《傅立叶变换》PPT课件.ppt

第三章傅立叶变换频域分析,1822年，法国数学家傅立叶提出了：“一个周期函数可以展开成无穷多个不同频率的正弦函数的叠加”。,3.2周期信号的傅立叶级数分析,一.三角函数形式的傅立叶级数:,若f(t)是以T1为周期的信号,则其傅立叶级数展开式为:,1.一般形式:,其中系数a0、an及bn的确定如下：,其中，n=1,2,此外，a0、an及bn又分别称为“直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度”。,2.Dirichlet条件：,当周期信号f(t)满足以下条件时，才能进行傅立叶级数展开,(1)在一个周期内,f(t)的间断点数目有限；,(2)在一个周期内,f(t)的极值数目有限；,(3)在一个周期内,f(t)绝对可积，即,3.简化形式:,(1)余弦形式,关系:,(2)正弦形式,关系:,另外,4.建立“频谱”的概念：,基频频率f1=1/T1,基波频率为基频的分量，称为“基波”。,谐波频率2f1,3f1，nf1,的分量，分别称为“二次谐波、三次谐波”。,幅度谱是指将幅度值(如cn)作为函数、频率作为自变量，绘制的关系曲线。,相位谱是指将相位值(如)作为函数、频率作为自变量，绘制的关系曲线。,5.周期信号频谱的特点：,“谱线”的概念在幅度谱中,每条线的高度代表该频率分量的幅度大小,称为谱线.,特点周期信号的频谱是离散谱!其频谱只会出现在=0、1、21等离散的频率位置上。,例：某周期信号如图所示，试求其傅立叶级数，及幅度谱和相位谱。,解：,或者是：；,最后，求其幅度谱和相位谱：,=,0,二、指数形式的傅里叶级数,周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式已知,1、根据欧拉公式得：,把上式代入已知中得：,令,为指数形式傅里叶级数的系数，简称为,为复数形式,2、重要关系(Fn与其他系数的关系)见书92页,3、指数形式表示的信号频谱见图93页,4、帕赛瓦尔定理能量守恒定理，平均功率利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性,周期信号的平均功率是三角形式的傅里叶级数，或者是指数形式的傅里叶级数，两边平方，并在一个周期内进行积分,上式表明：周期信号的平均功率傅里叶级数展开直流成分，基波及各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理（或方程）,三、函数的对称性与傅里叶系数的关系f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，使表达式变的简单地。,波形的对称性有两类：1、对整个周期对称有偶函数和奇函数2、对半周期对称有奇谐函数,对称条件：(1)、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数,上式关系得，1、偶函数的Fn为实数。2、偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项为0，只可能含有直流项和余弦项。,(2)、奇函数：若信号波形相对于原点是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数,上式关系得，1、只有正弦分量。2、奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项。,(3)、奇谐函数：若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足f(t)=f(tT1/2),这样函数为奇谐函数或称为半波对称函数如图P9635奇谐函数,上式表明，当f（t）为实奇谐函数时，实奇谐函数的傅里叶级数中，没有直流分量，不含偶次谐波项，只含有基波和奇次谐波的正弦，余弦项，而不会包含偶次谐波项。,四.傅立叶有限项级数与最小方均误差:,1.方均误差EN:,假设，用SN(t)表示f(t)的前2N+1项级数,即,若用SN(t)近似表示f(t)，则误差为：,方均误差为:,经过整理，可得：,例：,f(t)既是偶函数、又是奇谐函数,只有直流项和余弦项,无直流项，只有基波和奇次谐波的正弦、余弦项,只有基波和奇次谐波的余弦项！,且,=,考察其有限项级数SN:,S1=,S2=,S3=,分别用S1、S2、S3来近似表示原函数f(t),波形示意图见教材P99。,相应的方均误差EN:,结论：,有限项级数的项数N取得愈多、则波形愈逼近原信号f(t),且EN愈小。当n时，SN(t)=f(t)。,当f(t)是脉冲信号时,其傅立叶级数中的高频分量主要影响的是它的跳变沿；低频分量主要影响脉冲顶部的形状。换言之，信号f(t)的波形变化越剧烈、它所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢、则所含低频分量越丰富。,当用有限项级数愈逼近原信号f(t)时,如果其中任一频谱分量的幅度或相位发生变化时，则最后叠加形成的输出波形会失真。,2.吉布斯现象:,二.周期锯齿脉冲信号:,奇函数f(t)的傅立叶系数a0、an都为0,利用积分结果：,则,结论周期锯齿脉冲信号的频谱中，不包含直流分量和余弦分量，只有正弦分量；而且，各次谐波的幅度以的规律收敛。,三.周期三角脉冲信号:,f(t)是偶函数,故其的正弦分量的系数bn=0。,利用积分结果：,则=,且=0，,从而,结论：周期三角脉冲的频谱只含有直流、基波和奇次谐波的余弦项。且谐波的幅度以的规律收敛。,3.4傅立叶变换,非周期信号的频谱分析方法,一.定义的引出:,01,-T10T12T1,0T1,01,0t,可以发现:,当T1时，谱线的间隔1,离散谱谱线变密；当T1无穷大时,谱线的间隔1无限小,离散谱就变成了连续谱。