（应用数学专业论文）两类椭圆方程的扩展混合元数值模拟.pdf

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n o n l i n e a r ，m 波e d 矗n i t ee l e m e n tm e t h o d ， m i x e df i n i t ec a v o l u m em e t h o d ，唧a n d e dm i x e df l n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t r i a n g l e g r i d s ，o p t i m a le r r o re s t i m a t c c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 5 4 山东师范大学硕七学位论文 第一章椭圆问题在三角网格剖分下的扩展混合体积元方法+ 1 1 引言 考虑如下自伴随椭圆问题 ， 坷( 胛_ ，饥q ( 1 1 1 ) i ( 6 ) v “n = o ， d n 锄 其中2 为r 2 中的多角形域，n 为边界d n 上的单位外法向量。n 为对称且 一致正定矩阵，即存在o ，0 2 ，使得 q l 7 冬1 a 2 f r 在实际应用，例如多孔介质流的模拟或者半导体器件中电流的流动，我们需要 同时获得压力与速度的近似，由此产生了混合元方法，满足了上述要求混合元方 法适用性很强，可以解决流动方程5 ：及其他方面的一些应用方程，例如油藏问题二 相流的控制方程可以写成部分的流动方程( 即分为整体压力和饱和状态下) ，混合元 方法可以有效的解决压力方程但该方法亦有缺陷，它未能应用到地下水问题中， 对油藏问题一般给出整体流量型边值条件，该条件容易与混合有限元方法结合但 是对于底下水藏，包括单个流体流量和压力结合的复合条件，必须详细给出。有时 很难用整体方程刻画，水理学家 6 】一般采用双压力方程，因为复杂的单个边值条 件易于处理可是由于渗透速度很慢，双压力方程参数可能很小，那么它的倒数不 可用，因此，双压力方程中直接应用混合元方法一般不可行 例如典型问题( 1 1 1 ) ，若扩散系数。为小张量，那么对问题直接应用混合元方 本章的部分内容已发表在l 科学技术与工程 5 山东师范大学硕士学位论文 法不可行，为此我们将问题( 1 1 1 ) 改写成下面系统 其中 盯+ o a = 0 a v = 0 、- o = i 、 v u n = 0 n ， o n ( 1 1 2 ) ? n z a n 盯= o v 牡a = v 让 引入空间 日( d u ；n ) = u ( l 2 ( q ) ) 2 ：d f u l 2 ( q ) 对应范数为 备( = 2 + i i 战圳1 2 令空间 v = 掣( 啦u ；n ) ：v u n = 0 ，d n a n ， 1 1 ，= l 2 ( q ) ， a = ( 2 f q ) ) 2 ， 利用格林公式，问题( 1 1 1 ) 可变为下面系统： 求( 盯，a ：u ) y a w 7 使得 n )( 仃，) + ( a ，正) = 0 ， v f z a ， 6 ) ( a ，p ) + ( u ，v 正，) = o ，v u ( 1 ，1 3 ) c ) ( v ，“，) = ( ，u ) ， v “h 扩展方法由陈章新在1 9 9 8 年提出，而且进行了误差分析，并对某些非线性椭 圆问题做到了最优误差估计该方法的优点是可以直接应用到双压力方程，因此可 以处理单个边值条件，而且适用于小参数微分方程，不需要求逆，因此可以解决微 扩散和低渗透性微分方程 6 山东师范大学硕士学位论文 本文主要目的是考虑问题( 1 1 1 ) 在三角网格剖分下的扩展混合体积元方法 混合体积元方法是r u s s e l l 【1 首先引入的，后来j o n m t 9 】通过数值例子对该方法 进行了验证这种方法的主要技巧是通过引入一个将试探函数空间映射到检验函数 空间去的迁移算子讹，将p e t r o - g a l e r k i n 格式与标准有限元g a l e r k i n 法或混合元 法联系起来由于这种方法不但继承了有限元法的高精度以及差分法的计算简单等 