（应用数学专业论文）若干非线性发展方程孤子解分解和相互作用研究.pdf

若干非线性发展方程孤子解分解和相互作用研究 摘要 孤( 立) 子在很多非线性现象中广泛存在，在现代科学技术的发 展中有着重要的应用。孤子理论非线性偏微分方程( 非线性的 p d e s ) 的理论于4 0 多年前开始发展，今天这个理论研究不但更 加深入，而且在物理和工程科学应用的推动下仍然在快速地发展。孤 子现象在两个条件下存在：第一，在没有任何外部阻碍的情况下，存 在具有持续结构( 形状、速度等) 传播的稳定的孤立波。第二，如果 一个孤立波遇到另一个同类的立孤波，它们相互作用，但不会破坏相 互的特性( 即所谓的弹性作用) 。这样的孤波定义为孤( 立) 子。：孤 子现象本质上是非线性现象。本文主要目的是研究用h i r o t a 双线性方 法求非线性发展方程的孤子解以及孤子的性质、分解和相互作用的探 讨，以便更好地利用孤子。 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性发展方程局部化的行 波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度( 或许相位发生变化) 。而 在物理学领域，孤立子被理解为经相互作用后，波形和速度只有微弱 改变的孤立波，或者被理解为非线性发展方程能量有限的解，即能量 集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到无限区域中去。 非线性发展方程孤子解的应用十分广泛，尤其是在非线性光纤光 孤子通信中的应用在近年来得到广泛的研究。因此，研究非线性发展 方程孤子解的求法以及孤子的性质、分解和相互作用显得尤为必要， 也有实际应用价值。 本文以非线性发展( 演化) 方程的理论为基础，结合正在快速发 展的孤子理论，利用数学软件，研究了非线性发展方程的一类解 孤子解。主要完成了以下工作：首先分析总结了孤子的类型以及多孤 子、孤子的无穷多守恒律，通过对这些孤子基本知识的分析了解可以 更好地研究孤子及其性质；其次研究了h i r o t a 双线性方法求非线性发 展方程的孤子解并以b o u s s i n e s q 方程和( 3 + 1 ) 维k p 方程为例讨论 h i r o t a 双线性方法在求非线性发展方程孤子解的具体应用，同时给出 了一种简单h i r o t a 方法及其应用；在求得单孤子解和双孤子解后，研 究了孤子解的一种分解方法和孤子的相互作用，并通过图形给出了孤 子相互作用的两种情形，比较了孤子的两种不同作用过程。我们希望 通过这些研究进一步了解求解非线性发展方程的孤子解、孤子的性质 和应用。 关键宇非线性发展方程孤子( 解) h i r o t a 双线性方法 b o u s s i n e s q 方程k p 方程孤子相互作用 s t u d yo nt h ed e c o m p o s i t i o na n d i n t e r a c t o fs o l i t o ns o l u t i o n sf o r s o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t s o l i t o n se x i s tw i d e l yo nm a n yn o n l i n e a rp h e n o m e n aa n dt 1 1 e yp l a y a ni m p o r t a n tr o l e i nd e v e l o p m e n to fm o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y s o l i t o n t h e o r y _ _ - at h e o r y o fn o n l i n e a rp a a i a ld i f f e r e m i a le q u a t i o n s ( n o n l i n e a rp d e s ) - - s t a r t e dt oe v o l v em o r et h a nf o r t yy e a r sa g o t o d a y t h i st h e o r yi sah o tr e s e a r c h i n gt o p i ca n dm a t h e m a t i c a l l yb e a u t i f u l ，b u t s t i l ld e v e l o p i n gf a s t ，d r i v e nb ym a n ya p p l i c a t i o n si nv f l r l o u sf i e l d so f p h y s i c a l s c i e n c ea n de n g i n e e r i n g s o l i t o np h e n o m e n ae x i s to nt w o c o n d i t i o n s f i r s t ，t h e r em u s te x i s ts t a b l es o l i t a r yw a v e st h a tt r a v e lw i t h c o n s t a n tc o n f i g u