（应用数学专业论文）某些泛函微分方程解得性态.pdf

y 本人郑重声 本人在导师的指 引用的内容外， 成果的内容。论 明的法律结果由 l i i i l l l l 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11111liii1 1 1 1 1 i i i i l l l l y 1814 5 7 0 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人 授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在5 年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密吼 学位论文作者签名：张侑 同期：砒年j 工月k 日 于 册日 ，忍批 名 三 麟啤 刻跏 导期指日 某些泛函微分方程解的性态 摘要 在本文中，我们首先讨论了二阶泛函微分方程 戈( ，) + p ( f ) 戈( f ) + g o ) x o ) + c ( t ) x ( t - r ) = 0 的稳定性，其中g ( f ) = g l ( f ) + q 2 ( ，) ，p ( f ) = b ( f ) + p 2 ( ，) ，q l ( f ) 0 ，或( f ) 存在并连续，且g ，( f ) 非减；然后我们研究具有正负系数的一阶中立 型微分方程昙 x ( f ) 一尺( f ) x ( f 一，) 】+ p ( ，) z ( t - - r ) 一q ( ，) x o 一万) + 厂( r ) = o 的振动 性，其中p ，o ，r c ( t o ，o o ) ，r + ) ，f ，万r + ，f 万这里我们主要是考虑当 厂( f ) 0 时方程的振动性。 本文的第一部分，通过向量变换将二阶方程变为一阶方程，然 后利用一个等式代换将时滞项替换为积分形式，再通过矩阵变换将 积分形式中的一阶导数换为一般形式。接着用李雅普诺夫第二方法， 并对等式放大和变换以及利用推广的勒茹米幸定理，于是得到了方 程分别对于时滞项系数等于零和不等于零两种情况在一定条件下的 一致稳定性、等度渐近稳定性和一致渐近稳定性，并讨论了在系数 是特殊的情况下方程的稳定性，从而得到了关于基本定理的几个推 论。 本文的第二部分，我们先把方程的等式变为不等式，然后讨论 方程左端的积分式y ( f ) 当r ( f ) + n q ( s ) d s 1 时讨论在不等式的最终 正解x ( r ) 有界和无界两种情况下均有y 。( r ) o 且y ( f ) o 成立，接着讨论 t 当r q ) + f _ m q o 1 时在一定的条件下有y ( f ) o 且y ( f ) 0，磊o ) e x i s t sa n d i sc o n t i n u i n g ，a n dq l ( f ) i sn o tad e c r e a s i n gf u n c t i o n t h e nw ec o n s i d e r t h en o n l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v e c o e 伍c i e n t s 瓦d 【x ( f ) 一川x ( ，一厂) 】+ p ( ，) x ( f f ) 一q ( 州卜万) + 巾) ：o w h e r e p ，q ，r c ( t o ，o o ) ，r + ) ，f ，万尺+ ，r 万t h eo s c i l l a t i o no ft h e e q u a t i o nw i l lb em a i n l yd i s c u s s e di nt h ec a s eo f 厂( ，) 0 i nt h ef i r s tp a r to ft h e t h e s i s ，b yu s i n gav e c t o rw et r a n s f e rt h es e c o n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o nt ob eaf i r s td i f f e r e n t i a lo n e a n dt h e nr e p l a c et h e r e t a r d e