（计算数学专业论文）hcurl空间的各向异性分析.pdf

郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明 学位论文作者( 矧；王首襄 二零一零年兀月一日 使用授权声明 、本文在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学根据郑 州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向有关部门或机构送交论文的复 印和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或部分 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文和汇编本学位 论文本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第 一署名单位仍然是郑州大学保密的论文在解密后遵守此规定 学位论文作者( 签名) ： 二零一零年六月一日 摘要 传统的有限元收敛性分析要求剖分满足正则条件本文构造t - - - 维任意阶的h ( c u r l ) 空间的三角形和矩形协调元，在各向异性条件下得到任意阶的最优误差估计，并且将得到 的结果成功应用到m a x w e l l 方程本文还构造了三维h ( c u r l ) 空间的低阶协调元，并且在 正则顶点条件下得到最优误差估计 关键词：各向异性条件，协调元，h ( c u r l ) 空间，m a x w e l l 方程 a b s tr a c t t h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tc o n v e r g e n c ea n a l y s i sr e l i e so nt h er e g u l a rc o n d i t i o n i n t h i sp a p e rw ep r e s e n tt h et r i a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a re l e m e n t so fa n yo r d e rf o rh ( c u r l ) s p a c ea n dg i v et h ee r r o re s t i m a t e so nt h ea n i s o t r o p i cm e s h e s a l s o ，w es h o wt h a to u r e l e m e n t sc a nb ea p p l i e dt ot h em a x w e l le q u a t i o n si nt w od i m e n s i o n i nt h i sp a p e r ，w ea l s o o b t a i no p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e sf o rt h eh ( c u r l ) i n t e r p o l a t i o no ft h el o w e s td e g r e ef o r t e t r a h e d r a le l e m e n t ss a t i s f y i n gt h er e g u l a rv e r t e xc o n d i t i o ni nt h r e ed i m e n s i o n k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i cm e s h e s ；c o n f o r m i n ge l e m e n t ；h ( c u r l ) s p a c e ；m a x w e l l e q u a t i o n s 目录 引言1 第一章预备知识4 第二章二维h ( c u r l ) 空间三角形元的分析与构造1 8 第三章二维h ( c u r l ) 空间矩形元的分析与构造2 6 第四章二维h ( c u r l ) 空间各向异性理论在m a x w e l l 方程中应用2 9 第五章三维h ( c u r l ) 空间的各向异性理论3 1 参考文献：4 0 附录硕士期间的主要研究成果4 2 致谢4 3 u l 引言 有限元方法也称为有限单元法，是一种高效能、常用的求解微分方程的系统化数值 计算方法，它具有理论完整可靠、物理直观意义明确、解题效能强等优点此法首先于2 0 世纪5 0 年代初由工程师们提出，并用于求解简单的结构问题有限元方法作为一种系统 的数值方法，并奠定基础，则是在6 0 