（概率论与数理统计专业论文）相依随机变量序列的极限定理.pdf

文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 互相独立且同分布 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量x 与y 的协方差 随机变量序列 ) 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 ) 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 ) 依分布收敛于随机变量x 测度序列 ) 弱收敛于测度p u 与v 等价，即u 与v 有相同的有限维分布 集合a 的示性函数 实数集 d 维实数集 整数集 非负整数集 正整数集 l i m s u p a n b 。 n + 。 溉o n 6 n = 0 l i m 墼：1 n o 。 表示不大于a 的整数 仅表示一个正常数，其值在上下文中可以不同 表示一个标准w i e n e r 过程 l o g n = l o g ( nve ) l o g l o g n = l o g l o g ( nve 8 ) 眦 泓岍一一一一一曲r彬zn一一一c一咖 c o n 研 0 ，7 2 ，c 0 ， 麦，篆。h l o gk e 嘶i 叫1 哦) s 赤 记a 磊= 1 t i a x l 一 t s 。 j 己) ( 1 ) 如果礼( 1 一圣m 。) ) _ 7 - ( o 丁 。) ，那么 概面1 f f 妻lk i ( m k 鲰) = e x p c r ) 。s ( 2 ) 如果o n = 厮和b 扎= o 礼一；( 1 0 9 l o g f n + l 0 9 4 7 r ) ，那么 规面1 三承( 州胚圹e x p ( - e x p ( 一z ) ) 此结果减弱了c s 磊k i 和g o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 2 ) 的条件，在证明过程中运用了l i 和 s h a o ( 2 0 0 2 ) 的正态比较不等式 在第一章的第三节，我们证明了非平稳正态随机变量序列最大值的几乎处处极 限定理把平稳正态序列最大值的几乎处处极限定理推广到非平稳正态序列情形 我们的主要结果如下： ( a ) 设 & ) 是一具有零均值，单位方差的非平稳高斯随机变量序列，其协方差 矩阵( r i j ) 满足对所有n 1 ，1 i p lg - y l ( i j ) ，其中p 。 0 ，k = m i n i 一 i 一 。u n t c ( 1 0 9n ) m 如果当n _ 。时，对某一下0 ，銎1 ( 1 一西( u 。t ) ) _ 7 - 那么 规1 0 - - 面1 k 。= lk 弘蚓) 一p ( 一丁) o s ( b ) 设 岛，n 1 ) 是一具有协方差= c o v ( 已，6 ) 的非平稳标准高斯序列，且 满足下列条件： 岛 j i i i ( 1 ) 6 = s u p i jl r i j l 辔和某些正数d ，a ，我们有 孑1 l 。g ( j i ) e x p ( ，) q i1 。g ( j 一) ) ( 1 0 9 二l o gn ) 1 + e “l i j n d 设o 。：( 2 1 0 9 n ) ，6 。：( 2 l o g n ) 一( 1 0 9 l o g 礼+ l 0 9 4 7 r ) ( 2 ( 2 l o g 礼) ；) ，z 是一实数 那么 1 几 1 熙去蚤去。郧咖删一p ( - 如1 l 0 s 在第一章的第四节，我们进一步研究随机变量序列最大值的的几乎处处极限定 理，给出了正态随机变量三角阵列最大值的几乎处处极限定理，得到：设 x 州) ，几= 1 ，2 ，i ：0 ，1 ，2 是一使得对每一礼， 瓦，t ，i 芝o ) 为平稳正态序列的正态随机变 量三角阵列在某些条件下，对所有z ( 一0 0 ，o o ) ， 溉击薹h 一池酬州一p ( _ 秽e ) ( p ( 刊) 0 s 在第二章第二节首先推广了b e r k e s 和c s d k i ( 2 0 0 1 ) 关于独立随机变量的结果， 给出了完全可分距离空间上随机元序列的几乎处处极限定理设 y n ，n 1 ) 是b 上的随机元序列假定存在一满足l i m 。o 。c 札= ：+ 1 = o ( 1 ) 的非降正数序列 c n ) 和b 一值随机元序列k ，f ，庇，l n ，k 0 为常数设 d k ，k 1 ) 满足0 d k l o g ( c k + l c k ) 且垒1 呶= 。， 令d 。= 怨1d k 那么对b 的盯一代数召上的任意概率分布p ， 凯_ 。时，麦蚤氐哦号肛0 s 当且仅当 当n 一。时，西1 n nk r = 1 如肛k p 这里号表示弱收敛 然后应用此结果于平稳相伴( 负相伴) ，强混合，p - 混合，贝努利平移，高斯随 机蛮量序列 jf。 第二章第三节，我们讨论了随机变量的函数几乎处处中心极限定理，其中一个 重要结论为： 设 ，礼1 是一数学期望为零的随机变量序列， ( z l ，凰) 为一满足 ( x 1 ，) = a s k + b r k ( x 1 ，弛) ， 的随机函数，其中a ，b r ，a 0 ，s u p 。e l f 。i ， n = o ( ) 假定对任意函数 g b l ( r ) ，有 v a r ( 赤蚤去9 ( 尝) ) 蚓l o g l o g 一牝 如果当n _ o o 时，安号n ( o ，1 ) ，那么 舰赤蚤去袅鲥卸( 咖s 在第二章的第四节，研究了一类新相依条件下的随机变量和的乘积的几乎处处 极限定理设 ，n 1 ) 是一平稳a 一相依的正随机变量序列，e x l = 肛1 ，m a r x l = o - 0 ，v a r s n 七一v a r s n ，七一1 鲁那么对任意实数z ”l i m 1 薹1 1 ( 哮) 价叫一s 。) 