r a t i o n s ( s h a p e ，s p e e d ，e t c ) a sl o n ga st h e yd on o tm e e t a n ye x t e m a lo b s t a c l e s s e c o n d ，i fas o l i t a r yw a v em e e t sa n o t h e ro fi t s k i n d ，t h e yi n t e r a c t ，b u tw i t h o u td e s t r o y i n ge a c ho t h e r si d e n t i t i e s ( e l a s t i c i n t e r a c t i o n ) s u c hs o l i t a r y w a v e sa r ec a l l e ds o l i t o n s t h es o l i t o n p h e n o m e n o ni se s s e n t i a l l yan o n l i n e a rp h e n o m e n o n i i i t h ea i mo ft h i st h e s i si st of i n dad e t a i l e dd e s c r i p t i o no fs o l i t o n s o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sb yu s i n gt h eh i r o t a b i l i n e a rm e t h o d ，d e c o m p o s i t i o no fm u l t i s o l i t o ns o l u t i o n sa n dt h e i r i n t e r a c t i o n s ，i no r d e rt om a k et h eb e s tu s eo ft h e m g e n e r a l l y ，i na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，w ec a r lu n d e r s t a n dt h a ts o l i t o n s a r el o c a lt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d t h e i rw a v es h a p ea n ds p e e dd on o tc h a n g eb u tp h a s em a ys h i ra f t e rt h e y c o l l i d em u t u a l l y b u ti np h y s i c sd o m a i n ，s o l i t o n sc a nb eu n d e r s t o o dt h a t t h e ya r es o l i t a r yw a v ew h i c hs h a p ea n ds p e e dc h a n g ef a i n t l y , o rt h e ya r e e n e r g yl i m i t e ds o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，n a m e l ye n e r g y c e n t e r si nt h el i m i t e da r e ao fs p a c ea n dd o n ts p r e a dt ot h ei n f i n i t yo f s p a c ea st i m eg o e s a p p l i c a t i o n s o fs o l i t o ns o l u t i o n si s e x t r e m e l yw i d e s p r e a d ，i n p a r t i c u l a rt h e i ra p p l i c a t i o n sr e c e i v et h ew i d e s p r e a dr e s e a r c hi nn o n l i n e a r f i b e ro p t i c a ls o l i t o n sc o m m u n i c a t i o ni nt h er e c e n ty e a r s 。t h e r e f o r e ，i ti s e s p e c i a l l y e s s e n t i a lt h a t w ed or e s e a r c ho ns o l i t o ns o l u t i o n s ， d e c o m p o s i t i o na n di n t e r a c t i o n s o ft h e m i th a st h ea c t u a la p p l i c a t i o n v a l u e ，t o o t l l i st h e s i ss t u d i e so n ek i n do fs o l u t i o n s s o l i t o ns o l u t i o n so