（应用数学专业论文）鞅分析在可转换债券定价中的应用.pdf

哈尔滨n 1 - 人学理学顺l j 学9 i ；论文 鞅分析在可转换债券定价中的应用 摘要 可转换债券是一种股票与债券性质兼具的金融产品，也是一种很好的j x l 险投资工具，适当的投资组合在同样的收益f 呵以降低投资风险，满足投资 者的特定要求，其定价问题是当前金融统计学面临的最新重要研究课题之 一。鞅分析方法作为一种自，j 沿的理论工具，存叮转换债券定价模型l _ f 1 的应f l = | 占有重要地位。利用鞅的理沦来研究可转换债券的定价对完善金融市场、推 动可转换债券交易的发展具有霞要的现实意义。 本文将鞅论思想引入到可转换债券的定价中去，使崩鞅方法对普通u 丁转 换债券定价模型进行了分析与探讨。在此基础上，根据股票市场支付红利通 常在。些定期时段上以及利率是随机波动的实际情况，使用鞅分析和随机积 分的方法，推导此类可转换债券的定价公式，并对其非连续性进行转化且力i l 以拙述。并且通过查找邯郸铡铁证券的历年数据对给定的模型进行实证分 析，得剑了传统可转换债券定价模型与本文所做的修正模型的对比图像，分 析其原冈，找：十 其优劣性，从而可以对模，i ! 进步优化。 利川鞅测度的方法及随机过程等理论，进一步 寸论了具有附属条款。陆况 下n 因子可转换债券的定价模型。此模型涵盖了更多的符合市场的实际信 息，使其更符合金融市场实际的变化规律，进而为可转换债券定价模型的科 学性做出有益的探索。 关键词鞅测度；可转换债券；红利；实证分析；回购条款 a p p l i c a t i o no fm a r t i n g a l ea n a l y s i sf o r t h ep r i c i n g o fco n v e r t i b l eb o n d s a b s t r a c t t h ec o n v e r t i b l eb o n di sac o n v e r t i b l ef i n a n c i n gt o o lb e t w e e n b o n da n d s t o c k c o n v e r t i b l eb o n dc o n c u r r e n t l yh a v ef e a t u r e so fb o n da n ds t o c k ，a l s oi s ab e t t e r r i s k yi n v e s t m e n tt o o l 。a p p r o p r i a t ei n v e s t m e n tc o m b i n a t i o n s u n d e rt h es a m e i n c o m ec a nr e d u c ei n v e s t m e n tr i s k s ，s a t i s f ye s p e c i a l l yr e q u i r e m e n to fi n v e s t o r t h ep r i c i n gp r o b l e mi so n eo ft h ei m p o r t a n tt a s k si np r e s e n tf i n a n c es t a t i s t i c s r e s e a r c h t h em e t h o do fm a r t i n g a l ea n a l y s i sa sak i n do ff o r e l a n dt h e o r yt o o l o c c u p i e s a ni m p o r t a n tp o s i t i o n i nt h ea p p l i c a t i o no ft h ep r i c i n gm o d e lo f c o n v e r t i b l eb o n d s m a k i n gu s eo fm a r t i n g a l et h e o r yt or e s e a r c ht h ep r i c i n go f c o n v e r t i b l eb o n d sh a si m p o r t a n tr e a l i s t i cm e a n i n gf o rp e r f e c t i n gf i n a n c i a lm a r k e t a n dp r o m o t i n gt h ed e v e l o p m e n to fc o n v e r t i b l eb o n d s t h i sp a p e ri n t r o d u c e sm a r t i n g a l et h e o r y i n t ot h ep r i c i n gm o d e l o