u 2 ) ，我们仅对u 。证明结论成立即可由k 的构造知 ( 2 3 3 ) 是显然成立的另一方面，令2 ，t 以和2 h r 分别为露的沿z 一轴和y 一轴 方向的边的边长，由( 2 3 2 ) 得 同理 0 ( 厶 “l 一“1 k 0 ：霄= z h 霄，( 赢砬1 一n 2 膏sc _ i l 乏 矾i 矗l 暖j i c h 磊l h g , , l 臣g h 6 h 2 。h - l 。h - 。，i ( 2 3 6 ) = c h 6 l u , l ；霄， i i ( 1 _ , u l 一“1 ) v i i o 露c h 3 l u , 1 4 ，霄， ( 2 3 8 ) 1 5 732 摩4 1 扩c 一 牙0kl 一“ i i n p b 由( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 即得( 2 3 4 ) 又由于 ，h ( j 2 h u l ) 。峨詹= 厶( k u t ) ：出妇= 厶( 厶矗t ) ；嘧h 甩h 岛武咖 = _ h 乏_ i l 贾，0 ( 丘矗1 ) 1 1 2 膏兰c 咤 凰。矗l 0 ；膏 = c h i c lh r if $ ：( a t , , ) 2 武咖= 以乏 凰厶吨 乞 乏 乏如妇 = c 厶( u l z ) 2 d x 2c 崃， 所以 i i ( j h l k 0o 露sc l l , , l 。0 0 , r ， ( 2 3 9 ) 同理 i i ( t 瓠- 1 ) f 露c l l - i p i l o r ， ( 2 4 0 ) 由( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 即得( 2 3 5 ) 引理得证 引理2 4 2 在上述条件下，插值算子如满足 d 2 n p t = i z h p ， ( 2 4 1 ) i i ，2 p p o o c h 3 l p l z ， ( 2 4 2 ) i i 也 p o o c o p l j o ，v p p h ( 2 , 4 3 ) 证明：由如的构造知( 2 4 1 ) 是显然成立的下面我们证明( 2 4 2 ) 式 i i j 2 h p p l l 0 2 ，詹= h gh g ，1 1 j 2 h 】6 一引医膏c 露。 凰i 庐睦壹 c h k h r , j pj ；，斤 6 吃h ：；1h ：。l = c h 6 吣届， 所以 i i j 2 腰一p l l osc h 3 i p l 3 下面我们再证明( 2 4 3 ) 式 i i j 肋p l l 0 2r = 丘( j i 删) 2 幽。由= 厶( 五 庐) 2 也h 凰埏却 = 以 毛0 正 硎；膏c h j i ：h r , ij $ 1 1 2 0 ，膏 = c h g h g ，i 也- 1j 凰- 1i i p 。2 ，膏= c o p i 瞌露， 1 6 所以 i i j 2 h p l l o c l l p l l o 引理得证 定理2 4 2 ：如果( t l p ) ( ( q ) ) 2 ，3 ( q ) ，则有下面的整体超收敛 i i j 拍“ 一“0 l + 0 如p 一p l l osc m ( 1 u 1 4 + i p l 3 ) 证明：注意到k 一 = k 鲰一k + 一u ，由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 及( 2 3 5 ) 得 i i 如“ 一i i l i i k u 一t i l + i i 如u 一训1 1 = 0 玩一k u 邗l + i i k u u l = i i 2 ( u h u 。) 