（理论物理专业论文）核子核子相互作用散射截面的π0介子传播子链图严格计算与研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 自1 9 3 5 年y u k a w a 从理论上预言了万介子的存在，1 9 4 7 年得到实验证实此 后，万介子在核物理中的地位显得越来越重要。而随之提出的核力的介子交换模型， 也使核力( 强相互作用) 的研究便走了一段辉煌时期，解决了很多有关强相互作 用的问题。遗憾的是，并未能成为研究强相互作用的基本理论。而随后，雨后春 笋般的提出了许多研究核力、重子重子相互作用和强相互作用的理论模型。这些 模型可以划分为唯象理论研究和基本理论研究。从理论研究来看，主要有：介子 交换模型、夸克模型和手征微扰论。而从唯象理论研究来看，则存在各种势模型。 然而无论哪种理论都或多或少的存在一些困难，目前，强相互作用理论还无特别 满意的理论，尚难直接推出重子间的相互作用。 作者基于单介子交换模型，在l o r e n t z 变换不变的前提下，在s u ( 2 ) 不变模型 中，采用量子场论的微扰理论的方法，来处理核子与核子交换z 介子的相互作用。 首先剥用二体二体散射理论，计算了最低阶( 树图阶) 的散射截面。然后，通过 对z 介子传播子的链圈图的修正，即通过质量重整化和耦合常数的重整化计算出了 万介子链圈图传播子的修正值，而这个修正值( 有限量) 的计算是非常复杂的，作 者的研究重点就是放在对这个有限量的计算上，先采用了大动量积分极限法把4 + 1 维积分转化成为一维积分和复变函数积分法，严格得出这个有限量，从而计算了 修正后的核子与核子的散射截面。并对这两个散射截面作了比较，发现修正项对 散射截面的贡献较大，不可忽略。通过此研究也进一步证实了核子与核子之间通 过交换石介子的相互作用过程是可以用微扰方法来处理的。 关键词：核子- 核子相互作用，介子交换模型，链圈图修正，重整化 大动量积分极限法，复变函数积分法，散射截面 重生奎兰堕主兰垡笙兰 墨苎塑茎 a b s t r a c t s i n c ey u k a w ap r e d i c t e dt h ee x i s t e n c eo fp i o nt h e o r e t i c a l l yi n19 3 5 ，a n di tw a s t e s t e db ye x p e r i m e n t si n1 9 4 7 ，t h ep i o nh a sp l a y e dam o r ea n dm o r ei m p o r t a n tr o l ei n n u c l e a rp h y s i c s w i t ht h ep i o ne x c h a n g em o d e l sp u t t i n gf o r w a r d ，t h er e s e a r c ho f s t r o n gi n t e r a c t i o nr e a c h e di t sp r i m e i nt h em o d e lt h ep i o nw a st h em e d i a t ot r a n s p o r t t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nn u c l e o n s w i t ht h em o d e l p h y s i c i s t sh a v e s o l v e dag r e a td e a lo f p r o b l e m s a b o u ts t r o n gi n t e r a c t i o n , b u tr e g r e t f u l l yt h em o d e lh a sn o tb e c o m et h e f u n d a m e n t a lt h e o r yi nt h er e s e a r c ho ft h es t r o n gi n t e r a c t i o n f o l l o w i n gt h a t ，m a n y m o d e l sw e r ep u tf o r t ht o i n t e r p r e tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nb a r y o n sa n dt h es t r o n g