f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i ti sb a s e do nt h et h e o r yo fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，c o m b i n e sw i t hf a s td e v e l o p i n gs o l i t o nt h e o r ya n d w i t ht h eh e l po fm a t h e m a t i cs o r w a r e m a i n l yc o m p l e t e dw o r ka r ea s i v f o l l o w ：f i r s t l y ，w ea n a l y z ea n ds u m m a r i z et y p e so fs o l i t o n sa n di n t r o d u c e m u l t i s o l i t o na n di n f i n i t ec o n s e r v a t i o n a ll a w so fs o l i t o n s w ec a ns t u d y b e t t e rs o l i t o n sa n dt h e i rq u a l i t i e st h r o u g ha b o v e m e n t i o n e de l e m e n t a r y k n o w l e d g e s e c o n d l y ，w es t u d ys o l i t o ns o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sb yu s i n gt h eh i r o t ab i l i n e a rm e t h o d w eg i v et h eb o u s s i n e s q e q u a t i o na n dt h e ( 3 + 1 ) d i m e n s i o n a l k p e q u a t i o na se x a m p l e s t od i s c u s s t h ea p p l i c a t i o no ft h eh i r o t am e t h o dw h i c hi su s e dt os o l v es o l i t o n s o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a tt h es a m et i m e ，w ea l s og i v e as i m p l i f i e dh i r o t am e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n f i n a l l y ，w es t u d ya d e c o m p o s a b l em e t h o do fm u l t i s o l i t o ns o l u t i o n sa n dt h e i ri n t e r a c t i o n s a n dg i v et w oc a s e so fs o l i t o ni n t e r a c t i o n sb yf i g u r e s w ea l s oc o m p a r e t w od i f f e r e n ti n t e r a c t i o n a lp r o c e s s e s w eh o p et h a tw ec a nu n d e r s t a n d f u r t h e r s o l i t o ns o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，q u a l i t i e so f s o l i t o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s k e yw o r d sn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，s o l i t o n ( s o l u t i o n ) ，h i r o t a b i l i n e a rm e t h o d ，b o u s s i n e s qe q u a t i o n ，k pe q u a t i o n ，s o l i t o ni n t e r a c t i o n s v 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 1 4 鸥 日期：趔丕：垒：型 j 。 