0 1 + i i j 矗u u l hsc 胪( i t 1 4 + i p l 3 ) 同理 j 矗抑t p o o c h n ( 1 u 1 4 + l p l 3 ) 定理得证 1 7 第三章s t o k e s 问题q 2 一p l 混合元外推方法 3 1q 2 一尸l 元一些高精度估计式 本章中所讨论的s t o k e s 问题的弱形式及离散形式同( 2 2 ) 节中的形式 在任意的单元k t h 上，利用【3 1 中的思想引进误差函数 e ( z ) ：；( x - - z k ) ：一碡) ，f ( ”) = ；( 妇一y k ) 2 - - 燧) 记埘= ( w 1 1 i ，w 1 2 1 ) ；u 一“。，r = p 一， 引理3 1 1 ：如果“( h 5 ( n ) ) 2 ，则 ( v w ，v v ) = o ( h 4 ) 5 l ， v1 ，v “ 证明：对蟛1 夭于跫重儆t a y l o r 展升 ( 而) = ( 矗) + ( 妒一”) 螂( z 撇) + 互1 ( 一k ) 2 蛾( z ，”) ， 厶趔蟛1 ( 置觚) = ( 五一五) ”谚1 ( z ，肌) 咖一厶w 1 l v b l ( 毛觚) = o ， 上趔1 白一) 蚓( z ，y k ) = il k4 1 p ( ) 3 础 u k ) = ：( 五一五) 世1 庐( p ) ”删( 以瓤) 如一：上t 删俨( ) ”蟛( 毛鼽) = 等( 五一五) w 掣。z ，船) 如一t 厶- v i i ( f 2 ( y ) “螂( 叠辨) 一譬( 五一z ) 护v 。i a l ( 最) 如一1 。f 2 ( ) “辫。螂( z ，躲) = 一l f kf 2 ( ”) “删( z ，x ) = 一：( 上一五) f 2 ( ”) “( 站瓤) 勘+ ：厶f 2 ( ) “曼烤1 ( z ，鲰) ， 厶世】1 2 ( ”一9 7 ) 2 蜴= 厶叫掣( 未一( 们h + 冬) 蜴 = 南( j l 一五剃p ( 们p 学妇一嘉厶照们p 心蛾 + 篙( 上一丘) 一向一篙厶i j j i 鲤。 = 一嘉( 五一上) 护1 f 3 ( ) 3 出，如+ 熹j - kp ( ”) 螂一v b ”l = 嘉厶( 可) u 蜴， d 封 由 鼹 b p 由( 3 1 ) 式至( 3 4 ) 式得 厶世l t 掣= 一：( 五一上) f 2 ( 咖t 蛆1 ( 五胀) 由+ ：厶严( ) “竖k 出1 ( 而欺) + 1 0 “f 3 ( g ) “蛾， 注意到f c y ) ，“，谚】在平行于口轴的单元边上连续，并且t ，【1 1i 铀= 0 及引理 2 3 1 得 互世1 = 一：莓( 五一f 2 ( ”) “掣( z ，y k ) d y + ；莓上p ( ”) t 埋。船) + 嘉莓厶( ”) 啮k 蛾 = o ( _ f l j ) i “【1 1 1 5 1 d l l | 1 同理可得 上砖1 掣= o ( 埘) 一l s i v 1 l i ， 所以 ( v w l l l ，矾1 1 1 ) = o ( h 4 ) l u l l l l 5 i v l l 3 1 1 同理 ( v 1 2 】，v v l 2 1 ) = o ( h 4 ) l u 2 1 1 5 妒j 1 1 引理得证 引理3 1 2 ：如果p h 4 ( n ) 且矗为均匀剖分，则 ( r ，d i v v ) = 。( h 4 ) l p t 。m ，一莓学上魄。v 。p + m ”：2 卜磊1 4 锄1 1 1 + h 拓v v 1 2 1 一刍丢五( ；嘞h w t 鲤。+ ，l ：嘞锄t ；。p l 。) ，v , v ev a 证明：对世j ( x ，) 关于变量做t a y l o r 展开 拶( z ，) = t ( 毛鳅) + ( ”一) 蝴( _ k ) + 互1 ( 一y k ) 2 t 蛾( z ，) ， ( 3 5 ) 注意到世i ( x ，y k ) p l ( ) 及插值定义知 。 厶r 刈( 而y k ) 姐 ( 3