特点，还具有其独特的保持物理量间的局部守恒性的优点，从而自从此方法提出以 来，已获得了很大的发展例如c h o u8 i l dk 、吼k 【3 】将其研究推广到矩形网格以及 般的四边形网格；k w a k 【i 0 】研究了拟线性椭圆问题；芮洪兴【l l 】研究了抛物问题 在矩形网格下的对称的混合体积元格式；姜子文等f 1 2 1 q 研究了s o b o k v 方程以及 积分微分方程；芮洪兴【4 】对椭圆问题在矩形网格剖分下进行了扩展混合体积元数 值模拟但是到目前为止大多数文章研究的都是在矩形网格剖分，而对于三角形网 格剖分，由于其复杂性，研究者甚少 本文提出了问题( 1 1 1 ) 在三角网格剖分下的扩展混合体积元方法并对该方法 进行了误差估计，得到了最优误差估计 本文主要内容是，在1 2 中我们提出问题( 1 1 j 1 ) 的扩展混合元格式，在1 3 中我们引入一些引理，在l4 中我们证明格式解的存在唯一性，最后1 5 给出了 格式的误差估计 对文中将出现的一些记号做必要的说明： ( ) s 表示l 2 ( s ) 空间的内积，其 相应的范数为”恬，上述定义当s = q 时，在不引起混淆的情况下可将s 省略 另外，我们用l l 。，表示通常s o b o l c v 空间i i t ”( n ) 的范数，特别当p = 2 时， 0 。= ”，”j i o = ”队另外c 代表与h 无关的常数，不同地方可代表不同 的值 1 2 扩展混合体积元格式 令9 为n 的原始三角剖分，记口是以b 为重心的三角形单元。节点取三角 7 山东师范大学硬士学位论文 形边的中点，其中最尸2 、p 3 尸瓶为内部节点，尸也+ 。，氏+ ，p 为外 部节点基于原始剖分我们选用最低次的r - t 空间为试探函数空间k f h k ， 其中 玩= f 矿：i = + 如，c + 姆) ，v k 9 ， l = 叫 p 矿： i i = c d n s t ，v k 9 ) 构造原始剖分g 的对偶剖分g ，节点p 对应的对偶单元砟是由内部为四 边形，边界为三角形所构成的如下图所示，内部节点b 为，= a 1 a 2 也与 k 如= a l 如j 4 5 的公共边中点，则四边形a 1b 2 a 3 8 t 为对应节点忍的对偶单 元，对边界节点尸6 ，对应的对偶单元为b 3 a 5 a 4 易见对偶单元毛位于二原始 单元j 吒( a a 2 凡) 与蜀r ( 4 1 a 3 如) 内部 畦彗 肌， 8 山东师范大学硕士学位论文 定义空间 r = ( ( u ，) ：u ，= n s o n k p n 风， = 冗，l ) 其中k r 为节点p 对应剖分单元右边，耽为p 对应剖分单元的左边 引入算子 “：风h h ， 其定义为 r 讥= ( 毗i 札( b ) x _ n 鬣。+ i k 。( 弓) x 巧n ) ， j = l 其中x 口表示子集q 上的特征函数 取h = “仇为对应于对偶剖分的检验函数空间，显然有cp 令 _ v _， “h 一善k 眦2 础 + j ，k i j n k r l l r 蚺h _ n d s ，、。h 5h h 则问题( 1 1 1 ) 的体积元格式为： 求( 靠，k ， ) 巩爿 如。使得 譬 ( 盯 ， 卢 ) + ( n a ，。 p ) = 0 ，v p 巩 ( a ，。“) 一6 ( “) = 0 ，v 椎乩， ( 1 2 2 ) ( v “，咄) = ( ，咄) ，v 峨“ 可以看出上面系统与标准混合元的不同之处在于检验函数为讹而不是 此格式的好处是它保持了物理世间的局部守恒性 1 3 一些引理 引理【3 - 4 】1 3 ，l | 对任意的 h ， ，“ “ 厶( 7 。1 “) = 一( r “ 饥， ) ， v 饥h ， ( 1 3 1 ) 9 山东师范大学硕士学位论文 且存在p 0 ，使得 。