（理论物理专业论文）原子与光场相互作用系统的量子纠缠.pdf

摘要 自从量子纠缠的概念被爱因斯坦和薛定谔等人提出来以后，量子纠缠现象吸引了大 量的物理学家和数学家的研究兴趣，并成为物理学中长期引人注目的研究领域。这是因 为量子纠缠作为一种重要的物理资源已广泛地应用于量子通信和量子计算中，并促进了 量子力学基本问题的研究。对于光场与原子之间的量子纠缠，人们主要研究了单原子与 光场之间的量子纠缠，对光场与多原子之间的量子纠缠的研究甚少。在这篇论文中，借 助量子约化熵和量子相对熵理论，我们研究了光场与双原子之间的量子纠缠，并重点考 虑了失谐量、光场的强度、克尔效应以及光场与原子的初始态对光场与原子之间的量子 纠缠的影响。结合解析计算和数值计算方法，我们对几种典型的光场与原子相互作用系 统中子系统之间的量子纠缠做了详细的研究，结果表明：原子和光场初始处于不同的量 子态，光场与原子之间的量子纠缠动力学的演化就有不同的形式。另外，失谐量、克尔 效应、光场的强度等因素对光场与原子之间的量子纠缠动力学的性质( 诸如演化周期、 纠缠强度、退纠缠等) 有重要的影响。论文所得的这些结果可能对纠缠态的实验制备以 及量子纠缠理论有一定的指导和促进作用。 关键词：量子纠缠，量子约化熵，量子相对熵，克尔介质，失谐量，b e l l 态 q u a n t u me n t a n g l e m e n ti nt h es y s t e mo ft h ea t o m si n t e r a c t i n gw i t ht h e l i g h tf i e l d m aj u n m a o ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f j i a oz h i y o n g a b s t r a c t s o m ep h y s i c a la n dm a t h e m a t i c a ls c i e n t i s t sh a v ep a i dt o om u c ha t t e n t i o nt oq u a n t u m e n t a n g l e m e n t ，s i n c e e i n s t e i na n ds c h r o d i n g e rp r o p o s e dt h e c o n c e p t i o n o f q u a n t u m e n t a n g l e m e n t t h e nq u a n t u me n t a n g l e m e n tb e c o m e sar e m a r k a b l ef i e l di np h y s i c sf o ral o n g t i m e ，b e c a u s ei th a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si nq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n a sa ni m p o r t a n tp h y s i c a ls o u r c e ，a n df a c i l i t a t e st h er e s e a r c h e so ff u n d a m e n t a lq u e s t i o n si n q u a n t u mm e c h a n i c s f o rt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ef i e l da n dt h ea t o m ，s o m e a u t h o r sh a v es t u d i e dt h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nas i n g l ea t o ma n dt h ef i e l d ，b u tl e s sa t t e n t i o n h a sb e e np a i dt ot h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w oo rm o r et h a nt w oa t o m sa n dt h ef i e l d i nt h i s p a p e r , i nv i e wo fr e d u c e dq u a n t u me n t r o p ya n dr e