（应用数学专业论文）临界点理论在几类离散边值问题中的应用.pdf

临界点理论在凡樊寓教边值髓中的应用 摘要 本博士论文运用临界点理论分别研究了离散的二阶混合边值问题，n e u m a n n 边值问题，周期边值问题。具有p - l a p l a c e 算子二阶差分边值问题，得到一系列有 关解、多个解的存在性和唯性的结果，推广并改进了已有文献的相关存在性结 论所得主要结果概括如下， 第一章简述了问题产生的历史背景和本文的主要工作 第二章讨论了类离散两点混合边值问题运用g r e e n 函数和线性算子的分 解，我们构造了一个变分框架，再分别利用强单调算子原理和临界点理论，建立 了若干保证问题有唯一解或至少有个非平凡解的充分条件这些条件包涵了超 线性类型 第三章考虑了一类离散两点n e u m a n n 边值问题我们构造了个新的变分 结构，利用临界点理论中的环绕定理和鞍点定理建立了该问题存在一个或两个非 平凡解的若干充分条件 第四章研究了一类高维非线性离散两点边值问题此类边值问题包含了d i r i c h l e t 边值问题和混合边值问题我们应用山路定理解决该系统至少存在两个非平凡 解的问题，大大改进和推广了已知结果 第五章讨论了个具有p - l a p l a c e 算子依赖于参数a 的离散d i r i c h l e t 边值问 题运用b o n a n n o 提出的具有三个临界点的定理，当特征值a 位于确定的两个 开区间内时，我们证明了该问题至少有三个解而且，当a 位于其中一个开区间 时，所有的解是一致有界的 第六章考虑了类离散凸h a m i l t o n 系统我们利用对偶理论和一个新的变 分原理，建立了周期解存在的若干判别准则解所对应的临界点极小化一个对偶 作用，这个对偶作用是被限制在某个确定空间的子集上的 关键字：边值问题；p - l a p l a c e 算子；h a m i l t o n 系统；山路定理；环绕定理；鞍 点定理；p d c c e r i 变分原理 博士学位论文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sd i s c r e t em i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m n e u m a r m b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，d i r i c h l e tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mw i t ht h eo n e - d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a n ，a n dh i g h e rd i m e n s i o n a lb o u n d - a x yv a l u ep r o b l e m b yu s i n gc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , w eo b t a i na s e r i e so fr e s u l t sc o n - c e r n i n gw i t ht h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o no rm u l t i p l es o l u t i o n s a n dt h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n i h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n da n di m p r o v es o m e k n o w nr e s u l t si nt h ee x i s t i n gr e f e r e n c e s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c h w i l lb ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rad i s c r e t en o n l i n e a rm i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f i r s t ，b yv i r t u eo fg r e e n sf u n c t i o n sa n ds e p a r a t i o no fl i n e a ro p e r a t o r ，w eo b t a i n v a r i a t i o n a lf r a m e w o r k t h e n ，b ye m p l o y i n gt h es t