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曲阜师范大学硕士学位论文 一类二阶非线性微分方程解的振动性研究 摘要 常微分方程解的振动性是微分方程解的重要性态之一，随着自然科学和生 产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了微分方程是否有振动解存在 或者微分方程的一切解是否均为振动解的问题，它具有非常深刻的物理背景 和数学模型近年来，这一理论在应用数学领域取得了迅速的发展和广泛的重 视有大批学者从事于这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果研究微 分方程的振动性理论，有较好的发展前景，并且有较高的实用价值微分方程 解的振动| 生也是微分方程解的重要性态之一随着自然科学与生产技术的不断 发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或者是否微分方 程的一切解均为振动解的问题特别是近几十年，微分方程解的振动性的研究 发展得相当迅速，其中以二阶非线性微分方程最受人们的关注，因此也被研究 得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发 展( 部分结果可参见文【1 】- 3 8 0 本文利用推广的r i c c a t i 变换，积分平均技巧及函数的单调性对几类二阶 非线性微分方程进行了进一步的研究，得到一些新的结果 根据内容本论文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下具有分布偏差变元的二阶中立微 分方程的振动性 ，6 ( r ( t ) 砂( z ( t ) ) z 7 ( t ) ) 7 + p ( t ，) i i z ( 9 ( t ，专) ) 】d 仃恁) = 0 ， t t o ， ( 2 1 1 ) 主要利用了r i c c a t i 变换，基本不等式和积分平均方法将徐在文【1 2 】中的结论 推广和改进，得到了一些新的振动性准则 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章在这一章中，我们主要研究如下带阻尼项的二阶强迫非线| 生强迫 受分方程的振动性 仡 ( r ( t ) z 他) ) 7 + p ( t ) ，( z ) + 吼( t ) ”t s g n z = e ( t ) ， 在这一章中，主要通过运用平均函数h 蚪1 ( t ，s ) c ( d ，r ) ，我们将给出方 l ( 3 1 1 ) 的区间振动准则 s t u d i e so no s c i l l a t i o nf o ro n ec l a s ss u p e r l i n e a r s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h eo s c i l l a t i o no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h e o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h - n o l o g y , t h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e l a t i n gt od i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e r i v e df r o m l o t so fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，s u c ha sw h e t h e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sao s c i l - l a t i n gs o l u t i o no rn o t a n dw h e t h e ra l lo fi t ss o l u t i o n sa r eo s c i u a t o r yo rn o t b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r e so fi t se m e r g e n c eh a v ed e e pp a y s i c a lb a c k g r o u n da n d r e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l s m a n ys c h o l a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i