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两种情况下的n e w s b o y 问题最优订购研究 摘要 n e w s b o y 问题( 报童问题) 一直是库存控制管理中研究的热点之一， 经典的报童问题是指在单周期内，商品的需求为随机状态下，寻找一种商 品订购数量，使系统预期利润最大或成本费用最小本文主要从以下两方 面对报童问题进行了扩展： 在本文第二章，我们首先建立了经典报童问题的费用模型，并得到了 使得费用最小的订购量q 所应满足的条件其次，根据经典报童模型，我 们建立了需求变量为一般随机分布情形下的两次订购总费用模型，而且从 理论上证明了阶段一和阶段二需求分布相互独立的情况下，零售商的期望 费用函数存在最优解通过数值实例我们验证了模型的求解过程，而且对 一次订购和二次订购这两种订购策略进行了比较，得到了相关管理启示 可替代问题就是指在计划期内，若某一商品发生缺货，则可以被另外 的物品以一定的替换率补充销售目前，可替代产品库存管理己逐渐成为 供应链库存管理研究方面的一个热点本文第三章中研究了三种可替代商 品的经济订购数量问题文中首先建立了三种商品相互替代的模型，根据 实际的库存与缺货状况，将其分为八种情况，并分别求出这八种情况下的 利润和期望利润函数，然后得到了整个过程的总利润函数，最后，给出了 数值实例和灵敏度分析 关键词：n e w s b o y 问题；随机需求：最优订购；二次订购；替换： t h es t u d yo fn e w s b o yp r o b l e ma b o u to p t i m a lo r d e r i n g u n d e rt w os i t u a t i o n s a b s t r ae t n e w s b o yp r o b l e mi sa l w a y st h e h o tt o p i ci ni n v e n t o r ym a n a g e m e n t - lh e c l a s s i c a ln e w s b o yp r o b l e m i s t of i n da p r o d u c t o r d e r q u a n t i t y t h a t m a x i m i z i n ge x p e c t e dt o t a lp r o f i to rm i n i m i z i n ge x p e c t e dt o t a le x p e n s e 1 na s i n g l ee y c l ew h i l et h ed e m a n di s r a n d o m t h i sa r t i c l ee x p a n d st h en e w s b o y p r o b l e mi nt w os i t u a t i a t i o n s a sf o l l o w s ： i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f i r s t l yw ee s t a b l i s hac l a s s i c a ln e w s b o y c o s t m o d e l a n do b t a i nt h eo p t i m a lo r d e rq u a n t i t yt h a tm i n i m i z i n gt h et o t a lc o s t s e c o n d l y ，t h et w o o r d e r i n gt o t a le x p e n s em o d e l sa r ee s t a b l i s h e da c c o r d i n g t ot h ec l a s s i c a ln e w s b o ym o d e lb yc o n s i d e r i n g t h a tt h ed e m a n dd i s t r i b u t i o n s h a v eg e n e r a ld i s t r i b u t i o nf o r m s t h ee x i s t e n c ea n d t h eu n i q u e n e s so fo p t l m a l o r d e r i n gp o l i c i e sa r ep r o v e du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a t t h ef i r s t 。