（应用数学专业论文）模糊目标信息系统的知识约简.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 粗糙集理论是一种新的处理模糊性和不确定性知识的数学工具。自 1 9 8 2 年由波兰数学家p a w l a k 首次提出以来，经过二十几年的研究与发展， 已经在理论和实际应用上取得了长足的发展，特别是由于八十年代末和九 十年代初在知识发现等领域的成功应用而受到国际上广泛关注。目前，它 已经在人工智能、知识与数据发现、模式识别与分类、故障检测等方面得 到了成功的应用。 本文研究模糊目标信息系统的知识发现问题。主要作了如下三方面的 研究工作：1 在p a w l a k 近似空间中f u z z y 集合的r o u g h 近似理论基础上， 研究了般二元关系下f u z z y 集合的r o u g h 近似，得到了类似于经典等价关 系下f u z z y 集合的r o u g h 近似的一系列性质。2 在f u z z y 目标信息系统及其 知识约简与知识发现理论与方法的基础上，进一步提出了f u z z y 多分组目标 信息系统的概念，给出了f u z z y 多分组目标信息系统的知识约简方法。3 对于模糊信息系统，提出了对论域进行模糊划分的方法，定义了全f u z z y 目 标信息系统，并给出了全f u z z y 目标信息系统的分类不变约简和极大决策不 变约简方法。 关键词粗糙集；粗糙近似：信息系统；知识约简；模糊划分 西南交通大学硕士研究生学位论文 第n 页 a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r yi s an e wm a t h e m a t i c a lt o o lt od e a iw i t hf u z z ya n d u n c e r t a i ni n f o r m a t i o n r o u g hs e tt h e o r yh a sb e e nm a d e r a p i dp r o g r e s si nr h o d e s a n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n ss i n c ep a w l a k ，ap o f i s hm a t h e l n a t i c i a n ，f i r s t l yp u tu p w i t hr o u g hs e tt h e o r yi n1 9 8 2 e s p e c i a l l yb e c a u s eo f i t ss u c c e s s f i l la p p l i c a t i o ni n k n o w l e d g ed i a c o v e r y i n1 9 8 0 sa n d1 9 9 0 s ，i ti sv a l u e dt h r o u g h o u ti n t e r n a t i o n a l w o r l d n o w a d a y s ，r o u g hs e tt h e o r y h a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e dt om a n yf i e l d s s u c ha sa r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，k n o w l e d g ea n dd a t ad i s c o v e r y , p a t t e r nr e c o g n i t i o n a n dc l a s s i f i c a t i o na n df a i l u r ed e t e c t i o n t h i s p a p e rm a i n l y f o c u s e so i lk o n w l e d g ed i s c o v e r i e si nl n f o r m a t i o ns y s t e m w i t hf u z z yt a r g e t s i ti n c l u d e st h ef o l l o wt h r e er e s e a r c hw o r k s ：f i r s t ，r o u g h a p p r o x i m a t i o no ff u z z ys e tu n d e ru s u a lb i n a r yr e