（应用数学专业论文）层状多孔介质中渗流方程的第三边值问题.pdf

层状多孔介质中渗流方程的第三边值问题 摘要 本文主要讨论一维有限双层多孔介质中部分饱和的渗流问题，即具有间断 系数的一维拟线性椭圆一抛物退化方程的第三边值问题证明了该问题的解的 存在性、唯一性及弱解的边界性质 关键词：层状多孔介质、渗流方程、第三边值问题 t h et h i r db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f t h ef i l t r a t i o ne q u a t i o ni n l a y e r e dp o r o u sm e d i a a b s t r a c t w e s t u d yi nt h i sp a p e rt h ef i l t r a t i o np r o b l e mi np a r t i a l l ys a t u r a t e dl a y e r e d p o r o u s m e d i ai no n ed i m e n s i o n a l t h a ti st h et h i dp r o b l e m b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo nd i m e n s i o n a ld e g e n e r a t eq u a s i - l i n e a re l l i p t i c - p a r a b o l i c e q u a t i o nw i t hd i s c o n t i m l o u sc o e f t c i e n t s t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e s so ft h es o l u t i o n sa n d 8 0 m e p r o p e r t i e so ft h es 0 1 u t i o na t e p r o v e d k e yw o r d s ：l a y e r dp o r o u sm e d i a ，f i l t r a t i o ne q u a t i o n ，t h et h i r d b o u n d a r yv a l u e p r o b l e m 2 1 引言 自从1 9 5 8 年o l e i n i k k a l a s n i k o va n dz ( 【1 】) 为一维单层渗流方程毗= ( u ) 的研究奠定基础以来，国内外许多学者致力于渗流问题的研究，单层介 质的渗流问题已得到很好的解决( 1 2 卜【1 0 】) ，各种条件下弱解的存在性、唯一性、 以及弱解的各种性质都得到了很好的研究本文将讨论一维有限双层多孔介质中 部分饱和的渗流问题，研究具有间断系数的一维拟线性椭圆抛物退化方程的 第三边值问题 对于单层介质，一维渗流方程可表示为如下方程： 盖( 日( 妒( 州) ) ) = 差 a c e ( x , t ) ) 壶妒( 刈) - o k ( 妒c 州) ) 其中t 表示时间，z 表示沿重力方向的坐标，o 是多孔介质的含水率，k 是流 体在多孔介质中的渗透率，妒是毛细压水头，其中口和k 是与多孔介质有关的 已知函数记伊是介质饱和时的含水率，矿是介质饱和时的毛细压水头 当0 0 扩时，、上述方程是抛物型方程； 当妒= 一。时，女( 母) = 0 ，上述方程在介质的干燥区域是退化的 当妒矿时，p 伊，上述方程在介质的饱和区域是退化的 对于单层介质中部分饱和的渗流问题，通常都象v a n d u y n 那样通过k i r c h h o f f 变换 ，廿( 0 ，” u ( 。，t ) = 知( 5 ) d 5 然后以“为未知函数，对于双层介质的情形，在分界面上要求界面两侧的水头和 流量的法向分量在越过此界面必须连续( 1 l 】) ，而含水率和上述变换中的u ( z ，t ) 都可能在界面上产生跳跃，这种解的不连续性将造成不必要的困难因此、我们 仍以毛细压水头作为未知函数在每一层介质内，渗流方程的形式为 ( 8 ( “( z ，t ) ) ) t = ( 女( t ( z ，t ) n 。( 。，t ) 一( u ( z ，t ) ) 。( 1 1 ) 其中下标表示偏导数，u ( z ，t ) 是毛细压水头，日是含水率，k 是渗透系数，口( u ) 和( u ) 是通过实验得到的已知函数，“9 是介质饱和时的毛细压水头，扩是介 质在饱和时的含水率，k 。