p e r i o da n d t h es e c o n d p e r i o dd e m a n d sa r ei n d e p e n d e n t n u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t e t h es o l u t i o np r o c e d u r e a n ds o m em a n a g e r i a li n s i g h t s a r eo b t a i n e da sw e l l t h r o u g ht h ec o m p a r i s o no ft w oo r d e r i n gp o l i c i e s a st h ei n v e n t o r yc o n t r o lo fa l t e r n a t i v ep r o d u c t s h a sb e c o m eah o t r e s e a r c hi ns u p p l yc h a i ni n v e n t o r ym a n a g e m e n t ，t h et h i r dc h a p t e ro ft h i s a r t i c l ec o n s i d e r s t h ee c o n o m i co r d e rq u a n t i t yp r o b l e m w i t ht h r e e s u b s t i t u t i n gc o m m o d i t i e s ，i n w h i c hs h o r t a g eo fo n ec o m m o d i t ym a yb e r e p l e n i s h e db ya n o t h e ri t e m w i t ht h ef i x e ds u b s t i t u t i n gr a t ei np l a n n e d h o r i z o n f i r s t l y ，w ee s t a b l i s ham o d e li nw h i c ht h r e ek i n d so fc o m m o d i t i e s c a nb em u t u a l l yr e p l a c e d ；s e c o n d l y ，a c c o r d i n g t ot h ea c t u a li n v e n t o r y c o n d i t i o n ，w ed i v i d et h es a m p l es p a c eo fr a n d o mv a r i a b l e si n t oe i g h tc a s e s ， t h e nd e r i v et h ep r o f i to fe a c hc a s e ，a n da b t a i nt h et o t a lp r o f i t ；f i n a l l y ，t h e n u m e r i c a le x a m p l e sa n ds e n s i t i v i t ya n a l y s e sa r ep r o v i d e d k e yw o r d s ：n e w s b o yp r o b l e m ；r a n d o md e m a n d ；o p t i m a l o r d e r i n g ；t w o o r d e ro p p o r t u n i t i e s ；s u b s t i t u t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金理工些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：1 觋爻坍金签字日期：b f 。年归力1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目里王些太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权金壁王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：嘲鹚硷 签字日期：w 。年叩月2 ，1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师躲毒。乏攮 签字日期：u f 。年汐悬日 电话： 邮编： 致谢 时光荏苒，白驹过隙，转瞬间已到毕业之际回顾这三年的生活，往 事历历在目在老师和同学们的热情帮助下，自己顺利度过了紧张、忙碌 而又快乐的研究生生活，同时，在学习和生活方面，自己也取得了很大的 进步在此，我要向所有帮助过我的人表示由衷的谢意! 