思黯糕猁i u 川，v u 一咄( 1 3z ) 定义空间 f 的离散范数如下： 对于任意“饥= ( 帆，h ) 以， m 艮= ( o v 帆1 1 2 + l l v | 1 2 ) 口 枷f f = | | j 1 2 + i 硼h i i 则我们有如下引理 引理( 3 j 1 | 3 2 n 为一等距算子，即 “w 0 = i l 玑v 蛳玩， ( 1 3 3 ) 且存在c 不依赖于 ，使得 f i ( 一) 珧临如l 姚，v 桃玩， ，( ，一“) ) sc 吼i | i ，v 口 ， ( 1 3 4 ) ( 盯，( ，一7 h ) f f j ) 曼c 0 盯i f l0 hl | ，v 彬h ，_ ， ( 135 ) 证明：我们只证明( 1 3 4 ) 式，( 1 3 5 ) 式，其余式子证明可参见文献【3 】 由于 ( 口矗( ，一r 矗) 叫 ) = ( ( ，一“) 吼，叫 ) + 【( “ ，训 ) 一( r ，r h ) 】 = s l + 岛， 接下来只需证明s l ，岛由( 13 4 ) 式右边控制即可 由( 1 3 3 ) 式，有 s 1i = l ( ( ，一r ) 矿 ， ) i c 0 盯 0 l ，h | i 叫 8 根据引理1 3 ，2 ， s 2 = 0 ， 1 0 山东师范大学硕士学位论文 则( 1 3 4 ) 式得证， 下面证明( 1 3 5 ) 式 令“为片1 ( q ) 一点k 的算子，具有性质 | jg 一矗g s 曲 g f l ，￥每日1 ( q ) 则对( 1 3 5 ) 式左端有 | ( u ，( ，一r ) 讲 ) i = i ( “一e “，( ，一r ) ) + ( e “，( ，一r ) 叫 ) i sc i lu 一 u ( ，一r ) 0 + i 仁 “，( ，一n ) 叫 ) c l f 牡j i lj j 叫 0 + i ( e u ，( j r ) 加 ) i ， 由此可知只需要估计f ( “，( ，一n ) ) f 即可 由( 1 34 ) 式，则有 fn ( “，( ，一“) ) | | e h n 忆 0w j i 因此只需要证明 i i “忆 c0 “忆 即可 注意对任意，有 上撕c 刚，a x = 上执u 城 且 ( 洲) ：= ( 训) ；= ；( 战嘞u ) ， ( “) ：= ( e u ) ：= o 因此 ie 乱瞪， ( ( “) ：1 2 + j ( 靠n ) ；j 2 ) a r e 口( ) 其中a r c a ( k ) 表示k 的面积 ( 1 36 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 山东师范大学硕士学位论文 及 可知 又由于 。艮：；：i 出。j 。攒 j ( e 一“艺a r ( ) f = ；f 五出”u 戕l = ；( 上圳2 ) ，r 以2 ( 肌邪) ) ，”1 2 = i “ i l ，k ( 一r e n ( ) ) ， ( e u ) ：1 2a r e o ( 耳) s iu 臣，( 1 3 9 ) 同理 i ( “) ：1 2a r e o ( ) lt 艮 ( 1 3 1 0 ) 则由( 1 3 8 ) 式( 1 3 9 ) 式及( 1 3 1 0 ) 式可知 f i l ， c f “i ：k 因此( 1 3 7 ) 式成立，可知 ( “，( ，一“) 姚) c ，刈u 饥玑 于是( 1 35 ) 式成立 根据文献1 3 】中定理3 2 的证明过程，由的任意性类似可得如下结论 引理1 3 3 存在c 不依赖于，l ，使得 ( a ，( ，一，h ) “饥) sc ，10a “9 1 0t n v a 九， ， 似，( ，一r ) ) sc j | aj j l8 叫 玑 v 叫 h ( 1 3 1 1 ) 引理f 2 捌1 3 4 “为伴随算子，郎 ( u ，r “) = ( r h u ，) ， v u ，地 ， 且当v 口= 0 时，有 ( 盯，r 。 盯) 2ci 仃i j 备( d 。) ，v 盯，j l 1 2 山东师范大学硕士学位论文 引理f 2 】1 3 5 存在与h 无关的常数c l ，满足 ( 口a ，” a ) c li ia0 2 ，v a 肌 1 4 解的存在唯一性 定理1 4 1 扩展混合元格式( 1 2 2 ) 的解存在唯一 证明：解的存在唯一性的证明等价于证明齐次方程组只有零解 格式( 1 2 2 ) 的齐次方程组为 n )( 盯h ，1 ，。