l a t i o ni si n v e s t i g a t e db a s e do n r o u g ha p p r o x i m a t i o no ff u z z ys e ti np a w l a ki n f o r m a t i o ns y s t e ma n d as e r i e so f a t t r i b u t e sa b o u ta p p r o x i m a t i o no f f u z z ys e ta r ed e r i v e d ，w h i c ha l es i m i l a rt o t h o s ea t t r i b u t e su n d e rc l a s s i c a le q u i v a l e n tr e l a t i o n s e c o n d ，b a s e do nt h et h e o r y a n dm e t h o do fk n o w l e d g er e d u c t i o na n dk n o w l e d g ed i s c o v e r yi ni n f o r m a t i o n s y s t e m sw i t hf u z z yt a r g e t s ，t h ed e f i n i t i o no fi n f o r m a t i o ns y s t e m sw i t hf u z z y m u l t i g r o u pt a r g e t si si n t r o d u c e da n d t h em e t h o do f k n o w l e d g er e d u c t i o ni nt h i s k i n do fi n f o r m a t i o n s y s t e m i s p r e n t m f i n a l l y , t h e m e t h o do f f u z z y c l a s s i f i c a t i o ni nf u z z yi n f o r m a t i o ns y s t e mi sb r o u g h tf o r w a r da n dt h ed e f i n i t i o n o fi n f o r m a t i o ns y s t e mw i t h p u r ef u z z yt a r g e t si sg i v e n m o r e o v e r , t w om e t h o d s o fk n o w l e d g er e d u c t i o n si nt h i si n f o r m a t i o ns y s t e m c o n s i s t e n tc l a s s i f i c a t i o n r e d u c t i o na n dc o n s i s t e n tm a x i m a ld e c i s i o n r e d u c t i o n , a r cd e f t v e d k e y w o r d s r o u g hs e t ；r o u g ha p p r o x i m a t i o n ；i n f o r m a t i o ns y s t e m ；k n o w l e d g e r e d u c t i o n ；f u z z yc l a s s i f i c a t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 ，1 信息系统知识发现的研究概况 知识是人类认识客观世界的结果，同时也是人们指导自己行为的准则。 人们可以从不同的途径获取知识，比如实践中获取的知识，各种渠道( 网络、 书刊、交流) 获得的信息，领导和教授提供的指导与结论，自己头脑的思考 等，都是获取知识与发现知识的重要手段。但是不同的知识发现手段有着 不同的方法，我们这里讲的知识发现是一种特定的知识发现，它是从数据 中识别正确、新颖、有潜在应用价值以及最终可为人们理解的模式的方法。 这种方法的特点是： ( 1 ) 基础信息是数据库。数据库中的数据不是孤立存在的，它必须与一 定的研究对象以及对象所反映的一定属性相联系。也就是说某个数据v 同时 与对象工以及属性口相联系。 ( 2 ) 模式是可以理解的。最终表达的知识模式是用属性表达的，它有明 确的直观意鬈，符合人们的直观理解，且方便人们的应用。 ( 3 ) 模式的获取是非平凡的。