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文：( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在z 年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： e l 期：趔：盔：型 e t 期：迦盖：互：趔 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 本文主要研究非线性发展方程的孤立波解和孤子解的特性以及孤子之间的 相互作用，以b o u s s i n e s q 方程、类b o u s s i n e s q 方程和( 3 + 1 ) 维k p 方程为具体 实例讨论孤立子解以及孤子解的分解和相互作用。主要完成的研究工作如下：讨 论了h i r o t a 双线性方法的性质以及以b o u s s i n e s q 方程和( 3 + 1 ) 维k p 方程为例 研究h i r o t a 双线性方法在求非线性发展方程孤子解中的应用，在应用h i r o t a 方法 求非线性发展方程孤子解的同时给出了简化了的被称之为简单h i r o t a 方法的应 用；在求得单孤子解和双孤子解后，研究了双孤子解的一种分解方法和孤子的相 互作用，并通过图形给出了孤子相互作用的两种情形。 1 1非线性科学与非线性发展方程 随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断促使 我们逐渐地把一个个线性理论发展为非线性理论。非线性科学是研究非线性现象 共性的一门新兴的交叉学科，产生于2 0 世纪六七十年代。非线性科学的标志是： 1 9 6 3 年美国气象学家洛伦兹发表题为确定论的非周期流的论文，揭示了确定 性非线性方程存在混沌( c h a o s ) ；1 9 6 5 年数学家查布斯基和克鲁斯卡尔通过计算 机实验发现孤立子( s o l i t o n ) ；19 7 5 年美籍数学家芒德勃罗发表分形：形态、机 遇和维数一书，创立了分形( f r a c t a l ) 理论。混沌、孤立子、分形代表了非线性 现象的三大普适类，构成非线性科学的三大理论u 。非线性科学的发展标志着人 类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。非线性科学中的混沌理论被认为 是2 0 世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命；分形几何是继微积分以来的又 一次革命：孤立子理论则预示着物理学与数学的有机统一性。显然，非线性科学 的这些认识无疑会起到开阔眼界、解放思想的作用，而且已经成为解决复杂系统 问题的有效手段。 所谓线性，是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时是一条直 线。在数学上，主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。如果算子么满足： i 彳( x + y ) = 么( x ) + 彳( y ) t 彳( 锻) = 鲥( 力 其中，a 为常数，x 、y 为任意函数，则称算子彳为线性算子，否则算子么称为 第一章绪论 非线性算子瞄。线性系统中部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原 理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解。线性理论是研究线性系统的理论， 主要包括：牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论和量子力学理论等，它有成熟的数 学工具，如线性方程、曲线，以及微积分等数学方法。 虽然非线性问题自古以来就有，但人们开始只能解决线性问题，随着科学技 术的发展，在解决非线性问题方面才逐步取得进展。当代所有的科学前沿问题几 乎都是非线性问题。从物理现象来看，线性现象是在空间和时间上光滑和规则的 运动，非线性现象则是从规则运动向不规则运动的过渡和突变。今天，非线性科 学贯穿了自然科学、工程科学、数学和社会科学的几乎每门学科w 1 。 历史上，为解决各门科学中的线性问题，已经形成了一整套有效方法。例 如，对于线性微分方程，可以通过求基本解、作傅里叶和拉普拉斯变换等方法来 处理。对于线性的函数空间和算子，已研究得比较透彻，有了许多应用。对于非 线性问题，也已积累了许多经验，有不少有效的方法，但同时又面临许多难以解 决的问题。 用数学方法来处理非线性问题，往往需要求解各种形式的非线性方程，通 常有以下几类算法： ( 1 ) 求准确解，即试图运用各种技巧( 如利用对称性或一些巧妙的变换) 来 求得问题的准确解，例如，对二维的理想流体的定常运动，做出无旋的假定后， 可以通过引进势函数，再利用复变函数就可求出大量的准确解。但实际上只有极 少数的非线性问题能够求得准确解。 ( 2 ) 定性分析，即对解的存在性和惟一性问题进行讨论。对某些复杂问题， 如空气动力学中的粘性流问题，有关的偏微分方程除特殊情况外很难求出准确 解，但可对解作定性分析。如果一个非线性问题的解不存在或不惟一，则要对问 题的模型作重新考察。数学中对解的存在性，通常有构造性和非构造性两种证明 方法。 ( 3 ) 数值解法，由于求非线性问题的准确解是很困难的，因此采用数值方法 求解是不可避免的。事实上，大量的非线性问题已经能够用数值计算来解决，特 别是当要解决的问题需要数字结果时。但在数值计算中常会遇到算法的稳定性问 题，例如当差分方程的步长取得不恰当，会产生振荡解：另外，计算中也有许多 技巧，如遇到病态方程等等。