sf i e l d ， t h e yh a v ea c h i e v e dm a n yg o o dr e s u l t s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to f s c i - e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e l a t i n gt od i f f e r e n t i a le q u a t i o n d e r i v e df r o ml o t so fr e a la p p l i c a t i o n sa n dp r a c t i c e ，s u c ha sw h e t h e rd i f f e r e n - t i a le q u a t i o nh a sao s c i l l a t i n gs o l u t i o no rn o t ，a n dw h e t h e ra 1 1o fi t ss o l u t i o n s a r eo s c i l l a t o r yo rn o t i nv e r yr e s e n ty e a r s ，g r e a tc h a n g e so ft h i sf i e l dh a v e t a k e np l a c e e s p e c i a l l y , t h es e c o n do r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a s b e e np a i dm o r ea t t e n t i o n sa n di n v e s t i g a t e di nv a r i o u sc l a s s e sb yu s i n gd i f f e r e n t m e t h o d s ( s e e 【1 】_ 3 8 】) t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y sag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ，i n t e g r a l a v e r a g et e c h n i q u ea n dt h em o n o t o n eo ff u n c t i o n st oi n v e s t i g a t et h e o s c i l l a t i o n c r i t e r i af o rs o m ec l a s so fs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h er e s u l t so fw h i c h g e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w no s c i l l a t i o nc r i t e r i a t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h e r es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no ft h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd a m p e d 曲阜师范大学硕士学位论文 d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， ，d ( r ( t ) 妒( z ( t ) ) z 7 ( t ) ) ! + p ( t ，) ，p ( 9 ( t ，专) ) d 盯( ) = 0 ，t t o ， 一口 ( 2 1 1 ) w em a i n l ye m p l o y e dag e n e r a l i z e dp d c c a t it r a n s f o r m a t i o na n di n t e g r a la v e r a g e t e c h n i q u es h a l l f u r t h e rt h ei n v e s t i g a t i o na n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so fx u 1 2 ，w eo b t a i n e ds e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n d o ft h i ss e c t i o n i nc h a p t e r3 ，t h ec h a p t