本论文从选题，研究，撰写到完成都得到我的导师杨志林副教授的悉 心指导，在攻读硕士研究生这三年的时间里，杨老师孜孜不倦的治学态度 及不拘一格的开阔思路使我受益终身在生活方面，杨老师也给予我无微 不至的关怀在此，谨向杨老师致最真挚的谢意，感谢他在这段时间里对 我付出的一切心血 同时，还要感谢在读研期间给予我帮助的数学系的各位老师和所有的 同学们 最后，把我深深的谢意和最美好的祝愿献给我的家人 作者：胡海玲 2 0 1 0 年3 月 第一章绪论 1 1 库存控制理论的产生 物资的库存在人类经济活动中随处可见，工厂为了能够连续生产，需要储 存一定量的原材料或半成品，零售商为了满足顾客需求，要有一定的库存，银 行为了进行正常的营业，需要一定的货币来进行周转，等等适当的库存可以 保证物资的正常流通和生产的顺利进行然而，过多的物资库存却又会导致大 量的流动资金被占用，不利于社会再生产，因此科学、合理、有效的库存管理 和控制，对于提高企业效益乃至社会经济水平都是十分有益的库存控制理论 就是以各种库存系统为研究对象，借用定量化手段去分析和探索库存系统的库 存变化规律，建立相应的库存控制模型，为有效控制系统库存提供科学方法的 一门学科具体地说，库存控制理论就是研究库存系统何时订货或组织生产以 及订购多少数量的货物或生产多少数量的产品，以使系统的总费用最少或总利 润最多 库存控制理论的研究可以追溯到1 9 世纪末研究确定银行保持多少现金流 的问题1 9 15 年，h a r r i s 1 j 对银行现金的储备问题进行了深入的研究，建立了 一个确定性的现金储备模型，得到了计算现金储备量的简单公式这就是早期 的库存控制理论模型1 9 3 4 年，w i l s o n 重新得出了h a r r i s 的公式，也就是现在 人们熟知的经济订购批量( e o q ) 公式在这之后，a r r o w 和w h i t i n 等在2 0 世纪 5 0 年代所做的工作进一步奠定了现代库存控制理论的基础 库存控制理论经过近百年的发展，已成为一个硕果累累的庞大理论体系研 究内容越来越深入，从确定性模型的需求率为常数【2 】- 【4 】的情况到考虑时变需求 率 5 】【引，以及需求率依赖于库存水平f 9 】- 【1 4 】或价格水平1 5 】【1 6 】的情况：对于随机 库存控制模型，从单周期问题到多阶段【1 7 】- 【1 8 】问题，从普通物品的库存存储问 题研究到易变质的物资库存问题i l9 1 ，从一次订购到可追加订购的问题【2 0 1 ；从不 允许缺货、无价格折扣的库存决策到允许延迟交货、有价格折扣的库存决策 【2 1 】- 【2 2 1 ；从单一环节的库存模型研究到多级库存模型研究【2 3 】【2 4 】；等等随着供 应链管理思想的发展与理论的成功，供应链库存管理已成为一个新的发展趋 势供应链库存管理同传统的库存管理相比有许多新的特点和优势在供应链 管理环境下，库存管理打破了传统各自为政的库存控制方式，从供应链角度研 究库存决策问题在供应链管理下的库存控制，是在动态中达到最优化的目标， 在满足顾客服务要求的前提下，力求尽可能地降低库存，提高供应链的整体效 益一大批研究者从不同的视角对企业面临的各种复杂库存控制问题进行了探 索和研究，取得了大量的理论研究成果这些研究工作推动库存控制理论有了 长足的进展 1 2 n e w s b o y ”问题及其研究现状 短生命周期的产品，比如报纸、牛奶、时装等在市场需求不确定的情况下， 制造商在生产产品之前，先接受销售商的预先订购，根据订购量的多少来安排 生产对于销售商来说，在销售期之前要根据市场预测来确定产品的订购量， 由于这些产品的市场需求具有不确定性，所以如果销售商订购的产品数量过 多，卖不掉的剩余产品只能以远远低于成本的价格处理掉，从而会减少销售商 的利润，增大成本费用如果销售商订购的产品数量太少，商品出现缺货，则 潜在失去的利润将看作为经销商的损失或缺货费用面对产品的市场需求不确 定性，销售商为了获得最大利润或最小费用而采取的最优订购策略的问题就是 经典的n e w s b o y 问题 传统报童模型由s i l v e r 和p e t e r s o n 首先提出，模型假设为单周期随机需求， 当订购量大于需求量时，多余的存货以一次折扣出售或加以报废，在期望收益 最大化下，求解最优产品订购量d a v e 和p a t e l 2 5 】在不考虑短缺的情形下研究了 带有时间比例需求的变质性物品，将时变需求和物品的变质性同时引入到库存 模型x u 署 1 w a n g 2 6 】基于动态规划方法提出了一个带有线性时变需求和有限短 缺费用的变质性物品的e o q 模型g u p t a 并f l v r a t 27 】在1 9 8 6 年建立了需求率与初始 库存水平相关的模型，其后v r a t 和p a d m a n a b h a n 2 8 】、s u l 2 9 】、l i a o 3 0 1 等分别对其 进行了扩展r a o 3 l 】对随机需求下定期订货问题进行了详细地分析，给出了关 于定期定货策略的许多好的性质j a n a k i r a m a n 和r o u n d y 3 2 】贝0 研究了带有缺货损 失、允许交叉订购以及确定前置期的定期定货模型s a n k a r a s u b r a m a n i a n 和 k u m a r a s w a m y 3 3 】，l a u 3 4 】建立了带有不同的目标和效益函数的n e w s b o y 模型 k h o u j a 35 1 ，w e n g 3 6 】贝0 