年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学 者独立并行地完成的从历史上看，还应该提到c o u r a n t ，他在1 9 4 3 年已经提出过在三 角形网格上用逐片线性函数法去逼近d i r i c h l e t 问题，这是有限元方法最原始的思想 有限元方法不同于2 0 世纪4 0 年代发明的数值求解偏微分方程的差分方法主要有 下述三大特点；( i ) 从数学物理问题的变分原理出发，而不是从微分方程出发，因此是从 问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发；( i i ) 对所考虑问题的区域作三角形( 或其 它简单的多边形) 剖分，而不是仅仅作矩形剖分；( i i i ) 用剖分区域上的简单函数( 例如分 片多项式) 去逼近原问题之解，而不是只在剖分节点上的数值逼近 传统的有限元收敛性分析要求剖分满足正则条件：存在与单元t 无关的常数盯，使 得h r p r 盯，对任意的单元t 都成立其中b 是单元丁的直径，册是包含于单元t 中最大球的直径然而，正则性条件在有限元的分析中并不是必然必要的，我们可以在更 弱的条件，各向异性条件下解决有限元的问题，并且取得了一系列的成果例如a p e l 4 】 以及陈绍春教授对a p e l 的各向异性理论的改进，使得各向异性条件更易于验证 2 3 2 6 】 在最大角条件下误差估计第一次提出在文献【5 【17 】，即存在常数7 r 使得v e t h ， t 为三角形时，t 的最大内角，y 讯，t 为四面体时，t 的四个面所有内角的的最大内 角垤及任意两个面的二面角的最大角他都不超过，即他7 r ，竹7 r 正则顶点条 件f 1 1 1 1 1 2 1 3 ：对每一个四面体单元t 存在一个顶点p ，由p 出发的三条棱上的单位向 量u l ，v 2 ，u 3 组成的行列式绝对值一致有下界，即l d e t ( v l ，口2 ，v 3 ) i c o o ；当t 为三角 形单元时，存在一个顶点p ，由p 出发的两边上的单位向量u 1 ，u 2 ，存在常数g ，使得 i d e t ( v l ，钞2 ) i c o 0 容易得出，在二维情况下，最大角条件和正则顶点条件【i i 1 2 1 3 】是等价的d u r d n 在文献 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 ，运用正则顶点条件证明了h ( d i v ) 空间中尼1 元任意阶的最有误差估 1 计，并将二维的结果成功推广到三维文献【1 1 1 2 1 3 】，著名的胛插值形函数空间为； r t k ( t ) = 珲( t ) + x p k ( t ) 插值算子： i i k ：h 1 ( 丁) n r t k ( t ) 满足下面的算子交换性； 日1 ( t ) 竹j 竺_ l 2 ( t ) t 上j ，r r t k ( t ) 兰耽( t ) 其中p k 是l 2 正交投影算子；p k ：l 2 ( t ) - - - - - 4p k ( t ) 经过论证，在正则顶点条件下，得 到了任意阶最优误差估计，并且将结果应用到二阶椭圆的混合元问题和s t o k e s 方程 本文参考d u r d n 1 1 1 2 1 3 】各向异性的理论，构造t - - - 维任意阶的h ( c u r l ) 空间的协 调元，平行的进行误差分析和研究我们定义c u r l 算子t n 铂c u r l v = 罄一差 n = 3 ，c u r l 让= v u h ( c u r l ) 空间定义为 h ( c u r l ) = t ，l 2 ( t ) ，c u r l 口l 2 ( t ) ， 三角形单元t 上的h ( c u r l ) 形函数空间定义为： g k ( t ) = 哦( t ) o ( 一y ，z ) 晚( t ) 插值算子七：h 1 ( t ) 2 帆( t ) 满足下面算子交换性； h 1 ( t ) n _ 竺生l 2 ( t ) n t j，上r n k ( t ) 生峨( t ) 其中p k 是l 2 正交投影算子；p k ：l 2 ( t ) 斗峨( t ) 虽然，1 9 8 0 年，n d d d l e c 在文献【1 9 】中介绍了低阶的二维h ( c u r l ) 空间的协调元， 瞅= 钆p ；e k u = o ，当n = 2 ，k = 1 时， r 1 = r = u = a ( g f l - - x 2 ) ；a c p ，。