l a t i v e q u a n t u me n t r o p y ,w eh a v e i n v e s t i g a t e dt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h eo n eo rt w oa t o m sa n dt h ef i e l d ，a n d m a i n l ye x a m i n e dt h ei n f l u e n c e so fd e t u n i n g ，t h ei n t e n s i t yo ft h ef i e l d ，k e r re f f e c t ，t h ei n i t i a l s t a t eo ft h ef i e l do ra t o mo nt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ea t o ma n dt h ef i e l d b y a n a l y t i c a la n dn u m e r i c a lm e t h o d s ，w ee m p h a t i c a l l ys t u d i e dt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t b e t w e e ns u b s y s t e m sf o rs e v e r a lc a n o n i c a ls y s t e m so ft h ea t o m si n t e r a c t i n gw i t ht h ef i e l d i ti s f o u n dt h a tt h ed i f f e r e n ti n i t i a ls t a t e so ft h ef i e l do ra t o m1 e a dt ot h ed i f f e r e n te v o l u t i o n so f q u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ea t o ma n dt h ef i e l d a n dd e t u n i n g ，k e r re f f e c t ，e ta 1 p l a y a l li m p o r t a n tr o l ef o rt h ep r o p e r t i e so ft h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ea t o ma n dt h e f i e l d ( s u c ha se v o l u t i o np e r i o d ，t h ed e g r e eo fe n t a n g l e m e n t ，d i s e n t a n g l e m e n te ta 1 ) t h e r e s u l t sm a yb ev e r yi m p o r t a n tf o rt h ee x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o no ft h ep r e p a r a t i o no fe n t a n g l e d s t a t e sa n dt h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n t k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，r e d u c e dq u a n t u me n t r o p y , r e l a t i v eq u a n t u me n t r o p y , k e r rm e d i u m ，d e t u n i n g ，b e l ls t a t e 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 日期：址月f 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期：砷年石月j 日 日期：珩月f 日 中困油人学( 华东) 硕1 ：学位论义 1 1发展现状 第一章绪论 量子理论无疑是上个世纪最深刻、最有成就的科学理论之一。它不仅代表了人类对 微观物质世界的深入认识，而且从根本上推动了社会生产力的发展。