从数据中获取的模式不是直观的，它不可 能是直接观察的结果，它依赖于一定的数学方法和计算机工具。 知识发现一直是人工智能的核心问题，但是这样一种特定的知识发现 被正式提出来，当属于1 9 8 9 年8 月在美国底特律召开的第1 l 届国际人工智 能联合会议的专题讨论会上。从那以后，知识发现，或者说数据库中的知识 发( k n o w l e d g ed i s c o v e r y i nd a t a b a s e ，简称k d d ) 备受重视。 同样是基于数据库的知识发现。有着完全不同的方法，使用着完全不同 的数学工具。比如基于网络结构的神经网络算法，基于训练选优的遗传算法 基于统计理论的数据挖掘算法，基于归纳学习的机器学习方法等。我们这里 的重点是基于粗糙集( r o u g hs e t ) 、模黼t ( f u z z ys e t ) 和随机集( r a n d o ms e t ) 的三集理论的知识发现方法。 信息系统的知识发现问题，本质上就是按照属性特征将对象进行分类 的问题。面对复杂多样的庞大的数据库系统，如何迅速找出有重要意义的 属性，发现有应用价值的推理规则，这是一个非常值得研究的问题。目前， 对这类问题的研究主要集中在信息缺省的信息系统和信息不确定的信息系 统的知识约筒和知识发现上。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 对于信息缺省的信息系统，对象一般无法归类，学者们通常采用数据翠 处理的方法，填补缺省数据或者推算缺省数据。但是，不通过信息预处理， 直接建立知识约简的方法，还是一个值得探索的问题。 对于信息不确定的信息系统，也称有噪声信息系统，通常采用的方法是 进行数据处理去掉噪声。同样的，直接建立知识发现的方法，将是知识发 现的一种新思路。 当然，信息系统的多样性问题也是一个值得探讨的课题。信息系统直接 通过属性给出对象间的关系，从而产生了对象集的一个分划。但是如果找 到的是论域的一个覆盖的话，还需解决如何由覆盖来识别对象这一问题。 此外，对于信息系统的数据连续性问题，也是一个亟待解决的问题。要 想通过信息系统得到分类知识，一般都要求属性值域有限。遇到属性值域 连续的情况，一般是将其离散化，但这样会使大量信息丢失。如果能直接 建立连续值下的知识发现方法，将会使知识发现更有实际价值。 1 2 粗糙集理论研究概况 粗糙集理论自提出以来，便以其在数据的决策与分析、模式识别、机器 学习与知识发现等方面引起了世乔各国学者的关注。1 9 9 1 年z p a w l a k 的专 著粗糙集一一关于数据推理的理论( r o u g hs e t s - - t h e o r e t i c a la s p e c t so f r e a s o n i n g a b o u td a t a ) 的问世，标志着粗糙集理论及其应用的研究进入了活 跃阶段。从1 9 9 2 年开始，国际上每年都召开以r o u g hs e t 为主题的国际会议， 还成立了粗糙集学术研究会，促进了粗糙集理论的进一步发展。目前，粗 集理论已成为信息科学最为活跃的研究领域之一。同时，该理论还在医学、 化学、材料学、地理学、管理科学和金融等其他学科取得了成功的应用。 r o u g h 集理论已经证明了它在许多实际生活中是完备和十分有用的。 r o u g h 集理论提供了在许多分枝上可应用的有效方法。基于r o u g h 集理论 的r o u g h 逻辑的研究似乎是值得重视的课题，因为这种逻辑将使单调逻辑 非单调化，从而在a i 的近似或不精确推理中将发挥不可估量的作用。 r o u g h 集理论的另一项重要课题则是r o u g h 函数的理论和实践的研究。 r o u 曲函数的各种近似运算，r o u g h 函数的基本性质，关于它的r o u g h 连 续、r o u 曲可导、r o u g h 积分和r o u g h 稳定性，r o u g h 函数控制及建立由 r o u g h 实函数控制的离散动态系统等都是典型的问题，这些问题都要求在 r o u g h 函数理论的模型下。给予公式化。这些问题的研究将有助于定性推 理方法的研究。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 基于r o u g h 集理论的控制也似乎是一个非常有前途的应用领域，而 r o u g h 集理论对神经网络和遗传算法的开发也很重要。如何将r o u g h 集理 论、模糊集理论、证据理论和概率论等不确定的理论用一个统一的逻辑模 型来解释也很值得研究。 