dp a r tt ob ea ni n t e g r a lf o r mw i t hac e r t a i ne q u a t i o n a f t e r t h a t ，i n o r d e rt ot r a n s f e rt h ef i r s td i f f e r e n t i a lf o r mt oag e n e r a lo n ew el e tt h e v e c t o rb ea n o t h e ro n e f i n a l l y , m a k i n gu s eo ft h es e c o n d l y a p u n o v 7 m e t h o d ，w em a g n i f ya n dt r a n s f e rt h e e q u a t i o n a n du s e a r a z u m i k h i n t y p et h e o r e mi naw i d e rw a yi no r d e rt og e tat h e o r e m ， w h i c hi n c l u d e st h eu n i f o r ms t a b i l i t y ，u n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e e q u a t i o nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n sw h e nt h ec o e f f i c i e n to ft h er e t a r d e dp a r t b eo rn o tb ez e r o w i t hs p e c i a lc o e f f i c i e n t s ，w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h e e q u a t i o na n dg e ts o m ec o r o l l a r i e so ft h eb a s i ct h e o r e m i nt h es e c o n dp a r t ，f i r s t l yw el e tt h ee q u m i o nb ea ni n e q u a t i o n ，t h e n w i t hc e r t a i nc o n d i t i o n so ft h ec o e f f i c i e n t sw ep r o v et h a t ，t h ei n t e g r a lo f t h el e f t p a r to ft h ee q u a t i o n 少( f ) ，n om a t t e rt h ee v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o no ft h ei n e q u a t i o ni sb o u n d e do ru n b o u n d e d ，s a t i s f i e s y ( f ) 0 a n d 少( f ) 0 a f t e rt h a t ，u n d e rt h ec o n d i t i o no fa n o t h e ro n e ，w ea l s op r o v e t h ee x a c t n e s so fy o ) 0a n d y ( t ) 0 ，k ( t ) 0 时方程在x = 0 时的稳定性。1 - 1 4h36ypr 【2 】和ctap 撤1 4hck1 41 4 3 】也得到了类似 的结论。 对于上述同样的七( f ) ，在1 9 6 1 年kt r lu0b 【4 】提出了新的论点，即若 g ( f ) o ， 厂( 1 j i ( ，) 卜七( f ) ) 刃 0 ， l o ve x p ( 一fp o ) , i s ) a t o ，如果当g ( f ) 0 时，方程戈( f ) + p ( f ) 戈( f ) + 口( f ( f ) = 0 的x = 戈= 0 解 是一致渐近稳定的 1 9 8 0 年，钱学森和宋健【7 指出了一个紧急的任务要给出严格而又使用简便 的准则来判定变系数线性系统的稳定性，因为方程在工程学、强性力学、电 学和各种振动问题上都很有实用价值。