讨论了带有多次订购机会的n e w s b o y i h - 题王圣东【3 7 】等 研究了带有两次订购机会，且两阶段需求相关的n e w s b o y 模型y u e l 3 8 j 等则考 虑了基于需求信息更新的n e w s b o y 产品订购问题e y n a n 3 9 】等分析了在库存费用 可变、需求随机的等周期库存系统下的最优订货周期和安全库存k o g a n 4 0 】等 提出适用于短生命周期产品的报童模型，考虑多个报童或机器并行的情况，并 且将连续的周期分散成为离散的来考虑，目标在于降低每一阶段的库存和费 用k h o u j a 4 1 1 等，蔡连侨【4 2 】- 【4 3 】等则研究了发生缺货情况下，可以用另外一种 产品代替的两种产品互补的报童模型h a k s e v e r 和m o u s s o u r a k i s 4 4 】发展了带多 种资源约束的多物品库存模型，并给出了寻求近似的固定值最优解的启发式算 法b h a t t a c h a r y a 45 】考虑了产品具有易变质性的多物品联合订购问题 1 3 本文的主要研究内容 第一章：简单介绍库存管理理论的形成和发展的过程；n e w s b o y 问题及研 究现状等 第二章：研究了带有二次订购的n e w s b o y 问题，建立了最小费用模型，并 据此模型求出了第一阶段和第二阶段的最优订购数量，并得到了系统最小费用 函数，且通过实例给出了数值分析 第三章：研究了三种商品的相互替换使用问题，建立了总利润模型，并结 合实例给出了最优的数值解 第四章：对所研究问题做一个简单小结，并对今后的研究工作提出了浅显 的想法 第二章带有二次订购的n e w s b o y 费用模型 2 1 一次订购的n e w s b o y 费用模型 一次订购的n e w s b o y 问题即是经典的n e w s b o y 问题，是指产品只能在单周 期内销售，产品的需求量是随机的，而零售商只能在销售周期前根据需求预测 来决定订购的数量，销售周期结束后，未销售完的产品只能以远低于成本的价 格处理掉，而若产品脱销，出现缺货，则视为缺货损失n e w s b o y 模型的目的 就是在这种随机需求下寻求一种最优订购策略，使得销售商的总利润最大或总 费用最小在现实生活中有很多类似于报童问题的情况，像蔬菜、水果等易变 质的食品，一些季节性的潮流服饰，还有一些更新换代很快的电子产品等，所 以研究报童问题很有现实意义下面，我们来建立一次订购的n e w s b o y 模型 2 1 1 假设及符号 为了简化库存系统，我们首先作如下假定： ( 1 ) 在周期开始时做一次订购决策 ( 2 ) 瞬时供货 定义下面的符号： x商品的需求量，一个非负随机变量 厂( x ) x 的需求密度函数 ，( x ) z 的需求分布函数 随机需求量的期望 c单位商品的进价 h商品卖不完时的单位积压损失费 s缺货时的单位损失费，且s c q销售期初的订购量 2 i 2 模型建立 令s ( q ) 表示零售商在销售期内的期望销售量，则有 s ( q ) = e m i n q x = f 矿( x ) 出+ f 彤( x ) 出= q f ，( x ) 出 ( 2 1 1 ) 令i ( q ) 表示零售商的期望剩余库存，三( q ) 表示零售商的期望缺货量，则有 ，( q ) = e ( q z ) + = f ( g z ) 厂o ) a x = q s ( q ) ( 2 1 2 ) 三( q ) = e ( x q ) + = f ( x q ) ( x ) 出= 一s ( q ) ( 2 1 3 ) 若令r e ( q ) 表示零售商的总费用，则有 4 t c ( q ) = c q + m ( q ) + s l ( q ) = ( c + 办) q 一( 办+ s ) s ( q ) + 罗 为求使得总费用最小的最优订购量，对式( 2 1 4 ) 求导数， d t c ( q ) ：( ci ) 一( 忍ij ) 【1 一f ( q ) 】_ 0 - i - 4-dq 一= ： 肛- 一1 月胃l l - 一，i i = 、7 l 、。7j 由式( 2 1 5 ) 得到最优解q 所要满足的必要条件为 f ( q ) ：罢 对式( 2 1 4 ) 求二阶导数得 ( 2 1 4 ) 并令其为0 ，得 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 1 d 2 t r c ( q ) = ( 办+ s ) 厂( q ) 。 