f c o n v e r t i b l eb o n d s ，u s e st h em a r t i n g a l em e t h o dt oa n a l y s ea n dd i s c u s st h ep r i c i n g m o d e lo fs i m p l ec o n v e r t i b l eb o n d b a s e do nt h ec o n c l u s i o nw eu s e t h em e t h o do f m a r t i n g a l ea n a l y s i sa n ds t o c h a s t i ci n t e g r a lt od e d u c et h i ss p e c i e sp r i c i n gf o r m u l a o fc o n v e r t i b l eb o n da c c o r d i n gt of a c t u a lc i r c u m s t a n c ew h i c h a ni n d i v i d u a ls t o c k p a y sd i v i d e n d sa tr e g u l a ri n t e r v a l sr a t h e rt h a nc o n t i n u o u s l ya n di n t e r e s tr a t e i s r a n d o mf l u c t u a t e ，a n dp r o v i d e s at r a n s f o r m a t i o na n dd e s c r i p t i o n t i o m d i s c o n t i n u i t yt oc o n t i n u i t y t h ep a p e rm a k e st h ed e m o n s t r a t i o na n a l y s i st o t h e g i v e np r i c i n gm o d e lt h r o u g hl o o k i n gu ps o m ep a s ty e a r sd a t ao f h a nd a ns t e e l s e c u r i t i e s g a i n sac o m p a r i s o nf i g u r eo f t r a d i t i o n a lp r i c i n gm o d e lo fc o n v e r t i b l e b o n d ，a n a l y s e st h er e s u l t s ，f i n d so u tt h eg o o dp o i n t sa n dd i s a d v a n t a g e s ，t h u sc a n f u r t h e ro p t i m i z et h i sm o d e l b vm e a n so fm a r t i n g a l em e a s u r ea n dt h em e t h o do fs t o c h a s t i ca n a l y z et o f u r t h e rd i s c u s st h en - f a c t o rp r i c i n gm o d e lo fc o n v e r t i b l eb o n d sw i t ha c c e s s o r i a l c l a u s e s t h i sm o d e lc o n t a i n sm o r em a r k e t i n gi n f o r m a t i o na n di sc o m p l e t e l yi n a c c o r d a n c ew i t ht h er o l l i n gl a wo ff i n a n c i a lm a r k e t ，a n dt h e nd o e sb e n e f i c i a l w o r kf o rt h es c i e n t i f i c i t yo fp r i c i n gm o d e lo fc o n v e r t i b l eb o n d s 哈尔演理t 人学理学硕i j 学位论文 k e y w o r d sm a r t i n g a l em e a s u r e ，c o n v e r t i b l eb o n d s ，d i v i d e n d s ，e x a m p l ea n a l y s i s ， r e d e e m a b l ec l a u s e s i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文鞅分析在可转换债券定价 中的应用，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期问独 立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外彳 0 其中，出，为标准b r o w n 运动；口( ，一，) 是d ，的期望值，也是利率模型的非随 机部分；，是利率的长期均值；r o 出，的运动具有均值回复的特征，与现实情况比较吻合，但是该模型的缺点 是其与利率的初始期限结构不一致。