，p 耽 只是在正则条件下的分析，而且没有推广到任意阶a r n o l d ，在文献中也提出了低阶的形 式，用于研究刚体运动h ( c u r l ) 算子可以同样用于计算混合元的s t o k e s 问题和d a r c y - s t o k e s 问题所以，对于二维h ( c u r l ) 空间的研究还是非常有意义的 最后，我们将得到的二维h ( c u r l ) 空间的任意阶的最优误差估计，应用到m a x w e l l 方 程三维h ( c u r l ) 的各向异性分析与研究我们只做了低阶的误差分析，并得到了最优的误 差估计 本文的写作安排如下： 第一章：预备知识介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号 第二章：二维h ( c u r l ) 空间三角形元的分析与构造 第三章：二维h ( c u r l ) 空间矩形元元的分析与构造 第四章：二维h ( c u r l ) 空间各向异性理论在m a x w e l l 方程中应用 第五章：三维h ( c u r l ) 空间的各向异性理论 3 第一章预备知识 1 1 变分原理考虑抽象变分问题，首先约定记号如下 v ：赋范向量空间，范数记为i i 1 1 n ( ，) ：v xv r 的双线性型，即比l ，q 2 ，p l ，尾r ， 麓麓童篡拳淼v u l , u 2 眯v e y v 称双线性口( ，) 是连续的，如果存在常数m 0 ，使得 ia ( u ，口) i m l l u l i l i v l l v u ，u v f ：v 哼冗连续线性泛函，或记作l v 7 ，其中y 是v 的对偶空间，对应的对偶积 记作 k ：k ev 非空子集 考虑问题 j 求u k 使得 ( 1 1 1 ) 1j ( u ) sm k 卜“。7 其中 j ( ) = 互1 。( 口，口) 一 ( 1 1 2 ) 定理1 1 1 1 1 0 假定( i ) 空间v 是完备的，即v 是b a n a c h 空间，( i i ) k 是v 的非 空闭凸子集，( i i i ) 双线性型o ( ，) 是连续的，对称的且( i v ) a ( ，) 在下述意义下是v 椭圆 的，即存在常数a 0 ，使得 口l l v l l 2 口( t ，可) ，v v v ( 1 1 3 ) 则问题( 1 1 1 ) 存在唯一解 下面给出与泛函极小问题( 1 1 1 ) 等价的变分问题： 定理1 1 2 在定理1 1 1 的假定之下，u 是极小问题( 1 1 1 ) 之解，当且仅当u 是下 述变分问题之解：乱k ，使得 n ( u ， 一u ) ， 协k ( 1 1 4 ) 注1 1 1 若k 是顶点o 的闭凸锥： 则问题( 1 1 4 ) 可写成 秽k = 争入 k ，v a 0 1 ，可2 k 兮v l + 2 k l 求札k ，使得 t 麓：黧y k。1 注1 1 2若k 是闭的子空间，则( 1 1 4 ) 可写成 求乱k 使得 ( 1 1 6 ) ln ( 仳，口) = ，k 下面考虑双线性型o ( ，) 非对称的情形当双线性型口( ，) 非对称时，问题( 1 1 1 ) 与 问题( 1 1 4 ) 不再等价，但变分不等式( 1 1 4 ) 仍存在唯一解，这就是l a x - m i l g r a m 定理 定理1 1 3 设v 是h i l b e r t 空间，a ( ，) ：v v r 是连续的，v 椭圆的双线 性型，l v 7 ，且k 是v 的非空闭凸子集，则变分不等式( 1 1 4 ) 存在唯一解 定义1 1 4令v ( x ) 是定义在区域qc 舻中的函数z = ( x l ，x 2 ，z n ) q ，令 d v ( x ) ：r 住一r ，称为v ( x ) 在点x 处的导算子，它作用在向量专= ( 荨1 ，已，靠) t 上 的值定义为 d v ( x ) 毒= 1 i m ，。_ 。l u ( z + 毒) 一 ( z ) ) ( 1 1 7 ) 称为在方向的方向导数，或g h t e a u x 导数( g 导数) 若v c 1 ( q ) ，则 训班= 砉掣础专 ( 1 1 8 ) 一般地，m 阶g 导数定义为： d 仇y ) ( f ( ，( ，( m ) = n t - + m 。 从l d ”一1 y + 蝤) ( 荨( 1 1 ，( 2 1 ，( m 一1 ) 一d m - l v ( z ) ( 以以，m - 1 ) ) 定义1 1 5 引入偏导数的多重指标记号：令a = ( o t l ，0 1 2 ，o l 。) n “，o z l + 0 1 2 + + o t n = i o li ，那么 州z ，= 蘸掣 口1 个口2 个o f n 个 = d i n f v ( x ) 何_ _ _ ，石赢，磊韵 则 m 个 定义1 1 6 导算子d m v ( z ) ：每丐帝一r 的算子，其范数定义为 i i d m y ( z ) l i = s u p i d m y ( z ) ( f ( 1 1 ，f ( m ) f ， ( 1 1 9 ) l i t ( i ) 1 1 = 1 ( ) r ”，扭1 。” d y ( z ) 1 1 ，( m i l i d m v ( x ) 1 1 1 睡1 ) 1 1 l 撼( m ) 1 1 ( 1 1 1 0 ) 1 2 空间及嵌人定理 简单而言，所谓s o b o l e v 空间，就是由其本身及其所有直到m 阶的“导数”均在 l p ( 1 p c k 3 ) 空间的函数所组成的空间因此，函数及其导数的逐点性质( 局部性质) 不必关心，重要的是它们的全局性质 定义1 2 1 设区域qc 舻是l e b e s g u e 非空可测集，v 是q 上实值l e b e s g u e 可 测函数，记 z 巾) 如 ( 1 2 1 ) 为l e b e s g u e 积分现引入记号 i i l l p ( n ) = ( i f ( x ) l p d x ) ；，1 p o o ( 1 2 2 ) ，f l 6 定义1 2 5令m 为一非负整数， c ”( q ) = 秒：u 的直到m 阶导数在q 中连续) c m ( - ) = 口：v n i e nm 阶偏导数在q 中一致连续) m = o o 时，c o o ( q ) 表示区域q 上无穷次连续可微函数组成的集合，简记为g o ( q ) 为 c ( q ) 定义1 2 6令区域qcr ，i ，d ( a ) 或四。表示在q 中具有紧支集的无穷次可微函 数( c 函数) 的集合： d ( a ) = | 札c ( q ) ；s u p puc cq 】 ( 1 2 9 ) 定义1 2 7 设l 乙( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间， u l 乙( q ) 如果存在u l 乙( q ) ，使得 上u 。口d ) 【= ( 一1 ) 陋iz d ) 【，w c g ( q ) 则称u 是“的川阶广义导数，并记为口= d 口u 定义1 2 8设m 为非负函数，1 p 。o ，考虑函数空间 m p ( q ) = u ：d a u 旷( q ) ，i a i m 】- ， ( 1 2 1 0 ) 这个空间依范数 k ( i 纛上刚p d x 汽坯外o 。 邺2 挑m a x 。i i d 口u ，p 2o o 构成个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间，并定义半范数 i u i m p l 暑上酬p d x 疤1 盯 ， i 让l 。，= 。m 。a xi i d a u i l 0 ，p = o 。 i a i = l 又令盱p ( q ) 为卯( q ) 按范数i i 乱i i m ，p 在空间w ” p ( a ) 内的完备空间，则昭p ( q ) 也是一个b a n a c h 空间 通常记 h ”( f 1 ) = ”，2 ( q ) ，留( q ) = w 护2 ( q ) ，( 1 2 1 1 ) l l i i m = 0 i i m ，2 ，l l m = i i m ，2 于是h m ( q ) ，卵( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 u ，钞) m = ( d ，d ) ，u ，钳h m ( q ) i a l m 定义1 2 9设x 和y 是两个线性赋范空间，如果xcy ，并且把z x 映为 i x y 的恒等算子j 是连续的，即存在常数m 使得 i i i = l l y m i l = l l x ，比x ( 1 2 1 2 ) 则称x 嵌入y ，记为xqy ，又称，为嵌入算子，m 为嵌入常数 定义1 2 1 0如果x 中的有界集在y 中为列紧集，则称x 紧嵌入y ，记作x 三y 下面是著名的嵌入定理( 见文献1 ) 。 定理1 2 1 1 s o b o l e v 空间嵌人定理设qc 舻为有界区域，其边界a q 是局部 l i p s c h i t z 连续的，仇，k 为非负整数，1 p o o ，则 w 7 m + 七，p ( q ) qw k , 9 ( q ) ，m 礼西 注意w m p ( q ) qc ( f i ) 的含义是任一乱”，p ( q ) 必等价于c ( 囝) d e $ 3 - - 4 函数( 仍记 为钍) ，同时存在常数m 使得 i i 乱l l c ( a ) m i i 让i i m pv u w m 巾( q ) 9 定理1 2 1 2 ( 紧嵌人定理) 在定理1 2 1 0 的假定下，下述紧嵌入关系成立。 