可见总费用函数t c ( q ) 是关于订购量q 的凹函数，所以( 2 1 6 ) 式是最优解满足 的充要条件 2 2 带有二次订购的n e w s b o y 费用模型 在2 1 中给出了经典报童模型，即销售商只能在销售周期开始前决定产品 的订购数量由于在销售周期内未销售完的商品只能以远低于成本的价格处理 掉，所以零售商不敢一次订购过多的商品，但这样又很容易造成缺货，降低服 务水平事实上，在生活中，有些季节性产品的销售期相对比较长，比如服装、 电子产品等，对于这种情况，零售商可以在整个销售周期将商品的订购分为两 次，这样既能减少商品库存积压的风险，又可以降低缺货的概率，提高服务水 平，增加零售商的利润 2 2 1 假设及符号 首先我们作如下假设： ( 1 ) 假定整个销售期被分成两个阶段，且两阶段需求相互独立； ( 2 ) 零售商在第一个阶段和第二个阶段开始前分别有一次订购机会； ( 3 ) 第一个阶段末若产品过剩可以在第二个阶段继续销售，若产品短缺则 产生缺货损失成本； ( 4 ) 第二个阶段末，若产品短缺则产生缺货损失成本，若产品过剩，则产 生积压损失费用 定义符号如下： 口第f 阶段的商品需求量，为非负随机变量，i = 1 ，2 ； 鸽第f 阶段随机需求的期望，f = l ，2 ； z ( ) 第，阶段随机需求的概率密度函数，f = 1 ，2 ； f ( ) 第f 阶段随机需求的分布函数，f - 1 ，2 ； 5 q第i 阶段开始时的订购量，i = 1 ，2 2 2 2 模型建立及求解 由2 1 节中的内容可知，若整个销售期只订购一次，则使得零售商成本费 用达到最小的订购量9 满足( 2 1 6 ) 式，最小费用函数为 t c ( q ) = ( c + h ) q 一( j i i + s ) s ( q ) + s t u( 2 2 1 ) 现在来考虑在销售期内有两次订购的情形假设第二阶段是一独立销售周 期( 不考虑第一阶段对其的影响) ，令g 表示此时第二阶段的最优订购量，由 ( 2 1 6 ) 式可知 互( g ：) = 兰 ( 2 2 2 ) 假设第一个阶段末，过剩商品数量为l = m a x o ，9 一d 1 ) ，很明显得出第二 阶段的最优订购量 io ，三q ： 鲮= 怯- l ，0 l q ： ( 2 2 3 ) 恢，l = 0 由于g ；和鲮分别为不考虑第一阶段和考虑第一阶段订购量对第二阶段影 响下，零售商在第二阶段的最优订购量，为了便于区别，我们将g ：称为第二阶 段的最优持有量 下面我们来分析每种情况下各个阶段的费用函数 ( 1 ) 当l q 2 时，即0 d l 0 1 一玩时，第一阶段的费用为 玛= c q 由于第一阶段尚剩余三单位产品大于第二阶段的最优持有量，所以，第二 个阶段不订购，即苡= 0 ，而是依靠第一阶段的剩余产品来满足第二阶段的需 求因此，由( 2 1 4 ) 式可推出第二个阶段的费用 z c 2 = h l + s 1 t 2 一( j j l + j ) 岛( 三) 式中岛( x ) = x f e o ) 办 ( 2 ) 当0 三 g ：时，即q g ： o ， 帆( 雌关于g 的凹函数 其次，由( 2 2 5 ) 式有 a r c ( q ) i = - i s - c ) - 一e ( 冰。 ( 2 2 6 ) = 一。一c ) + ( 乃+ s ) r 石( 口) 码= 厅+ c o ( 2 2 7 ) 由( 2 2 6 ) 式和( 2 2 7 ) 式可得，存在唯一的研( q 2 ，+ ) ，使得 = 0 ， = 硝 又由陀( g ) 是关于q l 的凹函数，从而可得零售商的总费用函数粥( 9 ) 在研处取 得全局最小值证毕 由定理2 2 1 的证明过程，可得如下推论： 推论2 2 1零售商在第一个阶段的最优订购量一定大于第二阶段物品的最 优持有量，即研 g ： 将研代入( 2 2 3 ) 式，可得第二阶段的期望订购量为 e ( 鲮i 研) = 嚣矗 g ：一( 研一日) 彳( 日) 鸩+ f q ；f ( d 1 ) d d l ( 2 2 8 ) 整个销售期内的最优总期望订购量为 e ( 鳞) = 研+ e ( 鲮l 研)( 2 2 9 ) 2 3 数值分析 设模型中用到的参数值如下：c = 4 ，s = 6 ，让h 以步长为1 从1 变到3 假 定在两个阶段的随机需求分别服从参数为“和心的指数分布，即 f1 一lf1 一l 胁) ：序一一洲，胁) ： 玄扩一加 l0 ， 其他 lo ，其他 而在整个销售期内的需求服从参数为的指数分布，其中= 2 0 0 ， “- - ，= a 2 求零售商的最优订购策略使总费用最小 解：利用本章提供的方法来分别计算只有次订购时的o 、t c ( q ) 和两次订购 时的研、e ( 鲮l 研) 、e ( q ；) 7 2r c ( q ? ) ，其结果见表2 2 1 从表2 2 1 可以看出：( 1 ) 二次订购中的研总是小于一次订购中的最优订 购量q ，二次订购中的总订购量e ( 鳞) 总是大于q ，但是二次订购中的总费用 t c ( q ；) 却总是小于一次订购中的总费用r c ( o ) ；( 2 ) 当库存积压损失费h 以步 8 长为1 从1 变到3 时，我们可以看到，不论订购策略是一次还是两次，系统订购 量都随着库存积压损失费的增多而减少 表2 2 1 最优计算结果 2 4 本章小结 本章首先建立了经典报童问题的费用模型，给出了费用最小的充要条件， 然后建立了带有二次订购的报童问题的费用函数，假定二次订购中两个阶段的 随机需求量分布不相关，证明了该模型是凹函数，存在唯一的订购值研使得总 