i n t e r a c t i o n g e n e r a l l ys p e a k i n g , _ c h o s em o d e l s c a nb ed i v i d e di n t ot w ot y p e s e x p e r i m e n t a lt h e o r y a n de l e m e n t a l l yt h e o r e t i c a lt h e o r y i nt h et h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，t h e r e a r et h ep i o ne x c h a n g em o d e la n dq u a r km o d e l ；w h i l ei nt h ee x p e r i m e n t a lr e s e a r c h ， t h e r ea r ev a r i o u sp o t e n t i a lm o d e l s h o w e v e r , e a c ht h e o r yh a ss o m ed e f i c i e n c i e sm o r eo r l e s s ，u pt on o w t h e r eh a sn o ta p p e a r e dam o d e lo rt h e o r yw i t hw h i c hp h y s i c i s t se r e s a t i s t i e d i nt h i sd i s s e r t a t i o nb a s e do nt h et h e o r y , t h ea u t h o rc a l c u l a t e st 1 1 ec r o s ss e c t i o no ft h e i n t e r a c t i o nb e t w e e nn u c l e o n sb y u s i n gt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r y u n d e rt h es u ( 2 ) m o d e l a n dt h es i n g l ep i o ne x c h a n g em o d e la n dl i m i t e db yt h ec h a i nl o o pr e c o r r e c t i o no f t h ep i o np r o p a g a t o rm e t h o d f i r s t , t h ea u t h o rw o r k so u tt h ec r o s ss e c t i o nu n d e rt r e e l e v e l ，t h e nw i t ht h e c h a i nl o o pr e c o r r e c t i o no ft h ep i o np r o p a g a t o rm e t h o dh e c o m p u t e s r e c o r r e c t i o no ft h e p i o n c h a i n l o o p s l e v e lv i at h em a s sa n dc o n s t a n t r e n o r m a l i z a t i o n b yt h el a r g em o m e n ti n t e g r a l l i m i t e dm e t h o da n dt h ec o m p l e x f u n c t i o ni n t e g r a lm e t h o d ，t h er e s e a r c h e ro b t a i n st h ef i n i t ev a l u e ，w h i c hi st h em o s t i m p o r t a n tp a r to f t h ea r t i c l e a tl a s th eg a i n st h ec r o s ss e c t i o nw h i c ht a k e si n t oa c c o u n t t h ec h a i nl o o pr e c o r r e c t i o no ft h ep i o np r o p a g a t o