另外，公司价值的波动模型定义为 d v = 矿矿一q ( v ，f ) 以+ v o v d z r 其中，以是公司价值的期望收益率；q ( v ，f ) 是对所有的公司证券持有者的现 金分红，用公式表示为 q ( v ，t ) = i b + k 盈+ d ( v ，t ) 其中，侣和i c b 为公司普通债券持有人和可转债持有人的息票支付；d ( v ，t ) 哈尔滨理t 人学理学f 吹i 学位论文 为公司股票持有人的股息支付：它是公刊价值和时间的函数。 m c c o n n e u 和s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 以股票价格为标的变量，提出了一个零息 票、可转换、可赎回、可回售的单因素可转换债券定价模型【1 0 1 。h o 和p f e f f e r 构建了基于股价运动与利率波动的可转换债券定价双因素模型。t s i v e r i o t i s 和 f e m a n d ( 1 9 9 8 ) 发展了m c c o n n e l l 和s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 的模型提出把可转换债券的 价值分成两部分 1 1 , 1 2 1 ，即股权价值和纯债券价值。在完备的市场下，m a r t i n b a x t e r 给出在多风险模型f 可转换债券的定价微分方程f i3 1 。对于普通的可转换 债券，己得到了定价公式( 1 9 9 6 ) 。 鞅方法作为一种理论工具，在【l j 转换债券定价模型中的应用占有重要地 位。利用鞅的理沦来研究一j 转换债券的定价灯完善金融市场、推动可转换债券 交易的发展具有重要的现实意义。 鞅沦是概率沦、随机过程中十分活跃的分支，1 9 3 9 年，法圆概率学家 l 6 v y 首先引进鞅这个名称，并作了若干奠基性的：【作。后来由美国概率学家 d o o b 发扬光大。他于1 9 5 3 年在其名著随机过程一书中介绍了他自己对鞅 论的系统研究成果。使之成为随机过程理论的一个独立分支。之后鞅论的研究 工作突飞猛进的发展。六十年代仞，m e y e r 解决了由d o o b 提出的上鞅分解问 题并且发展了平方丁i j 积鞅的理沦，1 9 6 7 年，k u n i t a 和w a t a n a b e 研究了对平方 可积鞅的随积积分。这些重要t 作为芊央沦的发展j i ：辟了新道路，存这一期f u j m e y e r 和d e l l a c h e r i e 等义创立了随机过样般s i t ! 沦，为革央沦的发腱提供了灶何 力的工具。进入七十年代后，鞅论成了随机过秤理论中最活跃和最富于成果的 分支之一。在这一时期，c h t t e r j i 提出并论证了b a n a c h 空间鞅收敛与r a d o n n i k o d y m 的理论；h a l l 和c h t t e r j i 提出了鞅的极限理论和它的应用；c a n c o n ， s u c h e s t o n 讨论了数值向量的渐近鞅的收敛问题；b e l l o w 提出相关停时的若干 技巧；w o y c z y n s k i w 提出并论证了某些线性空i 、日j 收敛序列的性质等，为鞅论的 进一步研究与发展提供了有力的工具与方法。进入八、九十年代以来，鞅论的 发展又进入了一个新的阶段，b e n t h ，f r e d ，p o t t h o f f 提出并论证了广义随机过 程鞅的性质；k r u k ，l u k a s z 讨论了渐近鞅的一致收敛问题；m y k l a n d ， p e r a s l a k 对于鞅的渐近展开进行了深入的探讨，同时又对鞅的嵌入渐近展开式 给予了具体的刻画；z h u ，y i n 对实时随机逼近给出了一个线性近似的描述； k o n i n g ，a l e x 探讨了基本鞅的逼近问题；k a c h u r o v s k i l ，进行了鞅的遍历性讨 论，取得了一些成果。