量子光学和量子信 息学是量子理论中最重要、最显著、最具时代性的研究领域之一。对于它们的研究不仅 可能导致现代高科技和信息产业的更新换代，而且逐渐完善了量子力学的基本问题。在 量子光学领域中，光场与原子的相互作用系统中的量子特性的研究一直是人们关注的焦 点。具有相互作用的光场原子双系统是最典型的量子光学系统，它所预言的诸如光 场的压缩效应 1 捌、反聚束效应1 4 , 5 】、亚泊松分布 6 ，7 1 ，原子的压缩8 舢】、崩塌与回复现象、 相干俘获 1 2 】等量子效应已在实验中观察到，这些量子效应在光通讯、引力波探测、量子 测量、量子计算等领域具有广阔的应用前景。 描述光场与原子相互作用的最简单、最典型、最理想的模型是j a y n e s c u m m i n g s 模 型【1 3 】( 简称j c 模型) 。j c 模型是一单模量子化的光场与一个二能级原子相互作用最精 确可解的理论模型。它不仅在量子光学中，而且在激光物理、量子场论、核磁共振等许 多问题中都常被采用。近年来，人们将j c 模型进行了一系列的推广：多光子j c 模型【2 , 9 , 1 4 ， 非线性j c 模型 1 5 17 1 ，附加克尔介质j c 模型14 1 ，t a v i s c u m m i n g s 模型 1 8 】，以及三、多 能级原子与单模或多模光场的相互作用模型【1 9 _ 2 1 1 ，运动原子与光场的相互作用模型 2 2 】 等，并得出了一系列有意义的结果。 熵理论在量子光学中的成功应用使得光场与原子相互作用系统的研究变的更加丰 富。1 9 8 8 年，p h o e n i x 和k n i g h t 首先用v o nn e u m a n n 量子熵研究了光场与原子相互作 用时两者之间纠缠的动力学性质2 3 。2 6 1 ，深刻地揭示了双量子系统量子纠缠的动力学本 质。1 9 9 8 年，v e d r a l 和p l e n i o 等提出了量子相对熵纠缠理论【2 7 1 。量子相对熵纠缠度不仅 可以用来度量两体混合态系统两子系统间的量子纠缠，而且在量子测量和量子信息处理 领域起着十分重要的作用。自此以后，人们对光场与原子相互作用系统中子系统之间的 量子纠缠做了大量的研究 2 & 4 2 1 。多数的研究主要集中在单原子或非纠缠的双原子与压缩 光场或相干光场之间的量子纠缠。对纠缠双原子与其他非经典光场的量子纠缠的研究甚 少。本论文我将对此展开了详细的讨论。 第一章绪论 1 2目标及意义 1 2 1 研究目标 通过调研大量国内外关于光场与原子相互作用系统的量子纠缠现象及相关内容，我 们准确定位了光场与原子相互作用系统的量子纠缠的研究空白，即多原子与光场之间的 量子纠缠，并考虑诸如失谐量、克尔效应、光场强度等因素对光场与原子之间的量子纠 缠的影响。整个论文的主要目标就是研究双原子与光场之间的量子纠缠现象，并着重考 虑失谐量、克尔效应、光场强度以及光场与原子的初始态对光场与原子相互作用系统中 子系统之间的量子纠缠现象的影响。当然，为了着重说明某些因素对光场与原子相互作 用系统中子系统之间的量子纠缠的影响，我们论文的小部分研究涉及到单原子与光场之 间的量子纠缠现象。 1 2 2 研究意义 自从e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) 4 3 】和s c h r o d i n g e r 在三十年代提出量子纠缠的 概念以来，量子纠缠一直是物理学中十分引人注目的研究领域。量子纠缠的奇妙物理特 性吸引了大量的物理学家和数学家的兴趣。一方面，量子纠缠体现了量子态的非定域性， 导致了b e l l 不等式的违背，以及量子力学基本问题的完善。另一方面，量子纠缠作为一 种重要的物理资源己广泛地应用于量子信息处理，例如：量子隐性传态4 4 1 、量子编码【4 5 】、 量子密钥分配和量子计算4 6 , 4 7 1 等。光场与原子之间的量子纠缠现象的理论研究可能完善 和补充量子纠缠的系统理论，也可为纠缠态的实验制备以及量子信息理论提供一些理论 参考。 1 3 应用基础理论 在进入学位论文的主要内容之前，我们先简单地介绍一下所涉及到的理论知识。 1 3 1狄克( d i c k e ) 模式与j c 模型 研究量子化辐射场与物质相互作用的规律及其效应是量子光学的基本内容。理论上 如何描述光场与物质的相互作用呢? 这节中我们来介绍描述原子( 单个或多个) 与光场 2 中国油人学( 华东) 顾七学位论文 ( 单模或多模) 相互作用的理论模型。首先介绍现代文献中常用的狄克模式【4 8 ，它是描 述原子与多模辐射场相互作用的典型模型。