r b yc o m p a r i n gt h et w of f r o s s s e c t i o n st h ea u t h o rc o m e st oan a t u r a lc o n c l u s i o nt h a tt h e yc a nd e a lw i t ht h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nn u c l c o n st h r o u g ht h ep e r t u r b a t i o n t h e o r y k e y w o r d s ；i n t e r a c t i o n b e t w e e n n u c l e o n s ，c r o s ss e c t i o n ，p i o ne x c h a n g em o d e l ， c o m p l e x f u n c t i o n i n t e g r a l ， c h a i n l o o pr e - c o r r e c t i o n o f t h ep i o n p r o p a g a t o r , r e n o r m a l i z a t i o n , l a r g em o m e n ti n t e g r a ll i m i t a t i o n i i 重庆大学硕士学位论文 1 引言 1引言 自从1 9 1 6 年卢瑟福发现质子至t 1 9 6 4 年出现夸克模型前的几十年间，重子一直 被认为是基本粒子，重子相互作用一直被认为是基本强相互作用。且一直是核物 理和粒子物理研究中的一个重要课题。对它的研究主要采取两种途径：( 1 ) 唯象 理论研究，它依靠分析与相互作用有关的实验数据并结合一些一般性原理，把相 互作用以势能的形式表示出来，参量由符合实验来定。通过分析各种实验现象并 参照强相互作用通常应满足的各种守恒定律，可以写出在一定的限制的位势下的 普遍表达式。这种表达时往往包含不少参量，可以通过实验加以确定。并且，随 着实验数据的不断增加，位势的表达式往往会被修改和补充。( 2 ) 基本理论的研 究，试图从一种理论原则出发，推导出重子间的相互作用。目前，强相互作用理 论还无特别满意的理论，各种理论都或多或少的存在一些困难，尚难直接推出重 子间的相互作用。 对于核子与核子交换窟介子的这种强相互作用，考虑到核子与万介子的耦合很 强，大约是1 4 【l 】【2 】，因此，很多人都尽量回避用微扰论的方法，而用其他一些模型 来研究。 我的导师张忠灿教授与我在对万介子的单圈修正的计算中发现，假如基于单介 子交换模型，在l o r e n t z 变换不变的前提下，在s u ( 2 ) 不变模型中，来研究强相互 作用中最基本的核子与核子之间通过交换z 介子的相互作用，费米子圈( 即由核子 一反核子构成的圈) 经过重整化后，其贡献是小于1 的。因而便产生了用类似的方法 来处理核子与核予相互作用的散射问题的想法。然而对于这个散射的顶角修正问 题，因为其处理过程特别复杂，在一年之内要把它算完是比较困难的，因而，我 们就回避了这个处理，仅考虑介子的费米子圈的问题，这个处理也不简单，而且， 我们还在此基础上，考虑两个费米子圈、三个费米子圈、直至更高阶无穷阶的情 况。这样就构成了一个无穷级的几何级数，即介子费米子圈的严格链圈图，在这 个链中公比恰好是这个费米子圈。因为费米子圈的贡献是小于1 的，因此，这几何 级数是收敛的。采用严格的链圈图方法是可以用微扰论来处理的。本文正是基于 这种思路展开的。 首先在第二章中对包含核子核子相互作用的重子。重子相互作用乃至强相互 作用理论作了较详细的介绍，简略的回顾了重子重予相互作用的发展历史，重点 介绍了强相互作用的介子交换模型和夸克模型，论述了用微扰论来处理核子核子 相互作用的可行性，且是以一种模型来加以阐述。第三章介绍了在s u ( 2 ) 模型中， 赝标介子与核子相互作用的拉氏量密度。第四章介绍核予与核子交换中性万介子相 重庆大学硕士学位论文1 引言 互作用的费曼规则。第五章，用二体二体散射理论对s u ( 2 ) 模型下的核子与核子交 换中性7 介子的最低阶( 树图级) 散射作了讨论，并计算出了散射截面。第六章是 本文的主要部分，首先讨论了中性万介子自能费米子链图的质量( 介子传播子在质 壳上) 重正化和耦合常数重正化，其次详细计算了经重整化后的有限量，利用大 动量极限法和复变函数积分法具体算出了该有限量，最后给出了有限量的数值计 算结果。