目前，r o u g h 集理论的研究还有几个领域比较引人注目： 1 在继承原始r o u g h 集模型的基本数学性质前提下，研究如何扩展模 型，以更好地用于数据压缩和信息系统分析害。 2 在特定代数结构上，如何引入上近似和下近似的概念，并研究其数 学性质。 3 r o u g h 集理论与形式语言之间关系的研究等a 1 3 论文的研究工作 粗糙集的相关理论大多是在等价关系下进行研究的，可等价关系是一 种很特殊的二元关系，所以把粗集理论推广到一般的二元关系下进行讨论， 是一个有意义的课题。本文就是在p a w l a k 近似空间中f u z z y 集合的r o u g h 近似理论的基础上，研究了一般近似空间中f u z z y 集合的r o u g h 近似，给出 了f u z z y 集在一般二元关系下的上下近似的概念，证明了上下近似算子的一 些性质，还讨论了f u z z y 集关于广义近似空间的粗糙性度量。 知识表达系统的约简问题是粗糙集理论研究的核心问题。在这一问题 上，许多学者做了大量的研究工作，其中呦目标信息系统的约简是对经 典信息系统知识约简的推广。本文对f u z z y 目标信息系统进行了更深一步的 研究，细化了它的目标属性，按属性的相关性进行了分组，提出了f u z z y 多 分组目标信息系统的概念，并给出了具体的知识约简方法。 信息系统的知识发现，本质上就是一个分类问题。如果按常规意义下 的分类方法对论域进行划分，即把在每一个属性下取值完全相同的对象分 为一类，在实际应用中这样的分类似乎有点太苛刻，最后找到的推理规则， 其使用范围非常有限。本文在模糊聚类的思想上，改造了以往的对象分类 方法，提出了对论域进行模糊划分的方法，定义了全f u z z y 目标信息系统， 进一步给出了这一信息系统在模糊划分基础上的两种知识约简方法分 类不变约简和极大决策不变约简。 1 4 论文的组织 本文第2 章介绍了一些涉及到的预备知识，主要是关于模糊数学和粗 糙集理论的基础知识。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第3 章研究了一般关系下f u z z y 集合的r o u g h 近似，这是对p a w l a k 近 似空间中f u z z y 集合的r o u g h 近似理论的进一步扩充。 第4 章介绍了f i l z z y 目标信息系统的约简问题，提出了f u z z y 多分组目 标信息系统的概念，并给出知识约简的方法。 第5 章提出了全f u z z y 目标信息系统的概念，而且给出了模糊划分意义 下的两种知识约简方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第5 页 第2 章预备知识 2 1 模糊集合论 2 1 1 模糊子集的定义及其运算 设x 为论域z 的经典子集可由其特征函数z 。唯二确定，舭( 工) 指明 x 对4 的隶属程度不过隶属度只取0 与1 两种值，它反映了x 绝对不属于彳 与x 绝对属于爿两种状况如果打破隶属程度只取o 和l 的限制，我们就会得 到模糊子集的概念 定义：给出映射t 。：x 一【o ，l 】， 工1 - - 0 ) 我们说t 。确定了一个z 的模糊子集a 。称为a 的隶属函数，( z ) 称为 _ - - 工对a 的隶属度， 当t 的值域是 o ，l 时，a 就是经典子集，而。就是它的特征函数 一_ 所以经典子集是特殊的模糊子集 x 的全体模糊子集组成的集合记作f ( x ) ，称为x 的模糊幂集 定义：设a ，b f ( x ) ，定义 4 2 丑铮v x x ，芦( x ) p 。( x ) ， _- - _- a = b v x x ，( x ) = 4 ( 工) ， -_ 一 a 3 b 营v x x ，( 工) 口( x ) ，且j k o x ，量t 卢j ( x ) 暑( j ) 一 _ _ - - 定义：设爿，b y ( u ) ，定义运算爿u 曰，钔b ，a 如下： i t a u a ( 工) = p ( 工) v 一日( 工) 卢j n 4 ( z ) = p ( x ) b ( 工) p ( x ) = 1 一( _ x ) 4 u b ，“n b 分别称为a ，b 的并集与交集，而一称为彳的余集 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 不难验证模糊子集的并，交，余运算具有下列性质： 幂等律：a u a = a ，a n a = a 交换律：u 四= b u 4 ，一n b = b n a 结合律：( a u b ) u c = a u ( b u c ) ( n 占) n c = 4 n ( 丑n c ) 吸收律：a n ( a u 曰) = a ，a l l ( a n 口) = a 分配律：( 4 u b ) n c = ( 爿n c ) u ( 占n c ) ( a n b ) u c = ( a u c ) n ( 占u c ) x 与西满足 a n x = a ，a u x = x ，a n 妒= 妒，a u = a 复原律：一( 一) = a 对偶律( d e m o g a n 律) ： ( a u b ) = ( a ) n ( b ) ，( a n b ) = ( a ) u ( b ) 这些性质可直接由定义来验证 事实上，模糊集合与其隶属函数t 可以看作是同一的：后面我们将 采用简便的记号 f ( x ) = 【a 1 a ：x 畸【o ，1 】) 称以为x 的一个模糊子集，彳( x ) 称为x 对a 的隶属度如果对v x x ，恒有 a ( x ) 0 , 1 ) ，则a 为x 的二个经典子集记 p c x ) = a 1 a ：x 0 ，1 1 c f ( x ) 2 1 2 模糊集的a 截集 定义：设a a f ( x ) ，对于v 【0 ，1 】，记 ( g ) z = a a = 工1 4 ( 工) a ) 称a 。为a 的a 截集，旯称为置信水平又记 ( 4 ) i = a = 1 4 ( 工) a ) 。 称a 。为彳的a 强截集 截集具有下列性质 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ( a u 且) ：= a 。u b 。 _ ( a n 占) 。= a 。n b 。 口) ( a p r a ) 口= x ：a p r a ( x ) 卢 ( a p r a ) 口+ = 缸：a p r a ( x ) 历 易知下列性质成立： ( 1 ) 口ls 口2j ( a p r i l ) ( a p r a ) ( 2 ) 届压j ( a p r a ) 岛至( a p r a ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 3 3 f u z z y 集关于广义近似空间的粗糙度与精度 3 3 1 粗糙度与精度的定义 定义：设叫，r ) 为广义近似空间，且r 是自反模糊关系，a 是u 上的 f u z z y 集，对于0 口s a 1 ，f u z z y 集a 的精度和粗糙度分别定义为： 州邮) l 倒煽圳 p ( 口，芦) 一1 一口 ( 口，j o ) 若v x u ，a p r a ( x ) ；m ，则有a p r 研) ，中，此时规定 ，卢) 一1 p 。( 口，卢) = 0 性 由定义可见，精度刻画了集合的精确性，而粗糙度刻画了集合的粗糙 对于广义近似空间( u ，r ) ，记2 ； 工。，x 2 , - - - , x ，) 其中 x 一只，o 。) ，x ，一r a x , ) 若r 满足自反性，则的构成了论域u 的一个 覆盖 本节以下总假设r 是自反模糊关系 定理3 3 当0 c 卢s a s l 时，粗糙度p 似，卢) 与精度a 。 ，卢) 满足以 下性质： ( 1 ) 0 j a 月( 口，卢) s 1 ，0 s p ( 口，卢) 墨1 ： ( 2 ) a 陋，卢) 关于口不增，关于卢不减： p ( a ，卢) 关于卢不增，关于口不减： ( 3 ) 设r 满足自反性，1 x t ，x 2 , - - , x r ) 若r 公a o ) 口，则 a ( a ，卢) - 0 ，p ( a ，卢) 一1 证明：( 1 ) 当0 口s a 1 时， ( a p r a ) 。恸4 ) ，( a p r a ) p 故0 s a j ( 口，卢) s 1 ，0 s p _ ( 口，卢) s 1 ( 2 ) 设a 1 a 2 ，( a p r 4 ) 。，( 口p 州) 引 从而i ( a p r a ) 。，i s i ( 印州) 。i ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 所以口j ( 口i ，卢) 口( a 2 ，夕) ， p 。( 口。，p ) p 。( 口2 ，卢) 设届 - a 。( a ，芦1 ) ， p ( 口，8 2 ) p 。( 口，8 i ) ( 3 ) 当v 八a ( x ) 口时， 扣l j e 工 ( a p r a ) 。= 妒，于是i ( a p r a ) 。