其次介绍描述单模光场与一个二能级原子的 相互作用模型j c 模型 ”】，它是描述光场与原子相互作用的最简单的理论模型。 1 狄克模式 狄克模式是一个- - 一乩b e - , 级原子与辐射场相互作用系统。系统总的哈密顿量为 h = 壳缈 口 4 - 口 + h c o o s ：+ s 女( 口：+ 口女) ( s + + s 一) ( 1 - 1 ) kk 上式表明，辐射场的能量由波矢为k 、频率为缈。的无穷多模式的光子叠加而成，裸原子 的能量由原子的赝自旋算符的z 分量确定，原子与场的相互作用哈密顿量可表示为 矿= s 女( 口江+ 口t s + + 口；s + + 口女s 一) ( 1 - 2 ) k 式中第一项反映原子由上态i + ) 跃迁到下态l 一) ，同时产生一个光子的相互作用过程； 第二项表征原子由下态跃迁到上态同时吸收一个光子的相互作用过程；第三项对应原子 跃迁到上态并发射一个光子的过程；第四项则描述原子跃迁到下态同时吸收一个光子的 相互作用过程。 显然，( 1 - 2 ) 式的前两项对应的跃迁过程导致系统的能量改变为 丝l = h ( c o 一国o ) ( 1 - 3 ) 在近共振情况下，即光场频率与原子本征跃迁频率满足纨缈。时，系统的能量变化 a e ，0 ，即保持系统能量守恒。根据能量一时间不确定关系： a e l 。毛力 ( 1 - 4 ) 可知，当业。j0 时，a r 。一0 0 。所以此跃迁过程能产生稳定的实光子。 但是，( 1 - 2 ) 式的后两项对应的跃迁过程导致系统的能量变化为 丝2 = h ( c o t + 缈o ) ( 1 5 ) 它是一个相当大的量，说明这种跃迁过程不保持系统能量守恒，同时根据能量一时间不 确定关系 衄2 a r 2 壳 ( 1 - 6 ) 可知，a r ：很小。这说明此过程产生的光子寿命很短，我们称它为虚光子。 如果在( 1 1 ) 或( 1 - 2 ) 式中略去不保持系统能量守恒的后两项，则称为旋转波近 气 第一章绪论 似。此时系统的哈密顿量成为 h r 删= h c o 。s ：+ h c o 口“+ 气( 口 s + + 口) ( 1 - 7 ) kk 旋转波近似是量子光学中经常应用的近似，所以哈密顿量( 1 - 7 ) 式是经常应用的典型 哈密顿量，它是由狄克最先引入的，所以也被称为描述原子与辐射场相互作用的狄克哈 密顿量。 2 j c 模型 从上面的讨论可以看出，由狄克哈密顿量描述的二能级原子与多模辐射场相互作用 系统，其随时间变化的规律不易精确求出。下面我们介绍一种更为简单且易于求解的模 型，即j c 模型，它是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器时提出的，由单个一- - z 日匕g , 级原子( 或分子) 与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理论模型。它时描述原 子与光场相互作用的一种理想模型。由于对它只需作旋转波近似就可精确求解，因此不 仅在量子光学中，而且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。 由( 1 7 ) 式可得j c 模型在旋转波近似下的哈密顿量为 h = 缈o s ：+ o ) a + a + 占( 口+ s 一+ a s + ) ( 壳= 1 ) ( 1 8 ) 其中，a + ，a 分别为频率为0 9 的单模光场的产生算符和湮灭算符，s ，和s + 是描述本征 跃迁频率为的二能级原子行为的赝自旋算符，s 为原子一光场耦合常数，它反映原子 与光场相互作用的强度。而且为简单起见，这里取自然单位壳= 1 。显然，上式右边的第 一项对应裸原子的能量，第二项对应光场的能量，第三项表征光场与原子的相互作用能 y v = 占( 口s 一+ a s + ) ( 1 - 9 ) 这种相互作用过程体现在原子跃迁时伴随发射和吸收光子的过程。 1 3 2 光场的非经典态 在过去的四十多年里，量子光学研究的重要进展之一是构造了许多非经典态，并讨 论其非经典性质( 如：亚泊松分布、反聚束效应和压缩效应等) 。这些态包括：粒子数 态( f o c k 态) 【3 1 】、相干态( g l a u b e r 相干态) 3 14 9 】、奇偶相干态【5 0 】、压缩态【3 1 1 、二项式 态5 1 1 等非经典态以及这些非经典态的叠加态。这些非经典态当中，有些目前只是理论意 义上的研究，而有些则已从实验上得到制备。下面我们主要介绍常见的几种非经典态 4 中围石油大学( 华东) 硕上学位论文 1 粒子数态 最典型的无经典对应的光子态是光子数态，它是量子光学中最基本和最重要的态。 