（应用数学专业论文）微分方程边值问题与非线性算子不动点.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 微分方程边值问题与非线性算子不动点 摘要 在本文中，我们主要应用非线性泛函分析中的半序理论，锥理论，l e r a y s c h d u d e r 拓扑度理论，锥拉伸与锥压缩不动点理论，以及上下解方法，半序方 法，迭代方法对一些非线性微分方程边值问题和混合单调算子的不动点问题进 行讨论，并得到了一些新成果全文共分为四章 第一章是本文的绪论部分，主要介绍了本文的研究课题 第二章主要考虑如下s t u r m l i o u v i l l e 方程的边值问题 il u = i ( t ，u ( z ) ) = - ( p ( t ) u 亿) ) ，t ( ，叩) ， r 。( 仳) = a 。u ( ) 一f 1 0 1 + i m p ( ) “( 。) = o ， ( 2 1 1 ) lr l ( u ) = a l u ( v ) + 卢11 i mp ( t ) u m ) = p 0 ， i 一 其中q o ，凤，a 1 ，卢l 为非负实数，让j = 睡，叩 ，p ( t ) c 1 ( f ，叩) ，p ( t ) 0 ，i ( t ，u ) c 【( ，7 7 ) r ，r ，r = ( 一，+ ) ， 郴) = z 。高雕z 在一定的条件下，得到了至少有三个非负解，以及至少有2 礼一1 个非负解的结 果( 定理2 3 1 ，推论2 3 2 ) 第三章主要考虑n a g u m o 条件下二阶三点边值问题 哪 ) = 八屯为一) t e 【0 1 1 】 ( 3 1 1 ) iz ( o ) = 0z 7 ( 1 ) = z ( 7 7 ) ，7 7 ( 0 ，l 】， 主要利用上下解方法( 见定义 3 1 2 】) 以及n a g u m o 条件，得到了至少有一个正 解和至少有三个正解的两个定理( 定理3 2 1 ，定理3 2 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 第四章主要考虑锥中两类混合单调算子的不动点问题，分别得到了连续 性条件下与非紧不连续性条件下混合单调算子的不动点定理( 定理4 1 2 ，定理 4 2 4 ) 本章主要利用锥拉伸与压缩不动点定理，某些非线性算子( q 凹，卢凸 算子，凹一( 一妒) 凸算子) 的性质，以及迭代技巧，得到了不同情况下不动点 的存在性结论 关键词 s t u r m l i o u v i l l e 边值问题；非负解；全连续算子；不动点； 锥；混合单调算子 曲阜师范大学硕士学位论文 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df i x e dp o i n t s f o rn o n l i n e a ro p e r a t o r s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ya p p l yt h e o r yo fo r d e r i n gi nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，c o n et h e o r y ，t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y ，c o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o nt h e o r y ， a n dt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，p a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d ，i t e r a t i v e m e t h o dt os t u d ys o m en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb v pa n df i x e dp o i n t sp r o b l e m so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s ，a n do b t a i ns o m en e wr e s u l t s t h i sp a p e ri s c o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w em a k ei ta si n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hi n t r o d u c e st h e m a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r 盎c h a p t e r2 w em a i n l yd e a l sw i t ht h ef o l l o w i n gb v pf o rs t