卜0 ， 所以a ( a ，卢) = 0 ，p ( 理，卢) = 1 3 3 2 一些相关的性质 定理3 4 若0 口s 口1 ，u 上的f u z z y 集a 是常数，即 4 ( x ) = 8 ( v x u ) ， 则 讹舻 ： 譬如 证明：当卢 占 口时，有( a p r a ) 。= 庐，( a p r a ) 口= u ，从而p ( a ，卢) = 1 若万 卢s 口，则( 印州) 。= ( a p r a ) 口= 妒，从而有p j ( 口，卢) = 0 ： 若卢s a - 6 ，则( 堡型) 。= ( a p r a ) ，= c ，从而有几( a ，) = o 定理3 5 若a ，b f ( u ) ，勘b ，( a p r a ) 口= ( a p r s ) 口，则 口b ( 口，卢) 口 ( a ，卢) ，p b ( 口，卢) p j ( 口，卢) 证明：a b ( a p r a ) 。( 印旧) 。 又。( a p r a ) 口= ( a p r b ) 口 口口( 口，卢) o t ( 口，卢) ，户口( 口，8 ) p ( a ，夕) 定理3 6 设爿，b f ( u ) ，则当a b ，r ( a p r a ) 。= ( a p r b ) 。时，有 口( 口，卢) 口口( 口，卢) ，p 。( 口，卢) p 口( 口，) 证明：a b 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 + ( a p r a ) p 妄( 印培) d 又。( a p r a ) 。= ( a p r b ) 。 a 。( 口，3 ) 口。( 盘，) ，p ( 口，卢) p 且( 口，) 定理3 7 设爿，b f ) ，若a 与曰是f u z z y 粗相等的，则对于v 口卢， 有 口( a ，卢) = 口口( 5 ，) ，p ( a ，卢) = p 。( a ，户) 证明：- ? a 和丑是f u z z y 粗相等的， 一a p r a2 一a p r b ，a p r a 2 a p r b a 月( 5 ，卢) = a 日( 口，) ，p ( 口，卢) = p b ( 5 ，卢) 定理3 8 设a ，b f ( u ) ，则关于a ，丑，a u b ，a n b 的粗糙度和精度有 以下关系： p 刖8 ( a ，卢) i ( a p r a ) 口u ( a p r b ) ，i p _ ( 口，) l ( a p r a ) 口i + p 口( 口，卢) i ( 印r b ) 口1 一p j m ( a ，卢) j ( a p r a ) ，n ( a p r b ) pi ， 5 a u b ( 口，) i ( a p r a ) fu ( a p ，b ) 口i 口j ( 口，卢) i ( a p r a ) 口i + 口口( 口，卢) i ( a p r b ) 口i 一5 m ( 5 ，卢) l ( a p r a ) ，n ( a p ，b ) fi 砜嘣哪) - 1 一悭岫 伽驯 ，i ( a p r ( a u 曰) ) 。i i ( a p r a ) 口u ( 印檀) 口l ，1i ( a p r a ) 。u ( a p r s ) 。i 一 i ( 口p 一) ，u ( a p r s ) ，i 因为对于任意有限经典集合戈，y 有 1 r uy 睁i x i + i y i i x ny i ， 所以p 棚( 口，卢) l ( a p r a ) fu ( a p r b ) 口i 纠( a p r a ) 口u ( a p r b ) 口卜- i ( a p r a ) 。u ( a p r b ) 。l = i ( a p r a ) 口i + l ( a p r s ) pl i ( 印叫) ，n ( a p ，- 8 ) ，1 一i ( a p r a ) 。| - i ( 印坩) 。i + i ( a p r a ) 。n ( 印旧) 。i 姻为嘣郇) _ 1 一k 型巾动临( 椰m l - - - 1 一i ( a p r a ) 。( a p r b ) 。旷一 i ( a p r ( anb ) ) 口i 堕塑奎堕盔堂塑壁壅皇堂垡迨塞 篁丝重 1 一i ( a p r a ) 。n ( a p r b ) n 旺 i ( a p r a ) ofi ( a p r b ) 1 所以 p 。m ( 口，p ) i ( a p r a ) 口n ( ：动) ，i l ( 一a p r a ) 口n ( 一a p r b ) 口卜i ( a p r a ) 。 1 ( a p r b ) 。i 所以p a u a ( 口，p ) i ( 一a p r a ) 口u ( 一a p r s ) pi ： p 暑( o 4 ，0 4 ) ， 口曹”“( o 4 , 0 4 ) r 里b ( d ，) ( 对u 0 记 ( 砷= r 。