r o n g l ym o n o t o n es o m ec o n d i t i o n s i n c l u d i n gs u p l i n e a rc a s e ，t og u a r a n t e et h a tt h ep r o b l e mh a sau n i q u es o l u t i o no r a tl e a s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，b yc o n s t r u c t i n gan wv a r i a t i o n a lf r a m e ，u s i n gt h el i n k i n gt h e o - r e ma n dt h es a d d l ep o i n tt h e o r e mi nt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r yr e s p e c t i v e l y , w es t u d y t h ee x i s t e n c eo fo n es o l u t i o no rt w os o l u t i o n sf o rt h ed i s c r e t et w o - p o i n tn e u m a n n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d t h ep u r p o s eo fc h a p t e r4i st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u - t i o n sf o rac l a s so fh i g h e rd i m e n s i o n a ld i s c r e t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n c l u d i n g t h ed i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dt h em i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a p p l y i n gt h em o u n t a i np a s st h e o r e m i nt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r y , w eo b t a i ns o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st og u a r a n t e et h a tt h e s ep r o b l e m sh a v ea tl e a s tt w on o n t r i v i a l s o l u t i o n s o u rr e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h es o m ek n o w nr e s u l t s i nc h a p t e r5 ，w ed e a lw i t had i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rp - l a p l a c i a n d i f f e r e n c ee q u a t i o n sd e p e n d i n go nap a r a m e t e ra b yu s i n gt h et h r e ec r i t i c a lp o i n t s t h e o r e me s t a b l i s h e db yb o n a n n o w ev e r i f yt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e es o l u t i o n s w h e nai si nt w oe x a c t l yd e t e r m i n e do p e ni n t e r v a l sr e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，t h e n o r m so ft h e s es o l u t i o n sa r eu n i f o r m l yb o u n d e dw i t hr e s p e c tt oab e l o n g i n gt 0o n e o ft h et w oo p e ni n t e r v a l s c h a p t e r6m a i n l yc o n s i d e rac o