第七章则利用前一章的结果，计算了在该链圈图下的核子与核子散射的 散射截面，并与最低阶散射截面作比较，得出链圈图修正后的散射截面的相对修 正值，再一次验证了利用微扰论来处理的可行性。 重庆大学硕士学位论文 2 重子与重子相互作用概述 2 重子与重子相互作用概述 粒子之间存在相互作用，粒子间的相互作用是通过交换媒介粒子来实现。不 同的相互作用的区别在于媒介粒子的不同以及粒子放出和吸收媒介粒子的能力( 用 相互作用耦合常数描写) 不同。粒子间相互作用随距离的减弱行为用相互作用力程 描写，力程的物理意义是相互作用的有效作用范围，相互作用力程的数值正比于 媒介粒子质量的倒数。现在已经发现的粒子之间的相互作用有四种。一种是电磁 相互作用，其媒介粒子是光子。一种是引力相互作用，其媒介粒子是引力子。这 两种媒介粒子的静止质量都是零，决定了这两种相互作用都是长程作用，即力程 等于无穷大的相互作用。再一种相互作用是弱相互作用，其媒介粒子是带正电荷 和带负电荷的w 粒子和不带电的z 粒子，这三种粒子都有很重的静止质量，弱相互 作用是力程很短的短程力，其力程约为一百亿亿分之二点四米。再一种是强相互 作用，其媒介粒子是介予和胶子，其力程约为1 4 1 0 4 5 米。这四种相互作用的媒介 粒子中，介子的自旋可以是0 或1 ，引力子的自旋是2 ，其它的媒介粒子自旋都是1 。 强相互作用是由最初要研究重子与重子之间的相互作用而提出来的。核子、 超子、共振子等自旋为半整数的粒子统称为重子。自从1 9 1 6 年卢瑟福发现质子到 1 9 6 4 年出现夸克模型前的几十年间，重子一直被认为是基本粒子，重子重子相互 作用一直被认为是基本强相互作用。这种相互作用具有这样一些特点：强度大， 短程性，具有更大得对称性以及在短距离内随距离减小而变弱，还具有电荷无关 性。 重子重子相互作用一直是核物理和粒子物理研究中的一个重要课题。对它的 研究主要采取两种途径：( 1 ) 唯象理论研究，它依靠分析与相互作用有关的实验 数据并结合一些一般性原理，把相互作用以势能的形式表示出来，参量由符合实 验来定。通过分析各种实验现象并参照强相互作用通常应满足的各种守恒定律， 可以写出在一定的限制的位势下的普遍表达式。这种表达时往往包含不少参量， 可以通过实验加以确定。并且，随着实验数据的不断增加，位势的表达式往往会 被修改和补充。( 2 ) 基本理论的研究，试图从一种理论原则出发，推导出重子间 的相互作用。 核子一核子( 反核子) 的相互作用则是重子重子相互作用的一个最基本的类型。 这种相互作用一般称为核力，它具有作用范围小而作用力强，具有饱和性和交换 性及对电荷的对称性等特点。我们可以把对它的研究理论直接推广到重子重子相 互作用上，所以，对核子一核子相互作用的研究则显得尤为重要。 自y u k a w a 提出介子交换模型后，虽然解决了很多有关强相互作用( 核力) 的 重庆大学硕士学位论文 2 重子与重子相互作用概述 问题，遗憾的是，并未能成为研究强相互作用的基本理论。相反夸克模型对于强 相互作用却比较成功，特别是夸克相互作用的基本理论量子色动力学( q c d ) 的实验证实，重子相互作用再次成为物理学中的一个基本的问题。 对于重子相互作用，目前的理论主要有介子交换模型、夸克模型和手征微扰 论。目前，强相互作用理论还无特别满意的理论，各种理论或模型都或多或少的 存在一些困难，尚难直接推出重子间的相互作用。 2 1 重子相互作用的介子交换模型 2 1 1 介子交换模型发展 1 9 3 2 年中子组成发现后，很快就认定原子核是由质子和中子组成的，海森堡 接着就提出质子、中子是核子的同位旋二重态，把核子束缚在原子核内需要一种 新的相互作用核力。1 9 3 5 年前的工作中实验和理论的共同努力积累了核力的 基本知识，核力是比电磁力更强的作用力，力程很短，约为1 2 f i n ，且与所带电荷 无关，即口p 、p - n ，n - n 相互作用近似一样。 1 9 3 5 年y u k a w a 提出核力的介子交换模型【3 】，即核力是由质量介于核子和电子 之间的粒子介子传递的，根据核力的力程，可以估算出介子的质量约为 1 0 0 - - 2 0 0 m e v 。汤川( y u k a w a ) 一开始假定介子是一个带电标量粒子，由此他用 经典的和量子的介子交换理论计算出了核力： m ) - - 岳2 孚 ( 2 - 1 ) 其中，是标量介子核子的耦合常数，三- 一便是y u k a w a 势。