,的值0，因此，不能再用作为非周期信号频谱的度量指标。,但同时应注意到：,当T1无穷大时:,d,离散频率变量n1,连续频率变量,有限的数值,又,=,原周期信号的傅立叶级数,当T1时:,T1,即,二.傅立叶变换的含义:,F()一般是复函数,从而,又,F()称为f(t)的“频谱密度函数”。,注意：,表示的是非周期信号的各频率分量的相对大小，而不是其幅度值；,表示的是非周期信号的各频率分量之间的相位关系。,但是：也将曲线称为非周期信号的“幅度频谱”；,将曲线称为非周期信号的“相位频谱”。,当f(t)是实函数时,是的偶函数；是的奇函数。,三.傅立叶变换存在的条件:,充分条件:,3.53.6几种典型非周期信号的傅立叶变换,一.矩形脉冲信号:,幅度为E、脉宽为的对称脉冲,1.函数F()的表达式：,即,是的实函数！,2.频谱分析:,(1)幅度谱,F()是的偶函数！,(2)相位谱,a.当时,F()是个正数,则其相位为0:,即,b.当时,F()是个负数,则其相位:,即,相位谱为,是的奇函数！,(2)单边指数信号,单边指数信号的表示式为：,其中a为正实数,图P114319,双边指数、钟形脉冲信号自已看,（3）符号函数sgn(t),这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换,令,容易看出，,先求得f1(t)的频谱，然后取极限。从而得出符号函数f(t)的频谱,（4）升余弦函数,表达式为,频谱是由三项构成的，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左，右平移了,所以升余弦的频谱比矩形频谱更加集中,得到，见图P119,326,（5）冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,一、冲激函数的傅里叶变换：正变换,即,特点：1）由矩形脉冲取极限得到，当脉冲宽缩减时，频谱必然展宽。,2）单位冲激函数的频谱等于常数，在整个频率范围内频谱是均匀分布,3）时域变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。这种频谱称“均匀谱”或“白色谱”,逆变换：,直流信号：,频谱或傅里叶变换,频谱或傅里叶变换,直流信号的傅里叶变换是位于w=0的冲激函数,冲激偶函数的傅里叶变换,另一种方法：,阶跃函数的傅里叶变换,（1）单们阶跃函数u(t)的频谱在w0点存在一个冲激函数，因含直流分量（2）u(t)不是纯直流分量，它在t=0点处有跳变，因此在频谱中还出现其他频率分量。,3.7傅立叶变换的基本性质,一.对称性:,证明：,根据傅立叶逆变换的定义,将t、t，得到,即,这是标准的傅立叶正变换表达式。,例1.,相关图示见教材P124的图3-30。,二.线形特性:,结论可推广至n个信号的叠加:,三.奇、偶、虚、实特性：,1.f(t)为实函数:,是的偶函数；,是的奇函数；,是的偶函数；,是的奇函数。,(1)当f(t)是t的实偶函数时,F()是的实偶函数。,证明：,是t的奇函数，,则,(2)当f(t)是t的实奇函数时,F()是的虚奇函数。,证明：,是t的奇函数，,2.f(t)为虚函数:,不妨设f(t)=jg(t),其中g(t)是实函数,此时,是的奇函数；,是的偶函数；,仍然是的偶函数；,仍然是的奇函数。,作业：证明教材P126的式(355)的三条结论。,四.尺度变换特性:,时频展缩特性,1.性质描述:,证明：,Ff(at),当a0时,2.实际意义:,g(t)1,g(t/2)1,结论:若在时域中扩展信号的持续时间,则对应于压缩信号的频宽；反之：若要压缩信号的持续时间，则不得不展宽其频带。,时长与带宽是一对矛盾,通信速度与信道容量是一对矛盾！,五、时移特性,表达式的意义：信号f(t)在时域中沿时间轴右移（延时）t0等效于在频域中频谱乘以因子，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生附加变化,解：令上图中间表示矩形单脉冲信号，用表示,的频谱函数,频谱如图336所示，见P130页,六、频移特性,同理可得：,实际意义：调制、解调、变频，调制是从低频端搬迁到高频端。在实际中，是使用实现频谱的搬迁。,七.微分特性:,1.时域微分:,证明:,利用傅立叶逆变换的定义,将其两边同时对t求导:,*,若对*式继续进行的过程，则可得：,2.频域微分:,证明:,当然是对傅立叶正变换的定义式,两边同时进行得到:,同理,可推广至:,例:,八.积分特性:,时域积分:,证明:,按照傅立叶正变换的定义,F,*,从而*式,例:求如图所示三角形脉冲的频谱F()。,解：,将信号连续求两次导数，分别得到f(t)及f(t),易见:,若用、分别表示f(t)及f(t)的傅立叶变换,由微分特性可得:,而且,从而,九.卷积特性:,1.时域卷积定理:,2.频域卷积定理:,证明:,F,3.性质说明:,实际上，前面的很多性质都是“卷积特性”的具体应用！,时移特性：,例题3-8,例题3-9,3.9周期信号的傅立叶变换,回顾:研究周期信号的频谱特性,傅立叶级数,研究非周期信号的频谱特性,傅立叶变换,统一用一种频谱分析方法,一.正(余)弦信号的傅立叶变换:,F,F,F,同理,F,F,F,二.其它周期信号的傅立叶变换:,设信号f(t)的周期为T1,将f(t)展成傅立叶级数:,对其两边取傅立叶变换:,F,F,1.傅立叶变换结果:,结论:周期信号的傅立叶变换是由一系列位于=0、1、21等处的冲激函数构成的,且各个冲激的强度分别等于相应的傅立叶系数Fn的倍。,因此，周期信号的傅立叶变换结果可以理解为在无限小的频带范围内(即各个谐频点处)取得了无限大的频谱值(即形成冲激)!,2.Fn与Ff0(t)的关系：,其中f0(t)是周期脉冲序列f(t)的一个周期,即“单脉冲”,F,与相比较,可得:,结论：可以利用单脉冲的傅立叶变换结果确定周期