n v e xd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m b a s i n go n t h ed u a lt h e o r ya n dan e wv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w eo b t a i ns o m ec r i t e r i af o rt h e e x i s t e n c eo fap e r i o d i cs o l u t i o n s u c has o l u t i o nc o r r e s p o n d st oac r i t i c a lp o i n t i i i 临界点理论在n 英膏改逝值问题中的应用 m i n i m i z e st h ed u a la c t i o nr e s t r i c t e dt oas u b s e to fs o m ed e t e r m i n e ds p a c e k e yw o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p - l a p l a c i a no p e r a t o r ；h a m i l t o n i a ns y s - t e m ；m o u n t a i np a s st h e o r e m ；l i n k i n gt h e o r e m ；s a d d l ep o i n tt h e o r e m ；r i c c e r i v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 作者签名：】蹰矛l 群日期：a 一7 年7 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密曰 ( 请在以上相应方框内打”，) 作者签名：i 蹰争1 砰 导师签名 l 目艇 日期：和p 年) 月日 日期：o 年 月日 博士学位绝文 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义与发展概况 1 6 7 6 年，莱布尼兹致牛顿的信中，首次提出了。微分方程。这个名称自此之 后，微分方程理论逐渐发展，很快成为研究自然现象的强而有力的工具早在十七 世纪至十八世纪，就已经在天体力学和其它机械学领域内显示了巨大的功能随 着生产实践的发展，除初值问题外的另一重要定解问题，微分方程边值问题不可 避免地呈现出来这一问题。自从十九世纪三十年代，由l i o u v i l l e 和s t u r m 开创 以来，逐渐成为非常富有生命力的数学分支，在电子技术，自动控制，核物理、星 际导航等许多尖端科学领域以及与人们生活密切相关的现代生物学人工神经网 络和经济学中有着广泛的应用至今，无论在问题的深度和广度上，还是在研究方 法上都有很大的发展特别近二三十年来，关于微分方程边值问题的研究，取得 了突飞猛进的进展，已经初步形成比较系统的理论体系如1 9 8 6 年r p a g a r w a l 的专著b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， 1 9 9 4 年d o r e g a n 的专著t h e o r yo fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， 1 9 9 9 年r p ，a g a r w a l ，d o r e g a n 和p j w o m g 合编的著作p o s i t i v es o l u t i o n s o fd i f f e r e n t i a l ，d i f f e r e n c ea n di n t e g r a le q u a t i o n s 等，可见文献【l 一5 】 随着分析和拓扑等数学分支的不断发展和结合，研究微分方程边值问题的方 法和技巧不断地改进更新，多种多样比如说，上下解方法，不动点理论，度理论， 非线性算子理论，非光滑分析和多值分析等这些都是研究微分方程边值问题卓 有成效的工具，可以参见文献【6 1 6 另个值得一提的就是变分法，其解决问题 的思想在于。把求微分方程边值问题的解化归为寻求定义在某个合适函数空间的 。能量。泛函的临界点，有关这一方法可参看文献【1 7 n 2 2 2 0 0 5 年，l g a s i f i s k i 和n s p a p a g e o r g i o u 合作编写了专著n o n s m o o t hc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n d n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s n 7 ) 介绍了目前已有的非光滑临界点理论 以及利用它们研究非线性常微分方程边值问题和椭圆边值问题的状况 除了微分方程模型外，在数学领域本身及统计学，计算机科学电路分析 动力系统、经济学、生物学等众多领域内，出现了大量的各种形式的差分方程模 型近年来，随着差分方程理论研究的深入，其重要性引起了人们更广泛的关注 差分方程和微分方程有着密切的联系，许多微分方程可以通过差分方程取极限获 得；而在求微分方程数值解时，需将微分方程离散化，其模型为差分方程而且， 与微分方程相比。