h ) + ( “a ， ，f ) = 0 v ，正 以 6 ) ( a ，“) 一6 ( r “，“ ) = 0 ，v h 阮 c )( v 盯k u ) = o ， v “n l 躲黧 则( 1 2 2 ) 解的存在唯一性等价于证明( 1 4 1 ) 只有零解 显然( 口 h ) = ( 0 ，o ，o ) 为( 1 4 1 ) 的解下面证明( 1 4 1 ) 只有零解 在( 1 4 1 ) 式( a ) 中分别取肌= h ，肌= 靠，则得 ( a ，r h a ) + ( o a h ，r a ) = 0 ，( 1 4 2 ) ( “，吼) + ( n h ，“靠) = 0 ， ( 1 ，4 3 ) 在( 1 4 1 ) 式( b ) 中取= ” 则得， ( ，“) + ( v “， ) = 0 ，( 1 4 4 ) 在( 1 4 1 ) 式( c ) 中取蛳= “ 则得， ( v 吼，u ) = 0 ( 1 4 5 ) 1 3 ，llil_jli_l_l 山东师范大学硕士学位论文 则根据( 1 4 2 ) 式、( 1 4 4 ) 式及引理1 3 ，4 ，可得 ( n a ，r a h ) = 一( o - ，h a ) = 一( r o ，a ) = ( t 上 ，v 盯h ) = 0 ， 又由于n 的正则性可知h = o 从而 ( n h ，“靠) = 0 根据( 1 4 ，3 ) ，有 ci i 靠怯( d i 。) 一( ，r 靠) = 一( n h ，“靠) = o ， 因此= 0 又根据引理1 3 1 ，且注意到 ( 雠，v ) = 一( h ，r ) = 0 ， 则有 刚训怪。盔锱= 。盈桧删= 。 故u = o 命题得证 1 5 误差估计 定理l 5 1 设介的剖分三角形为正则的， 吼，h ，圳。，为体积元格式( 1 2 2 ) 的 解， 盯，a ，“) 为其真解，则存在不依赖于 ，而依赖于l | 盯忆i lv 一忆l ia 忆| | u | | t 的c ，使得 | | 仃一d 0 ( d c ，z ， i | a a l l c h ，| iu u | 1 c 证明：引入扩展混合元格式： 求( 以，儿，砒) e h k 如，使得 ， 一 i ( ) ( 以，卢 ) + ( a ，p ) = o ，v p 巩 ( 6 ) ( k ) + ( 讥，v ) = o ，v 仇 ( 15 1 ) l l ( c )( v 厅 ，u ) = ( ，u ) ， v u l 1 4 山东师范大学硕士学位论文 由文献【l 】可知，存在不依赖于 ，而依赖于i i 一忆0v 盯忆0 叫j - ，0 “l l - 的 i f 仃一亏 0 h 。) 印 ， 0a a l i c 1 ，0u 豇 0 曼c 2 ( 15 ，2 ) 一器= _ ：三裂裂篙 。 i ( c ) ( v 一“，。 ) = ( - r 胁) ， v 蛳“ 方 一d h ，天 一a ，矗 一札 ( n )( 厅 一盯 ，r p ) + ( 子 ( ，一r 九) p ) + ( o ( a 一a ) ，7 p ) + ( q a ，( ，一r ) p h ) = o ，v 肛 ， ( 6 )( k h ，n ) + ( k ，( ，一“) h ) + ( 如一，v ) = o ，v 蜥巩， ( c )( v ( 亏h 一口 ) ，。 ) = o ，v “l ( 1 5 4 ) 方便起见，我们取 f = 子 一。讥，叩= a 一a ，( = 缸 一u 在( 1 ，5 4 ) 式( a ) 中我们分别取， = ，脚= 叩得 心r ) + ( 厅 ，( ，一“) f ) + ( n 口，7 ) + ( n a ，( ，一r ) ) = 0 任，7 1 ) + ( 子 ，( ，一r ) ”) + ( n 口，7 h q ) + ( n a ，( ，一” ) q ) = o 在( 1 5 ，4 ) 式( b ) 中取椎= f ，得 ( 叩，r f ) + ( a ，( ，一n ) f ) + ( ( ，v f ) = 0 ， ( 1 55 ) ( 1 5 6 ) ( 1 57 ) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 根据( 1 5 4 ) 式( c ) ，( 1 5 7 ) 式可化为 ( 7 7 ，r f ) + ( a ，( ，一r k ) = o ，( 1 5 8 ) 又由引理1 3 ，4 ，有 ( ，r 叩) = ( 叩，r ) ， 则利用上式，( 1 5 6 ) 减去( 1 5 8 ) 得 ( 靠，( j 一“) 7 7 ) + ( n 目，“q ) + ( o k ，( j 一“) 7 ) 一( k ，( j 一“) f ) = o ， 从而 ( 口q ，n q ) = ( 天 ，( ，一r ) f ) 一( 厅j i j ( ，一r ) q ) 一( n 天 ，( ，一“) 7 7 ) = ( 天 ，) 一( 天 ，r h f ) 一( 子 ，叩) + ( 亏 ，r 町) 一( 口天 ，7 7 ) + ( n 天 ，r 7 7 ) = 一( a 一天 ，) + ( a ，一r ) + ( 入一x ，r ) + ( 盯一九，q ) 一( 口，q 一“q ) 一( 口一于 ，“”) + ( n ( a 一工h ) ，口) ( 1 5 - 9 ) 一( 8 ( a 一天 ) ，r q ) 一( d a ，q r q ) r 帐i i + f 7 tl iqi i c 忭。，+ c 物 又由( 1 5 5 ) 式，有 ( ， _ f ) = 一( 于 ，( ，一“) ) 一( 口，7 ， f ) 一( d a h ，( ，一r ) f ) = ( 盯一厅h ，( ，一r ) f ) 一( 口( ，一r ) ) 一( o 叩，r f ) + ( ( a 一天曲( ，一“) f ) 一( a a ( ，一7 k ) ( 1 5 1 0 ) c f i 盯l iz | j 0 片。，+ ci i 叩l 0 s c f id “t f “执。，+ c f iq f 娥。 在( 1 5 4 ) 式( c ) 中取u = v ( 孔一“) 有 ( v ( 九一” ) ，v ( 以一o ) ) = 0 ， ( 1 5 1 1 ) 可知v 一( 以一“) = 0 ，即 v f = 0 ( 1 5 ，1 2 ) 1 6 山东师范大学硬士学位论文 由引理3 4 ， 由( 1 5 1 0 ) 式，( 1 5 1 3 ) 式知 ( ，r ) 2c 帷嗡。) ，( 1 5 1 3 ) 雌。，c + c 怕小 ( 1 5 1 4 ) 将上式代回( 1 5 9 ) 式中，则有 ( o 卵，r 町) c 2 + c l | 7 70 ，( 1 5 ，1 5 ) 又由引理1 3 。4 ，有 ( 铆，r 叩) c l0 叩旷 同时对( 1 5 1 5 ) 式利用一不等式，可知 则有结论 c 1 2 c 2 + 砒 ( 6 ) 0q0 矾 将( 1 5 1 7 ) 式代回( 1 5 1 4 ) 式中，可以得结论 由( 1 5 1 7 ) 式、( 1 5 1 8 ) 式，并利用三角不等式，得到 0 矿一。ij 片。，c ，l ，a a i i c 最后估计 ( 1 ，5 1 7 ) f l ，5 1 8 ) 1 7 山东师范大学硕士学位论文 根据引理1 3 1 ，引理1 3 4 ，以及( 1 5 ，1 7 ) 式可以得到 曼c 则利用三角不等式及( 1 5 2 ) 式可知f | 一f f 磕，猫命题得证 1 8 一一一一 山东师范大学硕士学位论文 第二章一类强非线性椭圆问题的扩展混合元方法 2 1 引言 大量的物理问题，都可以由偏微分方程系统来进行数值模拟，包括椭圆方程， 或者发展方程这些方程中有很大一部分具有强非线性项，一般来说，这些强非线 性项不易被消除或弱化，例如如下典型二阶强非线性椭圆方程； ( 口) 一v ( 。( v “”= ，1 打。n ( 2 1 1 ) i ( 6 ) u = 一9 ， 鲫 方程中q 为j r 2 中具有c 2 一正则边界刮2 的有界凸域，v - 表示对向量函数求 散度，v 表示对实值函数求梯度 ，爿1 2 恂( n ) ，g 2 恂( 刮2 ) ，e o 0 ，o ：n r 2 一形是二阶偏导数有界的 二次连续可微函数 更进一步，我们还要求a 具有有界正定的j n c d 6 n ，l 矩阵，即对 n ( ：) = ( 1 ( 。) ，0 2 ( ：) ) ，z = ( z l ，勿) r 2 ， 存在a l ，a 2 使得 。 