在过去一些年中很多数学家通过变换 工( ，) = y o ) e x p ( 一乏1f p ( f ) 班) ，其中，( ，) = p ( ，) 一丢矽( ，) 一百1p 2 ( f ) ， 把方程 戈( f ) + p ( t ) y c ( t ) + q ( t ) x ( t ) = 0 简化为j j ( f ) + ，( f ) y ( f ) = 0 。张学铭【8 】已经详细总结了 各种充分条件，可以保证该简化方程的所有解的稳定。八十年代以后很多关于 该方程的稳定性结果在各种期刊上相继发表。 本篇论文中，我们讨论了带有时滞项的二阶泛函微分方程零解的稳定性。 1 2重要引理 引理1 2 1 若存在连续泛函v ( t ，x ) ：r xr ”专r + ，关于x 满足局部李普希茨条 件，使得 ( i ) “( 1 x 1 ) v ( t ，x ) v ( 1 x i ) ，f r ，x r ” ( i i ) 如果矿( ，+ j ，z o + s ) ) q v ( t ，x o ) ) ，s - r ，o 】，q i ， 则有v ( t ，z o ) ) 6 ( ，) y ( ，x ( ，) ) 其中u ，v 均为楔形函数，w ：r + 专r + 为连续函数，i j lw ( s ) 0 ，o 0 ) 8 ( t ) 为连续函数r 8 ( t ) 0 ，m ( i i i ) i 万o ) a t + 0 0 那么，方程面d r = ，( f ，t ) 的零解一致稳定。 证明：令v ( t ，t ) = s u pv ( t + s ，一( s ) ) ，t r ，薯r 那么存在e - r ，0 】，使得v ( t ，五) = v ( t + s o ，薯( ) ) ，则= o 或者- s o 1 ，则由条件( i i ) ，就有v ( t ，x ( ，) ) a ( t ) v ( t ，x ( ，) ) 令矽( 矿) = v ，则：r + _ r + 连续，且矽( f ) 0 ，( s o = 0 ) 那么就有f q t ，x ( f ) ) 6 ( t ) v ( t ) ，又由于v ( t ，薯( 0 ) v ( t ，葺) ，所以由条件( i ) 可 得： z f ( i 薯( o ) 1 ) 矿o ，x t ( o ) 0 ，使得 如果口v ( t ，x o ) ) ，v ( t + s ，x o + s ) ) m i n f l o ，v ( t ，x ( f ) ) + ”) ， s 【一，0 】 那么1 1 ( t ，x 0 ) ) 一a ( f ) ( w ( 1 x ( f ) i ) 一仃) 其中u ，v 均为连续楔形函数； w ：r + - - - r + 为连续函数，且w ( s ) 0 ，0 0 ) ，五( ，) ：r r + 连续， 且厂兄( s = 栩，x ( f ) 是方程鱼d t = f ( f ，薯) 的解 则有： ( i ) 方程的零解一致稳定且等度渐近稳定； ( i i ) 并且，如果除了以上条件外，v m 0 ，3 1 = ，( 肌) 0 ，使得 一+ j j , r s ) d s m ，r 那么方程零解是一致渐近稳定的。 注：此引理即为 2 3 q u 的定理2 1 。 引理1 2 3 如果存在连续泛函v ( t ，z ) ：r xr ”r + ，关于x 满足局部李普希茨 条件，使得 ( i ) “( i x i ) v ( t ，t ) v ( i x l ) ，f r ，x r ”； ( i i ) 如果jg 1 ，v ( t + s ，x ( ，+ s ) ) q 矿( f ，x ( f ) ) ，s 【一，0 】时 有v ( t ，x ( f ) ) 艿( f ) y ( f ，x ( f ) ) ，其中6 ( t ) 为连续函数； ( i i i ) 万( r ) o ，厂万。妙= 棚，并且存在w ：r + 一r + 为连续函数，并满足 v ( t ，x ( f ) ) w ( i x ( f ) 1 ) 一仃 那么方程的零解一致稳定且等度渐近稳定，并且如果除了这些条件外，对 ：t - v m 0 ，3 l = l ( m ) 0 ，使得 f “一万( s ) 凼 m ， f r ，那么零解一致渐 近稳定。 