例如，对于l o r e n z 混沌吸引子，通常可以采用四阶 龙格库塔算法进行迭代计算进行求解。 ( 4 ) 渐近展开法，采取多次线性逼近方法，通过解若干次线性问题得出非线 性问题的近似解。在这类问题中，往往含有一个小参数，对方程作关于小参数展 开，得到无限个线性问题，逐次求出若干个线性问题，即可求得很好的近似解。 2 北京邮电大学硕士研究生学位论文 在目前对非线性问题还没有完全获得系统的处理方法的情况下，不同的研究 领域里分别出现了自己独特的研究方法，如混沌运动；分形；奇异摄动理论；分 岔、突变理论；孤立子理论等。但一般认为非线性科学的三大普适类包括混沌、 分形以及孤立子。随着非线性科学的发展，孤立子已经成为非线性科学研究的重 要内容。 在物理学、声学、流体力学、非线性光学、工程技术等领域的众多问题中经 常会遇到大量的能反映各种因子或各种物理量之间相互制约和相互依存关系的 非线性方程，一般可以称为非线性发展( 或演化) 方程( n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ) 。通常，非线性方程包括非线性常微分方程( 对未知函数及其导数都 不全是线性的或一次式的常微分方程) 、非线性偏微分方程( 对未知函数及其偏 导数都不全是线性的或一次式的偏微分方程) 、非线性差分方程( 通常是非线性 常微分方程或偏微分方程的离散形式，它对未知函数的九次迭代值都不全是线性 的或一次式的) 和函数方程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个代数关系 式) 。方程的解的研究对研究方程的重要意义是不言而喻的；非线性偏微分方程 的应用越来越广泛，同样研究非线性偏微分方程的解特别是解析解对科学的发展 具有重要意义。 非线性偏微分方程的精确求解对研究自然界中众多的非线性现象的重要作 用随着非线性科学的发展越来越得到肯定，求解方法也不断得到发展和完善。自 反散射方法问世以来，已涌现出许多构造非线性偏微分方程孤立波解的方法和技 巧。如b a c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换一1 。等。然而，这些方法在求孤子解时，求解 过程较为繁杂，不易使用。由于计算机代数系统的不断发展，近几年一些直接代 数方法的研究变得非常活跃，如混合指数方法、齐次平衡法、双曲正切方法、三 角函数方法及试探函数法、h i r o t a 方法妒副等，这些方法在求非线性偏微分方程的 孤立波解得到了较为广泛的应用。非线性发展方程的解中具有良好特性的一类解 是孤波解。 自然科学领域的很多问题的数学模型最终可归结为非线性发展方程( 组) 来 描述。由于这类方程的解析解对于洞察这些问题的物理本质有着重要作用，因此 寻求非线性发展方程的孤子解一直是物理学和数学工作者的重大课题。 近2 0 年来非线性科学在探求非线性现象的普遍规律、发展处理它们的普适方 法方面已取得了明显的成就。在自然科学领域，孤立子揭示了非线性作用引起的 惊人有序性；确定性系统中的混沌使人们看到了普遍存在于自然界中的一种运动 形式；分形和分维的研究把人们从线、面、体的常规几何观念中解放出来，而面 对更为多样而真实的自然；自组织现象反映了耦合在一起的大量单元和子系统， 由于有序和混沌的竞争而形成时空组织或时空过程。这些在不同学科领域内发现 第一章绪论 的非线性现象的共同特征，使一个学科内的进展能够很快向其他领域转换，同时 也证实了非线性科学促进学科间互相渗透的跨学科特征。非线性科学不仅具有重 大的科学意义，而且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展、信息与决策 等都产生了巨大影响，对社会的进步与发展有着积极的推动作用。非线性科学对 哲学也带来了巨大的冲击，混沌研究很可能有助于消除对于统一的自然界确定论 和概率论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些哲学范畴 的认识。而分形结构和自组织现象及图形生成的研究则为量变引起质变、有序和 无序的相互转换提供了丰富事例，同时简单性与复杂性、局部与整体、有限与无 限等重要的哲学、范畴及其相关内容也受到非线性科学发展的冲击，需要重新认 识和深化。非线性科学还将通过一系列重大发现和成果直接影响人们的思维方 法，从而推动哲学的变革。有人认为，非线性科学将成为继量子力学、相对论之 后的又一次新的科学革命。非线性科学所引入的基本概念，对自然科学、人文社 会科学乃至哲学产生的影响将会持久地影响人类文化的进程。u 。 总之，数学上线性和非线性方程的本质区别是很明显的。一个线性方程的任 何两个解可以相加构成一个新的解，即服从叠加原理。事实上，叠加是用来解决 所有线性问题系统方法的关键。与此相反，一个非线性方程的两个解不能加在一 起构成另一个解。因此必须整体地考虑非线性方程。不能，至少不能明显地象线 性那样把问题分为一些小的子问题而把它们的解叠加起来。因此，求解典型的非 线性方程不存在一般通用的解析方法。 1 2 孤立波与孤立子 近4 0 多年来，孤立子理论及其应用蓬勃发展，已在国际上掀起研究热潮，在 流体力学、固体物理、等离子体物理、基本粒子物理、非线性光学、纤维光学等 领域中理论研究不断深入，在激光、超导、生物物理等新科技领域中有不少发展， 特别是，光孤子理论与试验研究，已为光纤孤子通信的实现创造了很有利的条件。 