是介质在饱和时的渗透率对于两层介质中的渗流问 题，假定每层介质都是均匀的且各向同性的。由于我们考虑的区域是上下两层 ( 无妨假设为0 。 i 和1 z 2 ) 不同的多孔介质拚合而成，所以对不同的 介质口( u ) 和( u ) 各不相同，我们把第一层和第二层的含水率、渗透率分别记为 口1 ( “) 、如( “) 和k t ( u ) 和乜( “) 虽然两层介质各不相同但水在各层介质中渗 流所满足的方程形式都是相同的即都是( 1 ，1 ) ，而且当流体流过两层介质的交界 时，流进和流出的量应当相同水头也应当在交界面上相等 3 记 g t = ( z ，t ) j z ( o ，1 ) u ( 1 ，2 ) ；t ( o ，卅) 则本文将要研究的双层介质中的渗流问题可以写成： ( h ( 1 一z ) p 1 ( “) - t - h ( x 一1 ) 0 2 ( u ) ) e = ( ( 日( 1 一。) l ( “) + h ( x 一1 ) 2 ( u ) ) ( t b 一1 ) ) 。， “( z ，0 ) = u o ( z ) ， l ( u ) ( u 。一1 ) l 。：0 = 9 0 0 ) ， 如( “) ( “t 一1 ) 1 。：2 = 船( t ) ， ( 月。( 1 一z ) 七1 ( t 上) + 日( z 一1 ) 七2 ( u ) ) ( u 。一l ，、一l z = l 。+ = 0 u ( z ，t 、，f l 。x 2 = 1 l + - = 0 ， 其中日是h e a v i s i d e 函数 2 问题的表述 记 z 0 z 0 ，2 】， t ( 0 ，卅， ( 1 2 ) ( 0 ，引， t ( 0 ，列， ( 0 ，t 】， d 1 = ( 。，t ) l o z l ，0 茎t ， d 2 = ( 石，t ) 1 1 0 ，( r ) 0 ：艇t ( r ) 0 ，其中u 目为常数，它 表示第i 层介质达到饱和时的毛细压水头，当r u 5 t 时，o i ( r ) ；鲫，k i ( r ) 兰於， 其中卵和舻都为常数。它们分别表示第f 层介质在饱和时的含水率和渗透率 ( 凰) 当r u “时，磁( r ) = 0 ( 哦( r ) ) 函数u n ( x ) 和9 0 ( 0 ，9 2 ( t ) 满足如下条件： ( f h ) “o ( z ) c o + 1 ( 【o ，2 ) ，i “o ( $ ) lsm o r ，其中t ( 0 ，1 ) ，一m o m i n u 扪，u 3 。) ( 凰) 存在一点x l 【0 ，1 ) ，使“o ( x 1 ) 矿- ，或者存在一点。2 【1 ，2 】，使 u o ( x 2 1 u “ ( 凰) 9 0 ( t ) ，9 2 ( t ) c o + 1 ( 【0 ，卅) 定义2 1 定义在刁上的函数u ( 孔t ) 被称为问题( 2 1 ) 的弱解，如果它满足 如下的条件： ( d 1 ) u ( x ，t ) 是实的有界函数，它在西上对z 有有界的广义导数u 。( z ，t ) ，日( 。，u ) 在d t 和功中连续，口( 毛“( 毛0 ) ) = 口( 为u o ( z ) ) ( d 2 ) 对v tf 。= - - 【0 ，t i ，存在z l 0 1 ) ，或者z 2 ( 1 ，2 】，使u ( x l ，t ) ) u s - 或者 u ( z 2 ，t ) t ” ( d a ) ( o c x ，“) ) t l 2 ( 百t ) ，( k ( z ，u ) u ；一( z ，u ) ) 。l 2 ( 舀t ) ，而且对v 庐( z ，t ) 工2 ( o ，t ；h 1 ( o ，2 】) 和v t o f 0 ，卸，u 扛，t ) 满足积分恒等式； 删t 西d x d t + 州) 驴k ( z , u ) ) 札d x 出 g t og t o p r o 2 五 庐( 2 , t ) 啦( 2 ) 一t ) g o ( t ) d t ( 2 2 ) 5 本文的计划如下，在3 节中，我们构造光滑的函数列 ( ，r ) ) 和 女。( ，r ) ) 来逼近在= 1 处间断的函数e ( y ，r ) 和k ( y ，r ) ，然后构造光滑的抛物方程古典解 序列 “。