证明：( 只需要证明条件( i i ) 以及( i i i ) 暗含引理2 中的条件( 2 ) 即可) 对任意常数p o 0 ，并且存在u 使得0 1 ，满足 v ( t ，x ( ，) ) + 甜q v ( t ，石o ) ) 即有v ( t + s ，x o + j ) ) q v ( t ，x ( f ”，由( i i ) 可得：矿o ，x o ) ) 万( ，) y o ，x ) ) 再根据( i i i ) 可知，存在w ：r + _ r + 为连续函数，并满足矿( f ，x ( f ) ) 2w ( i x ( ，) i ) 一仃 另b 么： 1 2 ( t ，x ( f ) ) 8 ( t ) v ( t ，x ( ，) ) 一【一艿p ) 】v ( t ，五) - 【一6 0 ) 】- 【w ( i x ( ，) i ) 一c r 】 证明完成。 1 3 主要结果 定理1 3 1 对于方程戈( ，) + p ( ，) 戈( ，) + 9 ( ，) x ( ，) + c ( r ) x ( ，一f ) = 0 ( 1 ) 假设对f t o ，满足 p ( ，) = 局( r ) + 见( ，) ，g ( ，) = g l ( ，) + 吼( ，) ，q l ( ，) o ，口l ( f ) 存在并连续，且g l ( f ) 非减； 存在一个连续函数3 ( 0 ，常数如a 0 ，q 1 ，成豆卜夕u 杀仟； 卜卜棚m 如厕+ 鸳 吲拶删卜鬈? p b 崩m m a 如厕+ 嗨铲删卜i 娜删 其帕归玳) + 器， 特别当p 2 ( t ) = 9 2 p ) = 0 时，条件就变为： 卜) - _ 棚嘲五厕+ 鬻枷溉陋) 卜崩雄) _ 2 五如厕+ 丽霹l c ( t ) l + 1 2 c i ( f ) 铂陋) 则， ( i ) 若厂3 ( t ) d t 0 ，存在，= ，( m ) 0 ， 使得f “卜万( s ) p m ，那么方程的零解一致渐近稳定， 当f o ) = o 时，只需存在彳 o ，口 o ，舍得e x p ( f o s ( s ) 幽) 彳p 一半f f 0 对所有， - t o 成立，则方程的解x = 戈= 0 一致渐近稳定。 证明：令x ( d = ( 二) ，贝1 1 将x ( t - r ) = x ( ，) 一f f 戈o + 9 ) d 9 代入方程，即得 地) + ) 地) 州咖( f ) 州f ) 卜) 一地+ o ) d o = o j f ( f ) = 一p ( f ) 文( f ) 一【q ( f ) + c ( f ) 】x ( r ) + c ( f ) 文( h o ) d o 令彳= ( 兰9 。，一c 9 ，一1p 。，) ，b = ，f r 戈。+ 臼，d 目 ，那么 j 。，= ( 兰g 。，一c 。，一1p 。，) x 。，+ ( 三，戈。+ p ，d 口 = 似( f ) + b 令硼，= ( 厕2 厕卜叫咖u x ( t ) = ( u r ) = a u y + b = 倒( ，) + b ( u r ) = d 】，+ u 矿= 彳己腰+ b u - 1 咖+ u 一1 叫：u 一1 4 w + u 一1 b u 一1 矽y + p = u 一1 彳u 】，+ u 一1 b p = 缈a u u 一1 0 ) r + u 一1 b 肌u = 匕厕赫) = m = ( 砰一名) 厄丽 u 一1 彳： u 一1 彳u ： 丛匝垒 mm 如丽丑 j i 广 m 厕五 mm 友厄丽互 面一 m ( 兰【g 。，+ c 。，】p 。，) 五厄丽一2 2 p ( t ) m 友压两 p ( ，) mm ( - a a 2x f 磊( t ) 型 型 蒸m mmmmm一一一mm 二垒坐坐剑一垄堕匕堕二型幽 mm 二垫盟剑一垄亟 垄堕二燮塑 mm 鸳【g ( 于) + c ( ，) 】2 q4 q o ) l 五t 纺- - ( - ，- ) - - 一五p o ) j 一广 1 mm 丑如) + c ( f ) 】。a 4 q ( f ) 【- ；【2 x q - ( f ) 一2 q p ( t ) j 一厂一 1 mm 二业尘型二垄堕 兰堕二坐塑 m 分子分母同乘以2q , 4 而，则有 型 蝴幽籀 鳖 幽 螳 鳢 盟一遨 1 6 矽= 匕厕赫 = 0 心玎b o u 。