孤立子的发现可追溯至1 j 1 8 3 4 年，英国科学家、造船工程师j s r u s s e l l p 。注意 到，在英格兰的一个狭窄驳船通道中，当船突然停止时，“一个巨大而独立的水 峰，圆润光滑，一直持续地存在于水道中，其形状和速度保持不变。 u w 应当 提及的是，r u s s e l l 先生当时骑在马上，当他看到这个水峰时，跟踪了很长一段路 程。事实上，一定还有其他人也看到过类似现象，只不过他们没有提出疑问并进 行跟踪，他们不具有r u s s e l l 先生的非凡观察力和科学敏感性。r u s s e l l 先生把在运 河上偶然地观察到光滑而轮廓分明的突出水面且保持形状不变、以恒定速度传播 的巨大孤立波峰的这种奇特的钟形行波称为“孤立波”，并在实验室的水槽中模 拟运河的条件，重现了这种现象。r u s s e l l 先生认为孤立波应是流体力学的一个解， 北京邮电大学硕士研究生学位论文 并试图找到这种解，但没有成功。 十年后，r u s s e l l 先生向英国科学促进会报告了自己的观点，但却没能说服他 的同事们，r u s s e l l 先生所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。在r u s s e l l 先生观察到这个奇特现象时，关于浅水的水波方程还没有建立。直到半个世纪以 后的1 8 9 5 年，两位年轻的荷兰科学家k o r t e w e g 和d ev r i e s u 从数学上建立了单向 运动浅水波的数学模型，即著名的k d v 方程： 丝+ c ( 1 + 一3u ) 一o u + 厂娶：o 镜 、 2h 8 za z 3 并给出了一个类似于r u s s e l l 孤立波的解析解，才在理论上求得了与r u s s e l l 先生观 察一致的形状不变的孤立波解。孤立波的存在才得到普遍承认。在r u s s e l l 先生逝 世1 0 0 周年即1 9 8 2 年，人们在r u s s e l l 先生发现孤立波的运河边树起了一座r u s s e l l 像纪念碑，以纪念1 4 8 年前他的这一不寻常的发现。 上述方程中，“是深为h 的水道中水波离水平面的高度；在波动很小而波长 很长时，c 是水波的速度( 导和三阶微商项可忽略) 。这个波速当然是与水深有 关的波振幅的函数；最后一项是线性的，它描述波的色散，因为该项依赖于三阶 微商而被称为三阶色散；这表明波速还与波长有关。注意到此方程仅出现对时间 的一阶微商项，方程若考虑波只在单一方向上传播，则k d v 方程可以简化。这种 类型的波由于波速与振幅有关，它们能够发生碰撞。振幅较大的波比振幅较小的 波跑得快，因而可以追上并超过它。然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤 立波相遇而发生“碰撞 后能否保持形状和速度不变等问题，一直是科学家们感 兴趣而又无法证实的问题。孤立波在自然界中并不罕见。但上述现象的物理本质 当时引起了广泛的争论，长期未能得到正确的理论解释。 直至t j l 9 6 5 年美国科学家z a b u s k y 和鼬u s u 。用计算机数值模拟法详细考虑 了等离子体中孤立波相互问的非线性碰撞过程，才证实了孤立波在相互作用后形 状和传播速度保持不变的论断。这一有历史意义的重大发现，促使他们把碰撞过 程和弹性粒子之间的碰撞过程十分相似的孤立波，命名为瓠立子”( s o l i t o n ) 或者“孤子 。两年后美国的另一个研究d x 组g g k m u 训在解k d v 方程时首次发明 了著名的解析方法一反演散射变换( i n v e r s e s c a t t e r i n gt r a n s f c i r m a t i o n ，简记为 i s t ) ，并得出了k d v 方程n 个孤立波相互作用的精确解。这一方法后经l a x u ”、 a k n s u 训等人把它推广到一大批非线性发展方程中去，完善为一种较为普遍的解 析方法。“孤立子 概念的提出与普遍接受，推动了以后4 0 多年来世界范围内孤 立子理论研究的热潮，并成为许多物理实验室的重要课题，有了蓬勃发展。 5 第一章绪论 物理上，线性系统与非线性系统在定性上是根本不同的。线性系统典型地表 现在空间和时间上是光滑规则的运动，一个局部的波包脉冲将随时间的推移通过 扩张而弥散衰减。相反，非线性系统通常表现在从光滑运动向反复无常的甚至随 机的混沌行为过渡；或者形成具有高度拟序的、稳定的局部结构孤立子。 什么是孤立子呢? 考虑由。个非线性发展方程描述的一种波的运动，其解对 空间和时间的依赖关系只通过组合形式f = x c t 出现( c 为恒定波速) ，即行波 解。行波经过空间运动后不改变它的形状，特别是没有扩展和弥散。如果此行波 是一个局域化的单个脉冲波包，它就称之为“孤立波 。当两个或更多的孤立波 相互作用后，它们精确地保持波的形状和速度不变。因这样的孤立波类似粒子弹 性碰撞的性质，科学家们才把这类孤立波称为孤立子。并非所有的孤立波都具有 这种稳定的碰撞特性，人们只把具有这种碰撞稳定性的孤立波称之为“孤立子 。 而这个名称也只有在z a b u s k y 划时代的研究工作之后才使人们确信其名副其实。 