相干态、压缩态、二项式态等非经典光场的纯态都可以用粒子数态矢集( 1 n ) ) 的线性 叠加明显地表示出来。 如果我们只考虑频率为国的单模光场，那么单模光场的哈密顿量为 h = h c o ( a + a + 1 2 1 ( 1 1 0 ) 单模光场的光子数算符n = a * a 的本征值方程为 n n ) = n ln ) ( 1 - 1 1 ) 称l 刀) 为光子数态，本征值，z 则为光子数。采用粒子数态描述光场时，可明显地揭示光的 粒子性。 2 相干态 相干态( 1 口) ) 是另一个最基本的量子态，首先由g l a u b e r 提出4 9 1 ，所以又叫做g l a u b e r 相干态。数态线性叠加所定义的相干态为 ”唧( 一抄) 莓斋i ，z ) 口可以是任意复数。数学上还可以等价地把相干态表示为平移算符d ( a ) 作用于真空态 1 0 ) 上产生的态 j 口) = d ( a ) i o ) ( 1 - 1 3 ) 其中 d ( c r ) = e x p ( c r a a + 一口+ a ) ( 1 1 4 ) 相干态构成谐振子态的超完备集，但缺乏正交性，它是湮灭算符的本征态，其光子 数分布为概率论中的泊松分布。它是最小测不准态，其性质与经典光场接近。利用相干 态的超完备性而发展起来的相干态展开方法在物理学领域得到广泛的应用。 3 压缩态 相干光场是光场的振幅涨落有最小不确定值的态。压缩态是光场的某一分量的量子 涨落可以小于相干态相应分量的最小涨落值，这种减小是以光场的另一正交分量的量子 5 第一章绪论 涨落大于相干态相应分量的量子涨落为代价的。在未来的量子通讯中，使用这种光场进 行通讯可以大大减小信道的量子噪声。 压缩相干态有两种定义，它们分别为 l 口) s ，= s ( s ) d ( a ) l o ) ( 1 - 1 5 ) 和 i 口) s ：= d ( 口) s ( 占) i o ) ( 1 - 1 6 ) 其中d ( e z ) 是前面提到的平移算符，s ( 占) 为压缩算符 s ( e ) = e x p 三- * 0 2 三1 + ) 2 】 ( 1 - 1 7 ) 这两种定义显然是不同的，因为平移算符d ) 和压缩算符s ( c ) 两者并不是可对易的。 它们分别对应不同的物理过程：前者表示采用某种过程将相干态变换为压缩态；后者则 代表对诸如引力波振子进行量子非破坏测量时，先使振子处于压缩真空态，然后因引力 场作用发生平移而形成压缩相干态。 4 二项式态 粒子数态和相干态都是量子光学中最基本的量子态，但其性质却完全不同。粒子数 态是典型的非经典场，而相干态具有典型的经典场性质。那么有没有介于二者之间的量 子态存在呢? 1 9 8 5 年，s t o l e r 掣5 1 1 引入了一种中间态二项式念。二项式态定义为 其中 m p ，m ) = b ，i ，z ) ( 1 - 1 8 ) 牡 志p w 刊胁 1 2 式中，m 是光场的最大光子数，p 是每个光子存在的特征概率。对于有限的m ，当p = 0 时，ip ，m ) 退化为真空态lo ) ；当p = 1 时，i p ，m ) 退化为粒子数态i 甩= m ) ；当p _ 0 ， m 一，p m = 口2 时，i p ，m ) 变为相干态i 口) 。通过控制p 和m ，我们可以获得电磁 场的不同量子态。 二项式态的光子数分布为概率论中的二项式分布，且此光场是亚泊松和反聚束的， 6 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 在一定参数范围内表现出压缩效应。 1 3 3 量子熵及纠缠 自从二十世纪二十年代中期量子力学的基本理论形成以来，对于量子纠缠的研究就 一直是量子理论基本问题研究的重要课题。量子力学的创始人以其深刻的洞察力提出了 e p r 佯谬和s c h r o d i n g e r 猫态，预示了量子理论的基本问题未来的发展方向，量子纠缠 理论正是在这一方向上产生的。其中，量子纠缠态已成为当代量子理论的一个关键性概 念，在量子信息技术中有重要的应用，其研究是当前量子理论的一个前沿热点方向。量 子纠缠理论的发展将为量子信息技术打开广阔的应用f j 景。 1 历史回顾 1 8 6 5 年，德国物理学家克劳修斯首次将熵这个概念引入热力学，用来阐明热力学第 二定律。1 8 7 7 年，奥地利物理学家玻尔兹曼提出了玻尔兹曼关系式，建立了熵与系统微 观性质的联系，赋予了熵统计学的意义。1 9 2 9 年，匈牙利物理学家西拉德又阐述了熵与 信息的关系，揭示了熵的新意义。