唧c q ，三 三蚤j 嚣茎三三击= 三一兰三善 上述定理的下述特殊情形经常有用， ( i ) h 1 ( q ) 三l 2 ( q ) ，对一切n 成立( r e l l i c h 定理) ( i i ) w 1 ，p ( q ) ：l p ( f 1 ) ，w k + 1 ，p ( q ) 三w k ，p ( q ) 对一切n 成立( r e l l i c h 定理) ( i i i ) 当n = 2 时，即q 是2 维区域，则 日2 ( q ) qc o ( 壳) 且日2 三c o ( q ) 定理1 2 1 3 ( p o i n c & e 不等式) 设q 为有界l i p s c h i t z 区域， 径，i q l 为q 的测度，1 p o o ，则存在与u 无关的常数c ，使得 1 若u 附p ，( q ) ，则 l m i o p ，n c d u h p ，n 有 2 若u w 1 , p ，( q ) ，则 d 为区域q 的直 ( 1 2 1 3 ) l l u l l 嗡n 刚l 让 1 , p , l l - j r - j 高z 让d x l ) ( 1 2 “) 特别地当u 硪( q ) 时，此不等式给出了硪( q ) 中范数与半范之间的等价性，此时 i u | i l ，p c i 训l p ，t 正略p ( q ) ，1 p o o ( 1 2 1 5 ) 1 3 有限元空间及其性质 微分方程数值解法的实质是用有限维空间近似无限维空间，从而将在无限维空间求 解的问题离散化为一个近似的有限维空间中的问题有限维近似空间的选取方法可有多 1 0 i p ( n ) = e s ss u p 1 f ( x ) l ，p = o o ( 1 2 3 ) $ 2 护( q ) 为b a n a c h 空间，而l 2 ( q ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为 ( 札，t ，) = 上u 如 定义空间 l p ( q ) = ：l i v l l l p ( f 1 ) o o ) ， 1 p 。o( 1 2 4 ) 几个重要不等式： m i n k o w s k i 不等式1 p 0 是区域q 的一个剖分族 l a x - m i l g r a m 定理对变分问题( 1 4 1 ) 的解的存在唯性给了明确的回答，但是如何 实际算出这一精确解，直接从这一定理中找不到答案，只有少数非常简单的数学物理问题 用分析方法可求出其精确解人们自然要问；是否能求出其近似解? g a l e r k i n 方法就是 求解变分问题近似解有效的方法之一 求变分问题精确解的主要困难在于v 是无限维空间若( 1 4 1 ) 中无限维空间v 用 个有限维空间来代替，即用有限维空间来逼近无限维空间v ，( 1 4 1 ) 化为离散 变分问题； 抵“ 使得 ( 1 4 2 ) 、 、工t 白， 【a ( u h ，v h ) = ( ，) ，坳7 l y h 这就是g a l e r l d n 方法的基本思想 关于离散变分问题( 1 4 2 ) 解的存在性，只须有限维空间是h i l b e r t 空间，双 线性泛函o ( ，) 于y h y h 上有定义，线性泛函，于虼上有定义，并且满足l a x - m i l g r a m 定理条件，由l a x - m i l g r a m 定理立即可知离散变分问题( 1 4 2 ) 的解在y h 上是存在 唯一的 设 t 】罂1 为有限维空间的组基，则u h ，y h 是基函数 批) 罂1 的线性组合： m u = 屈m ， m v h = m 胍， i = 1i = 1 把( 1 4 3 ) 代入( 1 4 2 ) ，由于口( ，) 是双线性的，是线性的，得 亦即 其中 a 嵇= a ( 旭，g j ) ，f j = ( ， 1 3 ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) mmu m 触 l i 竹溉m m “ 。触 。：l o i l 乃 一 展 一s i a m 汹 竹 m 触 从而 a 巧屈= 乃，j = l ，2 ，m ( 1 4 7 ) 这是个线性方程组，其系数矩阵a = ( a 巧) m t m 称为刚度矩阵，f = ( 日，r 。) t 称为荷载向量求其解 屈 罂l ，由( 1 4 3 ) 即得离散变分问题( 1 4 2 ) 的解u ，1 这样，求解 离散变分问题( 1 4 2 ) 最终实际上成为求解线性方程组的问题 需要说明的是，在实际工程计算中发明了一种分片构造多项式并生成单刚矩阵，最终合 成为总刚矩阵的方法它方便灵活有效，更适合于有限元方法的实际使用，因而被广泛采 用 作为变分问题( 1 4 1 ) 的解u v 的近似，离散变分问题( 1 4 2 ) 的解u h v h 逼近t 的程度如何，自然是理论上和实际计算中都非常关心的问题若cv 则称有限元空间 