u r m l i o u v i l l ed i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s w h e r ea o ，阮，q 1 ，卢1a r en o n n e g a t i v er e a ln u m b e r ，a n dl e tj = k ，叩】，p ( t ) c 1 ( ，7 7 ) ， p ( t ) 0 ，f ( t ，“) c ( f ，叩) r ，r ，r = ( 一，+ ) ， 坤，= z 2 高一z w eh a v es u c hc o n c l u t i o n st h a t ( s l p ) b v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s to n eo rt h r e ep o s i t i v e s o l u t i o n su n d e rs o m ec o n d i t i o n s ( t h e o r e m2 3 1 ，c o r o l l a r y2 3 2 ) i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yd i s c u s sas e c o n d o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u e 儿 n 7 和 ， 八| 0 叭 p = = r ， 僦州 批 m m 却宕叫吕咖 弋阮 风 = 一 + 啪啦 咖 以 “ 伽 们 八 = = | | 眈 凰 q i 曲阜师范大学硕士学位论文 p r o b l e m su n d e rn a g u m oc o n d i t i o n s ，一z ，( t ) = ，( ，z ，z 7 ) ， t 【o ，1 】， 、z ( o ) ：oz ，( 1 ) ：z ( 叩y ，叩( o ，1 ， ( 3 1 1 ) a n dw eo b t a i nt w ot h e o r e m s ( t h o r e m3 2 1 ，t h o r e m3 2 2 ) a b o u to n eo rt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sm a i n l yb yt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n dn a g u m o c o n d i t i o n ( s e ed i f i n i t i o n 3 1 2 】) i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st w oc l a s s e so ff i x e dp o i n t sp r o b l e m so fm i x e d m o n o - t o n eo p e r a t o r si nc o n e ，a n do b t a i nt w of i x e dp o i n t st h e o r e m so fm i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r su n d e rt h ec o n d i t i o n so fc o m p a c t n e s sa n dc o m p l e t ec o n t i n u i t yo rn o t ，r e s p e c t i v l y ( t h o r e m4 1 2 ) ，t h o r e m4 2 4 ) w em a i n l ym a k eu s eo fc o n ee x p a n s i o na n d c o m p r e s s i o nt h e o r y ，s o m ep r o p e r t i e so fn o n l i n e a ro p e r a t o r s ( ac o n c a v e ，pc o n v e x ， c o n c a v e 一( 一妒) c o n v e xo p e r a t o r ) ，a n di t e r a t i v em e t h o dt og e te x i s t e n c ec o n c l u t i o n s o ff i x e t ip o i n t su n d e rd i f i e r e n tc o n d i t i o n s k e y w o r ds s t u r m l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；n o n n e g a t i v es o l u t i o n ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ；f i x e dp o i n t ；c o n e ；m i x e dm o t o n eo p e r