差分方程在内容上更为丰富些，比如，l o g s t i c 方程，个非常 简单的一阶差分方程可以产生混沌现象，而微分方程只有高阶才有这种可能另 外，离散的拓扑空间缺少连通性，在研究离散问题时，要克服这一困难，就需要 临界点理论在几类离散遗值问题中的应用 提出额外的假设就此看来，对差分方程的研究，既可以推动其自身的发展，又 对微分方程理论的发展具有促进作用。 目前，对差分方程非线性系统的研究也是日新月异，有着丰硕的成果，可见 2 3 3 0 ，其中采用的方法通常是非变分法变分法这样一个强而有力的工具对差 分方程非线性系统的研究是否可行呢? 2 0 0 3 年，郭志明和庾建设在中国科学 上发表论文g 二阶超线性差分方程周期解与次调和解的存在性f 3 1 j 回答了这个 问题，首次提出了利用临界点理论研究二阶非线性方程 2 一l + f ( n ，) = 0 由此引发了许多待研究的课题，例如怎样合理利用各种临界点理论t 极值的变分 理论，各种极大极小值定理，筹数与指标理论，m o r s e 理论等，去研究自共轭和 非自共轭方程的周期解问题，边值问题以及同宿轨异宿轨等许多有意思的问题 本文的研究范围是利用临界点理论去研究几种离散边值问题解的存在性，唯 性以及多解的存在性 2 0 0 4 年，在文献1 3 2 】中。a g a r w a l 考虑了下面两点边值问题 竺叫二j 唆功) ， 拓z ( 1 t ) ， ( 1 | 1 ) 【z ( o ) = 0 = 。口+ 1 ) ， 、7 其中t 是正数，：z 0 ，”r r 是连续的这里的边界条件是共轭( d i r i c h l e t ) 边界条件通过运用山路定理确定了正解的存在性 2 0 0 4 年，张广等在文1 3 3 中考虑了下面的特征值问题 一2 一l 2 p 五( 瓤) ，七z ( 1 ， ( 1 2 ) l2 3 0 = 0 ，z - t + l = 0 ， 其中p 0 ，巩r ( k z 0 ，d ) 实际上，令 = 瓜，此系统与问题( 1 1 ) 相 同给出了有关函数五的条件： ( 日1 ) j 孑五( s ) d 5 0 和五( z ) = d ( 力当z 一0 ( 王k ) 存在常数n 1 ，毗，m 0 和口 2 使得 f 五( s ) d s o l i z l 8 一心，v m 肛 ( 王b ) 譬五( s ) 如0 且 u 。掣：。 ( 凰) 存在常数m ，n 2 ，m 0 和1 r 腻 一2 一 博士学位i 蚊 当五满足( 岛) 和( 飓) 时，函数五在零点和无穷远处是超线性的；五满足 ( 矾) 和( h ) 时，函数 在零点和无穷远处是次线性的作者采用全局极值的变 分法证明了k z ( 1 ，印， c ( r ，r ) 时，分别在这两种情况下，系统( 1 2 ) 存在 个非平凡解 那么这里很自然地，有几个问题值得思考t 1 系统( 1 1 ) 的边界条件是d 试吐l e t 边界条件，那么换个边界条件，比如 说混合边界条件 茹( o ) = z ( = 0 ， 在什么样的条件下，会存在非平凡解呢? 进一步。在什么条件下，解唯一? 2 要是换成n e u m 蛐边界条件 z ( o ) = a x ( t ) = 0 ， 系统( 1 1 ) 在什么条件下，会存在非平凡解或多个解7 3 当非线性函数五在零点和无穷远处既不是超线性的又不是次线性的，会 有解存在吗? 在文 3 3 ，作者利用个全局极值点找到了一个非平凡解，在此条件 下。还有一个局部极值点，那么这是不是另一个非平凡解? 是否可以考虑一个方 程组呢? 八十年代初期，人们在研究非线性偏微分方程的径向解以及对非牛顿流体力 学，多空介质的气体湍流，弹性理论，血浆问题，宇宙物理等大量的应用领域的 研究中发现，许多的问题可以归结为所谓的带w l a p l a c e 算子的微分方程 ( 如( ) ) + q c t ) ( t ，t ，) = 0 ，0 t 1 在近十多年里，许多国内外的专家学者对此 类问题的研究非常感兴趣，并取得了很多成果可见文献【3 2 4 1 把问题( 1 , 3 ) 的离散化，其模型为 ( 如( z 一1 ) ) + q c k ) ( k ，z ( 竞) ，a z ( k 一1 ) ) = 0 ( 1 4 ) 对于具有p - l a p l a c e 算子的有限差分方程研究，最近几年也引起了国内外许多学 者的关注 2 0 0 3 年，y l i u 和w g e 在文【4 2 】中利用不动点定理研究了方程 ( 如( u ( 女) ) + a ( k ) 0 ( 七) ) = 0 ，七z ( o ，n ) 和边界条件 让( + 1 ) = 0 ，札( o ) = b o ( t l ( o ) ) 一3 一 临再点理论在几类离散边值问题中的应用 构成的边值问题，给出了至少存在着两个正解的充分条件 2 0 0 3 年。