2 f 籼 其中s ( x ) 是随机变量e 的分布函数在第二章的第五节，得到了绝对正则过程的 泛函的几乎处处极限定理在第二章的第六节，我们证明了经验过程的几乎处处泛 函中心极限定理 在第三章中，我们讨论了弱相依随机变量序列的自正则极限定理设 x ，x n ，n 1 ) 是一独立同分布的随机变量序列，令& = n 注1 x i ，曙= n 1 群，竹1 众所 周知，矩及其相关条件是许多经典的极限理论成立的充分必要条件例如，强大数 律成立当且仅当x 的数学期望存在，当x 一，e x 2 j l x isz ) 为缓变函数是 中心极限定理成立的充要条件另一方面，对自正则部分和& k 的研究成了当今 极限理论发展的一个热门方向与经典的h a r t m a n w i n t n e r 重对数律相比， g r i f f i n 和k u e l b s ( 1 9 8 9 ) 对正态吸引场和稳定场的随机变量序列建立了自正则重对数律 邵启满( 1 9 9 7 ) 在没有矩条件的假设下，得到了自正则大偏差结果g i n d ，g s t z e 和 m a s o n ( 1 9 9 7 ) 证明了& y n 是一致次高斯型的，当且仅当序列 x ；墨，n 1 ) 是随 机有界的 j i n g 等( 2 0 0 3 ) 在有限的2 + 6 阶矩的条件下建立了c r a m d r 型大偏差结 1111， v 果c h i s t y a k o v 和g 6 t z e ( 2 0 0 4 ) 给出了& k 收敛到随机变量的充要条件这些结 果表明了在没有矩条件或者在更弱的矩条件假设下，极限定理仍然成立，而且结果 的形式变得更加简洁更重要的是，从统计学的观点来看，用随机变量本身作为赋 范因子是自然而有道理的，因为随机变量的数字特征往往是未知的，我们首先不得 不用一些统计量去估计它们经典的例子就是学生化t 一统计量，从下面的式子我 们可以看出学生化t 一统计量和自正则部分和的密切联系： 死：丧( 赫) v 2 和 猢= 丧t ( 再b ) ) 在第三章第二节中，我们得到弱相依随机变量序列的自正则中心极限定理主要 结论为：设 x 。，n 1 ) 是平稳( 0 ，c 1 ，妒) 弱相依随机变量序列，e x l = 0 ，e x ? 0 ，对某一c 0 ，2 ，d 0 有 妒( 危，k ：u ，u ) = ( 钍+ 口) 4 ( l i p ( h ) + l 咖( 七) ) 。， 且对某一d ( d c 2 ) v0 ，岛= o ( r d ) ，则 宰一dn ( o ，1 ) 文章中各种条件的改进意义在于扩大了定理的适用范围，能应用于各种相依随 机变量序列难点在于建立满足对数强大数律的概率不等式而与前人论证的不同 之处在于运用了比较不等式和一些技巧性的推理，例如定理2 2 1 的条件更为一般， 而证明更为简洁 本文中，有些结论所需的条件已达到充分必要的程度，如第二章的第二节中关 于完全可分距离空间上随机元序列的几乎处处极限定理，还有譬如第一章的第四节 中正态随机变量三角阵列最大值的几乎处处极限定理，可以认为我们的条件是不能 减弱的但是，在第一章的第三节定理1 3 1 中的条件，没有达到最佳结果，有待以 后作进一步研究第二章的第二节定理2 2 3 的运用及相依随机变量序列的自正则 极限定理还有待深入研究 本文收录了作者三年来所撰写的部分论文，发表和投稿的详细情况可参见文中 的附录最后，限于作者的知识水平，文中难免会有不当或谬误之处，敬请诸位不 吝批评和指正 v i p r e f a c e p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi sn o to n l yo n eo ft h em a i nb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r y , b u ta l s oi sa ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fo t h e rf i e l d so fp r o b a b i l i t yt h e o r ya n d m a t h e m a t i e a ls t a t i s t i c s t h ef a m o u sp r o b a b i l i s tk o l m o g o r o vf r o mp r e v i o u ss o v i e tu n i o n s a i d ：”o n l yp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yc a nr e v e a lt h ee p i s t e m o l o g i c a lv a l u eo fp r o b a b i l i t y w i t h o u ti t ，y o uc o u l d n tu n d e r s t a n dt h er e a lm e a n i n go ft h ef u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n si n p r o b a b i l i t y ”t h ec l a s s i c a lc e n t r a ll i m i tt h e o r e mi sa ne s s e n t i a lf o u n d a t i o no fp r o b a b i l i t y t h e o r y i ti se x t e n s i v e l ya p p l i e dt os t a t i s t i c s ，n a t u r es c i e n c e s ，e n g i n e e r i n ga n de c o n o m i c s i t sm e t h o d sa n dr e s u l t sc o n t i n u et oh a v eg r e a ti n f l u e n c eo no t h e rf i e l d so fp r o b a b i l i t y t h e o r y , m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ，a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s t h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i t t h e o r e ma n ds e l f - n o r m a l i z e dl i m i tt h e o r yh a v eb e c o m et w oi m p o r t a n tf i e l d so ft h es t u d y o fp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi nr e c e n t , d e c a d e s s o m ep r o f o u n dr e s u l t so fa l m o s ts u r ec e n t r a l l i m i tt h e o r e ma n ds e l f - n o r m a l i z e dl i m i tt h e o r e mh a v eb e e nr e a c h e dt h r o u g hd e e pr e s e a r c h i nt h i sd i s s e r t a t i o n l e t ：礼1 ) b eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o m v a r i a b l e s b r o s a m l e r ( 1 9 8 8 ) a n ds c h a t t e ( 1 9 8 8 ) f i r s ti n d e p e n d e n t l yd i s c o v e r e dt h ea l m o s t s u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m ( a s c l t ) t h er e s u l ti sa sf o l l o w s ：i f ，佗1 ) i sas e q u e n c e o fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a n0a n dv a r i a n c e1 ， & = e n l x ia n de i x ie 2 + 6 o ) t h e nf o ra l lx 规击i = 1 it 劣鲥= 去仁e 卅2 d s w h e r eii sa ni n d i c a t o rf u n c t i o n f r o mt h e no n ，m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dt h ea l m o s t s u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m l a c e ya n dp h i l i p p ( 1 9 9 0 ) ，s c h a t t e ( 1 9 9 1 ) ，c s s 9 6a n dh o r v 舀t h ( 1 9 9 2 ) ，b e r k e sa n dd e h l i n g ( 1 9 9 4 ) ，b e r k e s ( 1 9 9 5 ) o b t a i n e dt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i t t h e o r e mo fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s b e r k e sa n dd e h l i n g ( 1 9 9 3 ) ，b e r k e sa n dc s 螽k i ( 2 0 0 1 ) c o n s i d e r e dt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo fi n d e - p e n d e n tb u tn o ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s p e l i g r a da n ds h a o ( 1 9 9 5 ) a n d l e s i g n e ( 1 9 9 9 ) d i s c u s s e dt h ec a s eo fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s t h eg e n e r a lf o r mo f a s c l tf o l l o w sac o m m o np a t t e r nt h a tf o ras e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sw i t hp a r t i a l s u m s & = n 忙1x is a t i s f y i n g ( s o 。) 6 。三y i ，魄o 。 