近年来，鞅论不仅作为随机过程的一个分支已快速发展 起来，而且渗透到调和分析、b a n a c h 空间几何学以及随机分析中去，如s i n i c a 讨论了对于离散时f 日j 不完备市场的极小鞅测度问题 1 4 , 1 5 】；p e a r s o n 探讨了在离散 哈尔滨胖t 人学耻学顾i 。学位论文 时间不完备市场中对于期望效用极大化的鞅测度方法等。 我国著名概率统讨专家王梓坤院士、严加安院士、王寿仁教授等对鞅论的 发展与应用也做出了重要贡献 1 6 2 6 1 。他们在鞅收敛、鞅分解、鞅不等式、可积 变差鞅、鞅的随机积分、可料过程的局部鞅、指数鞅的一致可积性、b 值鞅等 方面进行了一系列工作，获得了一系列有价值的成果。另外，又有一些专家学 者如：甘师信在广义鞅的极限收敛理论及b 值鞅方面做出了一系列成果【1 7 l ；汪 振鹏对极限鞅型序列与g f t 收敛性、停止一致渐近鞅及拟终鞅等研究方面获 得了系列成果；万成高对b 值拟鞅序列与b a n a c h 空i n j 几何特征研究结合起 来，获得了系列成果；刘培德在概率渐近鞅衣l 极限鞅研究方面获得了成功；刘 智慧在取值于b a n a c h 空问的极限鞅等研究巾获得了系列成果；林玉将b 值鞅 的分解应用于插值理论e ，获得了成功；杨小云对b 值随机变量序列部分和的 矩的收敛速度，进行了深入具体的刻画等。总之，在我国，鞅的研究已进入一 个新的发展阶段。 当今，发展鞅的理论与方法并将其渗透剑数学及其它学科并与其结合形成 新的分支、新的应用方向已成为鞅沦发腱的新趋势、新动向。尤其在统计分析 突飞猛进发展与广泛应用的今天，如何进一步发展鞅的理沦并应用于统计分析 中，发展统计分析理沦与方法，从而解决更加广泛的一一类问题，己成为统计分 析发展的迫切需要，也成为鞅邢沦研究与应川的个当务之急。而| l i j 订，虽然 一些学者对鞅的应j j 也进f 了了一些讨论，然m 刈。鞅! j 统汁分析的讨论涉及甚 少，尤其是如何将鞅的理论应用于统计分析，如何应用于大样本统计分析、时 空多维序列统计预报分析、无穷逼近分析等研究还是一片空白。因此，我的导 师孔繁亮在自订人工作的基础上对b 值渐近鞅进行了研究，获得了一些有益的结 果，在1 9 9 8 年数学学报上发表了“b 值渐近鞅的强弱大数定律”之后， 又提出了动态系统中的统计预报的鞅方法i l8 1 9 2 0 1 ，并应用于气候过程的统计预 报和现代疫情的统计预测之中。近期又探讨了参数估计的鞅方法，随机逼近的 鞅方法 2 1 , 2 2 , 2 3 】，投资与效用优化设计的一种鞅方法，以及大样本假设检验中最 优决策的鞅方法等【2 4 1 。本文将在导师工作的基础上，将鞅的理论与方法应用到 可转换债券定价中，利用普通的可转换债券定价模型及鞅的理论考虑了影响可 转换债券定价的一些实际因素，如：支付红利，n 种风险，具有附属条款等符 合市场实际情况的条件。 鞅方法的基本思想是假设市场是完备的，则存在唯一概率测度即风险中性 概率，在此概率测度下，任何金融资产的贴现价格是一个鞅，任何资产的估价 等于计算以无风险利率贴现未来现金流的条件期望值。目前国内运用鞅方法对 n 合尔演理丁人学胖学顺i j 学化论文 可转债定价的研究比较少，2 0 0 0 年，王振全、邓述慧曾提出过简单可转债鞅方 法定价模型，其转换条款为一份可转债只转换一份标的股，在不考虑赎回等条 款【2 5 】，且利率恒定时，他们给出了可转债价值的简洁公式为 v ( s ，t ) = s t n ( a 1 ) + e 。叫k 6 ( 1 一n ( d 2 ) ) 其中，d i = ( 1 n ( s ，k 6 ) + ( r + 仃2 2 ) ( 丁一t ) ) c r 4 t t ；d 2 = d l a 4 t t ； k = 护k ；k 为转股价格。 1 3 课题来源 本课题米源于指导教师孔繁亮的国家自然科学基金项目“鞅沦及其在统计 分析中的若干应用”( 项目批准号1 0 7 7 1 0 4 6 ) 的有关部分。 1 4 本文主要内容 本文主婴对可转换债券的定价理论进行研究，内容包括三个部分： 首先，根据股票市场支付红利通常是一些定期时段上以及利率足随机的实 际情况，且用鞅测度方法推导此类呵转换债券的定价公式，并对其非连续性进 行转化_ 只- 加以描述。在荩础股票服从对数币念分前坩，j 条件下，考虑股票支付红 利、随机利二讧的火i 白：f l j 形，建立起t j 车之换侦券的定价模型。 根据实际情况结合上述的研究成果进行数据模拟，从而分析理论模型与实 际结果存在的差异，分析其原因，不断的修i f 其模型，力争建立较完善的定价 模型。对上述模型与传统模型进行对比分析，从中找出优劣性，力争使模型涵 盖更多的信息量，更符合金融市场实际的变化规律。进而加强呵转换债券定价 模型的科学性。 