矽： 丑丽五 mm 如而互 了万一 m 一鸳幺( f ) 2 m 压万 一五五口：( f ) 2 m x f 磊( t ) u a u u u ： = 隐 f ，o 0 、 l 鬻怒jl2 厕2 厕j 乃磊( ，) 2 m 压丽 矸磊( ，) 2 m x f 磊i ( t ) 盟 嘲一 一一一蜥 竖 生 堕 地 乏一 一 一 塑m一一_鳖峻 篓 1 7 u 一1 b = 三笠型型二三刍垄逦咝! 堂幽剑笠型 2 m , 4 瓦( t ) 丝迈。( f ) 【g ( ，) + c ( ，) 】+ 2 矸g 。( f ) 瓦。两一2 五如p ( ，) 吼( f ) 一 如当( r ) 2 m 、q l ( f ) 。一1 = = = = = = = 。一 三鱼垄逦幽型盥剑二三笪型型二塑塑 2 m , f 磊l ( t ) 。 五再而 m 五压丽 m 如 m m 警胁+ o ) d o 警胁+ o ) d o o c ( ，) 戈( ，+ o ) a o 矿= ( u a u u 一1 0 ) r + u 一1 b 三笠型型二圣刍垄巫幽塑尘型l 垡塑 2 m 也万 三垒垄型型二三笠逝幽塑! 】二兰鱼丝巫刍堑盟 2 m 1 8 _ 一一- 其中 兰笠盈业盟剑兰笠型应二三刍垄型型二刍垄型 2 m x q l ( f ) 兰刍垒堑! ! ! 尘 ! ! 尘! ! 尘! ! g ! ! 二三笠里g ! ! ! g ! 二笠刍( f ) 2 m x q l ( f ) + u 一1 召 三笠型型二三刍垒巫鲤塑型 垒塑 2 m x q l ( f ) m+ 三鱼垄丝堕! ! 二兰笠鲤) ) + c ( r ) 卜2 鸳吼( f ) 扫两+ 五确( f ) 2 m 、 q l ( f ) 三竺盈业盟剑三笪型亟二三刍型塑尘二垒弛( r ) 2 m 4 q , ( t ) 兰刍垄! ! ! 尘【! 堡! c o ) + g 。o ) 卜2 矸p o ) g o ) 一砰或( r ) 2 m x q 1 ( f ) + m+ 警胁+ o ) d o 警胁+ o ) d o 絮2 m f 0 文( ，+ 口) d 乡 x q l ( f ) i - r 、 。 絮2 m f 0 膏( ，+ 秒) d p x q l ( ，) j - t 、 7 ，代入，即得 臼 9 抬 抬 伽 州 f 地 m r l r l 警警 1 9 夕：l 一一 2 m x q l ( f ) 2 3 学p ( t ) q ( f ) 一2 丑如厕+ c ( f ) + g l ( ，) 】+ 确( ，) 乃+ 2 q a 2 p ( t ) q , ( t ) 一2 矸厕+ 酬一2 a 2 2 q ，( f ) 厕+ 五如 乃+ 2 麓：丽【g ( f ) + c ( f ) 卜2 q 2 q 。( f ) ：丽一2 q 2 2 p ( t ) q ，( f ) 一 五香，( f ) ) 儿+ 2 c ( f ) 如厕文o + o ) d o 2 五五：i 万【g ( f ) + c ( ，) + g ，( ，) 卜2 2 ，2 p ( f ) g 。( r ) 一矸磊( f ) 奶+ 2 c ( ，) a ：i 西戈o + o ) d o 将m = ( 矸一鬈) 丽代入，并把2 q ，( f ) 约去，则有 y= 卜，一蔫陬卅m 心小鬻卜 卜一丽2 【g ( 卅酬一名厕+ 筹卜 焉陬卅酬+ 砰厕m 础，一筹卜器胁州臼 陬卅，舷，一帮 奶+ 器州秒 l = 一 硅一砖 m + 器 + 丽4 ；q 陬卅嘲吲纠卜 h 矾，+ 器 + 南陬卅酬+ 名厕卜 壶 2 0 2 1 令肿) + 器叫舭 y= 卜一撅卅2 a 如厕+ 揣k 俐，卜 卜砸m 矸哟厕m 枷盖k 州叫卜 卜，厕啦m h 枷，+ 番k 州纠) 耽一器m 州p 卜厕椰一椭卅揣k 州纠卜了c ( t ) 2 拶af ，”州乡 设d ，印“咒。1 ，函数y ( f ) = 三( 一矸) ( y ? + y 2 ) ，那么由上式得到关于矿的导 数矿( ，) = 三( 誓一矸) ( 2 y 。p 。