( z ，t ) 在4 节中，由于含水率，渗透率和水头都可能在z = 1 处发生 跳跃，故分层局部证明了含水率，渗透率和流量的收敛性及弱解的存在性在5 节中证明了方程解的唯一性在5 6 节中，将证明在每一层介质内，渗透率、含 水率连续到边界 3 构造抛物方程古典解序列 首先构造光滑的函数列( ( 口，r ) ) 和( k ( ，r ) ) 来逼近在= 1 处可能间断的 函数日( ”，r ) 和k ( y ，r ) 令 础，s ) 一p 州一) 其中p o 为常数，面1 = ，上e 印( 社由= t ) 如d 8 对 = 1 ，2 令6 0 ，屯是 z 2 + 5 2 1 满足如下条件的常数： 定义 巩( 一札) = 业掣， 仇( 一如。) = ! d ：i 盥， 一6 0 = r a i n 一6 2 1 ：一如2 ) ，fh ( 咄 乜( r ) = i ( 一曲) 矾，扣懋： 羔兰 利用p 。( z ，s ) ，再( z ，r ) 构造如下函数列 靠( z ，r ) ) 和 。( z ，r ) ) 如下 矾”) = 础，s ) k ( y - x , r - s ) d 砒， ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 略* 萨 + 铲 一 斗 茁 女。( ”，r ) = 二+ 。( y ，r ) ，( 36 ) _ n ( 玑r ) = 肌( z ，s ) 口( 一。，r s ) d z d s ， ( 3 , 7 ) 。盖2 11 ( 可，r ) = 三+ 二r + 百。( 掣，r ) ，( 3 8 ) t t 则 靠( g ，r ) ) 和 。( ，r ) 】具有如下性质： ( p 1 ) 日。( 玑r ) ) ， h ( ，r ) ) c 。( r 2 ) ，在区域 ( 玑r ) ) 1 0 y 1 ，一o 。 r + o 。 和区域“，r ) i l y 2 ，一。 r + o o ) 的任意有界闭子集上， ( ”，r ) ) 和 k 。( ，r ) 分别一致收敛到函数日( 玑r ) 和k ( y ，r ) ( p 2 ) 存在常数0 “，k “，k o ，使得 ；兰( ”) = 杀( ”) o o l ， r e o 0 ( p 3 ) 在区域 ( 玑r ) l o 兰 l ，r - ) 和区域 ( 轨r ) l l 0 ，使： 弦l 。( t ( z ，t 2 ) ) 一龟。( 珏。( z ，1 ) ) s 且蠢叠i 如一0 1 l ， ( z ，t 2 ) ，( z ，t 1 ) d ，( 3 1 5 ) 即口1 。( u 。) 在d 中对t 一致h s l d e r 连续 为了使得( 。，) 在爵中一致有界，需要对爵中的t 加以限制，下面对 t 作如下的假设： m ) 当( z 乇) 中z 1 存在时 f e t m i n o s l 一口l ( “o ( z 1 ) ) ，口l ( 一d 1 1 ) ，0 2 ( 一6 1 2 ) ) 三。e n 其中m e 是( 3 1 5 ) 中的常数，它只依赖于已知数据 ( 噩) 当( 风) 中2 7 2 存在时 m e t m i n o “一& ( o ( 。2 ) ) ，如( 一九1 ) ，8 2 一西2 ) ) i ：砘 9 引理3 4 设“。( 置) 是问题( 3 o ) 的解，而且m ) 或( 乃) 成立，则存在常数 m ，当n 充分大时，有 一d o u 。( z ，t ) m 证明：假设条件m ) 成立，取e ( 0 ，1 ) ，使 i 时，由( 3 2 ) 有 。i n ( i t “( z ，t ) ) 0 1 ( 一m o ) 一0 1 ( 一6 1 1 ) + ； = 0 1 ( 一d 1 1 ) ；， 妇r 0 ，刈 于是当n l 时 i t n ( z ，t ) 日鬻( 口l ( 一 1 1 ) + ；) ，v z 【0 ，州 由( 3 1 7 ) 9 l ( 6 1 1 ) + i n 。 当n 2 时 1 0 忱 o ， d ) ) 一4 e 一4 + + ) ) f 0 r 0 一 一 徊p l 一1口p 一 卜 i o j f 其中e l 为正的常数，由于k 。 sm l ，选取 1 2 ，l 】，使 ( 1 一a ) m 1 n 2 时有 u n ( x ，) 一j 1 1 ， z 0 ，1 用类似的方法可证明，3 n 3 n 2 ，当n n 3 时 n 白，t ) 一6 1 2 ， v x c 1 ，2 由( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) ，当n n 3 时 u n ( 卫，t ) r a i n 一, h i ，一d 1 2 ) 一品 ( i i ) 下证n ( 。，z ) sm 由( 3 1 5 ) 和( 孔) ，有 曰! n ( t 上。( z 1 ，) ) 一口l 。( “o 。( z 、) ) 拖t 曼矿1 一日l ( “o ( 。