( d i ) ( x ) 贝o b l ( d ；) 。，) ， x l n ( 一，) 一。) 矿 证明：。( 工) = r 口( d j ) ( 工) = r n i n d ，( y ) ：y t x 口 b j 8 q i ) 咖) 又，f ，( 工) r s ( d ，) ( 工) 3 y e k l b ，s 上d j ( y ) 生( d 从x ) ( _ ，七( 工) ) 则 ( d t ( ，) ) ，：工u ) 构成了u 的覆盖 证明：由定理4 1 知，对于导u ，有 工b l ( d t ( ，) ) l 一。( z ) 由于 k 】。：x e ( ，) 构成了u 的分划，故 ( 矗) 札，：x e u 构成y u 的覆盖。 例2 ：表4 - 2 给出了一个f u z z y 目标信息系统，其中 对象集u = e ip 2 ，8 i o ) ， 条件属性集a = 和。，口：，口，) ， 目标属性集d = d 。，d ：，d ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 表4 - 2f u z z y 目标信息系统 由条件属性集a 口。，口：，a3 可将论域u 分为5 类： c 1 = 慨，e 3 ，e 9 ) ，c 2 = 忙2 ，e 7 e l o ，c 3 = 忙4 ) ，c 4 = 忙5 ，e 8 ) ，c 5 = b 6 ) 凡( d - ) ( c 1 ) ；o 7也( d 2 ) ( c 1 ) 一0 1 r _ ( d 3 ) ( c 。) - 0 1 生似2 ( c ：) 1 0 2 墨：) ( c z ) 一0 6生 ，) ( c 。- 0 1 生 ) ( c 3 ) 1 0 2生“z ) ( c ，) 一o 7 生眠) ( c ，) - 0 3 墨- ) ( c ) l 0 1 生( d ：) ( c ) 一0 3生“3 ) ( c 。) - 0 8 生( d - ) ( c s ) 1 0 1似z ) ( c ，) 一0 5 生q ，) ( c s ) - 1 0 可以看出，此例满足上述定理2 的条件，即每一个等价类的最大值只有 一个 y e c l ，k ( y ) 一1 ，r l ( y ) 一0 7 ： y c 2 ，k ( y ) - 2 ，2 ( ) ，) 一0 6 ： y e c 3 ，k ( y ) ；2 ， r 2 ( ) ，) 一0 7 ： y c 。，k ( y ) z 3 ，r 3 ( y ) - 0 8 ： y e c 5 ，k ( y ) - 3 ，3 ( y ) t 1 0 于是得到决策规则如下： 当( n 。，n 2 ，a 3 ) 一( 8 , 6 ，5 ) 时，d 1 成立，其精度为0 7 当( 口。，a ：，a 3 ) 一( 5 8 ，6 ) 时，d 2 成立，其精度为0 6 当0 ，a 2 ，a ，) 一( 8 ，蚴时，d 2 成立，其精度为0 7 当( n l ，a 2 ，a 3 ) 一( 6 , 6 ，3 ) 时，d 3 成立，其精度为0 8 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 7 页 当( a i , a 2 ，a ，) = ( 6 , 6 ，8 ) 时，d 1 成立，其精度为1 0 4 2 2 f u z z y 目标信息系统的约简 定义：设( u ，a ，f ，d ，g ) 是一f u z z y 目标信息系统，对于v x u ，记 三( 曲= ，：r ( d ，) ( x ) = m a x 僻( d i ) ( 工) ：f = 1 , 2 ，g ) ) 设b 量彳，若3 le 工( j ) ，使得 r 日( d ，) ( x ) = m a x r 口( d ，) ( 工) ：i = 1 , 2 ， ，g 则称口是一的极大决策不变集若口是集合包含意义下的最小的极大决策 不变集，则称曰是此f u z z y 目标信息系统的极大决策不变约简 在例2 中，若取b = 如。，a 2 ，则由口可将u 分为4 类： e l = c 1 = 娩，e ie 9 ，e 2 = c 2 = e 2 ，e 7 ，e l a ， e 3 = c 3 = e 4 】。e 4 = c 4u c s = e 5 ，e 6 e 8 ) 于是有 r 。( d i ) ( e 1 ) = 0 6r 口( d 2 ) ( e 1 ) = 0 5r 口( d 3 ) ( e 1 ) = o 1 r 。