e ri st oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs o m e c l a s st h ef o r c e ds e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd a m p e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， n ( r ) z 7 ) ) 7 + p ) ，( z ) + q , ( t ) l x l 九s g n x = e ( t ) ，t t o ， ( 3 1 1 ) t = 1 w em a i n l ye m p l o y e da v e r a g ef u n c t i o nh u + l ( t ，s ) c ( d ，r ) ，i nt h es t u d y o fo s c i l l a t o r yp r o p e r t i e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 3 1 1 ) w eo b t a i n e ds e v e r a ln e w o s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n do ft h i sp a p e r k e yw o r d s ： s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n o n l i n e a r ；o s c i l l a t i o n ； d a m p i n gt e r m ；f o r c e dt e r m ；r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ；i n t e g r a la v e r a g e 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类二阶非线性微分方程解的振 动| 生研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确 的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 储签名起警军日期沙4 咋 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 一类二阶非线性微分方程解的振动性研究系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权蓝阜师范大 学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容。 沙。气 加讲f 。 第一章绪论 自然科学中的许多一般规律，用常微分方程、差分方程的语言来表达最为 自然现在随着科学的发展，常微分方程应用的领域日益扩大不但对于理、 工各科应用逐渐增多，而且已经渗透到医学、经济学领域中例如计算培养细 菌问题、人口增长问题、市场经济、流行病的传染等实际问题中，都需要应用 常微分方程然而在十九世纪四十年代以前，人们一直致力于研究各种类型方 程的求解问题，在积累不少经验的同时，也遇到了越来越大的困难这是由于 常微分方程并不是都能求出函数解的，于是研究他们的定性理论如振动性就有 非常大的意义，也有很好的发展前景特别是近几十年，常微分方程解的振动 性研究发展得相当迅速，从线性到半线性、超( 次) 线性、非线性，从一阶到高 阶，从纯量微分方程到矩阵微分方程，都有非常丰富的成果其中以二阶微分 方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型 上还是从研究的方法上均有长足的发展( 部分结果可参见文 1 】- 【3 8 】) 目前人们常用的方法有r i c c a t i 技巧、变分原理及积分平均等，而积分平 均方法又广受研究者们的青睐，这是因为它巧妙地避免了对微分方程系数函数 的限制，从而大大推广了结果的应用范围 根据内容本文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们主要研究如下具有分布偏差变元的二阶非线性 微分方程的振动性 一 ( r ( t ) 砂( z ( t ) ) z 7 ( t ) ) 7 + p ( t ， ) ，k ( 9 ( t ，亭) ) 】d 彦 ) = 0 ，t t o ( 2 1 1 ) j d 主要利用了积分平均方法和r i c c a t i 变换将徐在文f 1 2 】中的结论推广和改进， 得到了一些新的振动性准则 第三章在这一章中，我们主要研究如下带阻尼项的二阶非线性强迫微分 方程的振动性 n ( 7 ( ) z 7 ( ) ) 7 + p ( ) ，( z ( 7 ( ) ) + ：吼( ) i z j 九s g n x = e ( z ) ，t t o ( 3 1 1 ) 第一章绪论 主要通过平均函数h u + l ( t ，s ) c ( d ，r ) ，我们将给出方程( 3 1 1 ) 的区间振动 准则 2 第二章一类具有分布偏差变元的二阶中立型微分方程解 的振动性 本章研究具有分布偏差变元的二阶非线性微分方程 厂6 ( r ( z ) 砂( z ( ) ) z ( ) ) + p ( t ，) 厂k ( 9 ( t ，f ) ) d 盯( 亭) = 0 ，t t o ， ( 2 1 1 ) ，a 的振动洼，其中z ( t ) = x ( t ) + g ( z ) z 一7 - ) ，t o 0 是一固定常数p ，q ： t o ，。) 一r ，r ： t o ，o o ) 一( 0 ，o o ) ，：r _ 冗，后l ，k 2 ：r 2 _ r ，且r ，后1 在 定义域内是可微的 定义2 1 1 方程( 2 1 1 ) 的解，即函数z ：限，o o ) _ r ，死t o ，使得x ( t ) 和7 ( z ) 砂( z ( ) ) z 印) 都是连续可微的，并且对t 疋满足方程( 2 1 1 ) 我们主 要研究方程( 2 1 1 ) 的非平凡解z ( t ) ，即解z ( ) 满足s u p i x ( t ) i ：t 丁) o 对所有的t 已 定义2 1 2 方程( 2 1 1 ) 的一个非平凡解称为振动的，如果该解有任意大 的零点；否则称其为非振动的方程( 2 1 1 ) 称为振动的，如果它的每个解都 是振动的 引理2 1 3 如果a 0 ，b 0 ，则 一。2 + 6 留一互a z 2 + 菘b 2 ( 2 1 2 ) 近几十年来，许多学者都用不同的方法讨论过方程( 2 1 1 ) 的振动性问题， 并建立了有效的振动性准则 最近，孙元功【1 4 】，s r u a n 【1 3 】，y s a h i n e r 【1 1 j ，王培光 9 】研究了如下 形式的二阶微分方程： p ( z ) z 7 ( ) + p ( ) z ( ) + q ( t ) ( x ) = 0 ( x ( t ) + q ( t ) x ( t 一盯) ) + p ( t ) x ( t 一7 - ) = 0 3 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第二章一类二阶非线性阻尼微分方程解的振动性 p ( t ) ( z ( ) 十口( t ) z ( z 一仃) 7 + p ( ) ，( z ( t 一丁) ) = 0 ( r ( ) 妒( z ( ) ) z 7 ( ) ) 7 + p ( ) ，( 盯 ) ) = 0 p o ( r ( ) z 心) ) 7 + p ( ，) z ( 9 ( z ，) ) 打( ) = o ( 2 1 5 ) ( 2 。1 6 ) ( 2 1 ，7 ) 方程( 2 1 1 ) 早是被文 1 2 研究受 6 】的启发，我们由w o n g 1 5 和p h i l o s ( 1 6 】的结论和采用平均函数方法研究了方程( 2 1 1 ) 的振动准则方程( 2 1 1 ) 的振动准则可以推广到方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 7 ) ，但是以上得到的结果都不能应用 到二阶非线形中立型时滞微分方程( 2 1 1 ) 本文的主要目的是采用平均函数方法研究更一般的非线形中立型时滞微 分方程( 2 1 1 1 ) 的振动性质，推广和改进了已有的一些振动准则 我们称函数圣= 圣( ，s ，f ) 属于函数类y ，记圣y 如果垂( e ，尺) ， e = ( t ，s ，f ) ：t o f s 冬t o o ，满足圣( t ，t ，f ) = 0 ，西( ，l ，1 ) = 0 ， 圣s ，1 ) 0 ，f 0 ，茁o ； ( a 3 ) ，( r ，r ) ，z f ( z ) 0 ，z o ； ( a 4 ) p c ( ix 口，6 】， 0 ，) ) p ( t ，毒) 在i t u ，。) 【a ，6 】，t 。t o 上不是 最终为零的； ( 如) g c ( i a ，6 】， 0 ，。o ) ) ，g ( t ，亭) t ，专f a ，6 】，g ( t ，) 关于第个 变量t 有连续正的偏导数，关于第二个变量不增的且l i mi n f h 。g ( t ，f ) = 。 ，( a ，6 】； ( a s ) 盯c ( 0 ，6 】，r ) 不增，e q ( 1 1 ) 的积分是黎曼一史蒂芬意义上的 积分； ( a 7 ) ，7 ( z ) 存在，7 ( z ) k l ，妒( z ) l 一1 ，z 0 另外，我们还需要下面的条件： ( s ，) 存在正实数m 使得1 ，( 士删) l m f ( u ) f ( v ) ，其中u 口 0 ； ( - ) 当u 0 时，u 妒7 ( 乱) 0 定理2 2 1 假设条件( & ) ，( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，那么对于任意的l t o ，如果 存在一个函数圣y ，p ( t ) c 1 ( t o ，。) ，r ) ，使得 恕s 即丁叫一鬻萨 。， ( 2 - 2 1 ) 成立，其中 q - ) = m 6 p ( t ，) 厂【1 一g ( 9 ( ，f ) ) 】打 ) 一瓦龋， 算子t 由( 2 1 8 ) 定义，函数矽= ( 屯s ，z ) 由( 2 1 9 ) 定义，则方程( 2 1 1 ) 是 振动的 证明假设z ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个非振动解不失一般性，我们可设 z ( t ) 0 对所有的t t l t o 0 ，类似的可讨论z ( t ) 0 ，z ( t 一丁) 0 ，z b ( ，) 0 ，t t l ，专 a ，6 】，t t l t o ( 2 2 2 ) 由方程( 2 1 1 ) ，我们可得z ( t ) 0 ，( r ( ) 妒( z ( ) ) z ) ) 7 0 ，t t 1 下证z ，( t ) o ，t t 1 如果存在t 2 t t 使得z ( t 2 ) 0 矛盾，故 z 他) 0 ，t t l 时成立由z 俅) 0 和x ( t ) z ( ) ，可得 x ( t ) 【1 一口 ) 】z p ) ，t t 1 ( 2 2 4 ) 现在由( a 1 ) ，( s 1 ) 和( 2 2 4 ) ，可得 f x ( g ( t ，) ) m r 1 一q ( g ( t ，) ) 】， z ( 9 ( t ，) ) 】，t t l ， ( 2 2 5 ) 因此，由方程( 2 1 1 ) ，我们得 r h 0 = ( r ( t ) 妒 ( t ) ) z 7 ( ) ) 7 + p ( t ，f ) 厂k ( z ，亭) ) d 口 ) ( r ( ) 砂( z ) ) z 7 ( ) ) 7 + m p ( t ，f ) ， 1 一q ( g ( t ，) ) 】， z ( 9 ( t ，) ) d 盯 ) 进一步由g ( t ，) 关于不增且z 他) 0 ，t t l ，可得 z ( g ( t ，) ) 】z ( g ( t ，q ) ) 】，t t l ， a ，6 】 ( 2 2 6 ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 所以，f z ( g ( t ，) ) 2f z ( g ( t ，o ) ) ，t t i ，【a ，6 j 因此， p ( ) 妒( z ( t ) ) z 7 ( ) ) + m f z ( g ( t ，o ) ) p ( t ，f ) ， 1 一q ( g ( t ，亭) ) d 盯 ) 0 ，t t i ( 2 2 7 ) 定义函数 川一鬻m 九 ( 2 2 8 ) 当t t 1 时，对( 2 2 8 ) 求导并利用方程( 2 1 1 ) ，可以得到 训心) 鬻婶h m 厶“) ， ，刊卵) 】d 吣) 一p(t)二霉黼，【z(9(t，。)z7(9(t，。)夕(，。) 因为z ( t ，a ) t 且( r ( t ) 妒( z ( t ) ) z 协) ) 7 0 ，t t i ，可得 r ( ) 妒( z ( ) ) z 7 ( t ) r l 9 ( ，o ) 砂k ( 9 ( t ，口) ) 】z 7 【9 ( t ，o ) 】 因此，我们可得 叫心) 器邮h 【m 厶锯1 刊酢) 】d 删 一p ( t ) r 斋 g ( t ，o ) 】妒p ( 9 ( ，o ) ) 】“r 7 错川) 刊州mz 6 砷m 刊郎煳) d 删 一篇耥州 一砟舭z 6 v ( t 邝一q ( 9 ( t ) 1 d 球) + 籍1 - - 呻) = 一p ( ) m ，专) ，【l 一 ，) ) 】d 口 ) + 每岩伽( t ) j 口” 一端耥 7 第二章一类二阶非线眭阻尼微分方程解的振动性 即 川蛏叫慨擘固， 1 - g ( 卵黼) 卜锵婶) 江2 9 ) 一篇耥 卜叫 伽7 ) 一j d ) mz 6 p ( t ，) ， 1 一g 。 ，菩) ) 】打 ) + i 燃 一揣 = 一p ) q t ( ) 一葛页k i 巧l 再g 厕( t , a ) 训2 ) 对( 2 2 1 0 ) 运用t 【；t i ，t 】( t t 1 ) ，可以得到 【z z 上u j t 】卅小) q 1 ( s m 卜丁脚k ( s ) i l r 【9 ( s g ( s , a ，研) 以s ) ；九t ， t q 1 ( s ) ；圮枢邛吣) 撕圮t - t 【2 加k i l ) 叱g ( s ( s , a 丽)以s 州 = 丁2 w ( s ) 如) 一丽k i l 嗣g ( s , a ) 识s ( 2 2 1 1 ) 运用( 2 1 4 ) 和上面的不等式，对于t t 1 ，可以得到 丁( s ) q 1 ( s ) ；t i ，t 】 丁 谢舡、，甄k i l g ( s , 磊a ) w 2 ( s ) ) 一蹄卜， ；丁 鬻2 ；t l , t ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 即 器s 即丁删一黼咒叫。 