当时已经知道的基 本相互作用有引力、电磁力都具有相类似的形式，因而也希望核力也有一种较为 简单的形式，因而上述势是很受欢迎的。特别是1 9 3 7 年发现质量为1 0 6 m e v 的“介 子乙一实际上是轻子1 4 ，它提高了人们对介子交换模型的兴趣，各种介子模型 相继产生，标量介子、赝标介子、矢量介子、轴矢量介子和张量介子都被提出来， 为了解释核力电荷无关性，同位旋三重态介子也被提出来了。 1 9 4 7 年汤川所说的真正的介子才被实验发现【5 】，这个粒子质量约为1 3 8 m e v ， 是在宇宙射线中发现的，被称为万介子，紧接着1 9 4 8 年伯克莱回旋加速器实验室也 人工制造出了万介子。 疗介子的发现极大的推动了介子交换模型的发展，y u k a w a 介子交换模型成了 五六十年代最流行的一种研究强相互作用的理论。 1 9 5 4 年，试验测定了石介子为赝标介子 6 1 ，一个同位旋矢量赝标介子的交换将 在核子间产生下列介子交换核力 4 重庆大学硕士学位论文 2 重子与重子相互作用概述 ( r ) 一g 轫2 p 。1 r e 2 ( 、m m ，) 2 m 匠元一了4 ) t 荆+ z ( r ) s z i 己 其中，g 。是赝标”介子核子耦合常数，m ( m ) 是核子( 万介子) 的质量 相互作用核子的自旋和同位旋， 】，( ，) ：e - m ( 2 2 ) o i ，0 2 ，2 ( 2 3 ) z ( r ) = 【l + _ = 一+ 7 专 y ( r ) ( 2 4 ) m ，l m ( r ) = 3 翌等辽一每厅： ( 2 5 ) ， 这个相互作用符合核力的基本特性，力程、自旋和同位旋相关性和核力相符。 核力的z 介子交换模型获得令人鼓舞的成就，但严重苦难接踵而至，当我们 像量子电动力学( q e d ) 那样计算z 介予的高阶效应时，结果和实验不符，而且 口2 这个计算本身就不合法，一介子和核子的耦合常数罢巴z 1 4 ，按g ：，的级数展开没 4 , n 1 意义。所以很多对核力的研究都回避用微扰的方法。这困扰了核力的研究几十年。 因为以介子场论作为核力的基本理论能做出很多有价值的定性说明，所以核 子相互作用的实验研究没因理论困难而停滞不前。加速器能量、探测器技术迅速 提高，六十年代末已经有了z 介子产生阈能( 3 0 0 m e v ) 以下的核子散射的相当 完整的数据，为核力研究提供了坚实的基础。核力大致可以分成三个区域，r 2 f m 的长程处，这部分核力可用z 介子交换解释，i f m r 0 ，一成积分后趋于零，且采用“欧氏度规”： k = ( 云，i k o ) 七2 = 云2 一霹，d 4 p = d j d p o( 6 6 ) 与 蜡= g 2 五y 5 “， 2 ) 磊y 5 ( 6 7 ) 作比较，相当于对，( 七2 ) 作了修正，即 f ( 七2 ) ，( 七2 ) + ，( 七2 ) i g 2 n ( k 2 ) ，( 七2 )( 6 _ 8 ) 因而同样的，继续计算由费米子圈的链图产生的对，( i 2 ) 的更高阶的修正，如图 七七 一+ 一 七 图6 2 介子传播子链圈图修正 f i 9 6 - 2c h a i nl o o pr e e o r r e c f i o no f p i o n p r o p a g a t o r 修正后的传播子芦( i 2 ) 由下式给出。 重庆大学硕士学位论文6 石介子传播子链圈图及其重整化后有限量的计算 带i 驴薯a 磐) 坞f g ：n ( 2 k 写蕊端n ( k k 2 卅，+ f ( 七22 ) f ( 1 j 2 ) 【f g 22 ) f () 】+ 这是一个几何级数，对它求和后可得 掌( 七2 ) = ，( 尼2 ) 丁二i 手f i i l 百j 丽2 乏j _ ；i i 。二- i ij 丽 ( 6 1 0 ) 而图6 2 对应的散射矩阵元为 谬= g 2 瓦。，地“，譬( j i 2 ) 瓦，y s u ， ( 6 1 1 ) 对n ( 七2 ) 求迹 研m 活芦为2 妣苦p 苦毛m 九吾等m ，l一蓐j + 一z 窖p 一+。一z 占 州，意赫 1 2 然后，代x ( 6 4 ) 利用f e y n m a n 参数化积分公式： 击ab = 嵩器肛篇a x 咂均 。卢 r ( 口) r ( ) j o+ 占( 1 一工) 。+ 卢 p 。7 则， 矿石而万丽5j 。出酽而可矿三五而可 ( 6 。1 4 ) 将p 2 2 p k ( 1 一z ) 配成完全平方，可以得 ( p ：+ m 2 ) ( p - - k ) 2 + m 2 2j 。