为协调元，否则称为非协调元c d a 引理和s t r a n g 引理分别就协调元和非协调元的误 差给出了解答 c d a 引理如果n ( ，) ，满足l a x - m i l g r a m 定理的条件，坛cv ，则离散问题有唯 解，且 i l 牡一u h i i e c i 警& o u 一i i e ( l 4 8 ) 其中| i 怯为能量模，i e = ( a ( v ，u ) ) 参 因 让，结合插值逼近定理和c d a 引理可以得到协调元的能量模误差估计i l u - u h l l h ， 进而利用n i t s c h e 对偶技巧可以得到u u h 的l 2 模估计 对于非协调元，即虼不属于y ，可以定义分片双线性型a h ( ，) 变分问题的离散形 式为 a h ( u h ，v h ) = ( ，v h ) ，l y h ( 1 4 9 ) 关于收敛性分析，有下面引理 s t r a n g 引理设a h ( ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强制性，s ，则 离散问题( 1 4 9 ) 有唯一解，并有估计式 t , - - u h i b c ( i f hi i u - v h l l s + s u p 卫型兰尘掣) ( 1 4 1 0 ) 其中i i 叫i i s = ( a h ( w ，叫) ) 壶，vs 鼠v h s 右端第一项为插值误差，第二项为相容误差插值误差可由插值逼近定理估计，相容误差 可由非协调元分析的标准技巧来估计 a u b i n - n i t s c h e 引理设1 1 及u _ 1 分别为问题( 1 1 2 ) 及( 1 1 3 ) 之解，则存在c = c o n s t 0 ，使得 i l u - u h l l 。，。 u - - u h i l l n su赢妒1h赶evhgel2 i g l l 0 h 慨一汕，n ) ( 1 伽) ( n ) l，q 妒 其中，对任给定g l 2 ( q ) ，v ，使得 a ( v ，) = ( g ，u ) ，讹v 即是以g 为右端项，问题( 1 1 5 ) 的共轭问题的解 ( 1 4 1 2 ) 1 5 各向异性基本定理 设于是参考元，户是于上的m 维多项式空间( 形函数空间) ，户7 是户的共轭空 间设。，庐2 ， 和 觑，觑，矾) 是户和启的一对共轭基，即 m 慨) = 幻， 1 l ，j m 设，：h k ( t ) h 户，k 1 是有限元插值算子，满足 ( 1 5 1 ) 疵( 知) = 成( 移) ， i = 1 ，2 ，m w 户 ( 1 5 2 ) 设o l = ( a 1 ，a 2 ，a 。) 是一个多重指标，则d 口户也是霞上的多项式空间，设 d i m l 9 口户= ，住：i = 1 ，2 ，r 是d 口户的一组基，则5 - ( i o ) d a 户可表示成 d a ( 知) = 疵( 移) d n 庶= 岛( 移) 彩 ( 1 5 3 ) i = l j = l 显然， 白是 d 口或) 罂l 的线性组合，而岛( 移) 是 批( o ) 】- 銎，的线性组合设 m 岛( o ) = q i 成( 西) ( 1 5 4 ) 则有( 1 5 2 ) 和( 1 5 3 ) ，我们有 岛( o ) = 啦成( o ) = 疵( 知) = 岛( j ( 移) ) ( 1 5 5 ) i = l i = l 1 5 定理1 5 1 1 2 a 在上述表达下，如果岛( 移) 能表达成 岛( 移) = f j ( d a o ) ， 1 j m ( 1 5 6 ) 其中f j ( 日8 ( 忌) ) 7 ，1 i ，j m 同时，忍( 露) cd a p ，l ( s 一1 ) ，则存在常数c ( 露) 满足： d a ( 砬一i 砬) l l t ，詹c ( 露) i d a 色i l + l ，霞0s l + 1 讹h t 口i + 1 ，霞 ( 1 5 7 ) 旧垂蠹 n s s ， 定理1 5 7 设n 2 ，3 分别是伊一f k l a g r a n g e 矩形元和立方体的插值算子，则 存在个常数d 使得 l i b a ( 砬一n j 色) i | o i b 口砬1 日。+ - 一( 旬，j = 2 ，3 ，i 口l m ( 1 5 1 0 ) 定理1 5 8设2 ，3 分别是c o l a g r a n g e 矩形元和立方体的插值算子， 2 ，3 是仿射等价的 定理1 5 9 设2 ，3 分别是c o r 。一l a g r a n g e 矩形元和立方体的插值算子，则 存在一个与正则条件无关的常数c 使得j = 2 ，3 ，0 k m 时， i u i i j u l t ( t ) c h 卢t d 卢u h k ( 即 ( 1 5 1 1 ) i 芦l = m + l - k i t 一玛u 1 日- ( t ) c h ”+ 1 一七l u l 。