费用最小，而且证明了第一阶段的最优订购值研大于第二阶段的最优持有量 g ：最后通过数值实例验证了该模型，且对只有一次订购和带有两次订购的模 型进行了比较，说明了n e w s b o y 问题中二次订购的优越性 9 第三章三种产品可以替换使用的n e w s b o y 型问题研究 在传统的报童问题中，销售期结束后，剩余的商品都作为残值处理，销售 中出现的缺货，作为缺货损失来计算，其后几十年来有许多的研究者对经典报 童问题进行了扩展，其中k h o u j a t 4 l l 等、蔡连侨【4 2 】- 【4 3 】等讨论了在缺货状况下可 替代产品的最优库存问题所谓商品的替换就是指在销售期中当某种商品出现 缺货时，用其它的具有相同使用属性的商品来替代销售，弥补因缺货而造成的 损失本章将主要讨论三种商品之间可相互替换使用时的最优订购策略，对 k h o u j a 、蔡连侨等人研究的结果给出进一步的扩展 3 1 假设与符号 我们将建立三种可以相互替换使用的n e w s b o y 型的总利润模型，为了建立 数学模型，现作以下假定： ( 1 ) 设p ，表示第f 个产品的单位产品销售价格，i = 1 , 2 ，3 ； ( 2 ) 设c ，表示第f 个产品的单位产品采购价格，净1 , 2 ，3 ，且c l c 2 c 3 ； ( 3 ) 设置表示第f 个产品在销售周期结束时过剩产品单位处理价格， i = 1 , 2 ，3 ； ( 4 ) 设置表示第f 个产品市场的随机需求变量，x ，是其需求值，i = 1 , 2 ，3 ； ( 5 ) 设f ( x 。，x 2 , x ，) 为三种产品的联合需求概率密度，且 e e e 而厂( 而，x 2 ，x 3 ) d x l d x ：如收敛，f = l ，2 ，3 ； ( 6 ) 设t 打表示每单位第i 种产品能用第歹种产品替换的百分比，i = 1 7 2 ，3 ， r ，1 2 3 、i = 1 ，2 ，3 ，显然t l l = t 2 2 = f 3 3 = 1 设丁= if 2 i 1 乞3i r 我们称之为替换 l f 3 l f 3 2 l 矩阵并假设替换仅在至少有一种产品缺货，而另外至少有一种产品剩 余时发生，且只有当三种产品均出现缺货时，或三种产品相互替换后 均出现缺货时，才认为此时系统发生缺货现象，若三种产品均有库存 或三种产品相互替换后只要有一种产品出现库存，则认为该系统出现 库存； ( 7 ) 设q f 表示第f 种产品的订购数量，研为其最优订购数量，f = 1 ，2 ，3 3 2 模型建立 根据以上假定，三维随机需求变量( _ ，x ：，_ ) c ，) 可能发生的互不相容事件组为e l 、 最、e 、历、毛、鼠、易、乓如下面所示，它们分别是 五= 敌墨，娩，x 3 ) l o 墨 蜴，0 - x 2 q ，0 黾 qj 易= k ，x 2 ，x p l o _ x , q 1 ，o x 2 0 2 ，0 3 x 3 佃j e 3 = ( _ ，x 2 ，x 3 ) i o 五 q ，0 2 - x 2 - t - o o ，o x 3 q 3 e = ( 西，而，而) l o 墨 q l ，q 2 x 2 佃，q b + o o ； e = ( 而，屯，秘) 1q l 墨 4 - t 习，0 x 2 q 2 ，o - - x 3 0 3 j 反= 妣，屹，x 3 ) l g 而 4 - 0 0 ，0 _ x 2 0 2 ，q x 3 佃 易： ( 置，屯，x p l q , 而 佃，0 2 x 2 - i - 0 0 ，0 - x 3 q 3 j 乓= 妣，x 2 ，x 3 ) l q , 而 佃，q 2 x 2 佃，q 3 而 佃j 由假定( 6 ) 知在e 。中三种产品均有库存，即每一种产品的需求均小于订购数 量，销售期结束后剩余产品作残值处理，这种情形下的利润记为n ，( q 1 ，q ：，q ，) ， 期望利润函数记为g 。( q ，q ：，q ) ，则 。( q l ，q 2 ，q 3 ) ：p 。而+ p ：x 2 + p , x , - c 。q 一乞q 2 一巳q + s t ( 蜴一x o + s 2 ( 9 - 2 一恐) + 岛( q 3 一玛) ：杰( 易一墨) 一主( q 一墨) q ( 3 1 ) g 。( q ，0 2 ，0 3 ) = frf n ，( q l ，0 2 ，q 3 ) f ( x - ，如，x ，) a x d x ：如 = frr 骞阮( n 一墨) + ( 毋一q ) q l 厂( 五，而，恐) 幽呶也 ( 3 2 在取中三种产品均发生缺货，即每一种产品的需求均超过订购数量，这种 情形下的利润记为l i s ( q 1 ，a ：，q 3 ) ，期望利润函数记为g s ( 幼，q ，q 3 ) ，则 3 h 。( q l ，鲮，q ) = p 。q l + p 2 0 2 + p 3 q 3 一c l q l c 2 q 2 一c ，q 3 = ( 仍一c f ) q ( 3 3 ) f = l g s ( o l ，q 2 ，0 3 ) = fee n s ( q ，q 2 ，q 3 ) f ( x 。