这与( 2 2 1 ) 矛盾，即方程( 2 1 1 ) 不可能存在非平凡正解，所以方程( 2 1 1 ) 的 每个解都是振动的定理2 2 1 证毕 如果我们选取西( t ，s ，1 ) = p ( s ) 一s ) m ( s 1 ) n ，| m ，钆 1 2 ，p ( t ) c 1 ( ，o o ) ，( 0 ，) ) ，则有 地渺= n t - f ( m 丽+ n 习) s + 厂m l 。 运用定理2 2 1 ，我们会得到下面的结论： 定理2 2 2 假设条件( 研) ，( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，那么对于任意的：t o ，如 果存在一个函数p ( t ) c 1 ( i t o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) 和两个常数m ，佗 i 2 ，使得 熙s u p 。( 刊2 m ( s _ f ) 2 n 陋小，2 p ( s ) r g ( s , a ) ( n t - ( m + n ) s 去m 1 ) 2 卜。 ( 2 2 1 2 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 在定理2 2 2 中取r ( t ) 兰1 ，仃= 1 ，p ( s ) = 1 ，我们会得到下面的结论： 推论2 2 1 在方程( 2 1 1 ) 中取a = 1 ，r ( t ) 兰1 ，p ( t ) 三l ，那么对于任意 的f t o ，如果存在一个常数仇 1 2 ，使得 熙唧南。( ) 2 m ( s 叫2 掣洲幽 两褊i ( 2 2 1 3 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 9 证明 第二章一类二阶非线性阻尼微分方程解的振动性 。( z 一5 ) 2 m 一2 p 一( m + 1 ) + m 即2 d s ( t s ) 2 m 一2 【 一8 ) ( t s ) 2 仇d s 一2 m m ( s 一：) 】2d s t ( t s ) 2 竹l 一1 ( s 一2 ) d s + ，n 2 。( t s ) 2 m 一2 ( s 一2 ) 2 d s 一代一s ) 2 m ，z s 1 d s = 蚺罴。( 严( s 叫2 d s ( 2 m 一1 ) ( 2 m + 1 ) ( t f ) 2 m + 1 从( 2 2 1 4 ) 我们可得 恕s 印南。( h ) 2 m ( s 卅掣 一( d s 觊s 即南2 ( h ) 2 m ( s _ f ) 2 掣删幽 一l i m 丽1 i 。( t 叫札2 卜( m + 1 ) 十删2 d s = 熙唧南。( 烨- f ) ( 2 m 一1 ) ( 2 m + 1 ) 从( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 5 ) ，我们很容易碍到 觇唧赤。( t 一 2 后1 l 夕7 ( s ， 2 南l l 9 ，( s ，口) 2 s ) 2 m ( s f ) 2 ( q 1 ( s ) q 1 ( s ) d s ( 书t 瑞等1 ) 2 胁 。( 一s ) ( s ) p 。 1 0 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) + t = = 字型帕尘卜 曲阜师范大学硕士学位论文 所以在7 1 ( c ) 兰1 时，根据定理2 。2 2 ，方程( 2 1 1 ) 是振动的推论2 2 1 证毕 取r ( t ) 三l ，m = 1 ，p ( s ) = 1 ，与推论2 2 1 的证明类似，我们可以得到下 面的结论： 推论2 2 2 在方程( 2 1 1 ) 中取r ( t ) 三1 ，那么对于任意的z t o ，如果 存在一个常数n 1 2 ，使得 熙唧南。