删s 剿虬 由偏微分方程理论知，在上述题设条件下，方程( 2 1 1 ) 有唯一解u 5 2 “o ( q ) 对上述方程，在进行数值或解析处理之前，通常利用线性化的手段弱化或者去 掉非线性性这样做对理论分析和实际计算带来了方便，可是线性化的过程损失了 大量的原始物理信息，而且许多实际问题需要同时对方程的两个量，即函数“及其 伴随向量一n ( v “) 直接给出精确信息因此混合元方法在求解原始的非线性方程时 候，则可以既较好的保持原始物理信息，同时也提供了一个直接逼近t 和一n ( v “) 这两个物理量的高精度方法m i l n e r 和p a r k 在文献 1 4 中提出了一个混合元求 解方程( 2 1 1 ) 的格式，并给出了误差估计姜子文和陈焕贞在文献【1 5 j 中利用正 1 9 山东师范大学硕士学位论文 规格林函数及对偶论证技术证明了方程( 2 1 1 ) 的混合元方法对函数的l 2 投影具 有几乎超收敛一阶的最大模误差估计，并对向量函数得到拟最优最大模估计但由 于求解过程中需要用到n 的反函数，当在某些情况下，例如反函数不存在，或者反 函数为非正常函数( 即为无穷大或者无穷小) 时候，则对方程直接应用混合元方法 不可行 为此我们引入 盯= 一o ( v t l ) ，a = v 钍， 则问题( 2 1 1 ) 改成下面系统 引入空间 ( ) 仃+ ( a ) = 0 ，z n ， 6 )a v “= 0 ，z q ， c )v 盯= ， z q h ( d n ，；q ) = u ( l 2 ( n ) ) 2 ：d i u u l 2 ( n ) ) 对应范教为 j 备( 川= 2 + f 以州1 2 ， 定义空间如下 t 7 = 日( d i 2 ，；q ) ， w = ( n ) ， a = ( l 2 ( q ) ) 2 文中我们用( ，) 表示三2 ( i2 ) 或护( n ) 空间中的内积，其定义为 ( u ，r ) = 上“”如或z u ”出， 其中l p ( q ) 空间为满足 上l ，( z ) 1 9 如s m 山东师范大学硬士学位论文 的全体函数用”忆表示l p ( n ) 或( 扩( q ) ) 2 空间的范数，定义为 i p = ( | t i 一出) 1 p j l 令 表示q 的边界a n 上的l 2 一内积， ， = a 7 r 幽 j ，n 本文中还有如下定义， 对o g o o ，定义 n ，。( s ) = d l 4 ( s ) ：d 6 l 4 ( s ) ，i a is 七) 为s o b o l c v - 空间，对应的范数为 i i 。i | s = ( l i d 。眦唯) ) 1 脂 1 n l 曼i 特别当q = 2 时，w ，2 ( s ) = ，( s ) ，即 日。( s ) = 6 l 2 ( s ) ：d 。母l 2 ( s ) ，i q i 墨七 ， 相应的范数对应为 ”s = ( i d 。眠印) 1 肛 j o j 兰k 雌( s ) 表示在( s ) 中具有紧致支集的函数空间 上述定义当s = q 时，在不引起混淆的情况下当可将q 省略 利用格林公式，我们可以得到问题( 2 ，1 1 ) 的扩展混合元系统为； 求( 口，a ，“) y a ，使得 r i ( 口) ( 盯，肛) + ( n ( a ) ，p ) = o ， v p a ， ( 6 ) ( a ，) + ( “，v ) = ， v 工， ( 2 1 2 ) l l ( c ) ( v 以u ) = ( ，u ) ， v u i e 其中，y 为n 的单位外法向量 扩展混合元方法由陈章新在1 9 9 8 年提出，并进行了误差分析( 参见文献【1 】 1 6 】) ， 对某些非线性问题得到了最优误差估计它可以同时处理三个变量；未知纯量，未 知纯量的梯度以及其通量( 即参量与梯度的乘积) 2 1 山东师范大学硕士学位论文 下面对( 2 1 2 ) 进行分析 0r i 倍= i | u l l 2 + l l f | 1 1 2 ，r = ，p ) u o ( x ，r ) = ( “( a ) ，。) ，x = ( ，a ) ，r ：；( u ，p ) 根据j 7 j e r 不等式及n 的有界性，易证n ( ) ，6 ( ，) 为有界线性泛函则方 程( 2 1 2 ) 可以写成标准形式 馏裂搿? 