、 月 v i i f o rs o m ec o n s t a n ts e q u e n c e s n n ) ， 6 n ) a n ds o m er a n d o mv a r i a b l eyw i t hn o n d e g e n e r a t e d i s t r i b u t i o nf u n c t i o ng ，t h e nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，w eh a v e 罂志耋等鲥_ g ( z ) 蚴 f o ra n yc o n t i n u i t yp o i n tzo fg f a h r n e ra n ds t a d t m f i l l e r ( 1 9 9 8 ) ，c h e n ge ta 1 ( 1 9 9 8 ) ， f a h r n e r ( 2 0 0 0 ) a n ds t a d t m f i l l e r ( 2 0 0 2 ) p r o v e da l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m sf o rm a x i m a o fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s b e r k e sa n dc s 舀k i ( 2 0 0 1 ) g o ta l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m sf o rn o n l i n e a rf u n c t i o n a l so fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s t h e i rr e s u l t si m m e d i a t e l yi m p l ya n a l o g u eo fa s c l tf o rp a r t i a ls u m s ，a l m o s ts u r el i m i t t h e o r e m sf o rp a r t i a lm a x i m a ：e x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c s ，e m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s ， u s t a t i s t i c s ，l o c a lt i m e sa n di n v a r i a n c ep r i n c i p l e s i n c ew ea l w a y sm e e tw i t ht h ed e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e si nt h ea p p l i c a t i o n so f p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ：i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h ea l m o s ts u r e l i m i tt h e o r e m so fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s i ns e c t i o n2o fc h a p t e r1 ：w eo b t a i na l m o s t s u r el i m i tt h e o r e m sf o rm a x i m ao fas t a t i o n a r ys e q u e n c eo fn o r m a lr a n d o mv a r i a b l e su n d e r w e a k e rc o n d i t i o n s ： l e t ，n 芝1 ) b eas t a t i o n a r ys t a n d a r d i z e dn o r m a ls e q u e n c ew i t hc o v a r i a n c er n = c o y ( x 1 ，+ 1 ) ，s a t i s f y i n gr n _ 0 a sn _ 。：a n d 去，篆。h l o g ke x p g 耶 f o rs o m es 0 ，7 2 ，c 0 p u tm n = m a x l 一 i 一 n j 毛) ( 1 ) i fn 0 一西( u 。) ) 一7 - f o r0 丁 。，t h e n ( 1 0 9l o g 佗) 1 + e 熙击k 壹= l 知帆鲰胁， i fo n ：钥而而a n db 。= o 。一( 1 0 9 l o g 。n 。+ l 0 9 4 1 r ) ，t h e n 觑击妄k c 蚺剑= e x p ( 一卧圳 t h er e s u i tw e a k e n st h ec o n d i t i o n so ft h a to fc s i k ia n dg o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 2 ) w eu s e t h en o r m a lc o m p a r i s o ni n e q u a l i t yo fl ia n ds h a o ( 2 0 0 2 ) i nt h ec o u r s eo ft h ep r o o f i ns e c t i o n3o fc h a p t e r1 ，w ep r o v ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m sf o rm a x i m ao fan o n s t a t i o n a r ys e q u e n c eo fg a u s s i a nr a n d o mv a r i a b l e s w ee x t e n dt h ea l m o s ts u r el i m i tt h e - o r e m sf o rm a x i m ao fas t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c et ot h a to fan o n s t a t i o n a r yg a u s s i a n s e q u e n c e t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r eo u rm a i nr e s u l t ： v i i i ( a ) l e t 厶) b eas e q u e n c eo fn o n s t a t i o n a r yg a u s s i a nr a n d o mv a r i a b l e sw i t hz e r o m e a n ，u n i tv a r i a n c ea n dc o v a r i a n c em a t r i x ( ) s u c ht h a ti r i di p l i 一引f o ri jw h e r e p 。 