( h ) 2 ( 川) 孙掣删如 矿靠丽， 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 我们称函数h = h ( t ，s ) 属于函数类x ，如果h ( d ，r + ) ，d = ( t ，8 ) ： t o s t 0 ，t s ，且在d 上有偏导 数a 日况和o h o s ，使得 等幽 s ) 瓶硒，等= 砌 s ) 何硒， 其中h i ( t 5 ) ，h 2 ( t ，8 ) 在d 上分别对t ，8 局部可微 选取西s ，f ) = 、研( s ，z ) 凰( z ，s ) ，其中h 1 ，h 2 x ，运用( 2 1 9 ) ，我 们得到 ，s ，驴妖貂一器) 其中 i 1 ( s ，z ) ， 乎( ，s ) 由下面式子定义： 等= 热 f ) 佤丽，警= 一咖 s ) 佤丽 ( 2 2 1 6 ) 定理2 2 3 假设条件( s 1 ) ，( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，那么对于任意的f t o ，如 第二章一类二阶非线性阻尼微分方程解的振动性 果存在两个函数h 1 ，h 2 x ，使得 熙s u p 。皿( s f 飓s ) 卜小卜碳掣( 貂一貂小 。 ( 2 2 1 7 ) 成立，其中忽p ( s ，f ) ，危孑( t ，s ) 由( 2 2 1 6 ) 定义，则方程( 2 1 1 ) 是振动的。 注2 2 1 定理2 2 1 2 2 3 是新的振动准则，因为我们引入了一类新函数 k e r n e l 函数西( ，s ，f ) ，它是以h ( t ，s ) h ( s ，f ) 的积为基础的一类p h i l o s 型k e r - n e l 函数 在这部分我们总假设( t ) 是非单调的，且满足下面的条件： ( a 8 ) 琶 k 3 ，且z 0 ，妒( 。) l 一1 定理2 2 4 假设条件( a 1 ) 一( a o ) ，( a s ) 和( s 1 ) 一( ) 成立，那么对于任 意的f t o ，如果存在一个函数圣y ，p ( t ) c 1 ( 。o ) ，r ) 使得 h m 。s 。u p 丁 p ( s ) q z ( s ) 一墨群2 ；f ，t 。， ( 2 2 1 8 ) 成立，其中 q 。( t ) = 七。j d ( ) z 6 p ( t ，) 0 对所有的t t l t o 0 ，类似的可讨论z ( t ) 0 因此由 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 1 1 ) 和( a 8 ) 可以得到， 由 0 = ( r ( ) 矽( z ( t ) ) z 7 ( ) ) 7 + p ( t ，荨) ， z ( 9 ( ，专) ) 】d 仃( ) ，口 ，6 ( r ( 。) 妒( 。( ) ) z 7 ( 。) ) 7 + 惫2zp ( t ，) z 【9 0 ，毒) 】d 盯( ) ( 2 2 1 9 ) = ( r ( ) 妒( z ( ) ) z 讹) ) 7 ，b + k 2 p ( t ，亭) z 9 ( ，f ) 】一q g ( t ，) 】z 9 ( t ，毒) 一丁】) d 盯 ) z g ( t ，) 】z g ( t ，荨) 一下】z 【9 ，) 一丁】 因此由( 2 2 1 9 ) 可得 ，0 p ( t ) 矽( z ( ) ) z 7 q ) ) 7 + 如p ( ，) 1 一q ( g ( t ，) ) 1 z 夕q ，) 】d 盯( ) 0 ，t t 1 ，口 ( 2 2 2 0 ) 从( 2 2 6 ) ，( 2 2 2 0 ) 可得 啪( 删纵啪7 讹弛。) 6 础，驯1 刊如删酬郎。，t 独， ( 2 2 2 1 ) 定义 婶h 觜m “ ( 2 2 2 2 ) 1 3 第二章一类二阶非线性阻尼微分方程解的振动性 叫雌鬻似卜俐南。b p 饼1 刊郎) ( ) 】 刊觜纵铀心a ) 错叩2 邢) n “) 1 刊酢肭】 一崭淌 一k 2 p ( t ) 6 p ，) l q ( g ( t ，f ) ) d 盯 ) 1 + 躺 一 p ，) l 一，f ) ) d 盯 ) 1 + 亭等等燃 一b “p oj 3 o i 一揣淌 = 一j d ( ) q z ( t ) 一耥叫2 ( t ) 下面的证明类似于定理2 2 1 ，在此就省略了 定理2 2 5 假设条件( a 1 ) - ( a 6 ) ，( a 8 ) 和( s - ) 一( ) 成立，那么对于任意的 l t o ，如果存在一个函数p ( t ) c 1 ( 。) ，( 0 ，。) ) 和两个常数m ，仃 1 2 ， 使得 。l ，i r a s u p ( t - - s ) 。m ( 5 一f ) 。n b 如，吲掣( 篱) 2 1 2 2 3 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 推论2 2 3 在方程( 2 1 。