1 9 3 2 年，v o nn e u m a n n 首先将b o l t z m a n n 经典熵推广 到量子熵【5 2 】。而s h a n n o n 于1 9 4 8 年在经典熵的基础上建立了信息理论 5 3 】。1 9 8 8 年， p h o e n i x 和k n i g h t 首先用v o nn e u m a n n 量子熵研究了光场与原子相互作用时两者之间纠 缠的动力学性质【2 3 之6 1 。 在统计物理学中，熵是衡量微观系统无序程度的量。在信息论中，熵成为信息量的 量度。尤其在量子光学领域，熵理论的应用受到人们的广泛关注，熵成为研究量子态混 度和纠缠程度的重要工具。 量子纠缠作为一种重要的资源已广泛应用于量子信息处理和量子通讯中。而各子系 之间的纠缠程度用量子熵来度量，虽然量子约化熵能很好地度量两体纯态系统间的量子 纠缠，但它却不能量度两体混合态系统中子系统间的纠缠。1 9 9 8 年，v e d r a l 和p l e n i o 等 提出了量子相对熵纠缠度理论【2 7 】。量子相对熵纠缠度不仅可以用来量度两体混合态系统 中子系统间的纠缠，而且在量子测量和量子信息处理领域起着很重要的作用，但除了一 些特殊的态外，它的计算是十分困难的。 2 量子纠缠的定义 量子态的纠缠特性是量子力学最深刻的性质之一，也是粒子波粒二象性本质的反映。 通常，复合系统的一个态，如果不能写成两个子系统的态的直积形式，这个态就是一个 7 第一章绪论 纠缠态。一般地说，一个多粒子( 或多自由度) 体系的量子态，如果它的子系统相应的 约化密度矩阵是混合态密度矩阵，则为纠缠态。 其物理意义就是指两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典的强关联。量子纠 缠涉及到实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学的基本问题，纠缠态之间的 关联不能被经典地解释。量子纠缠现象就是在多量子系统中，对其中一个量子子系统的 测量结果无法独立于其他子系统的测量参数的最奇妙、最不可思议的现象。理解量子纠 缠概念对于我们理解量子力学的基本理论具有十分重要的意义。近年来，量子纠缠已经 在一些前言领域特别是在量子信息处理中得到了广泛应用。因此，研究量子纠缠现象具 有重要的实际意义。 3 量子纠缠的度量 量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来度量纠缠程度的大小。量子纠缠的 重要性使得对它的定量研究显得尤为重要，并成为了量子信息理论研究的热点之一。所 谓纠缠度，就是指所研究的纠缠态携带纠缠量的多少。纠缠度的提出为不同纠缠态之间 建立了可比关系。但目前，除了对两体系统的纠缠度取得了一些肯定的结果以外，对如 何量度多体系统的纠缠度尚处于起步阶段，还没有一个普遍介绍的标准，仍处于探讨之 中。 目前，大部分纠缠度都是通过量子熵来定义的。下面我们介绍两种比较常见的用量 子熵来度量纠缠度。 1 ) 量子约化熵纠缠度 1 9 8 9 年，p h o e n i x 和k n i g h t 首先提出量子约化熵纠缠度理谢2 3 2 6 1 ，量子约化熵纠缠 度是测量系统两个子系统之间纠缠的非常精确的灵敏度量。 当两体量子系统处于纯态l y ) 占时，a 和b 之间的约化熵纠缠度定义为： ( f ) ) = s ( 岛) ( ，= a o r b ) ( 1 - 2 0 ) 这里，s ( 岛) 为岛的v o nn e u m a n n 熵： s ( 岛) = 一珥( 岛h 1 岛) ( i = a o r b ) ( 1 2 1 ) 其中p t 为纯态i ) 。占中的，体系的约化密度矩阵： p 一( 占) = 吼( 爿) ( i y ) 肚( y 1 ) ( 1 2 2 ) 因为彳和b 总体系处于纯态时，根据熵的三角不等式： r 中困油人学( 华东) 顾_ i ：学位论文 s ( p 一) 一s ( p 占) l s ( p 彳占) s ( p ) + s ( p 占) ( 1 - 2 3 ) 或s c h m i d e 分解定理可知两子体系的约化熵相等，即有：s ( p 一) = s ( p 占) 。所以e r e a 可定 义为彳和b 中任何一个的v o nn e u m a n n 熵。但是，量子约化熵不能度量两体混合态的纠 缠程度。 2 ) 量子相对熵纠缠度 1 9 9 7 年，v e d r a l 和p l e n i o 等提出了量子相对熵纠缠度理论 2 7 】。量子相对熵纠缠度可 以用来量度两体混合态系统中子系统间的纠缠。 当两体量子混合态的密度矩阵为p 时，a 和b 之间的相对熵纠缠度定义为： e 耐( p ) = m i n ，。