（应用数学专业论文）随机无穷维动力系统与格动力系统的吸引子及其维数.pdf

摘要 本博士后报告就带阻尼和白噪声的随机波动方程、二阶的非自治格动力系 统、随机格动力系统研究了吸引子的存在性和吸引子的维数估计，主要分成以 下四部分： 第一部分涉及了一类带非线性阻尼和加性白噪声的随机波动方程。本部分 研究了该方程所决定的随机动力系统紧的随机吸引子的存在性以及吸引子的分 形维数。 第二部分考虑了一类带次线性乘性白噪声的s i n e - g o r d o n 类的随机波动方 程。本部分研究了该方程在齐次d i r i c h l e t 边界条件下所决定的随机动力系统紧 的随机吸引子的存在性。进一步地，在低维情况下褥到了吸引予的h a u s d o r t f f f 数。 第三部分考虑一类二阶的非自治格动力系统。格动力系统是由无穷多个常 微分方程或差分方程组成，它有自己的特色，某些情形下，常被视为是偏微分 方程离散化后的结果。格系统在各领域都有着广泛的用途，比如化学反应理论， 图象处理模式识别，材料科学，生物学，电子工程。激光系统等等。许多作者 研究了自治格动力系统整体吸弓l 子的存在性、有限维遥近等，但对吸弓l 子的维 数没有研究结果。本部分考虑了二阶非自治格动力系统吸引子存在性、有限维 逼近，最后，得到了吸引子分形维数的一个上界。 第四部分研究了带乘性白噪声的随机格动力系统。证明了一类带乘性白噪 声的一阶随机格动力系统吸引子的存在性，吸引子的有限维逼近。同时，得到 了此随机吸引子分形维数的一个上界。 关键词：随机动力系统，格动力系统，波动方程，吸引子，分形维数，h a u s d o r f f 维 数，有限维逼近 a b s t r a c t t h i sp o s t d o c t o r a lr e p o r tc o n c e r 2 1 8w i t ht h es t u d yo nt h ee x i s t e n c eo fa t t r a c - t o m a n de s t i m a t 鲳o fd i m e n s i o nf o rt h es t o c h a s t i cw a v ee q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a r d a m p p i n ga n dw h i t en o i s e s ，t h es e c o n do r d e rn o n a u t o n o m o n sl a t t i c ed y n a m i c a l s y s t e m sa n ds t o c h a s t i cl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m s m a i nr e s u l t sc a nb ed i v i d e d i n t ot h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sc o n c e r n e dw i t has t o c h a s t i cw a v ee q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r d a m p i n ga n da d d i t i v ew h i t en o i s e ，t h ee x i s t e n c eo fc o m p a c tr a n d o ma t t r a c t o r s a n dt h e i rf r a c t a ld i m e n s i o n sf o rt h er a n d o md y n a m i c a ls y s t e ma s s o c i a t e dw i t h t h i se q u a t i o na r es t u d i e di nt h ec h a p t e r t h es e c o n dc h a p t e rc o n s i d e r sad a m p e ds t o c h a s t i cw a v ee q u a t i o no fs i e g o r d o nt y p ew i t hs u b l i n e a rm u l t i p l i c a t i v en o i s e t h ee x i s t e n c eo fc o m p a c tr a n - d o ma t t r a c t o r si sp r o v e df o rt h er a n d o md y n a m i c a ls y s t e ma s s o c i a t e dw i t ht h e e q u a t i o nw i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n f u r t h e r m o r e ，ap r e c i e s t i m a t eo nu p p e rb o u n df o rt h eh a n s d o r f fd i m e n s i o n so ft h er a n d o ma t t r a c t o r s i so b t a i n e di nl o w e rd i m e n s i o n t h et l l i r dc h a p t e rd e a l sw i t hn o n - a u t o n o m o u sl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m l a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m sa r ei n f i n i t es y s t e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o ro fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h e ya 血e 蠲s p a t i a ld i s c r e t i z a t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n - t i a le q u a t i o n s l a t t i c es y s t e m sh a v em a n ya p p l i c a t i o n s ，f o re x a m p l e ，i nc h e m i c a l r e a c t i o nt h e o r y , i m a g ep r o c e s s i n ga n dp a t t e r nr e c o g n i t i o n ，m a t e r i a ls c i e n c e ，b i - o l o g y ，e l e c t r i c a le n g i n e e r i n g ，i a 8 e rs y s t e m s , e t e m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e d t h e 戗d s c e n c eo fc o m p a c tg l o b a la t t r a c t o r sr n dt h e i rt l n i o e d i m e n s i o n a la p p r o x - i m a t i o nf o ra u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m b u t tt h e r ei sn o ta n yr e s u l to nt h e d i m e n s i o n 鹤t i m a t eo ft h ea t t r a c t o r s i nt h i sc h a p t e r t h e 明d s t e 慨o fc o m p a c t p u l l b a c ka t t r a c t o r si sc o n s i d e r e df o ras e c o n d - o r d e rn o n - - a u t o i l o m o u 8l a t t i c ed y - n a m i c a ls y s t e mw i t hn o n l i n e a rd a m p p i n ga r i s i n gf r o ms p a t i a ld i s c r e t i z a t i o no f w a v ee q u a t i o n si n 融a n df i n i t e - d i m e n s i o n a la p p r o x i m a t i o n so ft h ea t t r a c t o r s a r es t u d i e d f i n a l l y , a nu p p e rb o u n do nf r a c t a ld i m e n s i o n so ft h ea t t r a c t o r si s 垒星! 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( i i ) 妒o ，u ；伽) i sj o i n t l yc o n t i n u o u si n ta n d 伽 w en o t i c et h a tt h i se q u a t i o nh a sau n i q u es o l u t i o nf o re v e r yu e n o e x c e p t i o n a ls e t sa p p e a r h e n c et h es o l u t i o nm a p p i n g 玩( t ，u ) ：伽一妒( t ，叫伽) ，e h e ( 1 7 ) g e n e r a t e sar d s t od e r i v ec o n j u g a c yo ft h es o l u t i o n so ft h e s t o c h a s t i cs y s t e m ( 1 3 ) a n dt h er a n d o ms y s t e m ( 1 6 ) ，w ei n t r o d u c et h eh o m e o m o r p h i s m r ( 口t “，= ( 可l ，耽一e y l + 口( $ ) 讳7 ( t ) ) r ，y = ( 玑，耽) r e w h o s ei n v e r s eh o m e o m o r p h i s m i s r 一1 ( 仇u 妇= ( 可l ，抛+ e y l 一口( z ) - 矿( t ) ) t s o ，t h et r a n s f o r m a t i o n s ( t ，u ) = n ( o t “，) 瓦( f ，u ) r 一1 ( u ) ( 1 8 ) a l s od e t e r m i n e sar d sc o r r e s p o n d i n gt op r o b l e m ( 1 3 ) w ea g a i nc o n s t r u c tau s e f u lt r a n s f o r m a t i o n 饥= t ，仍= 口+ 跚 l e t 妒= ( 象) ， 日c 纠= ( 似一和一枷，+ 苗毫+ w 小忱一砒，) ， 聊 加( 州州+ 三一+ 咖) ， t h e n ( 1 3 ) 锄r e a d 嬲 移+ j 丁 ) = f ( 妒，甸u ) ，= ( t l o ，t l + 豇l o ) t ( 1 9 ) w ei n t r o d u c et h ei s o m o r p h i s m 正! 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