1 ) 中取r ( t ) 兰1 , p ( t ) 三1 ，那么对于任意的f t o ， 如果存在一个常数m l 2 ，使得 恕唧南2 ( ) 2 m ( 州) 2 掣删如 两褊 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 推论2 2 4 在方程( 2 1 1 ) 中取t ( t ) 三1 , p ( t ) = 1 ，那么对于任意的f t o ， 如果存在一个常数n 1 2 ，使得 熙s u p 南小叫2 ( 川) 2 n 掣删两褊 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 定理2 2 6 假设条件( a 1 ) 一( a 6 ) ，( a s ) 和( & ) 一( 岛) 成立，那么对于任 意的e t o ，如果存在两个函数日l ，矾x ，使得 恕s u p 。日1 ( s 7 f ) 玩s ) 卜小卜鬻掣( 黼一貂) 2 ( 2 2 2 4 ) 成立，其中愚p ( s ，z ) ，愚乎( 以s ) 由( 2 2 1 6 ) 定义，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 区间振动准则 在这里我们将确定方程( 2 1 1 ) 几个区间振动准则： 定理2 2 7 假设条件( 最) ，( a 1 ) 一( 4 7 ) 成立，那么对于任意的a t o ， 如果存在一个函数圣y 和两个常数d c a 使得 丁陋如) 一觜圮叫 。，( 2 2 2 5 ) 成立，其中算子t 由( 2 1 8 ) 定义，函数= ( d ，s ，c ) 由( 2 1 9 ) 定义，则方 程( 2 1 1 ) 是振动的 注2 2 2 在定理2 2 1 的证明过程中，用d 和c 分别代替里面的t 和z ， 我们很容易看到方程( 2 1 1 ) 在 t o ，。) 时有无穷大的零点定理2 2 7 证毕 类似的我们有下面的结论： 1 5 第二章一类二阶非线性阻尼微分方程解的振动性 推论2 2 5 假设条件( 研) ，( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，那么对于任意的a t o ， 如果存在一个函数p ( t ) c 1 ( p o ，o 。) ，( 0 ，) ) 和常数m ，n 1 2 ，d c a ， 使得 ( d s ) 2 m ( 5 一c ) 2 “ 陋水卜瓮料( 等岽字) 2 一。 成立，其中危i 1 ( s ，c ) ， 孑( d ，s ) 如( 2 2 1 6 ) 定义则方程( 2 1 1 ) 是振动的 推论2 2 6 假设条件( s 1 ) ，( a 1 ) 一( a 7 ) 成立，那么对于任意的a t o ， 如果存在两个函数h l ，耽x 和两个常数d c a ，使得 h i ( s ，c ) 凰( d ，s ) - ，c 一 1 卜训沪吲铲( 貂一器小扎 成立，其中 i 1 ( s ，f ) ， 孑( t ，s ) 由( 2 2 1 6 ) 定义，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 定理2 2 8 假设条件( a 1 ) 一( a 6 ) ，( a s ) 和( s 1 ) 一( ) 成立，那么对于任 意的a o ，如果存在一个函数圣y 和两个常数d c a ，使得 t z ( s ) 一觜只c i d 。，( z z 2 6 ) 成立，其中算子t 由( 2 1 8 ) 定义，函数咖= ( t ，8 ，f ) 由( 2 1 9 ) 定义，则方程 ( 2 1 1 ) 是振动的 推论2 2 7 假设条件( 4 1 ) 一( a 6 ) ，( a s ) 和( s i ) 一( ) 成立，那么对于任 意的a t o ，如果存在一个函数p ( t ) c 1 ( ) ，( 0 ，o o ) ) 和常数m ，礼 1 2 ， d c a ，使得 ( d 一5 ) 2 m ( s c ) 鼽 卜( s ) q 。( s ) 一2 p ( s ) r g ( s , a ) ( n d - ( m + n ) s + m c ) 2 d s 。 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 推论2 2 8 假设条件( a 1 ) 一( 肖6 ) ，( a s ) 和( s 1 ) 一( 岛) 成立，那么对于任 意的a t o ，如果存在两个函数日1 ，h 2 x 和两个常数d c a ，使得 d i l l ( s ，c ) 凰( d ，5 ) 陋如，一吲掣( 貂一貂) 2 ， 成立，其中危；1 ( 5 ，f ) ，忍乎( ，s ) 由( 2 2 1 6 ) 定义，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 2 3 应用 例2 3 1 考虑下面的二阶非线性阻尼微分方程 ( 斫( 雄，+ 南邢叫) 了+ 2 鬻器z c 必一o ， ( 2 3 1 ) 其中 心) _ 1 ，始) = 高，酢) = 丽1 ， p ( 。) = 黼，7 石1 ，9 ( t ，f ) = 互t + ，( z ) = z i fw et