出面i f 研i 再硪蕊 ( 6 1 5 ) 移动积分( 6 4 ) 中的原点，把，寸p + k ( 1 一z ) ，则可以去掉与k 有关的项，而得到： ( k s ) - 害t 。j d z f d 4 p p s + 可m z - 焉k ( 丽1 - z ) 面z + p 矿k ( 1 - 2 z ) ( 6 1 6 ) 由于在( 6 r 1 6 ) 式中的被积函数西焉寒是奇函数，且对p 的四维积分又 是以原点对称，该项积分值为零。因而兀( 七2 ) 可最终表示成： 踯2 ，2 品肛，p 葚警蒹募 坍 ( i 2 ) 为“二次发散”积分。采用动量重整化方案，其重整化有限量。( i 2 ) 应为 玎( | j 2 ) 在极点k 2 = - , u 2 ( 声一介子质量) 处展开的余项： 哟= 妻旧篱k 0 ( k 2 + g a 卜咄) ( 6 1 8 ) 由上式，可得出一次幂余项为 一 咄脚) 一骞唪篱k 小n 内“ 重庆大学硕士学位论文 6口介子传播子链圈图及其重整化后有限量的计算 其中 = 兀( i 2 ) 一n 2 ) 一( k 2 + 2 ，d l - 教i ( k 22 ) l 睁p ： ( 6 1 9 ) 兀= 高肛。卜- 4 再p 2 + m 2 而+ , t 2 丽( 1 _ x 丽) x ( 6 z o ) 以及 7 f i ( 2 ) 一d y 出i ( k 22 ) 睁，： = 高肛上d 4 p 再i - 而( 1 - x 丽) x ( 6 z ) 喵p 2 + ，1 2 + u 2 ( 1 - x ) x ( 1 - x ) x 、 。 p 2 + 珊2 一2 ( 1 一曲工一括】3 。 可以看出( 6 2 0 ) 式是二次发散的，而( 6 2 1 ) 只是对数发散的。因而( 6 1 8 ) 式中的 n 。( 豇2 ) 则是有限的。 把( 1 1 5 ) 式代入( 1 9 ) 式中，可得 ( 阻瓦万- - 厕1 丽 ( 6 2 2 ) = 一f ( _ j 2 + 2 2 ) 一g 2 n ( 2 ) 一( 七2 + 2 ) g 2 n ( 2 ) 一g 2 1 7 c ( 七2 ) 在( 6 2 2 ) 式中，分母中的出现了一g 2 ( 叫2 ) 项，极点的位置则离开了最初的 k 2 = - 2 2 的位置。用物理语言来说即是有效的介子质量离开了原来的值。为了继 续把当作物理介子的有效质量，可以在相互作用的拉氏量密度上增加一个抵消 项，把( 6 2 2 ) 式中的一g 2 i - i ( - 2 2 ) 抵消掉，这就是质量重整化 3 8 1 。该抵消项表述如下： 亨( 工) = 妄4 u 2 庐( z ) ( 工)( 6 2 3 ) 其中 和2 = 一g 2 n ( 叫2 )( 6 2 4 ) 该抵消项与原相互作用拉氏量密度结合可以得出 c ? ( x ) = 一去，( 力庐( 工)( 6 2 5 ) 其中 f ：= 2 一印2( 6 2 6 ) 这样的减除手续就是质量重整化。而( 6 2 2 ) 式也成了 产( 七2 ) = - i ( k 2 + 2 2 ) 1 一g 2 ( 2 ) 】一g 2 i - i c ( 七2 ) )( 6 2 7 ) 质量重整化抵消了( 6 2 2 ) 式中的二次发散项，但是还是剩下了对数发散项 一g 2 兀( 一2 ) 。但是，我们可以对( 6 ，2 7 ) 作这样的变形： 重庆大学硕士学位论文6 石介子传播子链圈图及其重整化后有限量的计算 芦( 七2 ) 2 t ：乏i - - i i 丽7 k 2 + u 2 一t 二。i 尹；i 孑j 丌c ( 七2 ) ( 6 2 8 ) 把散射矩阵元 带1 中的g 2 与芦( 旷) 结合在一起，那么，假如把i 乏丢；二孬看 作是改变后一簖，这在物理上相当于改变了耦合常数： 踟22 五赫 ( 6 2 9 ) 这种情形的出现，仍然可以认为是相互作用的拉氏量密度增加了附加项： 笃= - 吉c o ，妒，一去印2 彬 ( 6 3 0 ) 这个附加项可以抵消掉( 6 2 2 ) 式中的一( 七2 + 2 ) g 2 ( 一一2 ) ，把( 6 3 0 ) 式与介子的自 由拉氏量密度结合，便可以得到： g = 一去a ，丸a ，戎一i 1 _ f 2 丸丸 ( 6 3 u 这里 三 丸= ( 1 十c ) 2 ( 6 3 2 ) 这就是介子波函数的重整化。联系( 6 2 9 ) 式，也可以认为是耦合常数的重整化。