ds ( p c r ) ( 1 - 2 4 ) 式中： 5 ( p 仃) = t r p ( 1 n p l nc r ) ( 1 - 2 5 ) 为量子相对熵，d 为全部两体可分离态的集合。 对于两体量子态，密度矩阵可写为： p = 口礼。：，。) ( 丸：，y 。：l ( 1 - 2 6 ) n 1 h 2 相对熵纠缠度可由下式给出： e 。，( 户) = 一口。i n a 。- s ( p ) e 。，取最小值时的可分离态为： ( 1 2 7 ) 盯= 口。l 丸，。) ( 纯，l ；f ，。j ( 1 - 2 8 ) 式中i 屯) ( i ) ) 为体系彳( b ) 组正交归一基矢，s ( p ) 为由下式定义的y o nn e u m a n n 熵： s ( p ) = t r ( - p l n p ) ( 1 2 9 ) 量子相对熵纠缠度不仅可以用来量度两体混合态系统中子系统间的纠缠，而且在量子测 量和量子信息处理领域起着很重要的作用。 1 4 本文的工作 整个论文的安排是这样的。在绪论里，我们主要介绍了研究光场与原子相互作用的 9 第一章绪论 理论发展、目标、意义、以及基本理论。j c 模型是量子光学中最基本最重要的模型， 所以我们首先介绍光场与原子相互作用的基本模型是必要的。量子光学的另外一个成就 就是构造许多非经典态，而我们的研究对象就是这些非经典态场与原子相互作用系统中 子系统之间的量子纠缠动力学，故给出这些非经典态的描述也显的很重要。论文的核心 是研究光场与原子相互作用系统中的量子纠缠性质，因此我们简单地展示了量子纠缠的 定义、度量等。有了这些基本理论，在第二章里，我们研究了单模真空光场与三型三能 级原子之间的量子纠缠，并重点考虑了失谐量对单模真空场与三型三能级原子之间的量 子纠缠的影响。在第三章里，我们研究了相干场与两个纠缠的二能级原子之间的量子纠 缠，并主要考虑了相干场的强度以及原子初始时刻所处的纠缠态对相干场与两个纠缠原 子之间的量子纠缠的影响。在第四章了，我们研究了二项式光场与两个纠缠的二能级原 子之间的量子纠缠，并重点考察了两个原子的初始态和二项式场的参数对二项式场与两 个纠缠原子之间的量子纠缠的影响。在第五章里，我们研究了相干场与两个原子相互作 用系统中相干场与两个原子之间的量子纠缠以及两个原子之间的量子纠缠，并重点分析 了原子偶极相互作用和克尔非线性效应对相干场与两个原子之间的量子纠缠以及两个 原子之间的量子纠缠的影响。最后，我们对整个论文做了一个总结，找出目前研究存在 的问题，并对未来的研究给予了展望。 1 0 中固石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章单模真空场与三型三能级原子之间的量子纠缠 自从p h o e n i x 和k n i g h t 以及他们的合作者在1 9 8 8 年提出光场与原子相互作用系统 的熵理论( 简称p k 熵理论) 2 3 - 2 6 1 以来，人们已经对光场与原子之间的量子纠缠动力学 做了大量的研究2 8 4 2 1 。因为p k 熵理论告诉我们：光场( 原子) 熵的时间演化行为反映 了光场与原子之间的量子纠缠动力学的演化行为，熵值越大，光场与原子之间的纠缠就 越强。一些作者已经调查了j c 模型以及它的扩展形式的量子纠缠动力学。但是绝大部 分的研究都是在共振和旋转波近似的框架下进行的。在这一章里，我们考虑单模真空场 与一个三型三能级原子之间的量子纠缠动力学，并且重点研究了失谐量和原子初始态对 纠缠动力学的影响。模型虽然略显简单，但是它能揭示失谐量对光场与原子之间的量子 纠缠动力学演化的影响的本质。这篇论文已发表在( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo ft h e o r e t i c a l p h y s i c s ) ) 5 4 1 。 2 1模型及解 单模真空场与一个三型三能级原子相互作用系统在旋转波近似下的总的哈密顿量为 其中 h = h o + 矿 ( 7 l = 1 ) h 。= o ) a + 口+ 叩一4 - f = 口b c 矿= 9 1 ( 口c ；c 。+ 口+ c ：c 6 ) + 9 2 ( 口c ：c 6 + a 4 c ；c 。) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 在这里，a + 和a 分别是光子的产生和湮灭算符，c 一口c ，分别是原子第i 个能级的产生和 湮灭算符，缈和国，分别是光场和原子第i 个能级的本征态的频率，g ，