z h e 在文f 4 捌中利用在锥不动点定理研究了带有p - l a p l a c e 算子 的边值问题 ( 如( 乱( 七一1 ) ) + d ( 七) ，( ( 七) ) = 0 ， 七z ( 1 ，t + 1 ) ， ( 1 砷 ia u ( 0 ) = u ( t + 2 ) = 0 正解的存在性 2 0 0 6 年，借助于a v e r y 和h e n d e r s o n 给出的个不动点定理，y l i 和l 执 给出了边值问题( 1 5 ) 至少存在两个正解的充分条件 可否考虑比( l 5 ) 更般的具有p - l a p l a c e 算子的有限差分方程，并且可否寻 找到更多的解，这都是我们考虑的问题 1 9 9 9 年，b r i c c e r i 在【删中提出了个新的变分原理，紧接着，他和g b o n a n n o ，g a n e l l o ，g c o r d a r o 及p c a n d i t o 等大批学者对这个原理进行了 发展和应用，可参见文献f 4 5 5 7 ，在此基磅b 上，2 0 0 4 年，g ，b o n 8 n n o 给出了一 个具三个临界点的定理 我们试想可否把这个新的临界点定理应用到具有p - l a p l a c e 算子的离散边值 问题当中去呢? h a m i l t o n 系统 - ，吐( t ) + v h ( t ，u ( t ) ) = 0 ，( 1 6 ) 是与边值问题密切相关的，它的理论是即经典而又现代的研究领域。可以从不同 的角度进行研究 1 9 7 8 年。在【5 踟中r a b i n o w f i z 首先提出利用i 临界点理论处理 h a m i l t o n 系统( 1 6 ) 之后，v b e n c i ，j m a h w i n ，k c c h a n g 和g c o r d a r o 作出 了进步的研究关于( 1 6 ) 的周期解和次调和解的存在性已经获得了许多有意义 的结果，我们可以参见文【2 2 ，5 9 6 2 】及其当中的文献关于这方面有几本专著， m a w h i n 与w i l l e m 的c r i t i c a lp o i n t st h e o r ya n dh a m i l t o n i a ns y s t e m i 邪j ， 刘正荣和李继彬著的哈密顿系统与时滞微分方程的周期解1 6 3 l 等这些研究 的都是连续的模型其离散类似为 j a u ( n ) + v h ( n ，厶l 妨) = ，( 妨( 1 7 ) 这里v h ( n ，“) 表示h ( n ，关于u 的梯度，是辛矩阵对于离散h a m i l t o n 系 统( 1 7 ) 的研究还比较少 2 0 0 3 年，在文【6 4 】中，z m g u o 和j s y u 直接把临界点理论应用到超二 次的h a m i l t o n 系统 2 0 0 4 年，在文【6 s 中，z z h o u ，j s y u 和z m g u o 直接把临界点理论应 用到次二次的h a m i l t o n 系统 一4 一 博士靴论文 其中所用的方法恰当地处理了那些h a m i l t o n 系统是非凸的问题还有一类 h a m i l t o n 系统是凸的凸的假设让我们可以用对偶理论这个理论是由c l a r k e 提 出，由c l a r k e ，e k e l a n d 等一些人进步发展。可参见f 2 0 ，6 6 ，6 7 2 0 0 6 年，j s y u ，h h b i n 和z m g u o ，在文【6 s 中，对离散h a m i l t o n 系统成功引进对偶作用t 对任意的”y ， 小) = 耋肛尬如- 1 ( n ) ) 埘( 啪咖) + ，( 枷 其中 y = 卜帐z 贮u c 叫咖 且圣t 咖剐) ， 驴是h 的f r e c h e l 变换，定义为 h + ( 竹， ) = s u p 【( 钉，让) 一h ( n ，u ) 】，( n ，钍) z r 2 在的一些增长条件下，系统( 1 7 ) 的解对应于对偶作用的临界点在文【6 8 】中， 找到的周期解所对应的函数是在y 上全局极小化对偶作用的 根据文【6 8 】中主要定理的假设，我们引入一个参数p ，实际上文【6 8 】讨论的 是p = 2 的情形，那么1 p 2 时我们在怎样的条件下采取怎样的方法能我到 周期解? 1 2 本文的主要工作和创新点 一本博士论文是在上一节所涉及工作的基础上，对提出的一些问题进行研究和 讨论 当( i i ) 中的边界条件换成混合边界条件，就是如下的离散非线性两点边值 问题t 一2 。