i ) 一e 因为 t 3 骢口，n ( “o n ( z ) ) = 日z ( $ 1 ) ) ， 所以由( 3 2 2 ) ，j 3 ，当n n 时， 口n ( “( 钆t ) ) 卵一；， ( 3 1 8 1 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 32 1 ) ( 3 ，2 2 ) u n ( z l , ns 口嚣( 卵一；) 口i 1 ( 舭一；) 0 ，使得当n n 时， t t n ( z ，t ) sm ， v ( z ，t ) e g t 由( i ) 和( i i ) ，引理( 3 4 ) 在条件m ) 下成立，当条件) 成立时，证明的方 法类似。 由引理3 l ，3 4 可知，函数列和。曲) ，f “。( z ，f ) ， 。( x , u a ( z ，t ) ) ) 都在三2 ( 口r ) 中一致有界 所以它们在l 2 ( 西) 中分别有弱收敛的子列，把这些子列的弱极限分别记为 u ( z ，t ) ，诧( 乱t ) ，i ( = ，t ) ，显然瓦( z ，) = “。( z ，) ，把上述结果记为： 。( 。，圹暨) 。( 。，t ) ， u 。( z ，t ) 。2 暨1 ( z ，t ) k ( 。，。) 。2 虫r 嚏z ，) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 由引理3 3 ，函数列 以( z ，u 。) ) 在d 。或d 。的任意闭子域上有子列一致收敛 到一个连续函数，所以，存在一个函数氓z ，z ) ，它在d 。和d 2 中连续，在d 1 或 d 2 任意闭子域上，虱z ，t ) 是函数列 ( z ，) ) 的子列一致收敛的极限，当。：l 时，敢z ，t ) 的值可以任意给定，记 4 解的存在性 靠( z ，) 。1 斗“0 c 马t ) ( 3 2 7 1 引理4 1 对于( 3 2 4 ) 和( 3 2 6 ) 中定义的函数u ( 而t ) ，i ( z ，t ) 和n e ( q ) 爵 有 后( $ ，u ( z ，t ) ) = 七( 。，t ) ( 4 1 ) 证明：假设d 是d 1 或d 2 中的任意闭子区域，只须证明对a - e ( $ ，t ) d ( 4 1 ) 式成立一不妨假设d 是d 1 中任意给定的闭子区域，由( p 1 ) 一( 蜀) ，在d 中有 0 敢毛t ) ! 矿一 记 q = “z ，t ) l ( z ，t ) d ，0 石( $ ，t ) 0 和 ( z o ，t o ) 的一个邻域， 使得 邱= ( z ，t ) d l l x o 一。f 2 + i t o t 1 2 p 2 ) 3 占 n 1 时，有 2 占 n 1 ，2 d o ，j 2 l ，使得当n ，n l ，7 t 2 奶剥，对，( $ t ) 毋， 有 i t i 1 ( z ，t ) 一u 。：( 。，t ) i = i u 。( 0 1 。) 一“。2 ( 0 1 。：) i o t j 3 2 ，使得当n 3 时，对于v ( z ，t ) r v ，有 i k l n ( t n ( 。，) 一k l ( u + ( 。，) l ! h 。( t h ( z ， ) 一k l ( u 。( z ，t ) ) l + f 1 ( u n ( z ，t ) ) 一k l ( + ( z t ) ) j e 2 所以 k l n ( t i n ( z ，) ) _ 1 ( u ( z ，t ) ) ( 4 4 ) 1 3 由( 3 2 6 ) ，( 4 3 ) ，( 4 4 ) 知，对- c ( z ，t ) r p ，定理( 4 1 ) 成立然后由( 5 0 ，t o ) 的任意 性，【4 1 ) 在q 中几乎处处成立 ( i i ) 对v e ( o ，；口3 - ) ，记只= ( z ，t ) d 1 0 ( z ，t ) 口5 ，一s ) 由( 3 ，2 7 ) 3 n 0 当n n 时，对v ( x ，t ) ep e 有 日1 n ( ( z ，t ) ) p “一2 c ， u 。( z ，t ) e 矗( 矿1 2 ) ，( 4 5 ) k l 。( “。( z ，) ) k l 。