+ 1 ( t ) ( 1 5 1 2 ) 其中蜉= f 1 睁或者碍= 危 1 争 争，h = m a xh ； 定理1 5 1 0 j 1 2 ，厶分别是伊一尸m l a g r a n g e 三角形元和四面体元的插值算子，若 剖分满足最大角条件和坐标系条件，则存在个与单元t 无关的常数c 使得j = 2 ，3 ，0 k m 时， i u 一易u i h k ( c ( h 笋i d 1 2 h 印) ) 壹 ( 1 5 1 3 ) 其中 拿= 争诤或者 拿= 争 争 争，h = m a x 鬼 定理1 5 1 1 若剖分满足最大角条件和坐标系条件，对于协调元，则存在一个与剖 分磊无关的常数c 使得 ii u u h i h t ( n ) c 拿i d 卢u i h l ( o ) 北nl p | m ( 1 5 1 4 ) i li 仳一u h h 1 ( n ) c ，严i 让1 日m + 1 ( n ) 此式是根据插值算子1 1 2 ，3 得出的误差估计 ll u u h i h - ( o ) c 羔l i b i t i i ( f 筇i d 尹u 瞎 ( n ) ) t e t h 阱m 一一 ( 1 5 1 5 ) 【l u u h l h - ( n ) c m 。a 。x h1 1 珩t i i h m f u i - m + - ( q ) 此式是根据差值算子厶，如得出的误差估计 第二章二维h ( c u r l ) 空间三角形元的分析与构造 引入几个标准概念； p k ( t ) 是定义在t 上最高项次数k 的向量多项式空间 庐是定义在t 上的齐k 次向量多项式空间 口= ( 口1 ，? 3 2 ) 是向量 q 是标量 丁是三角形单元t 边上的切向量 礼= 2 时，我们定义算子c u r l 和算子r o t 如f ； a 钉2a 钉】 c u r t 2 ：一：一 o x lo x 2 r o tq = ( 一瓦o q ，石o q ) t h ( c u r l ) 空间定义为； h ( c u r l ) = u l 2 ( t ) 2 ，c u r l 口l 2 ( t ) ) 三角形单元t 上的形函数空间定义为； n o ( t ) = 嘴( 丁) o ( - y ，x ) p o ( t ) 容易证明下面的插值算子 是唯一确定的 h o ：h ( c u r l ) - - - - - 4n o ( t ) ( 2 1 ) l y i o v 7 = u r vl 是三角形单元啦 ( 2 2 ) 1 8 事实上，d i m n o ( t ) = 3 ，与( 2 2 ) 定义的插值条件维数相等，只须证明自由度为零， 得出t ，= 0 即可由( 2 2 ) 得 由格林公式得 从而有 口t = 0 z t c u r lv ? 一q 结合式子 r = 0 ，可以得出口= 0 c u r l 御= 0 从( 2 2 ) 的插值条件，我们可以得到 下面介绍l 2 一投影的概念 z t c u r li i o v = j t c u r z u p o ( t ) ：l 2 ( t ) 2 一p o ( t ) 上p 0 u = 小v v e l 2 ( t ) 2 不难得出插值算子o 和投影算子p o 满足下列交换关系 c u r lh o v = p o c u r l v h ( c u r l ) ( t ) 竺! ! l 2 ( t ) n o i上局 o 生 我们将以上结论直接进行推广 0 ( t ) 推广到n k ( t ) ，k 1 是整数，如下 插值算子定义为 肌( t ) = 哦( t ) o ( 一y ，z ) 庐忌( t ) i i k ：h 1 ( t ) 2 叫n k ( t ) 1 9 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 插值条件定义为 h k v 叩七= u 叩七坳知畎( f ) ( 2 6 ) ( t i i k v p k - 1 - - - - t t ，p 七一- v p k - - ep k 一- ( t ) 2 ，忌1 ( 2 7 ) 下面我们证明以上定义的插值算子是唯一确定的 引理2 1上面定义的插值算子知是唯一确定的，并且在h ( c u r l ) 空间是协调的 ( 即口7 - 跨过单元边界连续) 证明函数空间肌( t ) 的维数 d i m ( n 知) = ( k + 1 ) ( 七十3 ) ( 2 6 ) 式的自由度为3 ( k + 1 ) ( 2 7 ) 式的自由度为( k + 1 ) k 经过简单的加法运算可以得出函数空间帆的维数等于所定义的自由度的维数为了证明 唯一确定性，我们只需假设所定义的自由度为零，从而推导出t ，= 0 即可从( 2 6 ) 式可 以得出 口7 - = 0 ，在三角形单元t 的边上( 2 8 ) ( 2 8 ) 式同样蕴含着插值算子在h ( c u r l ) 空间中是协调的利用g r e e n 公式 上酬吣= 厶衍饥一y r o t 我们得出 上删移吼= 。