通常数学上把具有下列性质的非线性发展方程的孤立波解称之为孤立子或 者孤子，并用它们来描述孤子及其相互作用： 1 ) 向单向传播的行波； 2 ) 波是定域的( 分布在空间的一定范围内) ； 3 ) 波形不随时间的演化而发生变化：、 4 ) 孤立波间的相互作用( 由几个孤立波的非线性叠加来描述) 呈现出类似 粒子“弹性碰撞”的特点，即在相互作用区( 碰撞区) 之外，孤立波保持形状和 速度不变。 人们在除流体力学以外的其它物理领域中，相继发现了多种类型孤立波( 或 孤立子) 的存在。现在已经有一大批孤立子和它们满足的非线性发展方程出现。 其中典型的几种，除k d v 方程给出的钟型( 驼峰型) 孤立子外，还有： 1 ) t o d a 在一维非线性晶格( t o d a 晶格) 波的研究中导出的晶格孤立波： 2 ) p e r r i n g 和s k y r m e 研究基本粒子模型，采用正弦一戈登( s i n e - - g o r d o n ) 方程( s g 方程) ( 它也适用于描述晶格位错的传播等) ，导致了纽结型、反纽结 型和呼吸子型的孤立子解； 。3 ) 1 9 7 3 年h a s e g a w a 和t a p p e r t 提出的光纤中的光学孤子( 包络型孤子) 由非 线性( 立方) 薛定谔方程( n l s 方程) 的解来描述，其后由贝尔实验室的m o u e n a u e r 等首次在实验上证实了光学孤子的存在，导致了光孤子的理论和实验研究的广泛 深入发展，为实现光孤子通信创造了十分有利的条件。u 划 6 北京邮电大学硕士研究生学位论文 1 3 孤立子理论 孤子理论非线性的偏微分方程( 非线性的p d e s ) 的理论于4 0 多年前 开始发展。今天这个理论不但被深入发展了并且具有数学美，而且在自然科学和 工程技术科学的各个领域有着广泛的应用的驱动下，这个理论仍然在快速的发展 着。孤子理论的一个不言而喻的目的是提供以分析的方法解决非线性的p d e s 方 程。当然，在这些年不同的方法已经相继被提出来。例如反演散射理论( i s t ) g a r d n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和m i u r a ，1 9 6 7 已经证明可以提供解决许多( 可积 的) 非线性p d e s 方程的初值问题；根据特解的全部族的n 阶( i l 1 ) 线性h i r o t a 公式 h i r o t a ，1 9 8 0 ，g r a m m a t i c o s ，r a m a n i 和h i e t a r i n t a ，1 9 9 4 能够被直接构造，甚 至可以适用于非可积的方程：等等。 孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的 必要条件。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非 线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。 起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时， 就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤立波进行研究的 结果表明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的 弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特征，甚至在外力 作用下其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当做原子或分子那 样的粒子看待，人们才将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子( 孤子) 。 孤子现象在两个条件下存在： 第一，在没有任何外部阻碍的情况下，存在具有持续结构( 形状、速度等) 传播的稳定的孤立波。 第二，如果一个孤波遇到另一个同类的孤波，它们相互作用，但不会破坏相 互的特性( 弹性作用) 。这就是上述定义的孤立子( 孤子) 。 对孤立子的更深入研究发现，孤立子不仅像原子或分子，而且更像基本粒子， 这表现在： 1 孤立子不仅具有质量、能量和动量特征，而且还具有电荷特征。 2 孤立子有的像光子、电子、质子那样，稳定而不衰变，有的像中子、u 子那样可以衰变，具有衰变性不稳定性。 3 和基本粒子都存在其反粒子一样，孤立子也都存在其相应的反孤立子。 4 对应于运动方程的种种对称性，孤立子也存在相应的守恒定律，如动量 守恒、能量守恒和“粒子数 守恒等等。 孤子现象本质上是非线性现象。首先，孤子能够存在是由于在( 线性) 散射( 散 7 第一章绪论 射现象) 和( 非线性) 对流( 冲击波现象) 之间的作用存在着一种微妙的平衡。其次， 一个孤子的完整路径( 时空空间的轨线) 经历了与其它孤子作用引起的相移。相 移的值依赖相互作用孤子的振幅。 孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣。人们还发展 了一套研究孤立子的系统方法一反散射方法或逆问题方法。