，x 3 ) d x , d x = d x 3 = fe e 善3 ( a q ) q 厂( x t , x 2 , x 3 ) 幽呶如 ( 3 4 ) 在e ：中产品一和产品二出现库存，而产品三发生缺货，那么发生缺货的部 分就用具有相同使用属性的产品一和产品二来替换，这时e 2 可以划分为两个互 不相容的子区域e ：。和e ：， 易i = ( 而，x 2 ，而) l o 而 q ，0 x 2 q ，q 3 + ( 奶一x 1 ) 6 3 + ( 鲮一x 2 ) ，2 3 而 柳) e 2 2 = ( _ ，x 2 ，恐) i o 而 q 1 ，0 $ x 2 q 2 ，q 3 - - - x 3 q 3 + ( q x 1 ) t 1 3 + ( q 2 一x 2 ) t 2 3 在e ：。中当用第一种剩余产品和第二种剩余产品全部替换第三种产品后，第 三种产品仍出现缺货若在e ：。中的利润记为h 2 ，( q 1 ，q 2 ，q 3 ) ，则 r i ：。( q ，q ，奶) = ( p i c ，) q ( 3 5 ) 在中第三种产品出现缺货时，由第一种产品或第二种产品替换，并且替 换后第三种产品没有缺货发生，而第一种产品或第二种产品仍有库存当第三 种产品出现缺货时，由假设( 2 ) 单位产品采购价格c 。c ：c ，知，应选择单位采 购价格高的第一种产品先替换，以便提高资金的周转率，基于此我们又可将e ： 分为以下两种情况： ( 1 ) 产品一的剩余量替换产品三后，产品一仍有剩余，那么产品一和产品 二发生库存，即0 x 3 一q 3 ( g 一而) f 1 3 ，也即q x 3 q + ( q - x 1 ) 6 3 此时设产品 一的剩余量q 一而中用来替换产品三的缺货量毛一g 的比例为吒，那么 啦。( 奶一五) f 1 。：玛一q 3 ，从而呸。( g 一五) ：x , _ - o 一, ，因此产品一替换产品三后仍有 q 1 一而一兰孑单位剩余，设此种情形下的利润为n z ：( q 1 ，q z ，q 3 ) ，则 n ：( q ，q 2 ，q 3 ) = a ( 五+ 兰孑) + 仍而+ 乜恐一q q c 2 q 2 一巳q 3 蝇( q 2 训州g 寸半) ( 3 6 ) ( 2 ) 产品一的剩余量q l 一鼍全部瞀换冤后，再用产品二的剩余郡分瞀抉严 品三剩下的不足量，替换后仅产品二发生库存，即 ( 0 1 一) 3 x 3 一珐 ( g x 1 ) t i 3 + ( q x 2 ) t 2 3 ， 也即q + ( 奶一而) 3 而 q + ( 鸟一_ ) 3 + ( q - - x 2 ) t 2 3 此时假设第二种产品的剩余 量3 一x ：中用来替换第三种产品剩下不足量的比例为口：，因此有 ( q 1 一毛) 3 + ( q 2 - x 2 ) t 2 3 - x 3 - q 3 ，即口2 2 ( 易一恐) = 。_ ( x s - 0 3 一( q l 一_ ) 3 ) ， 2 3 设此情形下的利润记为n ：。( q l ，q ，q 3 ) ，则 n ( 奶，q ，奶) = a q + 见+ 0 3 一q 3 一( 奶一而) f 1 ，) + 岛q q q 一乞q 1 q ，q 3 + q 2 - x 2 - 士 ，一q 3 一( q 一而) ，) 】屯 ( 3 7 ) 2 3 设岛系统中的期望利润函数为9 2 ( q 1 ，q ：，0 3 ) ，则 9 2 ( q ，q 2 ，q ) = 刚l ( q l ，q ，q 3 ) f ( x l ，x 2 ，x 3 ) a x , a x ：a x 3 岛l 。 + ：( q l ，q 2 ，q 3 v ( 而，而，x 3 ) 武d x 2 d x 3 + n 。( q l ，q 2 ，0 3 v ( 而，而，x 3 ) d x , d x ：d x ， 岛 占 = ff 。q l 训”。q 2 吲，( 喜( a q ) q f v ( x l , x 2 , x 3 ) 如妞如 + rr r 挑b ( 五+ 警) + p 2 x 2 + 乜q _ 即z 鲮 一g q 3 + ( 0 2 一镌坞+ ( g 一而一鼍瑚厂( x - , x 2 , x 3 ) 如呶如 + rf 擞+ ( q 2 - x 2 ) t 幅珐圳恐+ 知一q _ ( q l 训u h q c 2 q c 3 q , + q 2 一x 2 一( 恐一q 3 一( q l x 1 ) t t 3 i s 2 ) 厂( 而，x 2 ，恐) d x l d x 2 c j 5 ( 3 8 ) 1 2 在己中，与e ：类似的处理方法把e s 划分为易。与b ：两个不相容的子区域的 并，即岛= 岛。u 岛：，其中 易1 = ( _ ，x 2 ，x 3 ) o - x l g ，q 2 + ( q x 1 ) t 1 2 + ( q 3 一x 3 ) t 3 2 x 2 + o o ，o 而 q 易：= ( 而，x 2 ，x 3 ) 0 - x 。 