拦 仁， z = r u ：6 ( r ，u ) = o ，勺y ) 与参考文献【1 7 】中结论类似我们易得下面结论 引理2 1 1 令r = ，p ) ，则r z 争 硪且p = v 下面给出方程( 2 1 2 ) 与( 2 1 3 ) 的解的关系，由于( 2 1 2 ) 中u 与入，口的关系 已定，因此我们只证明u 与( 2 1 3 ) 的解的关系即可 引理2 1 2 若( x ，力c ，y 为方程( 2 1 ，3 ) 的解，其中x = ( “，a ) ，则 u 1 为方程( 2 1 2 ) 的解，且a = v ，“l d n = 一9 山东师范大学硕士学位论文 对应的，若u 1 为方程( 2 1 2 ) 的解，其中ui a n = 一9 ，则( x ，盯) u y 为方程( 2 1 ，3 ) 的解，其中x = ( u ，a ) ，a = v u ，口= 一o ( a ) 证明：首先，令( x ，k 其中x = ( “，a ) ，为方程( 2 1 3 ) 的解。不失一 般性，我们取夕= 0 ( 若g o ，则取t o l a n = 一玑用“一t o 代替“进行考虑即可) 由问题( 2 1 3 ) 中( b ) 式知6 ( x ， ) = 0 ，因此x = ( ，a ) z ，从而根据引理 2 1 1 有缸明( q ) ，且a = v 另外对任意的v w 明及肛= v “，有 a ( x ，r ) = f ( 7 | ) ，专= ( 岔，芦) 互 即 ( n ( a ) ，p ) = ( ，叫) 由于p = v ，则 ( n ( 萄，v ”) = ( 工”) 则根据格林公式，可知u 为方程( 2 1 1 ) 的解 接下来，假设t z 圳( q ) 为方程( 2 1 1 ) 的解， 一n ( a ) 则由引理2 1 1 知，x 么，因此，当f = 0 时， 从而只需证方程( 2 1 3 ) 中( a ) 式成立即可 事实上，对任意的f = ( ，j ，) ， o ( x ，7 - ) + 厶( 下，盯) = ( “( a ) ，) + ( ，v 盯) + ( p ，盯) = ( 。( a ) ，v 埘) = 一( v ( n ( a ) ) ，叫) = ( ，叫) 令x = ( “，a ) a = v t “口= 方程( 2 ，1 3 ) 中( b ) 式成立 综上可知( ，为方程( 2 1 3 ) 的解，且x = ( t ，a ) ，a = v t ，口= 一口( a ) 则命题得证 山东师范大学硬士学位论文 2 2 扩展混合元格式 为了定义有限元方法，对q 做剖分n ，单元为e ，e 可以为单形，矩形，平行 六面体或者棱柱只允许剖分的边界单元为曲边或曲面在r 内部。要求相邻单 元完全共享公共边或公共面 令a n 表示所有内部边或面的集合，而且假定a h g ，最后，对于边界边或 面，有狄利克雷边值条件或者黎曼边值条件，但是不同时满足两个条件 由于混合元空间是有限维的，并且定义在每个单元上。因此对任意的e n ，取 ( e ) 名( e ) 是文献【1 【l7 】【1 8 】中引入的混合有限元空间；n = 2 时，考虑b r e z z i - d o u 9 1 a s - m a r i n i 混合三角元空间( 参见文献【1 8 】) ；n = 3 时，考虑b r e z z i d o u g l a s d u r 矗n f o r t i n 混合单纯形空问，有如下定义 k ( e ) = ( r ( e ) ) “，p “( e ) = 乓一1 ( e ) ， 其中r ( 露) 为限制在e 上的次数不超过蠢次的多项式，且奄1 从标准混合有限元观点来看，这样选择混合元空间是很自然的，对椭圆问题我 们定义如下空间： a = f “a ：，i e k ( e ) ，v f r ， = 副l ：ui e k ( e ) ， v e r h ， 1 1 ， = 叫i i ： j f i ( e ) ，v e r ) 注z 要求口坛的法向量在穿越边界时连续，且kc 则问题( 2 1 ，1 ) 的扩展混合有限元格式为： 求( 甄，k ， ) 坛xw i ，使得 ， i ( n ) ( n ( a ) ，p ) + ( 盯h ，肛) = o ， v p ， i ( 扫) ( a ， ) + ( ，v u ) = ， v v k ， ( 2 2 1 ) l i ( c ) ( v “，“，) = ( ，叫) ， v 叫u 么 山东师范大学硕士学位论文 本章框架如下s 在2 3 中我们证明方程组( 2 2 1 ) 解的存在性，在2 4 中给出 了证明了解的唯一性，在25 ，2 6 中给出了格式的误差估计，为简便起见，我们 仅仅考虑二维情形，对于三维情况的结论可以类似推广得出 2 3 解的存在性 本节中f ，c l 为一般正常数，其中c - 可以与i i “1 1 2 “有关 对混合有限元空间引入几类插值算子 ( 1 ) “：v u 满足 ( v ( u 一7 r ”) ，埘) = o v t ，w 么，( 2 3 1 ) 且具有性质 i if t 一丌 f ，l i sf ：i fi ，l | ， 1 r 七+ 1 ，( 2 32 ) l lv ( 一7 r t ，) | i c0v 口l i ， 7 ， 1 rs 七+ ( 2 3 3 ) ( 2 ) p ：i i7 一i i i 满足 ( 一r v u ) = o ，vu ， ( 2 。3 4 ) 且具有性质 | | 一尸 w0 一。c i i 仰i i ，1 7 + 4 ， 1 r ，s 后 ( 2 3 5 ) 当k 为r a 、i a l t t h o m a s n o d c l c c 空间( 参见文献【2 0 】 2 1 【2 2 】) 及b r e z z i d o u g i a s - f 0 r t i n m a r i n i 空间( 参见文献 1 8 】f 2 3 】) 时，护= 七+ 1 ，当为b r e z z i d o u g l 将 m a r i n i 空间( 参见文献【1 7 h 2 4 】) 及b r e z z i d o u g l 将d u r a n f o r t i n 空间( 参见文献 17 】【2 4 ) 时，妒= ( 3 ) r h ：a a h 满足 ( 卢一。r 肛，7 - ) = 0 ， v p a ，丁a ，( 2 3 6 ) 且具有性质 f ip 一吼p l | 一。c | fp0 ，i + 5 ， 1 r ，8 尼+ 1 ( 2 3 ，7 ) 山东师范大学硕士学位论文 下面我们将证明方程( 2 2 1 ) 解的存在性 首先，由方程( 2 1 2 ) 与( 2 2 1 ) 可得误差方程 o ) ( 盯一a ，p ) + ( n ( a ) 一口( a ) ，p ) = o ， v p a ， 6 ) ( a a ， ) + ( t 一t ，v ”) = o ， v ， ( 2 3 8 ) c ) ( v ( 盯一d ) ， ) = 0 ， v t ，么 利用孔l v l a r 展式，可知 n ( a ) 一“( a ) = a ( a ) ( a a ) ( 2 3 9 ) = n ( a ) ( a a h ) 一( a a ) ? 【疗1 ( a ) ，詹j ( a ) 】( a a ) ， 州胪掣= 帮 咖沪陋罄嬲黎卜，引粥 州a 1 ) ：f 片掣和口掣叫， ( 2 3 1 1 ) 詹掣f 。出詹掣f 出 舐( a h ) ，岛( h ) 是口( a ) 的一、二阶偏导数在以a 为中心的区域球j 的内部点 山东师范大学硕士学位论文 1f口)(n(a)(a一：?：l：j：荔。：j芝a，。aa，p，vp，。：。，：， 1 ：； ：| - 二，艺= ：v u ) = 。 ：二三2 3 + 1 。 ( ) ( 吐 ( a ) ( a 一) ，肛) + ( 盯一z ，p ) = ( ( 1 一洲阍蝴一洲，v p ( 2 舢) ( 厶) ( a z ，口) + ( “一：，v f ，) = o ， v ， ( c ) ( v ( 口一z ) ) = 0 ，v w 彳， ，+ 是，2 ( n ) n 。 ( q ) 到l 2 ( f 2 ) 的影射算子而且存在有界逆【1 6 】，且由于 ，m 为线性的，可知方程组( 2 3 1 3 ) 解的存在性与唯一性( 详见参考文献 1 】) 要 证明格式( 2 ，2 ，1 ) 的解的存在性，只需要证明西将 嘶。中一个半径为j 的球映射到它自身，利用b r o u m