在此基础上本文考虑可转债的附属条款情况，在b l a c k s c h o l e s 模型假设 基础上，我们先考虑两种资产，一种是b ，为无风险资产( 债券) ，另一种是s ， 为n 种风险的资产，即n 个不同的市场证券，1 ，s o ，它们的随机微分方程在 概率空间( q ，f ，p ) 上满足： d b , = r t b ，d t ( 1 _ 1 ) l，、 d s ，= s t l ( o 圳+ g d t ) f _ l ，疗 ( 1 - 2 ) j = l 其中，s 2 = ( 卜4 ) ”pj s 0 是瞬时短期利率过程；是第f 个证券的漂移；且 ( 仃。l 是它们的波动率向量；由于每一种证券有一个波动率向量，n 个这种向 哈尔演理- e 人学耻学颀卜学位论文 量族就形成了过程的一个波动率矩阵，= b 盯( f ) ) ：川；彬1 ，彬”是定义在p 上 的1 1 个独立的b r o w n 运动。对以上两式进行鞅测度转换，进向得到附有bj 购条 款的可转换债券的鞅定价公式。 哈尔演胖t 人学理学顺卜学位论文 第2 章鞅与可转换债券 鞅过程是一类应用十分广泛的随机过程，其内容属于随机过程的现代部 分，其应用涉及到自动控制、随机服务、经济、气象等许多领域。鞅的理论与 方法正逐步渗透到数学及其它学科领域。并与其结合形成新的分支、新的应用 方向已成为鞅论发展的新趋势、新动向。 2 1 鞅的基本概念及相关理论 2 1 1 鞅的概念 设( q ，f ，p ) 是概率空i n j ，即q 为任意非空的集合，f 是q 的一些子集组 成的口代数，p 足f 上有定义的概率测度。称 f ，t 0 ) 是( q ，f ，p ) 上的盯代 数流，若下列条件满足：对一切f 0 ，f 足仃代数，且fcfcf ( 一切 0 s l o s t 定义2 1e 2 7 1 x ，z = o ，1 ，2 ， 是一随机变量序列，如果对一切n e i x ，f i 彻 及 e x 川ik ，五，以】= 以 则称 瓦，n = o ，l ，2 ， 是鞅。如果 e i 州i k ，一，一，j 以 则称 x 。，玎= o ，l ，2 ， 是上鞅。如果 e 【以+ 。l2 ( 0 ，置，以j 以 则称 以，z = o ，l ，2 ， 是下鞅。 定义2 2 t 2 7 1 9 8 称盯代数流 z ，t o ) 是右连续的，若对一切t 0 ，f + = z 。 称( q ，户) 上的广义实值随机过程x = ( x ( f ) ，t 0 ) 是关于盯代数流，t o ) 适应的，若对一切t 0 ，x ( t ) 是f 可测的。 定义2 3 若随机过程x = ( x ( f ) ，t 0 ) 是适应于盯代数流，t 0 ) 的左连续 过程，则它是可料过程。 定义2 4 m 1 若随机过程m ，关于测度q 满足：对所有t 有0 m r l ) 0 ，并且股票的贴现价格过程s + ( ) 是一个q 鞅，称q 为 市场的一个等价鞅测度。 定义2 6 1 非负广义随机函数r ( r ：qj 0 ，叫) 称为 f t ，t 0 ) 的停时，如果 对一切的t 0 ，p f ) 是f 可测的；p ( r o 。) = 1 ，若存在常数足，使得 p ( r k ) = 1 则称之为有界停时。 2 1 2 鞅的理论 性质2 1 t 2 9 i8 5 8 6 在概率空间( q ，f ，p ) 上，若q ( t ) 是适应于仃代数流 f ，f 0 ) 的右连续增过程，q ( o ) = 0 ，且对一切f 0 ，eq ( t ) l 0 0 ，设 b ( f ) ( f o ) 是q ( f ) ( f 0 ) 的补偿子，又h ( f ) ( f o ) 是关于轵，t 0 ) 的可料过程， 满足对一切m q 及f o ，f ( 工，c o ) d b ( x , c o ) 均存在，并且e l f ( x ，缈) 棚( 工， ) l 都是停时。 证明由于 ，：五p 。j2 ，聊；k ，j ，：7 i 、，疋h ；2i t r , s ”：，l 疋。) 所以若石，正是关于 以，九= o ，1 ，2 ，) 的停时，则事件 石= 尼) ，亿= ，z 一尼) ， k = o ，1 ，2 ，以， 巧 ，z ， 正 聆 ， 石甩 ， 正胛 都是由x o ，x i ，x ，确定 的，凶而一十疋，巧 夏，iv 正都足关于 x ，z = o ，1 ，2 ， 的停时。 定理2 2 【2 7 1 1 0 3 设 x n = o ，1 ，2 ， 是鞅，t 是关于 一，l = o ，1 ，2 ， 的停 时，则对于任意的o k 门，有 ， e i 引l = e l 一，” ： ( 2 - 1 ) 证明由于 x,i弘t：=f_e(以圳xo，墨，xe e ix o x 。) i =弘。：i = le ( 以圳，墨，。) j 5 e f j ：r 圳e ( 以ix 。，x l ，一，x ，) = e x j ”女： 因此，式( 2 1 ) 成立。 定理2 3 t 3 1 1 设( 以，e ：以o ) 为下鞅，若s u p e x ： o o 或 s u p e l 瓦i o o ，x 。