1f o ra l l 礼1a n d p nl o g n ， ( 1 0 9l o g 礼) 1 牝 l e tt h ec o n s t a n t s u 谢) b es u c ht h a t 銎1 ( 1 一圣( u m ) ) i sb o u n d e da n da n = m i n i 一 i 一 0 i f 警1 ( 1 一西( u 倒) ) _ 丁a s 礼_ 。f o rs o m e7 - 20 ，t h e n 规志蚤去饥，( ) ) _ e x p ( 叫o s ( a ) l e t 厶，竹1 ) b ean o n s t a t i o n a r ys t a n d a r d i z e dg a u s s i a ns e q u e n c ew i t hc o v a r i a n c er j = c o v ( ，白) a n ds a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) 5 = s u p i jh l 糌a n ds o m ep o s i t i v en u m b e rd ：w eh a v e r 巧l l o g ( j i ) e x p ( v l r 0 1 l o g ( j t ) ) ，l o gl o g n ) 1 + 6 f o rs o m ep o s i t i v ea n m b e r saa n d l e tn 。= ( 2 l o g n ) a n db 。= ( 2 l o g n ) 一( 1 0 9 l o g 佗+ l 0 9 4 7 r ) ( 2 ( 2 1 0 9 n ) ) ，zi sar e a l n u m b e r t h e n 舰面1 备ni 1 。慨k x a k + b k ：e x p ( 砘一。) ，。s i ns e c t i o n4o fc h a p t e r1 ：w ef u r t h e rs t u d yt h ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e mo fm a x i m a o fr a n d o mv a r i a b l e sa n dg i v es o m ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m sf o rm a x i m ao fat r i a n g u l a r a r r a yo fn o r m a lr a n d o mv a r i a b l e s w eo b t a i n ：l e t t ) ，n = 1 ，2 ，i = 0 ，1 ，2 b e at r i a n g u l a ra r r a yo fn o r m a lr a n d o mv a r i a b l e s ，s u c ht h a tf o re a c h 仡， ，t ，i 0 i sa s t a t i o n a r yn o r m a ls e q u e n c e u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，f o ra l lz ( 一，。) ， 熙面1 蚤去o m a x l _ s i _ _ s kx n , i u n ( x ) ) 一p ( - v 9 e x p ( 一z ) ) 0 _ s i ns e c t i o n2o fc h a p t e r2 ，w ef i r s t l ye x t e n dt h er e s u l to fb e r k e sa n dc s a k i ( 2 0 0 1 ) a b o u t i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dg i v eag e n e r a lr e s u l to fa l m o s ts u r el i m i tt h e o r e mf o r as e q u e n c eo fr a n d o me l e m e n t si nac o m p l e t es e p a r a b l em e t r i cs p a c e l e t y n ：n 1 ) b e as e q u e n c eo fr a n d o me l e m e n t si nb s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t an o n d e c r e a s i n gs e q u e n c e o fp o s i t i v en u m b e r s ) w i t hl i m n 。a n = o g , ，c n + l c n = 0 ( 1 ) a n db v a l u e dr a n d o m e l e m e n t sk ，2 ，七，l n ，k 2 ，s u c ht h a tf o ra n yf u n c t i o ng b l ( b ) a n dk 0 l e t d k ，k 1 ) s a t i s f y0 d k l o g ( c k + l c k ) a n d 罂1d k = 。 