q l ，q 2 屯 q 2 + ( q 一而) 2 + ( q 3 一x 3 ) t 3 ：，o 而 q ) 在e ，。中，第一种产品和第三种产品的剩余量全部用来替换第三种产品的缺货 量，并且替换后第二种产品仍然缺货，设此种情形下的利润为n ，。( q ，鲮，珐) ， 则 3 n 。( q i ，q ，q 3 ) = ( a c f ) q ( 3 9 ) i = l 在e 3 ：中，第二种产品出现缺货时，由第一种产品或第二种产品替换，并且替换 后第二种产品没有缺货发生而第一种产品或第三种产品仍有库存当第二种产 品出现缺货时，由假设( 2 ) 单位产品采购价格c 。c ：c ，知，应选择单位采购价格 高的第一种产品先替换，以达到提高资金的周转率，当第二种产品发生缺货时， 先采用第一种产品替换第二种产品，因此又可分为以下两种情况， ( 1 ) 当0 x 2 一q 2 ( q x 1 ) 2 ，即q 2 x 2 q 2 + ( 奶- - x 1 ) f 1 2 时，第二种产品出 现缺货时，选择第一种产品来替换第二种产品，并且替换后第一种产品仍有剩 余，所以此子系统出现第一种产品和第三种产品均出现剩余产品，第一种产品 的剩余量q 1 一而中的一部分用来替换第二种产品的缺货量x ：一q 2 设g x a 中的比例为口l 用来替换第二种产品的不足量x ：一q ：，所以 口2 3 ( q 一而) 2 = x 2 一q ， 即呸，( q 一而) ：兰堕，因此第一种产品的剩余量替换第二种产品不足量后仍有 1 4 q l 一毛一下x 2 - q 2 单位剩余，设此种情形下的利润记为n 。：( q ，q 2 ，q 3 ) ，则 n 。：( 幼，q ：，q 3 ) ：p 。( x ，+ 羔鱼) + ，：皱+ p 3 x 3 一c 。q c ：q 2 一c ，q 3 1 2 n ( 3 1 0 ) + s 。( q 1 _ 一瓮鱼) + s ：( q 3 毡) 卜 1 2 ( 2 ) 当( 蜴- x j t l 2 x 2 一珐 ( q l - x 1 ) t 1 2 + ( q 3 - x 3 ) t 3 2 时，即 踢+ ( 幼一置m 2sx 2 踢+ ( 踢一x 1 ) t 1 2 + ( 踢一x j t 3 2 第二种产品缺货时，先用第一种产品的剩余量替换第二种产品的不足量，再用第 三种产品的剩余量替换第一种产品替换后的第二种产品的不足量，并且替换后 第一种产品无剩余，第二种产品无缺货，而第三种产品仍有剩余量，假设第三 种产品的剩余量的q 3 一屯比例口2 。的量用来替换由第一种产品替换第二种产品 后剩下的不足量，因此有 ( q 一五) 毛3 + a 2 4 ( q 3 一x 3 ) t 3 2 = 恐一q 2 即 味q 训= 丢( 而一q 2 也训u 设此种情形下的利润为n ，( 9 ，易，g ) ，则 1 1 3 3 ( q l ，q 2 ，q ) = p 。q + 见q 2 + 见 而+ ( 砭一q 一( q l 一五) ，) 卜q g c ：q - c 3 q 3 3 2 也一玛一丢( 而一q 2 也训u 邑 ( 3 11 ) 设e 系统中的利润函数为g ，( g ，q 2 ，q 3 ) ，则 反( q l ，易，q ) = i ji n 3 l ( q ，q ，q j f ( x , ，x 2 ，x 3 ) d x l d x 2 d r 3 葛i + 肿，：( q ，q ，q o f ( x , ，x 2 ，而) 幽如如+ 肌h ，。( q l ，q ，q 3 矿( 墨，x 2 ，x 3 ) d x 。如也 而2岛3 = f r e 。q i 训”。q 3 训b ：( 喜( 仍一q ) q v ( x l , x 2 , x 3 ) 奶如也 + rr e + ( q j - x o t n 球五+ 警帅z q + 见：q 2 色q + ( q 一毛) s ：+ ( q 一而一三羔三二堕) 墨) 厂( x l , x 2 , x 3 ) d x 。出：c 2 5 岛 1 2 + ff 篡岈剐幅q + p 3 而+ 托_ q 2 ( q 训】- c 1 q 一岛q 一巳q 3 + q x 3 一( 一q 2 一( q 一而) 3 】为) 厂( 五，x 2 ，而) 出。d x 2 如 ( 3 1 2 ) 3 2 同样地，e ，可划分为两个互不相容子区域的并，即e ，= 色。u e 5 ：，其中 层1 = ( 五，x 2 ，为) iq l + ( 幺一x 2 ) t ：l + ( q x 3 ) t 3 l 而 - t - 0 0 ，o x 2 q 2 ，0 x 3 q 3 b 2 = ( 而，x ：，x ；) iq 1 而 q l + ( q 2 一x 2 ) t ：。+ ( q 一而) 岛。，o _ x 2 q 2 ，o x 3 q ) 在毛。中当第一种产品出现缺货时，使用第二种产品和第三种产品的剩余量替换 第一种产品的不足量，并且替换后第二种产品和第三种产品没有剩余，而第一 种产品仍出现缺货，设这种情形下的利润为，。( q 1 ，q 2 ，q 3 ) ，则 3 ，。( q l ，q 2 ，q ) =