a s 收敛于可积随机变量也。 证明首先说明条件的等价性。 s u pe x * s u p e l 以l - s u p ( 2 e x ：一五_ 巳) 2 s u pe x * , , 一e x o 记哦( x ) = l i m 【，：( x ，1 ) ，它表示 e ) 上穿【口，6 】的次数，所以u ：( x ，n ) 随，l 递 增，并容易看出 r1 ：一l i mx 。( ) 硫x 。( ) ) = u ：u ：( x ) = + o 。) l1 - - 0 9 r l + 。o 五j 1 0 吐= 疋 ， = ， 。 | l 一 = 疋 = 瓦 l u = 哈尔滨理t 人学理学顾f j 学位论文 其中，q 为有理数全体。有。 p u 2 ( x 川她) i 1e u 2 ( x ，砌丽( 磁小| ) 志( s u p e x ：小1 ) 令n 专0 0 ，得 p u b ( x ) = ) p ( x ) 尼) 丽( s u p 剧：+ i 口i ) 再令k o o ，得p b ( x ) = ) = 0 。因此存在以为a s 有限且可积随机变 量。 引理2 1 6 8 ( c a m e r o n - m 、a r t i n g i r s a n o v ) 设渺2 ( 肜1 ，w ”) 是n 一维p - b r o w n 运动。假设7 ，= 【厂? ，) 是一f - 可料n - 向量过程，满足增长条件 e x p f 导r i 厂，| 2 班】 。令彰= 彬+ f7 1 出，那么存在一新测度q 等价于测 度p ，直到t 时刻，使得矿：= ( 旷1 ，旷”) 是直到t 时刻为止的n 维q b r o w n 运动。q 关十测度p 的r a d o n n i k o d y m 导数为 面d q p 胁吩互1 肼1 以) 引理2 2 【3 2 1 假如x ，足一随机过程，满足册，= ，盯足+ k t ，d t ，且f 是 一确定f 门两次连续t j 微n 勺两数，刀| j 么：= r ( x ，) u 三足一随机过样儿j e 随机增茕 ，j，1，、 为d 】：= ( q ( t ) f ( 王) ) d 彬j + l 以厂( 一) + 寺砰( t ) f ”( 一) l d t 。 引理2 3 1 3 2 1 s 3 给定0 一2 尸，甲2 = p 缈：e 彰加 其中缈为适应过程 集，假设善一是一个鞅，那么，在q p ) 下为鞅的标准命朗运动，b 护由f 式给 出：8 0 , = b ，+ e 见出，0 f t 。而且，b 口具有q p ) 下的鞅表述特征，也就是 对任意局部q p ) 鞅m ，一2 y 中存在某缈使得：m ，= m 。+ f 织群t t 。 引理2 4 3 2 1 1 2 8 ( g i r s a n o v ) ( q ，f ，p ) 是一概率空问，若( 9 ) o 蜓r 是一个适应 斗相巾- f ，满足f 印出 ，且过程厶= e x p ( 一f 包蟛一了1f 彰幽) 为一鞅，其中， 彬p ，0 f t ) 是该概率空问p 上的一维标准布朗运动，再令d q = 厶卯那么 在概率测度q 下，定义为：彬+ = 彬+ 包出的随机过程( 彬+ ) 是( q ，f ，p ) 上的 标准布朗运动，且e p ( 乙爿) = e 口( i a ) 对任意的a f 都成立，其中，e q 表示 哈尔演理t 人学理学顾l j 学位论义 在q 测度下的数学期望，e p 表示在p 测度下的数学期望。，表示性函数。 引理2 5 m ”7 设x 为有波动率q 的随机过程蟛= q 批+ 以以，满足技术 厂i 上的条件限制e l ( r 凼) ji o 。，那么，x 是一个鞅营x 无漂移( 以兰o ) ，若 lj 不满足技术上的条件，那么一个无漂移的过程就不是鞅，称这样的过程为局部 鞅。 2 2 可转换债券定价的理论基础 2 2 1 可转债的价值分析 可转债是一种混和型会融产品，从价值构成来看，是由纯债券价值和隐含 期权价值两部分构成。纯债券价值指卜h 债息支付与到期偿还本会构成的普通债 券价值；隐含期权价值指可转债赋予持有者在一定条件下转换成股票的权利， 进而获耿的收益价值 3 3 , 3 4 】，即转换期权价值，二者决定了可转债的基本价值特 征如图2 1 所示。如果标的股价过低，此时，转换价值决定，即接近纯债券价 值：如果标的股价过高，以至于转换价值远高于纯债券价值，隐含期权处于实 恤：1 人念，i q - 转侦农现为股卡义。队，畅勺”竺价的影i i i 勺起卜甘作用，i t j 转债价值趋 近于转换价值。可转债价值的变化趋势通常也可以用溢价率来体现，溢价率= ( 可转债价值一转换价值) 转换价值【”】。显然，溢价率与可转债的转换价值成 难比。 根据叮转换债券的双重特性，其价值也就由这两部分构成，即单纯的债券 价值利暗含股票的买入期权价值。 