( d i ) ( 占2 ) = 0 2r 口( d 2 ) ( e 2 ) = 0 6r 口( d 3 ) ( e 2 ) = o 1 r 。( d i ) ( e 3 ) = 0 2r 。( d ：) ( 毛) = o 7r d d ，) ( e 3 ) = o 3 墨日( d 。) ( e 一) = 0 1 r 。( d 2 ) ( 丘) = 0 3r 。( d 3 ) ( e 4 ) = o 8 可以看出，b 满足上述定义的性质，故口为a 的极大决策不变集。而且 我们可以很容易地验证日的任一真子集 4 。 或( 口：) 均不是a 的极大决策不 变集，因此丑为此f u z z y 目标信息系统的极大决策不变约简 4 2 3 区分矩阵与区分函数 设( 【，a ，f ，d ，g ) 为f u z z y 目标信息系统，由条件属性集爿生成的关系 记为r 。，由它产生的分划为 。= 五，以) ， 记 墨主( d ) = ( 墨! ! 垡! ! ! 墨! ，墨生( d ：) ( 置) ，r 一( d 。) ( 置) ) i = 1 ， 因为砂五，l q ，生( 吐) ( y ) 有相同值，故可统一置记为生( d ，) ( 置) 记l ，= f ：凡( 西) ( x ) = m a x r 。能) ( 墨) ：k = 1 , 2 ，g ) 则砭( d ) 在集合 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 8 页 膨是一个r r 矩阵，其任一元素为 一 | 口，a ：工( 置) 工( x j ) ) ，厶n = 妒 聊# 2 1a ，l s n l 。j 接下来，我们弓 入一个布尔函数，称为区分函数( d i s c e r n i b i l i t y f u n c t i o n ) ，用表示对每个属性口e 0 ，指定一个布尔变量n 口”若 m f = 忙l ，口2 ，口i ) ，则指定一个布尔函数口lv 口2v v 吼，用m # 表 示：若珊口= a ，则指定布尔常量1 区分函数a 定义如下： = 兀m f 区分函数有如下性质： 函数的极小析取范式中的所有合取式是目标信息系统的所有约简 核是区分矩阵中所有单个元素组成的集合，即 c o r e ( a ) = 忙爿i m f = 缸) 由于区分矩阵是一对称矩阵，所以在论文中只写出区分矩阵的下三角 位置元素。 例2 的可辨识矩阵见表4 - 3 所示 表4 - 3 可辨识矩阵 其区分函数为： a = a 口2 ( 口iv 4 ，) = 口l 口2v a 2 a 3 因此e = 忙。，口： 与b ：= 和：，口，) 是此f u z z y 目标信息系统的两个约简。核为 c o r e ( a ) = 扣2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 9 页 4 2 4 f u z z y 多分组目标信息系统 定义：设，a ，f ，d ，g ) 为一f u z z y 目标信息系统，若 d 一 d l l ，d 1 2 ，d b ，似1 ，dr 2 ，d _ ) ) ， 则称该系统是一f u z z y 多分组目标信息系统记为 ，爿，f ，t 9 , ，d ：，d ，) ，g ) ，其中 0 1 一 d 1 】，0 1 2 ，d u ) ，d ，- p ，1 ，d ，2 ，d 。) 例如，表4 - 4 所示的信息系统就是一个f u z z y 多分组目标信息系统 表4 4 职工信息系统 职工 编号 职工信息( 条件属性a )买房( d - )贷款( m ) 年龄婚否家庭人收入( 千豪华型普通型长期 ( a )( a 2 ) 数( a 3 ) 元) ( 幽) ( d 1 )( dr = ) ( d 。) 定义： 设，爿，f ， d ，d ：，o ， ，g ) 是一个f u z z y 多分组目标信息系 统其中d ；t d n , d 。2 ，d 。 ，d ，- 似。dr 2 ，d 。，) 设对于v x e u ，i = l ，r ，j 唯一的，f 任2 ，5 。) ，使得 生“m ) o ) i m a x ( d * ) 仁) ：七1 1 2 ，毛 记 o ) 一 ，l ， ) ， 凡( d ) o ) 一( 兄( d 1 ) o ) 凡( d 2 ) o ) ，凡( d r ) o ) ) ， 于是生( d ) 0 ) 确定一个，维向i l a ( x ) ，其中l a 0 ) 第i 维的数值表示对 生( d ) o ) 的r 个分量按”) ”排序后r a ( b ) 0 ) 所在的位置，x c - 于r 。( d ) o ) 中 取值相同的分量，。o ) 在相应位置上取相