+ 2 y 2 y 2 ) = ( 胃一砰) “舅+ y 2 y 2 ) 一墨一砖 = = i 一 墨一誓 程一譬 哇一技 m 棚一霹p 2 ( t ) + 2 2 q a ：厕+ 携k 州纠卜 卜，厕m 地m 铡卅南k 州纠卜 器胁叫 + 啪砸h 矸哟厕m 枷南k 州纠卜 壶 2 2 厕椰嘞：+ 揣k 州叫卜 器胁叫 = 卜一鬈p 2 ( t ) + 2 4 4 厕+ 蔫k 州州p 一 卜，厕啪雄m 捌卅南k 州叫k 一 鬻胁删一 b 厕埠一物卅揣k 州叫p + 卜雄川砰哟厕m 删+ 盖k 州纠卜一 鬻胁删d p = 卜一名p 2 ( t ) + 2 7 q l ：厕+ 蔫k 州纠p 一 卜厕坤嘞：+ 蔫【9 2 州叫卜 卜，厕m 蛳m 榔，+ 番k 州纠+ 2 3 一一_ w m 舭) _ ( 矸均厕一焉【9 2 州纠卜一 鬻m 峒学伽叫厕l 叫一f = 卜一p 2 ( t ) + 2 五a 2 厕+ 揣k 州叫p 一 卜厕坤嘞： + 揣k 州叫卜+ 即矿o ) = ( 名一矸) ( 乃舅+ y 2 y 2 ) 一 掣戈。+ 目，d 秒 = 卜一名p 2 ( t ) + 2 2 忆厕+ 格k 州f ) 】 订一 卜加州p 2 ( t ) + 2 a ；a 2 厕+ q 2 ( t ) + c ( t ) y 2 z + 腊k 州纠卜 c ( ，) f 五m + y ：1 孟。+ 秒，d 乡 = 卜嘞：嘲五厕+ 蔫k 州叫p + 卜州p 2 ( t ) - 2 a 以厕一蔫k 州叫k + 2 4 一一一 骠k 州纠卜 0 ，) ( 如m + 奶) 叠。+ 口，d 秒 b 沪棚嘲如厕+ 鬻 | 9 2 ( 叫咔1 卜 卜州p 2 ( t ) - 2 a t a 2 厕+ 嘲 + k | + i 砸，i ) 华+ 刮1 4 y ，i + f 五此1 ) 厄丽 f 量c ，+ 秒，d 目j ) 卜沪名p 2 ( t ) + 2 2 ，2 z 厕+ 搿 k l + | 砸) i 卜m 名p z ( t ) - 2 & a 2 厕+ 嘲 k 咧咔l 酬( 1 五乃i + i 儿i ) + + 掣+ i 膏( ，+ 乡，l d 秒 = 卜卅2 如厕+ 铲m + 躬 、训吖 砰 芘 、lrj、，j1jj 3 a 2 k ( t ) - 2 a ，2 z 厕+ 置 警m + 竺! 掣l 戈。+ 秒，l d 目 1 _ = 7 翥彳孬_ 上f l 工u 十川“口f 由x = u y 得： 文o ) = 一如m i 两+ a y ：i 万 戈( ，+ 秒) = 一五乃( ，+ p ) 厕+ 3 a y 2 ( t + o ) 厕 因此就有，i c ( 0 1 k o + o ) l d o 器m y l ( t + o ) f f q l ( t + o ) + 2 1 y 2 ( t + o ) 4 q ( t + 0 ) i 卯 警( 1 y 2 ( t + o ) l + i 乃。+ 臼) i ) d 口 i c ( f ) 磷( 1 y 2 ( f + 目) i + + o ) 1 ) d o 若jq 1 ，满足y ( 】，( 善) ) y ( 】，( ，) ) 9 2 ， 则少2 ( 善) y 2 0 ) 9 2 ，t - 2 r f f l y ( 善) l q l y ( t ) i ，t 一2 r 告 那么( y 2 ( t + o ) 1 + y l ( t + o ) ) d o q ( 1 y ) l + l y 2 ( ，) i ) d 秒 = 川( ) l + l y 2 ( ，) i ) i c ( f ) 五1 ( i 如y ，l + l a 耽1 ) ( 款o + p ) i + i 乃o + o ) 1 ) d o 陋) 名r q m ( r ) i + l y = ( t ) 1 ) ( ) l + l y 2 ( ，) 1 ) = 阻) 明y 。( f ) l + l y e ( t ) ) 2 1 2 c ( t ) 名f q l ( 拜( f ) + 隽( f ) ) 2 6 一一_ 嘶，卜卅2 丑如厕+ q 垮铲咱m + 卜h 如厕+ q 蚓铲m + 2 c ( ，) 碍f q l ( 少衲+ 躬( f ) ) = 卜卅2 五厕+ 鸳 垮铲刊。 + | 2 砌i 卜h 五厕+ 鸳 垮铲恻， + | 2 砌i 若存在一个连续函数艿( f ) 和常数五五o ，使得 一；2 k ( t ) + 2 ；q 2 2 厕+ 名 掣礓卜1 2 c 娜， = 棚嘲五厕+ 鬈 拶删卜铂印 则嘲晰( 砰+ y 2 ) 2 研2 如果f s ( o d t + ，则由引理1 2 1 可知方程( 1 ) 零解一致稳定； 再由引理1 2 3 可知定理中的( i i ) 与( i i i ) 成立。 注：显然， 9 】中的定理1 即为本定理中c ( f ) = 0 的特殊情况。 