a t o r 符号说明 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定， 1 o a 表示元素n 属于集合 ； 2 i n f 表示下确界，s u p 表示取上确界； 3 表示包含于，g 表示不包含于，v 表示任意，j 表示存在，o 表示空 集； 4 表示不等于，：= 表示定义，_ 表示趋于，表示不趋于； 5 e 2 【o ，i 】表示1 0 , i 】区f 可上所有二阶连续可导函数的全体； 6 孬表示集合n 的闭包； 7 q d 表示集合q 去掉集合d 中的元素后所剩元素组成的集合； 8 a q 表示集合n 的边界； 9 0 表示范数 第一章绪论 1 1引言 各种各样的非线性问题已日益受到人们的广泛关注非线性分析已成为现 代数学中的重要研究方向之一，二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了 重大突破 首先，利用抽象空间的压缩映象原理、l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论、锥拉伸 与锥压缩理论、以及上下解方法、半序方法，迭合度方法等使得非线性常微分 方程、偏微分方程等问题得到研究与发展其次，常微分方程的定解条件正由 局部向非局部发展1 9 9 2 年，g u p t a 开始研究二阶非线性常微分方程三点边 值问题解的存在性此后十多年间，关于常微分方程非局部问题研究取得了重 大进展，建立了许多重要性的存在性结果八十年代末期，非线性算子不动点 问题研究成为微积分方程理论的一个重要分支利用非线性泛函分析方法( 上 下解方法、迭合度方法) ，研究缺乏紧性和连续性的微分方程边值问题，取得了 重要进展奇异微分边值问题起源于核物理学，边界层理论，非线性光学等应 用学科中其解的存在性，近年来也得到了广泛的研究 随着人们对自然界认识的不断深入，已逐渐认识到非线性科学在数学，物 理学，化学，生物学，医学，经济学，工程学，控制论等科学领域的重要性， 特别是近年来，人们认识到在有限维空间中，系统产生混沌的本质原因是非线 性目前。非线性泛函分析已成为现代数学中的一个重要分支，并且在其他分 支中发挥重要作用，非线性泛函分析是处理非线性问题的重要有力工具，尤其 是处理应用中出现的大量微分方程中发挥不可替代的作用在非线性泛函分析 中，用锥理论( 半序方法) 来处理方程是直观而又实用的方法，并和拓扑方法相 结合有力地推动了现代非线性泛函分析的发展在这方面，很多专家都取得了 辉煌的成就 二十世纪中叶，非线性泛函分析已初步形成了理论体系在无穷维空间中， 用泛函分析的理论来处理非线性问题也有巨大的潜力 1 9 2 1 年，l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了拓扑度的概念1 9 3 4 年， j l e r a y 和j s c h a u d e r 将这一概念推广到b a n a c h 空间的全连续场后来，e 1 第一章绪论 r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p h r a b i n o w i t z ，h a m a n n ，k d e i m i n g 等对拓扑度 理论，锥理论及其应用进行了深入的研究国内张恭庆教授，马如云教授，郭 大钧教授，陈文源教授，定光桂教授，孙经先教授，姚庆六教授，赵增勤教授， 刘立山教授，张克梅教授等在非线性泛函分析中的众多领域都得到了大量的成 就 1 2微分方程边值问题的研究 常微分方程二点边值问题( 如s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题，n a g u m o 条件下 二阶三点边值问题，d i r i c h l e t 边值问题，n e u m a n n 边值问题等) 已被深入而广 泛的研究，并且取得了系统而深刻的结果但对于常微分方程边值问题多重性 的研究进行的比较缓慢，所以对某些非线性常微分方程的研究是一个有价值和 实践意义的课题非线性微分方程边值问题( 如s t u r m l i o u v d l e 边值问题， n a g u m o 条件下二阶三点边值问题，两端固定的弹性梁边值问题等) 无论从理 论上还是从实际应用都非常重要例如；在应用数学和物理学中有大量的模型 归结为s 工p 的特殊情形特别地，对于大部分实际问题，只有s lp 的正解有 实际意义见文【1 7 】 2 0 0 5 年，王俊禹、高文杰、张中新在文【8 】中利用s c h a u d e r 不动点定理、 上下解和l e r a y s c h a u d e r 影射度理论，获得了解的非存在性、存在性，和多 重性结果我们利用锥理论，上下解方法及有关理论寻求形式更为一般，条件 更弱的s t u r m i _ n o u v d l e 边值问题的多重性 1 3非线性算子的不动点问题的研究 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函理论的重要组成部分，它与 近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立各类方程( 