a n ds e td n = k 1d k t h e nf o ra n yp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o npo nt h e 盯一a l g e b r abo fb 麦三如峨训0 s i f a n do n l yi f 竹 二d nk f = l 如肛圪号p w h e r e = d e n o t e sw e a kc o n v e r g e n c e a sn _ 。 a sn _ c k ) a n dt h e nw ea p p l yi tt oas t a t i o n a r ys e q u e n c eo fa s s o c i a t e d ( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) ， s t r o n g l ym i x i n g ，p - m i x i n g ，b e r n o u l l is h i f ta n dg a u s s i a nr a n d o mv a r i a b l e s i ns e c t i o n3o fc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m sf o rf u n c t i o n so fr a n d o mv a r i a b l e s o n eo ft h em a i nr e s u l t si sa sf o l l o w s ：l e t ，n 1 ) b ea s e q u e n c eo fc e n t e r e dr a n d o m v a r i a b l e sa n df k ( x l ，甄) b ear a n d o mf u n c t i o ns a t i s f y i n g 氕( x l ，x k ) = a s k + b r k ( x 1 ，x k ) w h e r ea ，b r ：a 0 ，s u p ne l f n i 。a n dr n = o ( o n ) a s s u m et h a tf o ra n yf u n c t i o n g b l ( r ) v a r c 去势( 勃鲫l o g l o g n 一) i f 嘉n ( 0 ，1 ) a sn _ 。：t h e n 二 规画1 三去袅纠叫咖s i ns e c t i o n4o fc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m sf o rt h ep r o d u c t o fs u m so fr a n d o mv a r i a b l e su n d e ran e ww e a kd e p e n d e n c ec o n d i t i o n l e t x n ，n 1 ) b eas t a t i o n a r yn w e a k l yd e p e n d e n ts e q u e n c eo fp o s i t i v er a n d o mv a r i a b l e sw i t he x l = p 1 a n dv a r x l = 盯 0 ，t h e nf o r a n yr e a lz 概去一y ，i s k ，1 l a s i , i 。广n s w h e r ef ( z ) i st h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h er a n d o mv a r i a b l ee i ns e c t i o n5o fc h a p t e r2 ，w eg e ta s c l tf o rf u n c t i o n a l so fa b s o l u t e l yr e g u l a rp r o c e s s e s i ns e c t i o n6o fc h a p t e r2 ：w ep r o v es o m ea l m o s ts u r ef u n c t i o n a ll i m i tt h e o r e m sf o re m p i r i c a l x i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h es e l f - n o r m a l i z e dl i m i tt h e o r e mf o ras e q u e n c eo fw e a k l y d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s p u t = 鍪1 五，曙= 肖n 霹，n 1 i ti sw e l l k n o w n t h a tm o m e n tc o n d i t i o n so ro t h e rr e l a t e dc o n d i t i o n sa r en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tf o rm a n y c l a s s i c a ll i m i tt h e o r e m s f o re x a m p l e ，t h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sh o l d si fa n do n l y i ft h em e a no fxi sf i n i t e ；t h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mh o l d si fa n do n l yi fe x 2 ， i x i z ) i ss l o w i n gv a r y i n ga sz _ 。o nt h eo t h e rh a n d 1 i m i tt h e o r e m sf o rs e l f - n o r