把 ( 6 2 9 ) 、( 6 2 8 ) 代入( 6 1 1 ) 可得： m 铲= 吒v r 5 “，嚣( 1 i 2 ) 乃， ( 6 3 3 ) 其中 世f c ( k 2 卜两z 锄 ( 6 3 4 ) 这里，謦( 豇2 ) 表示经过重整化后耦合常数与链传播子的乘积。这样就把( 6 2 2 ) 1 拘 发散形式化成了收敛表达式( 6 3 4 ) 。下文中，我们将讨论有限项f i 。( | j 2 ) 的计算。 6 2 大动量极限法计算有限量 经重整化后的介子传播子链图修正项是一个有限项。但是要计算该有限项却 非易事。首先要把有限项分离出来，这在重整化的讨论中，已基本上把它分离出 来了。然而，这个有限项是4 + 1 维的积分，如何计算出这个有限项呢? 这是本论 文研究的一个重点。在这里，我们先对该有限量用一般的方法来计算，即先尝试 了f e y i 】m a i l 收敛积分计算方法得出非常复杂的l + l 维积分表达式，在这个积分表 达式中，要继续进行积分，把具体的结果写出来，几乎是不可能的。因而我们改 用大动量积分极限法 3 9 】来计算这个有限项的。 重庆大学硕士学位论文 6 口介子传播子链圈图及其重整化后有限量的计算 6 2 1 介子链图传播子有限量的分离 介子链图传播子有限量可以由重整化直接得出。在( 6 1 0 ) 式中 靴2 胁越2 丽高丽 ( 6 3 5 1 她，( 驴高 这里我们假定 z ( k 2 ) = i g 2 n ( k 2 ) ，( 驴)( 6 3 6 ) 由6 1 节的讨论，即相当于是求有限项i i 。2 ) ，它是由n ( k 2 ) 经过重整化后得到的， 而经过这样的重整化后，( 6 3 5 ) 式也就转换成了 嚣( k 2 ) = a e ( 旷西南 ( 6 3 7 ) 其中 。( 七2 ) = 姆；兀。( i 2 ) ，( i 2 )( 6 3 s ) 这也是重整化后的有限量。在( 6 - 3 9 ) 式，l i 。( 七2 ) 是有限量了其积分是收敛的。 又因为a ，( 七2 ) 也是一个有限量，因而。( i 2 ) 也就成为有限的了。这一章的主要任 务就是计算有限量n 。( _ j 2 ) 或者。( _ i 2 ) 的值。 由( 6 1 8 ) 、( 6 1 9 ) 、( 6 2 0 ) 和( 6 _ 2 1 ) 式，有限量c ( 七2 ) 为如下( 1 + 4 ) 维积分： 。( i 2 ) = i g ；n 。( 七2 ) f ( i 2 )( 6 4 0 ) 这里， c ( 哟。品肛。p p 再p 而2 + m 而2 _ k 2 丽( 1 _ x 可) x + 酽p 磊2 + 石m 2 鬲+ f 2 ( 1 丽- x ) x+ 酽i - ( 1 - x 鬲) x ( f k 2 4 瓣- t 2 ) ( 6 。4 1 ) p 。+ m 2 一2 ( 1 一x ) x 一据】2【p 2 + m 2 一2 ( 1 一工) x 一瞎 2 p 一7 + 二! ! 生：g2 ! ：竺：型：【! 二兰! 兰! ! ! ：兰! 兰l ，2 + 埘2 一2 ( 1 一z ) 茗一据】3 对这个积分表达式进行通分，合并同类项，可得： 兀c ( k 2 ) 2 毒肛，卜k 2 + i t 2 ) 2 x 2 ( 1 - x ) 2 咿耐) 2 + ( 3 七2 - t 2 ) ( p 2 + m 2 ) 工( 1 一力+ 卢2 k 2 工2 ( 1 一砷2 ( 6 4 2 ) 夕2 + 拱2 + 七2 ( 1 一x ) x - i s 2 ( p 2 + 糍2 一p 2 ( 1 一x ) x 一瞎 3 ) 6 2 2f e y n m a n 收敛积分计算方法讨论 可以看出( 6 4 2 ) 的积分是非常复杂的，我们可以先尝试f e y n m a n 收敛积分法。 分k y i ：( 6 4 2 ) 中所含p 的幂次，在这个被积函数中，分子是p 的四次幂，而分母是p 的 1 0 次幂，虽然，经过对四维动量的积分求出来后，分子的幂次相当于可以升高四 重庆大学硕士学位论文6 石介子传播子链圈图及其重糌化后有限量的计算 次幂，但与分母相比，还是要比分母低两次幂，因而不难看出，在四维动量从。 积分到+ c 。后，( 6 4 2 ) 是收敛积分。但计算出收敛积分( 6 4 2 ) 却异常复杂、困难 目前尚无有效计算方法。在本节内容中，仅对收敛积分( 6 4 2 ) 的计算方法作讨论。 对p 积分时，首先利用f e y r m a a n 参数化积分公式( 6 1 3 ) ，z t 备( 6 4 2 ) q b 被积函数 的分母部分表成积分形式： 1 ? 