( 七一1 ) = f ( k , x ( 七) ) ， k z ( 1 ，t ) ， ( 1 8 ) 【$ ( o ) = 0 = $ ( 、。 在第二章中，我们的目的之一是应用临界点理论去解决问题( 1 8 ) 非平凡解的存 在性众所周知，在运用临界点理论时，问题的关键和困难在于构造变分框架 在这章中，首先运用g r e e n 函数和线性算子的分解，我们获得了问题( 1 8 ) 的变 分框架，然后再分别运用强单调算子原理和临界点理论，建立了有关非线性函数 ，的些条件以保证问题( 1 8 ) 有唯解或至少有个非平凡解，这些条件包涵了 超线性的类型 一5 一 临界点理论在l 类离散进值问题中的应用 当( 1 1 ) 中的边界条件换成n e u m a n n 边界条件，就是如下问题t j 2 z ( 七一1 ) + f ( k ，$ ( ) ) ；0 ，k z ( 1 ，刁，( 1 9 ) 【a x ( o ) = 0 = a x ( t ) 在第三章中，对任意的( k ，z ) z ( 1 ，r ，我们令f ( k ，z ) = 后f ( k ，s ) d s 这 章，我们应用临界点理论研究边值问题( 1 9 ) 的解的存在性事实上，边傻闯题 ( 1 1 ) 和( 1 8 ) 对应着正定的算子，而边值问题( 1 9 ) 对应着半正定算子因此， 这章所利用的极大极小值方法是环绕定理和鞍点定理一方面给出了非线性泛函 f 超二次增长的条件，在此条件下，我们证明了边值问题( 1 9 ) 至少有两个非平凡 解另方面，我们给出了另外两个( 1 9 ) 的解存在的充分条件，这时f 是次二 次增长的 第四章，我们考虑下面高维非线性二阶离散边值问题t j a 2 x k l = ( 尥) ， k z ( 1 ，d ， ( 1 1 0 ) 1 = a 五，x r + i = f l x r 其中o t 1 ，p l ，m ，t n ，对任意的k z ( 1 ，= ( x k l ，x k 2 ，x h ) t r m ， = ( l ，如，丸。) 了e ( r m ，r ”) 这一章，我们将应用山路定理去解 决系统( 1 1 0 ) 至少两个不同的非平凡解存在往问题作为这章主要结论的特殊情 况，在文1 3 3 】中定理1 和2 的条件下，我们能得到双倍的非平凡解而且我们将 给出个反例来说明在文章【3 3 】中定理3 的条件下无法得到它的结论 第五章，我们考虑涉及p - l a p l a c e 的离散d i r i c h l e t 边值问题t 【如( 茁( 七一1 ) ) 】+ a 似，z ( ) ) = o ，k z ( 1 ，卵，( 1 1 1 ) i 茁( o ) = 0 = 霉( t + 1 ) ， 其中t 是正整数，p3 , - l 是个常数，如( s ) 是p - l a p l a c e 算子，即，如( s ) = i s r 2 s 近几年，基于个新的变分原理一一r i c c e r i 变分原理删，b o n a n n o 在文 7 0 1 提 出个具有三个临界点的定理利用这个定理，在适当的假设下，当a 位于确定 的两个开区间内时，我们证明问题( 1 1 1 ) 至少有三个解而且，当a 属于其中的 一个开区间时，所有的解是一致有界的 第六章中，我们考虑下面离散的h a m i l t o n 系统t j a u ( n ) 4 - v ( n ，h ( n ) ) = f ( n )( 1 1 2 ) 满足岍研叫n 渤呱其中正 嘶，= ( 嬲) 掣削神= ( h ”) 一川咖( 嬲) 舻n 目a u 叫州m 是 一6 一 博士学位论文 向前差分日( ，“) 和，是t 周期函数v h ( n ，“) 表示h ( n ，让) 关于u 的梯度， n r 、 j = lj：“i 是辛矩阵，其中h 是r 中的单位矩阵我们运用【7 1 】中的 抽0 r i c c e r i 变分原理，对偶作用和扰动技巧建立了凸h a m i l t o n 系统( 1 1 2 ) 周期解存 在的充分条件，此时1 p 0 由引理2 2 1 2 2 3 ，我们知道耳是连续对 称有限的正定线性算子，因此我们有下面的公式- 丁 z = ( $ ，e t ) e t ， z b t = l 。0 2 = e t ) 1 2 ， z b t = l 一1 1 一 ( 2 1 2 ) 眈2 d 杀e i ) 岛，蚝b ( 2 1 3 ) 由( 2 i s ) ，k ：b b ，k 的正的平方根。是存在的并且是唯一的，记为。 小归痣蠹扛恿k ，蚝e ( 2 1 4 ) 显然下面的引理成立 引理2 2 4k ：b b 是个有界对称有限的正线性算子 并且由( 2 1 1 ) 和( 2 1 4 ) ，我们有 ( n i z , x ) 2 若矗未白e t ) 2 ，蚝e ( 2 1 5 ) 注2 2 2 等式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 包涵了当石b 且岳0 ，k z 0