徊嚣( 矿1 2 e ) ) 于是对v 币( z ，t ) c 铲f p e ) ，毋( z ，t ) 0 ，由( 3 2 6 ) 得 0 ，3 粤( 以k i n ( z t 1 ) 一k l n ( 口矗( 矿1 2 e ) ) ) l t ( p l = ( 毋，l 扛， ) 一趣( 钉1 ( 矿1 2 ) ) ) l ，( r ) 所以，在p e 内几乎处处有 i ( z ，t ) k l ( 0 i - 1 ( 日“一2 ) ) ( 4 6 ) 因为p 只所以对n n ( q t ) 只( 4 6 ) 成立在( 4 6 ) 中令_ + o ，得 ( z ，t ) k l ( 8 f 1 ( p ”) ) = k l ( “，) = k “ 另一方面，显然有；) “所以对阮d p ，有k t ) = k “然后对 ( 4 5 ) 式两边在驴( r ) 中取弱极限，令e _ + 0 ，得 u ( 。，t ) 口i 1 ( 口5 1 ) ：u 5 1 ，( $ ，t ) p 从而对d e ( z ，t ) p ，有 k t ( u ( 甄t ) ) = k t ( u “) = k ”= k ( z ，) 综合( 烈) 知，结论成立。 引理4 2 对于( 3 2 4 1 和( 3 2 7 ) 中定义的函数“( 。，t ) ，吼马) 和d 。( z ，) 岛， 有 目扛，u ( z ，t ) ) = 吼。，t ) ( 其证明方法和引理( 4 1 ) 类似，我们将这一证明略去，) 记 程5 ( z ) = 。日( 1 一x ) u 5 1 - f 日( 2 1 ) u 5 2 1 4 令 r n ( o ，) a 。( z ，u 。) = k 扛，r ) d r ，( 47 ) j u 。l 引 则函数列 a 。( 。，u 。) ) 在工2 ( 百r ) 中一致有界，它在三2 ( 石0 ) 中有弱收敛的子列， 记其弱极限为a ( z ，t ) 即 a 。( z ，u 。) 。2 暨) a ( z ，n( 4 8 ) 引理4 3 对于( 3 2 4 ) 和( 4 8 ) 中定义的函数u ( x ，t ) 和五( z ，t ) ，在碍中几乎 处处有 x ( z , t ) 叫刚= 滕m ，r ) d r ( 4 9 ) 证明：和引理4 1 的证明一样，考虑d 1 中的任意闭子区域d ，按引理4 1 那样定 义q 和p ，并假设n 充分大，使得在d 中有氏( 。，u 。) = 0 1 。( u 。) ，k n ( x ，“。) = 1 。( “。) ( i ) 对v ( x o ，t o ) q 由引理4 1 的证明可知，存在( 。o ，t o ) 的邻域r p ，u 。( 。，t ) 在郦内一致收敛到函数矿( z ，t ) 訾u ( $ ，t ) ，所以对v e 0 ，3 n 使得当n n 时。 在j k 内一致地有 ( 酬叫删! ：| c ( r ) d r _ 仁州岫 s1 仁( l 。( r ) 一k l ( r ) ) d r + i _ “k i n ( r ) d r l i i 0 ，当n n 时，对v ( z ，t ) 只，特别是对v ( 。，) e p ，有 u 。( 。，t ) 0 7 0 ( o “一2 ) 由( p 1 ) 知，存在函数e l 。( r ) ，使 h 。( r ) = 七l ( r ) + 1 。( r ) ， 。l i + r a 。一6 s u ，p 0 ，使得 存在常数岛 0 ，使得 i ls 岛 ( 4 2 0 ) 吲= l “。如( z ，“n ) u 。如出一“n z t k ( 马“n ) 出圳 1 ；f u ：州川捌+ i - 1 5 龟( 删) t d 删 + jz 2 k ( 则n ) l o r d z i + l u 。小施，u 。) ) 廊酬 s g + ( 矿11 2 + 尬) ( 舭。) ) ：i d x d t s 伤十g l 俨1 ( ；m + m 1 ) 2 t + 硒1 一 州叩n ) ) 1 2 出以( 4 2 1 ) 由( 4 1 9 ) 一( 4 2 1 ) 可知，存在常数q o ，使 愉( 舭圳铲d x d t 0 ，m 1 0 ，使得 ( z ，1 ) o ，l u l | ，i u 2 z l 茎m z 于是由( 5 1 ) 和h f l d e r 不等式得 ( 口( z ，u - ) 一日( z ，“。) ) t 扩d z 出+ 譬( “- 。一啦。) 2 d z d t g t o0 5 由( 5 2 ) 得 竿h l k ( 圳叫删 ( ? u l x - - “2 x ) l d x d t 0 6 坚瓮去垡z ，u 。) 一e ( 。，“。) 2 出出+ 嘉( u 。一u 。) z 出出 掣0 6 r ( 口扛，u - ) 一日( b u 。) ) t 矿d z 出+ 2 k d oj f f 、u k u n ) 2 出出 g t o西5 兰伽( 酬叫则。) 2 她 ( 5 z ) 0 d ( 睢，一咆，u ：) ) t 6 血出 g t o s 等伽k 训叫叫。