2 + ，”2 + 七2 ( 1 一曲x 一括 2 p 2 + m 2 一2 ( 1 一工) x 一捃 3 f 6 4 3 1 = 1 2 i d v + 。：一据+ 脬y ( 1 + - y ：) 万 丽 而分子仍然不变，即积分变为： c ( 功= 高f ：州咖，、如，( p 2 , x , y , k 2 ) ( 6 4 4 其中， f ( p 2 , x ，y ，k 2 ) = ( j i 2 + 2 ) 2 x 2 ( 1 一x ) 2 5 ( p 2 + m 2 ) 2 + ( 3 七2 一u 21 ( p 2 + ，n 2 ) 工( 1 一x ) + 乒2 k 2 x 2 ( 1 一工) 2 】)( 6 4 s ) y ( 1 - y ) 2 p 2 + m 2 + ( ( 七2 + a 2 ) y 一2 x 0 一工) r 对于( 6 “) ，假定被积函数为f ( p 2 , z ，y ，k 2 ) ，它的积分变量p 是四维动量，其 中有一维是风，它的积分限是( 一i o o ，+ 如o ) ，而其余三维动量五的积分限是( m ，+ m ) ， 假如能把p 。的积分限转换成( * ，+ m ) ，则我们可以通过把四维的动量直角坐标转 换成球坐标来求解。由刚才的分析，积分是还是收敛的。 对这种积分一般采用w i c k 转动来达到我们的目的。按照f e y r m l a n 传播子的定 义，质量还带有- d , 的，它指明如何在复p 。平面内积分正虚部捃，且占寸0 。 则被积函数f ( p 2 , x ，y ，_ j 2 ) 相当于是f ( p 2 , x , y ，后2 ，f ) f ( p 2 , 工，y ，k 2 , 占) = i 2 + a 2 ) 。x 2 ( 1 一* ) 2 5 ( p 2 + m 2 ) 2 + ( 3 j i 2 一2 ) ( p 2 + m 2 ) x ( 1 一工) + 2 | i 2 工2 ( 1 一x ) 2 )( 6 4 6 ) y ( 1 - 力2 p 2 + 研2 + 【( 七2 + 2 ) y 一卢2 x o x ) 一i z 5 在上式中，因为分子中的含占项在占- - - 0 时对积分值没有贡献，因而没写出。 因此，( 6 4 4 ) 即为： c ( k 2 ) = 器：出胁，p m 2 y 妇) 在复风平面中的奇点位于正实轴之下或负实轴之上，如图6 3 所示。又因为对积 分变量岛来说，积分变量风斗m 时，由幂次分析就可以得出厂( ，2 ，x ，y ，k 2 ) 趋于零， 而且，当p o 一。，p 。( p 2 ，：，y ，k 2 ) 也趋于零。因而可以考虑用残数定理( 见附录 a ) 来积分。这样( 6 4 4 ) 就可以转化为： 重庆大学硕士学位论文6 石介子传播于链圈图及其重整化后有限量的计算 刚码2 嚣妙坦删焉灿“ 4 ， = i - 2 4 万8 r 。f 。1 出：砂。，印 蔓d p o f ( p 2 , x , y , k 2 ) + 。j d p o ，( p 2 弘七2 ) 一 k 、 。，、。 ： o i 。一 ： 彳 ? 、 ? 、- ， 、_ 一一， ，蔓 l c y - 、 、 。 - 。 、遍 o ir ， 、i 一一，+ 图6 3 复风平面上的积分路径 图6 4 旋转后的复p 。平面上的积分路径 f i 9 6 3t h ei n t e g r a lp a t hi n p oc o m p l e x - p l a n ef i 9 6 4t h ei n t e g r a lp a t ha f t e rt u r n e d 因为积分： 口l i + m 。j d p o f ( p 2 , 而y ，k 2 ) = 0 ( 6 4 8 ) 而对于回路o d b a o 的积分，又由残数定理可知，其积分就是等于该回路所包含 的有限个奇点的残数之和乘以2 z r i 。如果积分回路改成图6 4 所示的路线 o d b a 0 ，显然只要被积函数不变，两个回路所包含的起点是一样的，则沿这个 回路o d b a 0 的积分值还是等于该回路中所含奇点的残数和乘以2 z c i ，又有 ( 6 4 8 ) ，可以知道， 。l i + r a 。j 勿。f ( p 2 , x , y ，k 2 ) = o ( 6 4 9 ) f 即： 手d p o f ( p 2 ，x ，y ，k 2 ) = 咖。，( p 2x , y ，k 2 ) + f d p o f ( p 2 , x , y