1 可转换债券作为普通债券的内在价值一单纯的债券价值 单纯的债券价值是指债券在未转换以前与普通债券一样，按时支付利息， 到期时偿还本金。单纯债券价值的求法是债券面值与未来利息收入的和再以当 时的市场利率贴现。在模型假设下，任意时刻t 的计算公式为： 圪= m e 盯e 其中，m 代表可转换债券的面值；f 表票面利率；厂代表市场利率；丁为债券 到期时刻。 单纯的债券价值与债券票面利率、市场利率有关，而与对应股票价格无 关，这是非常重要的，它在无破产风险和无拖息风险条件下确定了可转换债券 哈尔滨理t 人学理学顾f ：学位论文 可转撩绣组蕊攀耱鬣 图2 - 1 可转债基本价值曲线 f i g 2 - 1v a l u a b l ec u r v eo fc o n v e r t i b l eb o n d s 在市场f ：的最小价值。当股价持续下降时，【1 j 转换债券的单纯债券价值能 保证债券市场价值的最低底线。 2 可转换债券作为股票期权的内在价值一转换价值 一l j 转换债券持有者将债券按事先约定的转换价格转换成股票并按当时股票 市场价格计算的价值称为可转换债券的转换价值。在模犁假设下，任意时刻， 的计 公弋为：车0 换价值 矿：e - r ( h ) 丝墨 c c v 其中，f 代表约定的转换价格；s t 代表t ( o t t ) 时刻的股价。由转换价值的 计算公式可知，可转换债券的转换价值由股票价格决定，它随着股票价格的升 降而涨跌。 3 可转换债券作为混合证券的价值一债券市场价值 可转换债券的市场价值与其单纯的债券价值和转换价值均有关。如果股票 价格低于转换价格，可转换债券市场价值主要受其普通债券价值影响；当股票 价格上升，债券转换价值也随之上升，并逐步在其市场价值中起主要作用，当 股票价格足够高，突破某i 临界值s | ：l 时，可转换债券市场价值和转换价值一致； 当股票价格超过s j 时，可转换债券的市场价值为其转换价值【3 6 3 7 1 。事实上，由 圪= 一易得：临界值 s ：= e i t c v 哈尔演理t 人学理学硕i ：学f t 论义 2 2 2 基本假设及相关定义 对可转债定价模型的建立，涉及多方面因素及各因素之间的关系是相当复 杂的，因此为解决不同的实际问题，有必要对模型条件加以约束： ( 1 ) 市场是完备的即不存在无风险套利的可能性； ( 2 ) 允许自由买空衍生证券，投资者可以按无风险利率自由借贷； ( 3 ) 市场中没有交易费用和税收； ( 4 ) 股票价格服从对数f 念分仃【3 8 】。 定义2 7 1 3 9 普通可转换债券的价值也就由两部分构成：单纯的债券价值和 以股票为标的物的看涨期权价值。其到期现金流量( 或到期值) 以公式表示如 下，到期收益炸为： 巧= 墨 0 ，z ( t + s ) 一z ( s ) n ( o ，c 2 f ) ； ( 3 ) z ( f ) 关于t 是连续函数； 则称z ( t ) 是布朗运动或维纳过程。特别地，当c = 1 时，称z ( t ) 为标准布朗运 动。 定义2 1 0 e 3 2 】1 3 8 j 3 9 称一个随机过程x 是一个连续过程c x , ：t o ) ，如果z 可以表示为 置= x o + 叹机+ 从凼 其中，盯和1 t 为随机的、关于f 可料的过程，并使得e ( + i 从l 灿对任何时刻 t ( 以概率1 ) 都有限，这个等式的微分形式可以写为 d x , = a , d w , + p f d t ， ， 昌 只只竺c 呛尔滨胖t 人学胖学硕卜学位论文 2 3 本章小结 本章首先综述了经典鞅论的基本概念和相关性质以及经济学中鞅测度的相 关定义和引理，这可以使下文中理论与实践合理的结合。其次，详细阐述了可 转换债券理论的基本概念、价值构成、并描绘出了可转换债券的基本价值曲 线。根据普通可转换债券的定价思想，给出其到期收益值。本章内容是研究可 转换债券定价理论的基本内容，为更进一步研究可转换债券定价理论奠定了基 石出。 哈尔演理t 人学理学顺i j 学化论文 第3 章鞅在可转换债券定价中的应用 3 1 周期红利下可转换债券的鞅定价 根据市场支付红利通常是一些定期时段上的情况，假设事先已知在 正，互，等时刻上支付红利率，并在每一i 时刻，股权持有者可得到的股息是 股票现价s 的万倍。在仟意时刻t = i ，我们假设红利支付恰好等于股票价格 的下跌额，股票价格都有一个跳跃l 。为使其更具有市场实川价值，本节讨论 的可转债定价模型是在原有假设基础上，考虑了随机利率和随机波动率的情 形。 3 1 1 资产价值的连续性转换 由于要在定期时段上支付红利，资产价格过程s ，足不町交易的，凶此必须 将其转化为可交易资产。在每个f 时刻之后，s t 都满足随机微分方程1 4 2 】： d s , ：墨f 仃d 彬+ f + 丢仃z1 以1 厶 f ! 二 此时股票价格都仃一个i u j 断的跳跃，洲此s ，足一i 连续的。