1 】2 揪 口5 ( m 1 + 1 ) 2 2 6 砰( ) ( u 1 一“2 ) 2 d x d t ，( 5 3 ) 其中u l ，u 2 或m 2 ，u 1 ，因为k ( z ，) k ”，所以由( 5 3 ) 得 在( 5 4 ) 中令6 - o ，得 其中 ( 日( 训- ) 一口( z ，地) ) t 扩d 础 g t o ( m z + 1 ) 2 k 0 2 z 2 5 k o 6 t 如出vv _ _ 。u v 。f 口 咿( z ，“1 ) 一日扛，u 2 ) 】+ = r n a x o ( x ，u 1 ) 一e ( x ，札2 ) ，o 2 0 ( 5 4 ) ( 5 5 ) 0 u 2 ( x ，岘 a f o = t ) g * o z ，t ) u 2 ( z ：t ) 在( 5 2 ) 式中取d = 2 m ，则= g 去，由( 5 2 ) 和( 5 9 ) 得 嘉( u - 。一蚓2 d x d t - o 嚷 所以 1 1 z ( z ，t ) = u 2 。( z ，t ) ， o e ( z ，t ) g 去( 5 1 0 ) 同理 “l 。( z ，t ) = t t 2 x ( z ，t ) ， n e ( z ，) a t o ( 5 1 1 ) 由于“l ( g ，t ) 和i t 2 ( t ) 对。连续( 由定义推出) ，所以由( 5 1 0 ) ，( 5 1 1 ) 和t o 的任意 性得 u l z = “2 z ， n e ( z ，t ) u t ( 5 1 2 ) 根据定义2 1 的d 2 ，存在z 1 【o ，1 或者却【l ，2 】，使得对任意f o ，卅，有 目( z l ，t z i ( x l ，t ) ) ( 矿1 ， ( 51 3 ) 2 1 或者 0 ( ：l 2 ，u l ( x 2 ，) ) 0 ” 于是对耽【o ，卅，由( 5 8 ) 和( 5 ，1 3 ) 、( 5 1 4 ) 得 或 由( 5 1 2 ) 和( 5 1 5 ) 、( 5 1 6 ) 知 ( 5 1 4 ) u 1 ( 5 ，t ) = u 2 ( x ，t )n _ e ( z ，t ) - e r 这和u 1 ( 5 ，) 不同于u 2 ( 5 ，t ) 的假设性相矛盾，即定理5 1 成立 6 渗透率、含水率的边界性质 定理6 1 假设t 涵笱是按( 3 2 4 ) 定义的问题( 2 1 ) 的弱解，则对任意的t 0 ，卅，极限 帮口- ( u ( z ，t ) ) l 。i t r a l ( ( z ，t ) ) l 川i r a 如( “( z ，t ) ) l ；i l m l 2 ( “) ) 存在 证明t 因为当。1 0 , 1 】时，目( z ，u ( 。，t ) ) = 0 t ( “( 。，t ) ) ，口l ( u ( z ，t ) ) 在d 1 中连 续，且0 1 时，对 如陋m ，。： 有如( ，。) = 0 1 。( t l n ) ：而且 由( 6 1 ) ，( 6 4 ) 得 扫1 阻( 。m ：，) ) 一 口1 。( t 如( 尘m 。，亡j ) 口1 ( u ( ；，t ) ) 4 - ( 6 4 ) 因为k 。 茎m 1 所以，对v z k 。z 。) 有 目叠【( - 一2 e ) 一m 1 ( 1 一z 。) 2 时，对比陋。、，z 。1 、有 疗- 1 一2 c ) 一2 a ( 1 一z ，叭) 2 z ，。( z 、t ) _ 2 时，对妇k 。，。l 有 岛，。( 0 7 1 ( ( 2 e ) 2 m ：( 1 一。m ，) ) 一 跏 斯 寸 一 f 一 一 ( 0 姐 晰晰 一 十 k 0 0 2 2 “ 一 十 p r 、 ：吓町 f p 0 l ( 口i “( c 2 ) 一2 m r 【1 一z 。，) ) 0 1 ( “( ：f ) ) 0 1 ( 日i l f f 十2 c ) 十2 m ! ( 1 一z 。) ) ，如k ，。，z 。：j ( 6 6 ) 于是，由( 6 2 ) 、( 6 , 3 ) 、( 6 6 ) 得到下列不等 c 一3 e 口l ( u ( x ，t ) ) c + 3 c ，v 。b m t ，z ? n 2 由m 2 的任意性，对比【z ，。1 ) ，有 n c 一耗 巩( u ( x t ) ) c + | 3 c 厶 j 婴0 1 ( ) = n ， 帮9 ( “) 2 相矛盾。所以，定理中的第一个极限存在，其余三个极限的证明类似。 