包括各类线性 或非线性的，确定或非确定的微分方程，积分方程以及各类算子方程) 解的存 在唯性问题中起重要作用自本世纪初b r o w e r 和b a n a c h 压缩映象原理之 2 曲阜师范大学硕士学位论文 后，半个多世纪以来，特别是最近二十年来，我国数学工作者在这方面也作了 大量工作，取得了第一流的成果 众所周知，非线性算子的不动点理论是研究非线性微分方程，积分方程的 有力工具对讨论各种算子的不动点已有具体而又深刻的研究( 见文献f 2 9 4 9 】) ， 对诸抽象不动点定理的研究，一方面能加深对它的理解，另一方面能从中学会 应用的技能 赵增勤老师在文 4 7 4 8 1 利用建立一个特殊的锥，利用锥拉伸与压缩不动 点定理，以o ( o 0 ，f ( t ，“) g 【( f ，q ) r ，捌，r = ( - - 0 0 ，+ o o ) ，令 砟) = z 高一z 我们假设 ( 1 1 1 ) p ( t ) ，k ( t ) g ( 正r + ) ，豆 = 【0 ，o o ) ，风，伍0 ，历+ 口1 k ( 叩) ，岛+ a o k ( 7 ) ( 日2 ) 并且 删u ms 印型掣 0 满足日z y = i n i i i i ， 则称p 是正规的 注2 1 2 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的锥，e 中的半序“s ”由 p 导出，详细讨论见文【2 】【3 】 2 2几个引理 引理2 2 1 ( a m a n n 定理，见文【2 】) 设p 是e 中的正规体锥，l ，1 ) 1 ，“2 ，v 2 e 设a ：m 1 ，v 2 】- e 是全连续的强增算子，满足 t lsa “1 ，a v l 0 1 ，u 2 a u 2 ，a v 2 1 2 ， 则a 在阻1 ，v 2 】中至少有三个不动点x , y , z ，满足 u l s z o l ，t 2 ”也，t 2 z 移l 引理2 2 2 设( 肌) 一( 1 - 1 3 ) 成立，则对0 p p ，其中 p = 面m 弦f ，瓣妒l ( t ) d t ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 h ( t ) = 幽孚盟， m 与a 1 见文【1 1 ，则( s l 力有非负解 证明；只证p 0 的情况( p 0 ，当p m 时， m a x i f ( ) l , t e j 志篇， i l k ( 峨) 1 1 0 ，使得i g ( t ，5 ) 一o ( t ，s ，) i l ，l h ( s ) 一h ( s ”) i e 2 所以 i i j r ( u ，8 ) 一k ( ，) i i 2 1 1 l l e z + p e 2 0 ，使 得 l i r as u p u - - + 0 型掣 赤 0 ，当“ m 和t ，时，使得 i f ( u , t ) l 亦 对于特定的p 0 ，令 d = e ，i p | i m “) ， 其中 m “= m + p + l i g i m 赧 i ，m ，t ) l ，0 t m + ， 则对每个固定的w d ，便有 i l k 圳 | | g l l ( m a x f f ( u , t 小。“s 玑t n + 谛) + p = m ”， 这表明k 为d 到其自身的全连续映射由s c h a u d e r 不动点定理知，k 至少 有一个不动点t d 由，+ ( u ，t ) 的定义及( 日2 ) 知， i f ( u , t ) l 赤， 因此f ( o ，t ) e0 故x ( t ) = 0 是( s l p ) 的一个下解，从而k 的每个不动点都为 ( s l p ) 的个非负解引理2 2 2 证完 引理2 2 3 设d 是e 中的有界闭集，a ：d - + e 是全连续算子，设存在 一列算子a 。：d - + e ( n = 1 ，2 ) ，使得 ( i ) ij 如t 一a u l l _ + 0 ( n + ) 关于t d 一致成立， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i i ) 每个a 。在d 中有不动点$ 。 则存在子列 z 。) c z 。 及某个矿d ，有 z 。) _ + 矿( 1 _ + o o ) ，且 a z = z 证明：由条件( i ) ( i i ) 知，i i x 。一a x 。| i _ + b ( n - ) 由于 。) cd ，d 是 有界集，故由a 的全连续性知，存在子列 z 。，) c z 。 使得 a ：r 。) 收敛于 e 中的某一点矿，于是得到。m - + 矿( 1 - ) 显然，矿d 从而易知， a x 。- a x 0 _ o o ) 因此，a x = 矿证完 引理2 2 4 设存在t l ，v l ，“2 ，u 2 俨壕，胡， u l l t 正2 p ， 眈2 “o 一2 0 ( 2 2 7 ) l 凰( u 2 ) 0 ，r 1 【 u 2 ) p ， p 列。