找出了一批非线性方 程的普遍解法，并通过计算机实验和解析方法相结合，发现很多非线性偏微分方 程都存在孤立子解，这些纯粹数学上的孤立子，很快在流体物理、固体物理、等 离子体物理和光学实验中被发现。更令人振奋的是，这些似乎是纯数学的发现， 不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例如光纤通讯中传输信息的低强度 光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低、质量差，而且须在线路上每隔一定距 离加设波形重复器，花费很大，7 0 年代从理论上首先发现“光学孤子可以克 服这些缺点，并可大大提高信息传输量，目前这一成果已进入实用阶段。正是这 些特点促使孤立子成为当今世界研究的热点问题。u “ 1 4 主要内容和结构安排 本文主要内容如下：首先分析了孤子的类型以及多孤子、孤子的无穷多守恒 律，通过对这些孤子基本知识的分析了解可以更好的研究孤子及其性质；其次讨 论了h i r o t a 双线性方法的性质以及以b o u s s i n e s q 方程和( 3 + 1 ) 维k t 方程为例 研究h i r o t a 双线性方法在求非线性发展方程孤子解的应用，在应用h i r o t a 方法的 同时给出了简化了的被称之为简单h i r o t a 方法的应用；在求得单孤子解和双孤子 解后，研究了双孤子解的一种分解方法和孤子的相互作用，并通过图形给出了孤 子相互作用的两种情形，比较了孤子的两种不同作用过程。 本文的结构安排如下：正文部分分为三章。第二章主要介绍了非线性发展方 程孤子解的类型以及多孤子、孤子的无穷多守恒律，给出了孤子解的一些基本知 识和基本性质。第三章主要介绍了h i m t a 双线性方法的定义和基本性质，并以 b o u s s i n e s q 方程和( 3 + 1 ) 维k p 方程为例研究h i r o t a 双线性方法在求非线性发 展方程孤子解中的应用。第四章根据上述得到的孤子解研究了孤子解的一种分解 方法和孤子解的相互作用的情况。 8 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章孤立子的类型 满足绪论中描述的相互碰撞后形状和速度不变的孤立子的数学形式如何? 这也是非线性研究，特别是孤子研究和应用的重要内容。这一章我们就孤子的基 本形式和类型给出介绍。本章主要参考文献 5 - 7 和文献 17 - 2 4 中关于孤子类型 和多孤子的内容总结了孤子( 解) 的常见类型，并且考察了物理学中几个典型的 具有孤子解的非线性发展方程( 简称孤子方程) 。即主要介绍k d v 方程的单孤子 解与双孤子解，及这两种类型孤立子的特性及其相互作用的特点；介绍s g 方程 的纽结孤立子解、反纽结孤立子解与呼吸子解；还介绍了n l s 方程的包络型孤 立子解，给出光纤中的亮孤子和暗孤子。 2 1k d v 方程及钟型孤立子 1 8 9 5 年，两位年轻的荷兰科学家k o r t e w e g 和d ev r i e s n l 3 从数学上给出了著 名的k d v 方程。k d v 方程起源于对浅水波的描述，但后来发现它在等离子磁流 体、非线性晶格等领域起重要作用。其形式为 u t 一6 甜毪+ = o ( 2 1 ) 式中虬= _ o u ( 其它表示式以此类推) ，l ；l _ u 为垂直于传播方向的波振幅，下脚标 “石 分别表示对空间和时间的导数。为求局限在- d , 范围且保持形状不变的行波解， 可设u = u ( x v t ) ，v 为相对于动坐标系的传播速度，而在x 一时u ，“，u 。， 等均等于零，由方程( 2 1 ) 求得单孤子解： u ( x ，f ) = - 2 k 2s e c h 2 七( z 一4 k 2 f ) ( 2 - - 2 ) 由此可见，单个孤立波表达式中唯一的参数k ( 由初始条件确定) 决定孤立波的 高度( 2 k 2 ) 、宽度( ) 和速度( 4 k 2 ) ( 如图2 - - 1 ) 。可以看出，较高、较窄的 丘 孤立波前进的速度较快。 9 第二章孤立子的类型 - t 尊i ， l k义 z q o 图2 1 钟型孤立波 ( 2 2 ) 式所描述的这种形如钟的定域波包与普通定域性波包的不同之处： 它显示了速度和振幅的相互联系非线性效应，这就是k d v 方程的单孤子解。 然而，我们还看不出这种速度与振幅相联系的孤立波与普通定域性波包的不 同。为此，让我们考察用i s t 方法求得的k d v 方程的双孤子作用解2 1 1 砧( x ，f ) ：一1 24 c o s h ( 2 x - 8 0 + e o s h ( 4 x - 6 4 t ) + 3 ( 2 3 ) 1 3 c o s h ( x - 2 8 t ) + c o s h ( 3 x 一3 6 0 r 分别保持x 一4 t 和x 一1 6 t 有限。取( 2 3 ) 式的极限，即得双孤子在相互作用前 后的形式 u ( x ，f ) 主圭箜- 8 s e c h 2 ( 2 石- 3 2 t s ：寺l n 3 ) 一2 s e e h 2 ( x - 4 t q ：寺1 n 3 ) 可见两个孤立子相互作用后的效果仅是相位的改变。若将( 2 3 ) 式绘出图形( 图 2 2 ) ，则可看得更清楚：振幅高、速度大的孤波追赶振幅低、速度小的孤波，r = 0 时在x 专0