参考文献 1 1 oa o l e i n i k ask a l a d n i l o v c z o uy u l i n t h ec a n c h yp r o b l e ma n d b o u n d a r yp l o b l e m sf o r e q u t i o n so f t h e t y p e o f n o n s t a t i o n a r y f i l t r a t i o n i z x r a k a d n a u ks s s rs e r 1 9 5 8 ，2 2 ：6 6 7 7 0 4 2 】g i l d i n gb h a ，n o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n a n n5 c i i o i f tn o r l n s u pp i s a ，1 9 7 7 ，4 ( 3 4 ) ：3 9 3 4 3 2 【3 i wa h ，s l u c k h a u sq o a s i l i n e a re l l i p t i cp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q l l a t i o u s l a t bz ， 1 9 8 3 1 8 3 ：3 1 1 3 4 1 【4 ) x i a ns h ut i e ，h u a n gz h i d a ，z h o uc h u a l lz h o n g t h ei n f i l t x a t i o np r o b l e mw i t hc o n s ( a n tr a t e i np a r t i a l l ys a t u r a t e dp o r o u sm e d i a a c t a m a t h a p p ls i n i c a ，1 9 8 4 ，1 ( 2 ) ；1 0 8 1 2 6 5 】h u a n gz h i d a a s y m t o t i cb e h a v i o ro ft h eg e n e r l i z e ds o l u t i o no fi n f i l t r a t i o np r o b l e mw i t h c o n s t a l l ts u r f a c ef i u xa c t a m a t hs i n i c a ，1 9 8 3 ，2 6 ( 6 ) ：6 7 7 - 6 9 8 6 t t a n gz h i d l a r g e t i m e s t a b i l i t y o ft i l es o l u t i o no faf i l t r a t i o n p r o b l e m a c t a m a t ha p p l s i n i c a ，1 9 8 4 ，5 ( 3 ) ：1 9 82 0 7 f 7 7 v a n gs h u q i a o s u p p o r to fw e a ks o l u t i o no ft i l ef i l t r a t i o ne q u a t i o n i nh 1o n e ( i i n m n s i o na c t a m ；l t , t ls i n i c a1 9 8 3 2 6 ( 2 ) ：1 9 9 2 1 9 8 v m id u y nc j ，p e l e t i e rl a ，n o n s t a t i o n a r ) 7f i l t r a t i o n i np a r t i a l l ys a t a r a t r dp o r o u sn l e d i a ，a r c h i t i o n a l m e e h a n a l ，1 9 8 4 ，7 8 ( 2 ) ：1 7 3 1 9 8 9 j s un i n g ，l ij i a n g u ot h eb o u n d a r y d l 】ep r o b l e m sf o rt h ef i l t r a t i o n e q u a t i o ni np a r t i a l l y s n lu r a t e dp o r o u sm e d i a a c t am a t h a p p l s i n i c a1 9 8 4 ，1 ( 2 ) ：1 8 0 - 1 9 2 【l o at 】l i a n j u ns o m ep r o p e r t i e so ft i l es o l u t k mo faf i