下我f f x , j 其 进行转化。考虑如下交易策略：开始持有一单位的股票，不妨假设事先已经知 道在石，五，等h , t 亥t j 上支付红利，并且在每一个l 时刻，股权持有者可能得到 的股息是股票现价的万倍，随后每次支付红利时，立即将红利收入重新投资于 股票| 4 3 1 。在f 时刻我们将拥有( 1 一万) 1 i i 币位的股票，我们用定理证明这一问 题。 定理3 1 设一资产价值豆= ( 1 一万) 1 置，则墨是连续可积的。其中 n i t - m a x f ：正t ) 是到t 时刻为止支付红利的实际次数，且 墨= s o ( 1 一万) ”i ，je x p ( c r w t + ) 。这里我们假设，股票的波动率仃和漂移都为 常数。 证明由以上假设可知，对于周期付红利的一般股票价格模型 s ，= s o ( 1 一万) ”【f j e x p ( o w t + ) 因为 墨= ( 1 一万) - 4 , 1 s ，= & e x p ( o w t + ) 豆满足s d e ： 哈尔j 寅理t 人学理学f 砍| j 学位沦史 豳= 墨k + ( + 引司 则爱就服从基本的b l a c k s c h o l e s 定价模型1 ，由以上无套利假设使红利支付 恰好等于股票价格的跳跃，从而墨是连续的。 保证了资产的可交易性，我们就可以对其定价了。 3 1 2 周期支付红利的可转债m a r t i n g a l e 定价 普通可转债的到期收益巧为： = s 7 c ， 小耻警( 3 - 1 ) s ，盟 l m 对以上i 种情况做如下解释： 情况1 在债券到期n ( t ) ，如股价砖小于转换价格g ，那么转换后股票价值 丝s ，小于可转换债券当前面值m ，持有人将放弃转换权，发行公司还本付 c ， 息，| i i j 转换债券价值为单纯债券价值； 情况2 在债券到期r ( t ) ，如股价昌大于转换价格c i ，但转换后股票价值婴s r l ” 小于可转换债券当前单纯债券价值只，持有人也将放弃转换权，发行公司还本 付息，可转换债券价值为单纯债券价值； 情况3 在债券到期同( t ) ，如转换后股票价值i m s 大于可转换债券当前单纯债券 l ” 价值只，持有人将执行转换权，发行公司收回债券并发放股票，可转换债券价 值为转换后股票价值。 定理3 2 假设b ，为无j x l 险资产( 债券) ，爱是风险资产，其随机微分方程 在概率空间( q ，f ，一上满足： d b ，= r , b ，d t ( 3 - 2 ) ， ， 昌 忍竺g 哈尔演理t 人学胖学硕i j 学位论文 鹕= 墨( q 毗+ ( 以+ - 2 - 0 ，2 ) 出) 其中，f 是瞬时短期利率过程；1 4 表示证券的漂移；且o r , 是它们的波动率； 形p ，0 t t ) 是该概率空问p 上的一维标准布朗运动；d w , p 表示在概率测度 p 下布朗运动在t 时刻的瞬间增量。那么，在等价鞅测度q 下，上述模型假设 的两种证券的积分表现形式是 e = e x p 出) ( 3 - 4 ) 墨= s o ( 1 一万) 小e x p ( r 出+ t q d 彬口) ( 3 - 5 ) 证明设( q ，f ，尸) 是一概率空| | i j ，是由q 的一些子集构成的o r 一代数， 可转换债券对应的基础股票价格过程( s ：0 t 丁) 是一种i t o 过程： 以= 只( q d 彬+ ( h + ) d f ) ( 0 t t ) ( 3 - 6 ) 结合i t 6 定理( 引理2 2 ) ( 3 6 ) 式有 d ( 1 n s , ) = c r , d w + i 以+ 毒酽l 出 r = s oe x p ( r p , d t + f q d 彬尸) 定义测度q ，使其满足 d _ q = e x p h 一孤等川 定义过程 彬。：彬尸+ c 蛾l ( o t 丁) 加o - , 并令 = 唧f r 等州一三r ( 警川 则由g i r s a n o v 定理( 引理2 4 ) ，q 是p 的等价鞅测度， 彬0r 0 t t ) 是 ( q ，f ，p ) 上的一维标准布朗运动，而且 e p ( 爵l ) = e 口( ，爿) 。 对任意的a f 都成立，其中，e 9 表示在q 测度下的数学期望，e 尸表示在p 测度下的数学期望，表示性函数。 则有如下关系式 哈尔滨理t 人学理学顾f j 学化论文 d w f l = d 彬尸+ 丝1 出( o z 丁)( 3 7 ) o ， 将式( 3 7 ) 代入式( 3 6 ) ，得到 砖= 爱( q 衅+ ( ，；+ 圭露) 班) ( 晒如 ( 3 - 8 ) 结合i t 6 定理( 引理2 2 ) 式( 3 8 ) 有 d ( 1 n 墨) = q 西尸+ f ，：+ 昙一1 以 哥= s o e x p ( j ：r r f l