，哦 进一步得出， c u r lu = 0 引用文献 1 4 1 1 5 ，我们得到 = g r a d 妒妒p k + i ( t ) p o ( t ) ( 2 8 ) 式表明妒沿着边的方向导数是常数，因此我们可以沿着边的方向选取妒= 0 那么 妒可以表示成 妒= 入1 a 2 a 3 i p ；妒p 知一2 ( t ) 2 0 在三角形单元t 利用g r e e n 公式 妒d i v q = - 上夕r n d 妒 q - - - - z t u g = 。v q p ；一- 因为出可( 暖一1 ) = 耽一2 ，我们可以得到妒= 0 ，从而u = 0 这就完成t i n n y 引理2 2对于h 1 ( t ) 2 中的任意向量口，有如下的交换式成立 c u r fi i k v = p k c u r lt ， 其中p k ：l 2 ( t ) 呻p k ( t ) 是l z 。投影算予 h ( c u r l ) ( t ) 竺! l 2 ( t ) 0上r 帆生耽 证明利用g r e e n 公式 c u r f ( h k v - - v ) g = o r ( r i k v - - v ) 7 q + j ( r ( h k v - - v ) r 优g ；巩 从上面的等式和插值算子的定义可以得到 z 训( 1 - i k v - v ) g = 。，v g ( 2 9 ) 由于c u r i h k v 耽，我们得到( 2 9 ) 式 下面介绍文献【6 】中的两个引理 引理2 3设t 是三角形单元，善1 ，已是沿着三角形单元t 两个边的方向的单位切 向量，其边长分别为h i , h 2 ，对任意的，h k + i ( t ) ，如果 如= 。g 州z ) 上如= 。坳耽一t ( t ) ，1 则存在与t 无关的常数c 使得 以t ，c 磁删丽恍刃k+ l 0 7 k + 1 7 f 。、 2 1 引理2 4议l 是二角彤早兀，( 0 ，d ) ( h i ，u ) ，( 0 ，h 2 ) 是二角彤早兀i 的顶点坐体， 则对于任意的，h 七( t ) 和整数i ，歹，i + j = k ，有下式成立 l i 鬻恢即c l l 高 下面我们给出空间 k ( t ) 中函数的导数与其c u r l 算子之间的关系 引理2 5设t 是三角形单元，i t g k ( t ) ，则有 瓦o k + l 竺= ( o ，丽k + l 可o c u r lu ) ( 2 1 0 ) 苎= ( 一丽k + l o e t t f li toyk+l k2o y k ，o ) ( 2 1 1 ) 一= _ 1 - -iz_li +。 r 7 当i + 歹= k + 1 ，t 0 ，j 0 时， 筹= ( 一丽j 萨o k c u r lu ，一万o k c u 丽r luyjk2 l o y jc o y j ) ( 2 1 2 ) 一= = 一一 1 iz izl a z i 。 + a z 一j ，z t 一1 、一7 证明任意函数u n k ( t ) 可以写成让= p + ( - - y q ，z g ) ，其中p 峨，q 巩，则q 可以写成这样的表示形式q ：圭q 扩一矿，q 是常数 彝1 寸简单的云箕可以得出 万o k 丽+ l u ：( o ，( k - t - 1 ) ! c 0 ) a z _ i c + 1 、。， o k c 万u 厂r lu = 1 0 k + i l 矿( x p ) 一1 0 k + 丽1 ( - y p ) = c o k ! ( k + 2 ) ：一=一一-?一=卜z a z k 七十1如七a 。厂 这样就得到式子( 2 1 0 ) 经过类似的运算，我们同样可以得到式子( 2 1 1 ) 丽ok+lu=(ok+i(-yp)，型)=(-iyjo x i o y jo x i o y j 蚍) 一= 一- = 1 71 f ：二z ! ，! f ：jl 8 叠 j ) 。一o r 一、j 夏o k 万c 丽u r lu = 望竺塑一瓦o i 知+ j l 研( - y q ) = ( i110 xjoyj ) ! j ! ( 忌+ 2 ) 勺 一= = - ! ，! - ：十三i f ：j a z i 一1 a a z i l a + l 厂，v 7 了 丽o k c u r lu=型辫一笔铲=(i-1m蚺-i-oxi+loyj 1 勺 一= = - 1 11 - ：三l f ：0