脚o ( 2 2 8 ) l 凰( v 2 ) 0 ，r 1 ( 7 ) 2 ) p ， 则s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题( 2 1 1 ) 在沁1 ，v 2 】nc 2 睦， 7 1 中至少有三个解，满足 u lsz v l ，i t 2 y 2 ，“2 z 菇v 1 ( 2 2 9 ) 注2 2 1 g k ，叼i 中的半序。”由正规锥p = t e 陈， l t d t ) o ，t 以 导出，下同 证明：由引理2 2 2 知 u ( t ) = g ( t ，5 ) ，( u ( 5 ) ，s ) d s + p h ( t ) = a u ( t ) ， v t 正 ( 2 2 1 0 ) c 9 第二章非线性s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的多重非负解 _ l ( t ) 同上，其中g c t ，8 ) 是l u = 0 在边值问题( 2 1 1 ) 下的g r e e n 函数下证算 子a 在阻l ，t ，2 】中至少有三个不动点 ( i ) 首先证存在w 1 ，峨俨陪，胡，满足 m ( t ) ，1 ( t ) ”1 ( t ) ，v t 正 ( 2 2 1 1 ) 砒列o “) 虮正( 2 2 1 2 ) 【1 ( o j l ) o ，r 1 ( ，1 ) p ， 也( t ) e l ，r 1 ( t i i ) p + e l ，l v l f i t ，口1 ( t ) ) e 1 ，( t j ) 取和 0 ，使得 一7 - 0 “0 ) 7 b ， ( 2 2 1 5 ) v u u l ，v 2 ，v t j ，由于f ( g ，t 1 ) ：匠叼1 卜勺，和】_ 冗1 一致连续，故存在 6 l 0 ，使得当。，f 【一罚，叼】，i z 一训j l 时，有l f ( t ，茁) 一，( 厶) i 厶( t ，口l ( t ) ) ， i 风( 口1 ) 0 ，r 1 ( 口1 ) p ， il u 2 厶i t ，- 2 i t ) ) ， l 凰( - 2 ) 口时，有 厶( ，) 一，。( t ，可) 一“h ( $ 一) ， ( 2 2 2 3 ) 由( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 1 2 2 2 3 ) 三式，并用所知方法( 见文f 2 】) ，可知对每一个n ，问 题( 2 2 2 2 ) 在卜l ， 0 1 】中至少有一解善。，即a 。= z 。另设声= p 0 ，( s l p ) 有非负解) ( 见文f 3 】) ，并且声【o ，矿】，由声的定义，我们选取一个单增序列 第二章非线性s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的多重非负解 肌) ( n = 1 ，2 ，) ，使得0 加 p n + 1 0 ，并且g r e e n 函数a ( t ，s ) 是 恒正函数因此算子k ：c i j ) _ + c ( j ) ，妒( t ) = fg ( t ，s ) i s ) d s 是全连续的 强增算子而 肌 为单增序列，h i t ) 为恒正函数对于边值问题( 2 , 22 2 ) ，由 ( 222 3 ) 可假定厶( t ，u ) 关于“在【一，丁0 j 上是严格增函数于是对每一固定的 忆 厶= k 晶- i - p n h ( t ) ：l i t l ，v 2 】- c ( j ) 是全连续的强增算子这里f ( i t ) = 厶i t ，i t ) ，由( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 1 9 ) 等 式知，对每一个n ，有 “l a n “l ，a n 口l j l ，i t 2 a n “2 ，a n t j 2 口2 由引理2 2 1 ，对每个n ，a 。在阻1 ，t j 2 】中，至少有一个不动点，满足 i t 2 v l ， 由( 2 2 2 4 ) ，并应用引理2 2 3 ，存在子列。与矿 i t l ，t ，2 】，使得a z 。= 矿，_ + 矿“_ + o o ) ，再由( 2 2 2 5 ) 知，必有抛盛矿g 口1 因此，矿是a 在阻l ，v 2 】中 的第三个不动点证完 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3主要结果 定理2 3 1 设( 日1 ) 一( 胁) 成立，存在u l ，v l ，坳，忱e 2 畦，叫满足 t 上1 l t 2 砚，v t 正( 2 3 1 ) 并且以下各式成立 ， 乩“，( 厶饥( t ) ) ，( 2 3 2 ) 【凰( t 1 ) 0 ，r 1 ( u 1 ) p ， p p “厶m o ( 2 33 ) l 凰( 1 ) 0 ，r i ( v 1 ) p ， 砒 ，( t 一2 0 ” ( 2 3 4 ) 【凰( t 2 ) 0 ，r 1 ( u 2 ) sp ， p 2 巧o m o ) ) ， i m , k 3 5 )、o o ， 【凰) 0 ，r 1 ( v 2 ) p ， 则( s l p ) 边值问题( 2 1 1 ) 在舢1 ，v 2 】nc 2 ( j ) = t c 2 ( j ) l u lc t ) st ( t ) s 抛( t ) ，v t j ) 中，至少有三个非负解 推论2 3 2 设p 是e 中的正规体锥，( 玩) ( 凰) 成立，存在n 。