1 4 几个推论 假设以d 邓z ( f ) o ，贝岫啡( f ) 吲砸脚+ 器 那么我们有以下推论 + 衍 圬 、lrj l，j 2 7 一一一 推论1 4 1 取删，纠一邮) + 揣化i ( ，) 哪i 若g ( 帕 撇正溅且厂卜m ，+ 拱邮抑i 办 棚硎方醐，的零 觋啪) = 毋嘲五厕+ 鬻恤恸i “+ 揣+ 2 c ( t ) r q ，i i k ( o l 川卅器+ 2 c ( t ) r q i = 万o ) 删= ) i 1 2 k ( t ) - 2 如厕+ 鬻也i 铂l = 拱吡i 列 邮卜+ 拱吡i 刊 若m ，砂= 厂卜) l _ 砸，+ 揣唯砸加i 卜 o ) ，c ( ，) o 为常数c ，若o 彳p ( f ) 口；， 其中口l ，a 2 为常数，则方程( 1 ) 的解x = 戈= 0 是一致稳定且等度渐近稳定。 矾协一愕譬，钭 万m 2 。为常数。 取 ：下1 ，五：磊，万( f ) ：一1 、，m 2 8 一一 删= 母2 如厕+ 器+ 1 2 砸g = 一朋卜+ 别+ 2 厕+ 丽m e 牛删 = 一唧( f ) + 2 6 + m 聊2 6 1 c _ _ _ 5 1 + 1 2 硎叼 一聊a ? + 2 b + m ，行2 。 e l + 1 2 c ，刀f g 一盛牛册叼 vl f l = 一6 + 万m 2 + 2 c m r q l 一b + b 一1 1 2 c m r q + 2 c m r q = 一1 = 8 ( 0 删= 五2 k ( t ) - 2 乃厕+ 器+ g = 土mp ( r ) 一2 6 + 型m b + 1 2 c 聊钾 a 2 _ 2 b + m 2 1 c mm b + 1 2 c 聊叼 一2 盛n 枷q 1 h 1 一1 b = m 等+ 2 c m r q i 一b + b 一1 一 2 c m r q + 2 c m r q = - 1 = 万( ，) 2 9 一_ - 由卡万( f ) 0 且j8 ( t ) d t = 一，根据定理1 3 1 中的结论( i i ) 可知零 解一致稳定且等度渐近稳定。 推论1 4 3 假设厂 i p ( f ) i + 1 2 c ( r ) f q d t 0 且c l + 妒( f ) 为非减正函数，广l 矽( ，) 印 0 ) ，吼舷， 一棚嘲五厕斗，+ 吲舻卜i 铂i = 一七c 。+ 卫三铲一p 。， + | 2 c c ，f 口l l 满足定理1 3 1 中的条件，由方程可知， p ( ，) = 鲁一l n 2 ，g ( f ) = 2 丑，则a ( r ) = 鲁一h 1 2 ，仍( f ) = 。， 删= 2 甜，删= 。，c ( ，) = 可1 ，f = 互1 那绷小枷器= 鲁乩2 + 磐：鲁 令川坼籼r ) + 揣恤咧 3 1 t t 1 口 = + 一+ 上 8 8 2 2 = ；垮 删= 瑚嘲五厕+ 鬻恤溉l “+ 拱+ 1 2 嘶m i = 一鲁+ 砉+ 手万c d = 2 - 2 k ( t ) - 2 五厕+ 鬻+ 1 2 c ( 恸l = 拱+ 2 c ( t ) r q i = ；垮6 ( 0 显然7 8 ( t ) d t + o o ，故由定理1 3 1 中的( i ) 可知零解一致稳定。 例1 5 2 琊) + ( 虿3 “n ，卜) + 9 m ) + 5 1 0 。3 x ( t - 5 - 1 0 - 2 ) = 。 其中刖= 三3 一s i n f ，= 9 = 3 2 ，c ( f ) = 5 1 0 一，f = 5 1 0 ， 取g = 2 ，显然o 彳= 丢p ( r ) 三= m ) = 删+ 器= 肿) = 肿) 令一m a x i 。笔q ，譬，丁2 0 0 c ( t ) ) = m a x 地湖一 贝0 脚2 5 1 0 3 = 1 8 2 5 1 0 一= 8 1 2 1 0 - 2 0 ，仲得 f + f - 万( f ) a t = f 州l d t = f + f 一，= ，：m + 1 m 故由定理1 3 1 中的( i i i ) 可知方程零解一致渐近稳定。 2 1引言 第二章一阶中立型微分方程的振动性 振动性问题也是微分方程讨论的重要问题之一，对于一阶中立型微分方程 导【z ( ，) 一向( ，) x o 一，) 】+ p ( ，) x o f ) 一g ( ，) x p 一万) ：0 ( 参 d t 的振动性，已经有很多学者作了研究，通常是通过微积分把方程的振动性的研 究转化为它所对应的特征方程根的研究，或者利用s h a u l d e r 不动点定理与 b a n a c h 不动点等方法。 