，饥 c 2 叫，“= 1 ，2 ，3 n ) 满足 1 4 1 i 1 t 上2 t ，2 ，v t 只【2 3 6 ) 并且满足( 2 3 2 ) 一( 2 3 5 ) 式与；zt 各- 式 吖。一i o ) ) ， ( 4 ，n ) 【凰) 0 ，r l ( u t ) p ， 地玎o o ( t = 3 , 4 , - - n ) 第二章非线性s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的多重非负解 则( s l p ) 边值问题( 2 1 1 ) 在阻l ，】n 伊( t ，) = 扣c z ( j ) l u l ( t ) su ( ) s ( t ) ，v t j 中至少有2 n 一1 个非负解 证明首先说明我们可以假设v l ，u 2 满足( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 两式( 否则经过初等 变换计算可知存在历，砭c 2 ( ，) 满足u ( t ) 。佤( ) p ， 砒“厶地o ) ) ( 2 3 1 0 ) 【凡心) 0 ( - 2 ) n a g u m o 泛函，o ( o ，+ ) 见定义f 3 1 2 】，并且，( t ) 工1 【0 ，1 】满足 l ，( 幻，z ，一) i ，( t ) ，a ( t ) 尘( ) 卢( t ) ，卢是边值问题b v p ( 3 1 1 ) 的下上解( 见 定义【3 1 1 1 ) 1 7 箜三重堕篁塑鱼件下二阶三点边值问题的正解存在性及多重性 ( 凰) a ，卢c 2 ( i ) 是b v p ( 3 i 1 ) 的下上解，对于任意t 【0 1 】有n ( t ) 卢( t ) ( 风) 存在常数n ，a ( a ，a = m a x l a ( q ) l ，l 卢( 7 ) b 满足 上南d s 一雕) - m i n a ( t ) t ， 定理3 2 1 如果n 卢c a ( 1 ) 分别是边值问题( 3 i 1 ) 的下上解，且条件 ( 日1 ) 一( h 4 ) 成立，则边值问题( 3 1 1 ) 至少存在一个正解。( ) ，满足o t 。 卢，v t ， 证明：第一步，证边值问题( 3 1 1 ) 至少存在一个解。( t ) 令c m a x n ，l l a l l ，l i i ，并有 ia 一 c g ( z ) = 一， 一c 一 g m 0 使得 f ( t ，z ，) | m ，俐 m ，令 矗m + m ，n = 扣c 1 ( ，) ：l i = 1 i 0 ，矛盾所以z ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 另外，由条件( 也) 成 立，根据边值条件x t t ( t ) = 一y ( t ，z ，一) s0 而l f ( t o ，$ ，一) i u ( t ) 是绝对可积的 又z c 1 ( j ) ，所以z ( t ) 0 是边值问题( 3 1 1 ) 的正解 第三步证明( 3 2 1 ) 的任意解x ( t ) 满足口( t ) z ( t ) 5 卢( t ) ，t ， 首先证明a ( t ) 兰。( t ) ，t j 否则，函数m ( t ) = a ( t ) 一z ( t ) ，t j ，在 某一点t o ，有一个正的最大值利用边值条件易知t o 0 如果t o 1 ，则 m ( t o ) = 0 且m ”0 0 ) 0 而0 e ，则 m ，( t 。) - 啪) 一俅。) 2 舞 o ， 也与m ”( t o ) 0 矛盾从而说明m ( t ) 在t 【o ，1 ) 上没有正的最大值如果 t o = 1 ，则m 【1 ) 0 且m f ( 1 ) 0 而m ( 1 ) = d ( 1 ) 一一( 1 ) sa ( q ) 一意( 7 ) 如果 ( 7 ) a ( 7 ) 则m ”) 0 矛盾如果z ( q ) 卢( ，7 ) 则由已知条件( 日3 ) 得 毒( 目) = 卢( 7 ) + i j 卢( 叩) 。( ，7 ) 所以m ”) 0 ，m ( q ) 0 ，m 没有一个正的最大值设 t l 【叩1 ) 使得t a c t l ) = 0 ，t 【t l ，1 】使得m ( t ) 0 可知 m ，_ 0 ”( t ) - - 一f ( t , a ( t ) ，。讯) ) + 【巾，邮) ) + 毒】 o ， 积分得 m i ( 8 ) d 8 = 一( 1 ) 一 f ( t ) = 一”，( t ) 0 ， 即 m ( t ) 0 这就意味着m 在胁t ，1 】上为减函数，则m ( h ) 0 矛盾因而o c t ) x c t ) 类似 地可证z ( t ) 卢( t ) ，v t j 定理3 2 2 假设( 哦) ，( 凰) ，( h 4 ) 成立，并满足以下两条件 ( a 1 ) a ，a l c 2 ( j ) 是边值问题( 3 1 1 ) 的两个下解，卢，卢l c 2 (