1 9 8 8 年，k f a r r e l l e a g r o v e 和g l a d a s 1 0 在“a p p l i c a b l e a n a l y s i s ” 上发表了名为“n e u t r a ld e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ”的文章，其中对于方程 罢 y p ) + p y ( 卜州+ q i y ( f q ) 一口2 y o 一吒) = 0 其中p r - o ) ，q lq 2 ( o ，o o ) ，f ( o ，o o ) ，q ，吒【o ，o o ) 的解的振动性得到了一个必要条件，即为： f q l 日2 如果p o ，那么吼a 2 - r 仃, f 【如果p 1 中任何一个成立均可以得到方程的每一个解都振动。 另外，在1 9 9 0 年，两位作者【1 2 】在“c a n a d m a t h b u l l 上发表的论文 “o s c i l l a t i o ni nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e c o e f f i c i e n t s ”中对上一篇文章中的所设的条件进一步研究得到了更深刻的结果。 b s l a i l i 和b g z h a n g 【1 3 】关于方程导h ( ，) 一p x ( t r ) 】+ g ( f ) x o 一盯( f ) ) ：0 的解的振动性也得到了一个充分必要条件：当且仅当 ：d 【x ( f ) 一o f ) 】+ g ( f ) x o 一盯( ，) ) o 没有最终正解；同时他们还讨论了方程 解的振动性的一个充分条件。 19 91 年，s g r u a n 14 在文章“o s c i l l a t i o n sf o rf i r s to r d e rn e u t r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s ”中得到了方程 丢瞰沪哪吖) 】+ 加) m 可) - g ( m ( 卜) o 解振动性的另一个充分条件，即 ( 口) c ； ( 6 ) 存在， - t o ，使得p ( f ) q t - ( o r - i t ) 】，对v ，- - t 1 - - - t o ； ( c ) l i m i n f d s 三l i m i n ffp ( s ) d s ! ； 1 o e l - - t 。, i t 一6 e ( d ) 上q ( s ) d s 0 时条件( 2 ) 中的m ，m 均应该大于0 ；当f ( t ) 三0 时m = m = 0 本 文的目的是把【1 】的结果进行推广，思路与【l 】基本相同。对于f ( t ) 兰0 的情况的 讨论在 1 中已经有了详细证明，所以在下面的引理及定理的证明中我们只考虑 f ( t d 0 的情况 如通常所述，如果( 1 ) 的解有任意大的零点，称它为振动的；否则称它为 非振动的。如果( 1 ) 的所有解为振动的，则称( 1 ) 为振动的。 2 2 基本引理 7 1 理2 2 1 假设( 2 ) 、( 3 ) 和( 4 ) 均成立，且足( ，) + f q ( s ) a s 1 ( 5 ) j r + b 3 6 令x ( ，) 为不等式 嘉m ) 一肌) 叫】+ 川) m 叫一) 川一万) - t - 巾) o ( 6 ) 的最终正解，并且 令j ，o ) = x ) 一r ( t ) x ( t - r ) - l 。 q ( s ) x ( s - 6 ) - f ( s ) d s ( 7 ) 一- - t i d 那么，y o ) 0j t y ( t ) 0 ( 8 ) 证明：由于x ( f ) 是( 6 ) 的最终正解，一定存在 t o ， 使得x o 一，) 0 ，x ( t f ) 0 ，x ( t 一万) 0 ，其中，由( 6 ) 和( 7 ) 可知， y ( f ) = 【x ( ，) 一r ( f ) x ( ，一，) 】- q ( t ) x ( t 一万) + q ( ，一r + 8 ) x ( t r + 8 一万) + 厂 ) 一o f + 万) 一p